中考复习8 相似专题

相似专题【类型一】借助比例端点作平行线例1、已知:ABC ∆中,D 为BC 的中点,E 为AB 上一点,且AB BE 41=F 为AC 上一点,且AC CF 52=,EF 交AD 于P. (1)求PF EP :的值. (2)求PD AP :的值.例2、AD 是ABC ∆的中线，将BC 边所在直线绕点D 顺时针旋转α角，交边AB 于点M ，交射线AC 于点N ，设xAB AM =，yAC AN =(0,≠y x ).（1）如图1，当ABC ∆为等边三角形且︒=30α时，证明：DMA AMN ∆∆~.（2）如图2，证明：211=+yx。

（3）当G 是AD 上任意一点时（点G 不与A 重合），过点G 的直线交边AB 于M ，交射线AC 于点'N ，设nAD AG =，AB x AM ''=，AC y AN ''=（'x ，'y 0≠），猜想：ny x 2'1'1=+是否成立？并说明理由。

（4分）检测、如图，在△ABC 中，M 是AC 的中点，E 是AB 上一点，且AE=41AB ，连接EM 并延长，交BC 的延长线于D ，求MDEM的值.【类型二】作垂直例3、如图，在四边形ABCD 中，︒=∠90ABC ，3=AB ，4=BC ，10=CD ，55=DA ，则BD 的长为_____ 。

例4、如图,AB 为半圆直径,D 为AB 上一点,分别在半圆上取点E 、F,使DA EA =,DB FB =,过D 作AB 的垂线,交半圆于C. 求证:CD 平分EF.例5、类比转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.原题:如图(1),在正方形ABCD 中,对角线AC 、BD 相交于点O,点E 是BC 边上一点,AE 与BD 交于点G,过点E 作AE EF ⊥交AC 于点F,若2=CE BE ,求EGEF的值. (1)尝试探究在图(1)中,过点E 作BD EM ⊥于点M ,作AC EN ⊥于点N,则EM 和EN 的数量关系是_______,EGEF的值是______． (2)类比延伸如图(2),在原题的条件下,若)0(>=n n CE BE ,EGEF的值是_____(用含n 的代数式表示),试写出解答过程.(3)拓展迁移如图(3),在矩形ABCD 中,过点B 作AC BH ⊥于点O ,交AD 相于点H ,点E 是BC 边上一点,AE 与BH 相交于点G ,过点E 作AE EF ⊥交AC 于点F 若a CE BE =,b AB BC =，（0,0>>b a ）,则EGEF的值是________(用含b a ,的代数式表示).检测1、如图,在ABC ∆中,︒=∠60BAC ,︒=∠90ABC ,直线321////l l l ,1l 与2l 之间距离是1,2l 与3l 之间距离是2,且1l ,2l ,3l 分别经过点A,B,C,则边AC 的长为_______.检测2、已知:在ABC R ∆t ,︒=∠90ABC ,︒=∠60C ,现将一个足够大的直角三角板的顶点P 放在斜边AC 上.(1)设三角板的两直角边分别交边AB 、BC 于点M 、N.①当点P 是AC 的中点时,分别作AB PE ⊥于点E,BC PF ⊥于点F,得到图1,写出图中的一对全等三角形；②在①的条件下,写出与PEM ∆相似的三角形,并直接写出PN 与PM 的数量关系. (2)移动点P,使CP AP 2=,将三角板绕点P 旋转,设旋转过程中三角板的两直角边分别交边BC AB 、于点N M 、(PM 不与边AB 垂直,PN 不与边BC 垂直)；或者三角板的两直角边分别交边AB 、BC 的延长线与点M 、N.(3)请在备用图中画出图形,判断PM 与PN 的数量关系,并选择其中一种图形证明你的结论； (4)在(3)的条件下,当PCN ∆是等腰三角形时,若cm BC 3=,则线段BN 的长是__________．【类型三】借助中位线作平行线例6、已知：如图，BE AD 、分别是的中线和角平分线，BE AD ⊥，6==BE AD ，则AC 的长等于____。

例7、在ABC ∆中，P 为边AB 上一点。

（1）如图1，若B ACP ∠=∠，求证：AB AP AC ⋅=2。

（2）若M 为CP 的中点，2=AC 。

①如图2，若ACP PBM ∠=∠，3=AB ，求BP 的长。

②如图3，若︒=∠45ABC ，︒=∠=∠60BMP A ，直接写出BP 的长。

检测1、在四边形ABCD 中，AC,BD 相交于点O ，其中E,F 是AD ，BC 的重点，EF 分别交AC,BD 于M,N ，且MO=ON,求证AC=BD.检测2、如图︒=∠=∠=∠45C ABC A °，F E 、分别是AB 、BC 的中点，则下列结论，①BD EF ⊥， ②BD EF 21=，③BFE BEF ADC ∠+∠=∠，④DC AD =，其中正确的是（ ）A.①②③④B.①②③C.①②④D.②③④ 【类型四】延长线段例8、如图,四边形ABCD 中,BC AD //,︒=∠90BCD ,36==BC AD ，,AB DE ⊥于E,AC 交DE 于F (1)求AB AE ⋅的值； (2)若4=CD ,求FCAF的值； (3)若6=CD ,过A 点作CD AM //交CE 的延长线于M,求ECME的值.例9、如图,梯形ABCD 中CD AB //,CD AB >,N 、M 分别是腰AD 、CB 上的点,已知CBN DAM ∠=∠.求证:CNB DMA ∠=∠.检测1、如图，已知矩形ABCD ，AB=6，BC=8，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，AF 与DE 相交于I ，与BD 相交于H ，则四边形BEIH 的面积为（ ）A.538 B.1328 C.528 D.1348 检测2、如图所示,在ABC ∆中,6=BC ,E,F 分别是AB,AC 的中点,点P 在射线EF 上,BP 交CE 于D,点Q 在CE 上且BQ 平分CBP ∠,设y BP =,x PE =.当CE CQ 21=时,y 与x 之间的函数关系式是_______； 当CE nCQ 1=(n 为不小于2的常数)时,y 与x 之间的函数关系式是________．【类型五】借助三大变换作辅助线例10、在ABC R ∆t 中,︒=∠90A ,D 、E 分别为AB 、AC 上的点.(1)如图1,AB CE =,AE BD =,过点C 作EB CF //,且EB CF =,连接DF 交EB 于点G,连接BF,请你直接写出DCEB的值； (2)如图2,kAB CE =,kAE BD =,21=DC EB ,求k 的值.例11、已知:在ABC ∆中,︒=∠60BAC(1)如图1,若AC AB =,点P 在ABC ∆内,且5=PB ,3=PA ,4=PC ,直接写出APC ∠的度数. (2)如图2,若AC AB =,点P 在ABC ∆外,且3=PA ,5=PB ,4=PC ,求APC ∠的度数； (3)如图3,若AC AB 2=,点P 在ABC ∆内,且3=PA ,5=PB ,︒=∠120APC ,直接写出PC 的长.检测1、在平面内,先将一个多边形以点O 为位似中心放大或缩小,使所得多边形与原多边形对应线段的比为k ,并且原多边形上的任一点P,它的对应点'P 在线段OP 或其延长线上；接着将所得多边形以点O 为旋转中心,逆时针旋转一个角度θ,这种经过和旋转的图形变换叫做旋转相似变换,记为),(θk O ,其中点O 叫做旋转相似中心,k 叫做相似比,θ叫做旋转角.(1)填空:(1)如图1,将ABC ∆以点A 为旋转相似中心,放大为原来的2倍,再逆时针旋转︒60,得到ADE ∆,这个旋转相似变换记为A(_____，_____）；(2)如图2,ABC ∆是边长为cm 1的等边三角形,将它作旋转相似变换)90,3(︒A ,得到ADE ∆,则线段BD 的长为_______cm ；(2)如图3,分别以锐角三角形ABC 的三边AB,BC,CA 为边向外作正方形ADEB,BFGC,CHIA,点1O ,2O ,3O 分别是这三个正方形的对角线交点,试分别利用31O AO ∆与ABI ∆,CBI ∆与2CAO ∆之间的关系,运用旋转相似变换的知识说明线段31O O 与2AO 之间的关系.检测2、点B ，C ，E 在同一直线上，点A ，D 在直线CE 同侧，AB=AC ，EC=ED ，∠BAC=∠CED=70°，直线AE ，BD 交于点F ．（1）如图（1），求证：△BCD ∽△ACE ，并求∠AFB 的度数；（2）如图（1）中的△ABC 绕点C 旋转一定角度，得图（2），求∠AFB 的度数；（3）拓展：如图（3），矩形ABCD 和矩形DEFG 中，AB=1，AD=ED=3，DG=3，直线AG ，BF 交于点H ，请直接写出∠AHB 的度数．【综合训练】1、如图，已知在矩形ABCD 中，AB=2，BC=6，点E 从点D 出发，沿DA 方向以每秒1个单位的速度向点A 运动，点F 从点B 出发，沿射线AB 以每秒3个单位的速度运动，当点E 运动到点A 时，E 、F 两点停止运动．连结BD ，过点E 作EH ⊥BD ，垂足为H ，连结EF ，交BD 于点G ，交BC 于点M ，连结CF ．给出下列结论：①△CDE ∽△CBF ；②∠DBC=∠EFC ；③EHHGAB DE；④GH 的值为定值510；⑤若GM=3EG ，则tan ∠FGB=43. 上述结论中正确的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.52、问题背景：已知在ABC∆中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），点E与点D同时出发，由点C沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连结DE交AC于点F，点H是线段AF上一点。

（1）【初步尝试】：如图1，若ABCDH⊥，且点D，E的运动速度相等，∆是等边三角形，AC求证：CF=。

AHHF+小王同学发现可以由以下两种思路解决此问题。

思路一：过点D作BCGF=，从而证得结论成GH=，再证CFDG//，交AC于点G，先证AH立。

思路二：过点E作ACCM=，再证MFEM⊥，交AC的延长线于点M，先证AHHF=，从而证得结论成立。

请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）。

（2）【类比探究】：如图2，若在ABC ∆中，︒=∠90ABC ，︒=∠=∠30BAC ADH ，且点D ，E 的运动速度之比是1:3，求HFAC 的值。