陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 正弦定理的变形应用典型例题素材 北师大版必修5
高中数学 第二章 应用举例1典型例题素材 北师大版必修5
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 应用举例1典型例题素材北师大版必修51、某人在草地上散步，看到他西南有两根相距6米的标杆，当他向正北方向步行3分钟后，看到一根标杆在其南方向上，另一根标杆在其南偏西︒30方向上，求此人步行的速度．解：如图所示，A 、B 两点的距离为6米，当此人沿正北方向走到C 点时，测得∠BCO =︒45，∠ACO =︒30，∴∠BCA =∠BCO－∠ACO =︒45－︒30=︒15．由题意，知∠BAC =︒120，∠ABC =︒45．在△ABC 中，由正弦定理，得：ABC AC ∠sin =BCAAB ∠sin ， 即有AC = BCA ABC AB ∠∠⋅sin sin =︒︒⨯15sin 45sin 6=36＋6． 在直角三角形AOC 中，有：OC = AC·cos ︒30= (36＋6)×23= 9＋33． 设步行速度为x 米/分，则x =3339+= 3＋3≈4.7． 即此人步行的速度为4.7米/分．2、某海轮以30海里/小时的速度航行，在A 点测得海面上油井P 在南偏东︒60，向北航行40分钟后到达B 点，测得油井P 在南偏东︒30，海轮改为北偏东︒60的航向再行驶80分钟到达C 点，求P 、C 间的距离．解：如图，在△ABP 中，AB = 30×6040= 20， ∠APB =︒30，∠BAP =︒120， 由正弦定理，得：BPA AB ∠sin =BAP BP ∠sin ，即2120=23BP ，解得BP =320． 在△BPC 中，BC = 30×6080= 40， 由已知∠PBC =︒90，∴PC =22BC PB +=2220)320(+=720 (海里)．所以P 、C 间的距离为720海里．3、已知ABC △的周长为1，且sin sin sin A B C +=．⑴求边AB 的长；⑵若ABC △的面积为1sin 6C ，求角C 的度数．解：⑴由题意及正弦定理，得1AB BC AC ++=，BC AC +=，两式相减，得1AB =．⑵由ABC △的面积11sin sin 26BC AC C C =，得13BC AC =， 由余弦定理，得222cos 2AC BC AB C AC BC +-= 22()2122AC BC AC BC AB AC BC +--==，所以60C =．4.某人在M 汽车站的北偏西20︒的方向上的A 处，观察到点C 处有一辆汽车沿公路向M 站行驶。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 解三角形的实际应用举例课件 北师大版必修
与（所C（）求，北2根偏）据西题4有意6°画一5出3‘示长意图为，并1正0确（米运D用）的正南弦偏斜定西理4坡和6°余，53' 它的倾斜角为，在不改变坡高和
坡顶的前提下，通过加长坡面的方法，将它的倾斜角改为，则 （C） 北偏西 46°53‘
（D） 南偏西46°53'
从地平面A、B、C 三点测得某山顶的仰角均为 15°，设∠BAC=30°,而BC=200 m.
总结提升
(1)解决实际应用问题的关键思想方法是把实际问题转化为 数学问题，即数学建模思想。
C1
D1
C
D
A
BC1
C1D1 sin D1 sin B
12sin120 sin15
1826 6
2 A 1B2BC 1186328.392
A B A 1 B A A 1 2 8 . 3 9 1 . 5 2 9 . 8 9 ( m )
答：烟囱的高为 29.89m.
试一试：
如图所示,在加工缝纫机挑线杆时，需要计算A，C两孔中心 的距离，已知BC=60.5 mm, AB=15.8mm ,∠ABC=80°,则 AC= mm（结果精确到 0.01 mm）
求BC的长，由于已知ABC
的两边和它们的夹角，所以可 根据余弦定理求出BC。
60
A
620'
解：由余弦定理，得
1.95m
B
B 2 C A 2 B A 2 C 2 A A B cC A os
1.9521.40221.951.40co6s62'0
3.571
BC1.8(9m)
答：顶杠BC长约为1.89m.
10 3
（2）例题中涉及一个怎样的三角
）如图，在200 m 高的山顶A处，测得山下一塔顶C3） 与所求，根据题意画出示意图，并正确运用正弦定理和余
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 余弦定理教案1 北师大版必修5
1.2余弦定理教学目标1．知识与技能:掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题。
2.过程与方法:利用向量的数量积推出余弦定理及其推论，并通过实践演算掌握运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题，3．情态与价值：培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；通过三角函数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。
教学重点：余弦定理的发现和证明过程及其基本应用；教学难点：勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。
学法：首先研究把已知两边及其夹角判定三角形全等的方法进行量化，也就是研究如何从已知的两边和它们的夹角计算出三角形的另一边和两个角的问题，利用向量的数量积比较容易地证明了余弦定理。
从而利用余弦定理的第二种形式由已知三角形的三边确定三角形的角 教学设想[创设情景] C如图1．1-4，在∆ABC 中，设BC=a,AC=b,AB=c,已知a,b 和∠C ，求边c b aA c B[探索研究] (图1．1-4)联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因A 、B 均未知，所以较难求边c 。
由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。
A如图1．1-5，设CB a =，CA b =，AB c =，那么c a b =-，则b cC a B()()222 2 2c c c a b a ba ab b a b a b a b=⋅=--=⋅+⋅-⋅=+-⋅ (图1．1-5) 从而 2222cos c a b ab C =+-同理可证 2222cos a b c bc A =+-2222cos b a c ac B =+- 余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。
即2222cos c a b ab C =+- 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+-思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222cos 2+-=b a c C ba[理解定理]从而知余弦定理及其推论的基本作用为：①已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；②已知三角形的三条边就可以求出其它角。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 三角形中的几何计算课件 北师大版必修
P56 习题2-2 A组 ： 2
A a2=b2+c2－2bccosA
17 2x 例3 锐角三角形中，边a、b是方程
C
2x
D
例3 锐角三角形中，边a、b是B 方程 2 C A 2 B A 2 C 2 A A B cC A os
例3 锐角三角形中，边a、b是方程 x22 3x20
的两根，角A、B满足 2sinAB30.
作匀速直线滚动.
例1 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，
计算角C和边c的长度及△ABC的面积。
a2=b2+c2－2bccosA 在△ABD中，由余弦定理可得
B
例1 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，
x 又∵△ABC为锐角三角形
4 2 ∵边a、b是方程
的两根
（在其△中 AB：DR中为，△由A余B弦C的定外理接可圆得半径）45°
1
1
1
P56 习题2-2 A组 ： 2
S bsciA n csaiB n asb iC n 又∵△ABC为锐角三角形 ABC 2 2 2 c2 =a2+ b2－2abcosC
a2=b2+c2－2bccosA
a2=b2+c2－2bccosA
c2 =a2+ b2－2abcosC
∵边a、b是方程
的两根
P56 习题2-2 A组 ： 2
作匀速直线滚动.
例1 如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=5，
b2= a2+c2－2accosB
三角形面积公式： a2=b2+c2－2bccosA
P56 习题2-2 A组 ： 2
在△ABC中，由正弦定理可得
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 应用举例2典型
应用举例利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：一、测量问题例1、如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A 、B 两点，望对岸标记物C ，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm ，求河的宽度．分析：求河的宽度，就是求△ABC 在AB 边上的高，而在河的一边，已测出AB 长、∠CAB、∠CBA，这个三角形可确定． 解析：由正弦定理得sin sin AC AB CBA ACB =∠∠，∴AC=AB=120m， 又∵11sin 22ABC S AB AC CAB AB CD =⋅∠=⋅V ，解得CD=60m ． 点评：虽然此题计算简单，但是意义重大，属于“不过河求河宽问题”．二、遇险问题例2、某舰艇测得灯塔在它的东15°北的方向，此舰艇以30海里/小时的速度向正东前进，30分钟后又测得灯塔在它的东30°北．若此灯塔周围10海里内有暗礁，问此舰艇继续向东航行有无触礁的危险？解析：如图舰艇在A 点处观测到灯塔S 在东15°北的方向上；舰艇航行半小时后到达B 点，测得S 在东30°北的方向上． 在△ABC 中，可知AB=30×0．5=15，∠ABS=150°，∠ASB=15°，由正弦定理得BS=AB=15，过点S 作SC⊥直线AB ，垂足为C ，则SC=15sin30°=7．5．这表明航线离灯塔的距离为7．5海里，而灯塔周围10海里内有暗礁，故继续航行有触礁的危险．点评：有关斜三角形的实际问题，其解题的一般步骤是：（1）准确理解题意，分清已知与所求，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；（2）画出示意图，并将已知条件在图形中标出；（3）分析与所研究问题有关的一个或几个三角形，通过合理运用正弦定理和余弦定理求解．三、追击问题例3、如图3，甲船在A 处，乙船在A 处的南偏东45°方向，距A 有9n mile 并以20n mile/h 的速度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h 的速度航行，应沿什么方向，用多少h 能尽快追上乙船？解析：设用t h ，甲船能追上乙船，且在C 处相遇．在△ABC 中，AC=28t ，BC=20t ，AB=9，设∠ABC=α，∠BAC=β．∴α=180°－45°－15°=120°．根据余弦定理2222cos AC AB BC AB BC α=+-⋅， ()()2212881202920()2t t t =+-⨯⨯⨯-，212860270t t --=，（4t －3）（32t+9）=0， 解得t=34，t=932（舍）∴AC=28×34=21 n mile ，BC=20×34=15 n mile ． 根据正弦定理，得315sin 532sin 2114BC AC αβ===为锐角，β=arcsin 5314，又5314＜7214＜22，∴arcs in 5314＜4π，∴甲船沿南偏东4π－arcsin 5314的方向用34h 可以追上乙船． 点评：航海问题常涉及到解三角形的知识，本题中的 ∠ABC、AB 边已知，另两边未知，但他们都是航行的距离，由于两船的航行速度已知，所以，这两边均与时间t 有关．这样根据余弦定理，可列出关于t 的一元二次方程，解出t 的值．四、最值问题 例4、某工厂生产主要产品后，留下大量中心角为︒60，半径为a 的扇形边角料，现要废物利用，从中剪裁下巨型毛坯，要求矩形面积尽可能大，请问如何裁剪？分析：从实际出发，尽可能使面积最大，有两种裁剪方法．一种是使矩形的一边落在扇形的半径上，另一种是使矩形的两顶点分别在扇形的两条半径上，分别计算出这两种情况下的最大值，再比较结果的出最佳方案．解：方案一，如图1，矩形有两个顶点在半径OA 上，设∠AOP =θ，则PM = a·sin θ，∵扇形中心角为︒60，∴∠PQO =︒120，由正弦定理，得：︒120sin OP =)60sin(θ-︒PQ ， 即PQ =32·a·sin（︒60－θ），∴矩形的MPQR 的面积为：S 1=PM·PQ =32·a 2·sin θ·sin （︒60－θ） O =31·a 2[cos （θ2－︒60）－cos ︒60]≤31·a 2·（1－21） =63a 2， 当θ=︒30时，cos （θ2－︒60） = 1，S 1取得最大值63a 2．方案二，如图2，矩形有两个顶点分别在扇形的两条半径OA 、OB 上，设∠AOM =θ，∠MRA =21×︒60=︒30，∠MRO =︒150，由正弦定理，得：θsin RM =︒150sin a ， 即RM = 2a·sin θ， 又)30sin(θ-︒OR =︒150sin a ，∴OR = 2a·sin（︒30－θ），∴矩形的MPQR 的面积为： S 2= MR·PQ = 4a 2·sin θ·sin（︒30－θ） = 2a 2·[cos（θ2－︒30）－cos ︒30] ≤2a 2·（1－23） = （2－3）a 2． 即在此情况下，∠AOM =θ=︒15时，可求出M 点，然后作出MPQR 面积为最大．由于S 1－S 2=63a 2－（2－3）a 2=62a （37－12）＞0，所以第一种方案能使裁出的矩形面积最大，即∠AOP =θ=︒30，使P 取在AB 弧中点，分别向扇形的一条半径作垂线及平行线得到矩形MPQR ，即为最大矩形．。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 三角形中的几何计算及实际应用举例考点例析素材 北师大版必修5
三角形中的几何计算及实际应用举例【典型例题】考点一：三角形中的几何计算例1. 设D 是直角三角形ABC 的斜边BC 上的一点，AB=AD ，βα=∠=∠ABC ,CAD 。
（1）求证：sin cos 20αβ+=，（2）若3,AC DC =求β的值。
思路分析：（1）由已知找出α与2β的关系，即22παβ=-，即可证明。
（2）由正弦定理得到关于sin β的方程即可。
解：（1）由AB=AD ,ADB ABC ADB ACB βα⇒∠=∠=∠=+∠,,222ACB ACB ACB ππβαβαββ∴=+∠+∠=∠=-又故：=-.sin sin(2)cos 22παββ∴=-=-①（2）由正弦定理得：3sin 3sin sin sin()DC AC DCβααπβ==⇒=-sin 3αβ⇒=将此式代入①得：2cos 2(12sin )3βββ=-=--②将②整理得：23323sin 30sin sin 232πβββββ--=⇒==-p p 舍），又0，又20π<β< 故3πβ=。
即所求的角是3π例2. 设P 是正方形ABCD 内一点，P 到A 、B 、C 的距离分别是1，2，3，求正方形ABCD 的边长思路分析：设正方形的边长为x ，根据角ABP 与角CBP 互余，可知其余弦的平方和是1，建立关于x 的方程，再求解。
解：设边长是x ，（1<x<3）， ABP α∠=，则CBP ∠=90°－α在三角形ABP 中：由余弦定理得：2222213cos 44x x ABP x x +-+∠==，同理在△CBP 中：25cos 4x CBP x -∠= ，90ABP CBP ∠+∠=由得：90°得：22cos cos 1ABP CBP ∠+∠=即有：222235()()144x x x x+-+= （*）解*522+说明：使用正弦定理或余弦定理或相关的知识点解决几何问题，首先要在已知的图形中构造三角形（已有三角形，不需构造），能构造特殊三角形的尽可能地构造特殊的三角形。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学北师大版必修二教案：第二章
直线的倾斜角和斜率【教学目标】（1）知识目标①让学生经历倾斜角这个反映倾斜程度的几何量的形成过程，能自然理解倾斜角的概念.②通过对坡角、坡度概念回顾，经过教学使学生能把此知识迁移到直线的斜率中，并理解斜率的定义.③经历用代数方法刻画直线斜率的过程，使学生初步掌握过已知两点的直线的斜率坐标公式.（2）能力目标①通过直线的倾斜角概念学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索、和抽象概括能力，运用数学语言的表达能力，数学交流与评价能力.②通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，渗透辩证唯物主义思想，渗透几何问题代数化的解析几何研究思想. （3）情感目标：①通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位.②通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力，培养学生的数学意识和科学精神.【教学重点】①直线倾斜角与斜率概念；②推导并掌握过两点的直线斜率公式；③体会数形结合及分类讨论思想的应用.【教学难点】斜率概念的学习和过两点斜率公式的建立过程.【教法、学法指导】教师启发引导与学生自主探索相结合.1．本节课的教学任务有两大项：倾斜角的概念、斜率的概念．学生思维也对应两个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切.相应的教学过程也有两个阶段：①在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念.②本节的难点是对斜率概念的理解。
学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不是这样.还有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率？要解决这些问题，可引导学生联想工程问题中的“坡度”问题，以及三角函数的定义.2．本节内容在教学中采用启发式探究教学，设计为启发、引导、探究、归纳总结的教学模式。
学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、小结．倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切，这两项教学任务都是在讨论、交流、归纳中完成的.在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 解三角形余弦定理知识小结和题型讲解素材 北师大版必修5
解三角形余弦定理知识小结和题型讲解本节重点：在运用余弦定理的计算要准确，同时合理运用余弦定理的变形公式.一．余弦定理基础知识1. 余弦定理定理公式⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧-+=-+=-+=⇒⎪⎩⎪⎨⎧-+==+=-+==ba cb a C ac b c a B bc a c b A C c b a c B a c a b A b c b a 2cos 2cos 2cos cos 2cos 2cos 2222222222222222222余弦定理2. 余弦定理的基本题型(1) 已知两边及其夹角，求第三边和其他两角，其解法是先用余弦定理求第三边，再用余弦定理的变形（或正弦定理）求另一角（只有唯一的解）(2) 已知三边，求各角，其解法是利用余弦定理的变形求三个角，当求出一个角后也可使用正弦定理求另外的角.（只有唯一解）(3) 在ABC ∆中，已知A b a 、、，由余弦定理A b c b a cos 2222-+=，变式为：0cos 2222=-+-a b A b c ，这是一个关于c 的一元二次方程（可能有两解，需讨论）. ○1若方程0cos 2222=-+-a b A b c 有两不相等的实数根21c c ，，且 （I ）0021>>c c ，,则此三角形有两解；（II ）0021≤>c c ，，则此三角形有一解；（III ）0021≤≤c c ，，则此三角形无解.○2若方程0cos 2222=-+-a b A b c 有两个相等的实数根21c c =，且 （I ）021>=c c ，则此三角形有一个解；（II ）021≤=c c ，则此三角形无解.3.三角形中三内角的三角函数关系)(π=++C B A○1).tan(tan ),cos(cos ),sin(sin C B A C B A C B A +-=+-=+=（注：二倍角的关系） ○2).2cot(2tan ),2sin(2cos ),2cos(2sin C B A C B A C B A +=+=+= ○32cos 2cos 2cos 4sin sin sin C B A C B A =++；C B A C B A tan tan tan tan tan tan =++ ○4C B A C B A sin sin sin 22sin 2sin 2sin =++ C B A C B A cos cos cos 412cos 2cos 2cos --=++○5)cos cos cos 1(2sin sin sin 222C B A C B A +=++ C B A C B A cos cos cos 21cos cos cos 222-=++4.三角形中的角所满足的常用三角不等式○1锐角ABC ∆中，有1cos cos cos sin sin sin >++>++C B A C B A 33tan tan tan tan tan tan ≥=++C B A C B A （正三角形时取等号）B A B AC sin sin )sin(sin +<+=○2233sin sin sin ≤++C B A ，23cos cos cos ≤++C B A ○3⎪⎩⎪⎨⎧=<>++（直角三角形）钝角三角形）锐角三角形）2(2(2sin sin sin 222C B A ，⎪⎩⎪⎨⎧<=>⋅钝角）（直角）锐角）(11(1tan tan βα 5.几个重要的结论○1B A B A B A cos cos ,sin sin <>⇔>； ○2三内角成等差数列00120,60=+=⇔C A B ○3射影定理：B c C b a cos cos +=，C a A c b cos cos +=,A b B a c cos cos += 二．经典例题1.在ABC ∆中，已知7:5:3sin :sin :sin =C B A ，则这个三角形的最大角的外角2.在ABC ∆中，已知364=AB ，66cos =B ，AC 边上的中线5=BC ，求A sin 的值（用4种方法）3. 在ABC ∆中，若3,4==c b ，BC 边上的中线237=m ，求ABC S a A ∆,,. 4.三角形形状的判定问题（1）在ABC ∆中，B b A a cos cos =，试确定此三角形形状（2）在ABC ∆中，若C B bc B c C b cos cos 2sin sin 2222=+，试判断三角形的形状.（3）在ABC ∆中，若C c B b A a cos cos cos =+，则ABC ∆的形状是（4）5. 在ABC ∆中，已知C B A >>,且8,4,2=+==c a b C A ，求c a ,（516524==c a ，） 6. 在ABC ∆中，已知1sin sin 4=B B ，bc a c b =-+222，且C B >，求C B A 、、7. 已知ABC ∆的周长为12+，且C B A sin 2sin sin =+.求 （1）求边AB 的长；（2）若ABC ∆的面积为C sin 61，求角C 的度数。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 解三角形课件 北师大版必修5
练习 一、选择题：
1、在ＡＢＣ中，AC= 3, A 45 , C 75 ,则BC A
A. 2 , B. 3, C.2，D. 5
2.在ABC中，A 60 ，a 6,b 3,则ABC解得情况是A
A.无解，B.有一解，C.有两解，D.不能确定.
３.ＡＢＣ中，a,b,c分别为A、B、C的对边，
如果a、b、c成等差数列，B=30 ，ABC的面积
为
3 2
，那么b等于 B
A.1 3 , B.1 3, C. 2 3 , D.2 3
2
2
第九页，编辑于星期日：二十一点 三十七分。
4.在ABC中，若 a b c ,则ABC是 B
conA conB conC
A.直角三角形，
B.等边三角形，
等边三角形
10.在ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，tan C 3 7
（1）求 cos C
（2）若CA • CB 5 ，且a b 9，求c 2
(1) cos C 1 8
（2）c=6
第十二页，编辑于星期日：二十一点 三十七分。
11. 在ABC中，已知A、B、C所对的边分别是a、b、c，边c 7 ， 2
６， ６
70
ＡＣ边上的中线ＢＤ＝ ５，则sinＡ的值为
14
8.在ABC中，a、b、c分别是A、B、C的对边
长.已知a、b、c成等比数列，且a2 c2 ac bc, 则
bsinB 的值为 c
3 2
第十一页，编辑于星期日：二十一点 三十七分。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ、解答题：
9. 在ABC中，已知（a b c)(a b c) 3ab, 且2 cos Asin B sin C, 试确定ABC的形状
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 三角形中的几何计算教案2 北师大版必修5
2.2 三角形中的几何计算教学目的：1. 能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。
2. 通过对全章知识的总结提高，帮助学生系统深入地掌握本章知识及典型问题的解决方法。
教学重点、难点：1。
重点：解斜三角形问题的实际应用；全章知识点的总结归纳。
2。
难点：如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。
教学过程：例题讲解：例1. 在△ABC中，已知3,2,45,a b B===o求边c。
解析：解法1（用正弦定理）ΘaAbB sin sin=∴==⨯=sinsin sinAa Bb345232ο又Θοοb a B A A<∴<∴=，，或60120当A ＝60°时，C ＝75° ∴===+c b C B sin sin sin sin 27545622οο当A ＝120°时，C ＝15°∴===-c b C B sin sin sin sin 21545622οο 解法二：Θb a c ac B 2222=+-cos ∴=+-2323452c c cos ο即c c 2610-+= 解之，得c =±622点评：此类问题求解需要注意解的个数的讨论，比较上述两种解法，解法2较简单。
例2. 在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状。
解析：解法一由正弦定理，得2sin sin sin B A C =+∵B ＝60°，∴A+C ＝120°A ＝120°－C ，代入上式，得260120sin sin()sin οο=-+C C展开，整理得： 32121sin cos C C +=∴+=∴+=sin()C C 3013090οοο，∴C ＝60°，故A ＝60°∴△ABC 为正三角形解法二由余弦定理，得b a c ac B 2222=+-cos ΘοB b a c ==+602， ∴+=+-()cos a c a c ac 2260222ο整理，得()a c a c -=∴=20， 从而a ＝b ＝c∴△ABC 为正三角形 点评：在边角混合条件下判断三角形形状时，可考虑利用边化角，从角的关系判断，也可考虑角化边，从边的关系判断。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 余弦定理教案2 北师大版必修5
余弦定理教学目的：要求学生掌握余弦定理及其证明，并能应用余弦定理解斜三角形 教学重点：余弦定理的证明及其基本应用 教学难点：理解余弦定理的作用及其适用范围 教学过程： 问题提出：在三角形中，已知两角及一边，或已知两边和其中一边的对角，可以用利用正弦定理求其他的边和角，那么，已知两边及其夹角，怎么求出此角的对边呢？已知三边，又怎么求出它的三个角呢？ 分析理解：1．余弦定理的向量证明：设△ABC 三边长分别为a, b, c AC =AB +BCAC •AC =(AB +BC )•(AB +BC )=AB 2+2AB •BC +BC 2=)180cos(||||2||02B BC AB AB -+22cos 2a B ac c +-=即：Bac c a b cos 2222-+=同理可得：A bc c b a cos 2222-+=C ab b a c cos 2222-+=2．语言叙述：三角形任何一边的平方等于其它两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
3．强调几个问题：1熟悉定理的结构，注意“平方”“夹角”“余弦”等 2知三求一 3当夹角为90时，即三角形为直角三角形时即为勾股定理（特例）cbaBA4变形：bc a c b A 2cos 222-+= acb c a B 2cos 222-+=acc b a C 2cos 222-+=余弦定理的应用能解决的问题：1．已知三边求角 2．已知三边和它们的夹角求第三边例1、如图，有两条直线AB 和CD 相交成080，交点是O ，甲、乙两人同时从点O 分别沿OC OA ,方向出发，速度分别是h km h km /5.4,/4，3小时后两人相距多远（结果精确到km 1.0）分析：经过3时后，甲到达点P ，km OP 1234=⨯=，乙到达点Q ，km OQ 5.1335.4=⨯= 问题转化为在OPQ ∆中，已知km OP 12=，km OQ 5.13=，080=∠POQ ，求PQ 的长解：经过3时后，甲到达点P ，km OP 1234=⨯=，乙到达点Q ，km OQ 5.1335.4=⨯= 依余弦定理有POQ OQ OP OQ OP PQ ∠⋅-+=cos 22202280cos 5.131225.1312⨯⨯⨯-+= )(4.16km ≈ 答：3时后两人相距约为km 4.16例2：如图是公元前约400年古希腊数学家泰特托期用来构造无理数2，3，5，……的图形，试计算图中线段BD 的长度及DAB ∠的大小（长度精确到1.0，角度精确到01）解：在BCD ∆中，0135,1,1=∠==BCD CD BC 因为 BCD CD BC CD BC BD ∠⨯-+=cos 2222 22135cos 11211022+=⨯⨯⨯-+= 所以 8.1≈BD在ABD ∆中，3,22,1=+==AD BD AB800QPDCBAo32111DCBA因为 1691.0312)22()3(12cos 22222≈⨯⨯+-+=⨯-+=∠AD AB BD AD AB DAB所以 080≈∠DAB 思考交流：你还能用其他方法求线段BD 的长度及DAB ∠的大小吗？（用解直角三角形的方法及三角函数知识加以解决）课堂小结：余弦定理及其应用 课堂作业：1、若△ABC 的三个内角满足sin :sin :sin 5:11:13A B C =，则△ABC （A ）一定是锐角三角形. （B ）一定是直角三角形.（C ）一定是钝角三角形. (D)可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形. 解析：由sin :sin :sin 5:11:13A B C =及正弦定理得a:b:c=5:11:13由余弦定理得0115213115cos 222<⨯⨯-+=c ，所以角C 为钝角 2、（2010江西理数）E ，F 是等腰直角△ABC 斜边AB 上的三等分点，则tan ECF ∠=（ D ）A.2716 B.32 C.33 D.43【解析】考查三角函数的计算、解析化应用意识。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 平面向量应用易错辨析素材 北师大版必修4.doc
平面向量应用易错辩析运用向量知识解题常可收到化繁为简、化难为易的神奇功效，随着新教材的逐步实施, 它已成为高考数学的新宠。
但学生在初学这部分内容时，往往会出现这样或那样的错误，现列举几种常见错误，以期起到防患于未然的作用。
一、忽略共线向量致误例1、己知同一平面上的向量U .b.c两两所成的角相等，并且I U 1= 1,1 2,1】1= 3 ,求向量a + h + c的长度。
错解：易知U、b.［皆为非零向量，设U、5、［所成的佑均为。
，则36 = 360°,即9 = 120",所以，Q，=I Q I・I/?I COS120° =—1 ,同理/八。
=一3, c・o = ——,由2一一一—2 一2 -* 2 —一一一一一一— _ _\a+b + c P= a +h +c +2。
・方 + 2/?・(? + 2。
•。
=3,故I。
+ /? + c、I = J3。
剖析：本例误以为。
、b c皆为非共线向量，而当向量。
、b。
共线且同向时，所成的角也相等均为0°,符合题意。
正解」(1)当向量U、M Z共线且同向时,所成的角均为0°,所以\a + b + c\=\a\ + \b\ + \c\=6；(2)当向量U、b. U不共线时,同错解.综上所述，向量a+ b + c的长度为6或K。
二、忽视两向量夹角的意义致误例2、正A48C的边长为1, S.BC = a, CA=b, AB = c ,求lU +云+】I的值。
错解：由于正AABC的边长为1,所以，£4 = /8 = /C = 60且1；1=伍1=1】1=1,所以，Q 3 =1 Q I • I 云I COsZC = L，同理可得/?•(? = — , C'Cl =—,2 2 2————2 —2 —2 ———————由+b 4- c +2。
，+ 2如。
+ 2。
2=6,故I。
+。
+(? I =把。
剖析：本题误以为打与云的央角为-BCA。
陕西省吴堡县吴堡中学高中数学 第二章 正弦定理教案2 北师大版必修5
正弦定理教学目的：⑴使学生掌握正弦定理 ⑵能应用解斜三角形，解决实际问题教学重点：正弦定理教学难点：正弦定理的正确理解和熟练运用 教学过程：设置情境 引出正弦定理师：已知ABC ∆为直角三角形，你能得到哪些边角关系？生1：在以AB 为斜边的直角三角形中，有222c b a =+，A c a sin =B c b sin =A b atan = 090=+B A 生2：还有C cB b A a c sin sin sin === 师：好！那么CcB b A a sin sin sin ==这个优美的关系式对等边三角形成立吗？对一般三角形还成立吗？这节课我们就来研究这一问题正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等， 即A a sin =B b sin =Ccsin =2R （R 为△ABC 外接圆半径） 1．直角三角形中：sinA=c a ，sinB=cb， sinC=1 即 c=A a sin ， c=B b sin ， c=C c sin ． ∴A a sin =B b sin =Ccsin 2．斜三角形中 证明一：（外接圆法）如图所示，∠Ａ＝∠Ｄ∴R CD DaA a 2sin sin ===同理 B b sin =2R ，Ccsin ＝2R证明二：（向量法）过A 作单位向量j r垂直于AC u u u r 由AC u u u r +CB u u u r =AB u u u r 两边同乘以单位向量j r 得 j r •(AC u u ur +CB u u u r )=j r •AB u u u r则j •AC +j •CB =j •ABa bcOCAD∴|j r|•|AC u u u r |cos90+|j r|•|CB u u u r |cos(90C)=| j r|•|AB u u u r |cos(90A)∴A c C a sin sin = ∴A a sin =Ccsin 同理，若过C 作j r 垂直于CB u u u r 得： Cc sin =Bbsin∴A a sin =B b sin =Ccsin 正弦定理的应用 从理论上正弦定理可解决两类问题： 1．两角和任意一边，求其它两边和一角；2．两边和其中一边对角，求另一边的对角，进而可求其它的边和角讲解范例：例1：某地出土一块类似三角形刀状的古代玉佩，其一角已破损，现测得如下数据：cm BC 57.2=，cm BD 38.4=，045=B 0120=C 。