第四章 随机变量的数字特征-2

第四章随机变量的数字特征

第二部分

1.已知随机变量的密度函数为，求的标准

化随机变量的密度函数。（例题、期望、方差、标准化）

分析：设为的标准化随机变量，则，因此求的密度

函数，必需先求出。

解：

所以，。

从而，。

当，有，此时，有分布函数

从而，，

于是，。

2.设与独立同分布，且服从，求。（例题、独立同

分布、正态分布、期望）

分析：如果令，由正态分布可加性，知道也服从正态分布，从而可以解决问题。

解：因与独立同分布，故服从正态分布，且

，，故，于是

3.设随机变量与独立同分布，都服从泊松分布，令，

，求与的相关系数。（例题、相关系数、独立同分布、泊松分布）

分析：要求相关系数，需要求得，及。

解：由于与独立同分布，故

；

；

；

所以，，于是

。

4.设供电公司在某指定时段的供电量（万）在上均匀分布，

而用户的需求量在上均匀分布。设公司每供电获利0.1元，若需求量超过供电量，则公司可从电网上取得附加电量来补充，每供电

获利0.05元。求该公司在这段时间内获利的数学期望。（例题，数学期望、电量供应）

分析：根据题意知，获利的多少与供电量和需求量都有关系，因此获利是供电量和需求量的函数，可以断定这是一个二维随机变量函数的数学期望的问题。

解：由于独立，可知的联合密度为

，

利润函数为因此，平均利润为

。下面我们确定有效的积分区域，有

效的积分区域应该使得，所以得到如下的图形：

图中阴影部分为有效的积分区域，表示，表示，所以

该公司在这段时间内平均获利约1.7万元。

5.因为随即变量的期望定义为或者，因

此，期望存在就等价于级数或者收敛。

（基本概念、期望）

答：不正确。

期望的定义首先要求或者绝对收敛，即

要求或者收敛。

为什么要求绝对收敛呢？这是因为随即变量取是随机的，不是按照一定的顺序取值的。而期望存在，则要求是唯一的，这就要求期望不会因为取值的顺序而发生变化，即要求级数求和是可以重排的。要满足这个条件等价于要求级数是绝对收敛的。

6.判断下面的解法是否正确。设随即变量的分布律为

，，求。解答如下：

。（例题、期望）

答：不正确。

因为，即不绝对收敛，故不存在。

7. 随机变量

的方差

反映了

的波动状态，方差小则波动小，方差大

则波动大。（基本概念、方差）。 答：是：

什么是波动状态，我们举例说明。

例子：对两个班某次数学考试成绩进行抽样检查，每班各抽10人，成绩分别为

容易算出两个标本的平均成绩都是70分，即 。就平均成绩而言，两个组的成绩是一样好，但实际上，我饿每年还是认为甲组成绩比乙组要好些，因为乙组成绩波动得比较大。可以用个人成绩减去平均成绩来反应偏离的程度，为了避免符号带来的麻烦，通常使用平方来描述，比如说： 。那么，总体的平均偏离程度就可以为 。为什

么方差能够衡量随机变量的波动状态？这可以使用切比雪夫不等式获得证明。事实上，由切比雪夫不等式 可知，对于给定的，当

小时，上式左边就更小，左边小就说明 落在

附近的可能性大，

集中落在

的一个很小领域内就说明 取值的波动小。 8. 随机变量

的期望

存在，则方差

一定存在。（概念、方差与期望

的关系）

答：不是。我们可以举一个反例来验证。

设 的联合密度为 ， ，

，

，由于被积函数是奇函数，

所以

，同理，可知

。

但是，

都不存在。事实上，

同理，可得。

9.随机变量的期望不存在，则方差一定不存在。（概念、期望、方差）

答：正确。

由方差的定义，可知若不存在，当然也不存在。下面举一个期望与方差都不存在的一个例子――柯西（cauchy）分布。

设的密度函数为。由于

，（当）,

所以不存在，从而也不存在

10.随机变量的方差存在，则期望一定存在。（概念、期望、方差）

答：正确。

由方差的定义知道，若期望存在则方差一定存在，而问题中的提法正好是这个结论的逆否命题，所以成立。

11.随机变量的方差一定非负，即。（概念、方差、非负性）

答：正确。我们下面分别对离散型和连续型变量进行证明。

对于离散型变量，，其中

，又，从而知离散型随机变量的方差是非负的。

对于连续型，，其中密度

函数是非负的，又，故。

12.若随机变量的方差存在，则成立。（概念、方差）

答：正确。根据方差和期望的定义，知道，所

以。

13.设随机变量的方差存在，则对任意的常数，有

，其中等号当且仅当时成立。（概念、方差）答：正确。下面给出证明：

当时，根据方差的定义，有。

当时，

因为。

又，

故

，显然，当，有，

于是。

14.设随机变量的方差存在，则的充要条件是存在常数，使

。（概念、方差）

答：是。证明如下：

必要性：设，由切比雪夫不等式知道，对任意的，有

，

又因为，根据概率的连续性，有

从而，，即存在

常数，使得。

充分性：若存在常数，使得，则知的分布律为。从

而知道，所以。从上面的证明

可知常数。

15.设随机变量，则。（概念、数学期望）

答：正确。下面给出连续型随机变量的证明。

对于二维连续型随机变量的函数，有联合密度函数

，我们有。由此，可知道

16.。（概念、数学期望）

答：正确。证明如下：

得证。