高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.2两条直线平行与垂直的判定课件新人教A版必修2
2019高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率第2课时两条直线平行与垂直的判定讲义含解析新人教A版
第课时两条直线平行与垂直的判定[核心必知]．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材～，回答下列问题：()观察教材图－，设对于两条不重合的直线与，其倾斜角分别为α与α，斜率分别为、，若∥，α与α之间有什么关系？与之间有什么关系？α之间的关系为与α提示：α＝α≠°＝时，＝，因为α；对于与之间的关系，当ααα，所以＝＝，即＝αα时，、不存在．＝.α°当α＝()观察教材图－，设直线与的倾斜角分别为α与α，斜率分别为、，且α<α，若⊥，α与α之间有什么关系？为什么？＝αα提示：°任意一外角等于不相邻两内角之和．，因为三角形＋．归纳总结，核心必记()两直线平行的判定①对于两条不重合的直线，，其斜率分别为，，有＝.∥⇔②若直线和可能重合时，我们得到＝∥⇔或与重合．若直线和的斜率都不存在，且不重合时，得到③.∥()两直线垂直的判定如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于①－；反之，如果，即它们的斜率之积等于－，那么它们垂直⊥⇔.＝－②若两条直线中的一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为时，它们互相垂直．[问题思考]()若两条直线平行，斜率一定相等吗？提示：不一定，垂直于轴的两条直线，虽然平行，但斜率不存在．()若两条直线垂直，它们的斜率之积一定为－吗？提示：不一定，如果两条直线，中的一条与轴平行(或重合)，另一条与轴垂直(也即与轴平行或重合)，即两条直线中一条的倾斜角为°，另一条的倾斜角为°，从而一条直线的斜率为，另一条直线的斜率不存在，但这两条直线互相垂直．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．()怎样判定两条直线平行？；()怎样判断两条直线垂直？.[思考] 对两直线平行与斜率的关系要注意哪几点？名师指津：对两直线平行与斜率的关系要注意以下几点：()∥⇔＝成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②与不重合．()当两条直线不重合且斜率都不存在时，与的倾斜角都是°，则∥.()两条不重合直线平行的判定的一般结论是：∥⇔＝或，斜率都不存在．讲一讲．根据下列给定的条件，判断直线与直线的位置关系．()经过点()，(－)，经过点(，－)，(，－)；()的倾斜角为°，经过点()，(－，－)．[尝试解答] ()由题意知＝＝－，＝＝－.因为＝，且，，，四点不共线，所以∥.()由题意知＝°＝，＝＝.因为＝，所以∥或与重合．判断两条直线是否平行的步骤练一练．试确定的值，使过点(＋)，(－，)的直线与过点(－)，()的直线平行．解：由题意直线的斜率存在，则与其平行的直线的斜率也存在．＝＝，＝＝，由于∥，所以＝，即＝，得＝－.经验证＝－时直线的斜率存在，所以＝－.名师指津：对两直线垂直与斜率的关系要注意以下几点：()⊥⇔·＝－成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存在；②≠且≠.()两条直线中，一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零，则两条直线垂直．()判定两条直线垂直的一般结论为：⊥⇔·＝－或一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率等于零．讲一讲．已知直线经过点(，)，(－，－)，直线经过点()，(－，－)，如果⊥，求的值．[尝试解答] 设直线，的斜率分别为，.∵直线经过点()，(－，－)，且≠－，∴的斜率存在．当＝时，－＝，则＝，此时不存在，符合题意．当≠时，即≠，此时≠，由·＝－，得·＝－，解得＝－.综上可知，的值为或－.()一看：就是看所给两点的横坐标是否相等，若相等，则直线的斜率不存在只需看另一条直线的两点的纵坐标是否相等，若相等，则垂直，若不相等，则进行第二步．()二代：就是将点的坐标代入斜率公式．()三求：计算斜率的值，进行判断．尤其是点的坐标中含有参数时，应用斜率公式要对参数进行讨论．练一练．已知定点(－)，()，以、为直径作圆，与轴有交点，则交点的坐标是．解析：以线段为直径的圆与轴的交点为，则⊥.设()，则＝，＝，所以·＝－，得＝或，所以()或()．答案：()或()讲一讲．已知(－)，()，()，(－)四点，若顺次连接，，，四点，试判定图形的形状．(链接教材—例) [思路点拨] 画出图形，通过求四条边所在直线的斜率，分析它们之间的关系判断图形形状．[尝试解答] 由题意知，，，四点在坐标平面内的位置，如图所示，由斜率公式可得＝＝，＝＝，＝＝－，＝＝－.所以＝，由图可知与不重合，所以∥.由≠，所以与不平行．又因为·＝×(－)＝－，所以⊥，故四边形为直角梯形．利用两条直线平行或垂直判定图形形状的步骤练一练．已知()，(－)，()，求点的坐标，使四边形为直角梯形(，，，按逆时针方向排列)．解：设所求点的坐标为(，)，如图，由于＝，＝，∴·＝≠－，即与不垂直，故，都不可作为直角梯形的直角腰．若是直角梯形的直角腰，则⊥，⊥.∵＝，＝，由于⊥，∴·＝－.①又∥，∴＝.②解①②两式可得(\\(＝()，＝().))此时与不平行．若为直角梯形的直角腰，则⊥，且∥.∵＝，∴的斜率不存在．故＝，又∥，则＝.故点坐标为()．综上可知，使四边形为直角梯形的点的坐标可以为()或.——————————[课堂归纳·感悟提升]—————————————．本节课的重点是理解两条直线平行或垂直的判定条件，会利用斜率判断两条直线平行或垂直，难点是利用斜率判断两条直线平行或垂直．．本节课要重点掌握的规律方法()判断两条直线平行的步骤，见讲.()利用斜率公式判断两条直线垂直的方法，见讲.()判断图形形状的方法步骤，见讲.．本节课的易错点是利用斜率判断含字母参数的两直线平行或垂直时，对字母分类讨论，如讲.课下能力提升(十六)[学业水平达标练]题组两条直线平行的判定及应用．若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是α、α，斜率分别为、，有下列命题：①若∥，则斜率＝；②若＝，则∥；③若∥，则倾斜角α＝α；④若α＝α，则∥.其中真命题的个数是( )．个．个．个．个解析：选①错，两直线不一定有斜率．．已知过(－，)和()的直线与斜率为－的直线平行，则的值是( )．－．．．解析：选由题意可知，＝＝－，所以＝－.．过点()和点(－)的直线与直线＝的位置关系为．解析：∵直线＝的斜率为＝，过()，(－)的直线的斜率＝＝, ∴两条直线平行．答案：平行．已知△中，()、(，－)，、分别为、的中点，则直线的斜率为．解析：∵、分别为、的中点，∴∥.∴＝＝＝－.答案：－题组两条直线垂直的判定及应用．(·淄博高一检测)直线，的斜率是方程－－＝的两根，则与的位置关系是( )．平行．重合．相交但不垂直．垂直解析：选设，的斜率分别为，，则·＝－.．若不同两点、的坐标分别为(，)，(－－)，则线段的垂直平分线的斜率为．解析：由两点的斜率公式可得：＝＝，所以线段的垂直平分线的斜率为－.答案：－．已知直线⊥，若直线的倾斜角为°，则直线的斜率为．解析：由题意可知直线的斜率＝°＝，设直线的斜率为，则·＝－，∴＝－.答案：－题组两条直线平行与垂直的综合应用．以(－)，(，－)，()为顶点的三角形是( )．锐角三角形．钝角三角形．以点为直角顶点的直角三角形．以点为直角顶点的直角三角形解析：选＝＝－，＝＝，∵·＝－，∴⊥，∴△是以点为直角顶点的直角三角形．．已知直线经过点(，)，(－)，直线经过点()，(－，＋)．()若∥，求的值．()若⊥，求的值．解：设直线的斜率为，则＝＝－.()若∥，则直线的斜率为＝，所以＝－，解得＝或＝，经检验当＝或＝时，∥. ()若⊥，①当＝时，此时＝，＝－，不符合题意；②当≠时，的斜率存在，＝，由·＝－得到×＝－，解得＝或＝－.．已知()，()，()，点满足⊥，且∥，试求点的坐标．解：设(，)，则＝＝，＝＝－，＝，＝.因为⊥，∥，所以·＝－，＝，即(\\(×(－)＝－，,(－)＝－().))解得(\\(＝，＝－.))即(，－)．[能力提升综合练]．下列说法正确的有( )①若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行；②若∥，则＝；③若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直；④若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．．个．个．个．个解析：选若＝，则这两条直线平行或重合，所以①错；当两条直线垂直于轴时，两条直线平行，但斜率不存在，所以②错；若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为时，才有这两条直线垂直，所以③错；④正确．．已知点(－，－)，()，点在轴上，且∠＝°，则点的坐标为( )．(，－) ．()．(，－)或() ．(－)或()解析：选由题意可设点的坐标为(，)．因为∠＝°，所以⊥，且直线与直线的斜率都存在．又＝，＝，·＝－，即·＝－，解得＝－或＝.所以点的坐标为(，－)或()．．(·邯郸高一检测)若点(，)与(－，＋)关于直线对称，则的倾斜角为( )．° ．° ．° ．°解析：选＝＝－，·＝－，∴的斜率为，倾斜角为°.．已知点()，(－)，()，()，则以，，，为顶点的四边形是( )．梯形．平行四边形．菱形．矩形解析：选如图所示，易知＝－，＝，＝－，＝＝－，＝，所以＝，＝，·＝，·＝－，故∥，∥，与不垂直，与不垂直．所以四边形为平行四边形．．若(－)，(，－)，()，()，给出下面四个结论：①∥；②⊥；③∥；④⊥.其中正确的是．(把正确选项的序号填在横线上)解析：∵＝－，＝－，＝，＝－，∴∥，⊥.答案：①④．过点()，(－)，过点()，()，且∥，则＝.解析：∵∥，且＝＝－，∴＝＝－，∴＝.答案：．直线经过点()，(－)，直线经过点(，)，(－，＋)，当∥或⊥时，分别求实数的值．解：当∥时，由于直线的斜率存在，则直线的斜率也存在，则＝，即＝，解得＝；当⊥时，由于直线的斜率存在且不为，则直线的斜率也存在，则·＝－，即·＝－，解得＝－.综上，当∥时，的值为；当⊥时，的值为－.．已知△三个顶点坐标分别为(－，－)，()，()，求此三角形三边的高所在直线的斜率．解：由斜率公式可得＝＝，＝＝，＝＝.由＝知直线∥轴，∴边上的高线与轴垂直，其斜率不存在．设、边上高线的斜率分别为、，由·＝－，·＝－，即·＝－，·＝－，解得＝－，＝－.∴边上的高所在直线的斜率不存在；边上的高所在直线的斜率为－；边上的高所在直线的斜率为－.。
2021_2022年高中数学第三章直线与方程1
2．两条直线垂直的条件也是在两条直线 的斜率都存在的条件下得出的，即在此条件 下有 l1⊥l2⇔k1·k2＝－1；若一条直线的斜率不 存在，而另一条直线的斜率等于 0，则两条直 线也垂直．
3．在两条直线平行或垂直关系的判断中 体会分类讨论的思想．
当堂双基达标
1．下列说法中正确的是( ) A．平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C．垂直的两直线的斜率之积为－1 D．只有斜率相等的两条直线才一定平行
【解析】 A 不正确，平行的两条直线可能斜率都不存 在；B 正确；C 不正确，当一条直线斜率为零，另一条直线 斜率不存在时，它们也垂直；D 不正确，斜率都不存在的两 条直线也平行．
【答案】 B
2．已知直线 l1 的斜率 k1＝－85，直线 l2 的斜率 k2＝58，则 l1 与 l2 的位置关系为( )
A．(－1,0)
B．(0，－1)
C．(1,0)
D．(0,1)
【解析】 设 D(x，y)，则 kCD＝yx－ －03＝x－y 3，kAD＝yx＋－11， 又 kAB＝22＋ －11＝3，kCB＝22－ －03＝－2，CD⊥AB，CB∥AD，
∴
kCD·kAB＝x－y 3·3＝－
kCB＝kAD
，∴
3y＝3－x
【提示】 α1＝α2，因为两直线平行，同位角相等．反之 不成立，当 α1＝α2 时，直线 l1 与 l2 可能平行或重合．
2．若直线 l1∥l2，则其斜率 k1＝k2.这种说法对吗？
【提示】 不对，只有在直线 l1 与 l2 都存在斜率时，由 l1∥l2 可以得出 k1＝k2，如图当直线 l1 与 l2 都与 x 轴垂直时， 虽然 l1∥l2 但斜率都不存在．
高中数学必修2第三章直线与方程教案有三维目标
第三章直线与方程3.1.1 直线的倾斜角和斜率授课类型：新授课授课时间：第周年月日（星期）一、教学目标：1、知识与技能：理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线的斜率公式。
2、过程与方法：（1）在平面直角坐标系中，结合具体图形，探索确定直线位置的几何要素。
（2）经历用代数方法刻画直线斜率公式的推导过程。
3、情感态度与价值观：（1）通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力。
（2）通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神。
二、教学重点、难点重点：斜率的概念，用代数方法刻画直线斜率的过程，过两点的直线斜率的计算公式。
难点：直线的斜率与它的倾斜角之间的关系。
三、学法指导：启发、引导、讨论。
四、教学过程：（一）直线的倾斜角的概念思考：对于平面直角坐标系内的一条直线l，它的位置由哪些条件确定？问题1：已知直线l经过点P，直线l的位置能够确定吗？问题2：过一点P可以作无数条直线l1，l2，l3，…，它们都经过点P（组成一个直线束），这些直线区别在哪里呢？定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．．．。
特别地，当直线l 与x 轴平行或重合时，规定α = 0°。
范围：0° ≤ α ＜180°。
当直线l 与x 轴垂直时，α = 90°。
当直线a ∥b ∥c ，它们的倾斜角α相等，所以一个倾斜角α不能确定一条直线。
确定平面直角坐标系内的一条直线位置的几何要素： 一个点．．．P ．和一个倾斜角．．．．．．α．. 。
（二）直线的斜率思考：日常生活中，还有没有表示倾斜程度的量？（前进量升高量比坡度=)(） 定义：一条直线的倾斜角α（α ≠ 90°）的正切值叫做这条直线的斜率。
高中数学 第三章 直线与方程 3.1.2 两条直线平行与垂
由斜率公式,得
k1=������3-2-���-���3
=
3������--���5���,k2=
������-2-3 -1-2
=
���-���-35.
由 l1⊥l2,知 k1k2=-1,
即3-������
������-5
×
������-5 -3
=-1,解得 a=0.
综上所述,a 的值为 0 或 5.
做一做1 已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点
(2,1),(x,6),且l1∥l2,则x=
.
解析:由题意知l1⊥x轴.又l1∥l2,所以l2⊥x轴,故x=2.
答案:2
2.两条直线垂直与斜率的关系
如果两条直线都有斜率,且它们互相垂直,那么它们的斜率之积
等于-1;反之,如果两条直线的斜率之积等于-1,那么它们互相垂直.
探究一
探究二
探究三
思维辨析 当堂检测
解:(1)直线 l1 的斜率不存在,直线 l2 的斜率为 0,所以 l1⊥l2.
(2)由题意,知 l2 的斜率 k2 一定存在,l1 的斜率可能不存在.
当 l1 的斜率不存在时,3=a-2,即 a=5,此时 k2=0,
则 l1⊥l2,满足题意.
当 l1 的斜率 k1 存在时,a≠5,
在,MN 与 PQ 不平行,不合题意;
当 m=-1 时,直线 MN 的斜率不存在,而直线 PQ 的斜率存在,MN
与 PQ 不平行,不合题意;
当 m≠-2,且 m≠-1 时,kPQ=������4--(���-���2) = ���4���-+������2,
kMN=������3+-21-1 = ������2+1. 因为直线 PQ∥直线 MN,所以 kPQ=kMN,
高一数学 人教A版必修2 第三章 3.1.1、2直线的倾斜角与斜率、两条直线平行与垂直的判定 课件
[归纳升华] 1．根据定义求直线的倾斜角的关键是根据题意画出草图，则直线向上的 方向与 x 轴的正方向所成的角，即为直线的倾斜角． 2．直线的斜率 k 随倾斜角 α 增大时的变化情况： ①当 0°≤α＜90°时，随 α 的增大，k 在[0，＋∞)范围内增大； ②当 90°＜α＜180°时，随 α 的增大，k 在(－∞，0)范围内增大.
[特别提醒] 在[0°，180°)范围内的一些特殊角的正切值要熟记．
倾斜角 α 0° 30° 45° 60° 120° 135° 150°
斜率 k
0
3 3
1
3
－ 3 －1
－
3 3
3．过点 P(0，－2)的直线 l 与以 A(1,1)、B(－2,3)为端点的线段有公共点，
则直线 l 的斜率 k 的取值范围是( )
D．60°或 120°
(2)直线 l 的倾斜角为 α，斜率为 k，则当 k＝________时，α＝60°；当 k＝
________时，α＝135°；当 k＞0 时，α 的范围是____________；当 k＜0 时，α
的范围是________．
解析： (1)如图，直线 l 有两种情况，故 l 的倾斜角为 60°或 120°，故选 D.
[归纳升华] 求过两点的直线的斜率及倾斜角的方法 (1)已知两点坐标求直线的斜率时，首先应检验其横坐标是否相等，若相等， 其斜率不存在；若不相等，可用公式来求． (2)α＝0°⇔k＝0；0°<α<90°⇔k>0；90°<α<180°⇔k<0；α＝90°⇔斜率不存 在；若求 α 的具体值，可用公式 k＝tan α 求解.
高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.2
4．已知△ABC 中，A(0，3)、B(2，－1)、E、F 分别 为 AC、BC 的中点，则直线 EF 的斜率为________． 解析：因为 E、F 分别为 AC、BC 的中点， 所以 EF∥AB. 所以 kEF＝kAB 答案：－2 －1－3 ＝ ＝－2. 2－0
5．已知直线 l1 的倾斜角为 45°，直线 l2∥l1，且 l2 过点 A(－2，－1)和 B(3，a)，则 a 的值为________． 解析：因为 l2∥l1，且 l1 的倾斜角为 45°， 所以 kl2＝kl1＝tan 45°＝1， a－（－1） 即 ＝1，所以 a＝4. 3－（－2） 答案：4
2．应用两条直线平行求参数值时，应分斜率存在与 不存在两种情况求解．
[变式训练] 根据下列给定的条件，判断直线 l1 与直 线 l2 是否平行． (1)l1 经过点 A(2，1)，B(－3，5)，l2 经过点 C(3，－ 3)，D(8，－7)； (2)l1 平行于 y 轴，l2 经过点 P(0，－2)，Q(0，5)； (3)l1 经过点 E(0，1)，F(－2，－1)，l2 经过点 G(3， 4)，H(2，3)． 5－ 1 －7＋3 4 解：(1)由题意知，k1＝ ＝－ ，k2＝ ＝ 5 －3－2 8－3 －3－1 4 － ，kAC＝ ＝－4， 5 3－2
③l1 经过点 A(－1，2)，B(－3，1)，l2 经过点 M(－1， 4)，N(1，5)． (1)解析：由题意知，k1＝tan 60°＝ 3， k2 ＝ －2 3－ 3 －2－1 ＝ 3，
k1＝k2，所以直线 l1 与直线 l2 平行或重合． 答案：平行或重合
1－ 2 5－4 1 (2)解： ①kl1＝ ＝－1， kl2＝ ＝－ ， kl1≠kl2， 4 2－ 1 －1－3 所以 l1 与 l2 不平行． ②直线 l1 与 l2 均与 x 轴垂直，且横坐标不同，所以 l1 与 l2 平行．
高中数学必修2第三章：直线与方程课件__3.1.2两条直线平行与垂直的判定
四、总结
k1 k2(对于两条不重合的直线l1、l2， l1 // l2 其斜率存在且分别为k1、k2 )， 或l 、l 斜率均不存在 1 2
k1 k2 1(l1 , l2斜率均存在且分别为k1、k2 )， l1 l2 或l1 , l2一斜率不存在另一斜率为0
2．能够通过代数的方法，运用斜率来判定两
直线平行与垂直关系．
二、新课讲解----两直线的两种特殊位置关系
y
（一）两直线平行．
l1 l2
l1、l2的斜ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ均存在，设为k1、k2
l1、l2是不同的直线（不重合） l2
1
O
2
y
x
l1
x
（一）小结
则k1 k2 l1 // l2
结论1、对于两条不重合的直线l1、l2，其斜率存在且分别为k1、k2，
结论2、若l1、l2中有一斜率不存在、一斜率为0时，则l1 l2 y l1
y
l2
l1
l2
x
x
两条直线平行与垂直的关系判定 判定下列各小题中的直线l1与l2是否平行或垂直？
1)
(1)l1经过点A(－1，－2)，B(2,1)，l2经过点M(3,4)，N(－1，－ (2)l1的斜率为1，l2经过点A(1,1)，B(2,2) (3)l1的斜率为－10，l2经过点A(10,2)，B(20,3) (4)l1经过点A(3,4)，B(3,100)，l2经过点M(－10,40)，N(10,40). 1－－2 －1－4 5 解析：(1)k1＝ ＝1，k2＝ ＝ 2－－1 －1－3 4 ∵k1≠k2，k1k2≠－1 ∴l1 与 l2 不平行也不垂直．
注意直线的斜率不存在时的情形，如本例中的CD作为直
高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.2两条直线平行与垂直的判定课件新人教A必修21
两条直线平行的判定
[典例] 判断下列各题中直线 l1 与 l2 是否平行．
(1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2,1)，l2 经过点 M(3,4)，N(－1，－1)； (2)l1 经过点 A(－3,2)，B(－3,10)，l2 经过点 M(5，－2)，N(5,5)．
[解 ]
1－－2 － 1－ 4 5 (1)k1＝ ＝1，k2＝ ＝ . 2－－1 － 1－ 3 4
解析：∵E，F 分别为边 AC，BC 的中点，∴EF∥AB. － 1－ 3 ∴kEF＝kAB＝ ＝－2. 2－0 答案：－ l1 与 l2 是否垂直． (1)l1 经过点 A(－3，－4)，B(1,3)，l2 经过点 M(－4，－3)， N(3,1)； (2)l1 的斜率为－10，l2 经过点 A(10,2)，B(20,3)； (3)l1 经过点 A(3,4)， B(3,10)， l2 经过点 M(－10,40)， N(10,40)．
(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率 存在，则这两条直线垂直 (× )
(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线 平行 ( √ )
2．直线 l1，l2 的斜率是方程 x2－3x－1＝0 的两根，则 l1 与 l2 的位 置关系是 A．平行 C．相交但不垂直
解析：选 D
判断两条直线是否垂直的依据是：在这两条直线都有斜率 的前提下，只需看它们的斜率之积是否等于－1 即可，但应注 意有一条直线与 x 轴垂直，另一条直线与 x 轴平行或重合时， 这两条直线也垂直．
[活学活用]
1．若不同两点 P，Q 的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段 PQ 的垂直平分线的斜率为________．
[点睛] (1)l1∥l2⇔k1＝k2 成立的前提条件是：①两条直线的斜率都存 在；②l1 与 l2 不重合． (2)当两条直线不重合且斜率都不存在时，l1 与 l2 的倾斜角都 是 90°，则 l1∥l2.
高中数学 第三章 直线与方程 3.1 直线的倾斜角与斜率
直线的倾斜角与斜率一、考纲要求1、学习目标:知识与技能：正确理解直线的倾斜角和斜率的概念．理解直线的倾斜角的唯一性.掌握直线的倾斜角与斜率的关系.过程与方法：理解直线的斜率的存在性.斜率公式的推导过程，掌握过两点的直线的斜率公式．情感态度与价值观：通过直线的倾斜角概念的引入学习和直线倾斜角与斜率关系的揭示，培养学生观察、探索能力，运用数学语言表达能力，数学交流与评价能力．通过斜率概念的建立和斜率公式的推导，帮助学生进一步理解数形结合思想，培养学生树立辩证统一的观点，培养学生形成严谨的科学态度和求简的数学精神．2、学习重、难点学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.学习重点: 直线的倾斜角、斜率的概念和斜率公式的应用.学习难点: 直线的倾斜角、斜率的对应关系，求直线的倾斜角和斜率的范围.二、自主学习阅读教材P82-86完成下面问题并填空知识点一：直线的倾斜角【提出问题】在平面直角坐标系中，直线l经过点P.问题1: 直线l的位置能够确定吗？问题2: 过点P可以作与l相交的直线多少条？问题3:上述问题中的所有直线有什么区别？【导入新知】1.定义：当直线l与x轴相交时，我们取x轴作为基准,叫做直线l的倾斜角．．．.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定α=.2.范围：倾斜角α的取值范围是 .特别：当时，称直线l与x 轴垂直.知识点二：直线的斜率【提出问题】日常生活中，常用坡度（=升高量坡度前进量）表示倾斜程度，例如，“进2升3”与“进2升2”比较，前者更陡一些，因为坡度3222>问题1:对于直线可利用倾斜角描述倾斜程度，可否借助于坡度来描述直线的倾斜程度？问题2: 如材料里描述的坡度为升高量与水平前进量的比值，那么对于平面直角坐标系中直线的倾斜程度能否如此度量？问题3:通过坐标比，你会发现它与倾斜角有何关系？【导入新知】1.定义：一条直线的倾斜角α (α≠90°)的值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即k = . ①当直线l 与x 轴平行或重合时, α= , k = ; ②当直线l 与x 轴垂直时, α= , k . 2. 直线的斜率公式:①已知直线的倾斜角α,则k=②经过两个定点 P 1(x 1,y 1) , P 2(x 2,y 2) 的直线：若x 1≠x 2，则直线P 1P 2 的斜率存在，k= 若x 1＝x 2，则直线P 1P 2的斜率3. 斜率作用：用实数反映了平面直角坐标系内的直线的 . 三、考点突破例1⑴若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成030角，则直线的倾斜角为（ ） A. 030 B. 060 C. 0030或150 D. 0060或120⑵下列说法中，正确的是（ ）A.直线的倾斜角为α，则此直线的斜率为αtanB. 直线的斜率为αtan ，则此直线的倾斜角为αC.若直线的倾斜角为α，则sin 0α>D.任意直线都有倾斜角α，且090α≠时，斜率为αtan 变式训练1. 直线l 经过第二、四象限，则此直线l 的倾斜角范围是（ ）A. 00[0,90)B. 0[90,180) C. 0(90,180) D. 00(0,180)2.设直线l 过原点，其倾斜角为α，将直线l 绕坐标原点沿逆时针方向旋转045，得到直线1l ，则直线1l 的倾斜角为（ ）A. 045α+B. 0135α-C. 0135α-D.当000135α≤<时为045α+，当00135180α≤<时为0135α-例2 ⑴已知过两点(4,),(2,3)A y B -的直线的倾斜角为0135，则y = ⑵已知过(3,1),(,2)A B m -的直线的斜率为1，则m 的值为 ⑶过点(2,),(,4)P m Q m -的直线的斜率为1，则m 的值为 变式训练3.若直线过点(1,2),(4,2+，则此直线的倾斜角是（ ） A. 030 B. 045 C. 060 D. 090例3 已知实数,x y 满足28y x =-+，且23x ≤≤，求yx的最大值与最小值.变式训练4.点(,)M x y 在函数28y x =-+的图像上，当[2,5]x ∈时，求11y x ++的取值范围.四、考点巩固1.关于直线的倾斜角和斜率，下列说法正确的是（ ） A.任一直线都有倾斜角，都存在斜率。
高中数学直线与方程31直线的倾斜角与斜率312两条直线平行与垂直的判定
判断两条直线是否平行的步骤：
1．根据下列给定的条件，判断直线 l1 与直线 l2 是否平行． (1)l1 经过点 A(2,1)，B(－3,5)，l2 经过点 C(3，－3)，D(8，－7)； (2)l1 经过点 E(0,1)，F(－2，－1)，l2 经过点 G(3,4)，H(2,3)； (3)l1 的倾斜角为 60°，l2 经过点 M(1， 3)，N(－2，－2 3)； (4)l1 平行于 y 轴，l2 经过点 P(0，－2)，Q(0,5)．
[双基自测]
1．下列说法正确的有( )
①若不重合的两直线斜率相等，则它们平行；
②若 l1∥l2，则 k1＝k2； ③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为 0，则两
直线垂直；
④若 l1 与 l2 的斜率都不存在，则 l1∥l2.
A．1 个 B．2 个
C．3 个
答案：B
D．4 个
2．已知 A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)，则直线 AB 与直线 CD( )
的垂直平分线的斜率为－1. 答案：－1
3．已知△ABC 的顶点坐标分别为 A(1,2)，B(－1,1)，C(0,2)，求 BC 边 上的高所在直线的斜率与倾斜角． 解析：设 BC 边上的高所在直线的斜率为 k， 则有 k·kBC＝－1. ∵kBC＝0－2－－11＝1，∴k＝－1. ∴BC 边上的高所在直线的倾斜角为 135°.
两条直线垂直的判定条件： (1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为－1，则两条直线一定垂直； (2)两条直线中，如果一条直线的斜率不存在，同时另一条直线的斜率为 0，那么这两条直线也垂直．
2．若不同两点 P，Q 的坐标分别为(a，b)，(3－b,3－a)，则线段 PQ 的
高中数学第三章直线与方程3.1直线的倾斜角与斜率3.1.2两条直线平行与垂直的判定优化练习新人教A
2017-2018学年高中数学第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定优化练习新人教A版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定优化练习新人教A 版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第三章直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定优化练习新人教A版必修2的全部内容。
3.1。
2 两条直线平行与垂直的判定[课时作业］[A组基础巩固]1．设点P（－4,2）,Q（6，－4)，R(12，6），S（2,12)，下面四个结论：①PQ∥SR；②PQ⊥PS；③PS∥QS;④RP⊥QS。
正确的个数是（)A．1 B．2 C．3 D．4解析：由斜率公式知k PQ＝错误!＝－错误!,k SR＝错误!＝－错误!,k PS＝错误!＝错误!,k QS＝错误!＝－4,k PR＝错误!＝错误!，∴PQ∥SR，PS⊥PQ，RP⊥QS。
而k PS≠k QS，所以PS与QS不平行,故①②④正确，选C。
答案：C2．给定三点A（1,0)、B（－1， 0）、C（1,2），则过A点且与直线BC垂直的直线经过点（）A．(0，1) B．（0,0） C．(－1，0) D．(0,－1）解析：∵k BC＝错误!＝1，∴过A点且与直线BC垂直的直线的斜率为－1。
又∵k＝错误!＝－1,∴直线过点(0,1)．答案:A3．以A（－1,1）,B（2，－1)，C（1，4)为顶点的三角形是（)A．锐角三角形B．钝角三角形C．以A点为直角顶点的直角三角形D．以B点为直角顶点的直角三角形解析：如图所示,易知k AB＝－1－12－－1＝－23,k AC＝错误!＝错误!，由k AB·k AC＝－1知三角形是以A点为直角顶点的直角三角形．答案：C4．若直线l1的斜率k1＝错误!,直线l2经过点A(3a，－2），B（0，a2＋1）,且l1⊥l 2,则实数a 的值为( )A．1 B．3 C．0或1 D．1或3解析：∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1，即错误!×错误!＝－1，解得a＝1或a＝3。
高一数学必修2第三章知识点：直线的倾斜角与斜率
高一数学必修2第三章知识点：直线的倾斜角与
斜率
在中国古代把数学叫算术，又称算学，最后才改为数学。
小编准备了高一数学必修2第三章知识点，具体请看以下内容。
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定= 0.
2、倾斜角的取值范围： 0180. 当直线l与x轴垂直时, = 90.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tan
⑴当直线l与x轴平行或重合时, =0, k = tan0
⑵当直线l与x轴垂直时, = 90, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式: k=y2-y1/x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等;反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提
下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，如果它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，如果它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直。
高中是人生中的关键阶段，大家一定要好好把握高中，编辑老师为大家整理的高一数学必修2第三章知识点，希望大家喜欢。
高中数学第三章直线与方程311倾斜角与斜率312两条直线平行与垂直的判定刷题课件新人教A版必修2
15．已知点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线l过点P(1，1)，且与线段AB相交，则直线l的斜率k
满足( A ) A．k≥ 3 或k≤－4
4
B．k≥3/4或k≤ Leabharlann 1 43 C．－4≤k≤ 4
3 D. 4 ≤k≤4
解析
如图所示，过点P作直线PC⊥x轴交线段AB于点C，作出直线PA，PB.
①直线l与线段AB的交点在线段AC(除去点C)上时，
14．已知直线l1经过点A(3，a)，B(a－2，－3)，直线l2经过点C(2，3)，D(－1，a－2)，如果
l1⊥l2，则a＝_____-_6_或__5___.
解析 当k2＝0时，由两直线垂直知直线l12≠0时，由k1·k2＝－1，得a＝－6.故a的值为－6或5.
3.1.1+3.1.2
刷易错
易错点 直线斜率与倾斜角关系理解不准确致误
3.1.1+3.1.2
刷基础
题型1 直线的倾斜角与斜率
1．下列说法正确的是( D ) A．一条直线和x轴的正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角 B．直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角 C．和x轴平行的直线，它的倾斜角为180° D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率
解析 对于A，一条直线向上方向和x轴正方向所成的角，叫做这条直线的倾斜角，A错误； 对于B，直线的倾斜角α的取值范围是0°≤α＜180°，B错误； 对于C，和x轴平行的直线，它的倾斜角为0°，C错误； 对于D，每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率，如α＝90°时，斜率不存 在，D正确． 故选D.
3.1.1+3.1.2
题型1 直线的倾斜角与斜率
D
刷基础
(新)高中数学第3章直线与方程3_1直线的倾斜角与斜率3_1_2两条直线平行与垂直的判定教材梳理素材新人教A版必
3.1.2 两条直线平行与垂直的判定疱丁巧解牛知识·巧学一、两直线平行的判定1.如果两条直线的倾斜角都是90°，即斜率均不存在，那么这两条直线平行.2.如果两条直线的倾斜角都不是90°，即斜率均存在，那么有l 1∥l 2⇔k 1=k 2.3.在判断两条直线是否平行时，首先判断两条直线的斜率是否存在，若存在且相等,则二者平行；若二者斜率均不存在，仍然平行.误区警示 这里所说的“两条直线”是指不重合的两条直线.以后若不加特殊说明，教材中“两条直线”均指不重合的两条直线.若直线l 1、l 2可能重合时，我们得到k 1=k 2⇔⎩⎨⎧.,//2121重合与或l l l l 用上述的结论可以证明三点共线问题. 二、两直线垂直的判定1.如果两条直线l 1、l 2中的一条与x 轴平行(或重合)，另一条与x 轴垂直(也即与y 轴平行或重合)，即两条直线一条的倾斜角为0°，另一条的倾斜角为90°，从而一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在，那么这两条直线互相垂直.2.如果两条直线l 1、l 2的斜率都存在，且其中一个不为0，那么l 1⊥l 2⇔k 1k 2=-1.方法归纳 在判断两条直线是否互相垂直时，如果两条直线的斜率都存在且不为0，则由乘积是否为-1来判断是否垂直；如果一条直线的斜率不存在，另一条的斜率为0，则二者仍垂直.问题·探究问题1 三条直线两两相交，它们能否构成三角形？探究:不一定，当三条直线交于同一点时，它们就不能构成三角形.问题2 如何由两个二元一次方程的系数判断所表示的直线的平行、垂直、相交、重合？ 探究:设l 1:A 1x+B 1y+C 1=0，l 2:A 2x+B 2y+C 2=0，记D 1=A 1B 2-A 2B 1，D 2=B 1C 2-C 1B 2，D 3=A 1A 2-B 1B 2.当D 1≠0时，l 1与l 2相交；当D 1=0,D 2≠0时，l 1与l 2平行；当D 1=D 2=0时，l 1与l 2重合；当D 3=0时，l 1与l 2垂直.问题3 木工为了锯木板，需在木板上弹出墨线.第一次弹出了一条线，记为l 1，为防第一次弹线不清晰，第二次在原位置重弹一次，得直线l 2；若平行移开，弹第三次线，记为l 3；若换成与l 2垂直方向弹线，得直线l 4，问l 1与l 2、l 3、l 4的关系如何？探究:由题意容易分析判断，l 1与l 2重合，而平行移开弹线，所以l 1与l 3平行，l 4与l 2垂直，所以l 1与l 4垂直.典题·热题例1 直线l 1：2x+my+4=0与直线l 2：(m+1)x+3y-2=0平行，则实数m 的值为( )A.2B.-3C.2或-3D.-2或-3 思路解析：(方法一)当m=0时，直线l 1的斜率不存在，而l 2的斜率存在，所以l 1与l 2不平行；当m≠0时，若l 1∥l 2，则有312+=m m ，解得m=2或m=-3.经验证，当m=2或m=-3时，两条直线平行.故应选C.(方法二)利用反代法.将m=2代入方程可得两直线平行;将m=-3代入方程也可得两直线平行.所以应选C.答案:C 误区警示 在求解此类问题时，一定要注意当两直线斜率都不存在时，也有可能平行.例2 如图3-1-2所示，在平面直角坐标系中，四边形OPQR 的顶点按逆时针顺序依次为O(0，0)、P(1，t)、Q(1-2t ，2+t)、R(-2t ，2)，其中t ＞0.试判断四边形OPQR 的形状.图3-1-2思路解析：判断四边形的形状，首先看每对边的关系，再看邻边的关系，判断平行只需研究其斜率之间的关系即可.公式可得:k OP =t t =--.010，k QR =t t t t t =--=---+-1)21(2)2(2， k OR =t t 10202-=---，k PQ =tt t t t 1221212-=-=-+-+. ∴k OP =k QR ，k OR =k PQ .从而OP∥QR，OR∥PQ.∴四边形OPQR 为平行四边形.又k OP ·k OR =-1，∴OP⊥OR.故四边形OPQR 为矩形.方法归纳 判断两直线平行的方法，重点是利用过两点的直线的斜率公式，求出相关直线的斜率，通过观察找出其中斜率相等的直线，从而确定两直线平行.例3 绕倾斜角为30°的直线l 上一点P(2，1)按逆时针方向旋转30°得到直线l 1，且l 1与线段AB 的垂直平分线互相平行，其中A(1，m-1)、B(m ，2)，求m 的值.思路解析：由题意，需求出直线AB 的斜率，而AB 的斜率与直线l 1的斜率互为负倒数，直线l 1的倾斜角可求，从而斜率也可求.如图3-1-3，直线l 1的倾斜角为30°+30°=60°，所以l 1的斜率k 1=tan60°=3.图3-1-3又直线AB 的斜率为mm m m --=---13121，所以AB 的垂直平分线的斜率为3131--=---m m m m .因为l 1与AB 的垂直平分线平行，所以313--=m m .解得m=34+. 深化升华 对于已知直线上给出的两点中含有参数时，通常可以利用斜率公式来求解，这就需要求得直线的斜率.而当题目提供了相关直线的平行与垂直关系时，可利用两直线的特殊位置下斜率的关系直接求解.。
高中数学【人教A版必修】2第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直
因 为 k A B k B C=- 1 , 所 以 直 线 A B ⊥ B C ， 即 ∠ A B C=9 0 o , 所 以 Δ A B C 是 直 角 三 角 形 .
高中数学【人教A版必修】2第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定课件【 精品】
高中数学【人教A版必修】2第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定课件【 精品】
例4 已知A（5，-1），B（1，1），C（2，3） 三点，试判断△ABC的形状. 分析：结合图形可猜想AB⊥BC，
△ABC为直角三角形.
解 ： 直 线 AB的 斜 率 kAB=-2 1,
思 考 1 设 两 条 直 线 l 1 , l 2 的 斜 率 分 别 为 k 1 , k 2 ，
y
l1
1
O
l 1 ∥ l2 时 ， k 1 与 k 2 满 足 什 么 关 系 ？
l2
2
α1 = α2
x
即k 1 = k 2
k1 = k2
l1∥l2 ,
或
l1与
l2重
合
思 考 2 设 两 条 直 线 l 1 , l 2 的 斜 率 都 不 存 在 ，
高中数学【人教A版必修】2第三章 直线与方程3.1 直线的倾斜角与斜率3.1.2 两条直线平行与垂直的判定课件【 精品】
1.已知直线l1过点A(-1，1)和B(-2,-1)，直线l2过点
C(1，0)和D(0，a)，若l1∥l2,则a的值为( )
A.-2
B.2
C.0
D. 1
2
解：选A.l1,l2的斜率分别为2,-a,由l1∥l2，可知
高一数学下册第三单元直线的倾斜角与斜率知识点
高一数学下册第三单元直线的倾斜角与斜率知
识点
数学在科学开展和现代生活消费中的应用非常广泛，以下是查字典数学网为大家整理的高一数学下册第三单元直
线的倾斜角与斜率知识点，希望能帮助大家学习。
3.1倾斜角和斜率
1、直线的倾斜角的概念：当直线l与x轴相交时, 取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.特别地,当直线l与x轴平行或重合时, 规定= 0.
2、倾斜角的取值范围： 0180. 当直线l与x轴垂直时, = 90.
3、直线的斜率:
一条直线的倾斜角(90)的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,也就是 k = tan
⑴当直线l与x轴平行或重合时, =0, k = tan0
⑵当直线l与x轴垂直时, = 90, k 不存在.
由此可知, 一条直线l的倾斜角一定存在,但是斜率k不一定存在.
4、直线的斜率公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2,用两点的坐标来表示直线P1P2的斜率：
斜率公式: k=y2-y1/x2-x1
3.1.2两条直线的平行与垂直
1、两条直线都有斜率而且不重合，假设它们平行，那么它们的斜率相等;反之，假设它们的斜率相等，那么它们平行，即
注意: 上面的等价是在两条直线不重合且斜率存在的前提
下才成立的，缺少这个前提，结论并不成立.即假设k1=k2, 那么一定有L1∥L2
2、两条直线都有斜率，假设它们互相垂直，那么它们的斜率互为负倒数;反之，假设它们的斜率互为负倒数，那么它们互相垂直。
高一数学下册第三单元直线的倾斜角与斜率知识点就分享
到这里了，更多高一数学知识点请继续关注查字典数学网高中频道!。