2014年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)试题参考答案及评分标准
广东省六校2014届高三上学期第一次联考数学理试题 含答案
2014届高三六校第一次联考理科数学 试题命题学校：深圳实验学校第一部分 选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. “1x ≥"是“2x >”的( ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2. 已知2(,)a i b i a b R i+=-∈，其中i 为虚数单位，则a b +＝（ )A.－1 B ．1 C ．2 D ．33。
若)1,0(∈x ，则下列结论正确的是（ ）A ．x x x 2lg 21>> B ．21lg 2xx x>>C ．x xx lg 221>>D ．x x xlg 221>>4.下列四个命题中，正确的是( ）A ．已知ξ服从正态分布()2,0σN ，且()4.022=≤≤-ξP ，则()2.02=>ξPB ．已知命题1tan ,:=∈∃x R x p ；命题01,:2>+-∈∀x x R x q ．则命题“q p ⌝∧”是假命题C ．设回归直线方程为x y 5.22-=，当变量x 增加一个单位时，y 平均增加2个单位D ．已知直线013:1=-+y ax l,01:2=++by x l ，则21l l ⊥的充要条件是ba =—35. 已知单位向量,i j 满足(2)j i i -⊥，则,i j 夹角为（ ）A ．4π B ．6π C ．3πD ．23π6。
若动圆的圆心在抛物线212x y =上，且与直线30y +=相切,则此圆恒过定点( ）A 。
(0,2) B.(0,3)- C.(0,3) D 。
(0,6)7。
设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z ax by =+（0a >,0b >）的最大值为12，则ab 的取值范围是（ ）A 。
(深圳一模)2024年深圳市高三年级第一次调考数学答案
2024年深圳市高三年级第一次调研考试 数学试题参考答案及评分标准2024年深圳市高三年级第一次调研考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：每小题5分，共40分。
二、选择题：每小题6分，共18分。
说明：第9、10题全部选对得6分，选对1个得3分，有选错得0分；第11题全部选对得6分，每选对1个得2分，有选错得0分．三、填空题：每小题5分，共15分。
12．； 13 14．18． 四、解答题： 15．（13分）证明：（1）设等差数列n S n {}的公差为d ，则=+d S S41341，即+=S d 351，①………………1分 因为=+=+S a a S 42121，所以由=+d S S2121，得+=S d 241．②…………………………2分由①、②解得=S 21，=d 1，所以=+nn Sn 1，即=+S n n n (1)，……………………………3分当…n 2时，=−=+−−=−a S S n n n n n n n n (1)(1)21，当时，==a S 211，上式也成立，所以N =∈a n n n 2()*，………………………………5分因为当…n 2时，−=−a a n n 21，所以数列a n {}是等差数列．…………………………………6分解：（2）由（1）可知++===+b a n n n nb a n n n n 24222+1，…………………………………………………7分 当…n 2时，……++⋅⋅⋅⋅=⨯⨯⨯⨯=−−−−−n n b b b n n b b n n b b b n n n n n 3(1)1=612112121121 ，第1页共8页−3π=n 12024年深圳市高三年级第一次调研考试 数学试题参考答案及评分标准 第2页 共8页因为=b 61满足上式，所以N +=∈n n b n n (1)()12*． ……………………………………………9分+++=−+−++−=⨯−=−n n n n T n 11122312[(1)()()]12(1)1211211111，……………………11分 因为当N +∈n 112*时，，，3，5，11，所以=M {6,8,9,10,11}． …………………13分 16．（15分）证明：（1）不妨设==AD AP 3， ∵∠=︒PAD 120，=DM MP 2，∴=DP=DM，=PM ， ………………………………………………………1分由余弦定理得==AM 在△ADM 中，+=AD AM DM 222，∴⊥MA AD ， …………………………………………2分 ∵平面⊥ABCD 平面PAD ，平面ABCD 平面=PAD AD ，⊂MA 平面PAD ，∴⊥MA 平面ABCD ．∵⊂BD 平面ABCD ，∴⊥MA BD ，……………………………………………………………4分 ∵四边形ABCD 是菱形，∴⊥AC BD ，…………………………………………………………5分 又∵=ACMA A ，且⊂AC 平面ACM ，⊂MA 平面ACM ，∴⊥BD 平面ACM ． ……6分解：（2）在平面ABCD 内，过点B 作AD 的垂线，垂足为N ，∵平面⊥ABCD 平面PAD ，平面ABCD平面=PAD AD ，∴⊥BN 平面ADP ，…………………………………………7分 又∵四边形ABCD 是菱形，∠=︒ADC 60，∴∠=︒BDA 30， ∴△ACD ,△ABC 均为等边三角形，………………………8分 以点A 为坐标原点，AD ，AM 及过点A 平行于NB 的直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系（如图），则A (0,0,0)，−B 2(,0,3，D (3,0,0)，−P 2(,,0)3，……………………………9分 由（1）⊥BD 平面ACM ， ∴=−BD 22(,0,)933为平面ACM 的一个法向量，…………………………………………10分 设平面ABP 的法向量为m =x y z (,,)，=n 12PBCM D AN2024年深圳市高三年级第一次调研考试 数学试题参考答案及评分标准 第3页 共8页则m m ⎩⎪⋅=⎨⎪⋅=⎧AP AB 0,0,即⎩⎪−+=⎪⎨⎪⎪−+=⎧x y x 20,320,3……………………………………………………………11分令=xm =， ………………………………………………………………12分∵m ⨯<>==BD 5335|cos ,|||335， …………………………………………………………14分 ∴平面ACM 与平面ABP．……………………………………………15分 17．（15分）解：（1）由题可知=+−=−+=−+ααααααf 24()(1)3313()112323， …………………………2分因为<<α01，所以当=α21时，αf ()的最小值为41． ……………………………………4分（2）由题设知，X 的可能取值为1，2，3，4．………………………………………………5分①当=X 1时，相应四次接收到的信号数字依次为0101或1010．因此，==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=P X 3333333381(1)212112128，……………………………………………………6分 ②当=X 2时，相应四次接收到的信号数字依次为0010，或0100，或1101，或1011，或1001，或0110，或1100，或0011．因此，==⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯⨯==P X 33333333819(2)()2()2()()4212121123642222， (8)分③当=X 3时，相应四次接收到的信号数字依次为1110，或0111，或0001，或1000．因此，==⨯⨯+⨯⨯=P X 333381(3)()2()212122033，……………………………………………………10分④当=X 4时，相应四次接收到的信号数字依次为0000，或1111．因此，==+=P X 3381(4)()()121744．……………………………………………………………………12分所以X 的分布列为…………………………………………………13分by ：大辉狼数学2024年深圳市高三年级第一次调研考试 数学试题参考答案及评分标准 第4页 共8页因此，X 的数学期望=⨯+⨯+⨯+⨯=E X 818818181()1234832017208．…………………………15分 18．（17分）解：（1）当=a 0时，=−−f x x x x ()2ln 2，则=−⋅+⋅−=−++'xf x x x x x x ()2(1ln )22(ln 1)1，……………………………………………1分令='g x f x ()()，则=−+'xg x ()2(1)1，因为∈−x [e ,1]2，所以<'g x ()0．则g x ()在−[e ,1]2上单调递减，……………………………2分 又因为=−>'−−f (e )2(1e )022，=−<'f (1)40，所以∃∈−x (e ,1)02使得='f x ()00，f x ()在−x (e ,)02上单调递增，在x (,1)0上单调递减． 因此，f x ()在−[e ,1]2上的最小值是−f (e )2与f (1)两者中的最小者．…………………………3分 因为=−=−>−−−−−f (e )4e e e (4e )022422，=−f (1)1，所以函数f x ()在−[e ,1]2上的最小值为−1．………………………………………………………4分（2）=⋅+−−⋅+⋅−'++xx x x f x a x x x ()[1e (1)e ]2(1ln )2111=−+++ax x x x e 2(ln 1)1，由='f x ()0，解得==+++++++x a x x x x x x x e e 2(ln 1)2(ln 1)ln 11，…………………………………………6分 易知函数=++y x x ln 1在+∞(0,)上单调递增，且值域为R ，令++=x x t ln 1，由='f x ()0，解得=a tt e2，设=h t t t e ()2，则='−h t t t e ()2(1)，因为当<t 1时，>'h t ()0，当>t 1时，<'h t ()0，所以函数h t () 在−∞(,1)上单调递增，在+∞(1,)上单调递减．根据=h e(1)2，→−∞t 时，→−∞h x ()，==→+∞→+∞h t t t t e lim ()lim 02, 得h t ()的大致图像如图所示． ………………………………………………………………………7分因此有： （ⅰ）当>a e2时，方程=h t a ()无解，即'f x ()无零点，f x ()没有极值点；………………8分by ：大辉狼数学2024年深圳市高三年级第一次调研考试 数学试题参考答案及评分标准 第5页 共8页（ⅱ）当=a e2时，=−++'+x x f x x x ()2e 2(ln 1)ln ， 利用…+x x e 1，得…++−++='f x x x x x ()2(ln 1)2(ln 1)0，此时f x ()没有极值点； ……9分 （ⅲ）当<<a e02时，方程=h t a ()有两个解，即'f x ()有两个零点，f x ()有两个极值点； （ⅳ）当…a 0时，方程=h t a ()有一个解，即'f x ()有一个零点，f x ()有一个极值点． 综上，当…a 0时，f x ()有一个极值点；当<<a e 02时，f x ()有两个极值点；当…a e2时，f x () 没有极值点．……………………………………………………………………………………………11分（3）先证明当∈x 4(0,)π时，>x x πsin ． 设=∈x n x x x 4()((0,))πsin ，则='⋅−x n x x x x ()(cos )sin 2， 记=−∈p x x x x x 4()cos sin ((0,))π，则=⋅+⋅−−=−<'p x x x x x x x ()1cos (sin )cos sin 0，p x ()在4(0,)π上单调递减， ……………………………………………………………………13分 当∈x 4(0,)π时，<=p x p ()(0)0，<'n x ()0，则n x ()在4(0,)π上单调递减，>=n x n 4()()π，即当∈x 4(0,)π时，不等式>x x sin …………………………………………………14分 由（2）知，当函数f x ()无极值点时，≥a e 2，则<≤<a 2440π1e ，…………………………15分在不等式>x x sin =a x 21，则有>a a 22sin 1，即不等式>a a π2sin1……………………………………………………………………17分 19．（17分）解：（1）设点P x y (,)−=mx n m||，……………………………………2分by ：大辉狼数学2024年深圳市高三年级第一次调研考试 数学试题参考答案及评分标准 第6页 共8页即−+=−nx m y x n m()()222， 经化简，得C 的方程为−+=n n mx y 122222，………………………………………………………3分 当<m n 时，曲线C 是焦点在x 轴上的椭圆；当>m n 时，曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线． ………………………………………………4分 （2）设点M x y (,)11，N x y (,)22，'M x y (,)33，其中>>y y 0,012且=−=−x x y y ,3232，(i)由（1）可知C 的方程为+=x y 168122，A，−B (，因为AM BN //===，因此，M ，A ，'M 三点共线，且=='AM BN ||||，…………………………………5分（法一）设直线'MM的方程为=+x ty C的方程，得++−=t y (2)8022，则+=y y 13，+=−t y y 28213， ………………………………………………………6分 由（1）可知==x AM x ||411，=='BN AM x ||43，所以⋅+=+AM BN AM BN AM BN ||||||||11||||=++(4)(4)(2)(2)3131 ++===+−⋅y y t y y y y 24()1124()4(1313213（定值）．………8分（法二）设∠=θMAx，解得=AM ，=4，解得='AM ， 所以'=+=+=AM BN AMAM ||||||||11111（定值）.………………8分由椭圆定义++=BQ QM MA 8，得=−−QM BQ AM 8，AM BN //，∴==−−BN BQ BQAM QM BQ AM||||||||8， by ：大辉狼数学2024年深圳市高三年级第一次调研考试 数学试题参考答案及评分标准 第7页 共8页解得+=−⋅AM BN BQ AM BN ||||||(8||)||，同理可得+=−⋅AM BN AQ BN AM ||||||(8||)||， ……………………………………………………………10分所以+++=++=+−⋅−⋅−⋅AM BN AM BN AM BN AQ BQ BN AM AM BN AM BN AM BN ||||||||||||||||(8||)||(8||)||8(||||)2||||+=−==−AM BN ||||1182682．因为=AB △ABQ的周长为+6． …………………………………12分(ii) 当>m n 时，曲线C 的方程为−−=n m nx y122222，轨迹为双曲线， 根据（ⅰ）的证明，同理可得M ，A ，'M 三点共线，且='BN AM ||||， （法一）设直线'MM 的方程为=+x sy m ，联立C 的方程，得−−+−+−=m n s n y sm m n y m n [()]2()()022********，∴−−+=−−m n s n y y sm m n ()2()22221322，−−=−m n s n y y m n ()()222213222，（*） ………………………………13分因为=−=−n m nAM x x n m n m||()112，==−'n BN AM x n m ||||3，所以⋅''+=+=+'AM BN AM AM AM AM AM AM ||||||||||||1111||||++−−−−==−+−+++−−n n n nn n y y x n x n sm m n sm m n m m n n n n n n y x n x n y m m sm m n sm m n ))((()()))(()()(1313222231312222+++−−=++−n n n y y y y m s m n ms m n n n y y m n sm ()()()()2()222131322222221322， 将（*）代入上式，化简得−+=m n AM BN n||||11222，…………………………………………15分 （法二）设∠=θMAx ，依条件有−+=θmm AM n n mAM()cos 2，解得−=−θn m AM m n cos 22， 同理由−−'='θmm AM n n mAM ()cos 2，解得+='−θn m AM m n cos 22， by ：大辉狼数学2024年深圳市高三年级第一次调研考试 数学试题参考答案及评分标准 第8页 共8页所以−−−'+=+=+=−+θθm n m n m n AM BN AM AM n m n m n ||||||||1111cos cos 2222222.…………………15分 由双曲线的定义+−=BQ QM MA n 2，得=+−QM n AM BQ 2，根据=BN BQ AM QM ||||||||，解得+=+⋅AM BN BQ n AM BN ||||||(2||)||， 同理根据=BN QN AM AQ ||||||||，解得+=+⋅AM BN AQ n BN AM ||||||(2||)||， 所以+++=+++=⋅+⋅+⋅AM BN AM BN AM BN n AQ BQ n BN AM n AM BN AM BN ||||||||||||2||||(2||)||(2||)||2||||+=+==+−+AM BN n nn n m n m n ||||112222222，……………………………16分 由内切圆性质可知，=++⋅S AB AQ BQ r 2(||||||)1， 当=λS r 时，=++=+=++λn nAB AQ BQ m m n m n 222(||||||)()1222（常数）． 因此，存在常数λ使得=λS r 恒成立，且=+λnm n 2()2．……………………………………17分by ：大辉狼数学。
高三理科数学一轮复习考试试题精选()分类汇编集合含答案
广东省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选（1)分类汇编1：集合一、选择题1 ．(广东省佛山市南海区2014届普通高中高三8月质量检测理科数学试题 ）设集合{}{}>1,|(2)0A x x B x x x ==-<，则B A 等于 （ ） A ．{|01}x x << B ．{}21<<x x C ．{}20<<x x D ．{|2}x x > 【答案】B2 ．(广东省深圳市宝安区2014届高三上学期调研测试数学理试卷)已知集合{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,2,3,4},{3,4,5},P Q ==则()U P C Q = （ ）A ．{1,2,3,4,6,}B ．{1,2,3,4,5}C ．{1,2,5}D ．{1,2}【答案】D3 ．（广东省湛江市第二中学2014届高三理科数学8月考试题 ）已知集合{}9|7|＜-=x x M ,{}2|9N x y x ==-，且N M 、都是全集U 的子集,则下图韦恩图中阴影部分表示的集合( )A ．{}23-≤-＜x xB ．}{23-≤≤-x xC ．}{16≥x xD ．}{16＞x x【答案】B4 ．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学(理）试题)设集合},02|{},,02|{22R x x x x N R x x x x M ∈=-=∈=+=，则=⋃N M ( )A ．}0{B ．}2,0{C ．}0,2{-D ．}2,0,2{-【答案】D5 ．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）（2013广东）设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则MN =( ）A ．{}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【答案】D6 ．（广东省广州市仲元中学2014届高三数学（理科）10月月考试题）己知集合[0,)M =+∞，集合{2N x x =>或}1x <-,U R =,则集合UM C N ⋂=( ）A ．{}|02x x <≤B ．{}|02x x ≤<C ．{}|02x x ≤≤D ．{}|02x x <<【答案】C7 ．（广东省广州市执信、广雅、六中2014届高三9月三校联考数学（理）试题）已知全集U R =,集合{}Z x x x A ∈≤=,1|， {}02|2=-=x x x B ,则图中的阴影部分表示的集合为（ )A ．{}1-B ．{}2C ．{}2,1D ．{}2,0【答案】B8 ．（广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学（理）试题）设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则A B = （ ）A ．{0,2,4}--B ．{0,2,4}-C ．{0,2,4}D ．{0,1,2}【答案】D9 ．（2013-2014学年广东省(宝安中学等）六校第一次理科数学联考试题）设U=R ，集合2{|2,},{|40}xA y y x RB x Z x==∈=∈-≤,则下列结论正确的是 ( )A ．(0,)AB =+∞ B ．(](),0UCA B =-∞C ．(){2,1,0}UCA B =--D ．(){1,2}UCA B =【答案】C10．(广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）已知集合{}{}1,2,3,14M N x Z x ==∈<<，则 （ ）A ．N M ⊆B ．N M =C ．}3,2{=N MD ．)4,1(=N M 【答案】{}{}3,241=<<∈=x Z x N ,故}3,2{=N M ，故选 C ．11．(广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试（一）数学理试题）已知集合(){,A x y =∣,x y 为实数，且}221x y +=，(){,B x y =∣,x y 为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为 （ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】C12．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第二次月考测试数学（理)试题）已知集合2{|10},{|0},A x xB x x x =+>=-<则=B A（ ）A ．{|1}x x >-B ．{|11}x x -<<C ．{|01}x x <<D ．{|10}x x -<<【答案】C13．（广东省珠海市2014届高三9月开学摸底考试数学理试题)已知集合{1}A x x =>，2{20}B x x x =-<,则A B ⋃= （ ）A ．{0}x x >B ．{1}x x >C ．{12}x x <<D ．{02}x x <<【答案】A14．（广东省韶关市2014届高三摸底考试数学理试题）若集合}1|{2<=x x M ,1{|}N x y x==,则N M = （ ）A ．NB ．MC ．φD ．{|01}x x <<【答案】解析:D ．M =｛|x —1〈x<1｝, N={|x 0x >}NM ={|01}x x <<15．（广东省兴宁市沐彬中学2014届上期高三质检试题 数学（理科））设集合{|20}A x x =+=，集合2{|40}B x x =-=，则A B =（ )A ．{2}-B ．{2}C ．{2,2}-D ．∅【答案】A16．（广东省南雄市黄坑中学2014届高三上学期第一次月考测试数学（理)试题）已知集合}2,1,0{},1,0,1{=-=N M ，则如图所示韦恩图中的阴影部分所表示的集合为（ ）A ．}1,0{B ．}1,0,1{-C ．}2,1{-D ．}2,1,0,1{-【答案】C17．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期期中考试数学(理）试题）设集合2{103A x x x =+-≥0},{1B x m =+≤x ≤21}m -，如果有AB B =，则实数m 的取值范围是 （ ）A ．(,3]-∞B ．[3,3]-C ．[2,3]D ．[2,5]【答案】A18．（广东省珠海四中2014届高三一轮复习测试(一）数学理试题）若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<,则集合A B = ( ） A ．{}|11x x -<< B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x <<【答案】D19．（广东省汕头市金山中学2014届高三上学期开学摸底考试数学（理）试题）设S 是至少含有两个元素的集合,在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的S b a ∈,,对于有序元素对()b a ,,在S 中有唯一确定的元素b a *与之对应),若对任意的S b a ∈,,有b a b a =**)(，则对任意的S b a ∈,,下列等式中不．恒成立的是 ( )A ．[]()a b a a b a =****)(B ．b b b b =**)(C ．a a b a =**)(D ．[]b b a b b a =****)()(【答案】C20．（广东省惠州市2014届高三第一次调研考试数学（理)试题）对于任意两个正整数,m n ，定义某种运算“※”如下：当,m n 都为正偶数或正奇数时，m ※n =m n +;当,m n 中一个为正偶数，另一个为正奇数时,m ※n =mn 。
【数学】广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科数学试题参考答案
【关键字】数学广东省深圳市高三年级第一次调研考试理科数学试题&参照答案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合，则（）A．B．C．D．2.若复数为纯虚数，其中为虚数单位，则（）A．-3 B．-2 C．2 D．33. 袋中装有大小相同的四个球，四个球上分别标有数字“2”，“3”，“4”，“6”.现从中随机选取三个球，则所选的三个球上的数字能构成等差数列的概率是（）A．B．C．D．4.设，则大小关系正确的是（）A．B． C. D．5. 的内角的对边分别为，已知，则的面积为（）A．B． C. D．6.若双曲线的焦点到渐近线的距离是焦距的，则该双曲线的离心率为（）A．B． C. 2 D．7.将函数的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单位，得到的函数的一个对称中心是（）A．B． C. D．8. 函数的图象大致是（）A．B．C. D．9.祖冲之之子祖暅是我国南北朝时代伟大的科学家，他在实践的基础上提出了体积计算的原理：“幂势既同，则积不容异”.意思是，如果两个等高的几何体在同高处截得的截面面积恒等，那么这两个几何体的体积相等.此即祖暅原理.利用这个原理求球的体积时，需要构造一个满足条件的几何体，已知该几何体三视图如图所示，用一个与该几何体的下底面平行相距为的平面截该几何体，则截面面积为（）A．B． C. D．10. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的值为（）A．335 B．336 C. 337 D．33811. 已知棱长为2的正方体，球与该正方体的各个面相切，则平面截此球所得的截面的面积为（）A．B． C. D．12. 若在上存在最小值，则实数的取值范围是（）A．B． C. D．第Ⅰ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上13.已知向量，若，则．14. 已知是锐角，且．15.直线与圆相交于两点，若，则实数的取值范围是．16.若实数满足不等式组，目标函数的最大值为12，最小值为0，则实数．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.设为数列的前项和，且．（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和．18. 如图，四边形为菱形，四边形为平行四边形，设与相交于点，．（1）证明：平面平面；（2）若，求三棱锥的体积．19.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200度的部分按0.5元/度收费，超过200度但不超过400度的部分按0.8元/度收费，超过400度的部分按1.0元/度收费.（1）求某户居民用电费用（单位：元）关于月用电量（单位：度）的函数解析式；（2）为了了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的点80%，求的值；（3）在满足（2）的条件下，估计1月份该市居民用户平均用电费用（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．20.已成椭圆的离心率为．其右顶点与上顶点的距离为，过点的直线与椭圆相交于两点．（1）求椭圆的方程；（2）设是中点，且点的坐标为，当时，求直线的方程．21.已知函数是的导函数，为自然对数的底数．（1）讨论的单调性；（2）当时，证明：；（3）当a e >时，判断函数()f x 零点的个数，并说明理由．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中xOy 中，曲线E的参数方程为2cos x y αα=⎧⎪⎨=⎪⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）写出曲线E 的普通方程和极坐标方程；（2）若直线l 与曲线E 相交于点A B 、两点，且OA OB ⊥，求证：2211OA OB +为定值，并求出这个定值．23.选修4-5：不等式选讲已知()(),3f x x a g x x x =+=+-．（1）当1a =，解不等式()()f x g x <；（2）对任意[]()()1,1,x f x g x ∈-<恒成立，求a 的取值范围．参考答案一、选择题1-5: BBCBA 6-10: DACDC 11、12：DD二、填空题13. 15. 4,3⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦ 16. 3 三、解答题17.解:（1）当1n =时，11112112a S a a ==-+=，易得110,1a b ==； 当2n ≥时，()1121211n n n n n a S S a n a n --=-=-+---+⎡⎤⎣⎦，整理得121n n a a -=+，∴()111212n n n n b a a b --=+=+=，∴数列{}n b 构成以首项为11b =，公比为2等比数列，∴数列{}n b 的通项公式()12*n n b n N -=∈；（2）由（1）知12n n b -=，则12n n nb n -=，则01211222322n n T n -=⨯+⨯+⨯++⨯，① ∴12321222322n n T n =⨯+⨯+⨯++⨯，②由①-②得：0121121212122n n n T n --=⨯+⨯+⨯++⨯-⨯12221212nn n n n n -=-⨯=--⨯-， ∴()121n n T n =-+.18.解：（1）证明：连接EG ，∵四边形ABCD 为菱形，∵,,AD AB BD AC DG GB =⊥=，在EAD ∆和EAB ∆中，,AD AB AE AE ==，EAD EAB ∠=∠，∴EAD EAB ∆≅∆，∴ED EB =，∴BD EG ⊥，∵AC EG G =，∴BD ⊥平面ACFE ，∵BD ⊂平面ABCD ，∴平面ACFE ⊥平面ABCD ；（2）解法一：连接,EG FG ，∵BD ⊥面,ACFE FG ⊂平面ACFE ，∴FG BD ⊥， 在平行四边形ACFE 中，易知0060,30EGA FGC ∠=∠=，∴090EGF ∠=，即FG EG ⊥，又因为,EG BD 为平面BDE 内的两条相交直线，所以FG ⊥平面BDE ，所以点F 到平面BDE 的距离为3FG =， ∵12332BDE S ∆==， ∴三棱锥F BDE -的体积为13333=.解法二：∵//,EF 2GC EF GC =，∴点F 到平面BDE 的距离为点C 到平面BDE 的距离的两倍，所以2F BDE C BDE V V --=，作EH AC ⊥，∵平面ACFE ⊥平面,ABCD EH ⊥平面ABCD ，∴1132322C BDE E BCD V V --==⨯⨯=， ∴三棱锥F BDE -.19.解析：（1）当0200x ≤≤时，0.5y x =；当200400x <≤时，()0.52000.82000.860y x x =⨯+⨯-=-，当400x >时，()0.52000.8200 1.0400140y x x =⨯+⨯+⨯-=-，所以y 与x 之间的函数解析式为：0.5,02000.860,200400140,400x x y x x x x ≤≤⎧⎪=-<≤⎨⎪->⎩；（2）由（1）可知：当260y =时，400x =，则()4000.80P x ≤=，结合频率分布直方图可知：0.121000.30.81000.050.2b a +⨯+=⎧⎨+=⎩， ∴0.0015,0.0020a b ==；（3）由题意可知：当50x =时，0.55025y =⨯=，∴()250.1P y ==，当150x =时，0.515075y =⨯=，∴()750.2P y ==，当250x =时，0.52000.850140y =⨯+⨯=，∴()1400.3P y ==， 当350x =时，0.52000.8150220y =⨯+⨯=，∴()2200.2P y ==，当450x =时，0.52000.8200 1.050310y =⨯+⨯+⨯=，∴()3100.15P y ==， 当550x =时，0.52000.8200 1.0150410y =⨯+⨯+⨯=，∴()4100.05P y ==， 故250.1750.21400.32200.23100.154100.05170.5y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.20.解：（1）由题意可知：225a b +=，又222c e a b c a ===+，∴a b ==，所以椭圆C 的方程为22:132x y C +=； （2）①若直线l 的斜率不存在，此时M 为原点，满足QM AB ⊥，所以，方程为0x =，②若直线l 的斜率存在，设其方程为()()11222,,,,y y kx A x y B x =+，将直线方程与椭圆方程联立可得222132y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，即()22231260k x kx +++=， 可得1222122372480k x x k k -⎧+=⎪+⎨⎪∆=->⎩，设()00,M x y ，则00222664,2232323k k x y k k k k--==+=+++， 由QM AB ⊥可知00125y k x =--， 化简得23520k k ++=，解得1k =-或23k =-，将结果代入272480k ∆=->验证，舍掉23k =-， 此时，直线l 的方程为20x y +-=，综上所述，直线l 的方程为0x =或20x y +-=.21.解（1）对函数()f x 求导得()()1ln g x f x a x x'==+， ()2211a ax g x x x x-'=-=， ①当0a ≤时，()0g x '<，故()g x 在()0,+∞上为减函数；②当0a >时，解()0g x '>可得1x a >，故()g x 的减区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，增区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （2） ()2a a g e a e -=-+，设()2x h x e x =-，则()2x h x e x '=-， 易知当x e >时，()0h x '>，()220x e h x e x e e =->->；（3）由（1）可知，当a e >时，()g x 是先减再增的函数， 其最小值为111ln ln 10g a a a a a a ⎛⎫⎛⎫=+=+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 而此时()1110,0a a a g e e g e --⎛⎫=+>> ⎪⎝⎭，且11a a e e a -<<，故()g x 恰有两个零点12,x x ，∵当()10,x x ∈时，()()0f x g x '=>；当()12,x x x ∈时，()()0f x g x '=<；当()2,x x ∈+∞时，()()0f x g x '=>，∴()f x 在12,x x 两点分别取到极大值和极小值，且110,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， 由()1111ln 0g x a x x =+=知111ln a x x =-， ∴()()11111111ln 3ln 2ln f x ax x ax x x =+-+=++， ∵1ln 0x <，∴111ln 2ln x x +≤-，但当111ln 2ln x x +=-时，11x e =，则a e =，不合题意，所以()10f x <，故函数()f x 的图象与x 轴不可能有两个交点. ∴函数()f x 只有一个零点.22.解：（1）曲线E 的普通方程为22143x y +=， 极坐标方程为22211cos sin 143ρθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， ∴所求的极坐标方程为22223cos 4sin 12ρθρθ+=；（2）不妨设设点,A B 的极坐标分别为()12,,,2A B πρθρθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，文档来源为:从网络收集整理.word 版本可编辑.欢迎下载支持.11文档收集于互联网，如有不妥请联系删除. 则()()2211222211cos sin 14311cos sin 14232ρθρθππρθρθ⎧+=⎪⎪⎨⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪+++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎩，即22212222111cos sin 43111sin cos 43θθρθθρ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩， ∴221211712ρρ+=，即2211712OA OB+=（定值）. 23.解：（1）当1a =，()1f x x =+，由()()f x g x <可得13x x x +<+-，即310x x x +-+->，当3x ≤-时，原不等式等价于20x -->，即2x <-，∴3x ≤-，当31x -<<-时，原不等式等价于40x +>，即4x >-，∴31x -<<-， 当1x ≥-时，原不等式等价于20x -+>，即2x <，∴12x -≤<， 综上所述，不等式的解集为(),2-∞；（2）当[]1,1x ∈-时，()3g x =，∴3x a +<恒成立，∴33a x -<+<，即33x a x --<<-，当[]1,1x ∈-时恒成立， ∴a 的取值范围22a -<<.此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word 可编辑版本！。
2014届高三数学区一检理科试题(带答案)
2014届高三数学区一检理科试题（带答案）高三理科数学质量检测试题（卷）2013.10本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考生作答时，将答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效，本试卷满分150分，考试时间为120分钟.注意事项：1.考生答题前，先将条形码贴在条形码区，并将本人姓名、学校、准考证号填写在相应位置.2.选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上.3.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.参考公式：，，，，，．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设，则“”是“”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件2.已知，函数的定义域为集合，则A.B.C.D.3.在一次投掷链球比赛中，甲、乙两位运动员各投掷一次，设命题是“甲投掷在80米之外”，是“乙投掷在80米之外”，则命题“至少有一位运动员没有投掷在80米之外”可表示为A.非或非B.或非C.非且非D.或4.设，，，则A.B.C.D.5.的内角的对边分别是，若，，，则A.B.C.D.6.已知，则的值等于A.B.C.D.7.函数的零点个数为A.B.C.D.8.已知函数，下列结论中错误的是A.存在，B.若是的极小值点，则在区间上单调递减C.若是的极值点，则D.函数无最大值9.已知函数为奇函数，且当时，，则A.B.C.D.10.若函数的图像关于直线对称，则的最大值是A.B.C.或D.不存在第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11.计算：；12.若直线与幂函数的图像相切于点，则直线的方程为；13.已知函数，其导函数的部分图像如图所示，则函数的解析式为；14.观察下列不等式：①；②；③；…则第个不等式为；15.给出下列三个命题中,其中所有正确命题的序号是.①函数在上的最小值是.②命题“函数，当，且时，有”是真命题.③函数，若，且，则动点到直线的最小距离是.三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)叙述并证明余弦定理.17.(本小题满分12分)已知向量，，，设函数.(1)求的最小正周期；(2)求在上的最大值和最小值.18.(本小题满分12分)已知关于的不等式的解集为.(1)当时，求集合；(2)当且时,求实数的范围.19.(本小题满分12分)甲厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求),每小时可获得的利润是元.(1)求证:生产千克该产品所获得的利润为元；(2)要使生产千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该选取何种生产速度?并求此最大利润.20.(本小题满分13分)设函数且是定义域为的奇函数．(1)求的值；(2)若，且在上的最小值为，求的值．21.(本小题满分14分)已知为函数图像上一点，为坐标原点，记直线的斜率．(1)若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.高三理科数学质量检测试题答案2013.10一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.A2.D3.A4.C5.B6.D7.B8.B9.C10.B二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．2912．13.14.15.②三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在△ABC中，为A，B，C的对边，有，，.（5分）证明：在△ABC中，(8分)∴(10分)∴同理可证：，.(12分)注:此题还有其它证法，酌情按步骤给分.17.(本小题满分12分)解：（1）（4分）的最小正周期.即函数的最小正周期为.（6分）（2），，（8分）由正弦函数的性质，当，即时，取得最大值1.（10分）当，即时，取得最小值.（12分）18．(本小题满分12分)解:解：（1）当时，……5分(2),①……8分,②……11分由①②知……12分19.(本小题满分12分)解:(1)每小时生产千克产品,获利,生产千克该产品用时间为,………3分所获利润为元.………6分(2)生产900千克该产品,所获利润为………9分所以,最大利润为元.………12分20．(本小题满分13分)解：（1）（法一）由题意，对任意，，即，………2分即，，………4分因为为任意实数，所以．………5分（法二）因为且是定义域为的奇函数．………2分所以，即，………4分解得………5分（2）由（1），因为，所以，解得．………7分故，，………8分令，则，………10分由，得，所以，………11分当时，在上是增函数，则，，解得（舍去）．………12分当时，则，，解得，或（舍去）．（13分）21．(本题满分14分)解：（1）由题意，……………2分所以………………4分当时，；当时，．所以在上单调递增，在上单调递减，故在处取得极大值．………………5分因为函数在区间（其中）上存在极值，所以，得．即实数的取值范围是．……………7分（2）由得，……………8分令，则．……………10分令，则，……………………11分因为所以,故在上单调递增．所以,从而……………………12分在上单调递增,所以实数的取值范围是．…………………………………………14分。
2014年深圳市第一次调研考试理科数学试题
频率 组距
频数
频率
0.7 0.6
(0,0.5] (0.5, 1]
(1, 1.5]
3
x
0.05
p
0.5 0.4 0.3 0.2 0.1
金额（千元）
9
0.15
(1.5,2] (2,2.5] (2.5,3]
合计
15 18
0.25 0.30
q
y
60
1.00
0
0.5
1
1.5
2
(2)
2.5
（1）求 的值； （2）在 ABC 中， A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ，若 a2 b2 c2 ab ， 且 f(
A π 2 ．求 sin B ． ) 2 12 2
17． （本小题满分 12 分） 某网络营销部门为了统计某市网友 2013 年 11 月 11 日在某淘宝店的网购情况，随机 抽查了该市当天 60 名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图 5（1） ） ：
y
l
M
B
Q
O
P
x
图7
A
21． （本小题满分 14 分） 9x 已知函数 f ( x) (a 0) ． 1 ax 2
1 （1）求 f ( x)在[ ,2] 上的最大值； 2
（2）若直线 y x 2a 为曲线 y f ( x)的切线，求实数 a 的值；
1 … ,x14 , 2 ， 且 x1 + x 2 + … + x 1 4 （ 3 ） 当 a 2 时 ， 设 x1 ,x2 , 14 ， 若 不 等 式 2
绝密★启用前
试卷类型：A
深圳市高级中学2014高三数学理第一次月考试题含答案
深圳市高级中学2014届第一次月考数学（理）试题注：请将答案填在答题卷．．．．．．．．．．．相应的位置．．．．．上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知全集U R =，集合11,2xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭3{|log 0}B x x =>,则()U A C B ⋂=A. {}0x x <B. {}1x x >C. {}01x x <≤D. {}01x x <<2. 如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是 A ．8a ≥ B ．8a ≤ C ．4a ≥ D ．4a ≥-3. 下列函数中，满足22()[()]f x f x =的是新 课 标 第 一 网 A ．()ln f x x =B ．()|1|f x x =+C ．3()f x x =D ．()x f x e =4. 已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，下面结论错误．．的是 A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是偶函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 5. 给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”；③在ABC ∆中，“45A >”是“sin A >”的充要条件。
④命题 “00,0xx R e ∃∈≤”是真命题. 其中正确的命题的个数是A. 3B. 2C. 1D. 06. 定义行列式运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3；将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin x 1 cos x 的图象向左平移n (n >0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为( )A.π6B.π3C.5π6D.2π37. 函数x x e xy e x+=-的一段图象是8. 设函数[],0(),(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩其中][x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]-=-2，]2.1[=1，]1[=1，若直线y=)0(>+k k kx 与函数y=)(x f 的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是A ．]31,41( B ．]41,0( C ．]31,41[ D ．)31,41[二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9. 已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = .10. 已知1sin()33πα-=，则5cos()6πα-=_____________.11. 曲线0,2y y y x ===-所围成的封闭图形的面积为 ．12. 已知函数2()1,f x x mx =++若命题“000,()0x f x ∃><”为真，则m 的取值范围是___.13. 设25abm ==，且112a b +=，则m = _________. 14. 若关于x 的方程2xkx =有四个不同的实数解，则实数k 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分） 已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2 （I ）求函数)(x f 的最小正周期；（II ）确定函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的单调性并求在此区间上)(x f 的最小值.16．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ，x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1，0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．17. （本小题满分14分）已知等比数列{}n a 中，232a =，812a =，1n n a a +<． (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ)设21222log log log n n T a a a =++⋅⋅⋅+，求n T 的最大值及相应的n 值． 18. （本小题满分14分）设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足条件：（1）(1)(1)f x f x -+=--；（2）函数在y 轴上的截距为1，且3(1)()2f x f x x +-=+. (1)求()f x 的解析式;(2)若[,1],()x t t f x ∈+的最小值为()h t ,请写出()h t 的表达式;(3)若不等式()11()f x tx ππ->在[2,2]t ∈-时恒成立,求实数x 的取值范围.19.（本题满分14分）已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274.（1）求()f x 的解析式（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值. 20．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x a x =--，a ∈R .(Ⅰ)若2a =，求函数()f x 在区间[]1e ，上的最值；(Ⅱ)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 注：e 是自然对数的底数深圳市高级中学2014届第一次月考数学（理）答卷一、选择题：（共8小题，每小题5分，共计40分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8选项二、填空题：（共6小题，每小题5分，共计30分）x k b 1.c o m9． 10． 11．12． 13． 14．三、解答题：（共6小题，共计80分，解答写出文字说明、证明过程或演算步骤）15.16.17.18.19.x k b 1 .c o m 20.深圳市高级中学2014届第一次月考数学（理）试题 答案注：请将答案填在答题卷．．．．．．．．．．．相应的位置．．．．．上．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知全集U R =，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，3{|log 0}B x x =>则()U A C B ⋂=CA. {}0x x <B. {}1x x >C. {}01x x <≤D. {}01x x <<2. 如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是（ A ） A ．8a ≥ B ．8a ≤ C ．4a ≥ D ．4a ≥-3. 下列函数中，满足22()[()]f x f x =的是C A ．()ln f x x =B ．()|1|f x x =+C ．3()f x x =D ．()x f x e =4. 已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，下面结论错误．．的是C A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是偶函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 5. 给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”；③在ABC ∆中，“45A >”是“sin 2A >”的充要条件。
2014届高三数学调研考试卷(理科)
1 / 4试卷类型：A广州市2014届高三年级调研测试数 学（理 科） 2014．1本试卷共4页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上．用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答．漏涂、错涂、多涂的，答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．参考公式：锥体体积公式13V Sh =，其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高．一．选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知i 为虚数单位， 则复数i2i-的模等于 ABCD2．设集合{}0322=--=x x x A ，{}12==x x B ，则B A 等于A ．{}1-B ．{}1,3C ．{}1,1,3-D ．R 3．已知向量(3,1)=a ，(,2)x =-b ，(0,2)=c ，若()⊥-a b c ，则实数x 的值为 A ．43 B ．34 C ．34- D ．43- 4．定义在R 上的函数()f x 满足2log (16), 0,()(1), 0,x x f x f x x -≤⎧=⎨->⎩则()3f 的值为A ．4-B ．2C ．2log 13D ．42 / 45．函数()()sin f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，2πϕ<）的部分图象如图1所示，则函数()y f x =对应的解析式为 A ．sin 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭B ．sin 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭C ．cos 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭D ．cos 26y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭6．执行如图2的程序框图，如果输入的N 的值是6，那么输出的p 的值是A ．15B ．105C ．120D ．7207．若点(1,0)A 和点(4,0)B 到直线l 的距离依次为1和2，则这样的直线有A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条8．对于实数a 和b ，定义运算“*”：a *2221, ,, .a ab a b b b ab a b ⎧-+-≤⎪=⎨->⎪⎩设()()21f x x =-*()1x -，且关于x 的方程为()()f x m m =∈R 恰有三个互不相等的实数根1x ，2x ，3x ，则321x x x ⋅⋅的取值范围是 A ．1,032⎛⎫-⎪⎝⎭ B ．1,016⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．10,32⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．10,16⎛⎫⎪⎝⎭ 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．在等比数列{}n a 中，若1323a a a =⋅，则4a = ．10．若x ，y 满足约束条件0,0,1,3412,x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨-≥-⎪⎪+≤⎩则x y +的最大值为_______．11．如图3，设D 是图中边长为4的正方形区域，E 是D 内函数2y x =图象下方的点构成的区域．在D 内随机取一点，则该点落在E 中的概率为 ． 12．已知点P 在曲线4e 1xy =+（其中e 为自然对数的底数）上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则αtan 的取值范围是 ．13．有4名优秀学生A ，B ，C ，D 全部被保送到甲，乙，丙3所学校，每所3 / 4学校至少去一名，则不同的保送方案共有 种．（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图4，AC 为⊙O 的直径，OB AC ⊥，弦BN 交AC 于点M ．若OC =1OM =，则MN 的长为 ． 15．（坐标系与参数方程选讲选做题）若点(,)P x y 在曲线2cos sin x y θθ=-+⎧⎨=⎩（θ为参数，θ∈R ）上，则y x 的取值范围是 ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c，且cos 23A C +=． （1）求cosB 的值；（2）若3a =，b =c 的值． 17．（本小题满分12分）空气质量指数PM2.5 (单位:3/m μg )表示每立方米空气中可入肺颗粒物的含量，这个值越高，代表空气污染越严重．PM2.5的浓度与空气质量类别的关系如下表所示：从甲城市2013年9月份的30天中随机抽取15天的PM2.5日均浓度指数数据茎叶图如图5所示． （1）试估计甲城市在2013年9月份30天的空气质量类别为优或良的天数； （2）在甲城市这15个监测数据中任取2个，设X 为空气质量类别为优或良的天数，求X 的分布列及数学期望．18．（本小题满分14分）在如图6的几何体中，平面CDEF 为正方形，平面ABCD 为等腰梯形，AB∥CD ，BC AB 2=，3 2 0 45 56 47 6 9 78 8 0 79 1 8 0 9 图5B4 / 460ABC ︒∠=，AC FB ⊥．（1）求证：⊥AC 平面FBC ；（2）求直线BF 与平面ADE 所成角的正弦值． 19．（本小题满分14分）已知数列{a n }满足135a =，1321n n n a a a +=+，*n ∈N ．（1）求证：数列1 1 n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； （2）是否存在互不相等的正整数m ，s ，t ，使m ，s ，t 成等差数列，且1m a -，1s a -，1t a -成等比数列？如果存在，求出所有符合条件的m ，s ，t ；如果不存在，请说明理由．20．（本小题满分14分）设函数()313f x x ax =-()0a >，()221g x bx b =+-. （1）若曲线()x f y =与()x g y =在它们的交点()c ,1处有相同的切线，求实数a ，b 的值； （2）当12ab -=时，若函数()()()h x f x g x =+在区间()0,2-内恰有两个零点，求实数a 的取值范围；（3）当1a =，0b =时，求函数()()()h x f x g x =+在区间[]3,+t t 上的最小值．21．（本小题满分14分）如图7，已知椭圆C 的方程为()222210x y a b a b +=>>，双曲线12222=-by a x 的两条渐近线为21,l l ．过椭圆C 的右焦点F 作直线l ，使1l l ⊥，又l 与2l 交于点P ，设l 与椭圆C 的两个交点由上至下 依次为A ，B ．（1）若1l 与2l 的夹角为60°，且双曲线的焦距为4，求椭圆C 的方程；（2）求||||AP FA 的最大值．图7。
广东省六校2014届高三上学期第一次联考数学理试题
2014届高三六校第一次联考理科数学试题命题学校：深圳实验学校第一部分选择题（共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. “1x≥”是“2x>”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2. 已知2(,)a ib i a b Ri+=-∈，其中i为虚数单位，则a b+＝（）A.－1 B．1 C．2 D．33. 若)1,0(∈x，则下列结论正确的是（）A．xxx2lg21>>B．21lg2xxx>>C．xx x lg221>>D．xxx lg221>>4.下列四个命题中，正确的是（）A．已知ξ服从正态分布()2,0σN，且()4.022=≤≤-ξP，则()2.02=>ξPB．已知命题1tan,:=∈∃xRxp;命题01,:2>+-∈∀xxRxq．则命题“qp⌝∧”是假命题C．设回归直线方程为xy5.22-=，当变量x增加一个单位时，y平均增加2个单位D．已知直线13:1=-+yaxl,01:2=++byxl，则21ll⊥的充要条件是ba=-35.）ABCD6. 若动圆的圆心在抛物线212x y =上，且与直线30y +=相切，则此圆恒过定点（ ）A.(0,2)B.(0,3)-C.(0,3)D.(0,6)7. 设x ，y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≥+-≤--0,002063y x y x y x ，若目标函数z ax by =+（0a >，0b >）的最大值为12，则ab 的取值范围是（ ）A. 3(0,]2B. 3(0,)2C. 3[,)2+∞D. (0,)+∞8. 记集合{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}T =, M=}4,3,2,1,|10101010{4433221=∈+++i T a aa a a i ,将M 中的元素按从大到小排列，则第2013个数是（ ）A. 234798710101010+++ B. 234567810101010+++ C. 234697310101010+++ D. 432101109109107+++第二部分 非选择题（共110分）二、填空题: 本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 （一）必做题（9～13题）9． 在()7a x +展开式中4x 的系数为35,则实数a 的值为 .10．计算定积分)120x dx =⎰.11.已知双曲线C 的焦点、实轴端点恰好是椭圆2212516x y +=的长轴端点、焦点，则双曲线C 的渐近线方程是____________________.12．在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，已知5=a ，325=b ，4π=A ，则=B cos .13．将石子摆成如图1的梯形形状.称数列5,9,14,20, 为“梯形数”.根据图形的构成,数列第6项6a = ;第n 项n a = .（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线6πθ=（R ρ∈）截圆2cos()6πρθ=-所得弦长是 .15．（几何证明选讲选做题）如图（图2）AB 是圆O 的直径，过A 、B 的两条弦AD 和BE 相交于点C ，若圆O 的半径是3，那么AC AD BC BE ⋅+⋅的值等于________________.图2三、解答题：本大题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. （本小题满分12分）甲乙丙三人商量周末去玩，甲提议去市中心逛街，乙提议去城郊觅秋，丙表示随意。
深圳市宝安区2014届高三调研测试理科数学试卷
2013-2014学年第一学期宝安区高三调研测试卷数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{1,2,3,4,5,6},U =集合{1,2,3,4},{3,4,5},P Q ==则()U P C Q = ( ). A.{1,2,3,4,6,} B. {1,2,3,4,5} C. {1,2,5} D. {1,2}2.复数1(i i+其中i 是虚数单位）=（ ）.A.0B.12i C. 2i - D. 2i3.已知平面向量),1,1(),1,1(-==b a 则向量=+b a 2321（ ）.A. )1,2(--B. )1,2(-C. )0,1(-D. )2,1(4.为了了解深圳市高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17.5—18岁的男生体重（kg ）,得到频率分布直方图如下：根据上图可得这100名学生中，体重在[56.5,64.5]的学生人数是（ ）. 5.下列函数中，在其定义域中，既是奇函数又是减函数的是（ ）.A. x x f -=)( B. x x x f 22)(-=-C. x x f tan )(-=D. xx f 1)(=6. 运行右图框图输出的S 是254，则①应为（ ）. A. 5≤n B. 6≤n C. 7≤n D. 8≤n7.函数))(4sin()4sin(2)(R x x x x f ∈+-=ππ是（ ）.A.最小正周期为π2的奇函数B. 最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为π2的偶函数D. 最小正周期为π的偶函数8.给出下列关于互不相同的直线n l m ,,和平面βα,的四个命题： ①若,,A l m =⊂αα 点m A ∉，则l 与m 不共面；②若l m ,是异面直线，αα//,//m l ，且m n l m ⊥⊥,，则α⊥n ； ③若βαβα//,//,//m l ，则m l //；kg ）④若,//,//,,,ββααm l A m l m l =⊂⊂ ，则βα//.二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分 (一)必做题（9—13题）9.右图中的三个直角三角形是一个体积为20cm 3的几何体的三视图， 则h=______cm.10.若函数,8))1((),0(3),0(lg )(02=⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=⎰f f x dt t x x x x f a则 a 的值为__________.11.已知}{n a 为等差数列，若π8931=++a a a ，则 )cos(82a a +的值为________.12.以抛物线x y 202=的焦点为圆心，且与双曲线191622=+y x 的两条渐近线都相切的圆的方程为______________________.13.实数y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≤->≤≥,0),1(,1y x a a y x 若目标函数y x z +=取得最大值4，则实数a 的值为________.(二)选做题（14—15题）14.（几何证明选讲选做题）如图，⊙O 的割线PAB 交⊙O 于A,B 两点，割线PCD 经过圆心O ，已知 PA=6，AB=,322PO=12，则⊙O 的半径是________. 15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，经过点)4,22(π作圆θρsin 4=的切线，则切线的极坐标方程为________________.三、解答题：本题共6小题，满分80分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.16.本小题12分） 已知函数)2||,0,0)(sin()(πϕωϕω<>>+=A x A x f（1)求函数)(x f 的解析式； （2）若),2,0(,1)62(πθπθ∈=+f 求).4cos(πθ- 17.（本小题12分）为了参加2013年东亚运动会，从四支较强的排球队中选出18人 （1（2）比赛结束后，若要求选出两名队员代表发言，及数学期望.18. （本小题14分）如图，三棱锥P-ABC 中，PA ⊥平面ABC,PB=BC=CA=4，∠BCA=90°,E 为PC 中点. (1)求证：BE ⊥平面PAC ；（2）求二面角E-AB-C 的正弦值.19.（本小题14分）侧视图俯视图正视图 cm)A PDC BAO设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1122n n S -=-， （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设21222log log log ,n n T a a a =+++ 求证：121112(,2)nn n T T T +++>-∈≥*N 20. （本小题14分）已知点(0,1),F 直线:1,l y P =-为平面上的动点，过点P 作直线l 的垂线，垂足为Q ，且QP QF FP FQ ⋅=⋅uu u r uu u r uu r uu u r .（1）求动点P 的轨迹方程；（2）,A B 是轨迹M 上异于坐标原点O 的不同两点，轨迹M 在点,A B 处的切线分别为12,l l ，且12l l ⊥，12,l l 相交于点D ，求点D 的纵坐标.21．（本小题14分）已知函数21()(21)2ln 2f x ax a x x =-++. (1)若曲线()y f x =在1x =和4x =处的切线相互平行，求a 的值； （2）试讨论()y f x =的单调性；（3）设2()2,g x x x =-对任意的1(0,2]x ∈，均存在2(0,2]x ∈，使得12()(),f x g x <试求实数a 的取值范围.2013-2014学年第一学期宝安区高三调研测试卷答案一、选择题：1、D 2、A 3、B 4、A 5、B ． 6、C. 7、B 8、D二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分9.4cm h =10、2 11、21- 12、22(5)9x y -+=13、2a =。
2014年广东高考试卷理科数学(含全部答案)
2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学(理)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{1,0,1},{0,1,2},M N =-=则M N ⋃=A ．{1,0,1}- B. {1,0,1,2}- C. {1,0,2}- D. {0,1} 答案:B2.已知复数Z 满足(34)25,i z +=则Z=A ．34i - B. 34i + C. 34i -- D. 34i -+ 答案:A 2525(34)25(34):=34,.34(34)(34)25i i z i i i i --===-++-提示故选A 3.若变量,x y 满足约束条件121y xx y z x y y ≤⎧⎪+≤=+⎨⎪≥-⎩且的最大值和最小值分别为M 和m ，则M-m=A ．8 B.7 C.6 D.5:(),(2,1)(1,1)3,3,6,.CM m M m C --==-∴-=答案:提示画出可行域略易知在点与处目标函数分别取得最大值与最小值选4.若实数k 满足09,k <<则曲线221259x y k -=-与曲线221259x y k -=-的 A ．离心率相等 B.虚半轴长相等 C. 实半轴长相等 D.焦距相等09,90,250,(9)34(25)9,k k k k k k <<∴->->+-=-=-+答案:D提示:从而两曲线均为双曲线,又25故两双曲线的焦距相等,选D.5.已知向量()1,0,1,a =-则下列向量中与a 成60︒夹角的是A ．（-1,1,0） B.（1,-1,0） C.（0,-1,1） D.（-1,0,1）0222222:(1,0,1)(1,1,0)11:,,60,.2210(1)1(1)0B B -⋅-=∴++-⋅+-+答案提示即这两向量的夹角余弦值为从而夹角为选6、已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为 A. 200,20 B. 100,20 C. 200,10 D. 100,10::(350045002000)2%200,20002%50%20,.AA ++⋅=⋅⋅=∴答案提示样本容量为抽取的高中生近视人数为:选7.若空间中四条两两不同的直线1234,,,l l l l ，满足122334,,l l l l l l ⊥⊥⊥，则下列结论一定正确的是 A.14l l ⊥ B.14//l l C.14,l l 既不垂直也不平行 D.14,l l 的位置关系不确定 答案:D 8.设集合(){}12345=,,,,{1,0,1},1,2,3,4,5i A x x x x xx i ∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为A.60B.90C.120D.130答案: D1234511122252551311225254:1,2,31:C 10;:C 40;:C C C 80.104080130,D .x x x x x C C A C C ++++=+=+=++=提示可取和为的元素个数为和为2的元素个数为和为3的元素个数为故满足条件的元素总的个数为选二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .(][)(][),32,:12532,,32,.-∞-+∞---∞-+∞答案:提示数轴上到与距离之和为的数为和故该不等式的解集为:10.曲线25+=-xe y 在点)3,0(处的切线方程为 .'5'0:530:5,5,35,530.xx x y y eyy x x y -=+-==-∴=-∴-=-+-=答案提示所求切线方程为即11.从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .367101:6:67,36,136,.6C C =答案提示要使为取出的个数中的中位数则取出的数中必有个不大于另外个不小于故所求概率为12.在ABC ∆中，角C B A ,,所对应的边分别为c b a ,,，已知b B c C b 2cos cos =+， 则=ba. 2222222:2::cos cos ,2, 2.sin cos sin cos 2sin ,sin()2sin ,sin 2sin ,2, 2.::2,24,222, 2.ab Cc B a a b bB C C B B B C B aA B a b ba b c a c b b b a ab ab ac aa b b+==∴=+=+=∴==∴=+-+-⋅+==∴==答案提示解法一由射影定理知从而解法二:由上弦定理得:即即解法三由余弦定理得即即13.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220l n l n l n a a a +++= .51011912101112202019151201011:100:,,ln ln ln ,ln ln ln ,220ln 20ln 20ln 100.a a a a a a e S a a a S a a a S a a a a e =∴==+++=+++∴====答案提示设则（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为2sincos ρθθ=和sin ρθ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1和C 2的交点的直角坐标为＿＿221212:(1,1):(sin )cos ,,:1,(1,1).C y x C y C C ρθρθ===∴答案提示即故其直角坐标方程为:的直角坐标方程为与的交点的直角坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且EB ＝2AE ，AC 与DE 交于点F ，则CDF AEF ∆∆的面积的面积＝＿＿＿22:9:,()()9.CDFAEF CDF CD EB AE AEF AE AE∆∆∴∆+===∆答案提示显然的面积的面积三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和 演算步骤．16、（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),4sin()(π，且23)125(=πf ， （1）求A 的值； （2）若23)()(=-+θθf f ，)2,0(πθ∈，求)43(θπ-f . 552332:(1)()sin()sin , 3.121243223(2)(1):()3sin(),4()()3sin()3sin()443(sin cos cos sin )3(sin()cos cos()sin )444423cos sin 46cos 326cos ,(0,),42f A A A f x x f f πππππππθθθθππππθθθθπθθπθθ=+==∴=⋅==+∴+-=++-+=++-+-===∴=∈解由得10sin 4331030()3sin()3sin()3sin 3.44444f θπππθθπθθ∴=∴-=-+=-==⨯=17、（13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：根据上述数据得到样本的频率分布表如下：（1）确定样本频率分布表中121,,n n f 和2f 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,50］的概率.(](]12120044472:(1)7,2,0.28,0.08;2525(2);(3),30,50:10.120.88,130,503:1(0.88)(0.12)1().25n n f f C ======-=-=-解略根据频率分布直方图可得工人们日加工零件数落在区间的概率为故至少有人的日加工零件数落在区间的概率为18.（13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，∠DPC ＝030，AF ⊥PC 于点F ，FE ∥CD ，交PD 于点E.（1）证明：CF ⊥平面ADF ；（2）求二面角D －AF －E 的余弦值.:(1):,,,,A ,,,,,,,,,,.(2):E EG//CF DF G,,,G GH AF H,EH,PD ABCD PD PCD PCD ABCD PCD ABCD CD D ABCD AD CD AD PCD CF PCD CF AD AF PC CF AF AD AF ADF ADAF A CF ADF CF DF EG DF ⊥⊂∴⊥=⊂⊥∴⊥⊂∴⊥⊥∴⊥⊂=∴⊥⊥∴⊥⊥∠解证明平面平面平面平面平面平面平面平面又平面平面解法一过作交于平面A 平面A 过作于连则0022,CD 2,30,130,==1,213324,,,=,,,3,2222333319322EG .,7,,42231933193193622,()()474747EHG D AF E DPC CDF CF CD DE CF DE CP EF DC DE DF DP CP DE EF AE AF EF DF AE EF EH HG AF --=∠=∴∠==∴=∴==⋅⋅======⋅⋅∴====-=为二面角的平面角设从而∥即还易求得EF=从而易得故3,476347257cos .1947319GH EHG EH ∴∠==⋅=12:,,,,,2,1(0,0,2),C(0,2,0),P(23,0,0),,(23,22,0),,,43331(,,0),(,0,0),ADF CP (3,1,0),2222AEF (x DP DC DA x y z DC A CF CP F DF CF F E n n λλλλ==-⊥===-=解法二分别以为轴建立空间直角坐标系设则设则可得从而易得取面的一个法向量为设面的一个法向量为2212212,y,z),0,0,43257(4,0,3),.19||||219n AE n AF n n n n n ⋅=⋅=⋅==⋅⨯利用且得可以是从而所求二面角的余弦值为19.（14分）设数列{}n a 的前n 和为n S ,满足2*1234,n n S na n n n N +=--∈，且315S =. (1)求123,,a a a 的值; (2)求数列{}n a 的通项公式;211222122331212121331221232121:(1)2314127+=432424()204(15)20,+83,,1587,53,5,7,(2)2342,2(1)3(1)4(n n n n a S a a a a S a S a a a a a a a a S a a a a a a S na n nn S n a n n +-==-⨯-⨯=-=-⨯-⨯=---=---∴==⎧∴=--=-=⎨=⎩====--∴≥=-----解①②联立①②解得综上③当时11121)2161,22(1)21,:()(1),1,3211,;(),,21,21611,22211(21)322411322232(1)11n n n k k k n n a a n na n i n a ii n k a k k k n k a a k k k k k k k k k k k n k ++-+-=+=+===⨯+==+-+=+=+-=⋅+++-=++=+=++=+④③④并整理得:由猜想以下用数学归纳法证明由知当时猜想成立假设当时猜想成立即则当时这就是说,,,2 1.n n N a n *∈=+时猜想也成立从而对一切20.（14分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个焦点为(5,0)，离心率为53，（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点00(,)P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.222220022002255:(1)5,,3,954,31.94(2),,4(3,2),(3,2).(),(),194(94)18(c c e a b a c a a x y C x y y y k x x x y y k x x y k x k y ====∴==-=-=∴+=-±±-=-=-++=++解椭圆的标准方程为:若一切线垂直轴则另一切线垂直于轴则这样的点P 共个,它们的坐标分别为若两切线不垂直于坐标轴,设切线方程为即将之代入椭圆方程中并整理得:2000022222200000022220000012202200)9()40,,0,(18)()36()4(94)0,4()4(94)0,4(9)240,,1,:1,913,(3,2),(3,2)kx x y kx k y kx y kx k y kx k y x k x y k y k k x x y ⎡⎤-+--=∆=⎣⎦⎡⎤----+=--+=⎣⎦-∴--+-=∴=-=--∴+=-±±依题意即:即两切线相互垂直即显然这四点也满足以上方22,13.P x y ∴+=程点的轨迹方程为21.（本题14分）设函数2221()(2)2(2)3f x x x k x x k =+++++-，其中2k <-，（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）； （2）讨论()f x 在区间D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()(1)f x f >的x 的集合（用区间表示）. .解：（１）可知222(2)2(2)30x x k x x k +++++->，22[(2)3][(2)1]0x x k x x k ∴+++⋅++->， 223x x k ∴++<-或221x x k ++>，2(1)2x k ∴+<--(20)k -->或2(1)2x k +>-(20)k ->，|1|2x k ∴+<--或|1|2x k +>-，12k ∴----<12x k <-+--或12x k <---或12x k >-+-， 所以函数()f x 的定义域D 为(,12)k -∞---(12,k ----12)k -+--(12,)k -+-+∞； （２）232222(2)(22)2(22)'()2(2)2(2)3x x k x x f x x x k x x k +++++=-+++++-23222(21)(22)(2)2(2)3x x k x x x k x x k ++++=-+++++-， 由'()0f x >得2(21)(22)0x x k x ++++<，即(1)(1)(1)0x k x k x +++-+<，1x k ∴<---或11x k -<<-+-，结合定义域知12x k <---或112x k -<<-+--， 所以函数()f x 的单调递增区间为(,12)k -∞---，(1,12)k --+--，同理递减区间为(12,1)k -----，(12,)k -+-+∞；（３）由()(1)f x f =得2222(2)2(2)3(3)2(3)3x x k x x k k k +++++-=+++-，2222[(2)(3)]2[(2)(3)]0x x k k x x k k ∴++-++++-+=， 22(225)(23)0x x k x x ∴+++⋅+-=，(124)(124)(3)(1)0x k x k x x ∴++--+---⋅+-=， 124x k ∴=----或124x k =-+--或3x =-或1x =， 6k <-，1(1,12)k ∴∈--+--，3(12,1)k -∈-----，12412k k ----<---，12412k k -+-->-+-， 结合函数()f x 的单调性知()(1)f x f >的解集为(124,12)k k -------(12,3)k -----(1,12)k -+--(12,124)k k -+--+--．.。
数学理卷·2014届广东省深圳中学高三上学期第一次月考(2013.09)
深圳中学2014届第一次月考数学（理）试题一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知全集U R =，集合11,2xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭3{|log 0}B x x =>,则()U A C B ⋂=A. {}0x x <B. {}1x x >C. {}01x x <≤D. {}01x x <<2. 如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是 A ．8a ≥ B ．8a ≤ C ．4a ≥ D ．4a ≥- 3. 下列函数中，满足22()[()]f x f x =的是 A ．()ln f x x =B ．()|1|f x x =+C ．3()f x x =D ．()xf x e =4. 已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，下面结论错误．．的是 A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是偶函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 5. 给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”；③在ABC ∆中，“45A > ”是“sin 2A >的充要条件。
④命题 “00,0x x R e∃∈≤”是真命题. 其中正确的命题的个数是A. 3B. 2C. 1D. 06. 定义行列式运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪a 1 a 2a 3 a 4＝a 1a 4－a 2a 3；将函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3 sin x 1 cos x 的图象向左平移n (n >0)个单位，所得图象对应的函数为偶函数，则n 的最小值为( )A.π6B.π3C.5π6D.2π37. 函数x x e x y e x+=-的一段图象是8. 设函数[],0(),(1),0x x x f x f x x -≥⎧=⎨+<⎩其中][x 表示不超过x 的最大整数，如[ 1.2]-=-2，]2.1[=1，]1[=1，若直线y=)0(>+k k kx 与函数y=)(x f 的图象恰有三个不同的交点，则k 的取值范围是 A ．]31,41( B ．]41,0( C ．]31,41[ D ．)31,41[二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分．9. 已知函数3log ,0()2,0x x x f x x >⎧=⎨≤⎩，则1(())9f f = .10. 已知1sin()33πα-=，则5cos()6πα-=_____________.11. 曲线0,2y y y x ===-所围成的封闭图形的面积为 ．12. 已知函数2()1,f x x mx =++若命题“000,()0x f x ∃><”为真，则m 的取值范围是___.13. 设25abm ==，且112a b +=，则m = _________. 14. 若关于x 的方程2xkx =有四个不同的实数解，则实数k 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．15．（本小题满分12分） 已知函数R x x x x f ∈--=,21cos 2sin 23)(2 （I ）求函数)(x f 的最小正周期；（II ）确定函数)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的单调性并求在此区间上)(x f 的最小值.16．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫π3x ＋φ，x ∈R ，A ＞0，0＜φ＜π2，y ＝f (x )的部分图象如图所示，P 、Q 分别为该图象的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；(2)若点R 的坐标为(1，0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．17. （本小题满分14分）已知函数f (x )＝13ax 3＋bx 2＋x ＋3，其中a ≠0.(1)当a ，b 满足什么条件时，f (x )取得极值？(2)已知a ＞0，且f (x )在区间(0,1]上单调递增，试用a 表示出b 的取值范围18. （本小题满分14分）设二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠满足条件：（1）(1)(1)f x f x -+=--；（2）函数在y 轴上的截距为1，且3(1)()2f x f x x +-=+. (1)求()f x 的解析式;(2)若[,1],()x t t f x ∈+的最小值为()h t ,请写出()h t 的表达式; (3)若不等式()11()f x tx ππ->在[2,2]t ∈-时恒成立,求实数x 的取值范围.19.（本题满分14分）已知函数32()f x x ax bx c =+++的图象如图，直线0y =在原点处与函数图象相切，且此切线与函数图象所围成的区域(阴影)面积为274.（1）求()f x 的解析式（2）若常数0m >，求函数()f x 在区间[],m m -上的最大值. 20．（本小题满分14分）已知函数()ln f x x x a x =--，a ∈R .(Ⅰ)若2a =，求函数()f x 在区间[]1e ，上的最值； (Ⅱ)若()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围. 注：e 是自然对数的底数深圳中学2014届第一次月考数学（理）试题注：请将答案填在答题卷相应的位置上．．．．．．．．．．．．．．．．．一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的．1. 已知全集U R =，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，3{|log 0}B x x =>则()U A C B ⋂=CA. {}0x x <B. {}1x x >C. {}01x x <≤D. {}01x x <<2. 如果函数2()3(,4]f x x ax =---∞在区间上单调递减，则实数a 满足的条件是（ A ） A ．8a ≥ B ．8a ≤ C ．4a ≥ D ．4a ≥- 3. 下列函数中，满足22()[()]f x f x =的是C A ．()ln f x x =B ．()|1|f x x =+C ．3()f x x =D ．()xf x e =4. 已知函数3()sin 2()2f x x x π⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭R ，下面结论错误．．的是C A ．函数)(x f 的最小正周期为π B ．函数)(x f 是偶函数 C ．函数)(x f 的图象关于直线4x π=对称 D ．函数)(x f 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数 5. 给出如下四个命题：①若“p 且q ”为假命题，则p 、q 均为假命题；②命题“若2x ≥且3y ≥，则5x y +≥”的否命题为“若2x <且3y <，则5x y +<”；③在ABC ∆中，“45A > ”是“sin 2A >的充要条件。
2014高三数学一模试卷含有答案
2014高三数学质量调研卷一.填空题1. 若集合}02|{2>-=x x x A ，}2|1||{<+=x x B ，则=B A .2. 设1e 、2e 是平面内两个不平行的向量，若21e e +=与21e e m -=平行，则实数=m .3. 在△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2=a ，32=c ，3π=C ，则=b .4. 在nx )3(-的展开式中，若第3项的系数为27，则=n .5. 若圆1)1(22=-+y x 的圆心到直线:n l 0=+ny x （*N n ∈）的距离为n d ，则=∞→n n d l im . 6. 函数)1(log )(2-=x x f )21(≤<x 的反函数=-)(1x f.7. 已知椭圆13422=+y x 的左、右两个焦点分别为1F 、2F ，若经过1F 的直线l 与椭圆相交于A 、B 两点，则△2ABF 的周长等于 .8. 数列}{n a 中，若11=a ，n n n a a 211=++（*N n ∈），则=+++∞→)(lim 221n n a a a . 9. 若函数x x x f 1)(+=，则不等式25)(2<≤x f 的解集为 .10．如图，正四棱柱1111D C B A ABCD -的底面边长2=AB ，若异面直线A A 1与C B 1 所成的角的大小为21arctan，则正四棱柱1111D C B A ABCD -的侧面积为 . 11. 在数列}{n a 中，21=a ，341+=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前n 项和=n S . 12. 已知全集}8,7,6,5,4,3,2,1{=U ，在U 中任取四个元素组成的集合记为},,,{4321a a a a A =，余下的四个元素组成的集合记为},,,{4321b b b b A C U =，若43214321b b b b a a a a +++<+++，则集合A 的取法共有 种. 13. 若函数2cos 1)(xx x f ⋅+=π，则=+++)100()2()1(f f f .第10题14.已知函数⎩⎨⎧<+≥-=0),1(0,2)(x x f x a x f x ，若方程0)(=+x x f 有且仅有两个解，则实数a 的取值范围是 . 二．选择题15.若)(x f 和)(x g 都是定义在R 上的函数，则“)(x f 与)(x g 同是奇函数或偶函数”是“)()(x g x f ⋅是偶函数”的…………………………（ ）)(A 充分非必要条件. )(B 必要非充分条件. )(C 充要条件. )(D 既非充分又非必要条件16. 若a 和b 均为非零实数，则下列不等式中恒成立的是……………………………（ ）)(A ||2||ab b a ≥+. )(B 2≥+baa b . )(C 4)11)((≥++b a b a . )(D 222)2(2b a b a +≥+. 17.将函数)(x f y =的图像向右平移4π个单位，再向上平移1个单位后得到的函数对应的表达式为x y 2sin 2=，则函数)(x f 的表达式可以是………………………………………（ ）)(A x sin 2. )(B x cos 2. )(C x 2sin . )(D x 2cos .18. 若i A (n i ,,3,2,1 =)是AOB ∆所在的平面内的点，且OB OA OB OA i ⋅=⋅. 给出下列说法：①||||||||21OA OA n ==== ； ②||i 的最小值一定是||OB ； ③点A 、i A 在一条直线上；④向量及i OA 在向量的方向上的投影必相等.其中正确的个数是…………………………………………………………………………（ ）)(A 1个. )(B 2个. )(C 3个. )(D 4个.第18题第13题三．解答题19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分. 已知点)0,2(P ，点Q 在曲线C :x y 22=上.（1）若点Q 在第一象限内，且2||=PQ ，求点Q 的坐标； （2）求||PQ 的最小值.20. （本题满分14分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知函数x x x x f cos sin 322cos )(+=（1）求函数)(x f 的值域，并写出函数)(x f 的单调递增区间；求函数)(x f 的最大值，并指出取到最大值时对应的x 的值； （2）若60πθ<<，且34)(=θf ，计算θ2cos 的值.21.（本题满分14分） 本大题共有2小题，第1小题6分，第2小题8分.如图所示，一种医用输液瓶可以视为两个圆柱的组合体.开始输液时，滴管内匀速滴下球状液体，其中球状液体的半径310=r 毫米,滴管内液体忽略不计.（1）如果瓶内的药液恰好156分钟滴完，问每分钟应滴下多少滴？（2）在条件(1)下,设输液开始后x （单位：分钟），瓶内液面与进气管的距离为h （单位：厘米），已知当0=x 时，13=h .试将h 表示为x 的函数.（注:3310001mm cm =）22. （本题满分16分） 已知数列{}n a 中，13a =，132n n n a a ++=⋅，*n N ∈.（1）证明数列{}2nn a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；（2）在数列{}n a 中，是否存在连续三项成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项；若不存在，请说明理由；高三数学质量调研卷 评分标准一.填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1. )0,3(-； 2.1-； 3. 4；4.3； 5.1； 6. =-)(1x f )0(21≤+x x （不标明定义域不给分）； 7. 8； 8.32； 9.)2,21( 10．32； 11. 14--n n （*N n ∈）； 13.150；14.2<a ；二．选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分.三．解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19. （本题满分12分）本大题共有2小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分.【解】设),(y x Q （0,0>>y x ）,x y 22=（1）由已知条件得2)2(||22=+-=y x PQ …………………………2分将x y 22=代入上式，并变形得，022=-x x ，解得0=x （舍去）或2=x ……………4分当2=x 时，2±=y只有2,2==y x 满足条件，所以点Q 的坐标为)2,2(………………6分 （2）||PQ 22)2(y x +-=其中x y 22=…………………………7分422)2(||222+-=+-=x x x x PQ 3)1(2+-=x （0≥x ）…………10分当1=x 时，3||min =PQ ……………………………………12分（不指出0≥x ，扣1分）20. 【解】（1）)62sin(22sin 32cos )(π+=+=x x x x f ………………2分由于2)62sin(22≤+≤-πx ，所以函数)(x f 的值域为]2,2[-………4分由πππππk x k 22)6222+≤+≤+-得ππππk x k +≤≤+-63所以函数)(x f 的单调的增区间为]6,3[ππππ+-k k ，Z k ∈………6分（文科不写Z k ∈，不扣分；不写区间，扣1分）由20π≤≤x 得，67626πππ≤+≤x ………4分 所以当262ππ=+x 时，2)(max =x f ，此时6π=x ………6分（2）由（1）得，34)62sin(2)(=+=πθθf ，即32)62sin(=+πθ……………8分其中2626ππθπ<+<得0)62cos(>+πθ………………10分所以35)62cos(=+πθ……………11分 ]6)62cos[(2cos ππθθ-+=………………13分621521322335+=⨯+⨯=………………14分 21. 解】（1）设每分钟滴下k （*N k ∈）滴，………………1分则瓶内液体的体积πππ1563294221=⋅⋅+⋅⋅=V 3cm ………………3分k 滴球状液体的体积75340103432ππk mm k k V ==⋅⋅⋅=3cm ………………5分所以15675156⨯=ππk ，解得75=k ，故每分钟应滴下75滴。
2014年高考新课标I卷数学(理科)试题及参考答案(含解答题评分标准)
2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标I理科数学第Ⅰ卷 （选择题 共60分）一．选择题：共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2＝，则A B ⋂=A .[-2,-1]B .[-1,2）C .[-1,1]D .[1,2） 2.32(1)(1)i i +-= A .1i + B .1i - C .1i -+ D .1i --3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是A .()f x ()g x 是偶函数B .|()f x |()g x 是奇函数C .()f x |()g x |是奇函数D .|()f x ()g x |是奇函数4.已知F 是双曲线C ：223(0)x my m m -=>的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为A B .3 C D .3m5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率A .18 B .38 C .58 D .786.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,π]上的图像大致为7.执行下图的程序框图，若输入的,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =A .203 B .165 C .72 D .1588.设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则 A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=9.不等式组124x y x y +≥⎧⎨-≤⎩的解集记为D .有下面四个命题：1p ：(,),22x y D x y ∀∈+≥-， 2p ：(,),22x y D x y ∃∈+≥, 3P ：(,),23x y D x y ∀∈+≤， 4p ：(,),21x y D x y ∃∈+≤-.其中真命题是A .2p ，3pB .1p ，4pC .1p ，2pD .1p ，3p 10.已知抛物线C ：28y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若4FP FQ =，则||QF =A .72B .52C .3D .2 11.已知函数()f x =3231ax x -+，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为 A .（2，+∞） B .（-∞，-2） C .（1，+∞） D .（-∞，-1）12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为A .B .C .6D .4第Ⅱ卷（非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两个部分。
2014年深圳一模理科数学(有答案)
图1绝密★启用前 试卷类型：A2014年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科） 2014．2本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{2,0,1,4}A =，集合{04,R}=<≤∈B x x x ，集合C A B =．则集合C 可表示为 A ．{2,0,1,4}B ． {1,2,3,4}C ．{1,2,4}D ． {04,R}x x x <≤∈2.复数z 满足(1i)1z -=（其中i 为虚数单位），则z =A ．11i 22- B ．11i 22+ C ．11i 22-+ D ．11i 22--3．下列函数中，为奇函数的是A ．122x x y =+B ．{},0,1y x x =∈C ．sin y x x =⋅D ．1,00,01,0x y x x <⎧⎪==⎨⎪->4．“1ω=”是“ 函数()cos f x x ω=在区间[]0,π上单调递减”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．执行如图1所示的程序框图，则输出的a 的值为 （注：“2a =”，即为“2a ←”或为“:2a =”．） A ．2 B ．13C ．12-D ．3-6．412x x -(的展开式中常数项为A ．12B ．12-C ．32D ．32-7．如图2，在矩形OABC 内：记抛物线21y x =+与直线1y x =+ 围成的区域为M （图中阴影部分）．随机往矩形OABC 内投一点P ，则点P 落在区域M 内的概率是11+A ．118B ．112C ．16 D ．138.在平面直角坐标系中，定义两点11(,)P x y 与22(,)Q x y 之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y=-+-．给出下列命题： （1）若(1,2)P ，(sin ,2cos )()Q R ααα∈，则(,)d P Q的最大值为3 （2）若,P Q 是圆221x y +=上的任意两点，则(,)d P Q的最大值为 (3) 若(1,3)P ，点Q 为直线2y x =上的动点，则(,)d P Q 的最小值为12． 其中为真命题的是 A ．（1）（2）（3） B ．（1）（2） C ．（1）(3) D ． (2)(3)二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．函数f x =()的定义域为 ．10．某几何体的三视图如图3所示，其正视图是边长为2的正方形，侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几何体的体积是 ．11.已知双曲线2222:1x y C a b -=与椭圆22194x y +=有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，则双曲线C 的方程为 ．12. 设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量2,x y m =-()a ，1,1=-()b ．若// a b ，则实数m 的最大值为 ．13.在数列{}n a 中，已知24a =， 315a =，且数列{}n a n +是等比数列，则n a = ． （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为图4极轴建立极坐标系．若曲线1C的参数方程为,x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ-=-．则曲线1C 与曲线2C 的交点个数为________个． 15．（几何证明选讲选做题）如图4，已知AB 是⊙O 的直径，TA是⊙O 的切线，过A 作弦//AC BT ，若4AC =，AT =，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像经过点π(,1)12． （1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，若222a b c ab +-=，且π()2122A f +=．求sin B ． 17.（本小题满分12分）某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图5（1））：若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定 义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3:2．（1）试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图（如图5(2)）．图5(1) (2)（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购 达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．18．（本小题满分14分）如图6所示，平面ABCD ⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==．（1）求证：//AF 平面CDE ； （2）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值； （3）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值．19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24(1)(1)(2)(N )n n n S n a n *++=+∈．（1）求1a ，2a 的值； （2）求n a ； （3）设1n nn b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．20.（本小题满分14分）如图7，直线:(0)l y x b b =+>，抛物线2:2(0)C y px p =>，已知点(2,2)P 在抛物线C 上，且抛物线C 上的点到直线l ． （1）求直线l 及抛物线C 的方程；（2）过点(2,1)Q 的任一直线（不经过点P ）与抛物线C 交于A 、B 两点，直线AB 与AD B C F E图6yl直线l 相交于点M ，记直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ， 3k ．问：是否存在实数λ，使得123k k k λ+=？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数2901xf x a ax=>+()() ． （1）求f x ()在122[,]上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…,,, ，且121414x x x =…+++ ，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．。
(完整版)2014年新课标I卷高考理科数学试卷(带详解)
2014高考真题·全国新课标卷Ⅰ(理科数学)一、选择题1.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知集合A ＝{x |223x x －－≥0}，B ＝{x |－2≤x <2}，则A ∩B ＝( ) A.[－2，－1] B.[－1，2) B.[－1，1] D.[1，2) 【测量目标】集合的交集.【考查方式】给出集合A 、集合B ，求A ∩B. 【参考答案】A.【试题解析】集合A ＝(－∞，－1]∪[3，＋∞)，所以A ∩B ＝[－2，－1]. 【难易程度】容易题2.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]32(1i)(1i)+-＝( )A.1＋iB.1－IC.－1＋iD.－1－i 【测量目标】复数的四则运算.【考查方式】对给出的复数进行化简. 【参考答案】D【试题解析】 32(1i)(1i)+-＝22(1i)(1i)(1i)++-＝2i(1i)2i+-＝－1－i.【难易程度】容易题3.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A.f (x )g (x )是偶函数B.|f (x )|g (x )是奇函数C.f (x )|g (x )|是奇函数D.|f (x )g (x )|是奇函数 【测量目标】函数奇偶性【考查方式】判断复合函数的奇偶性. 【参考答案】C.【试题解析】由于偶函数的绝对值还是偶函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，故正确选项为C. 【难易程度】容易题.4.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知F 为双曲线C ：223x my m －=(m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )B.3 D.3m【测量目标】双曲线及点到直线的距离.【考查方式】给出含参数双曲线方程，求焦点到渐近线的距离. 【参考答案】A【试题解析】双曲线的一条渐近线的方程为x ＝0.根据双曲线方程得2=3a m ，23b =，所以c双曲线的右焦点坐标为0).【难易程度】容易题 5.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( ) A.18 B.38 C.58 D.78【测量目标】概率计算【考查方式】以生活实际为情境，根据条件求出概率【参考答案】D【试题解析】每位同学有2种选法，基本事件的总数为4216=，其中周六、周日中有一天无人参加的基本事件有2个，故周六、周日都有同学参加公益活动的概率为27 1.168 -=【难易程度】容易题6. [2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示成x的函数f(x)，则y＝f(x)在[0，π]上的图像大致为()A(ZX056) B(ZX057) C(ZX058) D(ZX059)【测量目标】函数图像【考查方式】根据题意判断函数图像【参考答案】C【试题解析】根据三角函数的定义，点M(cos x，0)，△OPM的面积为12|sin x cos x|，在直角三角形OPM中，根据等积关系得点M到直线OP的距离，即f(x)＝|sin x cos x|＝12|sin 2x|，且当x＝π2时上述关系也成立，故函数f(x)的图像为选项C中的图像.【难易程度】容易题7.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 执行如图12所示的程序框图，若输入的a，b，k分别为1，2，3，则输出的M＝()第7题图(ZX035)A.203B.165C.72D.158【测量目标】程序框图【考查方式】给出程序框图求输出结果【参考答案】D【试题解析】逐次计算，依次可得：M＝32，a＝2，b＝32，n＝2；M＝83，a＝32，b＝83，n＝3；M＝158，a＝83，b＝158，n＝4.此时输出M，故输出的是158.【难易程度】容易题8.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 设α∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，β∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，且tan α＝1sincosββ+，则()A.3α－β＝π2B.3α＋β＝π2C.2α－β＝π2D.2α＋β＝π2【测量目标】三角恒等变换【考查方式】给出,αβ的范围利用三角恒等变换求解.【参考答案】C【试题解析】tan α＝1sincosββ+＝222cos sin22cos sin22ββββ⎛⎫+⎪⎝⎭-＝cos sin22cos sin22ββββ+-＝1tan21tan2ββ+-＝tanπ42β⎛⎫+⎪⎝⎭，因为β∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭，所以π4＋2β∈ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭，又α∈π0,2⎛⎫⎪⎝⎭且tan α＝tanπ42β⎛⎫+⎪⎝⎭，所以α＝π42β+，即2α－β＝π2.【难易程度】中等题9. [2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组124x yx y+⎧⎨-⎩的解集记为D，有下面四个命题：p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2;p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2;p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3;p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.其中的真命题是()A.23p p， B.12p p，14p p， D.13p p，【测量目标】考查线性规划中目标函数的最值、全称命题与特称命题【考查方式】给出不等式组求解集判断命题的正误【参考答案】B【试题解析】不等式组表示的区域D如图中的阴影部分所示，设目标函数z＝x＋2y，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2，－1)处取得最小值，且minz＝2－2＝0，即x＋2y的取值范围是[0，＋∞)，故命题12p p，为真，命题34p p，为假.第9题图(ZX060)【难易程度】中等题10.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知抛物线C：28y x=的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF 与C的一个交点.若FPFQ＝4，则|QF|＝()A.72B.3C.52D.2【测量目标】抛物线定义与性质【考查方式】给出抛物线方程根据抛物线性质求线段长度 【参考答案】B【试题解析】 由题知F (2，0)，设P (－2，t )，Q (00x y ，)，则FP ＝(－4，t )，FQ ＝(002x y －，)，由FP ＝4FQ ，得－4＝4(0x －2)，解得0x ＝1，根据抛物线定义得|QF |＝0x ＋2＝3. 【难易程度】中等题11.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知函数f (x )＝3231ax x －＋，若f (x )存在唯一的零点0x ，且0x >0，则a 的取值范围是( )A.(2，＋∞)B.(1，＋∞)C.(－∞，－2)D.(－∞，－1) 【测量目标】利用导函数求零点【考查方式】利用导函数得出零点求参数取值范围 【参考答案】C【试题解析】当a ＝0时，f (x )＝231x －＋，存在两个零点，不符合题意，故a ≠0.由()2360f x ax x '-==，得x ＝0或x ＝2a .若a <0，则函数f (x )的极大值点为x ＝0，且()f x 极大值＝f (0)＝1，极小值点为x ＝2a，且()f x 极小值＝f 2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝224a a -，此时只需224a a ->0，即可解得a <－2；若a >0，则()f x 极大值＝f (0)＝1>0，此时函数f (x )一定存在小于零的零点，不符合题意.综上可知，实数a 的取值范围为(－∞，－2).【难易程度】中等题 12.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度为( )第12题图(ZX061)A.62 B.6 C.4 2 D.4【测量目标】三视图【考查方式】根据三视图求棱长 【参考答案】B【试题解析】 该几何体是如图所示的棱长为4的正方体内的三棱锥11-E CC D (其中E 为1BB 的中点)，其中最长的棱为1D E ＝22(42)2+＝6.第12题图(ZX062)【难易程度】容易题 二、填空题13.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]8()()x y x y －＋的展开式中27x y 的系数为________.(用数字填写答案) 【测量目标】二项式定理【考查方式】利用二项式定理求某项的系数. 【参考答案】－20【试题解析】8()x y ＋的展开式中7xy 的系数为78C =8，26x y 的系数为68C 28=，故8()()x y x y －＋的展开式中28x y 的系数为8－28＝－20.【难易程度】容易题 14.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为________.【测量目标】考查逻辑思维能力【考查方式】以实际情境为载体考查学生逻辑思维能力 【参考答案】A【试题解析】由于甲没有去过B 城市，乙没有去过C 城市，但三人去过同一个城市，故三人去过的城市为A 城市.又由于甲最多去过两个城市，且去过的城市比乙多，故乙只能去过一个城市，这个城市为A 城市. 【难易程度】容易题15.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO ＝12(AB ＋AC )，则AC 与AB 的夹角为________.【测量目标】圆的性质与向量运算.【考查方式】根据圆的性质的出向量的夹角 【参考答案】.90°【试题解析】由题易知点O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，故在△ABC 中，BC 对应的角A 为直角，即AC 与AB 的夹角为90°.【难易程度】容易题 16.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )·(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________. 【测量目标】考查正弦定理与余弦定理及基本不等式.【考查方式】根据正弦定理与余弦定理及基本不等式求解三角形最大面积【试题解析】根据正弦定理和a ＝2可得(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，故得222b c a bc ＋－=，根据余弦定理得cos A ＝2222b c a bc +-＝12，所以A ＝π3.根据及222b c a bc ＋－=基本不等式得22bcbc a －，即bc ≤4，所以△ABC 面积的最大值为1422⨯⨯=【难易程度】中等题三、解答题17. [2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a ＝1，n a ≠0，1n n a a ＋＝1n S λ－，其中λ为常数.(1)证明：2.n n a a λ＋-=(2)是否存在λ，使得{}n a 为等差数列？并说明理由. 【测量目标】考查等差数列【考查方式】根据等差数列知识完成证明，求出使得{}n a 为等差数列的参数λ【试题解析】(1)证明：由题设，11n n n a a S λ＋=－，1211n n n a a S λ＋＋＋=－，两式相减得121()n n n n a a a a λ＋＋＋－=.因为10n a ≠＋，所以2n n a a λ＋－=.(2)由题设，1a ＝1，12a a ＝11S λ－，可得2a ＝λ－1，由(1)知，3a ＝λ＋1.若{}n a 为等差数列，则2132a a a =＋，解得λ＝4，故24n n a a ＋-=.由此可得21{}n a －是首项为1，公差为4的等差数列，21n a －＝4n －3；{}2n a 是首项为3，公差为4的等差数列，241n a n =－.所以n a ＝2n －1，1n n a a ＋－＝2.因此存在λ＝4，使得数列{}n a 为等差数列.【难易程度】中等题18. [2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如图所示的频率分布直方图：第18题图(ZX063)(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数x 和样本方差2s (同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；(2)由直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布N (2)μσ，，其中μ近似为样本平均数，2σ近似为样本方差2s .(i)利用该正态分布，求P (187.8<Z <212.2)；(ii)某用户从该企业购买了100件这种产品，记X 表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8，212.2)的产品件数，利用(i)的结果，求EX .15012.2.若Z ～N (μ，2σ)，则p (μ－σ<Z <μ＋σ)＝0.682 6，p (μ－2σ<Z <μ＋2σ)＝0.954 4.【测量目标】考查平均数和方差及正态分布【考查方式】给出频率分布直方图求平均数和方差，利用正态分布求概率.【试题解析】(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差2s 分别为：平均数＝170×0.02＋180×0.09＋190×0.22＋200×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝200.2s ＝2(30)-×0.02＋2(20)-×0.09＋2(10)-×0.22＋0×0.33＋210×0.24＋220×0.08＋230×0.02＝150.(2)(i)由(1)知，Z ～N (200，150)，从而P (187.8<Z <212.2)＝P (200－12.2<Z <200＋12.2)＝0.682 6.(ii)由(i)知，一件产品的质量指标值位于区间(187.8，212.2)的概率为0.682 6，依题意知X ～B (100，0.682 6)，所以EX ＝100×0.682 6＝68.26. 【难易程度】中等题19. [2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ]三棱柱111-ABC A B C 中，底面11BB C C 为菱形，AB ⊥1B C . (1)证明：AC ＝1AB ；(2)若AC ⊥1AB ，∠1CBB ＝60°，AB ＝BC ，求二面角111--A A B C 的余弦值.第19题图(ZX064)【测量目标】立体几何直线与直线、直线与平面、平面与平面之间的关系 【考查方式】给出立体几何求证直线与直线相等及二面角的余弦值【试题解析】(1)证明：连接1BC ，交1B C 于点O ，连接AO ，因为侧面11BB C C 为菱形，所以1B C ⊥1BC ，且O 为1B C 及1BC 的中点.又AB ⊥1B C ，所以1B C ⊥平面ABO .由于AO ⊂平面ABO ，故1B C ⊥AO .又1B O ＝CO ，故AC ＝1AB .(2)因为AC ⊥1AB ，且O 为1B C 的中点，所以AO ＝CO .又因为AB ＝BC ，所以BOA BOC △△≌.故OA ⊥OB ，从而OA ，OB ，1OB 两两垂直.以O 为坐标原点，OB 的方向为x 轴正方向，|OB |为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -.因为∠160CBB ︒=，所以1CBB △为等边三角形，又AB ＝BC ，则A 30,0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，B (1，0，0)，B 130,,0⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，C 30,,03⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭.1B A ＝330,,33⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，AB ＝31,0,3⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，BC ＝31,03⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭. 设n ＝(x ，y ，z )是平面11AA B 的法向量，则即33030.3y z x z ⎧-=⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以可取n ＝(1，3，3).设m 是平面111A B C 的法向量，则同理可取m ＝(1，－3，3).则cos 〈n ，m 〉＝||||n m n m ⋅＝17.所以结合图形知二面角111--A A B C 的余弦值为17.第19题图(ZX065)【难易程度】中等题20.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 已知点A (0，－2)，椭圆E ：2222=1x y a b+ (a >b >0)，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF的斜率为3，O 为坐标原点. (1)求E 的方程；(2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当OPQ △的面积最大时，求l 的方程. 【测量目标】考查圆锥曲线方程的求法及圆锥曲线的性质【考查方式】根据条件写出椭圆方程及一条直线与椭圆相交围成面积最大时直线方程 【试题解析】(1)设F (c ，0)，由条件知，23c =，得c.又2c a =，所以a ＝2，2221b a c =－=.故E 的方程为2214x y +=.(2)当l ⊥x 轴时不合题意，故可设l ：y ＝kx －2，11()P x y ，，22()Q x y ，.将y ＝kx －2代入得22(14)16120k x kx ＋－＋=，当216(43)0k ∆>=－，即234k >从而12|||PQ x x =-＝241k +.又点O 到直线l 的距离d.所以△OPQ 的面积OPQ S △＝12d ·|PQ |＝.241k +t ，则t >0，OPQS △＝244.44t t t t=++因为t ＋4t ≥4，当且仅当t ＝2，即k ＝时等号成立，满足∆>0，所以，当OPQ △的面积最大时，k ＝，l 的方程为yx －2或yx －2. 【难易程度】较难题21.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 设函数f (x )＝1ln x xbe ae x x-+，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程为y＝e(x －1)＋2. (1)求a ，b ； (2)证明：f (x )>1.【测量目标】考查导数的应用【考查方式】给出函数及切线方程求参数a ,b;完成证明【试题解析】(1)函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，-1-12()ln xx x x a b b f x ae x e e e x x x '=+-+，由题意可得f (1)＝2，()1f '＝e ，故a ＝1，b ＝2.(2)证明：由(1)知，f (x )＝-12ln xx e x e x +，从而f (x )>1等价于-2ln .x x x xe e>-设函数g (x )＝x ln x ，则()g x '＝1＋ln x ，所以当x ∈10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，()g x ' <0；当x ∈1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭时，()g x ' >0.故g (x )在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，从而g (x )在(0，＋∞)上的最小值为g 1e ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝－1e .设函数h (x )＝2xxe e--，则()e (1)x h x x '－＝－，所以当x ∈(0，1)时，()0h x '>；当x ∈(1，＋∞)时，()0h x '<.故h (x )在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，从而h (x )在(0，＋∞)上的最大值为h (1)＝－1e. 因为min max 1()(1)()g x g h h x e ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，所以当x >0时，g (x )>h (x )，即f (x )>1. 【难易程度】较难题22.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 选修41：几何证明选讲如图，四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形，AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ，且CB ＝CE . (1)证明：∠D ＝∠E ；(2)设AD 不是⊙O 的直径，AD 的中点为M ，且MB ＝MC ，证明：△ADE 为等边三角形.第22题图(ZX040)【测量目标】圆的性质【考查方式】根据圆的性质证明【试题解析】(1)由题设知A ，B ，C ，D 四点共圆，所以∠D ＝∠CBE .由已知得∠CBE ＝∠E ，故∠D ＝∠E .(2)设BC 的中点为N ，连接MN ，则由MB ＝MC 知MN ⊥BC ，故O 在直线MN 上.又AD 不是⊙O 的直径，M 为AD 的中点，故OM ⊥AD ，即MN ⊥AD ，所以AD ∥BC ，故∠A ＝∠CBE .又∠CBE ＝∠E ，故∠A ＝∠E ，由(1)知，∠D ＝∠E ，所以△ADE 为等边三角形. 【难易程度】容易题第22题图(ZX041)23.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 选修44：坐标系与参数方程已知曲线C ：22=149x y +，直线l 222x t y t =+⎧⎨=-⎩(t 为参数). (1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|P A |的最大值与最小值. 【测量目标】考查参数方程【考查方式】考查参数方程与普通方程的转换，并求|P A |的最大值与最小值【试题解析】(1)曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y θθ=⎧⎨=⎩ (θ为参数)，直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离d θ＋3sin θ－6|，则|P A |＝sin 30d ＝θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|P A |当sin(θ＋α)＝1时，|P A |取得最小值，最小值为5. 【难易程度】中等题24.[2014高考真题·新课标全国卷Ⅰ] 选修45：不等式选讲若a >0，b >0，且11a b+=(1)求33a b ＋的最小值.(2)是否存在a ，b ，使得2a ＋3b ＝6？并说明理由. 【测量目标】不等式的运用【考察方法】利用不等式求最值，求满足条件的参数的值【试题解析】(1)＝1a ＋1b ，得ab ≥2，当且仅当a ＝b 时等号成立.故33a b ＋≥≥，当且仅当a ＝b 时等号成立.所以33a b ＋的最小值为.(2)由(1)知，2a ＋3b ≥由于，从而不存在a ，b ，使2a ＋3b ＝6. 【难易程度】中等题。
年深圳市高三年级第一次调研考试（数学）答案及评分标准[1]
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年深圳市高三年级第一次调研考试理科数学答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数． 1 2 3 4 5 6 7 8 B C A C A A D C 二、填空题：本大题每小题5分(第12题前空2分，后空3分)，满分30分． 9． 1± ； 10． 2 ； 11．53； 12．__42 , 97300; 13.114; 5 15.13. 三、解答题16．（本小题满分12分）A 、B 、C 为ABC ∆的三内角，且其对边分别为a 、b 、c .若m ＝()C B sin ,cos ，n ＝()B C sin ,cos -，且21=⋅n m ．（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若a ＝32，三角形面积S ＝3，求c b +的值.解：（Ⅰ）∵m ＝()C B sin ,cos ，n ＝()B C sin ,cos -，且21=⋅n m ∴ 21sin sin cos cos =⋅-⋅C B C B ……………………………………2分 ∴ ()21cos =+C B ……………………………………3分 即 ()21cos =-A π ……………………………………4分即－21cos =A ，又()π,0∈A ，∴π32=A …………………………6分（Ⅱ）332sin 21sin 21=⋅=⋅=∆πbc A bc S ABC ，∴4=bc …………………8分又由余弦定理得：bc c b bc c b a ++=-+=22222120cos 2……………10分∴16＝()2c b +，故4=+c b ………………………12分17．（本小题满分13分）某小组有7个同学，其中4个同学从来没有参加过数学研究性学习活动，3个同学曾经参加过数学研究性学习活动.（Ⅰ）现从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，求恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率；（Ⅱ）若从该小组中任选2个同学参加数学研究性学习活动，活动结束后，此时该小组没有参加过数学研究性学习活动的同学个数ξ是一个随机变量，求随机变量ξ的分布列及数学期望E ξ.解：（Ⅰ）记“恰好选到1个曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件的A , 则其概率为.74)(271314==C C C A P …………………………………………5分 （Ⅱ）随机变量4,3,2=ξ;72)2(2724===C C P ξ ……………………7分;74)3(271314===C C C P ξ …………………………9分 ;71)4(2723===C C P ξ ………………………………11分∴随机变量ξ的分布列为ξ2 3 4P72 74 71∴.720714743722=⨯+⨯+⨯=ξE …………………………13分18.（本小题满分14分）如图，在底面是矩形的四棱锥ABCD P -中，PA ⊥平面ABCD ，2==AB PA ，4=BC .E 是PD 的中点，（Ⅰ）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （Ⅱ）求二面角D AC E --所成平面角的余弦值； （Ⅲ）求B 点到平面EAC 的距离.解法一：（Ⅰ）ABCD PA 平面⊥ ABC CD 平面⊂ CD PA ⊥∴ …………2分是矩形ABCD CD AD ⊥∴而A AD PA =⋂ PAD CD 平面⊥∴ ……………4分PDC CD 平面⊂PDC PAD ∴⊥平面平面 ………………………5分（Ⅱ）连结AC 、EC ，取AD 中点O ， 连结EO ， 则PA EO //, ∵⊥PA 平面ABCD ， ∴⊥EO 平面ABCD ， 过O 作AC OF ⊥交AC 于F ，连结EF ，则EFO ∠就是二面角D AC E --所成平面角. ………………………7分 由2=PA ，则1=EO .在ADC Rt ∆中，h AC CD AD ⨯=⨯ 解得=h 554 因为O 是AD 的中点，所以552=OF ………………………8分 而1=EO ，由勾股定理可得553=EO ………………………9分 32553552cos ===∠EF OF EFO ………………………10分（Ⅲ）连结BE ，在三棱锥AEC B -中，4422121=⨯⨯=⨯=∆BC AB S ABC PB E DC A3553522121=⨯⨯=⨯=∆EO AC S AEC ……………………12分 点E 到底面BAC 的距离1=EO ，则由ABC E AEC B V V --=，即EO S h S ABC B AEC ⨯=∆∆3131………13分 1431331⨯⨯=⨯⨯B h 求得34=B h 所以B 点到平面EAC 的距离是34. ………………………14分 解法二：以A 为原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z轴建立空间直角坐标系，则A (0，0，0)，B (2，0，0)，C (2，4，0)，D (0，4，0)，E (0，2，1)，P (0，0，2). ………………………2分∴AB ＝(2，0，0)，AD ＝(0，4，0)，AP ＝(0，0，2)， CD ＝(－2，0，0)，AE ＝(0，2，1) ，AC ＝(2，4，0)， ………………………3分（Ⅰ）0=⋅AD CD AD CD ⊥∴又0=⋅AP CD AP CD ⊥∴ ………………………5分A AD AP =⋂PAD CD 平面⊥∴ 而PDC CD 平面⊂∴平面PDC ⊥平面PAD . ………………………7分 （Ⅱ）设平面AEC 的法向量(,,)n x y z =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00AC n AE n 即()()()()⎪⎩⎪⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=+=+⇒⎩⎨⎧=⋅=⋅21104201200,4,21,,01,2,01,,y x y x y y x y x∴n =⎪⎭⎫⎝⎛-1,21,1. ………………………9分 平面ABC 的法向量AP ＝(0，0，2)，322232,cos =⨯=⨯=〉〈APn AP n AP n 所以二面角D AC E --所成平面角的余弦值是32. ……………………11分（Ⅲ） 设点B 到平面AEC 的距离为h ，AB ＝(2，0，0)， n =⎪⎭⎫⎝⎛-1,21,1. ………………………12分则h 34232==⋅nAB n 所以B 点到平面EAC 的距离是34. ………………………14分 19. （本小题满分13分）已知函数()log a f x x =和()2log (22),(0,1,)a g x x t a a t R =+->≠∈的图象在2x =处的切线互相平行.(Ⅰ) 求t 的值；（Ⅱ）设)()()(x f x g x F -=，当[]1,4x ∈时，()2F x ≥恒成立，求a 的取值范围. 解：(Ⅰ)14()log ,()log 22a a f x e g x e x x t ''==+- ………………………3分 ∵函数()f x 和()g x 的图象在2x =处的切线互相平行(2)(2)f g ''∴= …………………………………………………5分14log log 22a a e e t ∴=+ 6t ∴= ………………………………………………………………6分 （Ⅱ）6t =()()()F x g x f x ∴=-2log (24)log a a x x =+－[]2(24)log ,1,4a x x x +=∈ …………………………………………7分令[]2(24)16()416,1,4x h x x x x x+==++∈ []22164(2)(2)()4,1,4x x h x x x x-+'=-=∈ ∴当12x ≤<时，()0h x '<,当24x <≤时，()0h x '>.∴)(x h 在[)1,2是单调减函数，在(]2,4是单调增函数. …………………………9分min ()(2)32h x h ∴==，()(1)(4)36max h x h h ∴===∴当10<<a 时，有min ()log 36a F x =，当1>a 时，有min ()log 32a F x =.∵当[]1,4x ∈时，()2F x ≥恒成立, ∴min ()2F x ≥ …………………………11分 ∴满足条件的a 的值满足下列不等式组01,log 362;a a <<⎧⎨≥⎩①，或1,log 32 2.aa >⎧⎨≥⎩② 不等式组①的解集为空集，解不等式组②得142a <≤综上所述，满足条件的a 的取值范围是：142a <≤ ……………………13分 20．（本小题满分13分）已知数列{}n a 、 {}n b 、{}n c 的通项公式满足n n n a a b -=+1 ，nn n b b c -=+1（*∈N n ），若数列{}n b 是一个非零常数列，则称数列{}n a 是一阶等差数列；若数列{}n c 是一个非零常数列，则称数列{}n a 是二阶等差数列。
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绝密★启用前 试卷类型：A2014年深圳市高三年级第一次调研考试数学（理科） 2014．2本试卷共6页，21小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生首先检查答题卡是否整洁无缺损，监考教师分发的考生信息条形码是否正确；之后务必用0．5毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号，同时，将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码区，请保持条形码整洁、不污损．2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上．不按要求填涂的，答案无效．3．非选择题必须用0．5毫米黑色字迹的签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请注意每题答题空间，预先合理安排；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再做答．漏涂、错涂、多涂的答案无效．5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将答题卡交回． 参考公式：如果事件A B 、互斥，那么P A B P A P B +=+()()()； 如果事件A B 、相互独立，那么P AB P A P B =()()()；若锥体的底面积为S ，高为h ，则锥体的体积为13V Sh =．一、选择题：本大题共8个小题；每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合{2,0,1,4}A =，集合{04,R}=<≤∈B x x x ，集合C A B = ．则集合C 可表示为 A ．{2,0,1,4}B ． {1,2,3,4}C ．{1,2,4}D ． {04,R}x x x <≤∈2.复数z 满足(1i)1z -=（其中i 为虚数单位），则z =A ．11i22- B ．11i 22+ C ．11i 22-+ D ．11i 22--图13．下列函数中，为奇函数的是A ．122x x y =+B ．{},0,1y x x =∈C ．sin y x x =⋅D ．1,00,01,0x y x x <⎧⎪==⎨⎪->⎩4．“1ω=”是“ 函数()cos f x x ω=在区间[]0,π上单调递减”的A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．执行如图1所示的程序框图，则输出的a 的值为 （注：“2a =”，即为“2a ←”或为“:2a =”．） A ．2 B ．13C ．12- D ．3- 6．412x x -()的展开式中常数项为A ．12B ．12-C ．32D ．32-7．如图2，在矩形OABC 内：记抛物线21y x =+与直线1y x =+ 围成的区域为M （图中阴影部分）．随机往矩形OABC 内投一点P ，则点P 落在区域M 内的概率是 A ．118 B ．112C ．16 D ．138.在平面直角坐标系中，定义两点11(,)P x y 与22(,)Q x y 之间的“直角距离”为1212(,)d P Q x x y y =-+-．给出下列命题：（1）若(1,2)P ，(sin ,2cos )()Q R ααα∈，则(,)d P Q 的最大值为3+ （2）若,P Q 是圆221x y +=上的任意两点，则(,)d P Q 的最大值为 (3) 若(1,3)P ，点Q 为直线2y x =上的动点，则(,)d P Q 的最小值为12． 其中为真命题的是 A ．（1）（2）（3） B ．（1）（2）C ．（1）(3)D ． (2)(3)11+图4二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．本大题分为必做题和选做题两部分．（一）必做题：第9、10、11、12、13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 9．函数f x ()的定义域为 ．10．某几何体的三视图如图3所示，其正视图是边长为2的正方形，侧视图和俯视图都是等腰直角三角形，则此几何体的体积是 ．11.已知双曲线2222:1x y C a b -=与椭圆22194x y +=有相同的焦点，且双曲线C 的渐近线方程为2y x =±，则双曲线C 的方程为 ．12. 设实数,x y 满足,102,1,x y y x x ≤⎧⎪≤-⎨⎪≥⎩向量2,x y m =-()a ，1,1=-()b ．若// a b ，则实数m的最大值为 ．13.在数列{}n a 中，已知24a =， 315a =，且数列{}n a n +是等比数列，则n a = ． （二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能选做一题，两题全答的，只计算前一题的得分．14.（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线1C 的参数方程为,x t y =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），曲线2C 的极坐标方程为sin cos 1ρθρθ-=-．则曲线1C 与曲线2C 的交点个数为________个． 15．（几何证明选讲选做题）如图4，已知AB 是⊙O 的直径，TA是⊙O 的切线，过A 作弦//AC BT ，若4AC =，AT =，则AB = ．三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像经过点π(,1)12． （1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，若222a b c a b +-=，且π()212A f +=sin B ．17.（本小题满分12分）某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图5（1））：若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定 义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3:2．（1）试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图（如图5(2)）．（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购 达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．图5 (1)(2)18．（本小题满分14分）如图6所示，平面ABCD⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==．（1）求证：//AF 平面CDE ；（2）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值； （3）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值．19.（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24(1)(1)(2)(N )n n n S n a n *++=+∈．（1）求1a ，2a 的值； （2）求n a ； （3）设1n n n b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <．AD BC FE图620.（本小题满分14分）如图7，直线:(0)l y x b b =+>，抛物线2:2(0)C y px p =>，已知点(2,2)P 在抛物线C 上，且抛物线C 上的点到直线l的距离的最小值为4． （1）求直线l 及抛物线C 的方程；（2）过点(2,1)Q 的任一直线（不经过点P ）与抛物线C 交于A 、B 两点，直线AB 与直线l 相交于点M ，记直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ， 3k ．问：是否存在实数λ，使得123k k k λ+=？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．21．（本小题满分14分）已知函数2901xf x a ax =>+()() ．（1）求f x ()在122[,]上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…,,, ，且121414x x x =…+++ ，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．图7yM PB Qx AOl2014年深圳市高三年级第一次调研考试数学(理科)答案及评分标准说明：一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．二、填空题：本大题每小题5分，满分30分．9． {2}x x ≥； 10． 83； 11．2214y x -=； 12．6；13．123n n -⋅-； 14．1； 15．三、解答题16．（本小题满分12分）已知函数()sin(2)(0π)f x x ϕϕ=+<<的图像经过点π(,1)12． （1）求ϕ的值；（2）在ABC ∆中，A ∠、B ∠、C ∠所对的边分别为a 、b 、c ，若222a b c a b +-=，且π()2122A f +=．求sin B ． 解：（1）由题意可得π()112f =，即πsin()16ϕ+=． ……………………………2分 0πϕ<< ，ππ7π666ϕ∴<+<， ππ62ϕ∴+=， π3ϕ∴=． ……………………………………………………………5分（2）222a b c ab +-= ，2221cos 22a b c C ab +-∴==， ……………………………………………………7分sin C ∴==． …………………………………………8分 由（1）知π()sin(2)3f x x =+，π(+)sin()cos 2122A f A A π∴=+==()0,A π∈ ，sin 2A ∴==， ……………………………10分 又sin sin(π())sin()B A C A C =-+=+ ，1sin sin cos cos sin 22224B AC A C ∴=+=+=．……………12分 【说明】 本小题主要考查了三角函数)sin()(ϕω+=x A x f 的图象与性质，三角恒等变换，以及余弦定理等基础知识，考查了简单的数学运算能力． 17．（本小题满分12分）某网络营销部门为了统计某市网友2013年11月11日在某淘宝店的网购情况，随机抽查了该市当天60名网友的网购金额情况，得到如下数据统计表（如图5（1））：若网购金额超过2千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过2千元的顾客定 义为“非网购达人”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为3:2．（1）试确定x ，y ，p ，q 的值，并补全频率分布直方图（如图5(2)）．（2）该营销部门为了进一步了解这60名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购 达人”中用分层抽样的方法确定10人，若需从这10人中随机选取3人进行问卷调查．设ξ为选取的3人中“网购达人”的人数，求ξ的分布列和数学期望．解：（1）根据题意，有39151860,182.39153x y y x +++++=⎧⎪⎨=⎪+++⎩+ 解得9,6.x y =⎧⎨=⎩ …………………2分0.15p ∴=，0.10q =．补全频率分布直方图如图所示． ………4分 （2）用分层抽样的方法，从中选取10人，则其中“网购达人”有210=45⨯人，“非网购达人”有310=65⨯人． …………………6分故ξ的可能取值为0，1，2，3；03463101(0)6C C P C ξ=== ， 12463101(1)2C C P C ξ===，21463103(2)10C C P C ξ===，30463101(3)30C C P C ξ===．…………………………10分 所以ξ的分布列为：01236210305E ξ∴=⨯+⨯+⨯+⨯=． ……………………12分 【说明】本题主要考察读图表、分层抽样、概率、随机变量分布列以及数学期望等基础知识，考查运用概率统计知识解决简单实际问题的能力，数据处理能力．)18．（本小题满分14分）如图6所示，平面ABCD⊥平面BCEF ，且四边形ABCD 为矩形，四边形BCEF 为直角梯形，//BF CE ，BC CE ⊥，4DC CE ==，2BC BF ==．（1）求证：//AF 平面CDE ；（2）求平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的余弦值； （3）求直线EF 与平面ADE 所成角的余弦值．解：（法一）（1）取CE 中点为G ，连接DG 、FG ，//BF CG 且BF CG =，∴四边形BFGC 为平行四边形，则//BC FG 且BC FG =． …………2分四边形ABCD 为矩形， //BC AD ∴且BC AD =， //FG AD ∴且FG AD =，∴四边形AFGD 为平行四边形，则//AF DG ．DG ⊂ 平面CDE ，AF ⊄平面CDE ，//AF ∴平面CDE ． ……………………………………………………4分 （2）过点E 作CB 的平行线交BF 的延长线于P ，连接FP ，EP ，AP ，////EP BC AD ，∴A ，P ，E ，D 四点共面．四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，∴EP CD ⊥，EP CE ⊥，又 CD CE C = ， EP ∴⊥平面CDE ，∴EP DE ⊥，又 平面ADE 平面BCEF EP =，∴DEC ∠为平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的平面角．……………………7分 4DC CE ==，∴cos 2CE DEC DE ∠==． AD BCFE图6GAD BCF E即平面ADE 与平面BCEF． ……………………9分 （3）过点F 作FH AP ⊥于H ，连接EH ，根据（2）知A ，P ，E ，D 四点共面，////EP BC AD ，∴BC BF ⊥，BC AB ⊥，又 AB BF B = ， BC ∴⊥平面ABP ， ∴B C F H ⊥，则FH EP ⊥．又 FH AP ⊥， FH ∴⊥平面ADE ．∴直线EF 与平面ADE 所成角为HEF ∠． ……………………………11分 4DC CE ==，2BC BF ==，∴0sin 45FH FP ==EF ==，HE =，∴cos HE HEF EF ∠===． 即直线EF 与平面ADE． ……………………………14分 （法二）（1） 四边形BCEF 为直角梯形，四边形ABCD 为矩形，∴BC CE ⊥，BC CD ⊥，又 平面ABCD ⊥平面BCEF ，且 平面ABCD 平面BCEF BC =，DC ∴⊥平面BCEF ．以C 为原点，CB 所在直线为x 轴，CE 所在直线为y CD 所在直线为z 轴建立如图所示空间直角坐标系．根据题意我们可得以下点的坐标：(2,0,4)A ，(2,0,0)B ，(0,0,0)C ，(0,0,4)D ，(0,4,0)E ，(2,2,0)F ， 则(0,2,4)AF =- ，(2,0,0)CB =． ………………2分BC CD ⊥ ，BC CE ⊥， CB ∴为平面CDE 的一个法向量． 又0220(4)00AF CB ⋅=⨯+⨯+-⨯=，//AF ∴平面CDE ． …………………………………………………………4分（2）设平面ADE 的一个法向量为1111(,,)n x y z = ，则110,0.AD n DE n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩(2,0,0)AD =- ，(0,4,4)DE =-，∴11120440x y z -=⎧⎨-=⎩， 取11z =，得1(0,1,1)n = ． ……………………………6分 DC ⊥ 平面BCEF ，∴平面BCEF 一个法向量为(0,0,4)CD =，设平面ADE 与平面BCEF 所成锐二面角的大小为α，则11cos CD n CD n α⋅===⋅ ． 因此，平面ADE 与平面BCEF所成锐二面角的余弦值为2． …………………9分 （3）根据（2）知平面ADE 一个法向量为1(0,1,1)n =，(2,2,0)EF =- ，1111cos ,2EF n EF n EF n ⋅∴<>===-⋅，………12分 设直线EF 与平面ADE 所成角为θ，则1cos sin ,EF n θ=<>=因此，直线EF 与平面ADE． ………………………14分 【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，二面角及三角函数及空间坐标系等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，考查用向量方法解决数学问题的能力．19． （本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足24(1)(1)(2)(N )n n n S n a n *++=+∈．（1）求1a ，2a 的值； （2）求n a ； （3）设1n n n b a +=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：34n T <． 解：（1）当=1n 时，有2114(11)(+1=1+2a a ⨯+）（），解得1=8a ． 当=2n 时，有21224(21)(1)(22)a a a ⨯+++=+，解得2=27a ．……………2分（2）（法一）当2n ≥时，有2(2)4(1)1nn n a S n ++=+, ……………①211(1)4(1)n n n a S n--++=． …………………② ①—②得：221(2)(1)41n n n n a n a a n n-++=-+，即：331(1)=n n a n a n -+．…………5分 ∴1223333===1(1)(1)3n n n a a a a n n n --==+-…．∴ 3=(1)n a n +(2)n ≥．………………………………………8分另解：33333121333121(1)42(1)(1)3n n n n n a a a n n a a n a a a n n ---+=⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅=+- ． 又 当=1n 时，有1=8a ， ∴3=(1)n a n +． …………………………8分（法二）根据1=8a ，2=27a ，猜想：3=(1)n a n +． ………………………………3分用数学归纳法证明如下：（Ⅰ）当1n =时，有318(11)a ==+，猜想成立．（Ⅱ）假设当n k =时，猜想也成立，即：3=(1)k a k +．那么当1n k =+时，有2114(11)(1)(12)k k k S k a +++++=++，即：211(12)4(1)11k k k a S k +++++=++，………………………①又 2(2)4(1)1kk k a S k ++=+， …………………………②①-②得：22223111(3)(2)(3)(2)(1)4=2121k k k k k a k a k a k k a k k k k ++++++++=--++++， 解，得33+1(2)(11)k a k k =+=++．∴当1n k =+时，猜想也成立．因此，由数学归纳法证得3=(1)n a n +成立．………………………………………8分 （3） 211111=(1(11n n n b a n n n n n +=<=-+++))， ……………………………10分 ∴1231=n n n T b b b b b -+++++…2222211111=234(1)n n ++++++ (211111)<22323(1)(1)n n n n +++++⨯⨯-+… 111111111=()()()()4233411n n n n +-+-++-+--+… 1113=4214n +-<+． ………………………………………14分【说明】考查了递推数列的通项公式、数列裂项求和公式、放缩法证明不等式等知识，考查了学生的运算能力，以及化归与转化的思想． 20．（本小题满分14分）如图7，直线:(0)l y x b b =+>，抛物线2:2(0)C y px p =>，已知点(2,2)P 在抛物线C 上，且抛物线C 上的点到直线l的距离的最小值为4． （1）求直线l 及抛物线C 的方程；（2）过点(2,1)Q 的任一直线（不经过点P ）与抛物线C 交于A 、B 两点，直线AB 与直线l 相交于点M ，记直线PA ，PB ，PM 的斜率分别为1k ，2k ， 3k ．问：是否存在实数λ，使得123k k k λ+=？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由． 解：（1）（法一） 点(2,2)P 在抛物线C 上， 1p ∴=． ……………………2分设与直线l 平行且与抛物线C 相切的直线l '方程为y x m =+，由2,2,y x m y x =+⎧⎨=⎩ 得22(22)0x m x m +-+=， 22(22)448m m m ∆=--=- ，∴由0∆=，得12m =，则直线l '方程为12y x =+．两直线l 、l '间的距离即为抛物线C 上的点到直线l 的最短距离，∴4=2b =或1b =-（舍去）．∴直线l 的方程为2y x =+，抛物线C 的方程为22y x =． …………………………6分（法二） 点(2,2)P 在抛物线C 上， 1p ∴=，抛物线C 的方程为22y x =．……2分设2(,))2t M t t R ∈（为抛物线C 上的任意一点，点M 到直线l 的距离为d =202t t b -+>，21)21]d t b ∴=-+-， t R ∈ ，d ∴4=，解得2b =．图7yM PB Qx AOl因此，直线l 的方程为2y x =+，抛物线C 的方程为22y x =．…………………6分 （2） 直线AB 的斜率存在，∴设直线AB 的方程为1(2)y k x -=-，即21y kx k =-+，由221,2,y kx k y x =-+⎧⎨=⎩ 得22420ky y k --+=， 设点A 、B 的坐标分别为11(,)A x y 、22(,)B x y ，则122y y k +=，1224k y y k-=， 11121112222222y y k y x y --===-+- ，2222k y =+， …………………………9分 121212121222+82()82242242222()4324y y k k k k k y y y y y y k k⋅+++∴+=+===-++++++⋅+.…10分 由21,2,y kx k y x =-+⎧⎨=+⎩得211M k x k +=-，411M k y k -=-，∴341221121321k k k k k k --+-==+--， ……………………………………………13分 1232k k k ∴+=．因此，存在实数λ，使得123k k k λ+=成立，且2λ=．…………………………14分 【说明】本题主要考查抛物线的方程与性质、直线方程、直线与抛物线的位置关系，切 线方程，点到直线距离，最值问题等基础知识，考查学生运算能力、推理论证以及分析问题、解决问题的能力，考查数形结合、化归与转化思想． 21． （本小题满分14分）已知函数2901xf x a ax=>+()() ． （1）求f x ()在122[,]上的最大值；（2）若直线2y x a =-+为曲线y f x =()的切线，求实数a 的值；（3）当2a =时，设1214122x x x ,⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦…,,, ，且121414x x x =…+++ ，若不等式1214f x f x +f x λ≤…()+()+()恒成立，求实数λ的最小值．解：（1）2222229[1(1)2]9(1)()(1)(1)ax x ax ax f x ax ax ⋅+-⋅-'==++，…………………………2分令()0f x '=，解得x =（负值舍去），由122a <<，解得144a <<． （ⅰ）当104a <≤时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≥，∴()f x 在1[,2]2上的最大值为18(2)41f a =+．…………………………………3分 （ⅱ）当4a ≥时，由1[,2]2x ∈，得()0f x '≤，∴()f x 在1[,2]2上的最大值为118()24f a =+．……………………………………4分（ⅲ）当144a <<时， 在12x a <<时，()0f x '>，在2x a <<时，()0f x '<，∴()f x 在1[,2]2上的最大值为f 5分 （2）设切点为(,())t f t ，则()1,()2.f t f t t a '=-⎧⎨=-+⎩……………………………6分由()1f t '=-，有2229[1]1(1)at at -=-+，化简得2427100a t at -+=， 即22at =或25at =， ……………………………① 由()2f t t a =-+，有2921ta t at =-+，……………②由①、②解得2a =或a =． ……………………………………………9分（3）当2a =时，29()12xf x x =+，由（2）的结论直线4y x =-为曲线()y f x =的切线，(2)2f = ，∴点(2,(2))f 在直线4y x =-上，根据图像分析，曲线()y f x =在直线4y x =-下方． …………………………10分 下面给出证明：当1[,2]2x ∈时，()4f x x ≤-．3222928104()(4)41212x x x x f x x x x x -+---=-+=++ 2221(2)12x x x --=+（）， ∴当1[,2]2x ∈时，()(4)0f x x --≤，即()4f x x ≤-．………………………12分∴12141214()()()414()f x f x f x x x x +++≤⨯-+++ ，121414x x x +++= ， 1214()()()561442f x f x f x ∴+++≤-= ．∴要使不等式1214()()()f x f x f x λ+++≤ 恒成立，必须42λ≥．……………13分又 当12141x x x ==== 时，满足条件121414x x x +++= ， 且1214()()()42f x f x f x +++= ，因此，λ的最小值为42． …………………………………………………14分【说明】本题主要考查函数的性质、导数运算法则、导数的几何意义及其应用、不等式的求解与证明、恒成立问题，考查学生的分类讨论，计算推理能力及分析问题、解决问题的能力及创新意识．。