山东省烟台市2014届高三上学期期末考试 理科数学 扫描版试题Word版答案

数学（理）答案

一、选择题：DDBDC DBDBC BA

二、填空题：13. 724-

14. 13 15. [)4,12- 16. 1- 三、解答题：

17. 解：（1

）())sin 22f x x x π

=++

2sin 2x x =+ 2sin(2)3

x π=+． 所以)(x f 的最小正周期为π．……………… 6分

（2） 将)(x f 的图象向右平移3

π个单位，得到函数)(x g 的图象， ∴()()2sin 2()333g x f x x πππ⎡⎤=-=-+⎢⎥⎣⎦ 2sin(2)3x π=-． 0 2x π⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭

，时，22,333x πππ⎡⎫-∈-⎪⎢⎣⎭， ∴当232x ππ-

=，即512x π=时， )(x g 取得最大值2；………… 9分 当233x ππ-=-，即0x =时， )(x g

取得最小值12分

18. （1）证明：连接AC 、BD ，设O BD AC = ，

∵ABCD 为菱形，∴BD AC ⊥，以O 为原点，OA ，OB 为x 、y 轴正向，z 轴过O 且平行于CF ，建立空间直角坐标系（图1），………… 2分

则)301()201()030()030(，，，，，，，，，，，--F E D B ，

），，（，，，231)231(-==，)102(，，

-=，………4分 ∴ 0=⋅DE EF ，0=⋅BE EF ，∴DE EF ⊥，BE EF ⊥，

又E BE DE = ，∴EF ⊥平面BDE .………6分

（2）由知（1）)102(，，

-=是平面BDE 的一个法向量， 设m ),,(z y x =是平面BDF 的一个法向量，

），，（，，，331)331(--=-=,

由

m 0=⋅ , m 0=⋅

得：⎪⎩⎪⎨⎧=+--=++-0

33033z y x z y x ，……… 8分 取,3=x ，得0,1==y z ，于是m )1,0,3(=

cos =22

5105-=⋅-………10分

但二面角B —BD —F 为锐二面角，

故其大小为 45. …………12分

19.解：（1） 点),(n n S n P 都在函数x x x f 2)(2

+=的图像上，

∴2*2()n S n n n N =+∈．……………… 2分

当n 2≥时，12 1.n n n a S S n -=-=+

当1=n 时，113a S ==满足上式，

所以数列}{n a 的通项公式为2 1.n a n =+ ……………… 6分

（2）由x x x f 2)(2+=求导可得()22f x x '=+，

因为过点),(n n S n P 的切线的斜率为n k ，22n k n ∴=+，

24(21)4n k n n n b a n ∴=⋅+⋅＝，

12343445447421)4n

n ∴=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯n T +4（ 2341443445447421)4n n +=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⋅⋅⋅⨯+⨯n T +4（ 两式相减得

()231

343424421)4n n n +⎡⎤-=⨯+⨯++⋅⋅⋅+⨯⎣⎦n T +4-（ ………9分

21141434221)414n n n -+⎡⎤

-=⨯+⨯+⨯⎢⎥-⎣⎦（4）-（

261

16

499n n ++∴=⋅-n T ．……………………… 12分

20.解：（1）由题意知， )210()20

4(p x p p y +--+=，

将12

3+-=x P 代入化简得：

x x y -+-=14

16 （0x a ≤≤）. …………… 6分

（2）13)1(14

217)114

(17=+⨯+-≤+++-=x x x x y ， 当且仅当1,114

=+=+x x x 即时，上式取等号. …………… 9分

当1a ≥时, 促销费用投入1万元时，厂家的利润最大;

当1a <时, )114

(17+++-=x x y 在[]0,a 上单调递增,

所以x a =时,函数有最大值．即促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大 . 综上,当1a ≥时, 促销费用投入1万元，厂家的利润最大;

当1a <时, 促销费用投入a 万元，厂家的利润最大 .…… 12分 21.解：（1）21

()(21),(1)1,(3)3f x ax a f a f a x '''=-++=-+=-，

由(1)(3)f f ''=得23a =，272(23)(2)()333x x f x x x x

--'=-+=…… 3分 所以()y f x =：单调递增区间为30 2⎛⎫ ⎪⎝⎭

，，()2 +∞，， 单调递减区间为3 22⎛⎫ ⎪⎝⎭

，. …………… 6分 （2）若要命题成立，只须当[]0,2x ∈时，max max ()()f x g x <. 由()()

22e x g x x '=-可知， 当(]0,2x ∈时max ()(0)(2)0g x g g ===, 所以只须max ()0f x <.…………… 8分

对()f x 来说，2(1)(2)()(21)ax x f x ax a x x

--'=-++

=， ①当12a >时，max 11()()2ln 22f x f a a a

==--- 当1a ≥时，显然max ()0f x <，满足题意， 当

112a <<时，令()112ln 2122h x x x x ⎛⎫=---<< ⎪⎝⎭

， ()22102h x x x

'=-+<，所以()h x 递减，所以()0h x <，满足题意， 所以12

a >满足题意；…………… 10分 ②当12

a ≤时，()f x 在(]0,2x ∈上单调递增， 所以max ()(2)2ln 222f x f a ==--0<得1ln 212

a -<≤ ，…… 12分 综上所述， ln 21a >-.…………… 13分 22.解：(1)设点),(11y x M ,),(22y x N

设直线:l a x ty -= ,代入x y 22=并整理得0222

=--a ty y 所以⎩⎨⎧-=⋅=+a y y t y y 222

121 ………………… 2分 故有21212121))((y y a ty a ty y y x x ⋅+++=⋅+⋅=⋅ 221212)()1(a y y at y y t ++++=

222)2)(1(a at a t ++-+=

a a 22-= 解得2=a ………………… 5分 又椭圆与双曲线有公共的焦点，故有3=c 所以椭圆的方程为14

22

=+y x . ……………………… 7分 (2) PB PA ⊥