2020年辽宁省大连市数学高二第二学期期末教学质量检测试题含解析
大连市名校2020年高二第二学期数学期末教学质量检测试题含解析
大连市名校2020年高二第二学期数学期末教学质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好体育，得到表：参照附表，得到的正确结论是( )附：由公式算得：22()7.8()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=≈++++ 附表：()20P k k >0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.0050k1.3232.702 2.7063.841 5.024 6.635 7.879A ．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”B ．有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别无关”C ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别有关”D ．在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好体育运动与性别无关”2．在20张百元纸币中混有4张假币，从中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假币，则这两张都是假币的概率是( ) A ．335B ．338C ．217D ．以上都不正确3．根据如图所示的程序框图，当输入的x 值为3时，输出的y 值等于（ ）A ．1B ．eC ．1e -D ．2e -4．若随机变量X 的分布列为（ ）X12P13ab且()1E X =，则随机变量X 的方差()D X 等于（ ） A ．13B ．0C ．1D ．235．老师在班级50名学生中，依次抽取学号为5，10，15，20，25，30，35，40，45，50的学生进行作业检查，这种抽样方法是（） A ．随机抽样B ．分层抽样C ．系统抽样D ．以上都是6．曲线sin (02)y x x π=≤≤与x 轴所围成的封闭图形的面积为（ ） A ．2B ．2πC ．πD ．47．函数()ln 1ln 1f x x x =--+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．8．若变量x,y 满足约束条件222x y x y ≤⎧⎪≤⎨⎪+≥⎩则目标函数2z x y =+的取值范围是A ．[2,6]B ．[2,5]C ．[3,6]D ．[3,5]9．已知函数1ln(1),1()21,1x x x f x x -->⎧=⎨-≤⎩，则()f x 的零点个数为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．310．设函数()f x 在定义域内可导，()y f x =的图像如图所示，则导函数()y f x '=的图像可能为( )A ．B ．C ．D ．11．已知函数()()2ln 1fx x x =++，则不等式()()10f x f x -+>的解集是（ ）A ．{2}x x >B ．{1}x x <C ．1{}2x x >D ．{0}x x >12．宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等，如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的,a b 分别为12，4，则输出的n 等于（ ）A ．4B ．5C ．6D ．7二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知等比数列{}n a 的前n 项和n S ，若131132a a +=，22a =，则3S =__________． 14．若11abi i=--，其中,a b 都是实数，i 是虚数单位，则a bi +=__________． 15．已知x 、y 满足约束条件1022010x y x y y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪+≥⎩，若目标函数()()20z a x y a =++>的最大值为13，则实数a =______.16．()2230.258lg252lg2-+--的化简结果为____________ 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为232x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数），将圆221x y +=上每一个点的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的2倍，得到曲线C . （1）求直线l 的普通方程及曲线C 的参数方程；（2）设点P 在直线l 上，点q 在曲线C 上，求||PQ 的最小值及此时点Q 的直角坐标. 18．选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程是,x t y m =⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为4cos()6πρθ=-.（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）设点,P Q 分别在1C ，2C 上运动，若||PQ 的最小值为2，求m 的值.19．（6分）为发展业务，某调研组对A ，B 两个公司的产品需求量进行调研，准备从国内7个人口超过1500万的超大城市和n （*N n ∈）个人口低于200万的小城市随机抽取若干个进行统计，若一次抽取2个城市，全是小城市的概率为415. （1）求n 的值；（2）若一次抽取4个城市，则：①假设取出小城市的个数为X ，求X 的分布列和期望； ②若取出的4个城市是同一类城市，求全为超大城市的概率. 20．（6分）已知函数()()()2122f x x x =--．（1）求()f x 的单调区间和极值；（2）若直线4y x b =+是函数()y f x =图象的一条切线，求b 的值．21．（6分）平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为，且点12⎫⎪⎭在椭圆C 上.椭圆C 的左顶点为A . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点A 作直线l 与椭圆C 交于另一点B .若直线l 交y 轴于点C ，且OC BC =，求直线l 的斜率. 22．（8分）已知复数1az i i=++，其中i 为虚数单位，a R ∈. （1）若z R ∈，求实数a 的值；（2）若z 在复平面内对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】 【分析】根据参照表和卡方数值判定，6.635<7.8<7.879,所以有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”. 【详解】因为6.635<7.8<7.879,所以有99%以上的把握认为“爱好体育运动与性别有关”，故选A. 【点睛】本题主要考查独立性检验，根据数值所在区间能描述统计结论是求解关键. 2．A 【解析】设事件A 表示“抽到的两张都是假钞”，事件B 表示“抽到的两张至少有一张假钞”， 则所求的概率即P(A|B).又()()()211244164222020,C C C C P AB P A P B C C +===， 由公式()()()24211441663|641635P AB C P A B P B C C C ====++⨯. 本题选择A 选项.点睛：条件概率的求解方法：(1)利用定义，求P(A)和P(AB)，则()()(|)n AB P B A n A =.(2)借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n(A)，再求事件A 与事件B 的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得()()(|)n AB P B A n A =.3．C 【解析】 【分析】根据程序图，当x<0时结束对x 的计算，可得y 值． 【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得1y e -=，故选C ． 【点睛】本题考查程序框图，是基础题． 4．D 【解析】分析：先根据已知求出a,b 的值，再利用方差公式求随机变量X 的方差()D X .详解：由题得1113,,130213a b a b a b ⎧++=⎪⎪∴==⎨⎪⨯++=⎪⎩ 所以2221112()(01)(11)(21).3333D X =-⋅+-⋅+-⋅= 故答案为D.点睛：（1）本题主要考查分布列的性质和方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是1x ，2x ，…，n x ，…，且取这些值的概率分别是1p ，2p ，…，n p ，那么D ξ＝211()x E p ξ-⋅＋222()x E p ξ-⋅＋…＋2()n n x E p ξ-⋅,称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的E ξ是随机变量ξ的期望． 5．C 【解析】 【分析】对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，其它依次加5，得到样本编号. 【详解】对50名学生进行编号，分成10组，组距为5，第一组选5，从第二组开始依次加5，得到样本编号为：5，10，15，20，25，30，35，40，45，50，属于系统抽样. 【点睛】本题考查系统抽样的概念，考查对概念的理解. 6．D 【解析】 【分析】曲线sin (02)y x x π=≤≤与x 轴所围成图形的面积，根据正弦函数的对称性，就是求正弦函数sin y x =在[]0,π上的定积分的两倍． 【详解】解：曲线sin (02)y x x π=≤≤与x 轴所围成图形的面积为：[]002sin 2(cos )|2cos (cos0)4xdx x πππ=-=---=⎰．故选：D ． 【点睛】本题考查了定积分，考查了微积分基本定理，求解定积分问题，关键是找出被积函数的原函数，属于基础题． 7．B 【解析】分析：利用函数的解析式，判断x 大于1时函数值的符号，以及x 小于1-时函数值的符号，对比选项排除即可.详解：当1x >时，函数()()()1ln 1ln 1ln 01x f x x x x -=--+=<+， 排除选项,A D ；当1x <-时，函数()()()1ln 1ln 1ln 01x f x x x x -=----=>+， 排除选项C ，故选B.点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 8．A 【解析】 【分析】画出不等式组对应的可行域，将目标函数变形，画出目标函数对应的直线，由图得到当直线过A 点时纵截距最大，z 最大，当直线过（2，0）时纵截距最小，z 最小． 【详解】画出可行域，如图所示：将2z x y =+变形为122zy x =-+，平移此直线， 由图知当直线过A （2，2）时，z 最大为6，当直线过（2，0）时，z 最小为2， ∴目标函数Z ＝x+2y 的取值范围是[2，6] 故选A ． 【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域：直线定边界，特殊点定区域结合图形求函数的最值，属于基础题． 9．C 【解析】 【分析】分段令()0f x =，解方程即可得解. 【详解】当1x >时，令()()ln 10f x x =-=，得2x =； 当1x ≤时，令()1210x f x -=-=，得1x =.故选C. 【点睛】本题主要考查了分段函数零点的求解，涉及指数和对数方程，属于基础题. 10．D 【解析】 【分析】通过原函数的单调性可确定导函数的正负，结合图象即可选出答案. 【详解】由函数()f x 的图象可知，当(0,)x ∈+∞时，()f x 单调递减，所以(0,)x ∈+∞时，()0f x '< ，符合条件的只有D 选项，故选D.【点睛】本题主要考查了函数的单调性与导函数的符号之间的对应关系，属于中档题. 11．C 【解析】 【分析】先判断出函数()f x 为奇函数且在定义域内单调递增，然后把不等式变形为()()1f x f x ->-，再利用单调性求解即可．【详解】由题意得，函数()f x 的定义域为R ．∵()(x x x x f x ln x -+---=-==(()ln x f x ==-+=-，∴函数()f x 为奇函数．又根据复合函数的单调性可得，函数()f x 在定义域上单调递增． 由()()10f x f x -+>得()()()1f x f x f x ->-=-，∴1x x ->-，解得12x >， ∴不等式的解集为1{}2x x >．故选C ． 【点睛】解答本题的关键是挖掘题意、由条件得到函数的奇偶性和单调性，最后根据函数的单调性求解，这是解答抽象不等式（即不知表达式的不等式）问题的常用方法，考查理解和应用能力，具有一定的难度和灵活性． 12．A 【解析】 【详解】分析：本题给只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可（注意避免计算错误）． 详解：模拟程序的运行，可得12,4,1,18,8a b n a b =====， 不满足结束循环的条件a b ≤，执行循环体，2,27,16n a b ===；不满足结束循环的条件a b ≤，执行循环体，813,,322n a b ===； 不满足结束循环的条件a b ≤，执行循环体，2434,,644n a b ===； 满足结束循环的条件a b ≤，退出循环，输出n 的值为4，故选A.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．8 【解析】 【分析】利用133********=42a a S a a a a a +-+==求解. 【详解】1332131311342a a S a a a a a +-+===，则38S =. 故答案为：8 【点睛】本题主要考查等比数列的性质，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题. 14【解析】 【分析】首先进行复数的乘法运算，得到a ，b 的值，然后代入求解即可得到结果 【详解】()()()1111122a i a a ai bi i i i +==-=---+ 解得2a =，1b =-a bi +=【点睛】本题是一道关于考查复数概念的题目，熟练掌握复数的四则运算是解题的关键，属于基础题．15．1【解析】【分析】在平面直角坐标系内,画出不等式组所表示的平面区域.平移直线()=2y a x z -++,找到使直线()=2y a x z -++在纵轴上的截距最大时,所经过的点坐标,把这个点的坐标代入目标函数解析式中，可以求出a 的值.【详解】在平面直角坐标系内，画出不等式组所表示的平面区域如下图所示：平移直线()=2y a x z -++,∵0a >，所以当直线经过点A 时, 直线()=2y a x z -++在纵轴上的截距最大,解方程组：03(3,4)2204x y x A x y y -+==⎧⎧⇒∴⎨⎨--==⎩⎩,把点()3,4A 的坐标,代入目标函数中，()13234a =+⋅+,解得1a =.故答案为：1【点睛】本题考查了已知目标函数的最值求参数问题,正确画出不等式组所表示的平面区域是解题的关键. 16．18【解析】【分析】由指数幂的运算与对数运算法则，即可求出结果.【详解】因为()22324330.258252lg222lg100164218lg ⨯-+--=+-=+-=.故答案为18【点睛】本题主要考查指数幂运算以及对数的运算，熟记运算法则即可，属于基础题型.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17． (1) 380x y --=， cos 2sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）(2) min d =Q 【解析】【分析】()1运用消参求出直线l 的普通方程，解出曲线C 的普通方程，然后转化为参数方程()2转化为点到直线的距离，运用参数方程进行求解【详解】（1）由232x t y t =+⎧⎨=-⎩得223x t y t -=⎧⎨+=⎩，消元得380x y --= 设()11,x y 为圆上的点，在已知变换下变为C 上的点(),x y ，依题意得112x x y y =⎧⎨=⎩由22111x y +=，得2212y x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭ ∴2214y x +=化为参数方程为2x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数） （2）由题意，PQ 最小值即椭圆上点Q 到直线l 距离的最小值设()cos ,2sin Q θθ，d ==（其中cos φ=sin φ=）∴min d ==，此时()cos 1θφ+=，即2k θφπ+=（k Z ∈）∴2,k k Z θπφ=-∈，∴cos cosθφ===()2sin 2sin 22sin13k θπφφ=-=-==-∴Q ⎝⎭. 【点睛】 本题考查了普通方程与参数方程之间的转化，需要运用公式熟练求解，在求最值问题时运用参量来求解，转化为三角函数的最值问题。
辽宁省大连市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析
辽宁省大连市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知随机变量ξ服从正态分布2(2,)N σ，且(0)(2)P P a ξξ<=>-，则a =（ ） A ．-2 B ．2C ．4D ．6【答案】D 【解析】分析：由题意知随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于2x =对称，得到两个概率相等的区间关于2x =对称，得到关于a 的方程，解方程求得a详解：由题随机变量ξ服从正态分布()22,N σ，且(0)(2)P P a ξξ<=>-，则0与2a -关于2x =对称，则024, 6.a a =-=∴=故选D.点睛：本题主要考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义、函数图象对称性的应用等基础知识，属于基础题．2． “ln ln x y >”是“x y >”的（ ） A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】ln ln 0x y x y >⇔>>，0x y x y >>⇒>，x y >⇒0x y >>，∴ “ln ln x y >”是“x y >”的充分不必要条件． 故选：B ．3．下列函数一定是指数函数的是（） A ．12x y += B ．3y x =C ．32x y =⋅D ．3x y -=【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数定义，逐项分析即可. 【详解】A ：12x y +=中指数是1x +，所以不是指数函数，故错误；B ：3y x =是幂函数，故错误；C ：32x y =⋅中底数前系数是3，所以不是指数函数，故错误；D ：13()3xx y -==属于指数函数，故正确. 故选D. 【点睛】指数函数和指数型函数：形如xy a =（01a <<且1a ≠）的是指数函数，形如x cy b a +=⋅（01a <<且1a ≠且0b ≠且0c ≠）的是指数型函数.4．甲、乙两位同学各自独立地解答同一个问题，他们能够正确解答该问题的概率分别是和，在这个问题已被正确解答的条件下,甲、乙两位同学都能正确回答该问题的概率为( ) A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】设事件A 表示“甲能回答该问题”，事件B 表示“乙能回答该问题”，事件C 表示“这个问题被解答”，则P （A ）＝0.4，P （B ）＝0.5，求出P （C ）＝P （A ）+P （）+P （AB ）＝0.7，由此利用条件概率计算公式能求出在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率． 【详解】设事件A 表示“甲能回答该问题”，事件B 表示“乙能回答该问题”，事件C 表示“这个问题被解答”， 则P （A ）＝0.4，P （B ）＝0.5， P （C ）＝P （A ）+P （）+P （AB ）＝0.2+0.3+0.2＝0.7，∴在这个问题已被解答的条件下，甲乙两位同学都能正确回答该问题的概率： P （AB|C ）．故选：A 【点睛】本题考查条件概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率公式的合理运用． 5．过点(,)e e -作曲线x y e x =-的切线，则切线方程为（ ） A ．2(1)y e x e =--+B ．2(1)y e x e =--C ．12(1)e e y e x e ++=--D ．1(1)e e y e x e +=--【答案】C 【解析】 【分析】设出切点坐标00x x e （，），求出原函数的导函数，得到函数在0x x =时的导数值，即切线的斜率，然后由直线方程的点斜式得切线方程，代入已知点的坐标后求出切点的坐标，则切线方程可求． 【详解】由xy e x =-，得1xy e '=-，设切点为00xx e （，）， 则00|1xx x y e -'＝＝ ，∴切线方程为()0001()xxy e e x x ---＝ ， ∵切线过点(),e e -， ∴−e x 0＝e x 0(1−x 0)， 解得：0e 1x =+ ． ∴切线方程为111e e y e e x e ++-=--（），整理得：()121e e y e x e ++=--. 故选C.． 【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题． 6．若0n >，则9n n+的最小值为（ ） A ．2 B ．4C ．6D ．8【答案】C 【解析】 【分析】利用均值不等式求解即可． 【详解】∵96n n+≥=（当且仅当n ＝3时等号成立） 故选：C ． 【点睛】本题主要考查了均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．7．在一个6×6的表格中放3颗完全相同的白棋和3颗完全相同的黑棋，若这6颗棋子不在同一行也不在同一列上，则不同的放法有 A ．14400种 B ．518400种C ．720种D ．20种【答案】A 【解析】根据题意，在6×6的棋盘中，第一颗棋子有6×6种放法，由于任意两颗棋子不在同一行且不在同一列，则第二颗棋子有5×5种放法，第三颗棋子有4×4种放法，第四颗棋子有3×3种放法，第五颗棋子有2×2种放法，第六颗棋子有1种放法， 又由于3颗黑子是相同的，3颗白子之间也是相同的，故6颗棋子不同的排列方法种数为664433221144003333A A ⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯=n 种； 故选A.点睛：在排列组合问题中，遇见元素相同的排列时，一般可以将两个元素看作不同元素，排列结束后除以相同元素的全排列即可，比如有两个元素相同即除以22A ，如三个元素相同即除以33A .8．已知(0,)x ∈+∞有下列各式：12x x +≥，2244322x x x x x +=++≥，3327274333x x x x x x +=+++≥成立，观察上面各式，按此规律若45ax x+≥，则正数a =（ ）A ．34B ．45C ．44D ．55【答案】C 【解析】 【分析】观察上面各式,112x x +≥,22243222x x x x x+=++≥,3332734333x x x x x x +=+++≥,类比推理即可得到结果.【详解】由题,观察上面各式可得112x x +≥,22243222x x x x x+=++≥,3332734333x x x x x x +=+++≥,则44464454444x x x x x x x+=++++≥,所以44a =, 故选:C 【点睛】本题考查类比推理,考查理解分析能力. 9．已知的取值如下表，从散点图知，线性相关，且，则下列说法正确的是（ ）12341.41.82.43.2A ．回归直线一定过点B ．每增加1个单位，就增加1个单位C ．当时，的预报值为3.7D ．每增加1个单位，就增加0.7个单位 【答案】C 【解析】 【分析】由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得a 值，进一步求得线性回归方程，然后逐一分析四个选项即可得答案． 【详解】 解：由已知得，，，故A 错误；由回归直线方程恒过样本中心点（2.5，2.2），得，解得0.1．∴回归直线方程为．x 每增加1个单位，y 就增加1个单位，故B 错误； 当x ＝5时，y 的预测值为3.1，故C 正确；x 每增加1个单位，y 就增加0.6个单位，故D 错误． ∴正确的是C ． 故选C ． 【点睛】本题考查线性回归直线方程，解题关键是性质：线性回归直线一定过点．10．如图12,F F 分别是椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>> 的两个焦点，A 和B 是以O 为圆心，以1OF 为半径的圆与该左半椭圆的两个交点，且2F AB ∆是等边三角形，则椭圆的离心率为（ ）A 3B ．12C 2D 31【答案】D 【解析】 【分析】根据等边三角形的性质，求得A 点坐标，代入椭圆方程，结合椭圆离心率的取值范围，即可求得椭圆的离心率． 【详解】由题意知A 32c c ⎛- ⎝⎭，把A 代入椭圆22221x y a b +=(a ＞b ＞0)，得22223144c c a b+=， ∴()()2222222234a cca c a a c -+=-，整理，得42840e e -+=，∴2423e =± ∵0＜e ＜1，∴31e =，故选D. 【点睛】本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、等边三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a>0，b>0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ|=|OF|，则C 的离心率为 A 2 B 3 C ．2 D 5【答案】A 【解析】 【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率．【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==Q ，||,2cPA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径， A ∴为圆心||2c OA =． ,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．【点睛】本题为圆锥曲线离心率的求解，难度适中，审题时注意半径还是直径，优先考虑几何法，避免代数法从头至尾，运算繁琐，准确率大大降低，双曲线离心率问题是圆锥曲线中的重点问题，需强化练习，才能在解决此类问题时事半功倍，信手拈来． 12．已知命题：，使得，则为 A ．，总有 B ．，使得 C ．，总有D ．，使得【答案】C 【解析】 【分析】原命题为特称命题，则其否定为全称命题，即可得到答案 【详解】 命题：，使得：，总有故选 【点睛】本题主要考查的是命题及其关系，命题的否定是对命题结论的否定，属于基础题． 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．在直三棱柱111ABC A B C -中，11BC AC ⊥.有下列条件： ①AB AC BC ==； ②AB AC ⊥； ③AB AC =.其中能成为11BC AB ⊥的充要条件的是__________．（填上序号）【答案】①③ 【解析】分析：由题意，对所给的三个条件，结合直三棱柱111ABC A B C -中，11BC AC ⊥，作出如图的图象，借助图象对11BC AB ⊥的充要条件进行研究. 详解：若①AB AC BC ==，如图取,M N 分别是11,B C BC 的中点， 可得111,AM BC A N B C ⊥⊥， 由直三棱柱111ABC A B C -中， 可得1,AM A N 都垂直于侧面11B C BC ，由此知1,AM A N 都垂直于线1BC ，又11BC AC ⊥，所以1BC ⊥平面1A CN ， 可得1BC CN ⊥，又由,M N 是中点及直三棱柱的性质知1//B M CN ， 故可得11BC B M ⊥，再结合AM 垂直于线1BC ，可得1BC ⊥面1AMB ， 故有11BC AB ⊥，故①能成为11BC AB ⊥的充要条件， 同理③也可，对于条件②，若AB AC ⊥，可得11A B ⊥面11B C BC ，111A B BC ⊥，若11BC AB ⊥，由此可得1BC ⊥平面11A B BC 形，矛盾， 故不为11BC AB ⊥的充要条件， 综上，①③符合题意，故答案为①③.点睛：本题主要考查直棱柱的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的性质，属于难题.解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.14．要用三根数据线将四台电脑A ，B ，C ，D 连接起来以实现资源共享，则不同的连接方案种数为______． 【答案】16 【解析】 【分析】由题目可以联想到正方形的四个顶点，放上四台电脑，正方形的四条边和它的两条对角线，六条线中选3条，满足题意的种数为：全部方法减去不合题意的方法来解答. 【详解】解：画一个正方形和它的两条对角线，在这6条线段中，选3条的选法有3620C =种.当中，4个直角三角形不是连接方案，故不同的连接方案共有36420416C -=-=种.故答案为：16. 【点睛】连线、搭桥、几何体棱上爬行路程、正方体顶点构成四面体等，是同一性质问题，一般要用排除法. 15．已知复数z ＝11i+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为________． 【答案】12【解析】分析：先化简复数z ＝11i+,再确定复数z 的实部. 详解：由题得z ＝11i +=(1)111(1)(1)222i i i i i --==-+-，所以复数z 的实部为12，故答案为12. 点睛：(1)本题主要考查复数的运算和复数的实部的概念，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和基本运算能力.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈的实部是a,虚部为b ，不是bi.16．已知函数3()log 5f x x x =+-的零点0(,1)x a a ∈+，则整数a 的值为______. 【答案】3 【解析】 【分析】根据函数单调性可知若存在零点则零点唯一，由零点存在定理可判断出零点所在区间，从而求得结果. 【详解】由题意知：()f x 在()0,∞+上单调递增()f x ∴若存在零点，则存在唯一一个零点又()313510f =+-=-<，()334log 445log 410f =+-=-> 由零点存在定理可知：()03,4x ∈，则3a = 本题正确结果：3 【点睛】本题考查零点存在定理的应用，属于基础题. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．求证 ：<【答案】证明见解析． 【解析】 试题分析：此题证明可用分析法，寻找结论成立的条件，由于不等式两边均为正，因此只要证22<，化简后再一次平方可寻找到没有根号，易知显然成立的式子，从而得证． 试题解析：<只需证明(22<展开得1020+< 即10,2125<< 因为2125<成立，所以(22<成立<【点睛】(1)逆向思考是用分析法证题的主要思想，通过反推，逐步寻找使结论成立的充分条件.正确把握转化方向是使问题顺利获解的关键.(2)证明较复杂的问题时，可以采用两头凑的办法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论，然后通过综合法证明这个中间结论，从而使原命题得证. 18．已知函数()2()xf x e ax a R =-∈．（1）若()()1f xg x x =+有三个极值点123,,x x x ，求a 的取值范围； （2）若3()1f x ax ≥-+对任意[]0,1x ∈都恒成立的a 的最大值为μ，证明：2655μ<<． 【答案】（1）111,,22e ⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭U （2）见解析 【解析】试题分析：（1）若()()1f xg x x =+有三个极值点123,,x x x ，只需()20xh x e ax a =--=应有两个既不等于0也不等于1-的根；（2）()31f x ax ≥-+恒成立即()231xe a x x-≥-.变量分离，转化为函数最值问题.（1）()21x e ax g x x -=+，定义域为()(),11,-∞-⋃-+∞，()()()()()22211xx eax x e ax g x x --'-+=+ ()()221xx eax ax --=+，∵()00g '=，只需()20xh x e ax a =--=应有两个既不等于0也不等于1-的根，()xh x e a '=-， ①当0a ≤时，()0h x '>，∴()h x 单增，()0h x =最多只有一个实根，不满足；②当0a >时，()0xh x e a =-='⇒ 0ln xe a x a =⇒=，当()0,x x ∈-∞时，()0h x '<，()h x 单减；当()0,x x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单增；∴()0h x 是()h x 的极小值，而x →+∞时，()2xh x e ax a =--→+∞，x →-∞时，()2xh x e ax a =--→+∞，要()0h x =有两根，只需()00h x <，由()00020xh x e ax a =--< ln ln 20a e a a a ⇒--<ln 0ln 10a a a a ⇒--<⇒--< 1ln 1a a e ⇒>-⇒>，又由()1001202h a a ≠⇒-≠⇒≠，反之，若1a e >且12a ≠时，则()110h a e-=-<，()0h x =的两根中，一个大于1-，另一个小于1-.在定义域中，连同0x =，()0g x '=共有三个相异实根，且在三根的左右，()g x '正负异号，它们是()g x 的三个极值点.综上，a 的取值范围为111,,22e ⎛⎫⎛⎫⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. （2）()321xf x ax e ax ≥-+⇔- ()32311xax e a x x≥-+⇔-≥-对[]0,1x ∀∈恒成立，①当0x =或1时，a R ∈均满足；②()231xe a x x -≥-对()0,1x ∀∈恒成立231x e a x x-⇔≤-对()0,1x ∀∈恒成立， 记()231x e u x x x -=-，()0,1x ∈，max 23min 1x e a x x μ⎛⎫-== ⎪-⎝⎭，()0,1x ∈， 欲证23min 261265555x e x x μ⎛⎫-<<⇐<< ⎪-⎝⎭， 而()23minmin1x e u x x x ⎛⎫-=< ⎪-⎝⎭)181248u ⎛⎫== ⎪⎝⎭-，只需证明)2613811520<⇐<331089 2.722520400e ⇐<⇐<=，显然成立. 下证：2323min1155x x e e x x x x ⎛⎫-->⇐> ⎪--⎝⎭，()0,1x ∈，23551x e x x >-+，()0,1x ∈， 先证：2311126xe x x x >+++，()0,1x ∈， 3211162x e x x x ⇐--->，()0,1x ∈.令()321162xv x e x x x =---，()0,1x ∈，()2112x v x e x x '=---，()1x v x e x '=--'，()1x v x e =''-'，∴()v x ''在()0,1上单增， ∴()()00v x v ''''>=，∴()v x '在()0,1上单增，∴()()00v x v ''>=，∴()v x 在()0,1上单增， ∴()()01v x v >=，即证.要证：23551x e x x >-+，()0,1x ∈.只需证232311155126x x x x x +++≥-+，()323190,1062x x x x ∈⇐-+≥32312760x x x ⇐-+≥ ()2312760x x x ⇐-+≥ 2312760x x ⇐-+≥，()0,1x ∈而2274316150∆=-⨯⨯=-<，开口向上，上不等式恒成立，从而得证命题成立.点睛：第一问函数有是三个极值点，即导函数有三个零点，研究导函数的单调性满足函数有3个零点．第二问较为复杂，将恒成立求参的问题转化为函数最值问题，分离变量，求出a 满足的表达式，再求这个表达式的范围．19．（1）已知()232z z z i i ++=-，求复数z ； （2）已知复数z 满足2z z-为纯虚数，且1z i -=，求复数z ． 【答案】（1）1-±；（2）2z i =或1z i =-+或1z i =+. 【解析】 【分析】（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据复数的运算法则和复数相等得出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，即可得出复数z ；（2）设复数(),z a bi a b R =+∈，根据2z z-为纯虚数和1z i -=列出关于a 、b 的方程组，解出这两个未知数，可得出复数z . 【详解】（1）设复数(),z a bi a b R =+∈，由()232z z z i i ++=-，得()22232a bai i ++=-，根据复数相等得22322a b a ⎧+=⎨=-⎩，解得1a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩1z =-±；（2）设复数(),z a bi a b R =+∈， 则()()()222222222a bi a b z a bi a bi a b i z a bi a bi a bi a b a b -⎛⎫⎛⎫-=+-=+-=-++ ⎪ ⎪++-++⎝⎭⎝⎭， 由题意可得2220a a a b -=+，2220bb a b+≠+. ()11z i a b i -=+-=1=，所以有()()()2222222222202011a a b a b b a b a b a b ⎧+-⎪=+⎪⎪++⎪≠⎨+⎪⎪+-=⎪⎪⎩，解得02a b =⎧⎨=⎩或11a b =±⎧⎨=⎩. 因此，2z i =或1z i =-+或1z i =+. 【点睛】本题考查复数的求解，常将复数设为一般形式，根据复数的相关运算列举出方程组进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.20．设椭圆M ： 22221(0)y x a b a b+=>>的离心率与双曲线221x y -=的离心率互为倒数，且椭圆的长轴长为1．（1）求椭圆M 的标准方程； （2）若直线2y x m =+交椭圆M 于A ， B 两点， ()1,P t （0t >）为椭圆M 上一点，求PAB ∆面积的最大值．【答案】（1）22142y x +=（2）()max 2PAB S ∆= 【解析】试题分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率ca与双曲线的离心率2互为倒数，椭圆的长轴2a 为4及222a b c =+，求得,,a b c 的值，进而求得椭圆的方程；（Ⅱ）将直线2y x m =+与（Ⅰ）求得的椭圆方程联立，利用韦达定理和0∆>，利用弦长公式及点p 到直线AB 的距离，求得PAB ∆的面积，同时()22,22m ∈-，进而求得PAB ∆的面积的最大值.试题解析：（Ⅰ）双曲线的离心率为（1分），则椭圆的离心率为（2分）， 2a=1， （3分）由⇒，故椭圆M 的方程为22142y x +=． （5分） （Ⅱ）由，得， （6分）由，得﹣2＜m ＜2∵，． （7分）∴=又P 到AB 的距离为． （10分）则， （12分）当且仅当取等号 （13分）∴． （11分）考点：1.椭圆的标准方程；2.韦达定理；3.弦长公式. 21．设()|2||2|f x x x =-++ （1）解不等式()6f x ≥；（2）对任意的非零实数x ，有2()2f x m m ≥-+恒成立，求实数m 的取值范围.【答案】（1）33x x ≤-≥或 （2）12m -≤≤ 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围去绝对值符号，从而解出不等式．（2）2()2f x m m ≥-+恒成立等价于2min ()2f x m m ≥-+恒成立的问题即可解决．【详解】（1）()22f x x x =-++Q()6()226f x f x x x ∴≥⇒=-++≥令202,202x x x x -=⇒=+=⇒=-当2x -≤时()()2262263x x x x x -++≥⇒---+≥⇒≤-3x ∴≤-当2x ≥时()()2262263x x x x x -++≥⇒-++≥⇒≥3x ∴≥当22x -<<时()()22622646x x x x -++≥⇒--++≥⇒≥x φ∴∈综上所述33x x ≤-≥或（2）2()2f x m m ≥-+恒成立等价于2min ()2f x m m ≥-+()()()22224f x x x x x =-++≥--+=Q （当且仅当()()220x x -⋅+≤时取等）222min ()24220f x m m m m m m ∴≥-+⇒≥-+⇒--≤恒成立12m ∴-≤≤【点睛】本题主要考查了解绝对值不等式以及恒成立的问题，在解绝对值不等式时首先考虑去绝对值符号．属于中等题． 22．在数列中，．（1）求的值；（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明．【答案】（1）4，9，16；（2），证明见解析．【解析】 【分析】（1）根据数列递推关系，把分别代入，求出的值；（2）先假设时，成立，再证明时，猜想也成立.【详解】 （1）∵，，∴，故的值分别为；（2）由（1）猜想，用数学归纳法证明如下：①当时，，猜想显然成立；②设时，猜想成立，即，则当时，,即当时猜想也成立，由①②可知，猜想成立，即．【点睛】运用数学归纳法证明命题时，要求严格按照从特殊到一般的思想证明，特别是归纳假设一定要用到，否则算是没有完成证明.。
2020年大连市名校数学高二下期末质量检测试题含解析
2020年大连市名校数学高二下期末质量检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某物体的位移s （米）与时间t （秒）的关系为2s t t =-，则该物体在2t =时的瞬时速度是（ ） A ．2米/秒 B ．3米/秒 C ．5米/秒 D ．6米/秒【答案】B 【解析】 【分析】根据导数的物理意义，求导后代入2t =即可. 【详解】由2s t t =-得：21s t '=- ∴当2t =时，3s '= 即该物体在2t =时的瞬时速度为：3米/秒 本题正确结果：B 【点睛】本题考查导数的物理意义，属于基础题.2．(61的展开式中有理项系数之和为（ ）A ．64B ．32C ．24D ．16【答案】B 【解析】分析：在二项展开式的通项公式中，令x 的幂指数为整数，求出r 的值，再利用二项式系数的性质，即可求得展开式中有理项系数之和．详解：（）6的展开式的通项公式为 T r+1=6rC •2rx ，令2r为整数，可得r=0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为 06C +26C +46C +66C =25=32， 故选：B ．点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数3．已知点P 是双曲线22145x y -=上一点，若12PF PF ⊥，则△12PF F 的面积为（ ）A ．54B ．52C ．5D ．10【答案】C设12,PF m PF n ==，则：24m n a -==，则：22216m n mn ++=，由勾股定理可得：222436m n c +==， 综上可得：220,10mn mn =∴= 则△12PF F 的面积为：152S mn ==. 本题选择C 选项.点睛：(1)双曲线定义的集合语言：P ＝{M|||MF 1|－|MF 2||＝2a,0＜2a ＜|F1F 2|}是解决与焦点三角形有关的计算问题的关键，切记对所求结果进行必要的检验．(2)利用定义解决双曲线上的点与焦点的距离有关问题时，弄清点在双曲线的哪支上．4．复数112iz i-=+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．135i + B ．135i -+ C ．135i -D ．135i-- 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法运算，化简复数，再根据共轭复数概念得结果 【详解】1i 13i 12i 5z ---==+，故z 的共轭复数13i5z -+=.故选B. 【点睛】本题考查复数除法运算以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题.5．在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ） A ．乙做对了 B ．甲说对了C ．乙说对了D ．甲做对了【答案】B 【解析】 【分析】分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项. 【详解】分以下三种情况讨论：①甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，②乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾；③丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾. 故选：B. 【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时可以采用分类讨论法进行假设，考查推理能力，属于中等题. 6．已知等差数列{}n a 中， 13920a a a ++=，则574a a -=（ ） A ．20 B ．30C ．40D ．50【答案】A 【解析】等差数列{}n a 中，13920a a a ++=，11112831020a a d a d a d ∴++++=+=，()()57111444631020a a a d a d a d -=+-+=+=．故选A ．7．已知α满足1sin 3α=，则cos()cos()44ππαα+-=（ ）A ．718B ．2518C ．718-D ．2518-【答案】A 【解析】221cos()cos()(cos sin )(cos sin )(cos sin )44222ππαααααααα+-=-⋅+=- 21117(12sin )(12)22918α=-=-⨯=，选A. 8．定义在上的奇函数满足，且在上单调递增，则下列结论中正确的是（）A. B. C. D.【答案】D 【解析】试题分析：由()()4f x f x =-可得：()()4f x f x +=，所以函数()f x 的周期4T =，又因为()f x 是定义在R 上的奇函数，所以()00f =，又在[)0,2上单调递增，所以当[)0,2x ∈时，()0f x ≥，因此()()510f f =>，()()110f f -=-<，所以()()105f f -<<。
辽宁省大连市2020年高二下数学期末统考试题含解析
②设有一个回归方程 ，变量 增加 个单位时， 平均减少 个单位；
③线性相关系数 越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱；
④在某项测量中，测量结果 服从正态分布 ，若 位于区域 的概率为 ，则 位于区域 内的概率为
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
分析：判断函数值，利用零点定理推出结果即可．
详解：函数 ，
可得：f（﹣1）=5＞0，
f（0）=3＞0，
f（1）= ＞0，
f（2）= ＞0，
f（3）=﹣ ，
由零点定理可知，函数的零点在（2，3）内．
故选A．
点睛：本题考查零点存在定理的应用，考查计算能力．零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
辽宁省大连市2020年高二下数学期末统考试题
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知某函数图象如图所示，则图象所对应的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
对给出的四个选项分别进行分析、讨论后可得结果．
【详解】
对于A，函数 ，当 时， ；当 时， ，所以不满足题意．
(4)从函数的周期性，判断图象的循环往复；
(5)从函数的特征点，排除不合要求的图象．
2．直三棱柱 中， ， ， 、 分别为 、 的中点，则异面直线 与 所成角的余弦值为（）
2020年大连市名校数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
2020年大连市名校数学高二第二学期期末质量检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()y f x =()x R ∈在(]1∞-，上单调递减，且(1)f x +是偶函数，若(22)(2)f x f -> ，则x 的取值范围是（ ） A ．（2，+∞） B ．（﹣∞，1）∪（2，+∞） C ．（1，2） D ．（﹣∞，1）【答案】B 【解析】 【分析】根据题意分析()f x 的图像关于直线1x =对称，即可得到()f x 的单调区间，利用对称性以及单调性即可得到x 的取值范围。
【详解】根据题意，函数()y f x = 满足(1)f x +是偶函数，则函数()f x 的图像关于直线1x =对称，若函数()y f x =在(],1-∞上单调递减，则()f x 在[)1+∞，上递增， 所以要使(22)(2)f x f ->，则有2211x -->，变形可得231x ->， 解可得：2x >或1x <，即x 的取值范围为(,1)(2,)-∞⋃+∞； 故选：B ． 【点睛】本题考查偶函数的性质，以及函数单调性的应用，有一定综合性，属于中档题。
2．函数()()2ln 1f x x 的图像大致是=+（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A 【解析】 【分析】 【详解】由于函数为偶函数又过（0，0）,排除Ｂ，Ｃ，Ｄ，所以直接选A.【考点定位】对图像的考查其实是对性质的考查，注意函数的特征即可，属于简单题.3．已知函数()2ln xz e f x k x kx x=+-，若2x =是函数f x （）的唯一极值点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．2,4e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞ 【答案】A 【解析】 【分析】由f x （）的导函数形式可以看出，需要对k 进行分类讨论来确定导函数为0时的根．【详解】解：∵函数f x （）的定义域是0（，）+∞ ∴()()()233222'x x e kx x e x k f x k x x x---=+-=（）， ∵2x =是函数f x （）的唯一一个极值点 ∴2x =是导函数'0f x =（）的唯一根， ∴20x e kx -=在0（，）+∞无变号零点， 即2x e k x =在0x ＞上无变号零点，令()2xe g x x=，因为()32'x e x g x x （）-=，所以g x （）在02（，）上单调递减，在2x ＞上单调递增 所以g x （）的最小值为224e g =（），所以必须24e k ≤，故选：A ． 【点睛】本题考查由函数的导函数确定极值问题．对参数需要进行讨论． 4．直线1y x =-的倾斜角为（ ）A ．6π B ．4π C ．3π D ．34π 【答案】B 【解析】试题分析：记直线1y x =-的倾斜角为θ，∴tan 14πθθ=⇒=，故选B.考点：直线的倾斜角.5．已知向量{},,a b c 是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是（ ） A ．a b +，a ，a b - B ．a b +，b ，a b - C ．a b +，c ，a b - D ．a b +，2a b -，a b -【答案】C 【解析】 【分析】空间的一组基底，必须是不共面的三个向量，利用向量共面的充要条件可证明A 、B 、D 三个选项中的向量均为共面向量，利用反证法可证明C 中的向量不共面 【详解】 解：()()2a b a b a ++-=，∴a ，a b +，a b -共面，不能构成基底，排除A ；()()2a b a b b +--=，∴b ，a b +，a b -共面，不能构成基底，排除B ；()()31222a b a b a b -=-++，∴a b +，a b -，2a b -共面，不能构成基底，排除D ； 若c 、a b +，a b -共面，则()()()()c a b m a b m a m b λλλ=++-=++-，则a 、b 、c 为共面向量，此与{},,a b c 为空间的一组基底矛盾，故c 、a b +，a b -可构成空间向量的一组基底．故选：C ． 【点睛】本题主要考查了空间向量基本定理，向量共面的充要条件等基础知识，判断向量是否共面是解决本题的关键，属于中档题.6．用反证法证明命题“若220a b +=，则,a b 全为()0,a b R ∈”，其反设正确的是（ ） A ．,a b 至少有一个不为0 B ．,a b 至少有一个为0 C ．,a b 全不为0 D ．,a b 中只有一个为0【答案】A 【解析】由反证法的定义：证明命题“若220a b +=，则,a b 全为()0,a b R ∈”，其反设为,a b 至少有一个不为0 .本题选择A 选项.7．设复数()()1,z x yi x y R =-+∈，若1z ≤，则y x ≥的概率为（ ） A ．3142π+B ．112π+ C ．1142π-D ．112π- 【答案】C 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：22221,(1)1,(1)1z x y x y ≤∴-+≤∴-+≤，作图如下，可得所求概率1142412P πππ-==-,故选C.考点：1、复数及其性质；2、圆及其性质；3、几何概型. 8．函数()ln 1ln 1f x x x =--+的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【解析】分析：利用函数的解析式，判断x 大于1时函数值的符号，以及x 小于1-时函数值的符号，对比选项排除即可.详解：当1x >时，函数()()()1ln 1ln 1ln 01x f x x x x -=--+=<+， 排除选项,A D ；当1x <-时，函数()()()1ln 1ln 1ln 01x f x x x x -=----=>+， 排除选项C ，故选B.点睛：本题通过对多个图象的选择考查函数的图象与性质，属于中档题.这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除. 9．曲线cos y x =在3x π=处的切线斜率是( )A ．12-B ．12C ．D ．2【答案】C 【解析】 【分析】根据已知对cos y x =求导，将3x π=代入导函数即可.【详解】∵y′=(cosx)′=-sinx ，∴当3x π=时，=3y sinπ'=-故选C. 【点睛】本题考查利用导数求切线斜率问题，已知切点求切线斜率问题，先求导再代入切点横坐标即可，属于基础题.10．现有4种不同品牌的小车各2辆(同一品牌的小车完全相同),计划将其放在4个车库中（每个车库放2辆则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有（ ） A ．144种 B ．108种C ．72种D ．36种【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，分3步进行分析：①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，分别分析每一步的情况数目，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分3步进行分析：①、在4种不同品牌的小车任取2个品牌的小车，有C 42种取法， ②、将取出的2个品牌的小车任意的放进2个车库中，有A 42种情况，③、剩余的4辆车放进剩下的2个车库，相同品牌的不能放进同一个车库，有1种情况， 则恰有2个车库放的是同一品牌的小车的不同放法共有C 42A 42×1＝72种， 故选：C ．点睛：能用分步乘法计数原理解决的问题具有以下特点： (1)完成一件事需要经过n 个步骤，缺一不可． (2)完成每一步有若干种方法．(3)把各个步骤的方法数相乘，就可以得到完成这件事的所有方法数． 11．已知随机变量X 服从正态分布()23,N σ, 且()40.84P X ≤=, 则()24P X <<= ( )A ．0.84B ．0.68C ．0.32D ．0.16【答案】B 【解析】 【分析】先计算出()()414P X P X >=-≤，由正态密度曲线的对称性得出()2P X <=()4P X >，于是得出()()()24124P X P X P X <<=-<->可得出答案．【详解】由题可知，()()41410.840.16P X P X >=-≤=-=， 由于()2~3,X N σ，所以，()()240.16P X P X <=>=，因此，()()()2412410.160.160.68P X P X P X <<=-<->=--=，故选B. 【点睛】本题考查正态分布在指定区间上的概率，考查正态密度曲线的对称性，解题时要注意正态密度曲线的对称轴，利用对称性来计算，考查运算求解能力，属于基础题． 12．下列选项错误的是（ ）A ．“2x >”是“2320x x -+>”的充分不必要条件.B ．命题 “若1x ≠，则2320x x -+≠”的逆否命题是“若2320x x -+=，则1x =”C ．若命题“2:,10p x R x x ∀∈++≠”，则“2000:,10p x R x x ⌝∃∈++=”.D ．若“p q ∨”为真命题，则,p q 均为真命题. 【答案】D 【解析】根据充分条件和必要条件的定义，逆否命题的定义、含有量词的命题的否定以及复合命题的真假关系依次对选项进行判断即可得到答案。
2020年大连市名校数学高二下期末质量检测试题含解析
2020年大连市名校数学高二(下)期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是（ ） A ．至少有一个红球与都是红球 B ．至少有一个红球与都是白球 C ．恰有一个红球与恰有二个红球 D ．至少有一个红球与至少有一个白球2．在长方体1111ABCD A B C D -中，12,4,AB AD AA E ===为棱1BB 的中点，则异面直线AE 与1A D 所成角的余弦值为（ ）A B C D 3．设x ∈R ，则“213x -≤”是“10x +≥”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知点(1,P ，则它的极坐标是（ ） A ．2,3π⎛⎫⎪⎝⎭B ．42,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．2,3π⎛⎫-⎪⎝⎭D ．42,3π⎛⎫-⎪⎝⎭5．如果随机变量()41X N :，，则()2P X ≤等于（ ）（注：()220.9544P X μσμσ-<≤+=） A ．0.210B ．0.0228C ．0.0456D ．0.02156．设函数()f x 满足下列条件：（1）()f x 是定义在R 上的奇函数；（2）对任意的[]121,x x a ∈、，其中，常数1a >，当21x x >时，有()()210f x f x >>.则下列不等式不一定成立的是（ ）. A ．()()0>f a fB ．12a f f +⎛⎫>⎪⎝⎭C ．()1331a f f a -⎛⎫>-⎪+⎝⎭ D ．()131a f f a a -⎛⎫>-⎪+⎝⎭A ．2B ．2xC ．2x +∆D ．()22x +∆8．已知随机变量X 的分布如下表所示，则()E X 等于（ ）A ．0B ．－0.2C ．－1D ．－0.3920b =，则0a b ==，应假设（ ） A ．a ，b 不都为0B ．a ，b 都不为0C ．a ，b 不都为0，且a b ¹D ．a ，b 至少一个为010．在54(1)(1)x y -+的展开式中，记m n x y 项的系数为(,)f m n ，则(1,0)(2,1)f f ++(3,2)(4,3)f f +=（） A ．125B ．5C ．5-D ．15-11．随机变量()~1,4X N ，若()20.2p x ≥=，则()01p x ≤≤为（ ） A ．0.2B ．0.3C ．0.4D ．0.612．已知正三棱锥P ABC -的外接球O 的半径为1，且满足0,OA OB OC ++=u u u v u u u v u u u v v则正三棱锥的体积为()A B ．34C D 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知球的半径为4，球面被互相垂直的两个平面所截，得到的两个圆的公共弦长为两个平面的距离相等，则这两个圆的半径之和为__________． 14．复数32iz i-+=+的共轭复数z =________.（其中i 为虚数单位）15．已知函数3,0(),0x f x ax b x ≥=+<⎪⎩满足条件，对于1x R ∀∈，存在唯一的2x R ∈，使得12()()f x f x =，当(2)(3)f a f b =成立时，则实数a b +=__________．16．某单位在周一到周六的六天中安排4人值夜班，每人至少值一天，至多值两天，值两天的必须是相邻的两天，则不同的值班安排种数为______.（用数字作答） 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()()32f x ax xa R =+∈在43x =-处取得极值．()1确定a 的值；()2若()()x g x f x e =，讨论()g x 的单调性．18．如图，三棱柱111ABC A B C -中，AC CB =，1AB AA =，0160BAA ∠=（1）证明：1AB A C ⊥；（2）若平面ABC ⊥ 平面11AA B B ，2AB CB ==，求点A 到平面11BB C C 的距离．19．（6分）如图，已知椭圆221:142x y C +=与椭圆()2222:1022y x C m m+=<<的离心率相同．（1）求m 的值；（2）过椭圆1C 的左顶点A 作直线l ，交椭圆1C 于另一点B ，交椭圆2C 于,P Q 两点（点P 在,A Q 之间）．①求OPQ ∆面积的最大值（O 为坐标原点）；②设PQ 的中点为M ，椭圆1C 的右顶点为C ，直线OM 与直线BC 的交点为R ，试探究点R 是否在某一条定直线上运动，若是，求出该直线方程；若不是，请说明理由．20．（6分）某大学“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如下表： 非统计专业 统计专业 合计 男 84 36 120 女 32 48 80 合计11684200（1）能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“修统计专业与性别有关系”？（2）用分层抽样方法在上述80名女生中按照“非统计专业”与“统计专业”随机抽取10名，再从抽到的这参考公式：22()()()()()n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++；临界值表：21．（6分）已知复数()()22563z m m m m i =-++-，其中i 为虚数单位.（1）若复数z 是实数，求实数m 的值； （2）若复数z 是纯虚数，求实数m 的值. 22．（8分）已知命题p ：()22log 31x x -+>. （Ⅰ）若p 为真命题，求实数x 的取值范围；（Ⅱ）设命题q ：2x <；若“p q ∨”为真命题且“p q ∧”为假命题，求实数x 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【详解】从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，不同的取球情况共有以下几种： 3个球全是红球；2个红球和1个白球；1个红球2个白球；3个全是白球. 选项A 中，事件“都是红球”是事件“至少有一个红球”的子事件； 选项B 中，事件“至少有一个红球”与事件“都是白球”是对立事件；选项D 中，事件“至少有一个红球”与事件“至少有一个白球”的事件为“2个红球1个白球”与“1个红球2个白球”；选项C 中，事件“恰有一个红球”与事件“恰有2个红球”互斥不对立，故选C. 2．D 【解析】 【分析】即为相交直线DF 与A 1D 所成角，由此能求出异面直线AE 与A 1D 所成角的余弦值． 【详解】取1CC 的中点F .连接1,,DF A F EF .因为E 为棱1BB 的中点,所以//,EF BC EF BC =,所以四边形BCFE 为平行四边形. 所以//AE DF .故异面直线AE 与1A D 所成的角即为相交直线DF 与1A D 所成的角. 因为12,4AB AD AA ===, 所以2222222112425222222223A D DF A F ，，=+==+==++=.所以22211A F DF A D +=.即1A DF V 为直角三角形,190A FD ︒∠=从而112210cos 25DF A DF A D ∠===. 故选D【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 3．A 【解析】 【分析】首先解这两个不等式，然后判断由题设能不能推出结论和由结论能不能推出题设，进而可以判断出正确的选项. 【详解】213x -≤12x ⇒-≤≤，10x +≥ 1x ⇒≥-，显然由题设能推出结论，但是由结论不能推出题设，因此“213x -≤”是“10x +≥”的充分不必要条件，故本题选A. 【点睛】本题考查了充分条件、必要条件的判断，解决本问题的关键是正确求出不等式的解集.【解析】 【分析】由tan yxρθ==计算即可。
辽宁省大连市2020年高二下数学期末统考试题含解析
辽宁省大连市2020年高二(下)数学期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．若双曲线C:22221x ya b-=（0a>，0b>）的一条渐近线被圆()2224x y-+=所截得的弦长为2，则C的离心率为（）A．2B．3C．2D．232．如图，一货轮航行到处，测得灯塔在货轮的北偏东，与灯塔相距，随后货轮按北偏西的方向航行后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．B．C．D．3．变量y与x的回归模型中，它们对应的相关系数r的值如下，其中拟合效果最好的模型是（）模型 1 2 3 4r0.48 0.15 0.96 0.30A．模型1B．模型2C．模型3D．模型44．方程2210ax x++=至少有一个负根的充要条件是A．01a<≤B．1a<C．1a≤D．01a<≤或0a<5．设x，y满足约束条件2411x yxy+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩，则z x y=-的最小值是（）A．1-B．12-C．0D．16．在△ABC中，4a=，52b=，5cos(B C)30++=，则角B的大小为（）A．6πB．4πC．3πD．6π或56π7．为了研究经常使用手机是否对数学学习成绩有影响，某校高二数学研究性学习小组进行了调查，随机抽取高二年级50名学生的一次数学单元测试成绩，并制成下面的2×2列联表：则有（ ）的把握认为经常使用手机对数学学习成绩有影响．参考公式:()()()()()22=n ad bc K a b c d a c b d -++++，其中n a b c d =+++A ．97.5%B ．99%C ．99.5%D ．99.9%8．若非零向量a ，b 满足||a b |=|，向量2a b +与b 垂直，则a 与b 的夹角为（ ） A ．150︒B ．120︒C ．60︒D ．309．在平面直角坐标系中，设点(),P x y ，定义[]OP x y =+，其中O 为坐标原点，对于下列结论： ()1符合[]2OP =的点P 的轨迹围成的图形面积为8； ()2设点P 220y +-=上任意一点，则[]1min OP =；()3设点P 是直线：()1y kx k R =+∈上任意一点，则使得“[]OP 最小的点有无数个”的充要条件是1k =；()4设点P 是椭圆2219x y +=上任意一点，则[]max OP =．其中正确的结论序号为( ) A ．()()()123B ．()()()134C ．()()()234D ．()()()12410．已知命题p ：“0a ∃>，有12a a+<成立”，则命题p ⌝为（ ） A ．0a ∀≤，有12a a +≥成立B ．0a ∀>，有12a a+≥成立C ．0a ∃>，有12a a+≥成立D ．0a ∃>，有12a a+>成立 11．已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a A ．100B ．99C ．98D ．9712．若集合{|2,}x M y y x R ==∈，2{|,}N y y x x R ==∈，则有（ ）A ．M N R ⋃=B ．M N ⊆C ．M N ⊇D ．M N =二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在正项等比数列{}n a 中，12111,a a +=34112a a +=，则公比q =__________． 14．设函数，则__________．15．记122331909090(90)90k k n nn n n n n X C C C C C =-+-+⋅⋅⋅+-+⋅⋅⋅-（n 为正奇数），则X 除以88的余数为______16．某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加社区服务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为__________．（用数字作答） 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知F 是椭圆22184x y +=的右焦点，过F 的直线l 与椭圆相交于()11,A x y ，()22,B x y ，两点.（1）若1285x x =，求弦AB 的长； （2）O 为坐标原点，AOB θ∠=，满足tan 26OA OB θ→→⋅=l 的方程. 18．设锐角三角形ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，2sin a b A =. (1)求B 的大小．(2)若33a =，5c =，求b.19．（6分）已知在直角坐标系xOy 中, 直线l 的参数方程为是222(212x ty ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数）, 以坐标原点O 为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=. (1) 判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2) 在曲线C 上求一点P ,使得它到直线l 的距离最大,并求出最大距离.20．（6分）已知()1,2B 是抛物线()2:20M y px p =>上一点，F 为M 的焦点．（1）若1,2A a ⎛⎫⎪⎝⎭，5,3C b ⎛⎫⎪⎝⎭是M 上的两点，证明：FA ，FB ，FC 依次成等比数列． （2）若直线()30y kx k =-≠与M 交于()11,P x y ，()22,Q x y 两点，且12124y y y y ++=-，求线段PQ 的垂直平分线在x 轴上的截距．21．（6分）在某中学高中某学科竞赛中，该中学100名考生的参赛成绩统计如图所示．（1）求这100名考生的竞赛平均成绩（同一组中数据用该组区间中点作代表）；（2）记70分以上为优秀，70分及以下为合格，结合频率分布直方图完成下表，并判断是否有99%的把握认为该学科竞赛成绩与性别有关？ 合格 优秀 合计 男生 18 女生 25 合计100附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++．()20P K k ≥ 0.0500.0100.0050k3.8416.6357.87922．（8分）已知函数()xf x xe =，e 为自然对数的底数. （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）求函数()y f x =的单调区间与极值.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．A 【解析】由几何关系可得，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为0bx ay ±=，圆心()2,0到渐近线距离为22213d =-，则点()2,0到直线0bx ay +=的距离为222023b a bd ca b +⨯===+即2224()3c a c -=，整理可得224c a =，双曲线的离心率2242c e a===．故选A ． 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a ，c ，代入公式ce a=；②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b 2＝c 2－a 2转化为a ，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a 或a 2转化为关于e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e 的取值范围)． 2．B 【解析】 由题意可知：，与正东方向的夹角为，与正东方向的夹角为，，中利用正弦定理可得货轮的速度故选 3．C 【解析】分析：根据相关系数的性质，r 最大，则其拟合效果最好，进行判断即可． 详解：线性回归分析中，相关系数为r ，r 越接近于1，相关程度越大；r 越小，相关程度越小，∵模型3的相关系数r 最大，∴模拟效果最好， 故选：A ．点睛：本题主要考查线性回归系数的性质，在线性回归分析中，相关系数为r r ，r 越接近于1，相关程度越大；r 越小，相关程度越小． 4．C 【解析】试题分析：①0a ≠时，显然方程没有等于零的根．若方程有两异号实根，则0a <；若方程有两个负的实根，则必有10 2{001440aaaa>-<∴≤∆=-≥＜．．②若0a=时，可得12x=-也适合题意．综上知，若方程至少有一个负实根，则1a≤．反之，若1a≤，则方程至少有一个负的实根，因此，关于x的方程2210ax x++=至少有一负的实根的充要条件是1a≤．故答案为C考点：充要条件，一元二次方程根的分布5．B【解析】【分析】在平面直角坐标系内，画出可行解域，在可行解域内，平行移动直线y x z=-，直至当直线在纵轴上的截距最大时，求出此时所经过点的坐标，代入目标函数中求出z的最小值.【详解】在平面直角坐标系内，画出可行解域，如下图：在可行解域内，平行移动直线y x z=-，当直线经过点A时，直线在纵轴上的截距最大，点A是直线1x=和直线122y x=-+的交点，解得13(1,)322xAy=⎧⎪∴⎨=⎪⎩，min31122z∴=-=-，故本题选B.【点睛】本题考查了线性规划求目标函数最小值问题，正确画出可行解域是解题的关键.6．A【分析】首先根据三角形内角和为π，即可算出角A 的正弦、余弦值，再根据正弦定理即可算出角B 【详解】在△ABC 中有A B C π++=,所以B C A +=π-,所以()35cos(B C)305cos 30cos 5A A π++=⇒-+=⇒=,又因为0A π<<,所以02A π<<，所以4sin 5A ==,因为4a =，52b =，所以由正弦定理得sin 1sin 2b A B a ==，因为a b A B >⇒>,所以6B π=。
大连市名校2020年高二下数学期末教学质量检测试题含解析
大连市名校2020年高二(下)数学期末教学质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．《九章算术》是我国古代的数学名著，它在几何学中的研究比西方早一千多年，其中中有很多对几何体体积的研究．已知某囤积粮食的容器是由同底等高的一个圆锥和一个圆柱组成,若圆锥的底面积为8π、高为h ,则该容器外接球的表面积为（ ） A ．12πB ．18πC ．36πD ．48π2．用数学归纳法证明4221232n n n ++++⋅⋅⋅+=，则当1n k =+时左端应在n k =的基础上（ ）A ．增加一项B ．增加2k 项C ．增加2k 项D ．增加21k +项3．由0,1,2,3组成无重复数字的四位数，其中0与2不相邻的四位数有 A ．6 个B ．8个C ．10个D ．12个4．函数12(0,1)x y a a a -=+>≠的图像恒过定点A ，若定点A 在直线1x ym n+=()0,0m n >>上，则3m n +的最小值为（ ）A ．13B ．14C ．16D ．125．古代“五行”学认为：“物质分金、木、土、水、火五种属性，金克木，木克土，土克水，水克火，火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列，但排列中属性相克的两种物质不相邻，则这样的排列方法有 A ．5种 B ．10种 C ．20种D ．120种6．下列命题中正确的是（ ）A ．若p q ∨为真命题，则p q ∧为真命题B ．“ab 0>”是“b a2a b+≥”的充要条件 C ．命题“2x 3x 20-+=，则x 1=或x 2=”的逆否命题为“若x 1≠或x 2≠，则2x 3x 20-+≠” D ．命题p ：x R ∃∈，使得2x x 10+-<，则p ⌝：x ∀∈R ，使得2x x 10+-> 7．函数()()3xf x x e =- 的单调递增区间是（ ）A ．(),2-∞-B ．()2,+∞C ．(1,4)D ．(0,3)8．已知(3),1()log ,1a a x a x f x x x --<⎧=⎨≥⎩，((1))3f f =，则a =（ ）A ．2B ．-2C ．3-D ．39．已知函数()sin f x x x =+，如果()()120f t f t -+-<，则实数t 的取值范围是（）A ．32t >B ．32t <C ．12t >D ．12t10．曲线3123y x x =-在1x =处的切线的倾斜角是 （ ） A ．6π B ．34π C ．4π D ．3π 11．设集合(){|lg 32}A x y x ==-，{|1}B y y x ==-，则A B =( )A ．[]0,1B ．(,1]-∞C ．3(,]2-∞D ．3[0,)212．若复数z 满足()12z i i +=，则z 的值是（ ） A ．-1-iB ．-1i +C ．1-iD ．1i +二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．已知不等式11112log (1)122123a a n n n +++≥-+++对于大于1的正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围为_________ .14．8人排成前后两排，前排3人后排5人，甲、乙在后排，且不相邻的排法有几种______15．若实数x 、y 满足2214xy +=，则()()121x y ++的取值范围是_________.16．如图，在三角形ABC ∆中，D 为BC 边上一点，AD AB ⊥ 且BD 2CD =，1tan 5CAD ∠=，则tan B 为______.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，3c asinC ccosA =-. (Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆3b ，c .18．将编号为1、2、3、4的四个小球随机的放入编号为1、2、3、4的四个纸箱中，每个纸箱有且只有一个小球，称此为一轮“放球”．设一轮“放球”后编号为()1,2,3,4i i =的纸箱放入的小球编号为i a ，定义吻合度误差为1212X a a =-+-3434a a +-+- (1) 写出吻合度误差X 的可能值集合；(2) 假设1234,,,a a a a 等可能地为1，2，3，4的各种排列，求吻合度误差X 的分布列；(3)某人连续进行了四轮“放球”，若都满足37X <<，试按(Ⅱ)中的结果，计算出现这种现象的概率(假定各轮“放球”相互独立)；19．（6分）在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 且满足3sin cos b A a B a -=. (1)求角B 的大小；(2)若4b =，ABC ∆的面积为3，求a c +的值.. 20．（6分）已知数列{}n a 的前n 项和n S ，且2n n S na +=（*n N ∈）． （1）若数列{}n a t +是等比数列，求t 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式。
辽宁省大连市2020年高二第二学期数学期末统考试题含解析
辽宁省大连市2020年高二第二学期数学期末统考试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．在同一坐标系中，将曲线2sin3y x =变为曲线sin y x =的伸缩变换公式是（ ）A ．3'2'x x y y =⎧⎨=⎩B ．'3'2x x y y=⎧⎨=⎩C ．'31'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩D ．3'1'2x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩2．已知Y ＝5X ＋1，E(Y)＝6，则E(X)的值为 A ．1B ．5C ．6D ．73．凸10边形内对角线最多有( )个交点 A ．210AB ．210CC ．410AD ．410C4．为了检查某超市货架上的奶粉是否含有三聚氰胺，要从编号依次为1到50的袋装奶粉中抽取5袋进行检验，用每部分选取的号码间隔一样的系统抽样方法确定所选取的5袋奶粉的编号可能是（ ） A ．5，10，15，20，25 B ．2，4，8，16，32 C ．1，2，3，4，5 D ．7，17，27，37，47 5．已知函数()ln f x x =，若f x （） 在1x x = 和()212x x x x =≠ 处切线平行，则（ ） A ．2212512x x +>B ．12128x x <C ．1232x x +<D12+> 6．设命题2:,10p x R x ∀∈+>，则p ⌝为（ ）A ．200,10x R x ∃∈+> B ．2,10x R x ∀∈+≤ C ．200,10x R x ∃∈+<D ．200,10x R x ∃∈+≤7．点P 是曲线2ln y x x =-上任意一点, 则点P 到直线2y x =-的距离的最小值是（ ） A ．１BC ．２D．8．函数2()ln f x x x=-零点所在的大致区间为（ ） A ．(1,2)B ．(2,3)C ．11,e ⎛⎫⎪⎝⎭和(3,4)D ．(,)e +∞9．若函数()21()2x x f x a a+=∈-R 是奇函数，则使得()4f x >成立的x 的取值范围是（ ）A ．25,log 3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭B ．25log ,03⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．250,log 3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．25log ,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭10．已知随机变量ξ服从二项分布14,3B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，则(3)P ξ==（ ）．A ．3281B ．1681C ．2481D ．88111．学号分别为1，2，3，4的4位同学排成一排，若学号相邻的同学不相邻，则不同的排法种数为( ) A ．2B ．4C ．6D ．812．命题“0x ∃∈R ，20010x x -->”的否定是（ ）A ．x ∀∈R ，210x x --≤B ．x ∀∈R ，210x x --＞C ．0 x ∃∈R ，20010x x --≤D ．0x ∃∈R ，20010x x --≥ 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．在ABC V 中，已知1tan 2tan tan A B A-=，则cos(2)A B -的值为________. 14．将一颗骰子抛掷两次，用m 表示向上点数之和，则10m ≥的概率为______.15．已知函数f(x)＝|3log x |，实数m ，n 满足0＜m ＜n ，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m 2，n]上的最大值为2，则nm＝________. 16．设集合{1,3,5}A =，{3,4,5}B =，则集合A B =I ______. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．（1）在复数范围内解方程22||0x x +=；（2）已知复数z 满足4z R z+∈，且|2|2z -=，求z 的值.18．已知函数()()()23f x x m x m =--++（其中1m <-），()22xg x =-．（Ⅰ）若命题“”是真命题，求x 的取值范围；（Ⅱ）设命题p ：()()()1,,00x f x g x ∀∈+∞<<或；命题q ：()()()1,0,0x f x g x ∃∈-⋅<．若p q ∧是真命题，求m 的取值范围．19．（6分）唐代饼茶的制作一直延续至今，它的制作由“炙”、“碾”、“罗”三道工序组成：根据分析甲、乙、丙三位学徒通过“炙”这道工序的概率分别是0.5，0.6，0.5；能通过“碾”这道工序的概率分别是0.8，0.5，0.4；由于他们平时学徒刻苦，都能通过“罗”这道工序； 若这三道工序之间通过与否没有影响，（Ⅰ） 求甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过“炙”这道工序的概率，（Ⅱ）设只要通过三道工序就可以制成饼茶，求甲、乙、丙三位同学中制成饼茶人数X 的分布列. 20．（6分）已知锐角ABC ∆的三个内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且222()sin cos a b c C C +-=． （1）求角C ； （2）若c =2b a -的取值范围．21．（6分）已知椭圆2222x y C 1a b +=：（a ＞b ＞0）经过点12⎫⎪⎭，，且离心率为2．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；（Ⅱ）已知A （0，b ），B （a ，0），点P 是椭圆C 上位于第三象限的动点，直线AP 、BP 分别将x 轴、y 轴于点M 、N ，求证：|AN|•|BM|为定值．22．（8分）在平面直角坐标系xOy 中，直线1C 的参数方程为2cos sin x t y t αα=+⎧⎨=⎩（t 为参数，0απ<<），曲线2C的参数方程为11x y φφ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩（φ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线2C 的极坐标方程；（2）设曲线1C 与曲线2C 的交点分别为,,(20)A B M ，，求22MA MB +的最大值及此时直线1C 的倾斜角.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．C 【解析】 【分析】根据新旧两个坐标的对应关系，求得伸缩变换的公式. 【详解】旧的sin 32y x =，新的sin y x '='，故32x xy y =⎧⎪⎨=''⎪⎩，故选C.【点睛】本小题主要考查曲线的伸缩变换公式，属于基础题，解题关键是区分清楚新旧两个坐标的对应关系. 2．A 【解析】分析：根据题意及结论得到E(X)=()111 1.555Y E E Y -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭ 详解：Y ＝5X ＋1，E(Y)＝6，则E(X)=()111 1.555Y E E Y -⎛⎫=-= ⎪⎝⎭故答案为A.点睛：这个题目考查的是期望的计算，两个变量如果满足线性关系，()()()()2,,X aY b E X aE Y b D X a D Y =+=+=.3．D 【解析】 【分析】根据凸n 边形内对角线最多有个交点的公式求得. 【详解】凸n 边形内对角线最多有4n n C - 个交点，又10441010C C -= ，故选D.【点睛】本题考查凸边形内对角线最多有个交点的公式，属于中档题. 4．D 【解析】 此题考查系统抽样 系统抽样的间隔为：，只有D 的抽样间隔为10答案 D点评：掌握系统抽样的过程 5．A 【解析】 【分析】12121122x x x x -=1212x x =12116x x ≤，由x 1≠x 2，利用基本不等式求得x 12+x 22＞1．【详解】 由f （x）=-lnx ，得f ′（x）1x=（x ＞0），1211x x -=，2112x x x x -=12=，∴12=≥，则116≤， ∴x 1x 2≥2，∵x 1≠x 2，∴x 1x 2＞2．∴2212x x +＞2x 1x 2＝1．故选：A ． 【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，训练了利用基本不等式求最值，是中档题． 6．D 【解析】分析：根据全称命题的否定解答.详解：由全称命题的否定得p ⌝为：200,10x R x ∃∈+≤，故答案为D.点睛：（1）本题主要考查全称命题的否定，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 全称命题p ：,()x M p x ∀∈,全称命题p 的否定（p ⌝）：,()x M p x ∃∈⌝.7．B 【解析】1'21y x x=-=，则1x =，即()1,1P ，所以d ==B ． 8．B 【解析】 【分析】判断函数单调递增，计算(2)0f <，(3)0f >得到答案. 【详解】函数2()ln f x x x =-在()0,∞+上单调递增，2(2)ln 220f =-<，2(3)ln 303f =->， 故函数在(2,3)有唯一零点. 故选：B . 【点睛】本题考查了零点存在定理，确定函数的单调性是解题的关键. 9．C 【解析】()f x 的定义域为{}|20xx a -≠，它应该关于原点对称，所以1a =，又1a =时，()2121x x f x +=-，()()21212121x x x x f x f x --++-==-=---，()f x 为奇函数.又原不等式可以化为()521203xx ⎛⎫--< ⎪⎝⎭，所以5123x <<，所以250log 3x <<，选C. 点睛：如果一个函数为奇函数或偶函数，那么它的定义域必须关于原点对称，我们可以利用这个性质去求奇函数或偶函数中的参数的值. 10．D 【解析】14,3B ξ⎛⎫~ ⎪⎝⎭表示做了4次独立实验，每次试验成功概率为13，则31341228(3)4338181P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．选D ．11．A 【解析】 【分析】先排1,2，再将3、4插空，用列举法，即可得出结果. 【详解】先排好1、2，数字3、4插空，排除相邻学号，只有2种排法：3142、1． 故选A 【点睛】本题主要考查计数原理，熟记概念即可，属于基础题型. 12．A 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，特称命题的否定是全称命题，写出原命题的否定，得到答案. 【详解】因为特称命题的否定是全称命题，所以命题“0x ∃∈R ，20010x x -->”的否定是“x ∀∈R ，210x x --≤”. 故选：A. 【点睛】本题考查含有一个量词的命题的否定，属于简单题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．0 【解析】 【分析】通过展开cos(2)A B -，然后利用已知可得2tan 12tan tan A B A -=，于是整理化简即可得到答案. 【详解】 由于1tan 2tan tan A B A-=，因此2tan 12tan tan A B A -=，所以22tan 1tan 2=1tan tan A A A B =--，即tan 2tan 1A B ⋅=-，所以sin 2sin cos2cos A B A B ⋅=-⋅,则cos(2)cos 2cos sin 2sin =0A B A B A B -=+，故答案为0.【点睛】本题主要考查三角函数诱导公式的运用，意在考查学生的基础知识，难度中等. 14．16【解析】分析：利用列举法求出事件“10m ≥”包含的基本事件个数，由此能出事件“10m ≥”的概率． 详解：将一颗质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别为1，2，3，4，5，6）先后抛掷两次，用m 表示向上点数之和，则基本数值总数6636n =⨯=， 事件“10m ≥”包含的基本事件有：()46555664656,6（，），（，），（，），（，），（，），共6个，∴事件“10m ≥”的概率61366p =＝． 即答案为16. 点睛：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用． 15．9. 【解析】先分析得到f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，再分析得到0＜m 2＜m ＜1，则f(x)在[m 2，1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，再根据函数的单调性得到m,n 的值，即得解. 【详解】因为f(x)＝|log 3x|＝33log ,01log ,1x x x x -<<⎧⎨≥⎩,所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，由0＜m ＜n 且f(m)＝f(n)，可得33011log log m n n m<<⎧⎪>⎨⎪=-⎩, 则0111m n mn <<⎧⎪>⎨⎪=⎩,所以0＜m 2＜m ＜1， 则f(x)在[m 2，1)上单调递减，在(1，n]上单调递增，所以f(m 2)＞f(m)＝f(n)，则f(x)在[m 2，n]上的最大值为f(m 2)＝－log 3m 2＝2， 解得m ＝13，则n ＝3，所以nm ＝9.故答案为9 【点睛】本题主要考查函数的图像和性质，考查函数的单调性的应用和最值的求法，意在 考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于中档题. 16．{}3,5 【解析】 【分析】根据集合A ,B ，求出两集合的交集即可 【详解】{}1,3,5A =Q ,{}3,4,5B = {}35A B ，∴⋂= 故答案为{}35，【点睛】本题主要考查了集合交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键，属于基础题． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．（1）0或2i 或2i -；（2）z =4或1.【分析】（1）设(,)=+∈x a bi a b R 代入方程利用复数相等的定义求解。
2019-2020学年大连市名校数学高二第二学期期末学业水平测试试题含解析
2019-2020学年大连市名校数学高二第二学期期末学业水平测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．设函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，且函数()f x 在2x =-处取得极大值，则函数()y xf x '=的图象可能是A ．B ．C ．D ．2．设m R ∈，复数()23521z m m i m =-++-，则z 在复平面内的对应点一定不在（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知全集，，，则集合（ ） A ．B ．C ．D ．4．已知α，β是相异两个平面，m ，n 是相异两直线，则下列命题中正确的是（ ） A ．若m ∥n ，m ⊂α，则n ∥α B ．若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β C ．若m ⊥n ，m ⊂α，n ⊂β，则α⊥βD ．若α∩β=m ，n ∥m ，则n ∥β5．由曲线1xy =，直线,3y x y ==所围成的平面图形的面积为（ ） A ．2ln3-B ．4ln3+C ．4ln3-D ．3296．设01a b <<<，b x a =，a y b =，log b z a =，则（ ） A ．x y z <<B ．y x z <<C ．z x y <<D ．z y x <<7．知2()f x ax bx =+是定义在[1,3]a a -上的偶函数，那么a b +=（ ）A ．14B ．14-C ．12D ．12-8．某同学将收集到的六组数据制作成散点图如图所示，并得到其回归直线的方程为，计算其相关系数为，相关指数为.经过分析确定点为“离群点”，把它去掉后，再利用剩下的5组数据计算得到回归直线的方程为，相关系数为，相关指数为.以下结论中，不正确．．．的是A ．B ．C ．D ．9．如图，点、、A B C 分别在空间直角坐标系O xyz -的三条坐标轴上，(0,0,2)OC =u u u v，平面ABC 的法向量为(2,1,2)n =v，设二面角C AB O --的大小为θ，则cos θ= ( )．A ．43B ．53C ．23D ．23-10．下列函数中既是奇函数，又在区间(0,)+∞上是单调递减的函数为（ ） A ．y x =B ．3y x =-C ．12log y x =D ．1y x x=+11．定义在R 上的函数()f x 满足'()()2(x f x f x e e -<为自然对数的底数），其中'()f x 为()f x 的导函数，若2(2)4f e =，则()2x f x xe >的解集为（ ） A ．(),1-∞B ．()1,+∞C ．(),2-∞D ．()2,+∞12．①线性回归方程对应的直线ˆˆˆy bx a =+至少经过其样本数据点1122(,),(,)(,)n n x y x y x y L 中的一个点；②若两个变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1；③在某项测量中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)N σ(0)σ>，若ξ位于区域(0,1)内的概率为0.4，则ξ位于区域(0,2)内的概率为0.8；真命题的序号为( ) A ．①④B ．②④C ．①③D ．②③二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．在空间中，已知一个正方体是12条棱所在的直线与一个平面所成的角都等于α，则sin α=______． 14．某校高一年级有180名学生，其中女生80人，按男女比例用分层抽样的方法从该年级学生中抽取一个容量为45的样本，则应抽取的男生人数是__________．15．球的半径为8，经过球面上一点作一个平面，使它与经过这点的半径成45°角，则这个平面截球的截面面积为_________________.16．()()611x x +-的展开式中5x 项的系数为_____． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分） 17．已知函数()2(0,)af x x x a R x=+≠∈. （1）判断()f x 的奇偶性；（2）若()f x 在[)2,+∞是增函数，求实数a 的范围.18．已知以点M 为圆心的圆经过点(1,0)A -和(3,4)B ，线段AB 的垂直平分线交圆M 于点C 和D ，且CD =（1）求直线CD 的方程； （2）求圆M 的方程．19．（6分）设数列{}n a 的前n 项的和为n S ,且满足12a =,对*n N ∀∈,都有1(1)2n n a p S +=-+ (其中常数1p >),数列{}n b 满足2121log ()n n b a a a n=L . (1)求证:数列{}n a 是等比数列； (2)若220172p =,求2018b 的值；(3)若*k N ∃∈,使得2212k p +=,记3||2n n c b =-,求数列{}n c 的前2(1)k +项的和.20．（6分）我国2019年新年贺岁大片《流浪地球》自上映以来引发了社会的广泛关注，受到了观众的普遍好评.假设男性观众认为《流浪地球》好看的概率为23，女性观众认为《流浪地球》好看的概率为12.某机构就《流浪地球》是否好看的问题随机采访了4名观众（其中2男2女）. （1）求这4名观众中女性认为好看的人数比男性认为好看的人数多的概率；（2）设ξ表示这4名观众中认为《流浪地球》好看的人数，求ξ的分布列与数学期望.21．（6分）设λ是正实数，（1+λx ）20的二项展开式为a 0+a 1x+a 2x 2+…+a 20x 20，其中a 0，a 1，…，a 20 ，…，（2）若a 5≥a n 对一切n ∈{0，1，…，20}均成立，求λ的取值范围．22．（8分）已知函数1()1x xe f x e +=-. （I ）若()2f a =，求实数a 的值； （Ⅱ）判断()f x 的奇偶性并证明； （Ⅲ）设函数22()1()1g x kx f x =-+-()k ∈R ，若()g x 在(0,)+∞上没有零点，求k 的取值范围.参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．D 【解析】 【分析】 【详解】因为-2为极值点且为极大值点，故在-2的左侧附近()f x '>0，-2的右侧()f x '<0,所以当x>-2且在-2的右侧附近时，()'0xf x >排除BC ，当x<-2且在-2的左侧附近时，()'0xf x <，排除AC ， 故选D 2．C 【解析】 【分析】z 在复平面内的对应点考查点()2352,1mm m -+-横纵坐标的正负,分情况讨论即可.【详解】由题得, z 在复平面内的对应点为()2352,1m m m -+-.当10m ->,即1m <时,二次函数2352(32)(1)y m m m m =-+=--取值范围有正有负,故z 在复平面内的对应点可以在一二象限.当10m -<,即1m >时,二次函数2352(32)(1)0y m m m m =-+=-->,故z 在复平面内的对应点可以在第四象限.本题主要考查了复平面的基本定义与根据参数范围求解函数范围的问题,属于基础题型. 3．D 【解析】试题分析：因为A ∪B={x|x≤0或x≥1}，所以，故选D.考点：集合的运算. 4．B 【解析】 【分析】在A 中，根据线面平行的判定判断正误； 在B 中，由平面与平面平行的判定定理得α∥β； 在C 中，举反例即可判断判断； 在D 中，据线面平行的判定判断正误； 【详解】对于A ，若m ∥n ，m ⊂α，则n ∥α或n ⊂α，故A 错；对于B ，若m ⊥α，m ⊥β，则由平面与平面平行的判定定理得α∥β，故B 正确；对于C ，不妨令α∥β，m 在β内的射影为m′，则当m′⊥n 时，有m ⊥n ，但α，β不垂直，故C 错误； 对于D ，若α∩β=m ，n ∥m ，则n ∥β或n ⊂β，故D 错． 故选：B ． 【点睛】本题考查命题真假的判断，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用． 5．C 【解析】 【分析】 【详解】由1xy y x =⎧⎨=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩，13xy y =⎧⎨=⎩解得133x y ⎧=⎪⎨⎪=⎩，3y y x =⎧⎨=⎩解得33x x =⎧⎨=⎩，所围成的平面图形的面积为S ，则()()1111331131(31)323ln |2S dx x x x ⎛⎫=⨯--+-=+- ⎪⎝⎭⎰，4ln3S =-，故选C.根据条件01a b <<<，令11,32a b ==，代入,x y 中并取相同的正指数，可得,x y 的范围并可比较,x y 的大小；由对数函数的图像与性质可判断z 的范围，进而比较,,x y z 的大小.【详解】 因为01a b <<< 令11,32a b == 则1213b x a ⎛⎫= ⎪⎝⎭=1312a y b ⎛⎫= ⎪⎝⎭=12log log 13b a z == 将式子变形可得61321113327⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，6123111224⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥== ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦因为111274<< 所以x y <由对数函数的图像与性质可知112211log log 132>= 综上可得x y z << 故选：A. 【点睛】本题考查了指数式与对数式大小比较，指数幂的运算性质应用，对数函数图像与性质应用，属于基础题. 7．A 【解析】分析：偶函数的定义域满足关于原点对称，且()()f x f x =-由此列方程解a b ， 详解：()2f x ax bx =+是定义在[]1,3a a -上的偶函数，所以11304a a a -+=⇒=()()f x f x =-，解得0b =，故选A点睛：偶函数的定义域满足关于原点对称，且()()f x f x =-，二次函数为偶函数对称轴为y 轴。
2020年大连市名校数学高二第二学期期末质量检测试题含解析
2020年大连市名校数学高二第二学期期末质量检测试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}1,3A =，则U A =ð（ ） A ．∅ B ．{}1,3 C ．{}2,4,5 D ．{}1,2,3,4,5【答案】C 【解析】 【分析】根据补集的定义可得结果. 【详解】因为全集{1,2,3,4,5}U =，{1,3}A =，所以根据补集的定义得{}2,4,5U A =ð，故选C. 【点睛】若集合的元素已知，则求集合的交集、并集、补集时，可根据交集、并集、补集的定义求解． 2．曲线3123y x x =-在1x =处的切线的倾斜角是 （ ） A ．6πB ．34π C ．4π D ．3π 【答案】B 【解析】分析：先求导数，再根据导数几何意义得斜率，最后得倾斜角. 详解：因为3123y x x =-，所以22y x '=- 所以曲线3123y x x =-在1x =处的切线的斜率为121,-=- 因此倾斜角是34π，选B.点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化. 3．若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为（ ） A ．40π B ．36πC ．26πD ．20π【答案】B 【解析】 【分析】根据圆锥的高和底面半径求出母线长，分别求出圆锥侧面积和底面积，加和得到结果. 【详解】5=∴圆锥侧面积为：4520ππ⨯⨯=；底面积为：2416ππ⨯= ∴圆锥表面积为：201636πππ+=本题正确选项：B 【点睛】本题考查圆锥表面积的求解，关键是熟练掌握圆锥侧面积公式，属于基础题. 4．已知函数()()sin 0,2f x x πωϕωϕ⎛⎫=+><⎪⎝⎭的最小正周期为6π，且其图象向右平移23π个单位后得到函数()sin g x x ω=的图象，则ϕ=（ ） A ．6π B ．3π C ．29π D ．49π 【答案】C 【解析】 【分析】利用函数()y f x =的周期求出ω的值，利用逆向变换将函数()y g x =的图象向左平行23π个单位长度，得出函数()y f x =的图象，根据平移规律得出ϕ的值. 【详解】由于函数()y f x =的周期为6π，2163πωπ∴==，则()1sin 3g x x =， 利用逆向变换，将函数()y g x =的图象向左平移23π个单位长度，得到函数()y f x =的图象，所以()1212sin sin 3339f x x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，因此，29πϕ=，故选：C. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象的平移变换，本题利用逆向变换求函数解析式，可简化计算，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.5．有一段“三段论”，其推理是这样的：对于可导函数()f x ，若()0'0f x =，则0x x =是函数()f x 的极值点,因为函数()3f x x =满足()'00f =，所以0x =是函数()3f x x =的极值点”，结论以上推理()A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．没有错误【答案】A 【解析】 【分析】在使用三段论推理证明中，如果命题是错误的，则可能是“大前提”错误，也可能是“小前提”错误，也可能是推理形式错误，我们分析其大前提的形式：“对于可导函数f （x ），如果f'（x 0）＝0，那么x ＝x 0是函数f （x ）的极值点”，不难得到结论． 【详解】对于可导函数f （x ），如果f'（x 0）＝0，且满足当x ＞x 0时和当x ＜x 0时的导函数值异号时，那么x ＝x 0是函数f （x ）的极值点，而大前提是：“对于可导函数f （x ），如果f'（x 0）＝0，那么x ＝x 0是函数f （x ）的极值点”，不是真命题，∴大前提错误， 故选A ． 【点睛】本题考查的知识点是演绎推理的基本方法，演绎推理是一种必然性推理，演绎推理的前提与结论之间有蕴涵关系．因而，只要前提是真实的，推理的形式是正确的，那么结论必定是真实的，但错误的前提可能导致错误的结论．6．已知非零向量,a b rr 满足2a b =r r ，若函数3211().132f x x a x a bx =+++r r r 在R 上存在极值，则a r 和br 夹角的取值范围为（ ） A ．0,6π⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．,3ππ⎛⎤⎥⎝⎦C ．2,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦D ．,3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】设a v和b v的夹角为θ∵()3211132f x x a x abx ⋅=+++vv v 在R 上存在极值 ∴2()0f x x a x a b =++⋅'=r r r 有两个不同的实根，即240a a b ∆=-⋅>r r r∵2a b =v v∴2248cos 0b b θ->r r ，即1cos 2θ<∵[0,]θπ∈ ∴3πθπ<≤故选B点睛：本题主要考查向量的模及平面向量数量积公式、利用导数研究函数的极值，属于难题.平面向量数量积公式有两种形式，一是cos a b a b θ⋅=r rr r ，二是1212a b x x y y ⋅=+r r ，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角，·cos ·a b a b θ=rr r r （此时a b r r g 往往用坐标形式求解）；（2）求投影，a r 在b r 上的投影是a b b⋅r r r ；（3）a r ，b r 向量垂直则0a b =r r g ；(4)求向量ma nb +r r 的模（平方后需求a b r rg ）. 7．设随机变量ξ服从正态分布()4,3N ，若()()51P a P a ξξ<-=>+，则实数a 等于（ ） A ．7 B ．6C ．5D ．4【答案】B 【解析】分析：根据随机变量符合正态分布，又知正态曲线关于x=4对称，得到两个概率相等的区间关于x=4对称，得到关于a 的方程，解方程即可．详解：∵随机变量ξ服从正态分布N （4，3）， ∵P （ξ＜a ﹣5）=P （ξ＞a+1）， ∴x=a ﹣5与x=a +1关于x=4对称， ∴a ﹣5+a+1=8， ∴2a=12， ∴a=6， 故选：C ．点睛：关于正态曲线在某个区间内取值的概率求法①熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． ②充分利用正态曲线的对称性和曲线与x 轴之间面积为1.8．已知双曲线222:14x y C a -=的一条渐近线方程为230x y +=，1F ，2F 分别是双曲线C 的左，右焦点，点P 在双曲线C 上，且1 6.5PF =，则2PF 等于（ ）． A ．0.5 B ．12.5C ．4或10D ．0.5或12.5【答案】D 【解析】由230x y +=，可得23y x =-， 又由题意得双曲线的渐近线方程为2y x a=±， ∴223a = ∴3a =，根据双曲线的定义可得126PF PF -=， ∴20.5PF =或212.5PF =．经检验知20.5PF =或212.5PF =都满足题意．选D ．点睛：此类问题的特点是已知双曲线上一点到一个焦点的距离，求该点到另一个焦点的距离，实质上是考查双曲线定义的应用．解题时比较容易忽视对求得的结果进行验证，实际上，双曲线右支上的点到左焦点的最小距离为c a +，到右焦点的最小距离为c a -．同样双曲线左支上的点到右焦点的最小距离是c a +，到左焦点的最小距离是c a -．9．在ABC ∆中，已知·9AB AC =，sin cos ?sin B A C =，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的一点，且··CA CBCP x y CA CB=+u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ，则11x y +的最小值为（ ）A ．76B ．712C ．712+D ．76 【答案】C 【解析】分析：△ABC 中设AB=c ，BC=a ，AC=b ，由si nB=cosA•sinC 结合三角形的内角和及和角的正弦公式化简可求 cosC =0 即C=90°，再由9AB AC ⋅=u u u r u u u r，S △ABC =6可得bccosA=9，162bcsinA =可求得c=5，b=3，a=4，考虑建立以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系，由P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()1CP CA CB λλ=+-u u u r u u u r u u u r =（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1），设12CA CB e e CA CB==u u u r u u u ru r u u r u u u r u u u r ，则121e e ==u r u u r ，()()121001e e ==u r u u r ，，，，由CA CB CP x y CA CB=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r =（x ，0）+（0，y ）=（x ，y ）可得x=3λ，y=4﹣4λ则4x +3y=12而()111114312x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭，利用基本不等式求解最小值． 详解：△ABC 中设AB=c ，BC=a ，AC=b ∵sinB=cosA•sinC ，∴sin （A+C ）=sinCcosA ， 即sinAcosC+sinCcosA=sinCcosA ， ∴sinAcosC=0，∵sinA≠0，∴cosC=0 C=90° ∵9AB AC ⋅=u u u r u u u r，S △ABC =6 ∴bccosA=9，162bcsinA = ∴43tanA =，根据直角三角形可得sinA=45，cosA=35，bc=15 ∴c=5，b=3，a=4以AC 所在的直线为x 轴，以BC 所在的直线为y 轴建立直角坐标系可得C （0，0）A （3，0）B （0，4）P 为线段AB 上的一点，则存在实数λ使得()1CP CA CB λλ=+-u u u r u u u r u u u r=（3λ，4﹣4λ）（0≤λ≤1） 设12CA CB e e CA CB ==u u u r u u u ru r u ur u u u r u u u r ，，则121e e ==u r u u r ，()()121001e e ==u r u u r ，，， ∴CA CB CP x y CA CB=+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r =（x ，0）+（0，y ）=（x ，y ） ∴x=3λ，y=4﹣4λ则4x +3y=12()111114312x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭=13473712123y x x y ⎛⎫++≥+ ⎪⎝⎭ 故所求的最小值为73123+故选C ．点睛：本题是一道构思非常巧妙的试题，综合考查了三角形的内角和定理、两角和的正弦公式及基本不等式求解最值问题，解题的关键是理解把已知所给的CA CAu u u r u u u r 是一个单位向量，从而可用x ，y 表示CP u u u r ，建立x ，y 与λ的关系，解决本题的第二个关键点在于由x=3λ，y=4﹣4λ发现4x +3y=12为定值，从而考虑利用基本不等式求解最小值 10．设随机变量X 的分布列如下：则方差D (X)＝（）． A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】B 【解析】分析：先求出a 的值，然后求出()E X ，利用公式求出()D X 详解：10.10.30.40.2a =---=()10.220.330.42E X =⨯+⨯+⨯=()210.240.390.45E X =⨯+⨯+⨯=()()()()22541D X E XE X ⎡⎤=-=-=⎣⎦故选B点睛：本题考查了随机变量的分布列的相关计算，解答本题的关键是熟练掌握随机变量的期望与方差的计算方法11．若两个正实数,x y 满足211x y+=,且222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()[),24,-∞-+∞U B ．()[),42,-∞-+∞U C ．()2,4- D ．()4,2-【答案】D 【解析】 【分析】 将代数式21x y+与2x y +相乘，展开后利用基本不等式求出2x y +的最小值，然后解不等式()2min 22m m x y +<+，可得出实数m 的取值范围．【详解】由基本不等式得()21422448y x x y x y x y x y⎛⎫+=++=++≥=⎪⎝⎭，当且仅当4y xx y=，由于0x >，0y >，即当2x y =时，等号成立， 所以，2x y +的最小值为8，由题意可得228m m +<，即2280m m +-<， 解得42m -<<，因此，实数m 的取值范围是()4,2-，故选D. 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查利用基本不等式求最值，对于不等式成立的问题，需要结合量词来决定所选择的最值，考查计算能力，属于中等题．12．实验女排和育才女排两队进行比赛，在一局比赛中实验女排获胜的概率是23，没有平局.若采用三局两胜制，即先胜两局者获胜且比赛结束，则实验女排获胜的概率等于（ ） A ．49B ．2027C ．827D ．1627【答案】B 【解析】试题分析：实验女排要获胜必须赢得其中两局，可以是1,2局，也可以是1,3局，也可以是2,3局.故获胜的概率为:,故选B.考点：独立事件概率计算.二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且对任意的实数x 都有23()()xx f x f x e+'=-(e 是自然对数的底数)，且(0)1f =，若关于x 的不等式()0f x m -<的解集中恰有两个整数，则实数m 的取值范围是_________． 【答案】(,0]e - 【解析】 【分析】 由'23()()xx f x f x e +=-得()()'23x f x f x e x ⎡⎤+=+⎣⎦，即()'23x f x e x ⎡⎤=+⎣⎦.设()23x f x e x x c =++，由(0)1f =得1c =，从而()()'21()xx x f x e +-=-.判断函数()f x 的单调性，数形结合求实数m 的取值范围. 【详解】()()''23()(),23x x x f x f x f x f x e x e+⎡⎤=-∴+=+⎣⎦Q ， 即()'23xf x e x ⎡⎤=+⎣⎦.设()()2233,xxx x cf x e x x c f x e++=++∴=. ()231(0)1,1,xx x f c f x e ++=∴=∴=Q , ()()2'212()x xx x x x f x e e +---+∴==-. 由'()0f x >，得21x -<<；由'()0f x <，得1x >或2x <-，∴函数()f x 在()2,1-上单调递增，在(),2-∞-和()1,+∞上单调递减，如图所示∴当2x =-时，()2min f x e =-.又()()31,3f e f e -=--=，且0x >时，()0f x >，由图象可知，要使不等式()f x m <的解集中恰有两个整数， 需满足(1)0f m -<≤，即0e m -<≤. 所以实数m 的取值范围为(],0e -. 故答案为：(],0e -. 【点睛】本题考查利用导数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.14．已知7270127(12)x a a x a x a x -=++++L ，则127...a a a +++=_____．【答案】2- 【解析】 【分析】令0,1x x ==分别代入等式的两边，得到两个方程，再求值. 【详解】令0x =得：01a =，令1x =得：07121...a a a a +-=+++， 712...2a a a ∴+++=-.【点睛】赋值法是求解二项式定理有关问题的常用方法. 15．已知函数2sin(2)(0)2y x πϕϕ=+<<的一条对称轴为6x π=，则ϕ的值为_______．【答案】6π【解析】 【分析】 根据对称轴为6x π=可得()262k k Z ππϕπ⨯+=+∈，结合ϕ的范围可求得结果.【详解】 6x π=Q 为函数的对称轴 ()262k k Z ππϕπ∴⨯+=+∈解得：()6k k Z πϕπ=+∈又02πϕ<< 6πϕ∴=本题正确结果：6π【点睛】本题考查根据三角函数性质求解解析式的问题，关键是能够采用整体对应的方式来进行求解.16．已知集合{}210M x x =-=，集合{}2320N x x x =-+=，那么集合M N ⋃的子集．．个数为___个． 【答案】1． 【解析】 【分析】可以求出集合M ，N ，求得并集中元素的个数，从而得出子集个数． 【详解】∵M ＝{﹣1，1}，N ＝{1，2}； ∴M ∪N ＝{﹣1，1，2}； ∴M ∪N 的子集个数为23＝1个． 故答案为：1． 【点睛】本题考查描述法、列举法的定义，以及并集的运算，子集的定义，以及集合子集个数的求法． 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．一只药用昆虫的产卵数y 与一定范围内的温度x 有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如下表：经计算得：61()()557iii x x y y =--=∑，621()84ii x x =-=∑，621()3930i i y y =-=∑线性回归模型的残差平方和µ621()236.64iii y y =-=∑，8.06053167e ≈，其中,i i x y 分别为观测数据中的温度和产卵数，1,2,3,4,5,6i =（1）若用线性回归模型，求y 关于x 的回归方程ˆˆˆy bx a =+（精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得y 关于x 的回归方程为0.2303ˆ0.06xye =，且相关指数20.9522R =.①试与1中的回归模型相比，用2R 说明哪种模型的拟合效果更好.②用拟合效果好的模型预测温度为35℃时该用哪种药用昆虫的产卵数（结果取整数）附：一组数据1122(,),(,)(,)n n x y x y x y K 其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计为121()()ˆ()ni i i nii x x y y bx x ==--=-∑∑，ˆˆay bx =-；相关指数22121ˆ()1()niii nii y yR y y ==-=--∑∑.【答案】（1）ˆ 6.6138.6yx =- （2）①用非线性回归模型拟合效果更好；②190个 【解析】 【分析】（1）求出x 、y 后代入公式直接计算得ˆb、ˆa ，即可得解； （2）求出线性回归模型的相关指数，与0.9522比较即可得解；（3）直接把35x =代入0.2303ˆ0.06xye =，计算即可得解.【详解】（1）由题意6n =，则611266i i x x ===∑，611336i i y x ===∑，61621()()557ˆ 6.684()iii ii x x yy bx x ==--==≈-∑∑，ˆ33 6.626138.6a =-⨯=-， y 关于x 的线性回归方程为ˆ 6.6138.6yx =-. （2）①对于线性回归模型，621()3930ii y y =-=∑，µ621()236.64i i i y y =-=∑，相关指数为µ621621()1()iii ii y y y y ==---∑∑236.6413930=-10.06020.9398≈-=因为0.93980.9522<，所以用非线性回归模型拟合效果更好.②当35x =，时0.230335ˆ0.06ye ⨯=8.06050.06e =⨯0.063167190.02190=⨯=≈（个）所以温度为35C ︒时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个. 【点睛】本题考查了线性回归方程的求解、相关指数的应用以及非线性回归方程的应用，考查了计算能力，属于中档题.18．已知函数()ln 1f x e x ax =-+. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若0a >，且对任意的[1,e]x ∈，都有()f x a <，求a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）(1,)+∞ 【解析】 【分析】（Ⅰ）对a 分0a ≤和0a >两种情况讨论，利用导数求函数的单调性；（Ⅱ）当0a >时，由（Ⅰ）知()f x 在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.再对a 分三种情况讨论，利用导数研究不等式的恒成立问题得解. 【详解】（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，'()f x a ex=-. （i ）当0a ≤时，'()0f x >恒成立， ∴()f x 在(0,)+∞上单调递增. （ii ）当0a >时，在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上'()0f x >，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上'()0f x <， ∴()f x 在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.综上，当0a ≤时，()f x 在(0,)+∞上单调递增；当0a >时，()f x 在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.（Ⅱ）当0a >时，由（Ⅰ）知()f x 在0,e a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在,e a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.①当1ea≤，即a e ≥时，()f x 在[1,]e 上单调递减， max ()(1)1f x f a ==-，1a a -<，解得12a >.∴[,)a e ∈+∞.②当ee a≥，即1a ≤时，()f x 在[1,]e 上单调递增， max ()()1f x f e e ae ==-+，1e ae a -+<，解得1a >.∴a ∈∅. ③当1e e a <<，即1a e <<时，()f x 在1,e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在,e e a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减. max ()ln 11ln f x f e e e e a e a a a a ⎛⎫==-⨯+=- ⎪⎝⎭.则1ln e a a -<，即ln 10e a a +->. 令()ln 1g x e x x =+-，(1,)x e ∈， 易得'()10eg x x=+>，所以()g x 在(1,)e 上单调递增. 又∵(1)0g =，∴对任意的(1,)x e ∈，都有()0>g x . ∴(1,)a e ∈.综上所述，a 的取值范围为(1,)+∞. 【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性和不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19． “公益行”是由某公益慈善基金发起并主办的一款将用户的运动数据转化为公益步数的捐助公益项目的产品，捐助规则是满10000步方可捐助且个人捐出10000步等价于捐出1元，现粗略统计该项目中其中200名的捐助情况表如下：(1)将捐款额在200元以上的人称为“健康大使”，请在现有的“健康大使”中随机抽取2人，求捐款额在[)200,250之间人数ξ的分布列；(2)为鼓励更多的人来参加这项活动，该公司决定对捐款额在100元以上的用户实行红包奖励，具体奖励规则如下：捐款额在[)100,150的奖励红包5元；捐款额在[)150,200的奖励红包8元；捐款额在[)200,250的奖励红包10元；捐款额大于250的奖励红包15元.已知该活动参与人数有40万人，将频率视为概率，试估计该公司要准备的红包总金额.【答案】 (1)答案见解析；(2)大约为63万元. 【解析】试题分析：(1)ξ的所有情况是0，1，2，结合超几何分布的概率公式即可求得分布列； (2)结合分布列考查平均值，据此可得该公司要准备的红包总额大约为63万元. 试题解析：(1)捐款额在[)200,250之间人数ξ的所有情况是0，1，2，()021*******C C P C ξ⋅===，()11352815128C C P C ξ⋅===，()2035283228C C P C ξ⋅===， 所以捐款额在[)200,250之间人数ξ的分布列为： ξ0 1 2P514 1528 328(2)设红包金额为η，可得η的分布列为：η0 5 8 10 15P2225 13100 5100 3200 5200所以05810152510010020020040E η=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 又63406340⨯=.故该公司要准备的红包总额大约为63万元. 20．如今我们的互联网生活日益丰富，除了可以很方便地网购，网上叫外卖也开始成为不少人日常生活中不可或缺的一部分，为了解网络外卖在A 市的普及情况，A 市某调查机构借助网络进行了关于网络外卖的问卷调查，并从参与调查的网民中抽取了200人进行抽样分析，得到如表：（单位：人） 经常使用网络外卖 偶尔或不用网络外卖 合计 男性 50 50 100 女性 60 40 100 合计11090200（1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖的情况与性别有关？ （2）将频率视为概率，从A 市所有参与调查的网民中随机抽取10人赠送礼品，记其中经常使用网络外卖的人数为X ，求X 的数学期望和方差． 参考公式：，其中．参考数据：【答案】（1）不能；（2）.【解析】 【分析】（1）把表格中的数据依次代入公式，算出与比较大小，并下结论；（2）服从二项分布，直接套用公式求期望值.【详解】（1）由列联表中的数据， 可得，故不能在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为A 市使用网络外卖情况与性别有关． （2）由2×2列联表，可知抽到经常使用网络外卖的网民的频率为，将频率视为概率，即从A 市市民中任意抽取1人， 恰好抽到经常使用网络外卖的市民的概率为，由题意得．故随机变量的期望，∴方差为．【点睛】由于A 市所有参与调查的网民中总体是未知的，所以无法用超几何分布模型求解. 21．已知函数()2xe xf x a =-．（1）若1a =，证明：当0x ≥时，()1f x ≥； （2）若()f x 在只有一个零点，求a 的值.【答案】（1）见解析；（2）24e a =【解析】 【详解】分析：(1)先构造函数()()211xg x x e-=+-，再求导函数，根据导函数不大于零得函数单调递减，最后根据单调性证得不等式;(2)研究()f x 零点，等价研究()21xh x ax e -=-的零点，先求()h x 导数：()()'2x h x ax x e -=-，这里产生两个讨论点，一个是a 与零，一个是x 与2，当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点；当0a >时，()h x 先减后增，从而确定只有一个零点的必要条件，再利用零点存在定理确定条件的充分性，即得a 的值.详解：（1）当1a =时，()1f x ≥等价于()2110xx e-+-≤．设函数()()211xg x x e-=+-，则()()()22'211x x g x x x e x e --=--+=--．当1x ≠时，()'0g x <，所以()g x 在()0,∞+单调递减． 而()00g =，故当0x ≥时，()0g x ≤，即()1f x ≥． （2）设函数()21xh x ax e -=-．()f x 在()0,∞+只有一个零点当且仅当()h x 在()0,∞+只有一个零点．（i ）当0a ≤时，()0h x >，()h x 没有零点； （ii ）当0a >时，()()'2xh x ax x e -=-．当()0,2x ∈时，()'0h x <；当()2,x ∈+∞时，()'0h x >． 所以()h x 在()0,2单调递减，在()2,+∞单调递增． 故()2421ah e =-是()h x 在[)0,+∞的最小值． ①若()20h >，即24e a <，()h x 在()0,∞+没有零点；②若()20h =，即24e a =，()h x 在()0,∞+只有一个零点；③若()20h <，即24e a >，由于()01h =，所以()h x 在()0,2有一个零点，由（1）知，当0x >时，2x e x >，所以()()()333244216161614111102a a a a a h a e a a e =-=->-=->．故()h x 在()2,4a 有一个零点，因此()h x 在()0,∞+有两个零点．综上，()f x 在()0,∞+只有一个零点时，24e a =．点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法 (1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解. (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.22．某育种基地对某个品种的种子进行试种观察，经过一个生长期培养后，随机抽取n 株作为样本进行研究．株高在35cm 及以下为不良，株高在35cm 到75cm 之间为正常，株高在75cm 及以上为优等．下面是这n 个样本株高指标的茎叶图和频率分布直方图，但是由于数据递送过程出现差错，造成图表损毁．请根据可见部分，解答下面的问题：（1）求n 的值并在答题卡的附图中补全频率分布直方图；（2）通过频率分布直方图估计这n 株株高的中位数（结果保留整数）；（3）从育种基地内这种品种的种株中随机抽取2株，记X 表示抽到优等的株数，由样本的频率作为总体的概率，求随机变量X 的分布列（用最简分数表示）．【答案】（1）20n =，补图见解析（2）估计这n 株株高的中位数为82（3）见解析 【解析】 【分析】根据茎叶图和频率直方图，求出中位数，得离散型随机变量的分布列． 【详解】解：（1）由第一组知10.002520n=，得20n =， 补全后的频率分布直方图如图（2）设中位数为0x ，前三组的频率之和为0.050.10.20.350.5++=<， 前四组的频率之和为0.050.10.20.450.80.5+++=>， ∴[)075,95x ∈，∴()0750.02250.15x -⨯=，得0245823x =≈， ∴估计这n 株株高的中位数为82.（3）由题设知132,20X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭:，则()202749020400P X C ⎛⎫==⋅= ⎪⎝⎭ ()127139112020200P X C ==⋅⋅= ()22213169220400P X C ⎛⎫==⋅=⎪⎝⎭ X 的分布列为 X12P49400 91200 169400【点睛】本题考查频率直方图及中位数，离散型随机变量的分布列，属于中档题.。
2019-2020学年辽宁省大连市高二(下)期末数学试卷 (解析版)
2019-2020学年辽宁省大连市高二第二学期期末数学试卷一、选择题（共12小题）.1．随机变量X的分布列如表，则D（X）＝（）X01PA．B．C．D．2．用数学归纳法证明：1+2+3+…+2n＝n（2n+1）时，从n＝k推证n＝k+1时，左边增加的代数式是（）A．（2k+1）+（2k+2）B．4k+2C．2k+2D．2k+13．记S n为等差数列{a n}的前n项和若a4+a5＝24，S6＝60，则等差数列{a n}的公差应为（）A．1B．2C．4D．84．在洛阳市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩X﹣N（90，σ2），已知P（70＜X≤90）＝0.35，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（）A．0.85B．0.70C．0.50D．0.155．已如函数f（x）＝x﹣sin x，x∈[﹣，]，则f（x）的极大值点为（）A．﹣B．﹣C．D．6．掷骰子2次，每个结果以（x1，x2）记之，其中x1，x2分别表示第一次、第二次掷骰子的点数，设A＝{（x1，x2）|x1+x2＝6}，B＝{（x1，x2）|x1＞x2}，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．7．函数f（x）＝（x2﹣2x）e x的图象可能是（）A．B．C．D．8．若（x2+）5展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为（）A．1B．5C．10D．209．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝1，nS n＝nS n﹣1+a n+（n≥2，n∈N*），若S n＞，则m的最小值为（）A．6B．7C．8D．910．为了促进西部某地区医疗事业的发展，某市准备派6名医生支援当地的三所医院，若向每所医院至少派一名医生且不多于3名医生，则不同的安排方法有（）A．450种B．540种C．900种D．1080种11．已知函数f（x）的导数为f'（x），f（x）﹣xf'（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，则下列不等式中一定成立的是（）A．f（π）＞f（e）B．f（π）＜f（e）C．＞D．＜12．若对任意x∈（0，+∞），不等式e2x﹣mln（2m）﹣mlnx≥0恒成立，则实数m的最大值（）A．B．e C．2e D．e2二、填空题（共4小题）.13．函数f（x）＝x2+lnx在点（1，f（1））处的切线方程为．14．若（+）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则二项展开式中有理项系数之和为．15．已知函数f（x）＝alnx+x2（a＞0），若对任意两个不相等的正实数x1，x2都有＞4恒成立，则实数a的取值范围是．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n﹣1是a n和S n的等比中项，设b n＝（﹣1）n+1•（2n+1）a n，则数列{b n}的前100项和为．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y（单位：万件），对近5个月的月销售单价x i和月销售量y i（i＝1，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如表数据：月销售单价x i（元/件）99.51010.511月销售量y i（万件）1110865（Ⅰ）建立y关于x的回归直线方程；（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程，其中＝，＝﹣．参考数据：，x i2＝502.5．18．设a为实数，函数f（x）＝2x3﹣15x2+36x+a．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象与x轴仅有一个交点，求实数a的取值范围．19．在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为200的样本，其中城镇居民150人，农村居民50人，在这些居民中，经常阅读的城镇居民100人，农村居民24人．（Ⅰ）完成如表2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读10024不经常阅读合计200（Ⅱ）从该地区居民城镇的居民中，随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动，记这5位居民中经常阅读的人数为X，若用样本的频率作为概率，求随机变量X的分布列和期望．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 20．为实现2020年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造．经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件．如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸xmm，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x满足：|x﹣12|≤1为一级品，1＜|x﹣12|≤2为二级品，|x﹣12|＞2为三级品．（Ⅰ）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，若从这40件产品当中尺寸在[12，15]的产品中随机抽取2件产品，记Y为这2件产品中含有尺寸在[14，15]的产品个数，求Y的分布列和数学期望；（Ⅱ）为加大升级力度，厂家需增购设备．已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500元/件；二级品的利润为400元/件；三级品的利润为200元/件．乙设备生产的产品中一、二、三级品的概率分别是，，，若将甲设备生产的产品的样本频率作为总体的概率．以厂家的利润作为决策依据，应选购哪种设备？请说明理由．21．某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n年之后，该项目的资金为a n万元．（Ⅰ）设b n＝a n﹣800，证明数列{b n}为等比数列，并求出至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取lg2＝0.3）；（Ⅱ）若c n＝，求数列{c n}的前n项和S n．22．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（2a+1）x（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）求证：当a＜0时，f（x）≤﹣；（Ⅲ）设m是整数，对于任意的正整数n，有（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．参考答案一、选择题（共12小题）.1．随机变量X的分布列如表，则D（X）＝（）X01PA．B．C．D．【分析】利用分布列求出期望，然后求解方差即可．解：由题意可得E（X）＝＝．所以D（X）＝＝．故选：B．2．用数学归纳法证明：1+2+3+…+2n＝n（2n+1）时，从n＝k推证n＝k+1时，左边增加的代数式是（）A．（2k+1）+（2k+2）B．4k+2C．2k+2D．2k+1【分析】用数学归纳法证明：1+2+3+…+2n＝n（2n+1）时，从n＝k推证n＝k+1时，左边增加的代数式＝（k+1）[2（k+1）+1]﹣k（2k+1）．解：用数学归纳法证明：1+2+3+…+2n＝n（2n+1）时，从n＝k推证n＝k+1时，左边增加的代数式＝（k+1）[2（k+1）+1]﹣k（2k+1）＝4k+3＝2k+1+2k+2．故选：A．3．记S n为等差数列{a n}的前n项和若a4+a5＝24，S6＝60，则等差数列{a n}的公差应为（）A．1B．2C．4D．8【分析】利用等差数列的前n项和公式、通项公式列出方程组，能求出等差数列{a n}的公差．解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝24，S6＝60，∴，解得d＝2，a1＝5，∴等差数列{a n}的公差为2．故选：B．4．在洛阳市高二下学期期中考试中，理科学生的数学成绩X﹣N（90，σ2），已知P（70＜X≤90）＝0.35，则从全市理科生中任选一名学生，他的数学成绩小于110分的概率为（）A．0.85B．0.70C．0.50D．0.15【分析】由已知可得μ，求出P（90≤X＜1100）＝0.35，得P（X≥110）＝，再由对立事件的概率得答案．解：∵X﹣N（90，σ2），∴μ＝90，又P（70＜X≤90）＝0.35，∴P（90≤X＜1100）＝0.35，∴P（X≥110）＝，则P（X＜110）＝1﹣0.15＝0.85．∴他的数学成绩小于110分的概率为0.85．故选：A．5．已如函数f（x）＝x﹣sin x，x∈[﹣，]，则f（x）的极大值点为（）A．﹣B．﹣C．D．【分析】先求出导函数f'（x），令f'（x）＝0求出极值点，再根据导函数的正负得到函数的单调性，从而判断出函数的极大值点．解：∵函数f（x）＝x﹣sin x，x∈[﹣，]，∴f'（x）＝﹣cos x，令f'（x）＝0得，cos x＝，∴x＝或，当x时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增；当x时，f'（x）＜0，函数f（x）单调递减；当x时，f'（x）＞0，函数f（x）单调递增，∴函数f（x）的极大值点为x＝﹣，故选：B．6．掷骰子2次，每个结果以（x1，x2）记之，其中x1，x2分别表示第一次、第二次掷骰子的点数，设A＝{（x1，x2）|x1+x2＝6}，B＝{（x1，x2）|x1＞x2}，则P（B|A）＝（）A．B．C．D．【分析】基本事件总数n＝6×6＝36，利用列举法求出事件A包含的基本事件有6个，AB包含的基本事件有2个，从而P（A）＝，P（AB）＝，再由P（B|A）＝，能求出结果．解：掷骰子2次，每个结果以（x1，x2）记之，其中x1，x2分别表示第一次、第二次掷骰子的点数，设A＝{（x1，x2）|x1+x2＝6}，B＝{（x1，x2）|x1＞x2}，∵基本事件总数n＝6×6＝36，事件A包含的基本事件有：（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），共6个，AB包含的基本事件有：（4，2），（5，1），共2个，则P（A）＝＝，P（AB）＝＝，P（B|A）＝＝＝．故选：B．7．函数f（x）＝（x2﹣2x）e x的图象可能是（）A．B．C．D．【分析】用函数图象的取值，函数的零点，以及利用导数判断函数的图象．解：由f（x）＝0，解得x2﹣2x＝0，即x＝0或x＝2，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．∴f'（x）＝（x2﹣2）e x，由f'（x）＝（x2﹣2）e x＞0，解得x＞或x＜﹣．由f'（x）＝（x2﹣2）e x＜0，解得，﹣＜x＜即x＝﹣是函数的一个极大值点，∴D不成立，排除D．故选：B．8．若（x2+）5展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项为（）A．1B．5C．10D．20【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．解：令x＝1可得（x2+）5展开式的各项系数之和为（1+a）5＝32，∴a＝1，故其展开式的通项公式为T r+1＝•x10﹣5r，令10﹣5r＝0，求得r＝2，可得常数项为＝10，故选：C．9．已知数列{a n}的前n项和为S n，满足a1＝1，nS n＝nS n﹣1+a n+（n≥2，n∈N*），若S n＞，则m的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【分析】根据a n＝s n﹣s n﹣1可以求出{a n}的通项公式，再利用裂项相消法求出s n，最后根据已知，解出n即可．解：由已知可得，，，＝，（n≥2），＝1+，解之得，或≈7.5，故选：C．10．为了促进西部某地区医疗事业的发展，某市准备派6名医生支援当地的三所医院，若向每所医院至少派一名医生且不多于3名医生，则不同的安排方法有（）A．450种B．540种C．900种D．1080种【分析】根据题意，分2步进行分析：①将6名医生分为3组，每组不超过3人，②将分好的三组对应当地的三所医院，由分步计数原理计算可得答案．解：根据题意，分2步进行分析：①将6名医生分为3组，每组不超过3人，若分为2﹣2﹣2的三组，有＝15种分组分法，若分为1﹣2﹣3的三组，有C63C32C11＝60种分组分法，则有15+60＝75种分组方法，②将分好的三组对应当地的三所医院，由A33＝6种情况，则有75×6＝450种不同的安排方法，故选：A．11．已知函数f（x）的导数为f'（x），f（x）﹣xf'（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，则下列不等式中一定成立的是（）A．f（π）＞f（e）B．f（π）＜f（e）C．＞D．＜【分析】构造函数g（x）＝，求导后可证得g（x）在（0，+∞）上单调递减，由π＞e，知g（π）＜g（e），从而得解．解：设g（x）＝，则g'（x）＝，∵f（x）﹣xf'（x）＞0对x∈（0，+∞）恒成立，∴g'（x）＜0，即g（x）在（0，+∞）上单调递减，∵π＞e，∴g（π）＜g（e），即．故选：D．12．若对任意x∈（0，+∞），不等式e2x﹣mln（2m）﹣mlnx≥0恒成立，则实数m的最大值（）A．B．e C．2e D．e2【分析】由e2x﹣mln（2x）﹣mlnx≥0恒成立，即e2x≥mln（2mx），等价于2xe2x≥2mxln （2mx），即2x•e2x≥e ln2mx•ln（2mx），那么2x≥ln2mx，由构造函数和参数分离法，可得m≤e．从而可得答案．解：由题意，m＞0，由e2x﹣mln（2m）﹣mlnx≥0恒成立，即e2x≥mln（2mx）恒成立，等价于2xe2x≥2mxln （2mx），即2x•e2x≥e ln2mx•ln（2mx），函数h（x）＝x•e x在（0，+∞）上单调递增，只需2x≥ln2mx，∵x∈（0，+∞），∴2x＝t＞0，即t≥lnm+lnt，（t＞0）令f（t）＝t﹣lnt≥lnm，（t＞0）f′（t）＝1﹣＝0，得t＝1，当x∈（0，1）时，f′（t）＜0，∴f（t）在（0，1）单调递减；当x∈（1，+∞）时，f′（t）＞0，∴f（t）在（1，+∞）单调递增；∴当t＝1时，f（t）min＝1，即1≥lnm，得m≤e．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．函数f（x）＝x2+lnx在点（1，f（1））处的切线方程为3x﹣y﹣2＝0．【分析】由题意求导f′（x）＝2x+，从而可知切线的斜率，从而写出切线方程．解：f′（x）＝2x+；故f′（1）＝2+1＝3；故函数f（x）＝x2+lnx的图象在点A（1，1）处的切线方程为：y﹣1＝3（x﹣1）；即3x﹣y﹣2＝0；故答案为：3x﹣y﹣2＝0．14．若（+）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则二项展开式中有理项系数之和为22．【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于整数，求得r的值，可得结论．解：根据二项式+）n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，可得只有最大，故有n＝6，故通项公式为T r+1＝•（）6﹣r•＝•x，r＝0，1，2…6；若为整数，则r＝0，3，6，共计3个，对应项的系数和为：+＝22；故答案为：22．15．已知函数f（x）＝alnx+x2（a＞0），若对任意两个不相等的正实数x1，x2都有＞4恒成立，则实数a的取值范围是（4，+∞）．【分析】由题意得，f'（x）＝+x＞4（x＞0）恒成立，然后利用参变分离法，有a＞﹣x2+4x恒成立，运用配方法求出函数y＝﹣x2+4x在（0，+∞）上的最大值即可．解：由题意得，f'（x）＝+x＞4（x＞0）恒成立，∴a＞﹣x2+4x恒成立，而函数y＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4≤4，当x＝2时，等号成立，∴a＞4，∴实数a的取值范围是（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．16．已知数列{a n}的前n项和为S n，若S n﹣1是a n和S n的等比中项，设b n＝（﹣1）n+1•（2n+1）a n，则数列{b n}的前100项和为．【分析】由已知归纳出通项公式a n，然后利用分组求和即可求解．解：由题意可得，，当n＝1时，，解可得，＝，同理可得，＝，＝…，，所以b n＝（﹣1）n+1•（2n+1）a n＝（﹣1）n+1•（2n+1）＝（﹣1）n+1•（），数列{b n}的前100项和（1+）﹣（）﹣（）+…+（）＝1﹣＝．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．某公司为提高市场销售业绩，促进某产品的销售，随机调查了该产品的月销售单价x （单位：元/件）及相应月销量y（单位：万件），对近5个月的月销售单价x i和月销售量y i（i＝1，2，3，4，5）的数据进行了统计，得到如表数据：月销售单价x i（元/件）99.51010.511月销售量y i（万件）1110865（Ⅰ）建立y关于x的回归直线方程；（Ⅱ）该公司开展促销活动，当该产品月销售单价为7元/件时，其月销售量达到18万件，若由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值不超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，试问：（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想？（Ⅲ）根据（Ⅰ）的结果，若该产品成本是5元/件，月销售单价x为何值时（销售单价不超过11元/件），公司月利润的预计值最大？参考公式：回归直线方程，其中＝，＝﹣．参考数据：，x i2＝502.5．【分析】（Ⅰ）求出样本中心，求出回归直线方程的斜率，然后求解y关于x的回归直线方程；（Ⅱ）利用过后直线方程，求出当该产品月销售单价为7元/件时，求出预测数据，通过判断由回归直线方程得到的预测数据与此次促销活动的实际数据之差的绝对值说法超过0.5万件，则认为所得到的回归直线方程是理想的，说明（Ⅰ）中得到的回归直线方程是否理想．（Ⅲ）设销售利润为M，则M＝（x﹣5）（﹣3.2x+40）（5＜x≤11）M＝﹣3.2x2+56x ﹣200，求解x＝8.75时，M取最大值，得到结果．解：（Ⅰ）因为＝，＝．所以，所以，所以y关于x的回归直线方程为：．（Ⅱ）当x＝7时，，则|17.6﹣18|＝0.4＜0.5，所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的．（Ⅲ）设销售利润为M，则M＝（x﹣5）（﹣3.2x+40）（5＜x≤11）M＝﹣3.2x2+56x ﹣200，所以x＝8.75时，M取最大值，所以该产品单价定为8.75元时，公司才能获得最大利润．18．设a为实数，函数f（x）＝2x3﹣15x2+36x+a．（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象与x轴仅有一个交点，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）对f（x）求导，列表格分析f′（x），f（x）变化情况，进而得出函数f（x）的单调性和极值．（Ⅱ）结合函数f（x）的单调性分析函数图象如果只与x轴有一个交点，可得f（2）＜0或f（3）＞0，进而得出答案．解：（Ⅰ）f′（x）＝6x2﹣30x+36＝6（x﹣2）（x﹣3），令f′（x）＝0，得x＝2，x＝3，当x变化时，f′（x），f（x）变化情况如下表：x（﹣∞，2）2（2，3）3（3，+）f′（x）+0﹣0+f（x）↑极大值↓极小值↑所以f（x）的极大值是f（2）＝28+a，极小值是f（3）＝27+a，（Ⅱ）结合（1）f（x）的单调性可知，当f（2）＝28+a＜0或f（3）＝27+a＞0，即a＜﹣28或a＞﹣27时，曲线与x轴仅有一个交点，所以当a∈（﹣∞，﹣28）∪（﹣27，+∞）时，曲线y＝f（x）与x轴仅有一个交点．19．在第十五次全国国民阅读调查中，某地区调查组获得一个容量为200的样本，其中城镇居民150人，农村居民50人，在这些居民中，经常阅读的城镇居民100人，农村居民24人．（Ⅰ）完成如表2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为经常阅读与居民居住地有关？城镇居民农村居民合计经常阅读10024不经常阅读合计200（Ⅱ）从该地区居民城镇的居民中，随机抽取5位居民参加一次阅读交流活动，记这5位居民中经常阅读的人数为X，若用样本的频率作为概率，求随机变量X的分布列和期望．附：K2＝，其中n＝a+b+c+d．P（K2≥k0）0.100.050.0250.0100.0050.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828【分析】（Ⅰ）完成列联表，求出K2≈5.546＞3.841，从而有95%的把握认为经常阅读与居民居住地有关．（Ⅱ）根据样本估计，从该地区居民中随机抽取1人，抽到经常阅读的人的概率为，则X～B（5，），由此能求出随机变量X的分布列和期望．解：（Ⅰ）由题意得2×2列联表为：城镇居民农村居民合计经常阅读10024124不经常阅读502676合计15050200则K2＝＝≈5.546＞3.841，∴有95%的把握认为经常阅读与居民居住地有关．（Ⅱ）根据样本估计，从该地区居民中随机抽取1人，抽到经常阅读的人的概率为，则X～B（5，），P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，P（X＝5）＝（）5＝，∴X的分布列为：X012345PE（X）＝5×．20．为实现2020年全面建设小康社会，某地进行产业的升级改造．经市场调研和科学研判，准备大规模生产某高科技产品的一个核心部件，目前只有甲、乙两种设备可以独立生产该部件．如图是从甲设备生产的部件中随机抽取400件，对其核心部件的尺寸xmm，进行统计整理的频率分布直方图．根据行业质量标准规定，该核心部件尺寸x满足：|x﹣12|≤1为一级品，1＜|x﹣12|≤2为二级品，|x﹣12|＞2为三级品．（Ⅰ）现根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法先从这400件样本中抽取40件产品，若从这40件产品当中尺寸在[12，15]的产品中随机抽取2件产品，记Y为这2件产品中含有尺寸在[14，15]的产品个数，求Y的分布列和数学期望；（Ⅱ）为加大升级力度，厂家需增购设备．已知这种产品的利润如下：一级品的利润为500元/件；二级品的利润为400元/件；三级品的利润为200元/件．乙设备生产的产品中一、二、三级品的概率分别是，，，若将甲设备生产的产品的样本频率作为总体的概率．以厂家的利润作为决策依据，应选购哪种设备？请说明理由．【分析】（Ⅰ）根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法抽取的40件产品中，尺寸在[12，13），[13，14），[14，15）的产品数分别为8，7，3，Y的可能取值为0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出Y的分布列和数学期望．（Ⅱ）分别求出甲、乙设备生产该产品一件的平均利润y1元，y2元，得到y2＞y1，从而应选购乙设备．解：（Ⅰ）根据频率分布直方图中的分组，用分层抽样的方法抽取的40件产品中，尺寸在[12，13），[13，14），[14，15）的产品数分别为8，7，3，Y的可能取值为0，1，2，P（Y＝0）＝＝，P（Y＝1）＝＝，P（Y＝2）＝＝＝，Y的分布列为：Y012PE（Y）＝＝．（Ⅱ）设甲、乙设备生产该产品一件的平均利润分别为y1元，y2元，∴y1＝＝415（元），y2＝500×＝420（元），∵y2＞y1，∴应选购乙设备．21．某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利25%，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过n年之后，该项目的资金为a n万元．（Ⅰ）设b n＝a n﹣800，证明数列{b n}为等比数列，并求出至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取lg2＝0.3）；（Ⅱ）若c n＝，求数列{c n}的前n项和S n．【分析】（I）由已知递推关系结合等比数列的定义即可证明，然后结合等比数列的通项公式及对数的运算性质可求；（II）由已知结合错位相减求和即可求解．解：（I）由题意可得，a1＝1000（1+25%）﹣200＝1050，因为a n+1＝﹣200，因为b n＝a n﹣800，所以800+b n＝a n，800+b n+1＝a n+1＝﹣200＝﹣200，所以，数列{b n}是以250为首项，以为公比的等比数列，所以，，令a n≥4000可得，所以（n﹣1）lg，从而可得，n﹣1≥＝＝≈11，故n≥12，至少要经过12年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番的目标，（II），，＝2×+3×+…+n+（n+1），两式相减可得，＝2﹣（n+1），＝2﹣（n+1）×，所以S n＝﹣4[2n﹣5﹣（n+1）×]＝12+（4n﹣12），22．已知函数f（x）＝lnx+ax2+（2a+1）x（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）求证：当a＜0时，f（x）≤﹣；（Ⅲ）设m是整数，对于任意的正整数n，有（1+）（1+）…（1+）＜m，求m的最小值．【分析】（Ⅰ）求导得f'（x）＝（x＞0），然后分a≥0和a＜0两类讨论f'（x）与0的大小关系，从而得f（x）的单调性．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当a＜0时，f（x）的单调性，从而得f（x）max＝f（），于是原问题转化为只需要证明f（）≤﹣．构造函数y＝x﹣1﹣lnx（x＞0），通过导数可推出lnx≤x﹣1（当且仅当x＝1时，等号成立），即ln（）≤﹣1，再结合前面所得结论即可得证．（Ⅲ）由（Ⅱ）可得，lnx≤x﹣1，若令x＝1+，则ln（1+）＜，k∈N*，再结合放缩法、等比数列的前n项和公式和对数的运算法则可证得（1+）（1+）…（1+）＜e，由（1+）（1+）…（1+）＞（1+）（1+）（1+）＞2，从而得当n≥3时，（1+）（1+）…（1+）∈（2，e），故而得解．【解答】（Ⅰ）解：f'（x）＝+2ax+（2a+1）＝（x＞0），若a≥0，则f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增；若a＜0，令f'（x）＝0，则x＝，当0＜x＜时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当x＞时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；综上所述，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；当a＜0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知，当a＜0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．∴f（x）max＝f（）＝ln（）+a+（2a+1）（）＝ln（）﹣﹣1，于是需要证明ln（）﹣﹣1≤﹣．令y＝x﹣1﹣lnx（x＞0），则y'＝1﹣＝，当0＜x＜1时，y'＜0，y在（0，1）上单调递减；当x＞1时，y'＞0，y在（1，+∞）上单调递增．∴当x＝1时，函数y取得最小值，为0，∴x﹣1﹣lnx≥0，即lnx≤x﹣1（当且仅当x＝1时，等号成立），∴ln（）≤﹣1，∴ln（）﹣﹣1≤（﹣1）﹣﹣1＝﹣．故当a＜0时，f（x）≤﹣．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）可得，lnx≤x﹣1（当且仅当x＝1时，等号成立），令x＝1+，得ln（1+）＜，k∈N*，∴ln（1+）+ln（1+）+…+ln（1+）＜++…+＝＝1﹣＜1＝lne，即（1+）（1+）…（1+）＜e．又（1+）（1+）…（1+）＞（1+）（1+）（1+）＝＞2，∴当n≥3时，（1+）（1+）…（1+）∈（2，e），∵m∈N*，（1+）（1+）…（1+）＜m，∴m的最小值为3．。
2020年辽宁省大连市数学高二下期末教学质量检测试题含解析
2020年辽宁省大连市数学高二下期末教学质量检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若复数(8)z i i =-+在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】C 【解析】分析：根据复数的乘法运算进行化简，然后根据复数的几何意义，即可得到结论． 详解：∵z=（﹣8+i ）i=﹣8i+i 2=﹣1﹣8i ，对应的点的坐标为（﹣1，﹣8），位于第三象限， 故选C ．点睛：本题主要考查复数的几何意义，利用复数的运算先化简是解决本题的关键，属于基础题． 2．设lg 2lg5a =+，e (0)x b x =<，则a 与b 大小关系为( ) A ．a b > B ．a b < C ．a b = D ．a b ≤【答案】A 【解析】0lg2lg511x a b e e a b ，=+===∴,选A.3．若关于x 的不等式2k x x >-恰好有4个整数解，则实数k 的范围为（ ） A ．20,5⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．23,55⎛⎤⎥⎝⎦C ．32,53⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．2,13⎛⎤⎥⎝⎦【答案】C 【解析】 【分析】依题意可得，0＜k ＜1，结合函数 y ＝k|x|与 y ＝﹣|x ﹣2|的图象可得4个整数解是2，3，4，5，由2y kx y x =⎧⎨=-⎩⇒x (]2561k =∈-，，即可得35＜k 23≤. 【详解】解：依题意可得，0＜k ＜1，函数 y ＝k|x|与 y ＝﹣|x ﹣2|的图象如下，由0＜k ＜1，可得x A ＞1，∴关于x 的不等式k|x|﹣|x ﹣2|＞0恰好有4个整数解，他们是2，3，4，5， 由2y kx y x =⎧⎨=-⎩⇒x B (]2561k =∈-，，故35＜k 23≤；故选：C 【点睛】本题主要考查根据含参绝对值不等式的整数解的个数，求参数范围问题，着重考查了数形结合思想，属于中档题．4．设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,∞+单调递减，则（ ）A ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭B ．233231log 224f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．23332122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭D ．23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】C 【解析】 【分析】由已知函数为偶函数，把233231log ,2,24f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，转化为同一个单调区间上，再比较大小．【详解】()f x 是R 的偶函数，()331log log 44f f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)单调递减，∴()23323log 422f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，故选C ．【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，解题关键在于利用中间量大小比较同一区间的取值． 5．将函数sin 26y x π⎛⎫=+⎪⎝⎭的图象向左平移6π个单位长度后，所得图象的一个对称中心为（ ） A ．,012π⎛⎫⎪⎝⎭B ．,04π⎛⎫⎪⎝⎭C ．,03π⎛⎫⎪⎝⎭D ．,02π⎛⎫⎪⎝⎭【答案】B 【解析】 【分析】利用函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象变换规律，再结合余弦函数的图象的对称性，得出结论． 【详解】将函数y ＝sin （2x 6π+）的图象向左平移6π个单位长度后，可得函数y ＝sin （2x 36ππ++）＝cos2x 的图象．令2x ＝kπ2π+，求得x 24k ππ=+，k ∈Z ． 令k ＝0，可得x 4π=，故所得图象的一个对称中心为（4π，0），故选：B ． 【点睛】本题主要考查函数y ＝Asin （ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于基础题． 6．已知()22i z i -=（i 为虚单位），则复数z 在复平面上所对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】B 【解析】 【分析】由()22i z i -=得22iz i=-，再利用复数的除法法则将复数z 表示为一般形式，即可得出复数z 所表示的点所在的象限. 【详解】由()22i z i -=得()()()22224224222555i i i i i z i i i i ++====-+--+， 因此，复数z 在复平面上对应的点在第二象限，故选B. 【点睛】本题考查复数的几何意义，考查复数对应的点所在的象限，解题的关键就是利用复数的四则运算将复数表示为一般形式，考查计算能力，属于基础题.7．从不同品牌的4台“快译通”和不同品牌的5台录音机中任意抽取3台,其中至少有“快译通”和录音机各1台,则不同的取法共有( ) A ．140种 B ．84种 C ．70种 D ．35种【答案】C 【解析】分析：从中任意取出三台，其中至少要有“快译通”和录音机各1台，有两种方法，一是2台和1台；二是1台和2台，分别求出取出的方法，即可求出所有的方法数. 详解：由题意知本题是一个计数原理的应用，从中任意取出三台，其中至少要有“快译通”和录音机各1台，快译通2台和录音机1台，取法有214530C C =种； 快译通1台和录音机2台，取法有124540C C =种，根据分类计数原理知共有304070+=种. 故选：C.点睛：本题考查计数原理的应用，考查分类和分步的综合应用，本题解题的关键是看出符合条件的事件包含两种情况，是一个中档题目.8．自2020年起,高考成绩由“33+”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目，某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为（ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．9【答案】D 【解析】分析：直接利用组合数进行计算即可.详解：某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为21339C C =种.故选D.点睛：本题考查组合的应用，属基础题..9．某家具厂的原材料费支出x 与销售量y （单位：万元）之间有如下数据，根据表中提供的全部数据，用最小二乘法得出y 与x 的线性回归方程为ˆ8ˆyx b =+，则ˆb 为A ．5B ．10C ．12D ．20【答案】B 【解析】分析：先求样本中心x y （，），代入方程求解即可。
大连市名校2020年高二第二学期数学期末教学质量检测试题含解析
大连市名校2020年高二第二学期数学期末教学质量检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知定义域为正整数集的函数()f x 满足()()()()1,11f x y f x f y f +=++=，则数列()()(){}()11*nf n f n n N -+∈的前99项和为（ ）A ．19799-B ．19797-C ．19795-D ．19793-【答案】A 【解析】分析：通过()()()()1,11f x y f x f y f +=++=求出()f n ，再利用等差数列的求和公式即可求得答案. 详解：()()()()1,11f x y f x f y f +=++= 当1x y ==时，有()()()21113f f f =++=； 当2,1x y ==时，有()()()32115f f f =++=； 当2,2x y ==时，有()()()42217f f f =++=； …..()21f n n ∴=-.()()()()()()1112121nnf n f n n n ∴-+=--+，9913355779......193195195197197199S ∴=-⋅+⋅-⋅+⋅--⋅+⋅-⋅()()()13355779......193195195197197199=-⋅+⋅+-⋅+⋅++-⋅+⋅-⋅ 3474...1954197199=⋅+⋅++⋅-⋅()437...195197199=⋅+++-⋅()49319541971992+=⋅-⋅19799=-.故答案为：A.点睛：本题主要考查了数列求和以及通项公式的求法，考查计算能力与分析能力，属于中档题. 2．若命题“x R ∃∈，使21()10x a x <＋－＋”是假命题，则实数a 的取值范围为( ) A ．13a ≤≤ B ．13a ≤≤－ C ．33a ≤≤－ D ．11a ≤≤－【答案】B 【解析】【分析】若原命题为假，则否命题为真，根据否命题求a 的范围． 【详解】由题得，原命题的否命题是“x R ∀∈，使21()10x a x ≥＋－＋”， 即2(1)40a ∆=--≤，解得13a ≤≤－．选B. 【点睛】本题考查原命题和否命题的真假关系，属于基础题． 3．已知集合{}(,)|1,A x y y x x R ==+∈，集合{}2(,)|,B x y y x x R ==∈，则集合A B 的子集个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】D 【解析】 【分析】因为直线与抛物线有两个交点，可知集合的交集有2个元素，可知其子集共有22=4个. 【详解】由题意得，直线1y x =+与抛物线2y x 有2个交点，故A B 的子集有4个.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，子集的概念，属于中档题. 4．已知正实数a 、b 、c 满足log 22a =，311og 3b =，6192c =，则a 、b 、c 的大小关系是（） A ．a b c << B ．a c b << C ．c b a <<D ．b a c <<【答案】A 【解析】 【分析】计算出a b 、的值，然后考虑666a b c 、、的大小. 【详解】因为1263192,3,2a b c ===，所以666198,9,2a b c ===，则a b c <<，故选：A. 【点睛】指对式的比较大小，可以从正负的角度来分析，也可以从同指数的角度来分析大小. 5．设23342,log 5,log 5a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】 【分析】先根据1来分段，然后根据指数函数性质，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】 由于203221-<=，而344log 5log 5log 41>>=，故a c b <<，所以选A.【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于基础题.6．已知随机变量~,B n p （）ξ,且12, 2.4E D ξξ==,则n 与p 的值分别为A ．16与0.8B ．20与0.4C ．12与0.6D ．15与0.8【答案】D 【解析】 因为随机变量(),B n p ξ，且12, 2.4,12E D np ξξ==∴=，且()1 2.4np p -=，解得15,0.8n p ==，故选D. 7．数列中，则，则A ．B ．C ．D ．【答案】C 【解析】 【分析】 分别计算、、归纳出的表达式，然后令可得出的值。
辽宁省大连市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析
辽宁省大连市2019-2020学年数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某同学通过英语听力测试的概率为12，他连续测试n 次，要保证他至少有一次通过的概率大于0.9，那么n 的最小值是( ) A ．3B ．4C ．5D ．6 【答案】B【解析】【分析】由题意利用n 次独立试验中恰好发生k 次的概率计算公式以及对立事件发生的概率即可求得结果．【详解】 由题意可得，01110.92n n C ⎛⎫-⋅-> ⎪⎝⎭，求得10.12n ⎛⎫< ⎪⎝⎭，∴4n ≥， 故选B ．【点睛】本题主要考查n 次独立试验中恰好发生k 次的概率计算公式的应用，属于基础题．2．若函数，且，， 的最小值是，则的单调递增区间是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】本题首先要对三角函数进行化简，再通过 的最小值是推出函数的最小正周期，然后得出的值，最后得出函数的单调递增区间．【详解】再由，， 的最小值是可知，． 的单调递增区间为， ．【点睛】本题需要对三角函数公式的运用十分熟练并且能够通过函数图像的特征来求出周期以及增区间．3．已知实数x ，y 满足约束条件5001202x y y x y x ⎧⎪+-≥⎪-≥⎨⎪⎪--≤⎩，若不等式()()2212420a x xy a y -++-≥恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A ．73B ．53C 5D 6【答案】A【解析】【分析】【详解】 绘制不等式组表示的平面区域如图所示，考查目标函数y t x=，由目标函数的几何意义可知，目标函数在点()23C ，处取得最大值max 32y t x ==，在点A 或点B 处取得最小值min 1t =，即312t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，． 题中的不等式即：()2222224a x y x xy y +≤++，则：22222224421221x xy y t t a x y t ++++≤=++恒成立， 原问题转化为求解函数()2242131212t t f t t t ++⎛⎫=≤≤ ⎪+⎝⎭的最小值，整理函数的解析式有： ()22211112424221211131224112122t t t f t t t t t ⎛⎫ ⎪ ⎪⎛⎫ ⎪++- ⎪ ⎪=⨯=⨯+=+ ⎪ ⎪ ⎪++ ⎪⎝⎭-++ ⎪ ⎪-⎝⎭，令12m t =-，则112m ≤≤，令()34g m m m =+，则()g m 在区间132⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间31⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，上单调递增， 且()172124g g ⎛⎫== ⎪⎝⎭，，据此可得，当112m t ==，时，函数()g m 取得最大值，则此时函数()f t 取得最小值，最小值为：()2241211712113f ⨯+⨯+==⨯+．综上可得，实数a 的最大值为73．本题选择A 选项．【方法点睛】本题主要考查基本不等式，在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等．①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值．若等号不成立，则利用对勾函数的单调性解决问题．4．已知,a b ∈R ，则“0ab =”是“220a b +=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】【分析】根据充分性和必要性的判断方法来判断即可．【详解】当0ab =时，若1,0a b ==，不能推出220a b +=，不满足充分性；当220a b +=，则0a b ，有0ab =，满足必要性；所以“0ab =”是“220a b +=”的必要不充分条件．故选：B ．【点睛】本题考查充分性和必要性的判断，是基础题．5．把边长为a 的正ABC ∆沿BC 边上的高线AD 折成60的二面角,则点A 到BC 的距离是( ) A ．aB ．6aC ．33aD ．15a 【答案】D 【解析】【分析】取BC 中点O ，连接,AO DO ，根据垂直关系可知60BDC ∠=且AD ⊥平面BCD ，通过三线合一和线面垂直的性质可得BC DO ⊥，BC AD ⊥，从而根据线面垂直的判定定理知BC ⊥平面AOD ，根据线面垂直性质知AO BC ⊥，即AO 为所求距离；在Rt AOD ∆中利用勾股定理求得结果.【详解】取BC 中点O ，连接,AO DO ，如下图所示：AD 为BC 边上的高 CD AD ∴⊥，BD AD ⊥BDC ∴∠即为二面角的平面角，即60BDC ∠=且AD ⊥平面BCDABC ∆为正三角形 CD BD ∴= BCD ∴∆为正三角形又O 为BC 中点 BC DO ∴⊥AD ⊥平面BCD BC AD ∴⊥，AD DO ⊥ BC ∴⊥平面AOD又AO ⊂平面AOD AO BC ∴⊥AO ∴即为点A 到BC 的距离又3DO =，3AD = 2215AO DO AD ∴=+= 本题正确选项：D【点睛】本题考查立体几何中点到直线距离的求解，关键是能够通过垂直关系在立体图形中找到所求距离，涉及到线面垂直的判定定理和性质定理的应用，属于中档题.6．已知tan 3α=，则sin cos 22ππαα⎛⎫⎛⎫-⋅+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值为（ ） A ．310 B ．310- C ．35 D ．35【答案】B【解析】【分析】直接利用诱导公式以及同角三角函数基本关系式转化求解即可.【详解】解：因为tan 3α=，则2tan sin cos sin cos 221tan ππαααααα⎛⎫⎛⎫-⋅+=-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭339110=-=-+. 故选：B.【点睛】本题考查诱导公式以及同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力，属于基础题.7．独立性检验中，假设0H :运动员受伤与不做热身运动没有关系.在上述假设成立的情况下，计算得2K 的观测值7.236k ≈.下列结论正确的是A ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关B ．在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关C ．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动有关D ．在犯错误的概率不超过0.005的前提下，认为运动员受伤与不做热身运动无关【答案】A【解析】【分析】先找到2K 的临界值，根据临界值表找到犯错误的概率，即对“运动员受伤与不做热身运动没有关系”可下结论。
2019-2020学年辽宁省大连市数学高二下期末质量跟踪监视试题含解析
2019-2020学年辽宁省大连市数学高二(下)期末质量跟踪监视试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．在研究吸烟与患肺癌的关系中,通过收集数据、整理分析数据得 “吸烟与患肺癌有关”的结论,并且有99%以上的把握认为这个结论是成立 的,则下列说法中正确的是.A ．100个吸烟者中至少有99人患有肺癌B ．1个人吸烟,那么这人有99%的概率患有肺癌C ．在100个吸烟者中一定有患肺癌的人D ．在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有2．用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字且大于3000的四位数，这样的四位数有（ ） A ．250个B ．249个C ．48个D ．24个3．在△ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u vA ．3144AB AC -u u uv u u u vB ．1344AB AC -u u uv u u u vC ．3144+AB AC u u uv u u u vD ．1344+AB AC u u uv u u u v4．设双曲线C ：2221(0)3y x a a-=>的一个顶点坐标为（2，0），则双曲线C 的方程是（ ） A ．221163y x -= B ．221123y x -= C ．22183y x -=D ．22143x y -= 5．若d r =（4，2，3）是直线l 的方向向量，n r=（-1，3，0）是平面α的法向量，则直线l 与平面α的位置关系是 A ．垂直B ．平行C ．直线l 在平面α内D ．相交但不垂直6．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点F 作圆222x y a +=的切线FM （切点为M ），交y 轴于点P .若M 为线段FP 的中点，则双曲线的离心率是（ ）A ．2B C D7．已知函数()32f x x ax bx c =+++，那么下列结论中错误的是（ ） A ．若0x 是()f x 的极小值点，则()f x 在区间()0,x -∞上单调递减 B ．函数()y f x =的图像可以是中心对称图形 C ．0x R ∃∈，使()00f x =D ．若0x 是()f x 的极值点，则()00f x '=8．已知函数()(]()ln ,0,11,1,x x f x x x ⎧∈⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则()2f f ⎡⎤⎣⎦等于（ ） A ．-1B ．0C ．1D ．ln21-9．若函数()f x 对任意x ∈R 都有()()f x f x '>成立，则（ ） A ．3(5)5(3)f ln f ln > B ．3(5)5(3)f ln f ln = C ．3(5)5(3)f ln f ln <D ．3(5)f ln 与5(3)f ln 的大小不确定10．若关于x 的不等式2ln 0ax x x --≥恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(1,)+∞ B ．[)1,+∞C ．(,)e +∞D ．[),e +∞11．设复数21i x i=-（i 是虚数单位），则12233201920192019201920192019...C x C x C x C x++++=（ ） A ．i B ．i - C ．1i -+D ．1i --12．已知，，则有( )A ．B ．C ．D ．二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．若对甲、乙、丙3组不同的数据作线性相关性检验，得到这3组数据的线性相关系数依次为0.83,0.72，-0.90，则线性相关程度最强的一组是_______.（填甲、乙、丙中的一个）14．正方体1111A B C D ABCD -3P 是正方体表面上任意一点，集合{|2}P PA Ω=≤，满足Ω的点P 在正方体表面覆盖的面积为_________；15．曲线()ln f x x x =在x e =（其中e 为自然对数的底数）处的切线方程为______． 16．对于任意的实数,m n ,记min{,}m n 为,m n 中的最小值.设函数21()4f x x a x=++，()ln g x x =-，函数()min{(),()}h x f x g x =,若()h x 在(0,)+∞恰有一个零点,则实数a 的取值范围是 ____________. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设不等式()()0x y x y +-<表示的平面区别为D ．区域D 内的动点P 到直线0x y +=和直线0x y -=的距离之积为1．记点P 的轨迹为曲线C ．过点()22,0F 的直线l 与曲线C 交于A 、B 两点．（1）求曲线C 的方程；（1）若l 垂直于x 轴，Q 为曲线C 上一点，求QA QB ⋅u u u v u u u v的取值范围； （3）若以线段AB 为直径的圆与y 轴相切，求直线l 的斜率． 18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，132a =，2(1)1n n S n a =++（2n ≥）． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设21(1)n nb a =+（*n N ∈），数列{}n b 的前n 项和为n T ，证明：3350nT <（*n ∈N ）． 19．（6分）已知函数.（1）求不等式的解集；（2）记的最小值为，若正实数，，满足，求证：.20．（6分）甲、乙两班进行“一带一路”知识竞赛，每班出3人组成甲、乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错或不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为321,,432，乙队每人答对的概率都是23，设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分. (1)求2ξ=的概率；(2)求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率.21．（6分）设命题P ：对任意[0,1]x ∈，不等式2223x m m -≥-恒成立，命题:q 存在[1,1]x ∈-，使得不等式210x x m -+-≤成立.（1）若P 为真命题，求实数m 的取值范围；（2）若p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求实数m 的取值范围.22．（8分）《中华人民共和国道路交通安全法》第47条的相关规定：机动车行经人行横道时，应当减速慢行；遇行人正在通过人行横道，应当停车让行，俗称“礼让斑马线”，《中华人民共和国道路交通安全法》第90条规定：对不礼让行人的驾驶员处以扣3分，罚款50元的处罚．下表是某市一主干路口监控设备所抓拍的5个月内驾驶员不“礼让斑马线”行为统计数据： 月份 12345违章驾驶员人数1201051009085（1）请利用所给数据求违章人数少与月份x 之间的回归直线方程yb ˆˆˆx a =+； （2）预测该路口7月份的不“礼让斑马线”违章驾驶员人数；（3）交警从这5个月内通过该路口的驾驶员中随机抽查了50人，调查驾驶员不“礼让斑马线”行为与驾龄的关系，得到如下2×2列联表：不礼让斑马线礼让斑马线合计驾龄不超过1年22 8 30 驾龄1年以上8 12 20 合计30 20 50 能否据此判断有97.5%的把握认为“礼让斑马线”行为与驾龄有关？参考公式：()()()n ni i i ii1i1n n222i ii1i1x y nxy?x x y ybx nx?x xˆ====---==--∑∑∑∑，ˆa y bxˆ=-.()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++（其中n＝a+b+c+d）P（K2≥k）0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．D【解析】独立性检验是判断两个分类变量是否有关；吸烟与患肺癌是两个分类变量，通过收集数据、整理分析数据得“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有以上的把握认为这个结论是成立的．指的是得出“吸烟与患肺癌有关”这个结论正确的概率超过99％，即作出“吸烟与患肺癌有关”这个结论犯错的概率不超过1％；不能作为判断吸烟人群中有多少人患肺癌，以及1个人吸烟，这个人患有肺癌的概率的依据．故选D 2．C【解析】先考虑四位数的首位，当排数字4,3时，其它三个数位上课从剩余的4个数任选4个全排，得到的四位数都满足题设条件，因此依据分类计数原理可得满足题设条件的四位数共有3344243248A A+=⨯⨯⨯=个，应选答案C。
2019-2020学年辽宁省大连市数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题含解析
2019-2020学年辽宁省大连市数学高二第二学期期末质量跟踪监视试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，则不同的染色方法种数是( )A．420B．210C．70D．35【答案】A【解析】【分析】将不同的染色方案分为：AC相同和AC不同两种情况，相加得到答案.【详解】按照SABCD的顺序：⨯⨯⨯⨯=当AC相同时：染色方案为54313180⨯⨯⨯⨯=当AC不同时：染色方案为54322240不同的染色方案为：420种故答案为A【点睛】本题考查了加法原理和乘法原理，把染色方案分为AC相同和AC不同两种情况是解题的关键.2．若函数没有零点，则实数的取值范围是A．B．C．D．【答案】A【解析】【分析】将问题转化为曲线与直线没有交点，并将函数表示为分段函数的形式，并作出该函数的图象，分析直线的斜率与函数图象每段折线的斜率的大小关系，结合图象得出实数的取值范围。
【详解】因为函数没有零点，所以方程无实根， 即函数与的图像无交点， 如图所示，则的斜率应满足，故选：A 。
【点睛】本题考查绝对值函数的零点个数问题，解本题需注意： （1）零点个数问题转化为两个函数的公共点的个数问题； （2）含绝对值的函数一般利用零点分段法表示为分段函数。
3．已知,,a b c 分别是ABC ∆的内角,,A B C 的的对边，若cos cA b<，则ABC ∆的形状为（ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形C ．锐角三角形D ．等边三角形【答案】A 【解析】 【分析】由已知结合正弦定理可得sin sin cos A C B <利用三角形的内角和及诱导公式可得，sin()sin cos A B B A +<整理可得sin cos sin cos sin cos A B B A B A +<从而有sin cos 0A B <结合三角形的性质可求 【详解】 解：A 是ABC ∆的一个内角，0A π<<，sin 0cos A cA b∴>< 由正弦定理可得，sin sin cos C B A <sin()sin cos sin cos sin cos sin cos sin cos 0A B B AA B B A B A A B ∴+<∴+<∴< 又sin 0A >，cos 0B ∴<，即B 为钝角，故选A ． 【点睛】本题主要考查了正弦定理，三角形的内角和及诱导公式，两角和的正弦公式，属于基础试题．4．某西方国家流传这样的一个政治笑话：“鹅吃白菜，参议员先生也吃白菜，所以参议员先生是鹅”结论显然是错误的，是因为（ ） A ．大前提错误 B ．推理形式错误C ．小前提错误D ．非以上错误【答案】B 【解析】 【分析】根据三段论的推理形式依次去判断大前提和小前提，以及大小前提的关系，根据小前提不是大前提下的特殊情况，可知推理形式错误. 【详解】大前提：“鹅吃白菜”，不是全称命题，大前提本身正确，小前提：“参议员先生也吃白菜”本身也正确，但不是大前提下的特殊情况，鹅与人不能进行类比， 所以不符合三段论的推理形式，可知推理形式错误. 本题正确选项：B 【点睛】本题考查三段论推理形式的判断，关键是明确大小前提的具体要求，属于基础题.5．函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数且f （2）=0，则使f （x ）<0的x 的取值范围（ ） A ．（－∞，2）B ．（2，+∞）C ．（－∞，-2）∪（2，+∞）D ．（－2，2）【答案】D 【解析】 【分析】根据偶函数的性质,求出函数()0f x <在(－∞，0]上的解集,再根据对称性即可得出答案. 【详解】由函数()f x 为偶函数,所以()()220f f -==,又因为函数()f x 在(－∞，0]是减函数,所以函数()0f x <在(－∞，0]上的解集为(]2,0-,由偶函数的性质图像关于y 轴对称,可得在(0,+ ∞)上()0f x <的解集为(0,2),综上可得,() 0f x <的解集为(-2,2).故选:D. 【点睛】本题考查了偶函数的性质的应用,借助于偶函数的性质解不等式,属于基础题.6．已知,αβ为两个不同平面，l 为直线且l β⊥，则“αβ⊥”是“//l α”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】 【分析】当αβ⊥时，若l α⊂，则推不出//l α；反之//l α可得αβ⊥，根据充分条件和必要条件的判断方法，判断即可得到答案． 【详解】当αβ⊥时，若l α⊂且l β⊥，则推不出//l α，故充分性不成立； 当//l α时，可过直线l 作平面γ与平面α交于m ，根据线面平行的性质定理可得//l m ，又l β⊥，所以m β⊥， 又m α⊂，所以αβ⊥，故必要性成立， 所以“αβ⊥”是“//l α”的必要不充分条件． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判定，关键是掌握充分条件和必要条件的定义，判断p 是q 的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p 能否推得条件q ；二是由条件q 能否推得条件p ． 7．设复数z 满足|1|z i i =-+（i 为虚数单位），则复数z =（ ）A iB iC ．1D ．12i --【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的代数形式的乘除运算化简，求出数复数z ，即可得到答案. 【详解】复数z 满足|1|z i i =-+，则z i =，所以复数z i =.故选：A. 【点睛】本题考查复数的模、共轭复数的概念，考查运算求解能力.8．某班有6名班干部，其中4名男生，2名女生.从中选出3人参加学校组织的社会实践活动，在男生甲被选中的情况下，女生乙也被选中的概率为 A ．25B ．35C ．12D ．23【答案】A 【解析】 【分析】根据题目可知，分别求出男生甲被选中的概率和男生甲女生乙同时被选中的概率，根据条件概率的公式，即可求解出结果． 【详解】由题意知，设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，则2536101()202C P A C ===，14361()5C P AB C ==，所以()2()()5P AB P B A P A ==，故答案选A ． 【点睛】本题主要考查了求条件概率方法：利用定义计算()()()P AB P B A P A =，特别要注意()P AB 的求法． 9．某中学元旦晚会共由6个节目组成，演出顺序有如下要求：节目甲必须排在乙的前面，丙不能排在最后一位，该晚会节目演出顺序的编排方案共有( ) A ．720种 B ．600种C ．360种D ．300种【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分2步进行分析：①，将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，②，5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】解：根据题意，分2步进行分析：将除丙之外的5人排成一排，要求甲在乙的前面，有551602A ⨯=种情况， ② 5人排好后有5个空位可选，在其中任选1个，安排丙，有5种情况， 则有60×5＝300种不同的顺序， 故选D ． 【点睛】本题考查排列、组合的实际应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．10．某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有（ ） A ．1818A 种 B ．2020A 种C ．231031810A A A 种D ．218218A A 种【答案】D 【解析】 【详解】先排美国人和俄国人，方法数有22A 种，剩下18人任意排有1818A 种，故共有218218A A ⋅种不同的站法.11．欧拉公式cos sin ix e x i x =+（i 为虚数单位）是由著名数学家欧拉发明的，他将指数函数定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，根据欧拉公式，若将2i e π表示的复数记为z ，则(12)z i +的值为（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i + D ．2i -【答案】A 【解析】 【分析】根据欧拉公式求出2cos sin22iz e i i πππ==+=，再计算(12)z i +的值.【详解】∵2cossin22iz e i i πππ==+=，∴(12)(12)2z i i i i +=+=-+. 故选：A. 【点睛】此题考查复数的基本运算，关键在于根据题意求出z .12．已知随机变量8X ξ+=，若()~10,0.6X B ，则()E ξ，()D ξ分别为（ ） A ．6和2.4 B ．6和5.6C ．2和2.4D ．2和5.6【答案】C 【解析】 【分析】利用二项分布的数学期望和方差公式求出()E X 和()D X ，然后利用期望和方差的性质可求出()E ξ和()D ξ的值.【详解】()~10,0.6X B ，()100.66E X ∴=⨯=，()100.60.4 2.4D X =⨯⨯=.8X ξ+=，8X ξ∴=-，由期望和方差的性质可得()()()882E E X E X ξ=-=-=，()()()8 2.4D D X D X ξ=-==.故选：C. 【点睛】本题考查均值和方差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意二项分布的性质的合理运用． 二、填空题：本题共4小题 13．直线与圆交于两点，则________．【答案】【解析】 【分析】首先将圆的一般方程转化为标准方程，得到圆心坐标和圆的半径的大小，之后应用点到直线的距离求得弦心距，借助于圆中特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理求得弦长. 【详解】根据题意，圆的方程可化为，所以圆的圆心为，且半径是，根据点到直线的距离公式可以求得，结合圆中的特殊三角形，可知，故答案为.【点睛】该题考查的是有关直线被圆截得的弦长问题，在解题的过程中，熟练应用圆中的特殊三角形半弦长、弦心距和圆的半径构成的直角三角形，借助于勾股定理求得结果. 14．已知向量,a b 满足1,1a a b =⋅=-，则()2a a b ⋅-=______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用平面向量得数量积运算，则()222a a b a a b •-=-•，将1,1a a b =⋅=-，带入即可出答案【详解】()222213a a b a a b •-=-•=+=【点睛】本题考察平面向量数量积得基本运算15．已知函数f(x)＝,0(1),0x e k x k x k x ⎧-≤⎨-+>⎩是R 上的增函数，则实数k 的取值范围是________．【答案】1[,1)2【解析】 由题意可知010112k k e k k ->⎧∴≤<⎨-≤⎩，故答案为1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭. 16．一根木棍长为4m ，若将其任意锯为两段，则锯成的两段木棍的长度有一段大于3m 的概率为______． 【答案】12【解析】 【分析】试验的全部区域长度为4，基本事件的区域长度为2，代入几何概型概率公式即可得结果． 【详解】设“长为4m 的木棍”对应区间[]0,4，“锯成的两段木棍的长度有一段大于3m ”为事件A ， 则满足A 的区间为()0,1或()3,4， 根据几何概率的计算公式可得，()2142P A ==． 故答案为12． 【点睛】本题主要考查几何概型等基础知识，属于中档题． 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年辽宁省大连市数学高二(下)期末质量跟踪监视试题含解析
2019-2020学年辽宁省大连市数学高二(下)期末质量跟踪监视试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知线段AB 所在的直线与平面α相交于点B ，且与平面α所成的角为30°，AB =，C ，D 为平面α内的两个动点，且1BC =，30BAD ∠=︒，则C ，D 两点间的最小距离为（ ） A．1B ．1 CD1 【答案】D【解析】【分析】过A 作AO ⊥面α，垂足为O ，连结BO ，得到C 点的运动轨迹，以O 为原点，建立空间直角坐标系，在ADB ∆中，利用余弦定理得到动点D 的轨迹方程，从而得到B 、D 两点间距离的最小值，再得到C ，D 两点间的最小距离.【详解】如图，过A 作AO ⊥面α，垂足为O ，连结BO ， 根据题意，因为1BC =，所以C 在以B 为圆心，1为半径的圆上运动；以O 为原点与OB 垂直的方向为x 轴，以OB 为y 轴，以OA 为z 轴，建立空间直角坐标系， 则()0,0,0O，(00A ,，()0,3,0B ，因为D 为平面α内动点，所以设(),,0D x y在ADB ∆中，根据余弦定理可得222cos 2AD BD AB ADB AD BD+-∠=⋅ 即22223123cos30x y x y +++---︒=整理得2112y x =+， 平面α内，D 点在曲线2112y x =+上运动， 所以()2223BD x y =+-247y y =-+，()1y ≥所以当2y =时，2min 3BD =，即minBD =所以C ，D 1.故选：D.【点睛】本题考查圆上的点到曲线上点的距离的最值，考查求动点的轨迹方程，余弦定理解三角形，属于中档题. 2．已知随机变量Z 服从正态分布N （0，2σ ）,若P(Z>2)=0.023,则P(-2≤Z≤2)=A ．0.477B ．0.625C ．0.954D ．0.977【答案】C【解析】 因为随机变量服从正态分布,所以正态曲线关于直线对称,又,所以, 所以0.954,故选C. 【命题意图】本题考查正态分布的基础知识,掌握其基础知识是解答好本题的关键.3．已知函数()f x 在区间[,]a b 上的图像是连续不断的一条曲线，命题p ：总存在(,)c a b ∈，有()0f c =；命题q ：若函数()f x 在区间(,)a b 上有()(0)f a f b <，则p 是q 的（ ）A ．充要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要 【答案】C【解析】【分析】利用充分、必要条件的定义及零点存在性定理即可作出判断.【详解】命题p 推不出命题q ，所以充分性不具备；比如：()2f x x =，区间为[]3,2-，满足命题p ，但()()320f f -＞， 根据零点存在性定理可知，命题q 能推出命题p ，所以必要性具备；故选：C【点睛】本题考查充分必要条件，考查零点存在性定理，属于基础题.4．函数32()3f x x x m =-+在区间[]1,1-上的最大值是2，则常数m =（ ）A ．-2B ．0C ．2D ．4【答案】C【解析】分析：求出函数的导数，得到函数的单调区间，求出函数的最大值是0f m =（），则m 值可求． 详解：32f x x x '=-（）（），令0f x '（）＞，解得：2x ＞或0x ＜， 令0f x '（）＜，解得：02x ＜＜， ∴()f x 在[10-，）递增，在[]01，递减，02max f x f m ∴===（）（） ， 故答案为：2点睛：本题考查利用导数求函数在闭区间上的最值，考查了导数的综合应用，属于基础题．5．目前，国内很多评价机构经过反复调研论证，研制出“增值评价”方式。
辽宁省大连市2020年新高考高二数学下学期期末质量跟踪监视试题
同步测试一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数2y x 在点1x =处的导数是（ ）．A ．0B ．1C ．2D ．32．i 是虚数单位，若12(,)1ia bi ab R i+=+∈+，则+a b 的值是 （ ） A ．12-B ．2-C ．2D ．123．设i 为虚数单位，则复数56ii-= ( ) A ．65i +B ．65i -C ．65i -+D ．65i --4．已知点P 的极坐标是π2,6⎛⎫⎪⎝⎭，则过点P 且平行极轴的直线方程是( ) A ．ρ1= B ．ρsin θ=C ．1ρsin θ=-D ．1ρsin θ=5．已知11252f x x ⎛⎫-=-⎪⎝⎭，且()6f a =，则a 等于( ) A ．74 B ．74-C ．43D ．43-6．已知复数满足(13)z i i =-，则z 共轭复数z =( ) A ．3i +B ．13i +C ．13i -D ．3i -7．设复数z 满足(1)3i z i -=+，则||z =( ) A ．2 B ．3C ．5D ．68．设曲线ln 1xy x =+在点(1,0)处的切线与直线10x ay -+=垂直，则a =（ ） A ．12-B ．12C ．-2D ．29．在200件产品中有3件次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ） A ．233197C C 种B ．()5142003197C C C -种 C ．233198C C 种D ．()233231973197C C C C +种10．如图，已知函数cos ()xf x x=，则它在区间[],ππ-上的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．11．针对时下的“抖音热”，某校团委对“学生性别和喜欢抖音是否有关”作了一次调查，其中被调查的女生人数是男生人数的，男生喜欢抖音的人数占男生人数的，女生喜欢抖音的人数占女生人数，若有的把握认为是否喜欢抖音和性别有关，则男生至少有（ ） 参考公式：0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.0012.7063.8415.0246.6357.87910.828A ．12人B ．18人C ．24人D ．30人12．有6位同学按照身高由低到高站成一列，现在需要在该队列中插人另外7位同学，但是不能改变原来的6位同学的顺序，则所有排列的种数为（ ） A ．6767A A +B ．613CC ．613AD ．713A二、填空题：本题共4小题13．在复平面上，复数z 对应的点为(2,1)A -，则|1|z +=________.14．已知函数()22xsin x tanx,x 0f x e ,x 0-⎧-<=⎨≥⎩，则25πf f 4⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=______． 15．已知集合{}1,2,3,4A =，集合{}3,4,5B =，则A B =_______.16．若1a b +=，(),a b R+∈，则11ab+的最小值为__________． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
辽宁省大连市2020-2021学年高二下学期期末考试数学试卷 (含答案)
大连市2020-2021学年第二学期期末考试试卷高二数学一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符号题目要求。
1. 已知集合{}23M x N x =∈-<<，{}260N x x x =+-<，则M N =（ ） A. {}33x x -<< B. {}22x x -<< C. {}0,1 D. {}0,1,22. 设命题2:,2np n N n ∃∈>，则p ⌝为（ ）A. 2,2n n N n ∃∈≤B. 2,2n n N n ∃∈=C. 2,2n n N n ∀∈>D. 2,2n n N n ∀∈≤3. 造纸术是我国古代四大发明之一，纸张的规格是指纸张制成后，经过修整切边，裁成一定的尺寸，现在我国采用国际标准，拟定以A0，A1，…，A10；B0，B1，…，B10等标记来表示纸张的幅面规格，其中A 系列的幅面规格为①A0规格的纸张的幅宽（以x 表示）和长度（以y 表示）的比例关系为:x y =A0纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A1规格，A1纸张沿长度方向对开成两等分，便成为A2规格，…，如此对开至A8规格。
若A4纸的面积为2624cm ，则A8纸的面积为（ ）A. 239cmB. 278cmC. 24992cmD. 29984cm4. 对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）A. 24310r r r r <<<<B. 42130r r r r <<<<C. 42310r r r r <<<<D. 24130r r r r <<<<5. 已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且550S =，756S =，则12S =（ ）A. 106B. 53C. 48D. 366. 为适应人民币流通使用的发展变化，提升人民币整体防伪能力，保持人民币系列化，中国人们银行发行了2019年版第五套人民币50元、20元、10元、1元纸币和1元、5角、1角硬币，同时升级了原有的验钞机。
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2020年辽宁省大连市数学高二第二学期期末教学质量检测试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知函数()f x 满足()(2)f x f x =-，与函数|1|y x =-图象的交点为1122(,),(,),,(,)m m x y x y x y ，则12m x x x +++=（ ） A ．0B ．mC ．4mD ．2m 【答案】B【解析】【分析】由题意知函数()y f x =的图象和函数1y x =-的图象都关于直线1x =对称，可知它们的交点也关于直线1x =对称，于此可得出12m x x x +++的值。
【详解】设12m x x x <<<，由于()()2f x f x =-，则函数()y f x =的图象关于直线1x =对称， 且函数1y x =-的图象也关于直线1x =对称，所以，函数()y f x =与函数1y x =-的交点也关于直线1x =对称，所以，1212m m x x x x -+=+==， 令12m S x x x =+++，则11m m S x x x -=+++， 所以，()()()1211222m m m S x x x x x x m m -=++++++=⋅=，因此，S m =，故选：B.【点睛】 本题考查函数的交点坐标之和，考查函数图象的应用，抓住函数图象对称性是解题的关键，同时也要注意抽象函数关系与性质之间的关系，如下所示：（1）()()()0f x f x a a =+≠，则函数()y f x =的周期为a ；（2）()()2f a x f x -=或()()f a x f a x -=+，则函数()y f x =的对称轴为直线x a =； （3）()()22f x f a x b +-=，则函数()y f x =的对称中心为(),a b .2． “4x ≥”是“2230x x -->”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先解一元二次不等式，再根据集合的包含关系判断充分条件、必要条件；解：因为2230x x -->，所以3x >或1x <-，即()(),13,x ∈-∞-+∞ 因为[)4,+∞ ()(),13,-∞-+∞，所以“4x ≥”是“2230x x -->”的充分不必要条件，故选：A【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，充分条件、必要条件的判定，属于基础题.3．角α的终边与单位圆交于点55⎛- ⎝⎭,则cos2=α（ ） A ．15 B ．-15 C ．35 D ．35【答案】D【解析】【分析】根据三角函数的定义，求得cos 5α=，再由余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由题意，角α的终边与单位圆交于点⎝⎭,1=，由三角函数的定义，可得cos α=，则223cos 22cos 1215αα=-=⨯-=-， 故选D.【点睛】本题主要考查了三角函数的定义，以及余弦的倍角公式的化简、求值，其中解答中熟记三角函数的定义，以及余弦的倍角公式，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.4．5(12)x +的展开式中2x 的系数为（ ）A ．100B ．80C ．60D ．40 【答案】D【解析】【分析】由二项式项的公式，直接得出x 2的系数等于多少的表达式，由组合数公式计算出结果选出正确选项．因为5(12)x +的展开式中含2x 的项为2225C (2)40x x =,故2x 的系数为40.故选：D【点睛】本题考查二项式系数的性质，根据项的公式正确写出x 2的系数是解题的关键，对于基本公式一定要记忆熟练．5．有3位男生，3位女生和1位老师站在一起照相，要求老师必须站中间，与老师相邻的不能同时为男生或女生，则这样的排法种数是（ ）A ．144B ．216C ．288D ．432【答案】D【解析】先排与老师相邻的:11233218C C A = ,再排剩下的：44A ,所以共有4418432A = 种排法种数，选D. 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——间接法. 6．某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有A ．72种B ．36种C ．24种D ．18种【答案】B【解析】【分析】根据条件2名内科医生，每个村一名，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，根据排列组合进行计算即可．【详解】2名内科医生，每个村一名，有2种方法，3名外科医生和3名护士，平均分成两组，要求外科医生和护士都有，则分1名外科，2名护士和2名外科医生和1名护士，若甲村有1外科,2名护士,则有，其余的分到乙村， 若甲村有2外科,1名护士,则有，其余的分到乙村， 则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种， 故选：B.【点睛】本题主要考查了分组分配问题，解决这类问题的关键是先分组再分配，属于常考题型.7．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（ ） A ．310 B ．25 C ．35 D ．710【答案】C【解析】分析：先根据组合数确定随机选取两个节日总事件数，再求春节和端午节恰有一个被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.详解：因为五个中国传统节日中，随机选取两个节日共有2510C =种，春节和端午节恰有一个被选中的选法有11236C C =,所以所求概率为63.105= 选C. 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法(1)列举法.(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.8．设平面向量()()2,1,0,2a b ==-，则与+2a b 垂直的向量可以是（ ）A ．()4,6-B ．()4,6C ．()3,2-D ．()3,2【答案】D【解析】分析：先由平面向量的加法运算和数乘运算得到2a b +，再利用数量积为0进行判定．详解：由题意，得2(2,3)a b +=-，因为42(6)(3)26⨯+-⨯-=，426(3)10⨯+⨯-=-， 32(2)(3)12⨯+-⨯-=，322(3)0⨯+⨯-=，故选D ．点睛：本题考查平面向量的坐标运算、平面向量垂直的判定等知识，意在考查学生的逻辑思维能力和基本计算能力．9．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，若()1a f =-，142log b f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()0.32c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c b a <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．a b c <<【答案】B【解析】【分析】 利用函数奇偶性和单调性可得，距离y 轴近的点，对应的函数值较小，可得选项.【详解】因为函数()f x 满足()()f x f x -=，且函数()f x 在(),0-∞上是减函数，所以可知距离y 轴近的点，对应的函数值较小；2221log log 224-==-，0.30221>=且0.31222<=，所以b c a >>，故选B. 【点睛】本题主要考查函数性质的综合应用，侧重考查数学抽象和直观想象的核心素养.10．已知不等式201x x +<+的解集为{|}x a x b <<，点(),A a b 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则21m n+的最小值为（ ）A ．B ．8C ．9D ．12【答案】C 【解析】试题解析：依题可得不等式201x x +<+的解集为{|21}x x -<<-，故()2,1A --，所以210m n --+=即21m n +=， 又0mn >，则()212122=2559n m m n m n m n m n ⎛⎫+++=++≥+= ⎪⎝⎭当且仅当13m n ==时上式取等号， 故选C考点：分式不等式的解法，基本不等式的应用11．已知奇函数()f x 在R 上是单调函数，函数()f x '是其导函数，当0x >时，1()ln ()f x x f x x'<-，则使()0f x >成立的x 的取值范围是（）A ．(,0)-∞B ．(1,0)-C ．(0,1)D ．(0,)+∞ 【答案】A【解析】【分析】将不等式变形，并构造函数()()ln g x f x x =⋅，利用导函数可判断在0x >时()f x 的取值情况；根据奇函数性质，即可判断当0x <时()f x 的符号，进而得解.【详解】当0x >时，1()ln ()f x x f x x '<-，即1()ln ()0f x x f x x '+<； 令()()ln g x f x x =⋅，则()()()1ln g x f x x f x x'='⋅+， 由题意可知()0g x '<，即()()ln g x f x x =⋅在0x >时单调递减，且()()11ln10g f =⋅=， 所以当01x <<时，()()ln 0g x f x x =⋅>，由于此时ln 0x <，则()0f x <不合题意；当1x >时，()()ln 0g x f x x =⋅<，由于此时ln 0x >，则()0f x <不合题意；由以上可知0x >时()0f x <，而()f x 是R 上的奇函数，则当0x <时，()0f x >恒成立，所以使()0f x >成立的x 的取值范围为(,0)-∞，故选：A.【点睛】本题考查了导数与函数单调性的关系，利用构造函数法分析函数单调性，奇函数性质解不等式，属于中档题.12．已知回归直线方程中斜率的估计值为1.23，样本点的中心()4,5，则回归直线方程为（ ）A ． 1.2308ˆ.0yx =+ B ．0.0813ˆ.2y x =+ C ． 1.234ˆyx =+ D ． 1.235ˆyx =+ 【答案】A【解析】【分析】 由题意得在线性回归方程ˆy bx a =+中 1.23b =，然后根据回归方程过样本点的中心得到a 的值，进而可得所求方程．【详解】设线性回归方程ˆy bx a =+中，由题意得 1.23b =，∴ 1.23ˆy x a =+．又回归直线过样本点的中心()4,5，∴5 1.234a =⨯+，∴0.08a =，∴回归直线方程为 1.2308ˆ.0yx =+． 故选A ．【点睛】本题考查线性回归方程的求法，其中回归直线经过样本点的中心时解题的关键，利用这一性质可求回归方程中的参数，也可求样本数据中的未知参数，属于基础题．二、填空题：本题共4小题13．关于曲线C ：11221x y +=，给出下列五个命题： ①曲线C 关于直线y =x 对称； ②曲线C 关于点1144⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称； ③曲线C 上的点到原点距离的最小值为2； ④当01x x ≠≠且时，曲线C 上所有点处的切线斜率为负数；⑤曲线C 与两坐标轴所围成图形的面积是16. 上述命题中，为真命题的是_____.（将所有真命题的编号填在横线上）【答案】①③④⑤【解析】【分析】对每一个命题逐一分析判断得解.【详解】对于①：曲线方程为1,(01,01)x y x y +=，交换x ，y 的位置后曲线方程不变，所以曲线C 关于直线y x =对称，故该命题是真命题；对于②：在第一象限内，因为点1(4，1)4在曲线上，由图象可知曲线在直线1y x =-+的下方， 且为凹函数如图，所以曲线C 不关于点1144（，）对称，故该命题是假命题；对于③：||OP 的最小值为22112+=444（）（），故该命题是真命题； 对于④：因为函数为凹函数，所以当0x ≠，1时，曲线C 上所有点处的切线斜率为负值，所以该命题是真命题；对于⑤：曲线C 与两坐标轴所围成图形的面积设为S ，则112001(1)(21)6S x dx x x dx =-=-+=⎰⎰，故该命题正确. 故答案为：①③④⑤【点睛】本题主要考查函数图像的对称问题，考查定积分的计算，考查函数的最值的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.14．如图，在ABC ∆中，2BC =，AB 6=，23ACB π∠=，点E 在边AB 上，且ACE BCE ∠=∠，将射线CB 绕着C 逆时针方向旋转6π，并在所得射线上取一点D ，使得31CD =-，连接DE ，则CDE ∆的面积为__________．【答案】335【解析】【分析】 由余弦定理求得31AC =，再结合正弦定理得2sin 2BAC ∠=，进而得62sin sin 34AEC ππ+⎛⎫∠=+= ⎪⎝⎭，得423CE =- 【详解】由2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-⋅∠，得2220AC AC +-=，解得31AC =. 因为sin sin BC AB BAC ACB =∠∠，所以2sin 2BAC ∠=，4BAC π∠=， 所以()62sin sin sin 34AEC ACE BAC ππ+⎛⎫∠=∠+∠=+=⎪⎝⎭. 又因为sin sin CE AC BAC AEC=∠∠，所以43CE =-因为2ECD BCE BCD π∠=∠+∠=，所以13352DCE S CE CD ∆=⋅=.故答案为335- 【点睛】 本题考查正弦定理、余弦定理的应用，考查运算求解能力，是中档题 15．已知点M 抛物线24y x =上的一点，F 为抛物线的焦点，点A 在圆()()22:311C x y -+-=上，则MA MF +的最小值________．【答案】3【解析】【分析】由题得抛物线的准线l 方程为1x =-，过点M 作MN l ⊥于N ，根据抛物线的定义将问题转化为MA MN +的最小值，根据点A 在圆C 上，判断出当、、C N M 三点共线时，MA MN +有最小值，进而求得答案.【详解】由题得抛物线的准线l 方程为1x =-，过点M 作MN l ⊥于N ，又MN MF =，所以=MA MF MA MN ++，因为点A 在圆()()22:311C x y -+-=上，且()3,1C ，半径为1r =，故当、、C N M 三点共线时，()min 413MA MN CN r +=-=-=，所以MA MF +的最小值为3.故答案为：3【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程与定义，与圆有关的最值问题，考查了学生的转化与化归的思想. 16．下列随机变量中不是离散型随机变量的是__________（填序号）．①某宾馆每天入住的旅客数量是X ；②某水文站观测到一天中珠江的水位X ；③西部影视城一日接待游客的数量X ；④阅海大桥一天经过的车辆数是X .【答案】②【解析】【分析】利用离散型随机变量的定义直接求解．【详解】①③④中的随机变量X 的所有取值，我们都可以按照一定的次序一一列出，因此它们是离散型随机变量； ②中随机变量X 可以取某一区间内的一切值，但无法按一定次序一一列出，故不是离散型随机变量． 故答案为：②【点睛】本题考查离散型随机变量的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的定义的合理运用，比较基础．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。