高中数学 电子题库 2.1 圆锥曲线知能演练轻松闯关 苏教版选修21

苏教版数学选修2-1电子题库 2.1 圆锥曲线
1.已知点A (－1，0)，B (1，0)，动点P 满足PA ＋PB ＝3，则动点P 的轨迹是________． 解析：由PA ＋PB ＝3>AB 结合椭圆的定义有：动点P 的轨迹是以A (－1，0)，B (1，0)为焦点的椭圆．
答案：以A (－1，0)，B (1，0)为焦点的椭圆
2.已知点A (－2，0)，B (2，0)，动点M 满足|MA －MB |＝4，则动点M 的轨迹为________． 解析：动点M 满足|MA －MB |＝4＝AB ，结合图形思考判断动点M 的轨迹为直线AB (不包括线段AB 内部的点)上的两条射线．
答案：直线AB (不包括线段AB 内部的点)上的两条射线
3.到两定点F 1(0，－10)，F 2(0，10)的距离之和为20的动点M 的轨迹是________． 解析：MF 1＋MF 2＝20＝F 1F 2，故动点M 为线段F 1F 2上任意一点，即动点M 的轨迹是线段F 1F 2.
答案：线段F 1F 2
4.到定点(2，1)和定直线x ＋2y －4＝0的距离相等的点的轨迹是________． 解析：点(2，1)在直线x ＋2y －4＝0上，不符合抛物线定义．
答案：过点(2，1)且和直线x ＋2y －4＝0垂直的直线 5.(2012·马鞍山学业水平测试)已知动点P (x ，y )满足（x ＋2）2＋y 2－
（x －2）2＋y 2＝2，则动点P 的轨迹是________．
解析： （x ＋2）2＋y 2－（x －2）2＋y 2＝2即动点P (x ，y )到两定点(－2，0)，(2，
0)的距离之差等于2，由双曲线定义知动点P 的轨迹是双曲线的一支．
答案：双曲线的一支
[A 级 基础达标]
1.动点M 到定点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，0，B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－12，0的距离之和是2，则动点M 的轨迹是________． 解析：根据椭圆的定义判断，要注意定义中的“常数”是否大于AB .
答案：椭圆
2.已知F 1(－8，3)，F 2(2，3)，动点P 满足PF 1－PF 2＝10，则点P 的轨迹是________． 解析：由于两点间的距离为10，所以满足条件PF 1－PF 2＝10的点P 的轨迹应是一条射线．
答案：一条射线
3.动点P 到直线x ＋2＝0的距离减去它到M (1，0)的距离之差等于1，则动点P 的轨迹是________．
解析：将直线x ＋2＝0向右平移1个长度单位得到直线x ＋1＝0，则动点到直线x ＋1＝0的距离等于它到M (1，0)的距离，由抛物线定义知：点P 的轨迹是以点M 为焦点的抛物线．
答案：以点M 为焦点的抛物线
4.动点P 到定点A (0，－2)的距离比到定直线l ：y ＝10的距离小8，则动点P 的轨迹为________．
解析：将直线l ：y ＝10沿y 轴向下平移8个单位，得到直线l ′：y ＝2，则动点P 到
A(0，－2)的距离等于到定直线l′：y＝2的距离，故点P的轨迹为抛物线．答案：抛物线
5.已知椭圆的焦点是F1、F2，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q使得PQ＝PF2，则动点Q的轨迹是________．
解析：由P是椭圆上的一点，根据椭圆的定义，则PF1＋PF2＝定值，而PQ＝PF2，则QF1＝PF1＋PQ＝PF1＋PF2＝定值，所以点Q的轨迹是以F1为圆心的圆．
答案：圆
6.设定点F1(0，－3)，F2(0，3)，动点P满足条件PF1＋PF2＝a(a>0)，试求动点P的轨迹．
解：当a＝6时，PF1＋PF2＝a＝F1F2，所以点P的轨迹为线段F1F2.
当a>6时，PF1＋PF2＝a>F1F2，所以点P的轨迹为椭圆．
当0<a<6时，PF1＋PF2＝a<F1F2，所以点P的轨迹不存在．
7.若动点P到两个定点F1(－1，0)、F2(1，0)的距离之差的绝对值为定值a(0≤a≤2)，试求动点P的轨迹．
解：当a＝0时，|PF1－PF2|＝0，从而PF1＝PF2，所以点P的轨迹为直线：线段F1F2的垂直平分线．
当a＝2时，|PF1－PF2|＝2＝F1F2，所以点P的轨迹为两条射线．
当0<a<2时，|PF1－PF2|＝a<F1F2，所以点P的轨迹是以F1、F2为焦点的双曲线．
[B级能力提升]
8.过已知圆B内一个定点A作圆C与已知圆相切，则圆心C的轨迹是________．
解析：分A点与B点是否重合两种情况讨论．
答案：圆或椭圆
9.若点M到定点F和到定直线l的距离相等，则下列说法正确的是________．
①点M的轨迹是抛物线；
②点M的轨迹是一条与x轴垂直的直线；
③点M的轨迹是抛物线或一条直线．
解析：当点F不在直线l上时，点M的轨迹是以F为焦点、l为准线的抛物线；而当点F在直线l上时，点M的轨迹是一条过点F，且与l垂直的直线．
答案：③
10.求满足下列条件的动圆圆心M的轨迹．
(1)与⊙C：(x＋2)2＋y2＝2内切，且过点A(2，0)；
(2)与⊙C1：x2＋(y－1)2＝1和⊙C2：x2＋(y＋1)2＝4都外切；
(3)与⊙C1：(x＋3)2＋y2＝9外切，且与⊙C2：(x－3)2＋y2＝1内切．
解：设动圆M的半径为r.
(1)∵⊙C与⊙M内切，点A在⊙C外，
∴MC＝r－ 2.
∴MA＝r，∴MA－MC＝2，
且2<4.∴点M的轨迹是以C，A为焦点的双曲线的一支．
(2)∵⊙M与⊙C1，⊙C2都外切，
∴MC1＝r＋1，MC2＝r＋2.∴MC2－MC1＝1，且1<2.
∴点M的轨迹是以C2，C1为焦点的双曲线的一支．
(3)∵⊙M与⊙C1外切，且与⊙C2内切，
∴MC1＝r＋3，MC2＝r－1.∵MC1－MC2＝4，且4<6，
∴点M的轨迹是以C1，C2为焦点的双曲线的一支．
11.(创新题)已知定直线l及定点A(A不在l上)，n为过点A且垂直于l的直线，设N 为l上任意一点，线段AN的垂直平分线交n于B，点B关于AN的对称点为P，求证：点P 的轨迹为抛物线．
证明：如图所示，建立平面直角坐标系，并且连结PA，PN，NB.
由题意知PB垂直平分AN，
且点B关于AN的对称点为P，
∴AN也垂直平分PB.
∴四边形PABN为菱形，
∴PA＝PN.
∵AB⊥l，∴PN⊥l.
故点P符合抛物线上点的条件：到定点A的距离和到定直线l的距离相等，∴点P的轨迹为抛物线．。