2018届 浙江省温州中学高三上学期期中理科数学试卷及答案

2018学年第一学期温州中学高三期中考试数学（理科）试卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1.已知复数11zi z+=-，则z 的虚部为( ) A ．1 B.－1 C. i D. －i2. 设{}{}R x y y Q R x x y y P x ∈==∈+-==,2,,12，则（ ） A.Q P ⊆ B.P Q ⊆ C.Q P C R ⊆D.P C Q R ⊆3.命题甲：2≠x 或3≠y ；命题乙：5≠+y x ，则甲是乙的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分条件也不必要条件 4.已知函数()sin(2)3f x x π=+，则下面说法错误．．的是( ) A ．()f x 在(0,)4π上是增函数 B ．()f x 的最小正周期为πC ．()f x 的图象向右平移6π个单位得到曲线sin 2y x =D ．512x π=-是()f x 图象的一条对称轴5.已知数列，若利用 如图所示的程序框图计算该数列的第10项， 则判断框内的条件是（ ） A ． B ． C ． D ．6.如图是一个几何体的三视图，根据图中的数据， 可得该几何体的体积是( )A. 2 B .4 C .5 D .7 7.设变量x ，y 满足约束条件222y x x y x ⎧⎪⎨⎪⎩≥＋≤≥－，则z ＝x －3y 的最小值与最大值分别为( )A ．－8，4B ．－34，0 C ．－8，－34 D ．－34，4 8.已知正四棱柱1111ABCD A BC D -中，12,AB CC ==E 为1CC 的中点，则直线1AC 与平面BED 的距离为( )A ．2B ．．1 9.函数y =给定的数中可能是该等比数列的公比的是( )A ．13B ．2C ．3 D1 10.定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在),0(+∞上至少有三个零点，则a 的取值范围是 （ ） A ．)22,0( B ．)33,0( C ．)55,0( D ．)66,0( 二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11.已知焦点在y轴上的双曲线的焦距为则双曲线的标准方程为12.已知实数a b 、满足21a b +=，则2a ab +的最大值为 13.已知数列{}n a 是单调递增的等差数列， 从7654321,,,,,,a a a a a a a 中取走任意三项， 则剩下四项依然构成单调递增的等差数列的概率= 14.若椭圆中心为坐标原点，焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为,A B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是15.如图，在半径为1的扇形AOB 中，︒=∠60AOB ，C 为弧上的动点，AB 与OC 交于点P ，则OP BP ⋅的最小值是16.若9290129(23)x a a x a x a x +=++++ ，则213579(3579)a a a a a ++++-2(2a +2468468)=a a a ++17.椭圆22a x +22b y =1(a>b>0)上一点A 关于原点的对称点为B ，F 为其右焦点，若AF ⊥BF ，设∠ABF=α，且α∈[12π,4π]，则该椭圆离心率的取值范围为第15题图2018学年第一学期温州中学高三期中考试数学（理科）答题卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18.已知ABC ∆的内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，且1cos 2a C cb +=. (1)求角A 的大小；(2)若2bc =，求边长a 的最小值．19.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且对任意n N +∈，有21143(21)3n n n a S +-=+， (1)求4n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式； (2)求数列22n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．20.如图在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是边长为a 的正方形, 侧面PAD ⊥底面ABCD，且2PA PD AD ==, 设E 、F 分别为PC 、BD 的中点． (1) 求证：EF //平面PAD ； (2) 求证：面PAB ⊥平面PDC ； (3) 求二面角B PD C --的正切值．BA21.如图，已知曲线221:1(||1)C x y x +=<，22:81(||1)C x y x =+≥，动直线l 与1C 相切，与2C 相交于,A B 两点，曲线2C 在,A B 处的切线相交于点M .（1）当MA MB ⊥时，求直线l 的方程；（2）试问在y 轴上是否存在两个定点12,T T ，当直线12,MT MT 斜率存在时，两直线的斜率 之积恒为定值？若存在，求出满足的12,T T 点 坐标；若不存在，请说明理由.M第21题图22.已知函数1()x a x f x e-=（a 为常数）.(1)当0a>时,求()f x 的极值；(2) 设函数32()g x x ax x =-+，若[]1,1x ∈-时,()()f x g x ≤恒成立,求a 的取值范围.2018学年第一学期温州中学高三期中考试数学（理科）参考答案一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ACBABAADBB二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11. 2212x y -= 12. 1413. 17 14. 22154x y += 15. 116- 16. 28185⋅17. 23⎣⎦三、解答题（本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 18. 解：（1）1sin cos sin sin sin()sin cos cos sin 2A C CB AC A C A C +==+=+ ∴1sin cos sin 2C A C =，∴ 1cos 23A A π=⇒= （2） 222222cos 22a b c bc A b c bc bc bc bc =+-=+-≥-==a ≥边长a19. 解：（1）当1n =时，311143(21)3a S -=+ 得13a = 当2n ≥时 由21143(21)3n n n a S +-=+ ①BA得2111143(21)3n n n a S ----=+ ② ①-②得2114432n n n n a a a ----= 即21142n n n a a --=+化为111442n n n n a a --=+ 数列4n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以34为首项，以12为公差的等差数列，311(1)44224n n a n n =+-⨯=+ 11424n n a n =+ （2）由（1）得：2(21)22nn n a n -=+ 231325272(21)2(21)2n n n T n n -=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅ 23412325272(21)2(21)2n n n T n n +⋅=⋅+⋅+⋅++-⋅++⋅ 34116222(21)2n n n T n ++-=++++-+⋅ 1(21)22n n T n +=-⋅+20. 法一：(Ⅰ)证明：ABCD 为平行四边形 连结AC BD F = ，F 为AC 中点，E 为PC 中点∴在CPA ∆中EF //PA且PA ⊆平面PAD ，EF ⊄平面PAD ∴PAD EF 平面// (Ⅱ)证明：因为面PAD ⊥面ABCD 平面PAD 面ABCD AD =ABCD 为正方形，CDAD ⊥，CD ⊂平面ABCD所以CD ⊥平面PAD ∴CD PA ⊥又PA PD AD ==，所以PAD ∆是等腰直角三角形， 且2PAD π∠=即PA PD ⊥ CD PD D = ，且CD 、PD ⊆面ABCD PA ⊥面PDC又PA ⊆面PAB 面PAB ⊥面PDC (Ⅲ) 【解】：设PD 的中点为M ,连结EM ,MF ,则EM PD ⊥由(Ⅱ)知EF ⊥面PDC , EF PD ⊥，PD ⊥面EFM ，PD MF ⊥，EMF ∠是二面角B PD C --的平面角Rt FEM ∆中，124EF PA == 1122EM CD a ==4tan 12EF EMF EM a ∠===故所求二面角的正切值为2 法二：如图,取AD 的中点O , 连结OP ,OF .∵PA PD =, ∴PO AD ⊥. ∵侧面PAD ⊥底面ABCD ,PAD ABCD AD ⋂=平面平面,∴PO ABCD ⊥平面,而,O F 分别为,AD BD 的中点,∴//OF AB , 又ABCD 是正方形,故OF AD ⊥. ∵PA PD AD ==,∴PA PD ⊥,2a OP OA ==.以O 为原点,直线,,OA OF OP 为,,x y z 轴建立空间直线坐标系,则有(,0,0)2a A ,(0,,0)2a F ,(,0,0)2a D -,(0,0,)2a P ,(,,0)2a B a ,(,,0)2aC a -. ∵E 为PC 的中点, ∴(,,)424a a aE -（Ⅰ）证明：易知平面PAD 的法向量为(0,,0)2a OF = 而(,0,)44a aEF =- ,且(0,,0)(,0,)0244a a aOF EF ⋅=⋅-= , ∴EF //平面PAD(Ⅱ)证明：∵(,0,)22a a PA =- ,(0,,0)CD a =∴(,0,)(0,,0)022a a PA CD a ⋅=-⋅= ,∴PA CD ⊥,从而PA CD ⊥,又PA PD ⊥,PD CD D = ,∴PA PDC ⊥平面,而PA PAB ⊂平面,∴平面PAB ⊥平面PDC ．(Ⅲ) 由(Ⅱ)知平面PDC 的法向量为(,0,)22a aPA =- .设平面PBD 的法向量为(,,)n x y z = .∵(,0,),(,,0)22a a DP BD a a ==-,∴由0,0n DP n BD ⋅=⋅= 可得002200a a x y z a x a y z ⎧⋅+⋅+⋅=⎪⎨⎪-⋅+⋅+⋅=⎩,令1x =,则1,1y z ==-, 故(1,1,1)n =-∴cos ,n PA n PA n PA⋅<>===, 即二面角B PD C --的余弦值为3所以二面角B PD C --的正切值为221.（1）设半圆1C 上的切点00(,)P x y ，直线00:1AB l x x y y +=，1122(,),(,)A x y B x y 002181x x y y x y +=⎧⇒⎨=+⎩2000880y x x x y +--=得：0128y x x y --=。