第一章静电场3

4） 静电屏蔽
三导体系统的方程为： 当
q1 C10U10 C12U12 q2 C21U 21 C20U 20
q1 0
时， U10 0 ; C12U12 0
C12 C21 0
所以
q1 C10U10 ， q2 C20U 20
静电屏蔽
1 号与 2 号导体之间无静电联系，实现了静电屏蔽。

n n1q1 n 2 q2 a nk qk a nn qn
q
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q
k1
电位系数的性质
q
kk
k
qk
（1）电位系数皆为正值 （2）自有电位系数大于与它有关的 k 互有电位系数 （3）电位系数仅与导体的几何形 1 q q q q 0 状、尺寸、相互位置和电介质 2 3 k n 的介电常数有关 （4）电位系数为对称矩阵
W2 q22 q2 q1 4 0 R21
q3 从 移到 C点，所需能量
W3 q33＝
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q3
4 0 R31
(
q1

q2 R32
)
点电荷的能量
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总能量
W W1 W2 W3
1 1 [q1 ( q2 R12
1 4 0
q3 R13
h>>a，b≈h
C
0
ln( 2h / a )
2 部分（分布）电容（Distributed Capacitance) 多导体系统
部分电容
静电独立系统
若一个系统中，电场分布只与系统内各带电体形 状、尺寸、相互位置及电介质分布有关，和系统 外带电体无关，且所有电通量密度全部从系统内 带电体发出，也全部终止于系统内带电体上，则 称为静电独立系统
解1：由场源求能量。
W 1
2
dS = 2 4 a dS = 8 2
S S 0
1
Q
Q
0
a
解2：由场量求能量。
W 1 2
0 E dV =
2 V
1 2
0 (
a

Q 4 0 r
) 4 r dr 2
2 2
Q
2
8 0 a
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例3 原子可看成由带正电荷q的原子核被体电荷分布的 负电荷云-q包围，试求原子结合能。
两线输电线及其电容网络
解：
1 a11 1 a12 2 2 a 21 1 a 22 2
两线输电线对大地的镜像
令 τ1=τ，τ2=0，则
1
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20
ln
2h a
2

20
ln
4h d
2
2
d
12/47
a11
1 20
ln
2h a
a21
h h

20
b (h a) b (h a)
两根带电细导线
0
ln b (h a) b (h a)
两线间的电压
U 1 2
二线传输线每单位长度的电容 C
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U
ln
0
b (h a) b (h a)
4/47
1 20
ln
4h d
2
2
d

1
C10 C 20 11 12 ln
20 2 h 4h d
2 2
ad
C12 C 21 12 (ln
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20 ln 2h a
2

4h d
2
2
d
2
) (ln


4h d
2
d)

2
13/47
ldl 2
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2）用场量表示静电能量 能量
W 1
2
dV
1
V
D d V 2
V
矢量衡等式
W 1 2
D) ( D) D （
1
[ ( D)dV D dV ]
V V
D dS 2 D EdV 2
三导体静电独立系统
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1） 导体的电位与电荷的关系
对n+1个导体，有
q
k 0
n
k
0
自有电位系数 互有电位系数
以0号导体选作参考点，则
1 11q1 12q2 a1k qk a1n qn

k k1q1 k 2 q2 a kk qk a knqn
80 a
a
1.8 电容及部分电容 Capacitance and Distributed Capacitance 1. 电容器的电容（Capacitance of Capacitor) 定义： C
Q U
单位： F， F, pF
电容只与两导体的形状、尺寸、相互位置及周围 的介质有关。 电容的计算思路： 设
内外圆柱导体间的电压
每单位长度的电容
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U

b
E dr
ln
a
C

U

2 ln( b / a )
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例3 试求解二线传输线的电容。 解： 带有正负电荷 τ 的导线电位分别为
1 2
20 ln r2 r1 ln

20
ln
b (h a) b (h a)
V
(1)
4r / 3
4r
2 2
r
dr
2

4a / 3
3
a
40 r
2
dr
a
(
3 2

－
1 2
r
2
a
2
2
a
0
a
2
)
r
2
代入式（1）W
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2
(
5
0
3
2 ( 1 5

2 1

a
2
0
) 4r dr
2

2 a 9

0
)
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例2 一半径为a的均匀球面电荷，电荷面密度为σ。试 求静电能量。
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屏蔽壳接地 壳内外均有带电体
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作业：P51 1-8-1、1-8-2、1-8-3
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1.9 静电能量与力 Electrostatic Energy and Force
1. 静电能量 (Electrostatic Energy) 1）用场源表示静电能量 q1 从 移到 a 点不受力，所需能量 W1=0， q2 从 移到 b 点，需克服 q1 的电场力做功，
(
q1q2 R21

q1
q2 q3 R32


q3q1 R31
)
q1 R31 q2 R32
2 4 0
) q2 (
q3 R23
R21
3 i
) q3 (
)]

1 2
(q11 q2 2 q3 3 )
1
q 2
i 1
i
推广 1： 若有 n 个点电荷的系统，静电能量为
W 1

b
a
球形电容器的电容
当 b 时
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C
q U

40 ab ba
C 40 a
（孤立导体球的电容）
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例2 试求无限长同轴圆柱导体间每单位长度的电容。 解： 设内导体每单位长度电荷为 τ ，则
D dS l
S
b a

2 b a
2rlE l
E l d
q1 q2 qk 1 qk 1 qn 0
3
2
q1
1
0
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q
1
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q
自有 感应系数
互有感应系数
q1 111 12 2 1k k 1n n qk k11 k 2 2 kk k kn n qn n11 n 2 2 nk k nn n
We 1
r a r a
V D EdV 2 V1 2
2 9
1
1 2 2 E1 4r dr＋
V2 0 E2 2
2
4Leabharlann Baidur dr
2

a （
2 5
1 5
＋
1
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0
）
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解法二 由场源求静电能量（电荷积分形式）
W 1
球内任一点的电位
＝

a 3
dV 2
3) 部分电容
q C U
C j ,i
自有 部分电容 互有部分电容
n( n 1) 2
Ci ,j均为正值，Ci, j
静电独立系统中n＋1个导体有 2012-6-1
个部分电容 10/47
部分电容可将场的概念与电路结合起来。
部分电容与电容网络
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11/47
例4 试计算考虑大地影响时，两线传输线的部分电容及 等效电容。已知d>>a, 且a<<h。
S V
1
因 D
1 r
3
,
2 s r , 当 r 时，面积分为零，故
W
1
D EdV 2
V
J
能量密度
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w
1 2
D E
J/m
3
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例1 试求真空中体电荷密度为 的介质球产生的静电能量。
解法一 由场量求静电能量（电场积分形式）
r 3 e r E a 3 er 2 3 0 r
两线间的等效电容：
Ce C12
C10C20 C10 C20
ln(
20 2h d d 4h d
2 2
)
等效电容：多导体静电独立系统中，把两导体作为电容 器两个极板，设在两极板上加已知电压U，极板上电荷分 别为±q，则q/U称为这两导体间的等效电容。
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Q E U
E dl
l
C
Q U
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例1 试求同心球壳电容器的电容。 解： 设内导体的电荷为 q ，则
D dS q
S
D
q 4r
2
er , E
q 40 r
U
2
er
E dr
同心球壳电容器
q 40 a ( 1 1 b )
同心球壳间的电压
静电 感应系数
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q
k1
qk
感应系数的性质
（1）自有感应系数皆为正值
（2）互有感应系数皆为负值 （3）自有感应系数大于与它有关的
1
qk
互有感应系数的绝对值 2 3 k n 0 （4）感应系数仅与导体的几何形
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屏蔽壳未接地 壳内有带电体
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16/47
屏蔽壳未接地 壳内有带电体
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17/47
屏蔽壳未接地 壳外有带电体
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18/47
屏蔽壳未接地 壳外有带电体
2012-6-1
19/47
屏蔽壳未接地 壳内外均有带电体
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20/47
q1 C10U10 C12U12 C13U13 C1nU1n
qk C k1U k1 C k 2U k 2 C k 0U k 0 C knU kn qn C n1U n1 C n 2U n 2 C nk U nk C n 0U n 0
解： W总 W自有 W互有
W自有 4 15 0
q 4 3
2
a
2
5
原子结构模型
(0)
2 0 (a
2
r
2
3
) r 0
3q
2
a
2
2 0


4
a
2
a
2 0

3q 80 a
2
W互有 q (0)
W总
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4 15 0
状、尺寸、相互位置和电介质 的介电常数有关 （5）感应系数为对称矩阵
kk
k
1 2 k 1 k 1 n 0
3
2
1
q1 111
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1
q1 (q2 q3 qn )
0
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2） 各导体间的电压与电荷的关系
q1 (11 12 1n )(1 0) 12 (1 2 ）－13 1－3 1（1－n （ ） ） n
屏蔽壳未接地 壳内外均有带电体
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屏蔽壳接地 壳内有带电体
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22/47
屏蔽壳接地 壳内有带电体
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23/47
屏蔽壳接地 壳外有带电体
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24/47
屏蔽壳接地 壳外有带电体
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25/47
屏蔽壳接地 壳内外均有带电
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q 2
i i 1
n
i
J（焦耳）
注意 ：： 是除 qi以外各个点电荷在 qi 处所引起的电位。 推广 2 i 若是连续分布的电荷，dq dV , dS , dl 采用该公式计算出的是互有能量。 1 1 1
W
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V dV , 2
W
2 S
dS ,
W