第一章静电场3

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4) 静电屏蔽
三导体系统的方程为: 当
q1 C10U10 C12U12 q2 C21U 21 C20U 20
q1 0
时, U10 0 ; C12U12 0
C12 C21 0
所以
q1 C10U10 , q2 C20U 20
静电屏蔽
1 号与 2 号导体之间无静电联系,实现了静电屏蔽。

n n1q1 n 2 q2 a nk qk a nn qn
q
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q
k1
电位系数的性质
q
kk
k
qk
(1)电位系数皆为正值 (2)自有电位系数大于与它有关的 k 互有电位系数 (3)电位系数仅与导体的几何形 1 q q q q 0 状、尺寸、相互位置和电介质 2 3 k n 的介电常数有关 (4)电位系数为对称矩阵
W2 q22 q2 q1 4 0 R21
q3 从 移到 C点,所需能量
W3 q33=
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q3
4 0 R31
(
q1

q2 R32
)
点电荷的能量
29/47
总能量
W W1 W2 W3
1 1 [q1 ( q2 R12
1 4 0
q3 R13
h>>a,b≈h
C
0
ln( 2h / a )
2 部分(分布)电容(Distributed Capacitance) 多导体系统
部分电容
静电独立系统
若一个系统中,电场分布只与系统内各带电体形 状、尺寸、相互位置及电介质分布有关,和系统 外带电体无关,且所有电通量密度全部从系统内 带电体发出,也全部终止于系统内带电体上,则 称为静电独立系统
解1:由场源求能量。
W 1
2
dS = 2 4 a dS = 8 2
S S 0
1
Q
Q
0
a
解2:由场量求能量。
W 1 2
0 E dV =
2 V
1 2
0 (
a

Q 4 0 r
) 4 r dr 2
2 2
Q
2
8 0 a
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34/47
例3 原子可看成由带正电荷q的原子核被体电荷分布的 负电荷云-q包围,试求原子结合能。
两线输电线及其电容网络
解:
1 a11 1 a12 2 2 a 21 1 a 22 2
两线输电线对大地的镜像
令 τ1=τ,τ2=0,则
1
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20
ln
2h a
2

20
ln
4h d
2
2
d
12/47
a11
1 20
ln
2h a
a21
h h

20
b (h a) b (h a)
两根带电细导线
0
ln b (h a) b (h a)
两线间的电压
U 1 2
二线传输线每单位长度的电容 C
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U
ln
0
b (h a) b (h a)
4/47
1 20
ln
4h d
2
2
d

1
C10 C 20 11 12 ln
20 2 h 4h d
2 2
ad
C12 C 21 12 (ln
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20 ln 2h a
2

4h d
2
2
d
2
) (ln


4h d
2
d)

2
13/47
ldl 2
30/47
2)用场量表示静电能量 能量
W 1
2
dV
1
V
D d V 2
V
矢量衡等式
W 1 2
D) ( D) D (
1
[ ( D)dV D dV ]
V V
D dS 2 D EdV 2
三导体静电独立系统
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1) 导体的电位与电荷的关系
对n+1个导体,有
q
k 0
n
k
0
自有电位系数 互有电位系数
以0号导体选作参考点,则
1 11q1 12q2 a1k qk a1n qn

k k1q1 k 2 q2 a kk qk a knqn
80 a
a
1.8 电容及部分电容 Capacitance and Distributed Capacitance 1. 电容器的电容(Capacitance of Capacitor) 定义: C
Q U
单位: F, F, pF
电容只与两导体的形状、尺寸、相互位置及周围 的介质有关。 电容的计算思路: 设
内外圆柱导体间的电压
每单位长度的电容
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U

b
E dr
ln
a
C

U

2 ln( b / a )
3/47
例3 试求解二线传输线的电容。 解: 带有正负电荷 τ 的导线电位分别为
1 2
20 ln r2 r1 ln

20
ln
b (h a) b (h a)
V
(1)
4r / 3
4r
2 2
r
dr
2

4a / 3
3
a
40 r
2
dr
a
(
3 2


1 2
r
2
a
2
2
a
0
a
2
)
r
2
代入式(1)W
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2
(
5
0
3
2 ( 1 5

2 1

a
2
0
) 4r dr
2

2 a 9

0
)
33/47
例2 一半径为a的均匀球面电荷,电荷面密度为σ。试 求静电能量。
26/47
屏蔽壳接地 壳内外均有带电体
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作业:P51 1-8-1、1-8-2、1-8-3
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1.9 静电能量与力 Electrostatic Energy and Force
1. 静电能量 (Electrostatic Energy) 1)用场源表示静电能量 q1 从 移到 a 点不受力,所需能量 W1=0, q2 从 移到 b 点,需克服 q1 的电场力做功,
(
q1q2 R21

q1
q2 q3 R32


q3q1 R31
)
q1 R31 q2 R32
2 4 0
) q2 (
q3 R23
R21
3 i
) q3 (
)]

1 2
(q11 q2 2 q3 3 )
1
q 2
i 1
i
推广 1: 若有 n 个点电荷的系统,静电能量为
W 1

b
a
球形电容器的电容
当 b 时
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C
q U

40 ab ba
C 40 a
(孤立导体球的电容)
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例2 试求无限长同轴圆柱导体间每单位长度的电容。 解: 设内导体每单位长度电荷为 τ ,则
D dS l
S
b a

2 b a
2rlE l
E l d
q1 q2 qk 1 qk 1 qn 0
3
2
q1
1
0
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q
1
7/47
q
自有 感应系数
互有感应系数
q1 111 12 2 1k k 1n n qk k11 k 2 2 kk k kn n qn n11 n 2 2 nk k nn n
We 1
r a r a
V D EdV 2 V1 2
2 9
1
1 2 2 E1 4r dr+
V2 0 E2 2
2
4Leabharlann Baidur dr
2

a (
2 5
1 5

1
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0

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解法二 由场源求静电能量(电荷积分形式)
W 1
球内任一点的电位


a 3
dV 2
3) 部分电容
q C U
C j ,i
自有 部分电容 互有部分电容
n( n 1) 2
Ci ,j均为正值,Ci, j
静电独立系统中n+1个导体有 2012-6-1
个部分电容 10/47
部分电容可将场的概念与电路结合起来。
部分电容与电容网络
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11/47
例4 试计算考虑大地影响时,两线传输线的部分电容及 等效电容。已知d>>a, 且a<<h。
S V
1
因 D
1 r
3
,
2 s r , 当 r 时,面积分为零,故
W
1
D EdV 2
V
J
能量密度
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w
1 2
D E
J/m
3
31/47
例1 试求真空中体电荷密度为 的介质球产生的静电能量。
解法一 由场量求静电能量(电场积分形式)
r 3 e r E a 3 er 2 3 0 r
两线间的等效电容:
Ce C12
C10C20 C10 C20
ln(
20 2h d d 4h d
2 2
)
等效电容:多导体静电独立系统中,把两导体作为电容 器两个极板,设在两极板上加已知电压U,极板上电荷分 别为±q,则q/U称为这两导体间的等效电容。
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Q E U
E dl
l
C
Q U
1/47
例1 试求同心球壳电容器的电容。 解: 设内导体的电荷为 q ,则
D dS q
S
D
q 4r
2
er , E
q 40 r
U
2
er
E dr
同心球壳电容器
q 40 a ( 1 1 b )
同心球壳间的电压
静电 感应系数
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q
k1
qk
感应系数的性质
(1)自有感应系数皆为正值
(2)互有感应系数皆为负值 (3)自有感应系数大于与它有关的
1
qk
互有感应系数的绝对值 2 3 k n 0 (4)感应系数仅与导体的几何形
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屏蔽壳未接地 壳内有带电体
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16/47
屏蔽壳未接地 壳内有带电体
2012-6-1
17/47
屏蔽壳未接地 壳外有带电体
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18/47
屏蔽壳未接地 壳外有带电体
2012-6-1
19/47
屏蔽壳未接地 壳内外均有带电体
2012-6-1
20/47
q1 C10U10 C12U12 C13U13 C1nU1n
qk C k1U k1 C k 2U k 2 C k 0U k 0 C knU kn qn C n1U n1 C n 2U n 2 C nk U nk C n 0U n 0
解: W总 W自有 W互有
W自有 4 15 0
q 4 3
2
a
2
5
原子结构模型
(0)
2 0 (a
2
r
2
3
) r 0
3q
2
a
2
2 0


4
a
2
a
2 0

3q 80 a
2
W互有 q (0)
W总
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4 15 0
状、尺寸、相互位置和电介质 的介电常数有关 (5)感应系数为对称矩阵
kk
k
1 2 k 1 k 1 n 0
3
2
1
q1 111
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1
q1 (q2 q3 qn )
0
9/47
2) 各导体间的电压与电荷的关系
q1 (11 12 1n )(1 0) 12 (1 2 )-13 1-3 1(1-n ( ) ) n
屏蔽壳未接地 壳内外均有带电体
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21/47
屏蔽壳接地 壳内有带电体
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22/47
屏蔽壳接地 壳内有带电体
2012-6-1
23/47
屏蔽壳接地 壳外有带电体
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24/47
屏蔽壳接地 壳外有带电体
2012-6-1
25/47
屏蔽壳接地 壳内外均有带电
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q 2
i i 1
n
i
J(焦耳)
注意 :: 是除 qi以外各个点电荷在 qi 处所引起的电位。 推广 2 i 若是连续分布的电荷,dq dV , dS , dl 采用该公式计算出的是互有能量。 1 1 1
W
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V dV , 2
W
2 S
dS ,
W
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