破解椭圆中最值问题的常见策略

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破解椭圆中最值问题的常见策略

第一类：求离心率的最值问题破解策略之一：建立

c b a ,,的不等式或方程

例1：若B A,为椭圆)0(12

22

2b

a b

y a

x 的长轴两端点，

Q 为椭圆上一点，使

120AQB ，求此椭圆

离心率的最小值。

分析：建立c b a ,,之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中y x,的取值进行求解离心率的最值。

解：不妨设),(),0,(),0,(y x Q a B a A ，则a x y k a

x

y k BQ

AQ

,，利用到角公式及

120AQB

得：

120

tan 1

a x

y a x

y a x y a x y （a x ）

，又点A 在椭圆上，故2

2

22

2

y b

a a

x ，消去x ，化简得2

232c

ab y

又b

y 即b c

ab

22

32则

4

2

2

23)

(4c c a

a ，从而转化为关于

e 的高次不等式

04432

4

e

e

解得

13

6e 。故椭圆离

心率的最小值为

3

6。（或2

2

2

233()ab c

a

b ，得：3

3b a

，由21()b e a ，故

13

6e ）（注：

本题若是选择或填空可利用数形结合求最值）点评：对于此类最值问题关键是如何建立

c b a ,,之间的关系。常用椭圆上的点),(y x 表示成c b a ,,，并利用椭圆中y

x,的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。破解策略之二：利用三角函数的有界性求范围

例2：已知椭圆C ：

2

222

1(0)x

y a b

a

b

两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ，求椭圆离心

率的最小值。

分析：根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的

效果。解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得：

cos

sin

2cos

sin

sin

sin

90

sin 221210

a PF PF PF PF c 故

2

2)

45sin(

210

e

，故椭圆离心率的最小值为

2

2。

点评：对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系，并利用三角函数的有界性解题，真是柳暗花明又一村。第二类：求点点（点线）的最值问题

破解策略之三：建立相关函数并求函数的最值（下面第三类、第四类最值也常用此法）例3：（05年上海）点

A 、

B 分别是椭圆

120

362

2

y

x

长轴的左、右端点，点

F 是椭圆的右焦点，点P 在椭圆上，且

位于

x 轴上方，PF PA 。（1）求点P 的坐标；（2）设M 是椭圆长轴AB 上的一点，M 到直线AP 的距离等于||MB ，

求椭圆上的点到点

M 的距离d 的最小值。