第30-34课时 参数取值问题的题型与方法
求参数范围问题—常见解题方法
求参数范围问题—常见解题方法一、确定“主元”思想常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量．例1.对于满足0的一切实数，不等式x2+px>4x+p-3恒成立，求x的取值范围．分析：习惯上把x当作自变量，记函数y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当p时y>0恒成立，求x的范围．解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这是相当复杂的．若把x与p两个量互换一下角色，即p视为变量，x为常量，则上述问题可转化为在[0,4]内关于p的一次函数大于0恒成立的问题．解：设f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当x=1时显然不满足题意．由题设知当0时f(p)>0恒成立，∴f(0)>0,f(4)>0即x2-4x+3>0且x2-1>0，解得x>3或x<-1．∴x的取值范围为x>3或x<-1．二、分离变量例2．若对于任意角总有成立，求的范围．分析与解：此式是可分离变量型，由原不等式得，又，则原不等式等价变形为恒成立．根据边界原理知，必须小于的最小值，这样问题化归为怎样求的最小值．因为即时，有最小值为0，故．评析：一般地,分离变量后有下列几种情形：①f(x)≥g(k) [f(x)]min≥g(k)②f(x)> g(k) g(k) < [f(x)] min③f(x)≤g(k) [f(x)] max≤g(k)④f(x)<g(k) [f(x)] max < g(k)三、数形结合对于含参数的不等式问题，当不等式两边的函数图象形状明显，我们可以作出它们的图象，来达到解决问题的目的．例3．设，若不等式恒成立，求a的取值范围．分析与解：若设函数，则，其图象为上半圆．设函数，其图象为直线．在同一坐标系内作出函数图象如图，依题意要使半圆恒在直线下方，只有圆心到直线的距离且时成立，即a的取值范围为．四、分类讨论当不等式中左、右两边的函数具有某些不确定因素时，应用分类讨论的方法来处理，分类讨论可使原问题中的不确定因素变成确定因素，为问题的解决提供新的条件。
求参数的取值范围的两种思路
伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍伍方法集锦求参数的取值范围问题比较常见，常出现在函数、不等式、三角函数、解析几何、解三角形等试题中.解答这类问题的常用技巧有：分离参数和分类讨论.下面主要谈一谈如何运用这两种技巧来求参数的取值范围.一、分离参数分离参数是求参数的取值范围的常用技巧.运用该技巧解题，需先根据题意建立含有参数的关系式；然后对含有参数的关系式进行合理的变形，使参数位于等号或不等号的一侧；最后利用函数的性质、基本不等式、导数法等求得关系式另一侧式子的最值，即可求出参数的取值范围.例1.如果函数f ()x =x 3-b 2x 2+bx +c 在区间[-2,1]上为增函数，求实数b 的取值.解：因为函数f ()x =x 3-b 2x 2+bx +c 在[-2,1]上为增函数，所以对于∀x ∈[-2,1]，都有f ′()x =3x 2-bx +b ≥0,当x =1时，3x 2-bx +b ≥0，当x ∈[-2,1）时，要使3x 2-bx +b ≥0，就需使b ≥3x 2x -1，即b ≥(3x 2x -1)max ，又因为(3x 2x -1)max =0，所以b ≥0，即实数b 的取值范围为[0,+∞).当遇到含参不等式问题时，运用分离参数法求解比较有效，只需将不等式中的参数与变量分离，把含参不等式变成形如a ≥h ()x 或a ≤h ()x 的式子，即可将问题转化为函数最值问题来求解.二、分类讨论由于问题中含有参数，所以往往需要运用分类讨论思想对参数进行分类讨论，以逐步确定参数的取值范围.在运用分类讨论法求参数的取值范围时，要先根据题意确定分类讨论的对象和标准，如根据抛物线的开口方向对二次函数的二次项的系数进行讨论，根据函数的单调性对指数函数的底数进行分类讨论；然后逐层逐级进行讨论；最后综合所得的结果.例2.已知函数f ()x =ln ()x +1-x x +1，若当x ≥0时，f ()x ≤ax 2恒成立，求实数a 的取值范围.解：要使当x ≥0时，ln ()x +1-x x +1≤ax 2恒成立，需使当x ≥0时，ln ()x +1-x x +1-ax 2≤0恒成立，令g ()x =ln ()x +1-x x +1-ax 2，x ≥0，可得g ′()x =x [1-2a (x +1)2](x +1)2.（i ）当a ≤0时，1-2a (x +1)2>0，则g ′()x ≥0，则g ()x 在区间[0,+∞）上单调递增，所以当x >0时，g ()x >g ()0=0，与题意不相符.（ii ）当a ≥12时，2a ≥1，可得(x +1)2≥1，则1-2a (x +1)2≤0，所以g ′()x ≤0，则g ()x 在区间[0,+∞)上单调递减，所以g ()x ≤g ()0=0，满足题意.（iii ）当0<a <12时，1-2a (x +1)2>0，当x ∈(0，12a-1)时，g ′()x >0，所以g ()x 在区间(01)上单调递增，可得g ()x >g ()0=0，与题意不相符合.故实数a 的取值范围为[12,+∞）.因为分离参数后的式子较为复杂，所以本题需采用分类讨论法求解.由于参数a 对函数的单调性和最值影响较大，于是将a 分为a ≤0、a ≥12、0<a <12三种情况，并在每一种情况下讨论函数的单调性；然后根据导函数与函数单调性之间的关系，判断出函数的单调性，求得其最值，就能确定不等式恒成立时a 的取值范围.相比较而言，分类讨论法的适用范围较广，而分离参数法的适用范围较窄，但较为简单.所以在解题时，要首先尝试将参数分离，运用分离参数法求解，若行不通，再考虑运用分类讨论法.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）43。
参数取值范围问题的求解方法
一
（ ２ ） 若ｇ （ ） 一， （ ） ＋ 且ｇ （ Ｌ ｚ ） 在区间 （ ０ ， ２ ］ 上为减 函数 ， 求实数 ａ的取值范围．
解析 （ １ ） 设（ ｚ， ） 是 函数 （ ｚ ） 的 图像
１的最 大值为 ３ ， 所以 ｎ ≥３ ．
２ 不等式 法
Ａ＝ ４ ｋ ｔ － ８ （ １ 一 ） ＞０ ，
利用 题 没条件 建立关 于 所求参 数 的不等 式（ 组） ， 通 过解 不等 式 （ 组） 求 解． 此种 方法具 有普 遍性 ．
（ ＋１ ） ＋（ Ｉ ７ ＋Ｉ ） 一－ （ ｘ ｌ ＋１ ） ＋１ ） 一
第３ ５卷第 １ ｌ 期
２ ０ １ ６ 年 １ １ 月
数 学教 学研究
３ ９
参数 取 值范 围问题 的求 解 方法
华腾 飞
（ 安徽省灵璧县黄湾中学 ２ ３ ４ ２ １ ３ ）
求参数的取值范围问题是 同学们 比较常 见 的问题 ， 既 是 我们 学 习高 中数 学 知识 的重
点， 也是 难点 ， 更 是 高考 的热 点 ． 由于此 类 问 题 覆盖知 识点 多 ， 求 解方 法更 是千 变万 化 ， 因
例 １ 设
舞
恒 成立 ， 而
研
７ ２
≤
一２ 一 导 ，
厂 （ ｚ ） 一ｌ ｇ 堡 土
一
所以口 ≥２ 昔， 故应 选 Ｃ ．
（ 其中 口 ∈Ｒ， ≥２且 Ｔ ／ ∈Ｎ） ， 若 当 ｘＥ（ 一∞ ，
例 ３ 已知 函数 ＿ 厂 （ ｚ） 的 图 像 与 函数
望对 大家 能够有 所启迪 ． １ 分离 参数 法
专题9： 参数取值问题的题型与方法
专题九 参数取值问题的题型与方法要点综述：本讲从对历年高考题的剖析来领会分类讨论思想方法，发展数学思维，提高解题能力.求参数的取值范围的问题，在中学数学里比比皆是，这一讲，我们先展示2004年高考中参数取值问题的试题，再分四个方面来探讨。
（Ⅰ）2004年参数取值问题综合题选1．（2004年高考上海卷理科（19））记函数f(x)=132++-x x 的定义域为A,g(x )=lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1) 的定义域为B.（Ⅰ）求A ；（Ⅱ）若B ⊆A, 求实数a 的取值范围. 解：(1)2－13++x x ≥0, 得11+-x x ≥0, x <－1或x ≥1即A=(－∞,－1)∪[1,+ ∞](2) 由(x －a －1)(2a －x )>0, 得(x －a －1)(x －2a)<0. ∵a <1,∴a +1>2a , ∴B=(2a ,a +1). ∵B ⊆A, ∴2a ≥1或a +1≤－1, 即a ≥21或a ≤－2, 而a <1,∴21≤a <1或a ≤－2, 故当B ⊆A 时, 实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[21,1)2．（2004年高考辽宁卷（18））设全集U=R解关于x 的不等式);(01|1|R a a x ∈>-+- （Ⅱ）记A为（1）中不等式的解集，集合}0)3c o s (3)3s i n (|{=-+-=ππππx x x B ，若（ ∪A ）∩B 恰有3个元素，求a 的取值范围.解：（1）由.1|1|01|1|a x a x ->->-+-得当1>a 时，解集是R ；当1≤a 时，解集是}.2|{a x a x x -><或 （2）当1>a 时，（ ∪A ）=φ；当1≤a 时， ∪A=}.2|{a x a x -≤≤因)3cos(3)3sin(ππππ-+-x x .sin 2]3sin)3cos(3cos)3[sin(2x x x πππππππ=-+-=由.,),(,0sin Z B Z k x Z k k x x =∈=∈==所以即得πππ当（ ∪A ）∩B 怡有3个元素时，a 就满足⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<-≤<.01,322,1a a a 解得.01≤<-a说明：本题主要考查集合的有关概念，含绝对值的不等式，简单三角函数式的化简和已知三角函数值求角等基础知识，考查简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算能力。
2023-2024学年九年级数学中考数学复习微专题：例谈一元一次不等式组中参数取值问题
例谈一元一次不等式组中参数取值问题一元一次不等式组中参数范围的确定，是初中生学习一元一次不等式组的难点.由于涉及到未知数范围和参数范围及分类讨论，学生遇到确定参数是否取值问题时感到非常棘手.为此笔者总结出如下方法，可使参数取等问题解决起来更巧妙、更迅速、更准确.一、数形结合法例1若不等式组400x x a +>⎧⎨-<⎩有解，a 取值范围会是什么?解400x x a +>⎧⎨-<⎩由①得4x >-由②得x a <.根据数形结合思想，将a 看成动点，在数轴上比较a 与4-的位置.(1)如图1，a 在4-的左侧，即4a <-，此时不等式的解集无公共部分，不等式组无解;(2)如图2，a 在4-的位置，此时不等式组可以转化为44x x >-⎧⎨<-⎩，不等式组的解集也无公共部分，这与不等式组有解矛盾，所以a 不能等于4-;(3)如图3，a 在4-的右侧时，即4a >-，此时不等式组解集可以表示为4x a -<<.综上三种情况，若不等式组400x x a +>⎧⎨-<⎩有解，则4a >-.二、赋值法①②例2已知不等式组400x x a +>⎧⎨-<⎩无解，求a 的取值范围.解由400x x a +>⎧⎨-<⎩，化简为4x x a >-⎧⎨<⎩,因为不等式组400x x a +>⎧⎨-<⎩无解,易得4a <-,那么a 能否等于4-呢?可令4a =-,则不等式组400x x a +>⎧⎨-<⎩，转化为44x x >-⎧⎨<-⎩,因为不等式组44x x >-⎧⎨<-⎩无解,这与不等式组400x x a +>⎧⎨-<⎩，无解相符，所以4a =-可行，所以4a ≤-.三、近远点策略例3若不等式组400x x a +>⎧⎨-<⎩，有三个整数解，求a 的取值范围.解由400x x a +>⎧⎨-<⎩，化简为4x x a>-⎧⎨<⎩,因为原不等式组有三个整数解，又4x >-，故三个整数解必然为3-，2-，1-.由图5可知，10a -<<，那么该结果中a 是否取等于0呢?不等式组400x x a +>⎧⎨-<⎩中参数a 所在的不等式不含等号，故a 的取值范围为10a -<≤.需要指出的是，解此类题时，必须充分运用数轴，利用数形结合思想，才能达到深刻理解.。
初中数学求一类参数取值范围的三种方法学法指导
初中数学求一类参数取值范围的三种方法学法指导在初中数学中，经常需要求解一类参数的取值范围。
这是解决各类数学问题的基本方法之一，涉及到不等式、方程、函数等多个数学概念和技巧。
下面我将介绍三种常见的方法来求解一类参数的取值范围。
一、画图法画图法是最直观、简单的一种方法。
它适用于求解一元一次方程、一元二次方程以及简单的不等式等问题。
步骤：1.先根据题意，确定参数与自变量之间的关系。
例如，参数x和自变量y满足不等式，x-2，<y；2.根据给定的条件，确定画图的范围。
例如，确定x轴的范围为x∈R；3.在坐标系中画出参数x的范围，并标出关键点，如x=2，x=-2等；4.根据参数与自变量之间的关系，画出符合题意的图形；5.根据图形，确定参数的取值范围。
如不等式满足的区域是一个开区间，则参数的取值范围是开区间的两个端点。
二、代数法代数法是通过代数方法求解参数的取值范围。
它适用于不等式、方程和函数等问题。
步骤：1.根据题意列出等式或不等式，并将参数表示为符号；2.对等式或不等式进行化简和转换，使问题变得更简单；3.利用数学原理、规律和公式对参数进行求解；4.根据求解结果，确定参数的取值范围。
如不等式有解，则根据解的形式确定参数的取值范围。
三、区间法区间法是通过确定参数的范围，将问题转化成可解的区间，从而求解参数的取值范围。
它适用于函数和方程等问题。
步骤：1.根据题意列出方程或不等式，并将参数表示为符号；2.将方程或不等式转换成函数形式；3.利用函数的定义域和值域等性质，确定参数的范围；4.根据参数的范围，确定参数的取值范围。
需要注意的是，对于复杂的问题，我们可能需要结合不同的方法来求解参数的取值范围。
每一种方法都有其适用的场景和特点，我们可以根据具体的题目要求和参数的条件来选择合适的方法。
总结起来，画图法适用于直观、简单的问题；代数法适用于各类代数问题；区间法适用于复杂函数和方程问题。
通过多练习、多思考，我们可以更加熟练地运用这些方法，求解各类参数的取值范围。
高中数学《求参数的取值范围》基础知识与练习题(含答案解析)
高中数学《求参数的取值范围》基础知识与练习题（含答案解析）一、基础知识：求参数的取值范围宏观上有两种思路：一个是通过解不等式求解，一个是利用函数，通过解函数的值域求得参数范围1、解不等式：通过题目条件建立关于参数的不等式，从而通过解不等式进行求解。
常见的不等关系如下：（1）圆锥曲线上的点坐标的取值范围① 椭圆（以()222210x y a b a b +=>>为例），则[],x a a ∈−，[],y b b ∈−② 双曲线：（以()22221,0x y a b a b−=>为例），则(],x a ∈−∞−（左支）[),a +∞（右支）y R ∈③ 抛物线：（以()220y px p =>为例，则[)0,x ∈+∞（2）直线与圆锥曲线位置关系：若直线与圆锥曲线有两个公共点，则联立消元后的一元二次方程0∆>（3）点与椭圆（以()222210x y a b a b+=>>为例）位置关系：若点()00,x y 在椭圆内，则2200221x y a b +< （4）题目条件中的不等关系，有时是解决参数取值范围的关键条件2、利用函数关系求得值域：题目中除了所求变量，还存在一个（或两个）辅助变量，通过条件可建立起变量间的等式，进而可将等式变形为所求变量关于辅助变量的函数，确定辅助变量的范围后，则可求解函数的值域，即为参数取值范围（1）一元函数：建立所求变量与某个辅助变量的函数关系，进而将问题转化为求一元函数的值域，常见的函数有：① 二次函数；②“对勾函数”()0ay x a x=+>；③ 反比例函数；④ 分式函数。
若出现非常规函数，则可考虑通过换元“化归”为常规函数，或者利用导数进行解决。
（2）二元函数：若题目中涉及变量较多，通过代换消元最后得到所求参数与两个变量的表达式，则可通过均值不等式，放缩消元或数形结合进行解决。
3、两种方法的选择与决策：通常与题目所给的条件相关，主要体现在以下几点：（1）若题目中含有某个变量的范围，则可以优先考虑函数的方向，将该变量视为自变量，建立所求变量与自变量的函数关系，进而求得值域（2）若题目中含有某个表达式的范围（或不等式），一方面可以考虑将表达式视为整体，看能否转为（1）的问题进行处理，或者将该表达式中的项用所求变量进行表示，从而建立起关于该变量的不等式，解不等式即可 二、典型例题：例1：已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F 、2F 是其左右焦点，离心率为3，且经过点()3,1.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若12,A A 分别是椭圆长轴的左右端点，Q 为椭圆上动点，设直线1AQ 斜率为k ，且11,23k ⎛⎫∈−− ⎪⎝⎭，求直线Q A 2斜率的取值范围；解：（1）3c e a ==::a b c ∴=∴椭圆方程为：222213x y b b +=代入()3,1可得：24b =22312a b ∴== ∴椭圆方程为：221124x y +=（2）由（1）可得：()()12,A A − 设(),Q x y ， 则k =2A Q k =22212A Qy k k x ∴⋅==− Q 在椭圆上 ()222211121243x y y x ∴+=⇒=−2221123A Qy k k x ∴⋅==−− 213A Q k k∴=−11,23k ⎛⎫∈−− ⎪⎝⎭12,133k ⎛⎫∴−∈ ⎪⎝⎭即22,13A Q k ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭例2：已知椭圆()2222:10xy C a b a b +=>>，其左，右焦点分别是12,F F ，过点1F 的直线l交椭圆C 于,E G 两点，且2EGF 的周长为 （1）求椭圆C 的方程（2）若过点()2,0M 的直线与椭圆C 相交于两点,A B ，设P 为椭圆上一点，且满足OA OB tOP +=（O 为坐标原点），当25PA PB −<t 的取值范围 解：（1）2c e a ==::a b c ∴= 2EGF 的周长4C a a ==⇒=1b ∴=∴椭圆方程为：2212x y +=（2）设直线AB 的方程为()2y k x =−，()()1122,,,A x y B x y ，(),P x yOA OB tOP += 1212x x txy y ty +=⎧∴⎨+=⎩ 联立直线与椭圆方程：()()222222212882021y k x k x k x k x y =−⎧⎪⇒+−+−=⎨+=⎪⎩ ()()()22228412820k k k ∴∆=−+−>，解得：212k <()23121212222884,44212121k k kx x y y k x x k k k k k +=+=+−=−=−+++()()222821421k x t k k y t k ⎧=⎪+⎪∴⎨⎪=−⎪+⎩，代入2212x y +=可得：()()2222284222121k k t k t k ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+−= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭2221612k t k∴=+ 由条件25PA PB −<可得：25AB <123AB x ∴=−<()()22121220149kx x x x ⎡⎤∴++−<⎣⎦，代入22121222882,2121k k x x x x k k −+==++可得： ()()()222222228822014411413021219k k k k k k k ⎡⎤⎛⎫−+−⋅<⇒−+>⎢⎥ ⎪++⎢⎥⎝⎭⎣⎦214k ∴>211,42k ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭22221618=16,411232k t k k ⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+ 262,,233t ⎛⎫⎛⎫∴∈−− ⎪⎪⎝⎭⎝⎭例3：在平面直角坐标系中，已知椭圆()2222:10x yC a b a b +=>>的离心率为2，且在所有（1）求椭圆方程（2）若过点()0,2B 的直线l 与椭圆交于不同的两点,EF （E 在,B F 之间），求三角形OBE 与三角形OBF 面积比值的范围 解：（1）2c e a == ::a b c ∴=由椭圆性质可得，焦点弦的最小值为22b a =1,b a ∴==∴椭圆方程为2212x y +=（2）设:2l y kx =+，()()1122,,,E x y F x y112211,22OBEOBFSOB x x S OB x x ∴=⋅⋅==⋅⋅= 1122OBE OBFx S x Sx x ∴==联立直线与椭圆方程：()222221286022y kx k x kx x y =+⎧⇒+++=⎨+=⎩ ()()22238241202k k k ∴∆=−+>⇒>12122286,01212k x x x x k k+=−=>++ 12,x x ∴同号 ()()22221212212212832122631212k x x k x x k x x x x k k ⎛⎫− ⎪++⎝⎭∴===++++232k > ()22232321164,1333122k k k⎛⎫∴=⋅∈ ⎪+⎝⎭+ 122116423x x x x <++< 设120x t x =>，所解不等式为：124111612333t t tt t t⎧++>⇒≠⎪⎪⎨⎪++<⇒<<⎪⎩()121,11,33x x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，即()1,11,33OBE OBFS S⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭例4：已知椭圆()22122:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，直线:2l y x =+与以原点为圆心，椭圆1C 的短半轴长为半径的圆相切 （1）求椭圆1C 的方程（2）设椭圆1C 的左焦点为1F ，右焦点为2F ，直线1l 过点1F 且垂直于椭圆的长轴，动直线2l 垂直于直线1l ，垂足为点P ，线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M ，求点M 的轨迹2C 的方程 （3）设2C 与x 轴交于点Q ，不同的两点,R S 在2C 上，且满足0QR RS ⋅=，求QS 的取值范围解：（1）c e a a ==⇒= :2l y x =+与圆222x y b +=相切O l d b −∴== b ∴= 3a c = 22222b a c c ∴=−=即21c =，解得1c =a ∴=221:132x y C ∴+=（2）由（1）可得1:1l x =−线段2PF 的垂直平分线交2l 于点M2PM MF ∴=即12M l d MF −=M ∴的轨迹为以2F 为焦点，1l 为准线的抛物线，设为()220y px p =>()21,0F 2p ∴= 22:4C y x ∴=（3）思路：由已知可得()0,0Q ，设221212,,,44y y R y S y ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则所求QS 为关于2y 的函数，只需确定2y 的范围即可，因为0QR RS ⋅=，所以有可能对2y 的取值有影响，可利用此条件得到2y 关于1y 的函数，从而求得2y 范围。
求参数取值范围的两个技巧
求参数的取值范围问题比较常见，常出现在不等式、函数、方程、直线、圆、向量等问题当中.此类问题侧重于考查同学们的运算能力和综合分析能力.要求得参数的取值范围，需重点讨论与参数相关的变量或式子，用变量来约束参数的取值.下面介绍两个求参数取值范围的技巧.一、分离参数分离参数是指将不等式或等式进行恒等变形，使不等式或等式的一边含有参数，另一边不含有参数，然后根据不含参数的式子的范围来确定参数的取值范围.一般地，我们可以运用构造函数法、基本不等式法、导数法等来确定不含参数的式子的范围.例1.若函数f(x)=x3-b2x2+bx+c在[-2,1]上是增函数，求b的取值范围.解：由题意可知，函数f(x)在[-2,1]上是增函数，则对于∀x∈[-2,1],有f'(x)=3x2-bx+b≥0恒成立.当x=1时，3x2-bx+b≥0成立；而当x∈[-2,1),要使3x2-bx+b≥0，需使b≥3x2x-1，那么就只需要b>(3x2x-1)max,又(3x2x-1)max=0,所以b≥0.因此，实数b的取值范围是[0,+∞).若遇到含参不等式问题时，我们可先将不等式进行变形，把参数分离出来，得到a≤f(x),a≥f(x),a< f(x),a>f(x)的形式，求出f（x）的最值，只要使a≤f(x)min, a≥f(x)max,a<f(x)min,a>f(x)max，即可求出参数的取值范围.例2.已知不等式sin x∙cos x>m2+m2-1的解集为R，求m的求值范围.解：将不等式sin x∙cos x>m2+m2-1变形可得2sin x∙cos x>2m2+m-2，设g(m)=2m2+m-2,f(x)=2sin x∙cos x=sin2x≥-1,而g(m)<f(x)min，所以2m2+m-2<-1,即(2m-1)(m+1)<0,解得-1<m<12,因此m的取值范围为(-1，12）.本题的不等式中有多项含有m，因此将含m的项与常数项一起分离出来，再构造函数g（x）、f（x），求得f（x）的最值，使g(m)<f(x)min，即可求得m的取值范围.由此可见，通过分离参数解答含参不等式问题，大致可以分为三步：①分离参数；②求函数的最值；③利用极端原理得到最终的答案.二、变更主元对于一些含有多个参数、变量的问题，我们通常使用变更主元法来解题.将参数作为主元，将变量当作参数，将问题转化为关于参数的不等式、函数、方程问题，借助不等式的性质、函数的性质、方程的判别式来建立关于参数的关系式，从而求得参数的取值范围.例3.若函数f(x)=x3+3ax-1,g(x)=f(x)-ax-5,对任意a∈[-1,1]，有g(x)<0，求实数x的取值范围.解：∵g(x)=3x2-ax+3a-5,∴令ϕ(x)=(3-x)a+3x2-5,-1≤a≤1.对于-1≤a≤1,有g(x)<0恒成立,即ϕ(a)<0.∴ìíîϕ(1)<0,ϕ(-1)<0,即ìíî3x2-x-2<0,3x2+x-8<0,解得x∈(-23,1).∴x的取值范围为(-23,1).我们将x看作参数，将a看作变量，将问题转化为关于a的一次函数问题.根据g(x)<0，建立关于a的不等式，解不等式就能求得参数a的取值范围.相比较而言，分离参数的适用范围较广，但运算量较大；变更主元的技巧较为简单，但使用范围较窄，很多同学经常很难想到这个技巧.因此，在解题受阻时，同学们要注意变通，尝试从不同的角度思考解题的思路.（作者单位：甘肃省陇南市成县第一中学）折直解题宝典45。
中考数学解题技巧如何应对含参数的函数题
中考数学解题技巧如何应对含参数的函数题在中考数学中，含参数的函数题是学生常常会遇到的一类题型。
这类题目给出了一个函数，其中包含了一个或多个参数，需要根据不同的参数值去求解题目所要求的内容。
在解决这类题目时，学生需要掌握一定的数学技巧和方法，以下将介绍几种常用的解题技巧，帮助学生应对含参数的函数题，提高解题的准确性和效率。
一、代入法对于含参数的函数题，一种常见的解题技巧是代入法。
具体步骤如下：1. 首先，将题目中给出的参数的值代入到函数中，计算出具体的函数值。
2. 根据题目的要求，利用计算出的函数值进行进一步的运算和操作，得出最后的结果。
例如，题目给出了一个函数 y = ax + b，其中 a 和 b 是参数，要求当x = 3 时的 y 的值。
首先，将 x = 3 代入函数中，得到 y = 3a + b。
然后，根据题目的要求，利用得到的 y 值进行后续的计算和分析。
二、方程解法另一种常用的解题技巧是方程解法。
对于含参数的函数题，学生可以通过建立方程的方式，求解参数的值。
具体步骤如下：1. 首先，根据题目的要求，建立一个方程，其中包含了参数和已知条件。
2. 利用已知条件和已知数值，将方程化简为简单的方程组或一个方程。
3. 解方程，求得参数的值。
4. 将得到的参数代入到函数中，计算出具体的函数值。
例如，题目给出了一个函数 y = ax^2 + bx + c，要求在 x = 1 时的函数值等于 3。
首先，代入 x = 1，得到方程 a + b + c = 3。
然后，根据题目的要求，将方程进行简化为一个方程。
接着，解方程 a + b + c = 3，求得参数的值。
最后，将参数的值代入函数中，计算出具体的函数值。
三、辅助线法辅助线法是解决含参数的函数题时常用的一种技巧。
对于某些特殊的函数题，学生可以通过引入辅助线的方式，简化解题过程，提高解题效率。
具体步骤如下：1. 首先，根据题目的要求，通过观察和分析，找到适合引入辅助线的地方。
经典好题：参数方程中的取值范围与最值问题(详解答案)
经典好题：参数方程中的取值范围与最值问题 一、好题精讲典例：已知曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），点P 是曲线C 上的动点.（1）求曲线C 的普通方程；（2）已知点Q 是直线:2(0)l y x m m =+>上的动点，若P Q 、之间的距离PQ 最小m 的值. 名师指点：（1）曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），可得cos sin y αα==⎩，根据()()22sin cos 1αα+=，即可求得答案；（2）因为点P 是曲线C上的动点，可设点),sin Pαα，直线:2(0)l y x m m =+>，结合P Q 、之间的距离PQ公式和辅助角公式，即可求得答案. 满分解答： （1）曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数）可得cos sin y αα==⎩，故()()2222sin cos 1y αα+=+= ∴曲线C 的普通方程：2212x y +=（2）点P 是曲线C 上的动点，由曲线C的参数方程为sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数），可设点),sin Pαα又Q 是直线:2(0)l y x m m =+>上的动点，要保证P Q 、之间的距离PQ 取最小值，只需保证点),sin Pαα到直线:2(0)l y x m m =+>距离最小设),sin Pαα到直线:20l x y m -+=距离为d根据点到直线距离公式可得：d==tan ϕ=0m >∴()sin 1αϕ-=时d 取最小值，=8m =或2m =-(舍)∴8m =名师点评：本题主要考查了参数方程化为直角方程和直线与椭圆动点距离最值问题，解题关键是掌握点到直线距离公式和辅助角公式，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 二、好题精练1．在直角坐标系xOy 中，曲线C 的方程为221124x y +=，以原点O为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l ()cos 40a a πθ⎛⎫- ⎪⎝=>⎭. （1）求直线l 的直角坐标方程；（2）已知P 是曲线C 上的一动点，过点P 作直线1l 交直线于点A ，且直线1l 与直线l 的夹角为45°，若PA 的最大值为6，求a 的值.2．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos ,sin x t y t αα=+⎧⎪⎨=⎪⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为ρθ=-.（1）求曲线2C 的直角坐标方程；（2）设曲线1C 与2C 交于,A B 两点，若(2,P ，求||||PA PB +的取值范围. 3．在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程为102x ty t =⎧⎨=-⎩（t 为参数），以坐标原点为236（1）求直线l 的普通方程以及曲线C 的参数方程；（2）过曲线C 上任意一点M 作与直线l 的夹角为60︒的直线，交l 于点N ，求MN 的最小值4．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为cos 2sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为22413sin ρθ=+．（1）写出曲线C 1和C 2的直角坐标方程；（2）已知P 为曲线C 2上的动点，过点P 作曲线C 1的切线，切点为A ，求|P A |的最大值．5．在中面直角坐标系xOy 中，已知1C：6x ty =-⎧⎪⎨=⎪⎩t 为参数），2C ：2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩（其中θ为参数）.以O 为极点、x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（两种坐标系的单位长度相同）.（1）求1C 和2C 的极坐标方程；（2）设以O 为端点、倾斜角为α的射线l 与1C 和2C 分别交于A ，B 两点，求OA OB的最小值.6．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2cos sin 60ρθρθ+-=，曲线C 的参数方程为：2cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数）（1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）直线l 与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，设点P 为C 上的一点，求PAB △的面积的最小值.7．在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为1322x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，⊙O的极坐标方程为ρθ=． （1）写出⊙O 的直角坐标方程；（2）P 为直线上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．8．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2212,1sin ρθ=+射线(0)4πθρ=≥交曲线C 于点A ,倾斜角为α的直线l 过线段OA 的中点B 且与曲线C 交于P 、Q 两点. (1)求曲线C 的直角坐标方程及直线l 的参数方程;(2)当直线l 倾斜角α为何值时, |BP |·|BQ |取最小值, 并求出|BP |·|BQ |最小值. 9．已知曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数），以直角坐标系的原点o 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l 的极坐标方程是：12cos sin 6θθρ+=（Ⅰ）求曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程：（Ⅱ）点P 是曲线C 上的动点，求点P 到直线l 距离的最大值与最小值.10．以平面直角坐标系xOy 的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 26πρα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，曲线C的参数方程为2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）. （1）求直线l 的直角坐标方程和曲线C 的普通方程；（2）以曲线C 上的动点M 为圆心、r 为半径的圆恰与直线l 相切，求r 的最大值. 11．在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）．以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程为ρ=．（1）直接写出曲线2C 的普通方程；（2）设A 是曲线1C 上的动点，B 是曲线2C 上的动点，求AB 的最大值．12．在直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程是sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α是参数）.以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C的极坐标方程是sin 4πρθ⎛⎫ ⎪⎭=⎝+（1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）设P 为曲线1C 上的动点，过P 点且与x 垂直的直线交2C 于点A ，求||PA 的最小值，并求此时点P 的直角坐标.13．在平面直角坐标系xOy 中，将曲线方程()()22221164x y -++=，先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到曲线C .（1）点M （x ，y ）为曲线C 上任意一点，写出曲线C 的参数方程，并求出12x 的最大值；（2）设直线l 的参数方程为22x ty t=⎧⎨=-⎩，（t 为参数），又直线l 与曲线C 的交点为E ，F ，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段EF 的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.14．在平面直角坐标系中，曲线1C的参数方程为x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（θ为参数，0πθ≤≤，π2θ≠），以标原点O 为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线2π:cos 4C ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；（2）若点P 在曲线1C 上，点Q 在曲线2C 上，求PQ 的最小值．参考答案1．解：（1cos 4a πθ⎛⎫- ⎪⎭=⎝cos cos sin sin 44a ππθθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， 即cos sin a ρθρθ+=. ∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴直线l 的直角坐标方程为x y a +=，即0x y a +-=.（2）依题意可知曲线C的参数方程为2sin x y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩（α为参数）.设(),2sin P αα，则点P 到直线l 的距离为：d ==∵0a >，∴当sin 13πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，max d =. 又过点P 作直线1l 交直线于点A ，且直线1l 与直线l 的夹角为45，∴cos 45dPA=，即PA =. ∴PAmax 6=6=.∵2a >，∴解得2a =. 2．解：解：（1）cos ,sin x y ρθρθ==，由ρθ=-，∴曲线2C的直角坐标方程为220x y ++=.（2）将曲线1C 的参数方程代入曲线2C 的直角坐标方程， 化简得24cos 10t t α++=，由>0∆，得21cos4α>. 设,A B 两点对应的参数分别为12,t t ， 则12124cos ,10t t t t α+=-=>，12||||4|cos |PA PB t t α∴+=+=，又1cos 12α<≤，24|cos |4α∴<≤， ||||PA PB ∴+的取值范围为(2,4].3．解：（1）将直线l 的参数方程消去参数t ， 可得直线l 的普通方程为210x y +-=0．将222p x y =+，cos x ρθ=代入曲线C 的极坐标方程，可得曲线C 的直角坐标方程为229436x y +=，即22149x y +=故曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）（2）设()2cos ,3sin M ϕϕ，则M 到l 的距离d ==，其中tan 43r =．如图，过点M 作MP l ⊥于点P ，则d MP =，则在Rt MNP △中，sin60||dMN ︒==． 当()sin 1r ϕ+=时，d故MN=4．解：（1）由cos 2sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），消去参数α，可得22(2)1x y +-=．∴曲线C 1的直角坐标方程为22(2)1x y +-=； 由22413sin ρθ=+，得ρ2+3ρ2sin 2θ＝4， 即x 2+y 2+3y 2＝4，即2214x y +=．∴曲线C 2的直角坐标方程为2214x y +=；（2）∵P 为曲线C 2上的动点，又曲线C 2的参数方程为2cos sin x y αα=⎧⎨=⎩∴设P （2cos α，sin α）， 则P 与圆C 1的圆心的距离d ===． 要使|P A |的最大值，则d 最大，当sin α23=-时，d∴|P A |==． 5．解：（1）在6x ty =-⎧⎪⎨=⎪⎩中，消去参数t，得)6y x =-0y +-=.由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得)sin ρθθ+=，所以1C的极坐标方程为πsin 3ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（未化成这种形式可不扣分）在2cos 22sin x y θθ=⎧⎨=+⎩中，消去参数θ，得()2224x y +-=，即2240x y y +-=. 由cos x ρθ=，sin y ρθ=，得24sin 0ρρθ-=，即4sin ρθ=.（2）射线l 的极坐标方程为θα=，则OA =4sin OB α=.所以OAOB==12sin 26α=+- ⎪⎝⎭. 故OA OB当且仅当πsin 216α⎛⎫-= ⎪⎝⎭即π3α=时取得. 6．解：（1）直线l 的直角坐标方程为260x y +-=；因为22cos sin 1αα+=，所以曲线C 的普通方程为22149x y +=；（2）对直线l ，令0y =可得3x =，则(3,0)A ；令0x =可得6y =，则(0,6)B ， 设(2cos ,3sin )P αα，点P 到直线l的距离d ==其中34cos ,sin 55ϕϕ==， PAB △的面积35sin()611222S AB d αϕ⨯+-=⋅⋅=⨯=， 当sin()=1αϕ+时，PAB △的面积取得最小值32. 7．解：（1）由222,sin x y y ρρθ=+=得222sin x y ρθρθ=⇒=⇒+=，即⊙O 的直角坐标方程为220x y +-=，即22(3x y +=；（2）设P 点坐标为1(3)2t +，P 到圆心C 的距离d ==≥=当0t =时，P 到圆心C 的距离取最小值 此时(3,0)P .8．解：（1）由题,因为22121sin ρθ=+,即()221sin 12ρθ+=, 因为222sin x y y ρρθ⎧=+⎨=⎩, 所以22212x y y ++=,即22212x y +=,则曲线C 的直角坐标方程为221126x y +=,因为射线(0)4πθρ=≥交曲线C 于点A ,所以点A 的极坐标为4π⎛⎫⎪⎝⎭, 则点A 的直角坐标为()2,2,所以OA 的中点B 为()1,1,所以倾斜角为α且过点B 的直线l 的参数方程为1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）.（2）将直线l 的参数方程1cos 1sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数）代入曲线C 的方程221126x y+=中,整理可得()()222cos2sin 2cos 4sin 90t t αααα+++-=,设P 、Q 对应的参数值分别是1t 、2t ,则有12229cos 2sin t t αα-=+, 则1222299cos 2sin 1sin BP BQ t t ααα⋅===++, 因为(]0,απ∈,当sin 1α=,即2πα=时,BP BQ ⋅取得最小值为929．解：（Ⅰ）∵曲线C 的参数方程为2cos 3sin x y ϕϕ=⎧⎨=⎩（ϕ为参数）， ∴曲线C 的普通方程为22149x y +=， ∵直线l 的极坐标方程是：12cos sin 6θθρ+=， ∴2cos sin 6ρθρθ+=，∴直线l 的直角坐标方程为260x y +-=.（Ⅱ）∵点P 是曲线C 上的动点，∴设()2cos ,3sin P ϕϕ，则P 到直线l 的距离：d ==，∴当()sin 1ϕθ+=-时，点P 到直线l距离取最大值max 5d ==； 当()sin 1ϕθ+=时，点P 到直线l距离取最小值min 5d ==. 10．解：（1）由sin 26πρα⎛⎫+=⎪⎝⎭1sin cos 22αρα+=， 将sin y ρα=，cos x ρα=代入上式，得直线l 的直角坐标方程为40x +-=.由曲线C 的参数方程2cos x y θθ=⎧⎪⎨=⎪⎩（θ为参数）， 得曲线C 的普通方程为22143x y +=.（2）设点M 的坐标为()2cos θθ，则点M 到直线l ：40x +-=的距离为2cos 3sin 42d θθ+-==2tan 3ϕ=，ϕ为锐角）， 当d r =时，圆M 与直线l 相切，故当()sin 1θϕ+=-时，r 取最大值，且r的最大值为42+. 11．解：（1）曲线2C 的普通方程为2214y x +=； （2）由曲线1C 的参数方程为22cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）， 得曲线1C 的普通方程为2224x y -+=（）， 它是一个以20C （，）为圆心，半径等于2的圆， 则曲线2C 的参数方程为：cos (2sin x y βββ=⎧⎨=⎩为参数）， ∵A 是曲线1C 上的点，B 是曲线2C 上的点， ∴max max 2AB BC =+．设cos 2sin B ββ（，），则BC， ∴当2cos =3β-时，max 3BC∴max 23AB =+． 12．解：（1）由曲线1:sin x C y αα⎧=⎪⎨=⎪⎩，可得：cos sin y αα⎧=⎪⎨⎪=⎩两式两边平方相加可得：曲线1C 的普通方程为：2213x y +=.由曲线2:sin 4C πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(sin cos )ρθθ+= 即()sin cos 8ρθθ+=，所以曲线2C 的直角坐标方程为：80x y +-=. （2）由（1）知椭圆1C 与直线2C 无公共点，椭圆上的点),sin P αα到直线80x y +-=的距离为d ==， 当sin 13πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭时，d的最小值为 此时||PA 的最小值为6，此时点P 的坐标为31,22⎛⎫⎪⎝⎭. 13．解：（1）将曲线方程()()22221164x y -++=，先向左平移2个单位，再向上平移2个单位，得到曲线C 的方程为()()2222221164x y -++-+=， 即221164x y +=， 故曲线C 的参数方程为42x cos y sin θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数）；又点M （x ，y ）为曲线C 上任意一点，所以12x =2cos θθ-=4cos （3πθ+）.所以12x 的最大值为4； （2）由（1）知曲线C 的直角坐标方程为221164x y +=， 又直线l 的参数方程为22x t y t =⎧⎨=-⎩，（t 为参数）， 所以直线l 的普通方程为x +2y ﹣4＝0，所以有222401164x y x y +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩， 解得40x y =⎧⎨=⎩或02x y =⎧⎨=⎩.所以线段EF 的中点坐标为（402022++，）， 即线段EF 的中点坐标为（2，1），直线l 的斜率为12-， 则与直线l 垂直的直线的斜率为2，故所求直线的直角坐标方程为y ﹣1＝2（x ﹣2）， 即2x ﹣y ﹣3＝0，将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入，得其极坐标方程为2ρcos θ﹣ρsin θ﹣3＝0.14．解：（1）由已知可得222224tan 2tan 112tan 1x y θθθ⎧=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩， 所以2222x y +=，又0θπ≤≤且2πθ≠，所以(]0,1y =，故1C 普通方程为2212x y +=（01y <≤），由2π:cos 4C ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos sin 20ρθρθ+-=， 所以2C ：20x y +-=．（2）设),sin P ϕϕ，（0ϕπ<<）． 则点P 到直线20x y +-=的距离2d -+===，其中tan α=当()sin 1ϕα+=时，min d ==．所以PQ。
专题求参数取值范围一般方法
专题——求参数取值范围一般方法观点与用法恒成立问题是数学中常有问题，也是历年高考的一个热门。
题型特色大多以已知一个 变量的取值范围，求另一个变量的取值范围的形式出现。
这样的题型会出现于代数中的不等 式里也会出此刻几何里。
就常考题型的一般题型以及解题方法，我在这里做了个小结。
题型以及解题方法一，分别参数在给出的不等式中，假如能经过恒等变形分别出参数，即：若a f x 恒成立，只须 求出 f x ，则maxa f x ；若 a f x 恒成立， 只须求出maxf x ，则mina f x ，min转变为函数求最值。
a例 1、已知函数 lg 2f x xx，若对随意 x 2, 恒有 f x 0，试确立 a 的取值范围。
a解：依据题意得：x 2 1在x 2, 上恒成立，x即：23a x x 在 x 2, 上恒成立，设23f x x x ，则f x x2 3 9 2 4当 x 2时，f x max 2 因此 a 2例2．已知当x R 时，不等式a+cos2x<5 4sinx+ 5a 4 恒成立，务实数a 的取值范围。
剖析：在不等式中含有两个变量a 及x ，此中x 的范围已知（x R ），另一变量a 的范 围即为所求，故可考虑将a 及x 分别。
解：原不等式即：4sinx+cos2x< 5a 4 a+5要使上式恒成立，只要5a 4 a+5 大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转变成 求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x= 2sin 2x+4sinx+1= 2(sinx 1)2+3 3,∴5a 4 a+5>3 即5a 4 >a+2 a5a 5a 2 4 4 0 0 (a2) 2或a 5a 2 4 0 0，解得 45 上式等价于a<8.说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1 2sin 2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转变成对于t 的二次函数种类。
七年级丨专题训练-不等式和不等式组中参数的取值求法
七年级丨专题训练-不等式和不等式组中参数的取值求法“参数的取值”指的是在不等式或不等式组中，除未知数外的字母为满足不等式（组）成立而所取的准确数或值的范围。
要学会解这类题，必须清楚地明确以下两个问题：（1）不等式的主要基本性质：不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。
（2）不等式组的四种解集情况（a<b）①若，则x>b（大大取大大）；②若，则x<a（小小取小小）③若，则a<x<b（大小小大取中间）④若，则无解（大大小小落空了）以上两个问题反过来也成立。
一、用不等式的基本性质求例1、不等式ax>b的解集是，则a的取值范围是（）A.B. a<0C.D. a>0分析：由不等式的基本性质知a<0，故选B。
二、用等值代换法求例2、如果关于x的不等式和2x<4的解集相同，则a的值为____________。
分析：由2x<4得x<2由得所以例3、关于x的不等式组的解集为，求a、b的值。
解：将原不等式组化简后，得即所以解方程组得a＝－2，三、用不等式组的解集情况求例4、已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围是____________。
分析：由原不等式组得，因为不等式组无解，所以由“大大小小落空了”得。
例5、不等式组的解集是x>2，则m的取值范围是（）A.B.C.D. m>1分析：由原不等式组得，因为不等式组的解集是x>2，所以由“大大取大大”得，，故选C。
例6、若不等式组的解集为，求a的取值范围。
解：由原不等式组得以下两个不等式组和，因为原不等式组的解集为，所以由“大大取大大”和“小小取小小”得即，得又有，得a>1所以例7、若不等式组解集为x>－1，则m的值为___________。
分析：这里是“大大取大大”，若，则m＝－1；若m＋2＝－1，则m＝－3因为当m＝－1时原不等式组就是，解集为x>1不合题意；当m＝－3时原不等式组就是，解集为x>－1，所以m＝－3。
常见参数取值问题的题型与方法
常见参数取值问题的题型与方法
毛伟民
【期刊名称】《中学教研：数学版》
【年(卷),期】2007(000)003
【摘要】1 考点释要参数广泛地存在于中学的数学问题中，求参数取值范围的问题，涉及高中的代数和几何的多个方面的知识，综合考查学生应用数学知识解决问题的能力，在历年高考中占有较稳定的比重．这一讲结合近几年高考的热点和重点，探讨含参数的函数、方程与不等式问题以及解析几何中参数范围的确定等问题的基本题型和基本方法，提高解决和分析这类问题的能力．解决这一类问题常用的思想方法有函数思想、数形结合、分类讨论等．
【总页数】4页(P27-30)
【作者】毛伟民
【作者单位】浙江大学附属中学,310012
【正文语种】中文
【中图分类】G633.6
【相关文献】
1.参数取值问题的常见题型及求解策略 [J], 唐成就
2.浅谈SATWE参数取值及常见问题处理 [J], 于秀华;姜鸿炜
3.排列组合问题的常见题型及解题方法 [J], 郭庆生
4.排列组合问题的常见题型及解题方法 [J], 无
5.浅谈平面解析几何中比例问题的常见题型和解题方法 [J], 张楚宁; 沙伯胤(指导)
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求参数取值范围一般方法
求参数取值范围一般方法一、分离参数在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若()a f x ≥恒成立，只须求出()max f x ，则()m ax a f x ≥；若()a f x ≤恒成立，只须求出()min f x ，则()min a f x ≤，转化为函数求最值。
例1、已知函数()lg 2a f x x x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，若对任意[)2,x ∈+∞恒有()0f x >，试确定a 的取值范围。
例2、已知(],1x ∈-∞时，不等式()21240x x a a ++-⋅>恒成立，求a 的取值范围。
1.若不等式x 2+ax+1≥0,对于一切x ∈［0,21］都成立，则a 的最小值是＿＿ 2.设124()lg ,3x xa f x ++=其中a R ∈，如果(.1)x ∈-∞时，()f x 恒有意义，求a 的取值范围。
3.已知函数]4,0(,4)(2∈--=x x x ax x f 时0)(<x f 恒成立，求实数a 的取值范围。
二、分类讨论在给出的不等式中，如果两变量不能通过恒等变形分别置于不等式的两边，则可利用分类讨论的思想来解决。
例1、若[]2,2x ∈-时，不等式23x ax a ++≥恒成立，求a 的取值范围。
例2：若不等式02)1()1(2>+-+-x m x m 的解集是R ，求m 的范围。
例3.关于x 的不等式0622<+++m m mx x 在[]20,上恒成立，求实数m 的取值范围．变式：若函数m m mx x y 622+++=在[]20,上有最小值16，求实数m 的值．1.已知752+->x x x a a 0(>a 且)1≠a ，求x 的取值范围．2.求函数)(log 2x x y a -=的单调区间．3.设22)(2+-=mx x x f ，当),1[+∞-∈x 时，m x f ≥)(恒成立，求实数m 的取值范围。
求取值范围的题
求取值范围的题
（实用版）
目录
1.求取值范围的题目概述
2.求取值范围的方法
3.求取值范围的实际应用
4.结论
正文
一、求取值范围的题目概述
求取值范围的题目是数学中的一种题型，主要目的是要求解某个数学函数或者变量的取值范围。
在解决这类题目时，需要运用数学知识，如代数、几何、函数等，来确定变量或函数的取值范围。
这类题目不仅可以提高学生的数学能力，还有助于培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
二、求取值范围的方法
求取值范围的方法有多种，主要包括以下几种：
1.代数法：通过列方程、解方程来求解变量或函数的取值范围。
2.几何法：利用几何图形的性质来求解变量或函数的取值范围。
3.函数法：利用函数的性质，如单调性、周期性等来求解函数的取值范围。
4.数形结合法：将代数与几何相结合，利用数形结合的思想来求解变量或函数的取值范围。
三、求取值范围的实际应用
求取值范围在实际生活和科学研究中有广泛的应用，例如：
1.在物理学中，求解物体的运动范围；
2.在经济学中，求解某个经济指标的取值范围；
3.在工程领域，求解某个工程设计的参数范围等。
通过求取值范围，可以帮助我们更好地理解问题，为实际问题提供解决方案。
四、结论
求取值范围的题目是数学中的一种重要题型，掌握求取值范围的方法不仅可以提高学生的数学能力，还有助于培养学生的逻辑思维和分析问题的能力。
初中数学求一类参数取值范围的三种方法 学法指导
初中数学求一类参数取值范围的三种方法求一次不等式或不等式组中参数的取值范围，近年来在各地中考试卷中都有出现。
从卷面上看，同学们丢分现象较严重下面举例介绍三种方法，供大家学习时参考。
一、利用不等式的性质求解例1. 已知关于x 的不等式5x )a 1(>-的解集为a15x -<，则a 的取值范围是（ ） A. 0a > B. 1a >C. 0a <D. 1a <解：对照已知解集，发现不等式的两边同除以a 1-以后，不等号的方向改变了，由此可知0a 1<-，即1a >，故选B 。
例2. 若满足不等式51a 3x )2a (3≤---≤的x 必满足5x 3≤≤，则a 的取值范围是（ ）A. 2a >B. a a <C. 8a ≥D. 8a ≤解：原不等式可化为⎩⎨⎧+≤-+≥-6a 3x )2a (4a 3x )2a ( 当2a >时，2a 6a 3x 2a 4a 3-+≤≤-+ 由题意，得52a 6a 32a 4a 33≤-+≤-+≤ 解之，得8a ≥当2a =时，不等式组无解当2a <时，2a 4a 3x 2a 6a 3-+≤≤-+ 由题意，得52a 4a 32a 6a 33≤-+≤-+≤ 此不等式无解综上所述，8a ≥，故选C 。
二、根据解集的特性求解例3. 若关于x 的不等式0a x 2≤-的正整数解是1、2、3，则a 的取值范围是（ ）A. 6a ≥B. 6a ≤C. 8a 6<≤D. 8a 6≤<解：3是满足此不等式的最大正整数，将x=3代入0a x 2≤-，得6a ≥4不是此不等式的解，将4x =代入后不成立，即0/a 42≤-⨯，故8\a ≥，即8a <。
综上所述，8a 6<≤，故选C 。
例4. 已知不等式组⎪⎩⎪⎨⎧<-+≤+3x 2a x )2x (3a 5x 2有解，且每一个解x 均不在4x 1≤≤-范围内，则a 的取值范围是（ ）A. 3a 2<<B. 2a 31a >-≤或C. 31a -≤ D. 3a 231a <<-≤或 解：原不等式组可化为⎩⎨⎧<-≥a 3x 6a 5x3a a 3x 6a 5<∴<≤-∴ 当1x -≤时，1a 3-≤31a -≤∴ 当a>4时，6a 54-<2a >∴综上所述，31a -≤或3a 2<< 故选D例5. 若关于x 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+>++-<a x 42x 31)3x (3x 2，有四个整数解，则a 的取值范围是（ ） A. 25a 411-≤<- B. 25a 411-<≤- C. 25a 411-≤≤- D. 25a 411-<<- 解：原不等式组可化为⎩⎨⎧-<>a 42x 8x a 42x 8-<<∴∴四个整数解为9、10、11、12∴13a 4212≤-<解之，得25a 411-<≤-，故选B三、逆用不等式组求解的方法求解例6. 已知不等式组⎩⎨⎧>-<+ax 1x 48x 的解集是x>3，则a 的取值范围是（ ）A. 3a ≥B. 3a =C. 3a <D. 3a ≤解：原不等式组可化为⎩⎨⎧>>a x 3x ，对照已知解集3x >，根据不等式组“大大取较大”的求解方法，得3a ≤，故选D 。
八年级数学：四类分式方程求参数字母取值常见考试题型，学霸笔记
八年级数学：四类分式方程求参数字母取值常见考试题型，学霸笔记分式方程除了平时的解分式方程之外，还有以下几种常见的考试题型，就是分式方程中求字母参数，希望同学们能够好好的体会和理解。
题目都是差不多的，数学题是千变万化的，但是解题似乎和方法都是一样，很多题型是都共通的。
平时在写作业，在测试的时候，多总结类似题型，多总结相关方法。
第一种类型，就是分式方程的解是一个定值。
那么一般就直接把解代入原分式方程，就会得到一个关于字母参数的新的方程，解得就好。
不是很难。
然后有需要化简求值的，就按一般的步骤化简，代入求值就可以了。
第二类型，就是分式方程的解是正数，或者是负数，或者非负数、非正数等。
比如像上面这道题，原分式方程的解是正数。
解此题，首先解分式方程，用含m的代数式表示x，然后再根据条件确定m的取值范围。
比如此题，x=6-m。
解为正数，那么就是6-m＞0。
但是一定要记得最简公分母不为0的条件。
方法总结：已知方程解的特征，确定字母参数的取值，解此类问题可按如下步骤进行。
①、解分式方程化为整式方程，求出用字母表示的方程的解。
②，根据条件确定字母的取值范围。
③，去掉是分式方程无意义的字母的取值。
一定要注意隐含的条件，就是最简公分母不为0。
第三类型，就是分式方程有增根，求字母参数的值。
此类题，先方程两边同时乘以最简公分母，可以解得原分式方程，用含参数字母的代数式表示。
再找到使最简公分母等于0的增根，让这个代数式等于增根，得到一个关于字母参数的方程，解得即可。
还有一个种解法，先方程两边同时乘以最简公分母，得到一个整式方程。
把增根代入新的整式方程，就可以求出字母参数的值。
第四种类型，含字母参数的分式方程无解，求字母参数的值。
解这类题，第一步方程两边同时乘以最简公分母，将原分式方程化成整式方程，解得，用含参数字母的代数式来表示。
第二步就是分析原分式方程无解的两种情况。
①、新的整式方程本身不解。
②、整式方程的解是增根。
方法总结，导致分式方程无解的两个主要原因。
高考数学专题复习 参数取值问题的题型与方法 试题
卜人入州八九几市潮王学校2021年高考数学专题复习参数取值问题的题型与方法要点综述：本讲从对历年高考题的剖析来领会分类讨论思想方法，开展数学思维，进步解题才能.求参数的取值范围的问题，在数学里比比皆是，这一讲，我们先展示2021年高考中参数取值问题的试题，再分四个方面来讨论。
〔Ⅰ〕2021年参数取值问题综合题选1．〔2021年高考卷理科〔19〕〕记函数f(x)=132++-x x 的定义域为A,g(x )=lg[(x －a －1)(2a －x )](a <1)的定义域为B.〔Ⅰ〕求A ；〔Ⅱ〕假设B ⊆A,务实数a 的取值范围. 解：(1)2－13++x x ≥0,得11+-x x ≥0,x <－1或者x ≥1 即A=(－∞,－1)∪[1,+∞](2)由(x －a －1)(2a －x )>0,得(x －a －1)(x －2a)<0. ∵a <1,∴a +1>2a ,∴B=(2a ,a +1). ∵B ⊆A,∴2a ≥1或者a +1≤－1,即a ≥21或者a ≤－2,而a <1, ∴21≤a <1或者a ≤－2,故当B ⊆A 时,实数a 的取值范围是(－∞,－2]∪[21,1) 2．〔2021年高考卷〔18〕〕设全集U=R解关于x 的不等式);(01|1|R a a x ∈>-+-〔Ⅱ〕记A 为〔1〕中不等式的解集，集合}0)3cos(3)3sin(|{=-+-=ππππx x x B，假设〔∪A 〕∩B 恰有3个元素，求a 的取值范围. 解：〔1〕由.1|1|01|1|a x a x ->->-+-得当1>a时，解集是R ；当1≤a 时，解集是}.2|{a x a x x -><或〔2〕当1>a 时，〔∪A 〕=φ；当1≤a时，∪A=}.2|{a x a x -≤≤ 因)3cos(3)3sin(ππππ-+-x x .sin 2]3sin )3cos(3cos )3[sin(2x x x πππππππ=-+-=由.,),(,0sin Z B Z k x Z k k x x=∈=∈==所以即得πππ当〔∪A 〕∩B 怡有3个元素时，a 就满足⎪⎩⎪⎨⎧≤<-<-≤<.01,322,1a a a 解得.01≤<-a说明：此题主要考察集合的有关概念，含绝对值的不等式，简单三角函数式的化简和三角函数值求角等根底知识，考察简单的分类讨论方法，以及分析问题和推理计算才能。
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第30－34课时： 参数取值问题的题型与方法（Ⅰ）参数取值问题的探讨一、若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且容易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解。
例1．已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx+45-a 恒成立，求实数a 的取值范围。
分析：在不等式中含有两个变量a 及x ，其中x 的范围已知（x ∈R ），另一变量a 的范围即为所求，故可考虑将a 及x 分离。
解：原不等式即：4sinx+cos2x<45-a -a+5要使上式恒成立，只需45-a -a+5大于4sinx+cos2x 的最大值，故上述问题转化成求f(x)=4sinx+cos2x 的最值问题。
f(x)= 4sinx+cos2x=-2sin 2x+4sinx+1=-2(sinx -1)2+3≤3,∴45-a -a+5>3即45-a >a+2上式等价于⎪⎩⎪⎨⎧->-≥-≥-2)2(4504502a a a a 或⎩⎨⎧≥-<-04502a a ，解得≤54a<8.说明：注意到题目中出现了sinx 及cos2x ，而cos2x=1-2sin 2x,故若把sinx 换元成t,则可把原不等式转化成关于t 的二次函数类型。
另解：a+cos2x<5-4sinx+45-a 即a+1-2sin 2x<5-4sinx+45-a ,令sinx=t,则t ∈[-1,1], 整理得2t 2-4t+4-a+45-a >0,( t ∈[-1,1])恒成立。
设f(t)= 2t 2-4t+4-a+45-a 则二次函数的对称轴为t=1,∴ f(x)在[-1，1]内单调递减。
∴ 只需f(1)>0,即45-a >a -2.(下同)例2．已知函数f(x)在定义域（-∞，1]上是减函数，问是否存在实数k ，使不等式f(k -sinx)≥f(k 2-sin 2x)对一切实数x 恒成立？并说明理由。
分析：由单调性与定义域，原不等式等价于k -sinx ≤k 2-sin 2x ≤1对于任意x ∈R 恒成立，这又等价于⎪⎩⎪⎨⎧----≥+-----+≤)2()21(sin 41)1(sin 12222x k k x k 对于任意x ∈R 恒成立。
不等式（1）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k 2≤(1+sin 2x)min =1,即-1≤k ≤1----------(3) 不等式（2）对任意x ∈R 恒成立的充要条件是k 2-k+41≥[(sinx -21)2]max =49, 即k ≤-1或k ≥2,-----------(4)由（3）、（4）求交集，得k=-1,故存在k=-1适合题设条件。
说明：抽象函数与不等式的综合题常需要利用单调性脱掉函数记号。
例3．设直线l 过点P （0，3），和椭圆x y 22941+=顺次交于A 、B 两点，试求AP PB 的取值范围.分析：本题中，绝大多数同学不难得到：AP PB =BA x x-，但从此后却一筹莫展, 问题的根源在于对题目的整体把握不够. 事实上，所谓求取值范围，不外乎两条路：其一是构造所求变量关于某个（或某几个）参数的函数关系式（或方程），这只需利用对应的思想实施；其二则是构造关于所求量的一个不等关系.思路1: 从第一条想法入手，AP PB =BA x x-已经是一个关系式，但由于有两个变量B A x x ,，同时这两个变量的范围不好控制，所以自然想到利用第3个变量——直线AB 的斜率k . 问题就转化为如何将B A x x ,转化为关于k 的表达式，到此为止，将直线方程代入椭圆方程，消去y 得出关于x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.解1：当直线l 垂直于x 轴时，可求得5-=PB ； 当l 与x 轴不垂直时，设())(,,2211y x B y x A ，，直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y得()045544922=+++kx x k ，解之得 .4959627222,1+-±-=k k k x 因为椭圆关于y 轴对称，点P 在y 轴上，所以只需考虑0>k 的情形.当0>k 时，4959627221+-+-=k k k x ，4959627222+---=k k k x ，所以 21x x PB AP-==5929592922-+-+-k k k k =59291812-+-k k k =25929181k -+-.由 ()049180)54(22≥+--=∆k k , 解得 952≥k ， 所以 51592918112-<-+-≤-k ，综上 511-≤≤-PB AP .思路2: 如果想构造关于所求量的不等式，则应该考虑到：判别式往往是产生不等的根源. 由判别式值的非负性可以很快确定k 的取值范围，于是问题转化为如何将所求量与k 联系起来. 一般来说，韦达定理总是充当这种问题的桥梁，但本题无法直接应用韦达定理，原因在于21x x PB AP-=不是关于21,x x 的对称关系式. 原因找到后，解决问题的方法自然也就有了，即我们可以构造关于21,x x 的对称关系式.解2：设直线l 的方程为：3+=kx y ，代入椭圆方程，消去y 得()045544922=+++kx x k（*）则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=+.4945,4954221221k x x k k x x 令λ=21x x ，则，.20453242122+=++k k λλ 在（*）中，由判别式,0≥∆可得 952≥k ，从而有 5362045324422≤+≤k k ，所以536214≤++≤λλ，解得551≤≤λ.结合10≤<λ得151≤≤λ.综上，511-≤≤-PB AP . 说明：范围问题不等关系的建立途径多多，诸如判别式法，均值不等式法，变量的有界性法，函数的性质法，数形结合法等等. 本题也可从数形结合的角度入手，给出又一优美解法.二、直接根据图像判断若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可以通过画图直接判断得出结果。
尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。
例4．（2003年江苏卷第11题、天津卷第10题）已知长方形四个顶点A （0，0），B （2，0），C （2，1）和D （0，1）.一质点从AB 的中点P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点P 1后，依次反射到CD 、DA 和AB 上的点P 2、P 3和P 4（入射角等于反射角）.设P 4的坐标为（x 4，0）.若1< x 4<2，则tan θ的取值范围是 （ ）(A))1,31( (B))32,31( (C))21,52( (D))32,52(分析: 《高中数学课程标准》提倡让学生自主探索, 动手实践, 并主张在高中学课程设立“数学探究”学习活动, 03年数学试题反映了这方面的学习要求，在高考命题中体现了高中课程标准的基本理念．本题可以尝试用特殊位置来解，不妨设4P 与AB 的中点P 重合（如图1所示），则P 1、P 2、P 3分别是线段BC 、CD 、DA 的中点，所以1tan 2θ=．由于在四个选择支中只有C 含有12，故选C ． 当然，本题也可以利用对称的方法将“折线”问题转化成“直线”问题来直接求解（如图2所示）．说明 由本题可见, 0３年试题强调实验尝试, 探索猜想在数学学习中的地位．这也是选择题的应有特点．例5．当x ∈(1,2)时，不等式(x -1)2<log a x 恒成立，求a 的取值范围。
分析：若将不等号两边分别设成两个函数，则左边为二次函数，图象是抛物线，右边为常见的对数函数的图象，故可以通过图象求解。
解：设y 1=(x -1)2,y 2=log a x,则y 1的图象为右图所示的抛物线，要使对一切x ∈(1,2),y 1<y 2恒成立，显然a>1,并且必须也只需当x=2时y 2的函数值大于等于y 1的函数值。
故log a 2>1,a>1,∴1<a ≤2.例6．函数y=(x -1)log 23a -6xlog 3a+x+1，其中在x ∈[0,1]时函数恒正，求a 的范围。
解：排除对数log 3a 的干扰，选x 为“主元”化函数为 y=f(x)=(log 32a -6 log 3a+1)x+1-log 32a, x ∈[0,1].一次（或常数）函数恒正，被线段端点“抬在”x 轴的上方。
故有：.31log 1,3310)1(0)0(033<<-∴<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>>>a a f f a说明：给定一次函数y=f(x)=ax+b(a ≠0),若y=f(x)在[m,n]内恒有f(x)>0，则根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于ⅰ）⎩⎨⎧>>0)(0m f a 或ⅱ）⎩⎨⎧><0)(0n f a 亦可合并定成⎩⎨⎧>>0)(0)(n f m f同理，若在[m,n]内恒有f(x)<0，则有()0()0f m f n <⎧⎨<⎩例7．对于满足|p|≤2的所有实数p,求使不等式x 2+px+1>2p+x 恒成立的x 的取值范围。
分析：在不等式中出现了两个字母：x 及P,关键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常数。
显然可将p 视作自变量，则上述问题即可转化为在[-2，2]内关于p 的一次函数大于0恒成立的问题。
略解：不等式即(x -1)p+x 2-2x+1>0,设f(p)= (x -1)p+x 2-2x+1,则f(p)在[-2,2]上恒大于0，故有：⎩⎨⎧>>-)2(0)2(f f 即⎪⎩⎪⎨⎧>->+-0103422x x x 解得：⎩⎨⎧-<><>1113x x x x 或或 ∴x<-1或x>3.例8.设f(x)=x 2-2ax+2,当x ∈[-1,+∞)时，都有f(x)≥a 恒成立，求a 的取值范围。
分析：题目中要证明f(x)≥a 恒成立，若把a 移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间[-1,+∞)时恒大于0的问题。
解：设F(x)= f(x)-a=x 2-2ax+2-a.ⅰ)当∆=4（a -1)(a+2)<0时，即-2<a<1时，对一切x ∈[-1,+∞)，F(x)≥0恒成立； ⅱ）当∆=4（a -1)(a+2) ≥0时由图可得以下充要条件： ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-≤--≥-≥∆,1220)1(0af 即⎪⎩⎪⎨⎧-≤≥+≥+-,1030)2)(1(a a a a 得-3≤a ≤-2;综合可得a 的取值范围为[-3，1]说明：若二次函数y=ax 2+bx+c=0(a ≠0)大于0恒成立，则有⎩⎨⎧<∆>00a若是二次函数在指定区间上的恒成立问题，还可以利用韦达定理以及根与系数的分布知识求解。