江苏省南通市高考数学模拟试卷(五)含答案
江苏省南通市普通高中2020届高三高考考前模拟卷(五)数学试题(含附加题)及答案
绝密★启用前江苏省南通市普通高中2020届高三毕业班下学期高考考前模拟卷(五)数学试题数学Ⅰ（南通数学学科基地命题）一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1. 已知全集U =R ，集合A ={x ｜3≤x ＜7}，B ={x ｜x 2－7x +10＜0}，则A ∩B ＝ ▲ . 2. 已知a ∈R ，复数满足z1+i =1+ai 且虚部为－1(i 为虚数单位),则a ＝ ▲ .3. 如图是某个容量为100的样本的频率分布直方图,则数据在区间[6,10)上的频数是 ▲ .4. 如图是一个算法流程图,则输出的S 的值为 ▲ .5. 记函数f (x )= －x 2＋5x －4的定义域为D ,若在区间[－5,5]上随机取一个数x ,则x ∈D的概率为 ▲ .6. 在各项都是正数的等比数列{a n }中,a 2,12a 3,a 1成等差数列,则a 6＋a 7a 5＋a 6的值是 ▲ .7. 已知函数f (x )= sin(ωx +φ) (ω>0,0<φ<π)的最小正周期是π,若将该函数的图象向右平移π3个 单位长度后得到的图象关于原点对称,则函数的解析式f (x )= ▲ .8. 已知不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x －y ≥0，x ＋y ≥0，x ≤a ，表示的平面区域为S ,若点P (x ,y )∈S ,且z =2x +y 的最大值（第4题）（第3题）为9,则实数a 的值为 ▲ .9. 已知P 是以F 1,F 2为左,右焦点的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0,b ＞0)的右支上的一点,且满足PF 1→・PF 2→=0,tan ∠P F 1F 2=14,则此双曲线的离心率为 ▲ . 10. 如图,在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中,棱长为2,P 为 AA 1的中点,Q 为CC 1的中点,则三棱锥B －PQD 的体 积为 ▲ .11. 若圆C :x 2＋y 2－2x ＋4y －3=0关于直线2ax ＋by ＋6=0对 称,则由点(a ,b )向圆C 所作切线长的最小值是 ▲ .12. 在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,已知C =π3,若2｜CA →－CB →｜=4,则△ABC面积的最大值为 ▲ .13. 已知函数f (x )=ax ＋3＋|2x 2＋(4－a )x －1|的最小值为2,则a ＝ ▲ . 14. 设函数f 1(x )= x 2,f 2(x )=2（x －x 2）,f 3(x )=13 |sin2πx |. 取t i =i 2019,i =0,1,2, (2019)S k =| f k (t 1)－f k (t 0)|＋| f k (t 2)－f k (t 1)|＋…＋| f k (t 2019)－f k (t 2018)|,k =1,2,3, 则S 1,S 2,S 3的大小关系为 ▲ . (用“<”连接)二、解答题：本大题共6小题,共90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.（本小题满分14分）如图,在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,∠ABD =30°,AB =2CD =2AD ,DE ⊥平面ABCD ,EF ∥BD ,且EF =13BD .求证：(1) DE ∥平面ACF ;(2)平面ADE ⊥平面BDEF .16.（本小题满分14分）(第15题)EFBDACC 1D 1B 1A 1PADC BQ（第10题）。
江苏省南通市2019-2020学年高考数学五月模拟试卷含解析
江苏省南通市2019-2020学年高考数学五月模拟试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为A ．48B ．72C ．90D ．96 【答案】D【解析】因甲不参加生物竞赛，则安排甲参加另外3场比赛或甲学生不参加任何比赛①当甲参加另外3场比赛时，共有13C •34A =72种选择方案；②当甲学生不参加任何比赛时，共有44A =24种选择方案．综上所述，所有参赛方案有72+24=96种故答案为：96点睛：本题以选择学生参加比赛为载体，考查了分类计数原理、排列数与组合数公式等知识，属于基础题．2．已知命题p ：“a b >”是“22a b >”的充要条件；:q x ∃∈R ，|1|x x +≤，则（ ）A ．()p q ⌝∨为真命题B ．p q ∨为真命题C ．p q ∧为真命题D ．()p q ∧⌝为假命题【答案】B【解析】【分析】由2x y =的单调性，可判断p 是真命题；分类讨论打开绝对值，可得q 是假命题，依次分析即得解【详解】由函数2x y =是R 上的增函数，知命题p 是真命题．对于命题q ，当10x +≥，即1x ≥-时，11x x x +=+>；当10x +<，即1x <-时，11x x +=--，由1x x --≤，得12x =-，无解， 因此命题q 是假命题．所以()p q ⌝∨为假命题，A 错误；p q ∨为真命题，B 正确；p q ∧为假命题，C 错误；()p q ∧⌝为真命题，D 错误．故选：B【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.3．已知101 1M dxx=+⎰，2cosN xdxπ=⎰，由程序框图输出的S为（）A．1 B．0 C．2πD．ln2【答案】D【解析】试题分析：111ln(1)|ln21M dx xx==+=+⎰，2cos sin|12N xdx xππ===⎰，所以M N<，所以由程序框图输出的S为ln2.故选D．考点：1、程序框图；2、定积分．4．已知不重合的平面,,αβγ和直线l，则“//αβ”的充分不必要条件是（）A．α内有无数条直线与β平行B．lα⊥且lβ⊥C．αγ⊥且γβ⊥D．α内的任何直线都与β平行【答案】B【解析】【分析】根据充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，依次判断每个选项得到答案.【详解】A. α内有无数条直线与β平行，则,αβ相交或//αβ，排除；B. lα⊥且lβ⊥，故//αβ，当//αβ，不能得到lα⊥且lβ⊥，满足；C. αγ⊥且γβ⊥，//αβ，则,αβ相交或//αβ，排除；D. α内的任何直线都与β平行，故//αβ，若//αβ，则α内的任何直线都与β平行，充要条件，排除.故选：B .【点睛】本题考查了充分不必要条件和直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的综合应用能力. 5．下列四个图象可能是函数35log |1|1x y x +=+图象的是（ ） A ． B ． C ．D ．【答案】C【解析】【分析】首先求出函数的定义域，其函数图象可由35log ||x y x=的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到，因为35log ||x y x=为奇函数，即可得到函数图象关于(1,0)-对称，即可排除A 、D ，再根据0x >时函数值，排除B ，即可得解.【详解】∵35log |1|1x y x +=+的定义域为{}|1x x ≠-， 其图象可由35log ||x y x =的图象沿x 轴向左平移1个单位而得到， ∵35log ||x y x=为奇函数，图象关于原点对称， ∴35log |1|1x y x +=+的图象关于点(1,0)-成中心对称. 可排除A 、D 项.当0x >时，35log |1|01x y x +=>+，∴B 项不正确. 故选：C【点睛】本题考查函数的性质与识图能力，一般根据四个选择项来判断对应的函数性质，即可排除三个不符的选项，属于中档题.6．已知双曲线22221x y a b-= (a>0，b>0)的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为60°的直线l 与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率e 的取值范围是（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,2),C ．(2,)+∞D ．(1,2] 【答案】A【解析】【分析】若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率．根据这个结论可以求出双曲线离心率的取值范围．【详解】 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点为F ， 若过点F 且倾斜角为3π的直线与双曲线的右支有且只有一个交点， 则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率b a，∴b a 22224a b e a +=…， 2e ∴…，故选：A ．【点睛】本题考查双曲线的性质及其应用，解题时要注意挖掘隐含条件．7．若双曲线222:14x y C m-=的焦距为C 的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．2B ．4CD ．【答案】B【解析】【分析】根据焦距即可求得参数m ，再根据点到直线的距离公式即可求得结果.【详解】因为双曲线222:14x y C m-=的焦距为故可得(224m +=，解得216m =，不妨取4m =；又焦点()F ，其中一条渐近线为2y x =-，由点到直线的距离公式即可求的4545d ==.故选：B.【点睛】 本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题.8．已知抛物线2:4C y x =和点(2,0)D ，直线2x ty =-与抛物线C 交于不同两点A ，B ，直线BD 与抛物线C 交于另一点E ．给出以下判断：①以BE 为直径的圆与抛物线准线相离；②直线OB 与直线OE 的斜率乘积为2-；③设过点A ，B ，E 的圆的圆心坐标为(,)a b ，半径为r ，则224a r -=．其中，所有正确判断的序号是（ ）A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③ 【答案】D【解析】【分析】对于①，利用抛物线的定义，利用12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=可判断； 对于②，设直线DE 的方程为2x my =+，与抛物线联立，用坐标表示直线OB 与直线OE 的斜率乘积，即可判断；对于③，将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-，利用韦达定理可得242||164832BE m m =++，再由222||||2BE r MN ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，可用m 表示2r ，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，可得a ，即可判断.【详解】如图，设F 为抛物线C 的焦点，以线段BE 为直径的圆为M ，则圆心M 为线段BE 的中点．设B ，E 到准线的距离分别为1d ，2d ，M e 的半径为R ，点M 到准线的距离为d ，显然B ，E ，F 三点不共线， 则12||||||222d d BF EF BE d R ++==>=．所以①正确． 由题意可设直线DE 的方程为2x my =+，代入抛物线C 的方程，有2480y my --=．设点B ，E 的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则124y y m +=，128y y =-．所以()()()21212121222244x x my my m y y m y y =++=+++=． 则直线OB 与直线OE 的斜率乘积为12122y y x x =-．所以②正确． 将2x ty =-代入抛物线C 的方程可得，18A y y =，从而，2A y y =-．根据抛物线的对称性可知， A ，E 两点关于x 轴对称，所以过点A ，B ，E 的圆的圆心N 在x 轴上．由上，有124y y m +=，21244x x m +=+，则()()2224212121212||44164832BE x x x x y y y y m m =+-++-=++．所以，线段BE 的中垂线与x 轴的交点（即圆心N ）横坐标为224m +，所以224a m =+． 于是，222222421212||||244128222BE x x y y r MN m m m ++⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+-++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 代入21244x x m +=+，124y y m +=，得24241612r m m =++， 所以()()22224224416124a r m m m -=+-++=．所以③正确．故选：D【点睛】 本题考查了抛物线的性质综合，考查了学生综合分析，转化划归，数形结合，数学运算的能力，属于较难题.9．已知点1F 是抛物线C ：22x py =的焦点，点2F 为抛物线C 的对称轴与其准线的交点，过2F 作抛物线C 的切线，切点为A ，若点A 恰好在以1F ，2F 为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B 1C ．2D 1【答案】D【解析】【分析】根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得k 的值，设出双曲线方程，求得2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（2-1）p ，利用双曲线的离心率公式求得e ． 【详解】 直线F 2A 的直线方程为：y ＝kx 2p -，F 1（0，2p ），F 2（0，2p -）， 代入抛物线C ：x 2＝2py 方程，整理得：x 2﹣2pkx+p 2＝0，∴△＝4k 2p 2﹣4p 2＝0，解得：k ＝±1，∴A （p ，2p ），设双曲线方程为：2222y x a b-=1， 丨AF 1丨＝p ，丨AF 2丨222p p =+=p ，2a ＝丨AF 2丨﹣丨AF 1丨＝（2-1）p ， 2c ＝p ，∴离心率e 221c a ===+-1， 故选：D ．【点睛】 本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档题．10．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A ．32B ．323C ．16D ．163【答案】D【解析】【分析】 根据三视图判断出几何体是由一个三棱锥和一个三棱柱构成，利用锥体和柱体的体积公式计算出体积并相加求得几何体的体积.【详解】 由三视图可知该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱构成，该多面体体积为1122223⨯⨯⨯+11622223⨯⨯⨯⨯=.故选D. 【点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查柱体和锥体的体积公式，属于基础题.11．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（ ）A ．(],1-∞B ．[)1,+∞C ．[)0,1D ．(]1,0- 【答案】A【解析】【分析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k .在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.12．已知函数()f x 是奇函数，且22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x -=+----，若对11[,]62x ∀∈，(1)(1)f ax f x +<-恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(3,1)--B ．(4,1)--C ．(3,0)-D ．(4,0)- 【答案】A【解析】【分析】先根据函数奇偶性求得()(),f x f x '，利用导数判断函数单调性，利用函数单调性求解不等式即可.【详解】因为函数()f x 是奇函数，所以函数'()f x 是偶函数.22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x ---=--+--， 即22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x--=--+--， 又22()'()ln(1)ln(1)1f x f x x x x-=+----， 所以()ln(1)ln(1)f x x x =+--，22'()1f x x =-. 函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以22'()01f x x =>-， 则函数()f x 在(1,1)-上为单调递增函数.又在(0,1)上，()(0)0f x f >=，所以()f x 为偶函数，且在(0,1)上单调递增. 由(1)(1)f ax f x +<-， 可得11111ax x ax ⎧+<-⎨-<+<⎩，对11[,]62x ∈恒成立， 则1120ax x a x ⎧+<-⎪⎨-<<⎪⎩，21120a x a x⎧-<<-⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩对11[,]62x ∈恒成立，，得3140a a -<<-⎧⎨-<<⎩， 所以a 的取值范围是(3,1)--.故选：A.【点睛】本题考查利用函数单调性求解不等式，根据方程组法求函数解析式，利用导数判断函数单调性，属压轴题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2024年高考数学全真模拟试卷五(新高考、新结构)(全解全析)
2024年高考数学全真模拟试卷五（新高考、新结构）一、选择题：本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1．cos 50cos 70sin 50cos160︒︒+︒︒=（）A ．BC ．12-D ．12【答案】C【解析】cos50cos70sin 50cos160︒︒+︒︒()cos 50cos 70sin 50cos 9070=︒︒+︒︒+︒cos50cos70sin 50sin 70=︒︒-︒︒()1cos 5070cos1202=︒+︒=︒=-.故选C.2．如图，已知集合{}2log 1,{1}A xx B x x =<=<∣∣，则阴影部分表示的集合为（）A ．()1,2B ．[)1,2C ．(]0,1D ．()0,1【答案】B【解析】因为{}{}2log 102,{1}A x x x x B x x =<=<<=<∣∣∣，所以{}01A B xx =<< ∣，(){}12A A B x x ⋂=≤<∣ð，即阴影部分表示的集合为[)1,2，故选B3．已知443243210()x m a x a x a x a x a +=++++，若0123481++++=a a a a a ，则m 的取值可以为（）A ．2B ．1C ．1-D ．2-【答案】A【解析】令1x =，有()443210118m a a a a a ++++==+，即2m =或4m =-.故选A.4．已知ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且3a =，cos (2)cos a B c b A =-，则ABC 面积的最大值为（）A B ．2C ．94D ．92【答案】A【解析】因为cos (2)cos a B c b A =-，由正弦定理可得：sin cos 2sin cos sin cos A B C A B A =-，即()sin 2sin cos A B C A +=，sin 2sin cos C C A =，又()0,πC ∈，sin 0C ≠，故1cos 2A =；由()0,πA ∈，解得π3A =；由余弦定理，结合3a =，可得2219cos 22b c A bc+-==，即2292b c bc bc +=+≥，解得9bc ≤，当且仅当3b c ==时取得等号；故ABC 的面积11sin 922S bc A bc ==⨯3b c ==时取得等号.即ABC 故选A.5．已知点()3,0A ，点P 是抛物线2:4C y x =上任一点，F 为抛物线C 的焦点，则1PA PF +的最小值为（）A B C D 【答案】A【解析】由题意得()1,0F ，抛物线C 的准线方程为=1x -，设(),P x y ，则1PF x =+，PA =12PAPF x =++．令2x μ+=，则2x μ=-，由0x ≥，得2μ≥，所以1PAPF ==+，令1λμ=，则102λ<≤，所以1PA PF =+，故当317λ=，即113x =时，1PA PF +取得最小值17．故选A ．6．如图，现有棱长为6cm 的正方体玉石缺失了一个角，缺失部分为正三棱锥1A EFG -，且,,E F G 分别为棱11111,,A A A B A D 靠近1A 的四等分点，若将该玉石打磨成一个球形饰品，则该球形饰品的体积的最大值为（）A ．3πcm 2B ．336πcmC ．3πcm 2D ．372πcm【答案】B【解析】由题意1113 2A E A F AG===，设点1A到平面EFG的距离为d，而2 EF EG FG=== 122EFGS=⨯=11E AGF A EFGV V--=，得113331322223⨯⨯⨯⨯=，解得2d=，棱长为6的正方体的正方体的内切球的半径为3，棱长为6的正方体体对角线的长度为因为3，所以所求球形体积最大时即为棱长为6的正方体的正方体的内切球，则该球形饰品的体积的最大值为334π336πcm3⨯=.故选B.7．已知椭圆2222:1(0)x yC a ba b+=>>的左、右顶点分别为,A B，左焦点为,F P为椭圆上一点，直线AP与直线x a=交于点,M PFB∠的角平分线与直线x a=交于点N，若PF AB⊥，MAB△的面积是NFB面积的72倍，则椭圆C的离心率是（）A．18B．17C．16D．13【答案】B【解析】根据题意可得()()(),0,,0,,0A aB a F c--，则2AB a=，FB a c=+，又PF AB⊥可得90PFB∠= ，设P点坐标为()0,P c y-，如下图所示：将()0,P c y-代入椭圆方程可得()220221c ya b-+=，解得2bya=；可得()22PAbbaka c a a c==--，直线PA方程为()()2by x aa a c=+-，联立()()2by x aa a cx a⎧=+⎪-⎨⎪=⎩，解得22,bM aa c⎛⎫⎪-⎝⎭，即()(),2M a a c+易知PFB∠的角平分线倾斜角为45 ，斜率为1k=，直线FN方程为y x c=-，联立y x cx a=+⎧⎨=⎩，解得(),N a a c+；所以MAB △的面积为()()1222MAB S AB BM a a c a a c ==⋅+=+ ，NFB 面积为()21122NFB S FB BN a c ==+ ；即()()()227172224a a c a c a c +=⨯+=+，即()724a a c =+，可得7a c =；所以离心率17c e a ==.故选B 8．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01g =-B ．若()12024f =，则20241()2024n f n ==∑C ．函数()21f x -的图像关于直线12x =对称D ．()()111g g +-=-【答案】D【解析】对于A ，令0x y ==，可得()()()()()000000f f g g f =-=，得()00f =，令0y =，1x =，代入已知等式得()()()()()11010f f g g f =-，可得()()()()110100f g g f ⎡⎤-=-=⎣⎦，结合()10f ≠得()100g -=，所以()01g =，故A 错误；对于D ，因为()01g =，令0x =，代入已知等式得()()()()()00f y f g y g f y -=-，将()00f =，()01g =代入上式，得()()f y f y -=-，所以函数()f x 为奇函数.令1x =，1y =-，代入已知等式，得()()()()()21111f f g g f =---，因为()()11f f -=-，所以()()()()2111f f g g =-+⎡⎤⎣⎦，又因为()()()221f f f =--=-，所以()()()()1111f f g g -=-+⎡⎤⎣⎦，因为()10f ≠，所以()()111g g +-=-，故D 正确；对于B ，分别令1y =-和1y =，代入已知等式，得以下两个等式：()()()()()111f x f x g g x f +=---，()()()()()111f x f x g g x f -=-，两式相加易得()()()11f x f x f x ++-=-，所以有()()()21f x f x f x ++=-+，即()()()12f x f x f x =-+-+，有()()()()()()11120f x f x f x f x f x f x -+=++--+-+=，即()()12f x f x -=+，所以()f x 为周期函数，且周期为3，因为()12024f =，所以()22024f -=，所以()()222024f f =--=-，()()300f f ==，所以()()()1230f f f ++=，所以()()()()()202411232024n f n f f f f ==++++∑ ()()()()020********f f f f =++==，故B 错误；对于C ，取()2πsin3f x x =，()2πcos 3g x x =，满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-及()()210f f -=≠，所以()()2π21sin213f x x -=-，又()0sin 00f ==，所以函数()21f x -的图像不关于直线12x =对称，故C 错误；故选D.二、选择题：本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.9．在复平面内，复数112z =对应的点为A ，复数211z z =-对应的点为B ，下列说法正确的是（）A ．121z z ==B ．2121z z z ⋅=C ．向量AB对应的复数是1D ．12AB z z =- 【答案】AD【解析】因为112z =，所以212z =-，所以11,,,22A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭，121z z ==，A 正确；22121111222z z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎫⎛⎫⎢⎥⋅=--=--=- ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦，B 错误；由上可得()1,0AB =- ，对应复数为1-，C 错误；1211i i 12222z z ⎛⎫-=---= ⎪ ⎪⎝⎭，1AB = ，D 正确.故选AD10．已知二面角A CD B --的大小为2π3，AC CD ⊥，BD CD ⊥，且1CD =，2AC BD +=，则（）A ．ABD △是钝角三角形B ．异面直线AD 与BC 可能垂直C ．线段AB 长度的取值范围是⎡⎣D ．四面体A BCD -【答案】AC【解析】对于选项A ：由题意可知，0BD CD ⋅= ，二面角A CD B --的大小为2π3，AC CD ⊥，BD CD ⊥，所以2π,3CA DB = ，所以()2πcos 03DA DB DC CA DB CA DB CA DB ⋅=+⋅=⋅=< ，所以ADB ∠是钝角，即ABD △是钝角三角形，故A 正确；对于选项B ：由题意知，0BD CD ⋅= ，0AC CD ⋅=，2π,3CA DB = ，1CD = ，所以()()22πcos 103AD BC AC CD BD CD AC BD CD AC BD ⋅=+⋅-=⋅-=-< ，所以异面直线AD 与BC 不可能垂直，故B 错误；对于选项C ：由题意可知，0BD CD ⋅= ，0AC CD ⋅=，1CD = ，所以()222222AB AC CD DBAC CD DB AC DB =++=+++⋅ 221AC DB AC DB =+++()21AC DBAC DB =+-+．设AC x =，由2AC BD +=，得2BD x =-，其中02x <<，所以()2222514AB x x x =-+=-+ ，所以245AB ≤< ，则线段AB 长度的取值范围是⎡⎣，故C 正确；对于选项D ：如图，过点A 作平面BCD 的垂线，垂足为E ，则πsin3AE AC =⋅，由题意，可知四面体A BCD -的体积为11πsin 323CD BD AC ⨯⨯⨯⨯⨯21212212AC BD AC BD +⎛⎫=⋅≤⨯= ⎪⎝⎭，当且仅当1AC BD ==时，等号成立，故D 错误．故选AC.11．已知函数()()212cos1tan 2xf x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．π2是()f x 的一个周期B ．()f x 的值域是⎡⎣C ．若()f x 在区间π,4t ⎛⎫- ⎪⎝⎭上有最小值，没有最大值，则t 的取值范围是π0,4⎛⎤⎝⎦D ．若方程()f x a =在区间ππ,42⎛⎫- ⎪⎝⎭上有3个不同的实根()123123,,x x x x x x <<，则()()12332x x x f x ++的取值范围是π44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】BC【解析】因为()()()212cos1tan cos 1tan sin cos 2xf x x x x x x =-+=+=+，由题意可知：()f x 的定义域为π|π,2A x x k k ⎧⎫=≠+∈⎨⎬⎩⎭Z ，关于原点对称，且()()()()sin cos sin cos f x x x x x f x -=-+-=+=，可得()f x 为偶函数，对于选项A ：因为π0,2A A ∈∉，可知π2不是()f x 的一个周期，又因为()()()()πsin πcos πsin cos f x x x x x f x +=+++=+=，可知π是()f x 的一个周期，故A 错误；对于选项B ：当π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则sin 0,cos 0x x ≥>，可得()πsin cos 4f x x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为π0,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则ππ3π,444x ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭，可知：当ππ44x +=，即0x =时，()f x ；当ππ42x +=，即π4x =时，()f x 取到最大值1；所以()f x ⎡∈⎣，结合偶函数和周期性可知()f x 的值域是⎡⎣，故B 正确；对于选项C ：因为π,4x t ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，由选项B 可知：π04t <≤，故C 正确；对于选项D ：方程()f x a =的实根即为()y f x =与y a =的交点横坐标，作出()f x 在ππ,42⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象，如图所示：由题意结合图象可知：(12233πππ,0,,,242a x x x x x ⎛⎫∈+=+=∈ ⎪⎝⎭，则()()12333ππ2sin 24x x x f x x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭，因为3ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则3ππ3π,424x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，可得3πsin ,142x ⎫⎛⎫+∈⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，所以()()12333πππ2sin ,2442x x x f x x ⎛⎫⎛⎫++=+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故D 错误；故选BC.三、填空题：本题共3小题,每小题5分,共15分.12．已知向量()1,0a = ，()1,1b = ，若a b λ+ 与b垂直，则λ=.【答案】12-【解析】因为()1,0a = ，()1,1b = ，所以()1,a b λλλ+=+ ，又a b λ+ 与b垂直，所以()10a b b λλλ+⋅=++= ，解得12λ=-.13．举重比赛的规则是：挑战某一个重量，每位选手可以试举三次，若三次均未成功则挑战失败；若有一次举起该重量，则无需再举，视为挑战成功，已知甲选手每次能举起该重量的概率是23，且每次试举相互独立，互不影响，设试举的次数为随机变量X ，则X 的数学期望()E X =；已知甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率是．【答案】139；313【解析】依题意随机变量X 的可能取值为1、2、3，则()213P X ==；()22221339P X ⎛⎫==-⨯= ⎪⎝⎭；()2213139P X ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭，所以随机变量X 的概率分布为X123P232919所以随机变量X 的期望为()221131233999E X =⨯+⨯+⨯=.记“第i 次举起该重量”分别为事件,1,2,3i A i =，“甲选手挑战成功”为事件B ，则()3123226()111327P B P A A A ⎛⎫=-=--= ⎪⎝⎭，()()()21212222()1339P A B P A A P A P A ⎛⎫===-⨯= ⎪⎝⎭,所以()()()223|13P A B P A B P B ==，所以甲选手挑战成功，则甲是第二次举起该重量的概率为313.14．已知对任意()12,0,x x ∈+∞，且当12x x <时，都有：()212112ln ln 11a x x x x x x -<+-，则a 的取值范围是.【答案】(],2-∞【解析】因为对任意()12,0,x x ∈+∞，且当12x x <时()212112ln ln 11a x x x x x x -<+-恒成立，所以21212112ln ln x x a x a x x x x x --<-+恒成立，所以21211211ln ln a x a x x x x x -<-+-恒成立，所以22112111ln ln a x x a x x x x -+<-+恒成立①，令()()1ln ,0,f x a x x x x∞=-+∈+，由①式可得()()21f x f x <，所以()f x 在()0,∞+上单调递减，所以()2210x ax f x x-+'=-≤在()0,∞+上恒成立，所以210x ax -+≥在()0,∞+上恒成立，所以1a xx ≤+在()0,∞+上恒成立，又12x x +≥=，当且仅当1x x=，即1x =时取等号，2a ∴≤.三、解答题：本题共5小题,共77分,解答应写出文字说明,证明过程和解题步骤.15．（13分）已如曲线()()22ln ,f x ax x x b a b =+-+∈R 在2x =处的切线与直线210x y ++=垂直.(1)求a 的值；(2)若()0f x ≥恒成立，求b 的取值范围.【解析】（1）由于210x y ++=的斜率为12-，所以()22f '=，（2分）又()221f x ax x '=+-,故()224122f a '=+-=，解得12a =。
江苏省南通市基地学校2023届高三第五次大联考数学试题及答案解析
江苏省南通市基地学校2023届高三第五次大联考数学试题及答案解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．若集合M ＝{x |x ＝k π，k ∈Z }，N ＝{x |x ＝k2π，k ∈Z }，则（）A ．M ∩N ＝B ．M ∩N ＝NC ．M ∪N ＝ZD ．M ∪N ＝N2．已知z ＝a ＋i ，且z 2＋2z ＋b ＝0，其中a ，b 为实数，则（）A ．a ＝1，b ＝2B ．a ＝－1，b ＝2C ．a ＝1，b ＝0D ．a ＝－1，b ＝03．双曲函数起初用来描述一些物理运动过程，后来又大量应用于计算机科学、经济和金融领域．若双曲正切函数为tan h x ＝e x －e －xe x ＋e －x，则tan h x （）A ．是偶函数，且在R 上单调递减B ．是偶函数，且在R 上单调递增C ．是奇函数，且在R 上单调递减D ．是奇函数，且在R 上单调递增4．设a ，b 是两个单位向量，若a ＋b 在b 上的投影向量为23b ，则cos<a ，b >＝（）A ．－13B ．13C ．－223D ．2235．甲、乙两所学校各有3名志愿者参加一次公益活动，活动结束后，站成前后两排合影留念，每排3人，若每排同一个学校的两名志愿者不相邻，则不同的站法种数有（）A ．36B ．72C ．144D ．2886．中国古代建筑的主要受力构件是梁，其截面的基本形式是矩形．如图，将一根截面为圆形的木材加工制成截面为矩形的梁，设与承载重力的方向垂直的宽度为x ，与承载重力的方向平行的高度为y ，记矩形截面抵抗矩W ＝16xy 2．根据力学原理，截面抵抗矩越大，梁的抗弯曲能力越强，则宽x 与高y 的最佳之比应为（）A ．12B ．22C ．1D ．27．已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的最小正周期为T ，f ′(x )是f (x )的导函数，设g(x )＝f (x )＋f ′(x )，若g (x )是奇函数，且g (x )的最大值为5，则f (T8)＝（）A ．－1010B ．1010C ．－55D ．558．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为23，左顶点是A ，左、右焦点分别是F 1，F 2，M 是C 在第一象限上的一点，直线MF 1与C 的另一个交点为N ．若MF 2∥AN ，且△ANF 2的周长为72a ，则直线MN 的斜率为（）A ．53B ．157C ．237D ．56二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020届江苏省南通市如皋中学高三(创新班)下学期6月高考模拟数学试题(解析版)
2020届江苏省南通市如皋中学高三（创新班）下学期6月高考模拟数学试题一、填空题1．某单位周一、周二、周三开车上班的职工人数分别是14，10，8.若这三天中至少有一天开车上班的职工人数是20，则这三天都开车上班的职工人数至多是________. 【答案】6【解析】将原问题转化为Venn 图的问题，然后结合题意确定这三天都开车上班的职工人数至多几人即可. 【详解】如图所示，（a +b +c +x ）表示周一开车上班的人数，（b +d +e +x ）表示周二开车上班人数，（c +e +f +x ）表示周三开车上班人数，x 表示三天都开车上班的人数，则有：1410820a b c x b d e x c e f x a b c d e f x +++=⎧⎪+++=⎪⎨+++=⎪⎪++++++=⎩， 即22233220a b c d e f x a b c d e f x ++++++=⎧⎨++++++=⎩，即212b c e x +++=，当0b c e ===时，x 的最大值为6， 即三天都开车上班的职工人数至多是6. 故答案为：6 【点睛】本题主要考查Venn 图的应用，数形结合的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2．已知F 1，F 2分别是双曲线3x 2－y 2＝3a 2(a ＞0)的左、右焦点，P 是抛物线y 2＝8ax 与双曲线的一个交点，若|PF 1|＋|PF 2|＝12，则抛物线的准线方程为________． 【答案】2x =-【解析】将双曲线方程化为标准方程得222213x y a a-=，抛物线的准线为2x a =-，联立22222138x y a ay ax⎧-=⎪⎨⎪=⎩，解得3x a =，即点P 的横坐标为3a ，而由1212122PF PF PF PF a ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，解得26PF a =-，∴2326PF a a a =+=-，解得1a =，∴抛物线的准线方程为2x =-，故答案为2x =-.3．已知实数a ，b 满足22182a b+=θθ+取最大值时，tan θ=________.【答案】1【解析】根据辅助角公式可得：()θθθϕ=+≤=2，进而可求得答案 【详解】由22182a b +=得2284a b +=，利用辅助角公式可得：()θθθϕ=+≤=2，其中tan ϕ=0,2πϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.所以最大值为2，当且仅当22a b ==，()sin 1θϕ+=时成立， 此时tan 1ϕ=，故4πϕ=，所以sin 14πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则24k πθπ=+，k Z ∈，则tan 1θ=，故答案为：1. 【点睛】本题考查三角函数的恒等变形，关键是利用辅助角公式化简，利用基本不等式求最值，属于中档题目.4．已知等差数列{}n a 满足：22158a a +=，则12a a +的最大值为________.【答案】5【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，根据22158a a +=，利用平方关系，设15,a a θθ==，则()12cos 5sin 22a a θθθϕ=+=++，再利用三角函数的性质求解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ， 因为22158a a +=，由22cos sin 1αα+=，设15,a a θθ==，则()211511cos 422a a d a a a θθ=+=+-=+，所以()12cos 5sin ,tan 722a a θθθϕϕ=+=+=+， 当2,2k k Z πθϕπ+=+∈时，12a a +的最大值为5.故答案为：5. 【点睛】本题主要考查数列的通项公式，三角换元法的应用以及三角恒等变换，三角函数的性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题. 5．已知函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围为________.【答案】0a ≤或12a ≥【解析】首先对函数求导，观察得到'(0)0f =，并且将函数只有一个极值点转化为导数等于零只有一个根，结合图象得到结果.【详解】2()x x f x x e ae a '-=⋅+，函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点， 即2()0x xf x x e ae a ='-⋅+=只有1个实根，且在根的两侧异号，可以求得'(0)0f =，令'()0f x =，得2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-，则设2()(0)1xx x e a g x x e ⋅==≠-，求导2222222(1)(1)2[(1)(1)]()(1)(1)x x x x x x x x x e e e xe e x e x g x e e +--⋅--+==-'-，设2()(1)(1)xh x x ex =--+，222'()2(1)1(12)1x x x h x e x e x e =-+--=--，设()()u x h x ='，222()2(24)4xx x u x e x e xe '=-+-=-，可知当0x <时，'()0u x >，0x >时，'()0u x <，所以)'(h x 在(,0)-∞上单调增，在(0,)+∞上单调减，且'(0)0h =， 所以'()0h x ≤恒成立，所以()h x 为减函数，且(0)0h =， 所以当0x <时，'()0g x >，当0x >时，)'(0g x <， 所以()g x 在(,0)-∞上单调增，在(0,)+∞上单调减， 当0x >时，21,()0xeg x >>，当0x <时，21,()0x e g x <>画出()y g x =图象如图所示：可以确定22000(1)1lim ()lim lim 122x x x x x x x xe x e g x e e →→→+===-， 因为函数()()212xxa f x x e e ax =--+只有一个极值点，且'(0)0f =，所以要求2(0)1xx x e a x e ⋅=≠-无解，所以0a ≤或12a ≥， 故答案为：0a ≤或12a ≥. 【点睛】该题考查的是有关利用导数研究函数的性质，涉及到的知识点有利用导数研究参数的取值范围，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．其中将函数有一个极值点转化为方程只有一个根，结合图象得到结果，属于较难题目. 6．已知直线，若对任意，直线与一定圆相切，则该定圆方程为 ． 【答案】【解析】试题分析：取特殊值，三条直线分别为，这三条直线只与圆都相切，经验证，对任意，直线都与这个圆相切.【考点】圆的切线.7．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>左焦点为F ，直线l 经过点F 且与双曲线的一条渐近线垂直，直线l 与双曲线的左支交于不同两点AB ，若2AF FB =u u u r u u u r，则该双曲线的离心率为________. 10【解析】由渐近线斜率设出直线l 方程，与双曲线方程联立消去x 得关于y 的二次方程，设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AF FB =u u u r u u u r 得122y y =-，由韦达定理得12y y +，12y y ，由此可得,,a b c 的齐次等式，从而求得离心率． 【详解】不妨设直线l 与渐近线b y x a=-垂直，即直线l 方程为()ay x c b =+，由2222()1a y x cb x y a b ⎧=+⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得2222222222()b y bcy b c a y a b a a -+-=， 即2222324()20c b a y ab cy a b --+=，设1122(,),(,)A x y B x y ，则3122222()ab c y y c b a +=-①，2412222()a b y y c b a =-②， 又2AF FB =u u u r u u u r，(,0)F c -，所以122y y =-③，③代入①得32222()ab y c a b =-，所以31224()ab y c a b =--，12,y y 代入②得 262422222228()()a b a b c a b c b a -=--，整理得22910c a =，所以c e a ==．． 【点睛】本题考查求双曲线的离心率，解题关键是设出直线l 方程，与双曲线方程联立消元后得一元二次方程，注意这里消去x 得y 的二次方程对解题有帮助，原因是由2AF FB =u u u r u u u r易得122y y =-，结合韦达定理可得关于,,a b c 的齐次式，从而求得离心率．8．用I M 表示函数sin y x =在区间I 上的最大值，若正数a 满足[][]0,,22a a a M M ≥，则a 的取值范围为________.【答案】513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】根据正弦定理在[0,)+∞上的单调性求解． 【详解】因为sin y x =在[0,]2π上单调递增，所以[0,]2a π∈，若2a π<，则存在0δ>，使得[,2]a a a δ+∈，且[0,]sin()a a M δ+>，不合题意，所以[0,]1a M =，所以由[][]0,,22a a a M M ≥得[,2]12a a M ≤，所以561326a a ππ⎧≥⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，解得513612a ππ≤≤． 故答案为：513,612ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【点睛】本题考查新定义，考查正弦函数的单调性与最值，掌握正弦函数性质是解题基础，正确理解新定义是关键．9．四棱锥P ABCD -中，2PA BC CD ===，PB PC PD AB AD =====，则四棱锥P ABCD -的体积为________. 【答案】3【解析】连接,AC BD 交于点E ，通过证明平面PCD ⊥平面ABCD ，过P 作PO ⊥平面ABCD ，则O 在AC 上，连接,BO DO ，利用180AOD COD ∠+∠=︒，应用余弦定理求得各线段长，由P ABCD D PAC B PAC V V V ---=+可得体积． 【详解】连接,AC BD 交于点E ，由,AB AD CB CD ==知AC BD ⊥，E 是BD 中点，又PB PD =，所以PE BD ⊥，又PE AC E =I ，所以BD ⊥平面PAC ，BD ⊂平面ABCD ，所以平面PCD ⊥平面ABCD ， 过P 作PO ⊥平面ABCD ，则O 在AC 上，连接,BO DO ，则BO DO CO ===AO =设CO a =，则AO =222242cos 12a a COD a a+-∠==-， 222cos AOD ∠==因为cos cos AOD COD ∠=-∠2221a =-，由0a >，解得2a =，所以1AO =，2BO CO DO ===，PO =，11322PAC S AC PO =⨯=⨯=V ，DE BE = 1133P ABCD D PAC B PAC PAC PACV V V DE S BE S ---=+=⨯⨯+⨯⨯V V11333==． 故答案为：3．【点睛】本题考查求四棱锥的体积，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．10．已知向量a r ，b r满足1a =r ，3b =r ，若存在不同的实数1λ，()2120λλλ≠，使得3i i i c a b λλ=+u r r r且()()()01,2i i c a c b i -⋅-==u r r u r r ，则12c c -u r u u r 的取值范围是________.【答案】(2,2222,23⎡⋃⎣【解析】设a b k ⋅=r r，()()0iic a c b -⋅-=u r r u r r 变形（数量积的运算）得12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，利用韦达定理求得12λλ-，则12123c c a b λλ-=-+u r u u r r r可表示为k 的函数，由k 的范围可得结论，在题中注意k 的范围的确定． 【详解】111(1)3c a a b λλ-=-+u r r r r ，111(31)c b a b λλ-=+-u r r r r ，设a b k ⋅=r r（33k -≤≤），由()()110c a c b -⋅-=u r r u r r得211()0c a b c a b -+⋅+⋅=u r r r u r r r ，整理得2116(3)4(3)0k k k λλ+-++=，同理2226(3)4(3)0k k k λλ+-++=，所以12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，由120λλ≠得0k ≠，3k =-方程无解，故0k ≠且3k ≠-，8(3)(6)0k k ∆=+->，1223λλ+=，126(3)kk λλ=+，所以12λλ-===，3a b +===r r所以1212123c c a b λλλ-=-+=-=u r u u r r r33k -<≤且0k ≠得12c c -u r u u r的范围是[2,U ．故答案为：[2,U ． 【点睛】本题考查平面向量的数量积，解题关键是设a b k ⋅=r r后通过数量积的运算把12,λλ是方程26(3)4(3)0k x k x k +-++=的两根，这样可用韦达定理求得12λλ-，从而求得目标12c c -u r u u r关于k 的函数．11．已知P 是椭圆2214x y +=上一动点，()2,1A -，()2,1B ，则cos APB ∠的最大值为________.【答案】4【解析】画出椭圆图形，设()00,P x y ，过P 作PH AB ⊥交AB 于H ，由正切和角公式用00,x y 表示出tan APB ∠，结合椭圆的方程化为0y 的表达式，利用换元法令01t y =-，将tan APB ∠转化为关于t 的函数式，讨论0t =与(]0,2t ∈两种情况，结合基本不等式即可求得tan APB ∠的最小值，再根据同角三角函数关系式即可求得cos APB ∠的最大值.【详解】根据题意，画出椭圆的图形如下图所示：设()00,P x y ，过P 作PH AB ⊥交AB 于H ， 则002tan 1x AH APH PH y +∠==-，02tan 1x BH BPH PH y -∠==-， 由正切和角公式可知()tan tan APB APH BPH ∠=∠+∠tan tan 1tan tan APH BPHAPH BPH∠+∠=-∠⨯∠()()()00000220000002241112214111x x y y y x x y x y y +-+---==+-----⨯--而()00,P x y 在2214x y +=上，所以220014x y +=，则220044x y =-， 代入上式可得()()()()()00222200004141tan 1414y y APB y x y y --∠==-----由椭圆性质可知，[]01,1y ∈-， 令[]01,0,2t y t =-∈， 则()22244tan 38441t t APB t t t t ∠==-+---，[]0,2t ∈，当0t =时，tan 0APB ∠=，此时,cos 1APB APB π∠=∠=-，当(]0,2t ∈时，由基本不等式可知4tan 23443838APB t t ∠=≥=⎛⎫-+-++ ⎪⎝⎭， 当且仅当43t t =，即233t =时取等号，此时cos APB ∠的值最大，因而22sin 23cos sin cos 1APBAPB APB APB ∠⎧=+⎪∠⎨⎪∠+∠=⎩，化简可得223cos 4APB -∠=，所以62cos APB -∠=， 综上所述，可知cos APB ∠的最大值为624-， 故答案为：624-. 【点睛】本题考查了椭圆标准方程和几何性质的综合应用，由正切和角公式及同角三角函数关系式的应用，由基本不等式确定最值，综合性强，属于难题.12．已知21a e b e -=-=r r r r ，1e =r ，则向量a b ⋅r r的最小值为________.【答案】14-【解析】1e =r ，不失一般性，设(1,0)e =r ，由21a e b e -=-=r r r r 知a b r r，的终点在两个圆上运动，设(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b =+=r r ，，化简(2cos )(1+cos )sin sin a b r r αβαβ++⋅=放缩后得到21114(cos )2444β--≥-得解.【详解】1e r Q =，不妨设(1,0)e =r(.)(.)a m n b c d ==r r ，，21a e r rQ -=，22(2)1m n \-+= 所以(,)A m n 在圆22(2)1x y -+=上运动 1b e r rQ -=，22(1)1c d \-+=所以(,)B c d 在圆22(1)1x y -+=上运动再令(2cos ,sin )A a a +，(1+cos ,sin )B b b(2cos ,sin )(1+cos ,sin )a b a a b b \=+=r r，， (2cos )(1+cos )sin sin a b r rαβαβ∴⋅+=+2cos +2cos +cos cos sin sin αβαβαβ+=+2cos +2cos +cos()αβαβ+=-2+2cos +2cos()cos 22βββα+-=224cos 2cos()cos4cos cos22222βββββα=+-≥-21114(cos)2444β=--≥- 故答案为：14- 【点睛】本题考查平面向量数量积最值问题.平面向量与几何综合问题的求解坐标法：把问题转化为几何图形的研究，再把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决．13．三角形ABC 面积为S ，若2221054c a b +=，则2220156Sa b +的最大值是________.【答案】16【解析】由2221054c a b +=求出226cos 8a c B ac +=-，将22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭用a 和c 表示，并化简，再令22c t a =，得到关于t 的式子，构造函数，并利用导数求出22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值，进而得解. 【详解】由2221054c a b +=，得()22211054b c a =+， 2222222221(105)64cos 228a c c a a c b a c B ac ac ac+-++-+===-，()2222222240020156311sin 251052ac B S a b a c a ⎛⎫⨯⎪⎛⎫⎝⎭= ⎪+⎝⎭⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()2222221001cos 45152a c a c B -=⎛⎫+ ⎪⎝⎭()222222226464932a c a c a c ⎡⎤+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭ 2222222261464932a c a c a c ⎡⎤⎛⎫+⎢⎥⎪⎢⎥⎝⎭-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎛⎫+ ⎪⎝⎭， 令22c t a =，则0t >，2222222(16)464203652181156916927342t t S t t a b t t t ⎡⎤+-⎢⎥-+-⎛⎫⎣⎦== ⎪+⎛⎫⎝⎭⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令()223652181169274t t f t t t -+-=⎛⎫++ ⎪⎝⎭，则222314404()16927814t t f t t t ⎛⎫-+- ⎪⎝⎭=⎛⎫++ ⎪⎝⎭'，令()0f 't =，解得32t =-（舍）或12t =，所以，当102t <≤时，'()0f t >，()f t 在10,2⎛⎤⎥⎝⎦上单调递增； 当12t >时，()0f t <'，()f t 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减， 所以，当12t =时，()f t 取得最大值，11365211142118123616927424f -⨯+⨯-⎛⎫== ⎪⎛⎫⎝⎭⨯⨯+⨯+ ⎪⎝⎭，即22220156S a b ⎛⎫ ⎪+⎝⎭的最大值为136，所以，2220156Sa b +的最大值是16. 故答案为：16.【点睛】本题考查余弦定理的应用、三角形的面积公式及利用导数研究函数的最值，考查函数与方程思想、转化与化归思想以及运算求解能力和逻辑推理能力，构造函数并掌握求极值的方法是求解本题的关键，难度较大.构造函数是求解导数问题的常用方法.14．已知数列{}n b 为首项为2正项等比数列，数列{}n c 为公差为3等差数列，数列{}n a 满足2n n n b a a +=-，12n n n c a a +=+，若11a =，则数列{}n a 前50项的和为________. 【答案】1275【解析】先根据等差与等比性质列方程组解得{}n b 与{}n c 通项公式，进而可求数列{}n a 通项公式，最后根据等差数列求和公式得结果.【详解】11a =Q 21,,2n n n b a a b +=-=, 13133,213b a a a a ∴=-=-∴=112112,3223n n n n n n n n n c a a c c a a a a +++++=+-=∴+--=Q 2123n n n a a a ++∴--= 3212232a a a a ∴--=∴= 4324234a a a a ∴--=∴=因此2422,b a a =-=数列{}n b 公比为211,2n b b b == 1212553(1)32n c a a c n n =+=∴=+-=+Q因此1232n n a a n ++=+212123542610n n n n a a n a a n ++++∴+=+∴+=+从而2438,n n a a n +-=+22n n n a a b +-==Q10050(150),12752n a n S +∴=== 故答案为：1275 【点睛】本题考查等差数列与等比数列通项公式以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题.二、解答题15．如图，在△ABC 中，a b c ，，为A B C ，，所对的边，CD ⊥AB 于D ，且12BD AD c -=．（1）求证：sin 2sin()C A B =-； （2）若3cos 5A =，求tan C 的值．【答案】（1）见解析（2）4811-【解析】（1）由题意可得1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，即可作出证明；（2）由（1）得3cos sin sin cos A B A B =，得到4sin 5A =，所以4tan 3A =，4tan 9B =，即可求解tan C 的值.【详解】（1）证明：因为12BD AD c -=， 所以1cos cos 2a Bb Ac -=，由正弦定理，得1sin cos sin cos sin 2A B B A C -=，所以()sin 2sin C A B =-．（2）解：由（1）得，()()sin 2sin A B A B +=-， 所以()sin cos cos sin 2sin cos cos sin A B A B A B A B +=-， 化简，得3cos sin sin cos A B A B =．又3cos 5A =，所以4sin 5A=，所以4tan 3A =，4tan 9B =， 所以()44tan tan 4839tan tan 441tan tan 11139A B C A B A B ++=-+=-=-=---⋅． 【点睛】本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.16．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，12A A AC =，D ，E ，F 分别为线段AC ，1A A ，1C B 的中点.（1）证明：//EF 平面ABC ； （2）证明：1C E ⊥平面BDE .【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析； 【解析】（1）取BC 的中点G ，连结AG ，FG ，可证四边形AEFG 是平行四边形，得EF ∥AG ，即可证明结论；（2）根据已知可得22211EB C E C B +=，得出1C E BE ⊥，再由已知得BD AC ⊥，结合正三棱柱的垂直关系，可证BD ⊥平面11A ACC ，进而有1BD C E ⊥，即可证明结论.【详解】（1）如图，取BC 的中点G ，连结AG ，FG . 因为F 为1C B 的中点，所以FG ∥111,2C C FG C C =. 在三棱柱111ABC A B C -中，1A A ∥111,C C A A C C =， 且E 为1A A 的中点，所以FG ∥,EA FG EA =. 所以四边形AEFG 是平行四边形.所以EF ∥AG . 因为EF ⊄平面ABC ，AG ⊂平面ABC ， 所以EF ∥平面ABC .（2）因为在正三棱柱111ABC A B C -中，1A A ⊥平面ABC ，BD ⊂平面ABC ，所以1A A BD ⊥.因为D 为AC 的中点，BA BC =，所以BD AC ⊥.因为1A A AC A =I ，1A A ⊂平面11A ACC ，AC ⊂平面11A ACC ， 所以BD ⊥平面11A ACC .因为1C E ⊂平面11A ACC ，所以1BD C E ⊥. 根据题意，可得16EB C E AB ==，13C B AB =， 所以22211EB C E C B +=.从而190C EB ∠=︒，即1C E EB ⊥.因为BD EB B =I ，BD ⊂平面BDE ，EB ⊂平面BDE ， 所以1C E ⊥平面BDE .【点睛】本题考查空间线、面位置关系，证明直线与平面平行以及直线与平面垂直，注意空间垂直关系的相互转化，属于中档题.17．动圆P 过定点(2,0)A ，且在y 轴上截得的弦GH 的长为4. （1）若动圆圆心P 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；（2）在曲线C 的对称轴上是否存在点Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211||||QS QT +为定值？若存在，求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）24y x =.（2）存在点(2,0)Q ，定值为14. 【解析】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =，利用距离公式及弦长公式可得方程，化简可得P 的轨迹方程；（2）假设存在(,0)Q a ，设()11,S x y ､()22,T x y ，由题意知直线l '的斜率必不为0，设直线l '的方程，与抛物线联立，利用根与系数关系可求得()212222121121t a QS QT a t ++=+，当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. 【详解】（1）设(,)P x y ，由题意知：PA PG =.当P 点不在y 轴上时，过P 做PB GH ⊥，交GH 于点B ，则B 为GH 的中点，122GB GH ∴==，PG ∴=又PA =Q ，=24(0)y x x =≠；当P 点在y 轴上时，易知P 点与O 点重合.(0,0)P 也满足24y x =，∴曲线C 的方程为24y x =.（2）假设存在(,0)Q a ，满足题意.设()11,S x y ､()22,T x y .由题意知直线l '的斜率必不为0， 设直线l '的方程为()110x t y a t =+≠. 由124x t y a y x=+⎧⎨=⎩得21440y t y a --=.1214y y t ∴+=，124y y a ⋅=-. ()2121121242x x t y y a t a ∴+=++=+，2221212116x x y y a ⋅=⋅=.()()2222221111114(42)QS x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+Q ，()()2222222222224(42)QT x a y x a x x a x a =-+=-+=+-+，()222221212(42)2QS QT x x a x x a ∴+=++-++()()22121212(42)22x x a x x x x a =++-+-+()()21212124222x x x x a x x a =+++--+ ()()22114244t a t =++， ()222221161QS QT a t ⋅=+.()()()()2222211122222222211424411221161t a t QS QT t a QS QT QS QT a t a t ++++∴+===⋅++， 当2a =时，上式221114QS QT +=，与1t 无关，为定值. ∴存在点(2,0)Q ，使过点Q 的直线l '与曲线C 的交点S T 、满足2211QS QT +为定值14. 【点睛】本题考查轨迹方程、定值问题的求解，求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，存在性与定值问题一般设存在，代入，结合韦达定理等知识消去参数求解，属于较难题型.18．某景区平面图如图1所示，A B C E D 、、、、为边界上的点．已知边界CED 是一段抛物线，其余边界均为线段，且,,3,8AD AB BC AB AD BC AB ⊥⊥===，抛物线顶点E 到AB 的距离7OE =．以AB 所在直线为x 轴，OE 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系．（1）求边界CED 所在抛物线的解析式；（2）如图2，该景区管理处欲在区域ABCED 内围成一个矩形MNPQ 场地，使得点M N 、在边界AB 上，点P Q 、在边界CED 上，试确定点P 的位置，使得矩形MNPQ 的周长最大，并求出最大周长． 【答案】（1）217(44)4y x x =-+-≤≤；（2）点P 与点C 重合．最大值为22， 【解析】（1）根据题意，设二次函数解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤，代入点C 、E 坐标，即可求解参数；（2）根据题意结合（1）中抛物线解析式，设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，利用坐标表达矩形的周长，根据二次函数性质，可求最值问题. 【详解】（1）根据对称性可知，1184,3,722OA OB AB BC OE ===⨯===， (4,3),(0,7)C E ∴，设边界CED 所在抛物线的解析式为2(44)y ax c x =+-≤≤，Q 抛物线的图象经过C ，E 两点，1637a c c +=⎧⎨=⎩，解得147a c ⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴边界CED 所在抛物线的解析式为217(44)4y x x =-+-≤≤； （2）设P 点坐标为21,74m m ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭， Q 四边形MNPQ 是矩形，2ON OM m ∴==，2174PN QM m ==-+， 24MN QP ON m ∴===，∴矩形MNPQ 的周长为： 222112()227414421(4)222MN PN m m m m m ⎛⎫+=-+=-++ ⎪⎝⎭=--+ 102-<Q ，开口向下， ∴当4m =时，矩形MNPQ 的周长有最大值，最大值为22，此时P 点坐标为(4,3)，即点P 与点C 重合．【点睛】本题考查待定系数法确定函数关系式，考查计算能力，考查运用二次函数模型解决实际问题，属于中等题型.19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，11(1)(,,0,1)1n n a q S a q R a q q-=∈≠≠- （1）求证：数列{}n a 是等比数列；（2）若*q N ∈，是否存在q 的某些取值，使数列{}n a 中某一项能表示为另外三项之和？若能求出q 的全部取值集合，若不能说明理由．（3）若q ∈R ，是否存在[3,)q ∈+∞，使数列{}n a 中，某一项可以表示为另外三项之和？若存在指出q 的一个取值，若不存在，说明理由．【答案】解：（1）见详解；（2）不存在；（3）不存在【解析】（1）由前n 项和公式，结合1n n n a S S -=-求出n a ，进而可得出结论成立；（2）根据4321n n n n a a a a =++得3421n n n n q q q q =++，不妨设4321n n n n >>>，两边同除以1nq ，再结合条件，即可得出结论；（3）同(2)，先设4321n n n n >>>，当3q ≥，结合条件验证不成立即可.【详解】（1）n=1时，11a S a ==， 2n ≥时，()1111n n n n n n a a S S q q aq q ---=-=-=-（n=1也符合） ()1n n a aq n N -+∴=∈，1n na q a +∴=，即数列{}n a 是等比数列． （2）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，两边同除以1n q 得：3141211n n n n n n q q q -----=因为左边能被q 整除，右边不能被q 整除，因此满足条件的q 不存在．（3）若4321n n n n a a a a =++则()3421,2n n n n q q q q q N q =++∈≥可设4321n n n n >>>，3q ≥Q ，334442111·33n n n n n n n q q q q q q q q --=≥≥>++，∴ 4321n n n n a a a a =++不成立．【点睛】本题主要考查等比数列，熟记等比数数列的性质和公式即可，属于常考题型.20．已知函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =的图象在它们的交点(),P s t 处具有相同的切线.（1）求()f x 的解析式；（2）若函数()()()21g x x mf x =-+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求()21g x x 的取值范围.【答案】（1）()ln f x x =；（2）1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭【解析】（1）求得两个函数的导数，由公切线的斜率相同可得,a s 的方程；将切点代入两个函数，可得,a s 的方程；联立两个方程即可求得a 的值，进而得()f x 的解析式； （2）将()f x 的解析式代入并求得()g x '，由极值点定义可知1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由韦达定理表示出1212,x x x x +，结合12x x <可得121012x x <<<<.代入()21g x x 中化简，分离参数并构造函数()12ln h t t t t =-+，求得()h t '并令()0h t '=求得极值点，由极值点两侧符号判断单调性，并求得最小值，代入端点值求得最大值，即可求得()21g x x 的取值范围. 【详解】（1）根据题意，函数()()ln 0f x a x a =≠与212y x e =可知()a f x x '=，1y x e'=， 两图象在点(),P s t 处有相同的切线， 所以两个函数切线的斜率相等，即1a s e s⨯=，化简得s = 将(),P s t 代入两个函数可得2ln 2es a s =， 综合上述两式可解得1a =，所以()ln f x x =.（2）函数()()()()2211ln g x x mf x x m x =-+=-+，定义域为()0,∞+， ()()22221m x x m x x g x x-+=-='+， 因为1x ，2x 为函数()g x 的两个极值点，所以1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由根与系数的关系知121x x =+，122m x x =，()* 又已知12x x <，所以121012x x <<<<， ()()2222111ln g x x m x x x -+=， 将()*式代入得()()2221221112ln g x x x x x x x -+=()()222222222121ln 12ln 1x x x x x x x x =-+-=-+-， 令()12ln h t t t t =-+，1,12t ⎛⎫∈⎪⎝⎭， ()2ln 1h t t '=+，令()0h t '=，解得t =当12t ⎛∈ ⎝时，()0h t '<，()h t在12⎛ ⎝单调递减；当t ⎫∈⎪⎭时，()0h t '>，()h t在⎫⎪⎭单调递增； 所以()min 11h t h ===， ()()1max ,12h t h h ⎧⎫⎛⎫<⎨⎬ ⎪⎝⎭⎩⎭， ()11ln 20122h h ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭， 即()21g x x的取值范围是1,0e ⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭. 【点睛】本题考查了导数的计算及几何意义，根据公切线求参数值，由导数研究函数的极值点、单调性与最值，构造函数法的综合应用，属于难题.。
江苏省南通市名校联盟2025届新高三暑期学习(全国普通高考调研模拟测试)数学试题
江苏省南通市名校联盟2025届新高三暑期学习（全国普通高考调研模拟测试）数学试题一、单选题1．若集合{}21,C A m m m ==∈，{}i 0B a b ab =+=，则A B ⋂的元素个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42．已知()1,2,2AB =-u u u r ，1,0,12AC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r ，则点B 到直线AC 的距离为（ ）AB C ．2 D ．33．设0a >，函数()22f x x a =+与直线y m =交于点,A B ．若曲线()y f x =与x 轴上方（不含x 轴）的正三角形ABC 的两条边相切，则m 的取值范围为（ ）A ．30,8⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．3,8⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．38⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭,D ．38⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭,4．现有一份由连续正整数（可重复）组成的样本，其容量为m ，满足上四分位数为28，第80百分位数为30，则m 的最小值为（ ） A ．24B ．25C ．28D ．295．在递增数列{}n a 中，1π6a =，()()1sin cos n n a a +=．已知n S 表示{}n a 前n 项和的最小值，则()9sin S =（ ）A ．12B C ．12-D ．6．在锐角ABC V 中，已知()sin 22sin sin A C C B +=-，则B ，C 的大小关系为（ ） A ．B C >B ．BC =C ．B C <D ．无法确定7．已知标准椭圆上P ，Q 两点的切线方程分别为210x -=，10y +-=，则直线PQ 的斜率为（ ）AB ．C ．2D ．2-8．若满足()()300f x ax bx c c =-+≥>在[],c c -上恒成立的a 唯一，则整数b 的值为（ ）A ．3B ．3±C ．4D ．4±二、多选题9．已知ABC V 的外接圆圆心在AC 1，且2A C =．设D 为AC 边上动点，将ABD △沿BD 向上翻折，得到四面体ABCD ，记为M ，其体积为V ．则（ ） A ．ABC V 的外接圆面积为4π B ．M 不可能是正三棱锥C ．M 的外接球球心不可能在其棱上D ．V 取最大值时，AD CD <10．已知抛物线Γ：24y x =的焦点为F ，P 为Γ上一动点．过F 且斜率大于0的直线与Γ交于不同的两点A ，B ，且满足AF BF >，AP BP ⊥．则下列说法错误的是（ ）A ．直线AB 的倾斜角大于60°B ．若4PF =，则22AF BF =+C ．点P 可能在第一象限D ．直线PB 的横截距不可能是1-11．已知函数()()1xf x a ax a =->，记n a a =时()f x 的极值点为n x （*n ∈N 且n a 的值均不同）．则下列说法错误的是（ ）A ．满足()f x 有唯一零点的a 唯一B ．无论a 取何值，()f x 都没有过原点的切线C ．若12x x =，则2e12e a a <D ．若1e n n x x +=，则()1e 1nni i f x =≥-∑三、填空题12．已知复数()()i i z z z =+-，若2mz z =，则m =．13．甲和乙玩小游戏测试他们的默契度．在一轮游戏中，他们各写下一个三位数，分别记为A 和B ．当以下任一条件成立时，他们“不默契”，否则“心有灵犀”： ①A 、B 中相同的数字少于两个（如147和289）②A 、B 中相同的数字不少于两个，但不都在相同的数位上（如147和174） 根据以上内容判断：在本轮游戏中，甲和乙“心有灵犀”的概率为． 14．给定一种有穷正整数列的延伸机制Ξ，如图所示：记2,3,5经Ξ延伸后得到的无穷数列为{}n a ，则2024a =．四、解答题15．俱乐部是具有某种相同兴趣的人进行社会交际、文化娱乐等活动的团体和场所．一些顶尖的俱乐部不仅对会员的要求非常严苛，加入也要经过现任会员邀请并接受资格测试和对个人素养、社会地位等的综合考察．研究人员通过模型预测某俱乐部标准资格测试的参试成绩（总计100份），绘制成下表（已知B 卷难度更大）： 某俱乐部标准资格测试参试成绩预测(1)若至少有5%的把握认为及格率与试卷难度无关，求a 的最小值； (2)在预测的40份B 卷参试成绩中随机挑选3份，记不及格的份数为X ①求X 的分布列及数学期望；②人教A 版选择性必修第三册第80页上写道：对于不放回抽样，当n 远远小于N 时…此时，超几何分布可以用二项分布近似．近似指的是期望还是方差？试判断并说明理由． 附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中n a b c d =+++．16．已知定义在()0,∞+上的函数()ln f x ax x =-，()()e0xg x a x=≠．(1)分别说明()f x ，()g x 的单调性；(2)若函数()()f g x 存在唯一极小值点，求a 的取值范围．17．已知无限高圆柱1OO ．如图，四边形ABCD 内接于其底面⊙O ，P 为其内一动点（包括表面），且平面PAB ⊥平面PAD ，PC AB ⊥．(1)是否存在点P 使得直线BC ⊥平面PCD ？试判断并说明理由．(2)若0OA OB OD ++=u u u r u u u r u u u r r ，二面角P AB C --的大小为45o ，求AP 最大时直线PC 与平面PBD所成角的余弦值．18．已知焦点为F 的抛物线Γ：()220y px p =>，圆F 与Γ在第一象限的交点为P ，与x 正，负半轴分别交于点H ，G ．直线PH ，直线PF 与Γ的另一交点分别为M ，N ，直线MN 与直线PG 交于点T ．(1)若2PF p <，证明：2PNM PMN ∠>∠； (2)若2p =，求PNT S △的取值范围．19．小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，比如362233=⨯⨯⨯，74237=⨯等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3都是6的质因子．在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如25的质因子只有5，而36的质因子只有2，3，所以25，36是互质的．为方便表示，对于任意的正整数n ，我们将比n 小且与n 互质的正整数的个数记为()A n ．例如，小于10且与10互质的数有1，3，7，9，所以()104A =，同理有()124A =． (1)求()60A ，()312A ；(2)求所有*n ∈N ，2n ≥，使得()A n 是奇数；(3)若正整数12k n p p p =L ，其中12,,...,k p p p 表示互不相同的质数．证明：()12111111k A n n p p p ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L .。
2021年江苏省南通市高考数学模拟试卷(附答案详解)
2021年江苏省南通市高考数学模拟试卷（3月份）一、单选题（本大题共7小题，共35.0分）1. 已知集合M ={−2,1，2，3}，N ={−2,2}，下列结论成立的是( )A. M ⊆NB. M ∩N =⌀C. M ∪N =MD. ∁M N ={1}2. 在复平面内与复数z =2i1+i 所对应的点关于实轴对称的点为A ，则A 对应的复数为( )A. 1+iB. 1−iC. −1−iD. −1+i3. 已知函数f(x)={xlnx,x >0x e x,x ≤0则函数y =f(1−x)的图象大致是( )A.B.C.D.4. 一个正三棱锥(底面积是正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形的中心)的四个顶点都在半径为1的球面上，球心在三棱锥的底面所在平面上，则该正三棱锥的体积是( )A. 3√34B. √33C. √34D. √3125. 设当x =θ时，函数f(x)=3sinx +4cosx 取得最小值，则sinθ=( )A. 35B. 45C. −35D. −456. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=2，a n+1=S n ，若a n ∈(0,2020)，则称项a n为“和谐项”，则数列{a n }的所有“和谐项”的平方和为( )A. 13×411+83B. 13×411−43C. 13×410+83D. 13×412−437. 已知函数f(x)=x 2⋅e −x ，g(x)=−13x 3+2x 2−3x +c.若对∀x 1∈(0,+∞)，∃x 2∈[1,3]，使f(x 1)=g(x 2)成立，则c 的取值范围是( )A. (4e 2,43)B. [4e 2,43]C. (−∞,43]D. [4e 2,+∞)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）8.某特长班有男生和女生各10人，统计他们的身高，其数据(单位：cm)如下面的茎叶图所示，则下列结论正确的是()A. 女生身高的极差为12B. 男生身高的均值较大C. 女生身高的中位数为165D. 男生身高的方差较小9.已知菱形ABCD中，∠BAD=60°，AC与BD相交于点O.将△ABD沿BD折起，使顶点A至点M，在折起的过程中，下列结论正确的是()A. BD⊥CMB. 存在一个位置，使△CDM为等边三角形C. DM与BC不可能垂直D. 直线DM与平面BCD所成的角的最大值为60°10.设A，B是抛物线y=x2上的两点，O是坐标原点，下列结论成立的是()A. 若OA⊥OB，则|OA||OB|≥2B. 若OA⊥OB，直线AB过定点(1,0)C. 若OA⊥OB，O到直线AB的距离不大于1D. 若直线AB过抛物线的焦点F，且|AF|=1，则|BF|=1311.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=e x(x+1)，则下列命题正确的是()A. 当x>0时，f(x)=−e−x(x−1)B. 函数f(x)有3个零点C. f(x)<0的解集为(−∞,−1)∪(0,1)D. ∀x1，x2∈R，都有|f(x1)−f(x2)|<2三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）12. 已知函数f(x)={sin 2x −tanx, x <0e −2x , x ≥0，则f(f(−25π4))=______．13. 平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，若AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ+μ的值为______ ．14. 在三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，A =30°，C =45°，c =3，点P 是平面ABC 内的一个动点，若∠BPC =60°，则△PBC 面积的最大值是______ ． 15. 抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，动点P 在抛物线C 上，点A(−1,0)，当|PF||PA|取得最小值时，直线AP 的方程为______． 四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）16. 某班50名学生在一次数学测试中，成绩全部介于50与100之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[50,60)，第二组[60,70)，…，第五组[90,100].如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(Ⅰ)由频率分布直方图估计50名学生数学成绩的中位数和平均数；(Ⅱ)从测试成绩在[50,60)∪[90，100]内的所有学生中随机抽取两名同学，设其测试成绩分别为m ，n ，求事件“|m −n|>10”概率．17. 已知数列{a n }满足：S n =2a n −4n ，设b n =a n +4，c n =1b n．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{c n}其前n项和为T n，如果T n≤m对任意的n∈N∗恒成立，求实数m的取值范围．18.某地区上年度电价为0.8元/kW⋅ℎ，年用电量为akW⋅ℎ，本年度计划将电价降到0.55元/kW⋅ℎ至0.75元/kW⋅ℎ之间，而用户期望电价为0.4元/kW⋅ℎ经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为K).该地区电力的成本为0.3元/kW⋅ℎ．(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；(2)设k=0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？(注：收益=实际用电量×(实际电价−成本价))19.已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其面积S=b2+c2−a2．4(1)若a=√6，b=√2，求cos B．(2)求sin(A+B)+sinBcosB+cos(B−A)的最大值．20.已知椭圆O：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A，B，点P在椭圆O上运动，若△PAB面积的最大值为2√3，椭圆O的离心率为12．(1)求椭圆O的标准方程；(2)过B点作圆E：x2+(y−2)2=r2，(0<r<2)的两条切线，分别与椭圆O交于两点C，D(异于点B)，当r变化时，直线CD是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由．21.已知函数f(x)=e x−a2x2(e=2.71828…为自然对数的底数)有两个极值点x1，x2．(1)求a的取值范围；(2)求证：x1+x2<2lna．答案和解析1.【答案】C【解析】解：集合M ={−2,1，2，3}，N ={−2,2}，不满足M ⊆N ，则A 错； M ∩N ={−2,2}，则B 错； M ∪N =M ，则C 正确； C M N ={1,3}，则D 错． 故选：C ．利用子集、交集、并集、补集定义直接求解．本题考查命题真假的判断，考查子集、交集、并集、补集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】 【分析】本题考查两个复数代数形式的乘除法，考查复数与复平面内对应点之间的关系，是一个基础题．用两个复数代数形式的乘除法法则，化简复数得到复数的共轭复数，从而得答案． 【解答】解：∵复数z =2i1+i =2i(1−i)(1+i)(1−i)=1+i ，∴复数z 的共轭复数是1−i ，就是复数z =2i1+i 所对应的点关于实轴对称的点为A 对应的复数； 故选：B ．3.【答案】B【解析】解：当x >0时，f(x)=xlnx ，则令f′(x)=lnx +1=0，解得x =1e ，所以当0<x <1e 时，f(x)单调递减，x >1e 时，f(x)单调递增，当x ≤0时，f(x)=xe x ，则令f′(x)=e −x −1≥0，所以当x ≤0时，f(x)单调递增， 作出函数f(x)的图象如图：又因为f(1−x)的图象时将f(x)图象先关于y轴对称，再向右移动一个单位得到的，故根据f(x)图象可值f(1−x)图象为故选：B．利用导数分析出f(x)的单调性，进而得到f(x)图象示意图，再根据f(1−x)图象与f(x)图象的关系即可进行判断本题考查函数图象的变换，涉及导数判断函数单调性，数形结合思想，属于中档题．4.【答案】C【解析】【分析】本题考查了棱锥与外接球的关系，棱锥的体积计算，属于基础题．作棱锥的高OP，则OP=OC=1，利用等边三角形的性质求出底面边长，从而得出棱锥的体积．【解答】解：由题可知正三棱锥P−ABC的外接球的球心在底面正三角形ABC的中心，如图，设正三棱锥P−ABC的底面中心为O，OC，连接OP，延长CO交AB于D，则CD=32∵O是三棱锥P−ABC的外接球球心，∴OP =OC =1，∴CD =32，BD =√32,BC =√3，∴V P−ABC =13S △ABC ⋅OP=13×√34×(√3)2×1=√34． 故选C ．5.【答案】C【解析】 【分析】本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键，属于基础题．利用辅助角公式将函数化为y =Asin(ωx +φ)的形式，结合三角函数的图象和性质，求出f(x)的最小值，解出θ，从而可得sinθ的值． 【解答】解：f(x)=3sinx +4cosx =5(35sinx +45cosx)=5sin(x +φ)，其中sinφ=45，cosφ=35， 由f(θ)=5sin(θ+φ)=−5， 可得sin(θ+φ)=−1， ∴θ+φ=−π2+2kπ，k ∈Z ，θ=−φ−π2+2kπ，k ∈Z ，∴sinθ=sin(−φ−π2+2kπ)=sin(−φ−π2)=−cosφ=−35，故选C ．6.【答案】A【解析】解：因为a n+1=S n ，所以a n =S n−1(n ≥2)，则a n+1−a n =S n −S n−1，即a n+1−a n =a n ，a n+1=2a n ， 所以a n+1a n=2(n ≥2)，因为a 1=2，所以a 2=S 1=a 1=2，故a n ={2n−1,n ≥22,n =1，因为a n ∈(0,2020)，所以1≤n ≤11， 于是数列{a n }的所有“和谐项“的平方和为：a 12+a 22+⋯+a 102+a 112=4+4+42+⋯+410=4+4(1−410)1−4=4+411−43=13×411+83，故选：A ．根据a n+1=S n 得出a n =S n−1(n ≥2)，然后两式相减，得出a n+1a n=2，再然后根据a 1=2得出a 2=2以及a n ={2n−1,n ≥22,n =1最后根据“和谐项“的定义得出1≤n ≤11，通过等比数列前n 项和公式求和即可得出结果．本题考查数列的前n 项和的求法，考查等比数列的定义以及数列通项公式的求法，能否正确理解“和谐项“是解决本题的关键，考查计算能力，是中档题．7.【答案】B【解析】 【分析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，最值问题，中档题分别求出f(x)，g(x)的导数，分析单调性，求出函数的值域，结合集合的包含关系得到关于c 的不等式组，解出即可，属于中等题． 【解答】解：f(x)=x 2⋅e −x ，x ∈(0,+∞)， 则f ′(x)=x(2−x)e x，令f ′(x)<0，解得：x >2， 令f ′(x)>0，解得：2>x >0， 故f(x)在(0,2)递增，在(2,+∞)递减， 故f(x)max =f(2)=4e 2，而x →0时，f(x)→0，x →+∞时，f(x)→0， 故f(x)∈(0,4e 2]，g(x)=−13x 3+2x 2−3x +c ， g ′(x)=−(x −3)(x −1)， 令g ′(x)⩾0，解得：1⩽x ⩽3， 故g(x)在[1,3]递增，而g(x)min =g(1)=−43+c ，g(x)max =g(3)=c ， 故g(x)∈[−43+c,c]，若对∀x 1∈(0,+∞)，∃x 2∈[1,3]，使f(x 1)=g(x 2)成立， 则(0,4e 2]⊆[−43+c,c]，故{−43+c ≤04e 2≤c，解得：4e 2≤c ≤43，故选B ．8.【答案】AB【解析】解：A 、找出所求数据中最大的值173，最小值161，再代入公式求值极差=173−161=12，故本选项符合题意；B 、男生身高的数据在167～192之间，女生身高数据在161～173之间，所以男生身高的均值较大，故本选项符合题意；C 、抽取的10名女生中，身高数据从小到大排列后，排在中间的两个数为165和167，所以中位数是166，故本选项不符合题意；D 、抽取的学生中，男生身高的数据在167～192之间，女生身高数据在161～173之间，男生身高数据波动性大，所以方差较大，故本选项不符合题意． 故选：AB ．A 、根据极差的公式：极差=最大值−最小值解答；B 、根据两组数据的取值范围判断均值大小；C 、根据中位数的定义求出数值；D 、根据两组数的据波动性大小；本题考查了统计数据的分析与应用问题，是基础题．9.【答案】ABD【解析】解：菱形ABCD 中，∠BAD =60°，AC 与BD 相交于点O.将△ABD 沿BD 折起，使顶点A 至点M ，如图：取BD 的中点E ，连接ME ，EC ，可知ME ⊥BD ，EC ⊥BD ，所以BD ⊥平面MCE ，可知MC ⊥BD ，所以A 正确；由题意可知AB =BC =CD =DA =BD ，三棱锥是正四面体时，△CDM 为等边三角形，所以B 正确；三棱锥是正四面体时，DM 与BC 垂直，所以C 不正确；在平面MBD 与底面BCD 垂直时，直线DM 与平面BCD 所成的角的最大值为60°，D 正确． 故选：ABD ．画出图形，利用直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系判断选项的正误即可． 本题考查空间几何体的直线与直线，直线与平面的位置关系的综合判断，命题的真假的判断，是中档题．10.【答案】ACD【解析】解：对于选项A ：A(x 1,x 12)，B(x 2,x 22)，∵OA ⊥OB ，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴x 1x 2+(x 1x 2)2=0，∴x 1x 2(1+x 1x 2)=0，∴x 2=−1x 1，∴|OA||OB|=√x 12(1+x 12)1x 12(1+1x 12)=√1+x 12+1x 12+1≥√2+2|x 1|⋅1|x 1|=2，当且仅当x 1=±1时等号成立，故选项A 正确；对于选项B ：若OA ⊥OB ，显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：y =kx +m ， 联立方程{y =kx +my =x 2，消去y 得：x 2−kx −m =0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)， ∴x 1+x 2=k ，x 1x 2=−m ，∴y 1y 2=x 12x 22=(x 1x 2)2=m 2，∵OA ⊥OB ，∴OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0，∴x 1x 2+y 1y 2=0， ∴−m +m 2=0，∴m =0或1， 易知直线AB 不过原点，∴m =1，∴直线AB 的方程为：y =kx +1，恒过定点(0,1)，故选项B 错误，∴原点O 到直线AB 的距离d =2，∵k 2≥0，∴k 2+1≥1，∴d ≤1，故选项C 正确；对于选项D ：直线AB 过抛物线的焦点F(0,14)，设直线AB 的方程为：y =kx +14， 联立方程{y =kx +14x 2=y ，消去y 得：x 2−kx −14=0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，不妨设点A 在y 轴右侧，∴x 1+x 2=k ，x 1x 2=−14，∴|AF|=y 1+14=13，∴y 1=112，∴x 1=√36，∴x 2=−14x 1=−√32，∴y 2=34，∴|BF|=y 2+14=1，故选项D 正确， 故选：ACD ．若OA ⊥OB ，显然直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为：y =kx +m ， 联立方程{y =kx +my =x 2，消去y 得：x 2−kx −m =0，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，本题主要考查了抛物线的性质，以及直线与抛物线的位置关系．11.【答案】BCD【解析】解：函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=e x (x +1)，设x >0时，−x <0，f(−x)=e −x (−x +1)，∴f(x)=−f(−x)=e −x (x −1)， x =0时，f(0)=0.因此函数f(x)有三个零点：0，±1．当x <0时，f(x)=e x (x +1)，f′(x)=)=e x (x +2)，可得x =−2时，函数f(x)取得极小值， f(−2)=−1e 2.可得其图象：f(x)<0时的解集为：(−∞,−1)∪(0,1)．∀x 1，x 2∈R ，都有|f(x 1)−f(x 2)|≤|f(0+)−f(0−)|<2． 因此BCD 都正确． 故选：BCD ．函数f(x)是定义在R 上的奇函数，当x <0时，f(x)=e x (x +1)，设x >0时，−x <0，可得f(x)=−f(−x)=e −x (x −1)，x =0时，f(0)=0.当x <0时，f(x)=e x (x +1)，f′(x)=)=e x (x +2)，可得x =−2时，函数f(x)取得极小值，进而判断出结论． 本题考查了利用导数研究函数的单调性、方程与不等式的解集、函数的奇偶性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12.【答案】1e 3【解析】解：根据题意，函数f(x)={sin 2x −tanx, x <0e −2x , x ≥0，则f(−25π4)=sin 2(−25π4)−tan(−25π4)=12−(−1)=32，则f(f(−25π4))=f(32)=e −3=1e 3；故答案为：1e 3．根据题意，由函数的解析式求出f(−25π4)的值，进而计算f(f(−25π4))即可得答案．本题考查分段函数的求值，涉及分段函数的解析式，属于基础题．13.【答案】12【解析】解：平行四边形ABCD 中，M 为CD 的中点，点N 满足BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2NC ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )， =(λ+23μ)AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +(12λ+μ)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则根据平面向量基本定理可得，{λ+2μ3=01=12λ+μ， 解可得，λ=−1，μ=32， 则λ+μ=12， 故答案为：12．所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +μAN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+μ(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，整理后结合向量基本定理即可求解．本题主要考查了向量的线性表示及平面向量基本定理的简单应用，属于基础试题．14.【答案】9√38【解析】解：在△ABC中，由正弦定理asinA =csinC得，a=csinAsinC =3×sin30°sin45=3√22，在△PBC中，由余弦定理得，a2=PB2+PC2−2PB⋅PC⋅cos∠BPC，∴92=PB2+PC2−2PB⋅PC⋅cos60°，∴92=PB2+PC2−PB⋅PC，∵PB2+PC2≥2PB⋅PC，∴92=PB2+PC2−PB⋅PC≥PB⋅PC，当且仅当PB=PC时取等号，∴PB⋅PC≤92，∴S△PBC=12PB⋅PC⋅sin60°≤12×92×√32=9√38，∴△PBC的最大值为9√38．故答案为：9√38．由已知利用正弦定理即可解得a的值，在△PBC中，由余弦定理，基本不等式可求PB⋅PC≤92，当且仅PC=PB时取等号，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．15.【答案】x+y+1=0或x−y+1=0【解析】解：设P点的坐标为(4t2,4t)，∵F(1,0)，A(−1,0)∴|PF|2=(4t2−1)2+16t2=16t4+8t2+1|PA|2=(4t2+1)2+16t2=16t4+24t2+1∴(|PF||PA|)2=16t4+8t2+116t4+24t2+1=1−16t216t4+24t2+1=1−1616t2+1t2+24≥1−2√16t⋅1t2+24=1−1640=35，当且仅当16t2=1t2，即t=±12时取等号，此时点P坐标为(1,2)或(1,−2)，此时直线AP的方程为y=±(x+1)，即x+y+1=0或x−y+1=0，故答案为：x+y+1=0或x−y+1=0，设P点的坐标为(4t2,4t)，根据点与点的距离公式，可得(|PF||PA|)2=16t4+8t2+116t4+24t2+1=1−1616t2+1t2+24，再根据基本不等式求出t的值，即可求出直线AP的方程本题考察了抛物线的定义，转化为基本不等式求解，属于中档题．16.【答案】解：(Ⅰ)由直方图知，成绩在[50,80)内的频率(0.004+0.018+0.04)×10= 0.62，所以中位数在[70,80)内，设中位数为x，则(0.004+0.018)×10+0.04×(x−70)=0.5，解得x=77，所以中位数是77，设平均数为x−，则x−=55×0.04+65×0.18+75×0.4+85×0.32+95×0.06=76.8．(Ⅱ)由直方图知，成绩在[50,60)内的人数为：50×10×0.004=2，设成绩为x，y，成绩在[90,100]的人数为50×10×0.006=3，设成绩为a、b、c，若m，n∈[50,60)时，只有xy一种情况，若m，n∈[90,100]时，有ab，bc，ac三种情况，若m，n分别在[50,60)和[90,100)内时，有xa，xb，xc，ya，yb，yc，共有6种情况，∴基本事件总数为10种，事件“|m−n|>10”所包含的基本事件个数有6种，∴p(|m−n)>10)=610=35．【解析】(Ⅰ)由直方图知，成绩在[50,80)内的频率为0.62，从而中位数在[70,80)内，设中位数为x，由频率分布直方图列出方程，能求出中位数，利用频率分布直方图的性质能求出平均数．(Ⅱ)由直方图知，成绩在[50,60)内的人数为2人，设成绩为x，y，成绩在[90,100]的人数为3人，设成绩为a、b、c，由此列举法能求出事件“|m−n|>10”所包含的基本事件个数．本题考查中位数、平均数和概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意频率分布直方图的性质及列举法的合理运用．17.【答案】解：(1)当n=1时，a1=S1=2a1−4，解得a1=4，当n≥2时，S n=2a n−4n①，S n−1=2a n−1−4(n−1)②由①−②得a n=S n−S n−1=2a n−2a n−1−4，即a n=2a n−1+4，可得a n+4=2(a n−1+4)，即b n=2b n−1，所以b n=b1⋅2n−1=8⋅2n−1=2n+2，则a n=2n+2−4；(2)由(1)知c n=(12)n+2，所以T n=18[1−(12)n]1−12=14[1−(12)n]<14，由T n≤m对任意的n∈N∗恒成立，所以m≥14．【解析】(1)由数列的递推式：当n=1时，a1=S1；当n≥2时，a n=S n−S n−1，推得a n=2a n−1+4，再由等比数列的定义和通项公式，可得所求；(2)求得c n，运用等比数列的求和公式和不等式的性质，以及不等式恒成立思想，可得所求范围．本题考查数列的递推式的运用，等比数列的通项公式和求和公式，以及不等式恒成立问题解法，考查转化思想和运算能力，属于中档题．18.【答案】解：(1)：设下调后的电价为x元/kw⋅ℎ，依题意知用电量增至kx−0.4+a，电力部门的收益为y=(kx−0.4+a)(x−0.3)(0.55≤x≤0.75)(5分)(2)依题意有{(0.2ax−0.4+a)(x−0.3)≥[a×(0.8−0.3)](1+20%)0.55≤x≤o.75(9分)整理得{x2−1.1x+0.3≥00.55≤x≤0.75解此不等式得0.60≤x≤0.75答：当电价最低定为0.6元/kw⋅ℎ仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．【解析】(1)先根据题意设下调后的电价为x元/kw⋅ℎ，依题意知用电量增至kx−0.4+a，电力部门的收益即可；(2)依题意：“电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%”得到关于x的不等关系，解此不等式即得出电价最低定为多少时，仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%．本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力．19.【答案】解：(1)∵S=b2+c2−a24，可得12bcsinA=2bccosA4，∴sinA=cosA，可得tanA=1，∵A∈(0,π)，∴A=π4，∵a=√6，b=√2，∴由正弦定理asinA =bsinB，可得sinB=b⋅sinAa=√2×√22√6=√66，又∵a>b，B为锐角，∴cosB=√1−sin2B=√306．(2)∵A=π4，∴sin(A+B)+sinBcosB+cos(B−A)=sin(B+π4)+sinBcosB+cos(B−π4)=√22sinB+√22cosB+sinBcosB+√22cosB+√22sinB=√2(sinB+cosB)+sinBcosB 令t=sinB+cosB，则t2=1+2sinBcoB，∴原式=12t2+√2t−12=12(t+√2)2−32，t∈(0,√2]，∴当t=√2时，B=π4，此时，原式的最大值为52．【解析】(1)利用三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tanA=1，结合范围A∈(0,π)，可求A的值，由正弦定理可得sin B的值，进而根据同角三角函数基本关系式可求cos B的值．(2)由已知可求sin(A+B)+sinBcosB+cos(B−A)=√2(sinB+cosB)+sinBcosB，令t=sinB+cosB，则t2=1+2sinBcoB，可求原式=12(t+√2)2−32，t∈(0,√2]，利用二次函数的性质可求其最大值．本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，二次函数的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．20.【答案】解：(1)由题可知当点P在椭圆O的上顶点时，S△PAB最大，S△PAB=12×2ab=ab=2√3，∴{ab=2√3ca=12a2−b2=c2，解得{a=2b=√3c=1．∴椭圆O的标准方程为x24+y23=1；(2)设过点B(2,0)与圆E 相切的直线方程为：y =k(x −2)，即kx −y −2k =0， ∵直线与圆E ：x 2+(y −2)2=r 2相切， ∴d =2=r ，得(4−r 2)k 2+8k +4−r 2=0．设两切线的斜率分别为k 1，k 2(k 1≠k 2)， 则k 1k 1=1．设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，联立{y =k 1(x −2)x 24+y 23=1，得(3+4k 12)x 2−16k 12x +16k 12−12=0．∴x 1=8k 12−63+4k 12，y 1=−12k13+4k 12，同理x 2=8k 22−63+4k 22=8−6k 124+3k 12，y 2=−12k 23+4k 22=−12k14+3k 12． ∴k CD =y 2−y 1x2−x 1=−12k 14+3k 12−−12k 13+4k 128−6k 124+3k 12−8k 12−63+4k 12=k14(k 12+1)． ∴直线CD 的方程为y +12k 13+4k 12=k 14(k 12+1)(x −8k 12−63+4k 12)．整理得：y =k 14(k 12+1)x −7k 12(k 12+1)=k14(k 12+1)(x −14)．∴直线CD 恒过定点(14,0)．【解析】(1)由题可知当点P 在椭圆O 的上顶点时，S △PAB 最大，得到ab =2√3，与离心率及隐含条件联立求得a ，b ，c 的值，则椭圆方程可求；(2)设过点B(2,0)与圆E 相切的直线方程为：y =k(x −2)，即kx −y −2k =0，由圆心到切线的距离等于半径可得(4−r 2)k 2+8k +4−r 2=0.设两切线的斜率分别为k 1，k 2(k 1≠k 2)，则k 1k 1=1.再设C(x 1,y 1)，D(x 2,y 2)，联立直线方程与椭圆方程，分别求出C ，D 的坐标，求出CD 所在直线当斜率，得到直线CD 的方程，整理后由直线系方程可得直线CD 恒过定点．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆、直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．21.【答案】解：(1)f′(x)=e x −ax ，∵函数f(x)有两个极值点x 1，x 2，∴方程f′(x)=0有两个不等的实数根x 1，x 2， 设g(x)=f′(x)=e x −ax ，则g′(x)=e x −a ， ①当a ≤0时，g′(x)=e x −a >0，∴g(x)在R上单调递增，至多有一个零点，不符合题意；②当a>0时，由g′(x)=0得x=lna，当x∈(−∞,lna)时，g′(x)<0，函数g(x)单调递减，当x∈(lna,+∞)时，g′(x)>0，函数g(x)单调递增，∴g(x)min=g(lna)=a−alna<0，即a>e，令φ(a)=a−2lna(a>0),φ′(a)=1−2a =a−2a，当a∈(0,2)时，φ′(a)<0，φ(a)为减函数，当a∈(2,+∞)时，φ′(a)>0，φ(a)为增函数，∴φ(a)min=φ(2)=2−2ln2=2(1−ln2)>0，∴φ(a)>0，即a>2lna，从而lna<a2<a，e a>a2，∴g(a)=e a−a2>0，又g(0)=1>0，∴g(x)在(0,lna)和(lna,a)上各有一个零点，符合题意．综上，实数a的取值范围为(e,+∞)；(2)证明：不妨设x1<x2，则x1∈(−∞,lna)，x2∈(lna,+∞)，则x1<lna<x2，设p(x)=g(x)−g(2lna−x)=e x−ax−[e2lna−x−a(2lna−x)]=e x−a2e−x−2ax+2alna，则p′(x)=e x+a2e−x−2a≥2√e x⋅a2e−x−2a=2a−2a=0，当且仅当e x=a2e−x，即x=lna时等号成立，∴p(x)在R上为增函数，由x2>lna，故p(x2)>p(lna)=0，即g(x2)−g(2lna−x2)>0，又∵x1，x2为函数g(x)的两个零点，∴g(x1)=g(x2)，∴g(x1)>g(2lna−x2)，又x2>lna，故2lna−x2<lna，又函数g(x)在(−∞,lna)上单调递减，∴x1<2lna−x2，即x1+x2<2lna．【解析】(1)依题意，方程f′(x)=0有两个不等的实数根x1，x2，设g(x)=f′(x)=e x−ax，求导后分a≤0及a>0讨论即可得出结果；(2)不妨设x1<x2，由(1)知x1<lna<x2，构造函数p(x)=g(x)−g(2lna−x)=e x−a2e−x−2ax+2alna，可证p(x)为R上的增函数，进而可得g(x1)>g(2lna−x2)，再利用函数g(x)的单调性即可得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查极值点偏移问题的处理策略，考查分类讨论思想及推理论证能力，属于中档题．。
江苏省南通市2025届新高三暑期学习(全国普通高考调研模拟测试)数学试题
高三年级全国普通高考调研测试数学全卷满分150分，限时120分钟注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的考试号填写在答题卡上．2．作答时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，请将答题卡交回．4．请认真阅读考试说明．★预祝考试顺利★第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合{}21,C A m m m ==∈，{}i 0B a b ab =+=，则A B ∩元素个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 已知()1,2,2AB=− ，1,0,12AC =− ，则点B 到直线AC 的距离为（ ）A.B. C. 2 D. 33. 设0a >，函数()22f x x a =+与直线y m =交于点,A B ．若曲线()y f x =与x 轴上方（不含x 轴）的正三角形ABC 的两条边相切，则m 的取值范围为（ ） A. 30,8B. 3,8−∞ C. 38 +∞ , D. 38 +∞, 4. 现有一份由连续正整数（可重复）组成的样本，其容量为m ，满足上四分位数为28，第80百分位数为30，则m 的最小值为（ ）A. 24B. 25C. 28D. 295. 在递增数列{}n a 中，1π6a =，()()1sin cos n n a a +=．已知n S 表示{}n a 前n 项和的最小值，则()9sin S =（ ） A. 12B. C. 12−D. 的6. 在锐角ABC 中，已知()sin 22sin sin A C C B +=−，则B ，C 的大小关系为（ ）A. B C >B. B C =C. B C <D. 无法确定7. 已知标准椭圆上P ，Q两点的切线方程分别为210x −=，10y +−=，则直线PQ 的斜率为（ ）AB. C. 2 D. 2− 8. 若满足()()300f x ax bx c c =−+≥>在[],c c −上恒成立的a 唯一，则整数b 的值为（ ）A. 3B. 3±C. 4D. 4±二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9. 已知ABC 的外接圆圆心在AC1−，且2A C =．设D 为AC 边上动点，将ABD △沿BD 向上翻折，得到四面体ABCD ，记为M ，其体积为V ．则（ ）A. ABC 的外接圆面积为4πB. M 不可能是正三棱锥C. M 的外接球球心不可能在其棱上D. V 取最大值时，AD CD <10. 已知抛物线Γ：24y x =的焦点为F ，P 为Γ上一动点．过F 且斜率大于0的直线与Γ交于不同的两点A ，B ，且满足AF BF >，AP BP ⊥．则下列说法错误的是（ ）A. 直线AB 的倾斜角大于60°B. 若4PF =，则2AF=C. 点P 可能第一象限D. 直线PB 横截距不可能是1− 11. 已知函数()()1xf x a ax a =−>，记n a a =时()f x 极值点为n x （*n ∈N 且n a 的值均不同）．则下列说法错误的是（ ）A. 满足()f x 有唯一零点的a 唯一B. 无论a 取何值，()f x 都没有过原点的切线C. 若12x x =，则2e 12e a a <D. 若1e n n x x +=，则()1e 1n n ii f x =≥−∑第Ⅱ卷（非选择题，共92分）.在的的三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12. 已知复数()()i i z z z =+−，若2mz z =，则m =______．13. 甲和乙玩小游戏测试他们的默契度．在一轮游戏中，他们各写下一个三位数，分别记为A 和B ．当以下任一条件成立时，他们“不默契”，否则“心有灵犀”：①A 、B 中相同的数字少于两个（如147和289）②A 、B 中相同的数字不少于两个，但不都在相同的数位上（如147和174）根据以上内容判断：在本轮游戏中，甲和乙“心有灵犀”的概率为______．14. 给定一种有穷正整数列的延伸机制Ξ，如图所示：记2,3,5经Ξ延伸后得到的无穷数列为{}n a ，则2024a =______．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 俱乐部是具有某种相同兴趣的人进行社会交际、文化娱乐等活动的团体和场所．一些顶尖的俱乐部不仅对会员的要求非常严苛，加入也要经过现任会员邀请并接受资格测试和对个人素养、社会地位等的综合考察．研究人员通过模型预测某俱乐部标准资格测试的参试成绩（总计100份），绘制成下表（已知B 卷难度更大）：（1）若至少有5%的把握认为及格率与试卷难度无关，求a 的最小值；（2）在预测的40份B 卷参试成绩中随机挑选3份，记不及格的份数为X①求X 的分布列及数学期望；②人教A 版选择性必修第三册第80页上写道：对于不放回抽样，当n 远远小于N 时…此时，超几何分布可以用二项分布近似．近似指的是期望还是方差？试判断并说明理由．附：()()()()()22n ad bc a b c d a c b d χ−=++++，其中n a b c d =+++．α 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001x α 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82816. 已知定义在()0,∞+上的函数()ln f x ax x =−，()()e 0x g x a x=≠． （1）分别说明()f x ，()g x 的单调性； （2）若函数()()f g x 存在唯一极小值点，求a 的取值范围．17. 已知无限高圆柱1OO ．如图，四边形ABCD 内接于其底面⊙O ，P 为其内一动点（包括表面），且平面PAB ⊥平面PAD ，PC AB ⊥．（1）是否存在点P 使得直线BC ⊥平面PCD ？试判断并说明理由．（2）若0OA OB OD ++= ，二面角P AB C 的大小为45 ，求AP 最大时直线PC 与平面PBD 所成角的余弦值．18. 已知焦点为F 的抛物线Γ：()220y px p =>，圆F 与Γ在第一象限的交点为P ，与x 正，负半轴分别交于点H ，G ．直线PH ，直线PF 与Γ的另一交点分别为M ，N ，直线MN 与直线PG 交于点T ． （1）若2PF p <，证明：2PNM PMN ∠>∠；（2）若2p =，求PNT S △的取值范围．19. 小学我们都学过质数与合数，每一个合数都能分解为若干个质数的积，比如362233=×××，74237=×等等，分解出来的质数称为这个合数的质因子，如2，3都是6的质因子．在研究某两个整数的关系时，我们称它们是互质的，如果它们没有相同的质因子．例如25的质因子只有5，而36的质因子只有2，3，所以25，36是互质的．为方便表示，对于任意的正整数n ，我们将比n 小且与n 互质的正整数的个数记为()A n ．例如，小于10且与10互质的数有1，3，7，9，所以()104A =，同理有()124A =．（1）求()60A ，()312A ； （2）求所有*n ∈N ，2n ≥，使得()A n 是奇数； （3）若正整数12k n p p p = ，其中12,,...,k p p p 表示互不相同的质数．证明：()12111111k A n n p p p=−−− .。
江苏省南通市2019-2020学年高考五诊数学试题含解析
江苏省南通市2019-2020学年高考五诊数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．函数()()sin f x x θ=+在[]0,π上为增函数，则θ的值可以是( )A ．0B ．2πC ．πD ．32π 【答案】D【解析】【分析】依次将选项中的θ代入，结合正弦、余弦函数的图象即可得到答案.【详解】当0θ=时，()sin f x x =在[]0,π上不单调，故A 不正确；当2πθ=时，()cos f x x =在[]0,π上单调递减，故B 不正确；当θπ=时，()sin f x x =-在[]0,π上不单调，故C 不正确；当32πθ=时，()cos f x x =-在[]0,π上单调递增，故D 正确. 故选：D【点睛】本题考查正弦、余弦函数的单调性，涉及到诱导公式的应用，是一道容易题.2．如图在一个60︒的二面角的棱有两个点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于棱AB ，且2,4AB AC BD ===，则CD 的长为（ ）A ．4B ．5C ．2D ．23【答案】A【解析】【分析】 由CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r ，两边平方后展开整理，即可求得2CD u u u r ，则CD 的长可求．【详解】解：Q CD CA AB BD =++u u u r u u u r u u u r u u u r， ∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u rg g g ，Q CA AB ⊥u u u r u u u r ，BD AB ⊥u u u r u u u r， ∴0CA AB =u u u r u u u r g ，0BD AB =u u u r u u u rg ， 1||||cos1202442CA BD CA BD =︒=-⨯⨯=-u u u r u u u r u u u r u u u r g ． ∴244162416CD =++-⨯=u u u r，||4CD ∴=u u u r ， 故选：A ．【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】【分析】取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，根据正棱柱的结构性质，得出1A E //AD ，则1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，求出11tan CE CA E A E∠=，即可得出结果. 【详解】解：如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ，而1A E ⊂底面111A B C ，所以11BB A E ⊥，由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形，所以111A E B C ⊥，且111A E B C E =I ,所以1A E ⊥平面11BB C C ，而EC ⊂平面11BB C C ，则1A E ⊥EC ，则1A E //AD ，190A EC ∠=︒，∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，设2AB =，则1AA =1A E =，3CE =，则11tan CE CA E A E ∠=== ∴13πCA E ∠=. 故选：C.【点睛】 本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.4．已知函数()sin3(0,)f x a x a b a x =-++>∈R 的值域为[5,3]-，函数()cos g x b ax =-，则()g x 的图象的对称中心为（ ）A ．,5()4k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭ZB ．,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z C ．,4()5k k π⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭Z D ．,4()510k k ππ⎛⎫+-∈⎪⎝⎭Z 【答案】B【解析】【分析】由值域为[5,3]-确定,a b 的值，得()5cos4g x x =--，利用对称中心列方程求解即可【详解】因为()[,2]f x b a b ∈+，又依题意知()f x 的值域为[5,3]-，所以23a b += 得4a =，5b =-， 所以()5cos4g x x =--，令4()2x k k ππ=+∈Z ，得()48k x k ππ=+∈Z ，则()g x 的图象的对称中心为,5()48k k ππ⎛⎫+-∈ ⎪⎝⎭Z . 故选：B【点睛】本题考查三角函数 的图像及性质，考查函数的对称中心，重点考查值域的求解，易错点是对称中心纵坐5．双曲线C ：22221x y a b-=（0a >，0b >）的离心率是3，则双曲线C 的焦距为（ ）A ．3B ．C ．6D ．【答案】A【解析】【分析】根据焦点到渐近线的距离，可得b ，然后根据222,c b c a e a =-=，可得结果. 【详解】由题可知：双曲线的渐近线方程为0bx ay ±=取右焦点(),0F c ，一条渐近线:0l bx ay -=则点F 到l =222b a c +=所以b =222c a -= 又2222399c c c a a a =⇒=⇒= 所以223292c c c -=⇒= 所以焦距为：23c =故选：A【点睛】本题考查双曲线渐近线方程，以及,,,a b c e 之间的关系，识记常用的结论：焦点到渐近线的距离为b ，属基础题.6．已知全集U =R ，集合{|lg(1)}A x y x ==-，|B x y⎧==⎨⎩则()U A B =I ð（ ） A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞ 【答案】D【解析】【分析】 根据函数定义域的求解方法可分别求得集合,A B ，由补集和交集定义可求得结果.{}()10,1A xx =->=-∞Q ，()0,B =+∞，[)1,U A ∴=+∞ð， ()[)1,U A B ∴=+∞I ð. 故选：D .【点睛】本题考查集合运算中的补集和交集运算问题，涉及到函数定义域的求解，属于基础题.7．一艘海轮从A 处出发，以每小时24海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是（ ）A ．6 2海里B ．63海里C ．82海里D ．83海里【答案】A【解析】【分析】先根据给的条件求出三角形ABC 的三个内角，再结合AB 可求，应用正弦定理即可求解.【详解】由题意可知：∠BAC ＝70°﹣40°＝30°.∠ACD ＝110°，∴∠ACB ＝110°﹣65°＝45°，∴∠ABC ＝180°﹣30°﹣45°＝105°.又AB ＝24×0.5＝12.在△ABC 中，由正弦定理得4530AB BC sin sin =︒︒， 1222BC =，∴62BC =【点睛】本题考查正弦定理的实际应用，关键是将给的角度、线段长度转化为三角形的边角关系，利用正余弦定理求解.属于中档题.8．若(1＋2ai)i ＝1－bi ，其中a ，b ∈R ，则|a ＋bi|＝( )．A ．12 B．CD ．5【答案】C【解析】试题分析：由已知，－2a ＋i ＝1－bi ，根据复数相等的充要条件，有a ＝－12，b ＝－1 所以|a ＋bi|=，选C 考点：复数的代数运算，复数相等的充要条件，复数的模9．已知函数()()()1sin ,13222,3100x x f x f x x π⎧-≤≤⎪=⎨⎪-<≤⎩，若函数()f x 的极大值点从小到大依次记为12,?··n a a a ，并记相应的极大值为12,,?··n b b b ，则()1n i i i a b =+∑的值为（ ） A ．5022449+B ．5022549+C ．4922449+D ．4922549+ 【答案】C【解析】【分析】对此分段函数的第一部分进行求导分析可知，当2x =时有极大值(2)1f =，而后一部分是前一部分的定义域的循环，而值域则是每一次前面两个单位长度定义域的值域的2倍，故此得到极大值点n a 的通项公式2n a n =，且相应极大值12n nb -=，分组求和即得 【详解】当13x ≤≤时，()cos 22x f x πππ-⎛⎫'= ⎪⎝⎭， 显然当2x =时有，()0f x '=，∴经单调性分析知2x =为()f x 的第一个极值点又∵3100x <≤时，()2(2)f x f x =-∴4x =，6x =，8x =，…，均为其极值点∵函数不能在端点处取得极值∴2n a n =，149n ≤≤，n Z ∈∴对应极值12n nb -=，149n ≤≤，n Z ∈ ∴()4949491(298)491(12)22449212i i i a b =+⨯⨯-+=+=+-∑ 故选：C【点睛】本题考查基本函数极值的求解，从函数表达式中抽离出相应的等差数列和等比数列，最后分组求和，要求学生对数列和函数的熟悉程度高，为中档题10．在平面直角坐标系xOy 中，已知角θ的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在直线2y x =上，则3sin 22πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ） A ．45 B ．45- C ．35 D ．35- 【答案】C【解析】【分析】 利用诱导公式以及二倍角公式，将3sin 22πθ⎛⎫+ ⎪⎝⎭化简为关于tan θ的形式，结合终边所在的直线可知tan θ的值，从而可求3sin 22πθ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【详解】 因为222222223sin cos tan 1sin 2cos 2sin cos 2sin cos tan 1πθθθθθθθθθθ--⎛⎫+=-=-== ⎪++⎝⎭，且tan 2θ=， 所以3413sin 22415πθ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数中的诱导公式以及三角恒等变换中的二倍角公式，属于给角求值类型的问题，难度一般.求解22sin cos m n θθ+值的两种方法：（1）分别求解出sin ,cos θθ的值，再求出结果；（2）将22sin cos m n θθ+变形为222222sin cos tan sin cos tan 1m n m n θθθθθθ++=++，利用tan θ的值求出结果.11．已知01a b <<<，则（ ）A ．()()111b b a a ->-B ．()()211b b a a ->-C ．()()11a b a b +>+D ．()()11a b a b ->-【答案】D【解析】【分析】根据指数函数的单调性，即当底数大于1时单调递增，当底数大于零小于1时单调递减，对选项逐一验证即可得到正确答案.【详解】因为01a <<，所以011a <-<，所以()1x y a =-是减函数，又因为01b <<，所以1b b >，2b b >， 所以()()111b b a a -<-，()()211bb a a -<-，所以A,B 两项均错；又111a b <+<+，所以()()()111a a b a b b +<+<+，所以C 错；对于D ，()()()111a b b a a b ->->-，所以()()11a b a b ->-，故选D.【点睛】这个题目考查的是应用不等式的性质和指对函数的单调性比较大小，两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系.12．设ln3a =，则lg3b =，则（ ）A ．a b a b ab +>->B ．a b ab a b +>>-C ．a b a b ab ->+>D ．a b ab a b ->>+【答案】A【解析】【分析】 根据换底公式可得ln 3ln10b =，再化简,,a b a b ab +-，比较ln 3,ln101,ln101-+的大小，即得答案. 【详解】 10ln 3lg3log 3ln10b ===Q ， ()()ln 3ln101ln 3ln101ln 3ln 3ln 3,ln 3ln10ln10ln10ln10a b a b +-∴+=+=-=-=， ln 3ln 3ln10ab ⨯=. ln 30,ln100>>Q ，显然a b a b +>-.()310,ln 3ln10e e <∴<Q ,即ln 31ln10,ln 3ln101+<∴<-，()ln 3ln101ln 3ln 3ln10ln10-⨯∴<，即ab a b <-. 综上，a b a b ab +>->.故选：A .【点睛】本题考查换底公式和对数的运算，属于中档题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2021年江苏省南通市高考数学模拟试卷(5)含答案
2021年江苏省南通市高考数学模拟试卷(5)含答案2021年高考模拟试卷(5)南通市数学学科基地命题第ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分后，共70分后．1．设立子集a??2,5?，b??x1?x?3?，则ab?▲．8589012246a?2i（i是虚数单位）是纯虚数，则a的值为▲．1?2i3．如图是某班8位学生诗朗诵比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的平均分为▲．4．继续执行如图所示的伪代码，则输入的结果的子集为▲．5．甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为▲．?x2?4x?6,x≥0,6．设立函数f(x)??则不等式f(x)?f(1)的边值问题就是▲．x?6,x?0,?2．设a?r，复数（第3题）ｓ?１forifrom1to5step2s?s+iprintsendfor(第4题)117．未知圆柱的底面半径为r，低为h，体积为2，表面积为12，则?=▲．rh228．在平面直角坐标系xoy中，已知点a为双曲线x?y?4的左顶点，点b和点c 在双曲线的右支上，?abc是等边三角形，则?abc的面积为▲．9．若tan(??)?2，则sin2?的值▲．410．已知定义在集合a上的函数f(x)?log2(x?1)?log2(2x?1)，其值域为,1?，则a?▲．11．数列{an}中a1?0，a4??7，对?n?n?，当n?2时，(1?an)2?(1?an?1)(1?an?1)，则数列{an}的前n项的和为▲．12．设立实数a?1,b?1，则“a?b”就是“lna?lnb?a?b”设立的▲条件.（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空）13．在?abc中，b?45，m,n分别为边ac,ab的中点，且bm?ac?2cn?ab，则▲．14．在平面直角坐标xoy中，设圆m的半径为1，圆心在直线2x?y?4?0上,若圆m上不存有点n，并使babc的值为?bcbano?1，则圆心m横坐标的取值范围▲.na,其中a（0，3）2二、答疑题：本大题共6小题，总计90分后．恳请在答题卡选定区域内答题，答疑时写下文字说明、证明过．．．．．．．程或演算步骤．15．（本小题满分14分后）?abc中，角a，b，c所对应的边分别为a，b，c，面积为s．（1）若ab?ac?23s，谋a的值；（2）若tana∶tanb∶tanc＝1∶2∶3，且c?1，求b．第1页，共11页16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面abcd是平行四边形，pa?平面abcd，m 是ad中点，n是pc中点．（1）澄清：mn//面pab；（2）若平面pmc?平面pad，求证：cm?ad．pnabmdc（第16题）17．（本小题满分14分）为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽），问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉市场需求，必须减小水渠的过水量，现把旧有水渠改挖（无法回填）成横断面为全等梯形的新水渠，并使水渠的底面与地面平行（不发生改变渠深），要使所挖土的土方量最少，恳请你设计水渠改挖后的底阔，并算出这个底阔．42（第17题图）x2y218．（本小题满分16分后）在平面直角坐标系xoy中，未知椭圆2?2?1(a?b?0)的右顶点与上顶点分别ab33，且过点(1,)．22（1）求椭圆的标准方程；（2）例如图，若直线l与该椭圆处设p,q两点，直线bq,ap的斜率互为相反数．①求证：直线l的斜率为定值；s②若点p在第一象限，设立?abp与?abq的面积分别为s1,s2，谋1的最大值．s2yb第2页，共11页o为a,b，椭圆的离心率为paxlq19．（本小题满分16分后）未知函数f(x)?mx?(m?2)lnx?2，g(x)?x2?mx?1，m?r．x （1）当m?0时，①求f(x)的单调区间；②若存有x1,x2?[1,2]，使f(x1)?g(x2)?1设立，谋m的值域范围；lnx?1（2）设h(x)?的导函数h?(x)，当m?1时，求证：[g(x)?1]h?(x)?1?e?2（其中e是自然对数的底xe数）．20．（本小题满分16分后）若数列{an}满足条件：存有正整数k，使an?k?an?k?2an 对一切n?n*,n?k都设立，则表示数列{an}为k级等差数列．（1）已知数列{an}为2级等差数列，且前四项分别为2,0,4,3，求a8?a9的值；（2）若an?2n?sin?n(?为常数），且{an}就是3级等差数列，谋?所有可能将值的子集，ZR19?挑最轻正值时数列{an}的前3n项和s3n；（3）若{an}既是2级等差数列，{an}也就是3级等差数列，证明：{an}就是等差数列．第ⅱ卷（附加题，共40分）21．【Suippes题】本题包含a、b、c、d共4小题，恳请选取其中两小题，并在适当的答题区域内答题．若多．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．搞，则按答题的前两小题评分．答疑时应写下文字说明、证明过程或编程语言步骤．a．（选修４－１：几何证明选讲）如图，∠paq是直角,圆o与射线ap相切于点t，与射线aq相交于两点b、c.求证:bt平分?oba.（第21题a）?12??10??1ba?b．，（报读４－２：矩阵与转换）设立二阶矩阵a，b 满足用户a01?，谋b?1．34c．（报读４－４：坐标系与参数方程）在直角坐标系则中，以原点为极点，x轴的也已半轴为极轴创建极坐标系，已知曲线错误！未找到引用源。
江苏省南通市高考数学模拟试卷(理科)(5月份)
江苏省南通市高考数学模拟试卷（理科）（5月份）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）若集合，则是（）A . AB . TC .D . R2. （2分） (2017高二下·衡水期末) 复数的共轭复数是（）A . 1+iB . 1﹣iC . ﹣1+iD . ﹣1﹣i3. （2分） (2016高一下·榆社期中) 已知与为互相垂直的单位向量，，且与的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是（）A . （﹣∞，﹣2）B . （，+∞）C . （﹣2，）D . （﹣）4. （2分）在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k]，即[k]={5n+k|n∈Z}，k=0，1，2，3，4．给出如下四个结论：①2011∈[1]；②﹣3∈[3]；③Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]；④“整数a，b属于同一“类”的充要条件是“a﹣b∈[0]”．其中，正确结论的是（）A . ①②④B . ①②③C . ①③④D . ①②③④5. （2分）(2020·淮北模拟) 已知等差数列满足，则的最大值为（）A .B . 20C . 25D . 1006. （2分） (2016高三上·厦门期中) 已知a=sin2，b=log 2，c=log ，则（）A . a＞b＞cB . c＞a＞bC . a＞c＞bD . c＞b＞a7. （2分）(2017·榆林模拟) 某程序框图如图所示，现输入如下四个函数，则可以输出的函数是（）A . f（x）=x2B . f（x）=sinxC . f（x）=exD . f（x）=8. （2分）(2017·河北模拟) 在△ABC中，AB=AC=2，BC•cos（π﹣A）=1，则cosA的值所在区间为（）A . （﹣0.4，﹣0.3）B . （﹣0.2，﹣0.1）C . （﹣0.3，﹣0.2）D . （0.4，0.5）9. （2分）(2017·唐山模拟) 一个四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积为（）A .B .C .D .10. （2分）某四面体的三视图如图所示．该四面体的六条棱的长度中，最大的是（）A .B .C .D .11. （2分）(2017·成都模拟) 设双曲线C：（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1 ， F2 ，以F1F2为直径的圆与双曲线左支的一个交点为P，若以OF1（O为坐标原点）为直径的圆与PF2相切，则双曲线C的离心率为（）A .B .C .D .12. （2分）(2016·山东模拟) 某公司新招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能分给同一个部门，另三名电脑编程人员也不能分给同一个部门，则不同的分配方案种数是（）A . 18B . 24C . 36D . 72二、填空题 (共4题；共5分)13. （1分）(2017·南京模拟) 已知实数x，y满足，则的最小值是________．14. （1分） (2019高三上·沈河月考) ________．15. （2分） (2017高一上·海淀期中) 已知函数（其中ω＞0，）的部分图象如图所示，则ω=________，φ=________．16. （1分）若直线y=kx与圆（x﹣2）2+y2=1的两个交点关于直线2x+y+b=0对称，则k，b的值分别为________．三、解答题 (共7题；共65分)17. （10分） (2016高一下·攀枝花期中) 已知等比数列{an}满足2a1+a3=3a2 ，且a3+2是a2 ， a4的等差中项．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若bn=an+log2 ，Sn=b1+b2+…bn，求使 Sn﹣2n+1+47＜0 成立的正整数n的最小值．18. （10分）假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如表的统计资料：使用年限x（年）23456维修费用y（万元） 2.2 3.8 5.5 6.57.0若由资料可知y对x呈线性相关关系，试求：（1）线性回归方程；（2）根据回归直线方程，估计使用年限为12年时，维修费用是多少？参考公式： = ， = ﹣， = x+ ．19. （10分） (2016高二下·宜春期末) 如图，已知四棱锥S﹣ABCD，底面ABCD为菱形，SA⊥平面ABCD，∠ADC=60°，E，F分别是SC，BC的中点．（1）证明：SD⊥AF；（2）若AB=2，SA=4，求二面角F﹣AE﹣C的余弦值．20. （5分）(2017·荆州模拟) 设椭圆E： + =1（a＞0）的焦点在x轴上．（Ⅰ）若椭圆E的离心率e= a，求椭圆E的方程；（Ⅱ）设F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为直线x+y=2 与椭圆E的一个公共点，直线F2P交y轴于点Q，连结F1P，问当a变化时，与的夹角是否为定值，若是定值，求出该定值，若不是定值，说明理由．21. （10分） (2017高二下·赣州期末) 已知函数f（x）=ax3﹣bx+2（a＞0）（1）在x=1时有极值0，试求函数f（x）的解析式；（2）求f（x）在x=2处的切线方程．22. （10分） (2018高二下·长春开学考) 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求曲线与的直角坐标方程；（2）当与有两个公共点时，求实数的取值范围．23. （10分）(2017·晋中模拟) 已知函数（1）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求实数m的最大值；（2）当a＜时，函数g（x）=f（x）+|2x﹣1|有零点，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共5分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共65分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、21-1、21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
江苏省南通市2020届高三数学下学期5月模拟考试试题含解析
江苏省南通市2020届高三数学下学期5月模拟考试试题（含解析）一､填空题1. 已知集合{}1,2,3,4A =，{}2|log (1)2B x x =-<，则A B =____．【答案】{}2,3,4 【解析】由题意可得：{}{}|014|15B x x x x =<-<=<< ，则{}2,3,4A B ⋂=.2. 设复数2(2i)z =+（i 为虚数单位），则z 的共轭复数为____． 【答案】34i - 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算，求得34i +，再根据共轭复数的概念，即可得答案. 【详解】由于2(2i)34i z =+=+，所以z 的共轭复数为34i - ．【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数的共轭复数的概念，其中解答中熟记复数的基本概念和复数的运算法则是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 3. 若以连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n 作为点P 的横、纵坐标，则点P 在直线210x y --=上方的概率为_______.【答案】14【解析】 【分析】连续掷两次骰子分别得到共有36个基本事件，再根据点P 在直线210x y --=上方，利用列举法，求得基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，连续掷两次骰子分别得到的点数m ，n ，共有36个基本事件， 其中点P 在直线210x y --=上方，即满足不等式210x y --<，有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,4),(2,5),(2,6),(3,6)，共有9个基本事件，所以概率为91364P ==. 故答案为：14. 【点睛】本题主要考查了古典概型及其概率的计算，其中解答中认真审题，利用列举法求得所有事件包含的基本事件的个数是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.4. 在平面直角坐标系xOy 中，若抛物线()220x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，则该抛物线的焦点到准线的距离为______. 【答案】6 【解析】 【分析】根据抛物线的定义可得，点到准线的距离也是4，从而可得p ，即可求抛物线的焦点到准线的距离.【详解】因为抛物线()220x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为4，所以由抛物线定义可知该点到准线的距离也是4，即142p+=， 所以6p，即该抛物线的焦点到准线的距离为6.故答案为：6【点睛】本题主要考查抛物线的定义，根据定义两种距离的相互转化是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.5. 执行如下的程序框图，若14p =，则输出的n 的值为______.【答案】4【解析】 【分析】根据程序框图，逐步进行运算，直到退出循环体，输出n .【详解】第一次运算：2,2S n ==；第二次运算：6,3S n ==；第三次运算：14,4S n ==； 此时退出循环体，输出的n 的值为4. 故答案为：4.【点睛】本题主要考查根据程序框图求解运算结果，“还原现场”是常用的求解方法，侧重考查数学运算的核心素养. 6. 函数()22log 32y x x =--的值域为______.【答案】(],2-∞ 【解析】 【分析】令232t x x =--，由二次函数知识求解t 的范围，结合对数函数单调性可得值域. 【详解】令232t x x =--，则2log y t =，因为2232(1)44t x x x =--=-++≤，且2log y t =为增函数， 所以2log 42y ≤=. 故答案为：(],2-∞.【点睛】本题主要考查复合函数的值域问题，换元法是常用的方法，把复合函数拆分为简单函数进行求解，侧重考查数学抽象的核心素养.7. 在等差数列{a n }中，若a 3＋a 5＋a 7＋a 9＋a 11＝100，则3a 9－a 13的值为________． 【答案】40 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，可把条件357911100a a a a a ＋＋＋＋＝化为720a =，再将条件9133a a －表示为72a ，即可．【详解】根据等差数列的性质，357911100a a a a a ＋＋＋＋＝可化为75100=a即720a =又9133a a －=513913a a a a ++-=59a a +=72a =40．【点睛】一般地，如果{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，则有性质： （1）若,,,*,m n p q N m n p q ∈+=+，则m n p q a a a a +=+； （2）232,,,n n n n n S S S S S -- 为等差数列.（3）2n S An Bn =+且n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （4）()1,1,2,,2k n k n n a a S k n +-+== 且()2121n n S n a -=- ；8. 现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【答案】128π 【解析】分析：由圆锥的几何特征，现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器，则圆锥的底面周长等于扇形的弧长，圆锥的母线长等于扇形的半径，由此计算出圆锥的高，代入圆锥体积公式，即可求出答案.解析：设铁皮扇形的半径和弧长分别为R 、l ，圆锥形容器的高和底面半径分别为h 、r ， 则由题意得R=10，由1802Rl π=，得16l π=， 由2lr π=得8r =.由222R r h =+可得6h =.∴()231164612833V r h cm πππ==⋅⋅=∴该容器的容积为3128cm π.故答案为128π.点睛：涉及弧长和扇形面积的计算时，可用的公式有角度表示和弧度表示两种，其中弧度表示的公式结构简单，易记好用，在使用前，应将圆心角用弧度表示．9. 已知() 0?αβπ∈，，，且()1tan 2αβ-=，1tan 5β=-，则tanα的值为_______．【答案】311【解析】分析：利用两角和与差的正切函数公式，即可化简求值． 详解：由11tan(),tan 25αββ-==-， 则11tan()tan 325tan tan[()]111tan()tan 11125αββααββαββ--+=-+===--+⨯． 点睛：本题主要考查了三角函数的化简求值问题，其中把角转化为()ααββ=-+和熟记两角和与差的正切公式是解答的关键，着重考查了转化意识和推理、运算能力．10. 已知实数,x y 满足40{210440x y x y x y +-≤-+≥+-≥，则3z x y =+-的取值范围是 ．【答案】[1,7] 【解析】【详解】试题分析：平面区域如图所示：因为0,3x y ≥≤，所以333z x y x y x y =+-=+-=-+，即3y x z =+-，则当13x y =⎧⎨=⎩时，1min z =，当4x y =⎧⎨=⎩时，7max z =，即z 的取值范围为[1,7].故答案为：[1,7].11. 若函数()()ππ()sin 63f x a x x =++-是偶函数，则实数a 的值为________【答案】1- 【解析】 【分析】将f （x ）＝a sin （x 6π+）（x 3π-）转化为f （x ）2=（a +1）sin x +（322a -）cos x ，利用偶函数的概念可求得a 的值．【详解】∵f （x ）＝a sin （x 6π+）（x 3π-）＝a （2sin x 12+cos x ）12sin x 2-x ）=a +1）sin x +（322a -）cos x 为偶函数，∴f （﹣x ）＝f （x ）， ∴a +1＝0， ∴a ＝﹣1． 故答案为-1【点睛】本题考查三角函数的化简，三角恒等变换，考查函数的奇偶性，求得f （x ）2=（a +1）sin x +（322a -）cos x 是关键，属于中档题． 12. 在ABC 中，cos 2sin sin A B C =，tan tan 2B C +=-，则tan A 的值为______. 【答案】1 【解析】 【分析】先根据cos 2sin sin A B C =求出tan tan 1B C =-，结合和角公式可求tan tan tan tan()11tan tan B CA B C B C+=-+=-=-.【详解】因为cos 2sin sin A B C=，所以cos()cos cos sin sin 2sin sin B C B C B C B C -+=-+=，即有cos cos sin sin B C B C -=，tan tan 1B C =-；tan tan tan tan()11tan tan B CA B C B C+=-+=-=-.故答案为：1.【点睛】本题主要考查和差角公式，三角形内角间的关系是求解的线索，和角的正切公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.13. 已知函数()221,0,,0x x mx x f x e e mx x ⎧+<⎪=⎨⎪+>⎩，若函数()f x 有四个不同的零点，则实数m 的取值范围是______. 【答案】2,4e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】先判定函数的奇偶性，结合导数研究函数的性质，结合函数图象可得实数m 的取值范围.【详解】0x >时，2()e x f x mx =+，221()x xf x mx e mx e --=+=+， 所以()()f x f x -=，因为函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，该定义域关于原点对称，所以函数()f x 为偶函数.若函数()f x 有四个不同的零点，则函数()f x 在()0,∞+上有两个不同的零点.当0x >时，令()0f x =得20xe mx +=，即2e xm x=-，令2(),0xe g x x x=->，则函数()f x 在()0,∞+上有两个不同的零点时，直线y m =与函数()g x 的图象在()0,∞+上有两个不同的交点.3232e e (2)e ()x x x x g x x x x -'=-=，令3(2)0xx e x-=得2x =， 当02x <<时，3(2)e ()0x x g x x -'=>，()g x 为增函数；当2x >时，3(2)()0xx e g x x-'=<，()g x 为减函数；所以2max()(2)4e g x g ==-，作出图象如图，由图可知2e 4m <-，所以实数m 的取值范围是2e ,4m ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭.故答案为：2e ,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭.【点睛】本题主要考查函数的零点，根据零点个数求解参数的范围，一般结合函数的图象进行求解，侧重考查数学抽象的核心素养.14. 已知[)0,2θ∈π，若关于k ()33sin cos sin cos k θθθθ-在(],2-∞-上恒成立，则θ的取值范围为______. 【答案】0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π 【解析】 【分析】将不等式变形为33sin sin cos cos k k θθθθ-≥，构造函数()6g x kx x =-，可知当2k ≤-时，函数()y g x =在[)0,+∞上为减函数，可得出cos sin 0θθ≥≥，进而可求得θ的取值范围.【详解】由()33sin cos k θθ≤-，可得33sin cos k k θθ≥构造函数()6g x kx x =-，当2k <-且当0x ≥，()610g x kx '=-<，此时，函数()y g x =在[)0,+∞上为减函数，由于33sin cos k k θθ()()sin cos g g θθ≥， 所以，cos sin 0θθ≥≥，所以，0tan 1θ≤≤，[)0,2θπ∈，0,4πθ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦.综上可得θ的取值范围为0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π. 故答案为：0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π.【点睛】本题主要考查恒成立问题，构造函数，判断单调性，结合单调性把抽象不等式转化为具体不等式，侧重考查数学抽象的核心素养. 二､解答题15. 已知sin cos θθ+=，ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，．（1）求θ的值；（2）设函数()22()sin sin f x x x θ=-+，x ∈R ，求函数()f x 的单调增区间．【答案】（1）6π-；（2）ππππ+63k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，,k Z ∈【解析】 【分析】（1）由1sin cos 2θθ+=，两边平方可得sin22θ=-，结合ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，可得π23θ=-，即π6θ=-；（2）由（1）知，()22πsin sin 6f x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，利用二倍角的余弦公式以及两角和与差的正弦公式将函数()f x 化为1πsin 226x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，利用正弦函数的单调性解不等式，可得到函数()f x 的递增区间.【详解】（1）由1sin cos 2θθ+=，得()2sin cos 12θθ+=-即22sin 2sin cos cos 12θθθθ++=-，所以sin22θ=-． 因为ππ44θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以ππ222θ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以π23θ=-，即π6θ=-．（2）由（1）知，()22πsin sin 6f x x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭， 所以()()11π1cos21cos 2223f x x x ⎡⎤⎛⎫=---- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦1πcos 2cos223x x ⎡⎤⎛⎫=-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ 11cos2222x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭1πsin 226x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭． 令πππ2π22π+262k x k -≤-≤， 得ππππ+63k x k -≤≤，所以函数()f x 的单调增区间是ππππ+63k k ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，Z k ∈．【点睛】本题主要考查三角函数的单调性、二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及正弦函数的单调性，属于中档题.函数sin()y A x ωϕ=+的单调区间的求法：(1) 代换法：①若0,0A ω>>,把x ωϕ+看作是一个整体，由22k x ππωϕ+≤+≤()322k k Z ππ+∈求得函数的减区间，2222k x k πππωϕπ-+≤+≤+求得增区间；②若0,0A ω><,则利用诱导公式先将ω的符号化为正，再利用①的方法，或根据复合函数的单调性规律进行求解；(2) 图象法：画出三角函数图象，利用图象求函数的单调区间.16. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为梯形，//CD AB ，2AB CD =，AC 交BD 于O ，锐角PAD △所在平面PAD ⊥底面ABCD ，PA BD ⊥，点Q 在侧棱PC 上，且2PQ QC =.（1）求证：//PA 平面QBD ； （2）求证：BD AD ⊥.【答案】（1）证明见解析.（2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接OQ ，根据比例线段，证明//PA OQ ，可得//PA 平面QBD ；（2）通过面面垂直转化为线面垂直，然后可得BD ⊥平面PAD ，进而可证BD AD ⊥. 【详解】（1）如图，连接OQ ， 因为//AB CD ，2AB CD =， 所以2AO OC =， 又2PQ QC =， 所以//PA OQ ，又OQ ⊂平面QBD ， PA ⊄平面QBD ， 所以//PA 平面QBD .⊥于H，（2）在平面PAD内过P作PH AD=，因为侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD平面ABCD ADPH⊂平面PAD，所以PH⊥平面ABCD，⊥，又BD⊂平面ABCD，所以PH BD△是锐角三角形，所以PA与PH不重合，因为PAD即PA和PH是平面PAD内的两条相交直线，⊥，所以BD⊥平面PAD，又PA BD ⊥.【点睛】本题主要考查空间线面平行的证明和线线垂直的证明，线面平行一般通过线线平行来证明，准确作出辅助线是求解的关键，侧重考查逻辑推理的核心素养. 17. 在平面直角坐标系xOy中，圆O：224x y+=，直线l：43200x y+-=.43,55A⎛⎫ ⎪⎝⎭为圆O内一点，弦MN过点A，过点O作MN垂线交l于点P. （1）若//MN l，求PMN的面积；（2）判断直线PM与圆O的位置关系，并证明. 【答案】（1）33（2）直线PM与圆O相切，证明见解析.【解析】又AD⊂平面PAD，所以BD AD【分析】（1）根据直线平行可得直线MN的方程，然后求出弦长和高，可得三角形的面积；（2）联立方程求出点p的坐标，利用向量数量积证明PM OM⊥，进而可得直线PM与圆O 的位置关系.【详解】（1）因为//MN l ，设直线MN 的方程为430x y c ++=， 由条件得，4343055c ⨯+⨯+=，解得5c =-，即直线MN 的方程为4350x y +-=.因为34OA k =，43MN k =-，所以1OA MN k k ⋅=-，即OA MN ⊥，所以MN ==. 又因为直线MN 与直线l间的距离3d ==，即点P 到直线MN 的距离为3，所以PMN的面积为132⨯=. （2）直线PM 与圆O 相切，证明如下：设00(,)M x y ，则直线MN 的斜率000035354545y y k x x --==--，因为OP MN ⊥，所以直线OP 的斜率为005453x y ---，所以直线OP 的方程为005453x y x y -=--.联立方程组0054,5343200,x y x y x y -⎧=-⎪-⎨⎪+-=⎩解得点P 的坐标为()()000000453454,4343y x y x y x --⎛⎫- ⎪--⎝⎭， 所以()()00000000453454,4343y x PM x y y x y x --⎛⎫=-⎪--⎝⎭--，由于()00,OM x y =，22004x y +=，所以()()0000220000004534544343x y y x PM OM x y y x y x --⋅=-----()()000000453454443x y y x y x ---=--000012164043x y y x -+=-=-， 所以PM OM ⊥，即PM OM ⊥，所以直线PM 与圆O 相切，得证.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，三角形面积求解的关键是求解弦长，侧重考查数学运算的核心素养.18. 如图，有一正三角形铁皮余料，欲利用余料剪裁出一个矩形(矩形的一个边在三角形的边上)，并以该矩形制作一铁皮圆柱的侧面.问：如何剪裁，才能使得铁皮圆柱的体积最大？【答案】答案见解析 【解析】 【分析】设出正三角形长为l ，设EF x =，表示出体积，利用导数求解最值. 【详解】设正三角形长为l ，如图，设EF x =，则3BF =3GF l = 若以EF 为底､GF 为高，则圆柱底面半径12xr π=232211112433x V r h l lx ππππ⎛⎫⎛⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎝⎭，302l x << ())211232342xV x lx x l ππ'=-+=--当03x <<时，10V '>323lx <<时，10V '<；所以()311max363l V V π==若以GF 为底､EF为高，则圆柱底面半径2r =223222221443V r h x x x l x πππ⎛⎫===+ ⎪⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭，02x <<222144V x x l π⎛⎫'=+ ⎪⎝⎭，令20V '=，得1x =2x =当0x <<时，20V '>2x <<时，20V '<； 所以()322maxV V ==因为()()3321maxmax 36l V V π=>=，所以以GF 为底､EF为高，且EF =.【点睛】本题主要考查导数的实际应用，根据实际题目情景，构建目标函数式，结合导数求解最值问题，侧重考查数学运算的核心素养.19. 设n S 数列{}n a 的前n 项和，对任意n *∈N ，都有1()()n n S an b a a c =+++（a b c ，，为常数）．（1）当3022a b c ===-，，时，求n S ； （2）当1002a b c ===，，时， （ⅰ）求证：数列{}n a 是等差数列；（ⅱ）若对任意,m n *∈N ，必存在p *∈N 使得p m n a a a =+，已知211a a -=，且1111129nii S =∈∑[，），求数列{}n a 的通项公式． 【答案】(1) 1(31)2nn S =-. (2) （ⅰ）证明见解析；（ⅱ）1n a n =+.【解析】 【分析】（1）利用项和公式求出{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，再求n S . (2) （ⅰ）证明112n n n a a a +-+=即证数列{}n a 是等差数列.（ⅱ）先求得19211a <≤，所以11a =或12a =，再求n a ，再检验11111[29ni iS =∈∑，）即得数列{}n a 的通项公式.【详解】（1）当0a =，32b =，2c =-时，()1322n n S a a =+-．① 当1n =时，()111322S a a =+-，所以11a =． 当2n ≥时，()111322n n S a a --=+-．②①－②得：13n n a a -=．因为11a =，所以10n a -≠，所以13nn a a -=， 所以{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列，所以()13131132n nn S -==--．（2）（ⅰ）当12a =，0b =，0c =时，()12n n nS a a =+．③ 当2n ≥时，()11112n n n S a a ---=+．④③－④得：()()1121n n n a n a a --=--，⑤ 所以()111n n n a na a +-=-．⑥⑤－⑥得：()()()111121n n n n a n a n a +--+-=-．因为2n ≥，所以112n n n a a a +-+= 即11n n n n a a a a +--=-， 所以{}n a 是等差数列．（ⅱ）因为211a a -=，所以1d =．因为p m n a a a =+，所以11122a p a m n +-=++-，所以11a p m n =--+．因为*,,p m n N ∈，所以1a Z ∈．又因为1111129a ≤<， 所以19211a <≤，所以11a =或12a =． 当11a =时，n a n =，()12nn n S +=，11122111ni in S n n =⎛⎫=-= ⎪++⎝⎭∑， 所以121141139S S +=> 不符合题意． 当12a =时，1n a n =+，()32n n n S +=，所以1111211111931239ni iS n n n =⎛⎫=-++< ⎪+++⎝⎭∑满足题意． 所以1n a n =+．【点睛】(1)本题主要考查项和公式求数列的通项，考查数列性质的证明，考查裂项相消法求和，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理转化能力.(2) 类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和. 20. 若实数0x 满足()00p x x =，则称0x x =为函数()p x 的不动点． （1）求函数()ln 1f x x =+的不动点；（2）设函数()323g x ax bx cx =+++，其中a b c ，，为实数．① 若0a =时，存在一个实数01[,2]2x ∈，使得0x x =既是()g x 的不动点，又是()g x ' 的不动点（()g x '是函数()g x 的导函数），求实数b 的取值范围；② 令()()()'0h x g x a =≠，若存在实数m ，使m ，()h m ，()()h h m ，()()()h h h m 成各项都为正数的等比数列，求证：函数()h x 存在不动点．【答案】（1）函数()ln 1f x x =+的不动点为1；（2）①5,114b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，②见解析. 【解析】 【分析】(1)结合函数的单调性可得函数()ln 1f x x =+的不动点为1;(2)由题意得到方程组，消去c 可得实数b 的取值范围是5,114b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，(3)满足题意时()()()()()()()()()h m qm h h m qh m h h h m qh h m ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，，结合导函数与原函数的性质讨论计算即可证得结论.【详解】（1）由题意可知，ln 1x x +=．令()ln 1x x x ϕ=-+，0x >． 故()11'1x x x xϕ-=-=． 列表：所以，方程ln 1x x +=有唯一解1x =． 所以函数()ln 1f x x =+的不动点为1．（2）① 由题意可知20000032bx cx x bx c x ⎧++=⎨+=⎩，消去c ，得200311b x x =-+，01,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以5,114b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦． ② ()()2'32h x g x ax bx c ==++． 由题意知m ，()h m ，()()h h m ，()()()h h h m 成各项都为正数的等比数列，故可设公比为q ，则()()()()()()()()()h m qm h h m qh m h h h m qh h m ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩，，，故方程()h x qx =有三个根m ，()h m ，()()h h m ．又因为0a ≠，所以()()2'32h x g x ax bx c ==++为二次函数，故方程()h x qx =为二次方程，最多有两个不等的根． 则m ，()h m ，()()h h m 中至少有两个值相等． 当()h m m =时，方程()h x x =有实数根m ， 也即函数()h x 存在不动点，符合题意；当()()h h m m =时，则()qh m m =，2q m m =，故21q =，又因为各项均为正数，则1q =，也即()h m m =，同上，函数()h x 存在不动点，符合题意；当()()()h h m h m =时，则()qh m qm =，()h m m =， 同上，函数()h x 存在不动点，符合题意； 综上所述，函数()h x 存在不动点．【点睛】新定义型创新题是数学考题的一大亮点，求解此类问题通常分三大步骤进行：（1）对新定义进行信息提取，确定化归方向；（2）对新定义所提取的信息进行加工，探究解决方法；（3）对新定义中提取的知识进行转换，有效地输出.其中对新定义信息的提取和化归转化是求解的关键，也是求解的难点. 21. 已知矩阵12a M b -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，对应的变换把点()2,1变成点()7,1-．（1）求a ，b 的特征值； （2）求矩阵M 的特征值．【答案】（1）a ，b 的值分别为4，3；（2）矩阵M 的特征值为2和5． 【解析】 【分析】（1）点()2,1在矩阵M 的变换下得到点()7,1-，利用二阶矩阵与平面列向量的乘法可求实数a ，b 的值；（2）先求矩阵M 的特征多项式()f λ，令()0f λ=，从而可得矩阵M 的特征值． 【详解】（1）因为矩阵12a M b -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦对应得变换把点()2,1变成点()7,1-， 所以127211a b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即217,41,a b -=⎧⎨-+=-⎩，解得4,3,a b =⎧⎨=⎩所以a ，b 的值分别为4，3．（2）由（1）得4123M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，所以()()()()()414322523fλλλλλλλ-==---=---．令()0f λ=，解得2λ=或5λ=， 所以矩阵M 的特征值为2和5．【点睛】本题主要考查二阶矩阵与平面列向量的乘法，考查矩阵M 的特征值．关键是写出特征多项式，从而求得特征值． 22. [选修4—4：坐标系与参数方程]以平面直角坐标系的原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l 的参数方程是3x ty t =⎧⎨=-⎩(t 为参数)，圆C 的极坐标方程是ρ＝4cosθ，求直线l 被圆C 截得的弦长．【答案】14 【解析】 【分析】由题意，消去参数即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线的极坐标方程，再利用圆的弦长公式，即可求解弦长. 【详解】解：直线l 的参数方程(t 为参数)化为直角坐标方程是y ＝x －3，圆C 的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x 2＋y 2－4x ＝0．圆C 的圆心(2，0)到直线x －y －3＝0的距离为d ＝＝2． 又圆C 的半径r ＝2，所以直线l 被圆C 截得的弦长为2＝．【点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.通常遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. 23. 对任意实数t ，不等式321212t t x x -++≥-++恒成立，求实数x 的取值范围. 【答案】1526x -≤≤ 【解析】 【分析】先利用分段讨论求解321y t t =-++的最小值，再利用分段讨论求解双绝对值不等式.【详解】设()321f t t t =-++，即()132,,214,3,232,3,t t f t t t t t ⎧-+<-⎪⎪⎪=+-≤≤⎨⎪->⎪⎪⎩所以()f t 的最小值为72，所以72122x x -++≤.当2x <-时，不等式即为()()72122x x ---+≤，解得32x ≥-，矛盾； 当122x -≤≤时，不等式即为()()72122x x --++≤，解得21x ≥-，所以1122x -≤≤；当12x >时，不等式即为()()72122x x -++≤，解得56x ≤，所以1526x <≤.综上，实数x 的取值范围是1526x -≤≤.【点睛】本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法，利用分段讨论法是常用方法，侧重考查数学运算的核心素养. 24. 已知()22201221nn n x a a x a x a x +=+++⋅⋅⋅+.（1）求1232n a a a a +++⋅⋅⋅+的值；（2）求1234212111111n na a a a a a --+-+⋅⋅⋅+-的值. 【答案】（1）221n -.（2）1nn -+ 【解析】 【分析】（1）利用赋值法进行求解，令0x =得，01a =；令1x =得，2012322nn a a a a a ++++⋅⋅⋅+=.从而可求结果.（2）根据二项式系数与k a 关系及组合数性质得到1222212111211122k k k k n n n n n C C n C C ++++⎛⎫+-=- ⎪+⎝⎭，然后累加可求1234212111111n na a a a a a --+-+⋅⋅⋅+-的值. 【详解】（1）令0x =得，01a =；令1x =得，2012322nn a a a a a ++++⋅⋅⋅+=. 于是2123221nn a a a a +++⋅⋅⋅+=-. （2）2,1,2,3,,2kk n a C k n ==⋅⋅⋅，首先考虑()()()()()12121!21!1!2!1121!21!k k n n k n k k n k C C n n ++++-+-+=+++()()()!2!21121!k n k n k k n -+-++=+()()()()2!2!222221!21k nk n k n n n n C -++==++，则1221211211122k k k n n n n C n C C +++⎛⎫+=+ ⎪+⎝⎭， 因此1222212111211122k k k k n n n n n C C n C C ++++⎛⎫+-=- ⎪+⎝⎭. 故1234212111111n na a a a a a --+-+⋅⋅⋅+- 133521212121212121212111111122n n n n n n n n n n C C C C C C -+++++++⎛⎫+=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1212121211121112222211n n n n n n n C C n n n +++⎛⎫++⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭. 【点睛】本题主要考查二项式定理及组合数的性质，二项式系数和的问题一般通过赋值法进行求解，组合数的性质利用公式进行转化是求解关键，侧重考查数学运算的核心素养. 25. 甲，乙两人进行抛硬币游戏，规定：每次抛币后，正面向上甲赢，否则乙赢.此时，两人正在游戏，且知甲再赢m (常数1m )次就获胜，而乙要再赢n (常数n m >)次才获胜，其中一人获胜游戏就结束.设再进行ξ次抛币，游戏结束. （1）若2m =，3n =，求概率()4P ξ=；（2）若2n m =+，求概率()()2,3,,1P m k k m ξ=+=⋅⋅⋅+的最大值(用m 表示). 【答案】（1）38.（2）()()2111221C C 2m m m m m +-++⋅【解析】 【分析】（1）根据比赛4次结束，可知甲、乙两人获胜次数之比可能是：2：2且最后一次甲胜或者1：3且最后一次乙胜，利用独立重复试验公式可求结；（2）先表示出()P m k ξ=+，构造函数，作商比较，判断出单调性，结合单调性可得最大值. 【详解】（1）依题意，游戏结束时，甲、乙两人获胜次数之比可能是：2：2且最后一次甲胜或者1：3且最后一次乙胜，()()()33123311113422228P C C ξ==⨯⨯+⨯⨯=.（2）依题意，()()()11111CC2m km m m k m k P m k ξ+-++-+-=+=+⋅()2,3,,1k m =⋅⋅⋅+.设()()()11111CC2m km m m k m k f k +-++-+-=+⋅()()()()()()1!1!121!!1!2!m km k m k m k m k ++-+-⎡⎤=+⋅⎢⎥-+-⎣⎦()()()()()1111!21!!m km m k k m k m k +++-=⋅⋅+-+则()()1f k f k +()()()()()()()()()()()1111!21!1!1111!21!!m k m k m m k k m k m k m m k k m k m k ++++++⋅⋅+++=++-⋅⋅+-+()()()()()()112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦=+++-⎡⎤⎣⎦.而()()()()()()1112111m k m m k k k m m k k ++++⎡⎤⎣⎦≥+++-⎡⎤⎣⎦ (*) ()()()32221220k m k m k m m m ≤⇔-++---- ()()2220k m k k m m ≤⇔--+--.()因为2220k k m m -+--=的判别式()21420m m ∆=---<2704m m ⇔--<(显然在*1,m m >∈N 时恒成立)，所以2220k k m m -+-->.又因为k m ≤，所以()恒成立，从而(*)成立.所以()()11f k f k +≥，即()()1f k f k +≥(当且仅当k m =时，取“=”)， 所以()f k 的最大值为()()()()21112211CC2m m m mmf m f m +-+=+=+⋅，即()P m k ξ=+的最大值为()()2111221CC2m m m mm+-++⋅.【点睛】本题主要考查独立重复试验，赛制问题注意结束的情况有两种，先分清类别再进行求解，最值问题主要是判断单调性，组合数有关的单调性判断一般借助比较法进行，侧重考查数学运算的核心素养.。
高考模拟试卷(5)参考答案
高考模拟试卷(5)参考答案 南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．2π3； 2．1；3．290-1； 4．251； 5．36； 6．71； 7．16； 8．x +y －3＝0；9．2或6. 【解析】由S n +1=qS n +a 1．得S n +2=q (qS n +a 1)+ a 1＝q 2S n +a 1(q +1)，与已知条件比较得，q 2＝4，a 1(q +1)=3．从而，(q ，a 1)＝(2，1)，或(q ，a 1)＝(-2，-3)． 10．［136，52).【解析】A ={x |x <-4，或x >2}．设f (x )＝x 2－2ax +4，则f (x )的对称轴x =a >0，由f (-4)=20+8a >0，知B ∩{x |x <-4}＝∅．因此，A ∩B 中恰有一个整数为3．故f (3)≤0，f (4)＞0．即［136，52)．11．4.【解析】由条件可知D 是为平行四边形，其面积为8，故得(a －1)(b －1)=1，故a +b ≥4． 12．0.【解析】f (x )=ax +sin(x +π3)，f ′(x )=a +cos(x +π3)由题设可知存在x 1，x 2使(a +cos(x 1+π3))(a +cos(x 2+π3))=-1，不妨设－cos(x 1+π3)＜－cos(x 2+π3)，则(a +cos(x 1+π3))(a +cos(x 2+π3))=-1<0得，－cos(x 1+π3)＜a ＜－cos(x 2+π3)，所以－1＝(a +cos(x 1+π3))(a +cos(x 2+π3))≥(a +1)(a -1)＝a 2－1．故a =0．13．4－2 3. 【解析】|x －y |+|y －z |＝z －x ＝z 2－x 2z +x ＝4z +x ＝4z +z 2－4≥22+3＝4－23．14．{0} [4，20] . 【解析】令a ＝y ，b ＝x －y ，则a 2＋b 2＝x ，已知条件即a 2＋b 2－4a －2b ＝0(a ≥0，b ≥0)⇒(a －2)2＋(b －1)2＝5(a ≥0，b ≥0)⇒以(2，1)为圆心，5为半径，过原点的圆满足a ≥0，b ≥0的点．即图中及原点．x 为相应点与原点距离的平方，x ∈{0}∪[4，20]． 二、解答题15．（1）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，313sin 2bc A ==，所以bc =4．因为22c AB ==2b CA ==由余弦定理得22222cos 428414BC a b c bc A b c =+-++++．（2）由BC =22421b c ++=，即2216170b b +-=，解得1b =或4． 设BC 的中点为D ，则AO AD DO =+， 因为O 为△ABC 的外心，所以0DO BC ⋅=，于是()()22122b c AO BC AD BC AB AC AC AB -⋅=⋅=+⋅-=． 所以当1b =时，4c =，221522b c AO BC -⋅==-；当4b =时，1c =，221522b c AO BC -⋅==．16．⑴由直三棱柱可知1CC ⊥平面ABC ,所以1CC AC ⊥， 又因为1,AC BE CC BE E ⊥=，AC ⊥面BCE ，故AC BC ⊥， 又在直三棱柱中，11,CC BC ACCC C ⊥=，故BC ⊥面11,ACC C D 在平面1ACC 内，所以1BC C D ⊥ ⑵连结AE ，在BE 上取点M ，使BE=4ME, 连结FM ，1B M ,F 1B ，在BEA ∆中，由BE=4ME ，AB=4AF 所以MF//AE ，又在面AA 1C 1C 中，易证C 1D//AE ，所以1//C D 平面1B FM ． 17．（１）当8k =时，325810s t t t =-++，这时汽车的瞬时速度为V='215161s t t =-+，令'0s =，解得1t =（舍）或115t =，当115t =时，6752210=s ， 所以汽车的刹车距离是6752210米． （２）汽车的瞬时速度为'v s =，所以21521v t kt =-+ 汽车静止时0v =，故问题转化为215210t kt -+=在[]1,2内有解ABC1B1A1CD E F M又21511215t k t t t+==+，115t t +≥115,t t t ==[]1,2t ，∴记1()15f t t t=+， '21()15f t t =-，[1,2]t ∈，'21()150f t t ∴=->，()f t ∴单调递增， ⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈∴261,16)(t f ，⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈261,162k ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈461,8k ，故k 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈461,8k - 18．（1）因为椭圆T 的中心在坐标原点，一条准线方程为y ＝2，所以椭圆T 的焦点在y 轴上，于是可设椭圆T 的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)．因为椭圆T 经过点(1，0)， 所以2222011a b =⎪+=⎪⎩，，解得2221a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，．故椭圆T 的方程为2212y x +=．（2）由题意知，矩形ABCD 是椭圆2212y x +=的外切矩形， (i)若矩形ABCD 的边与坐标轴不平行，则可设一组对边所在直线的方程为(0)y kx m k =+≠，则由2212y x y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩，消去y 得222(2)220k x kmx m +++-=， 于是222244(2)(2)0k m k m ∆=-+-=，化简得m =．所以矩形ABCD 的一组对边所在直线的方程为y kx=±y kx -=则另一组对边所在直线的方程为ky x +=于是矩形顶点坐标(x ，y )满足2222()()(2)(12)y kx ky x k k -++=+++， 即2222(1)()3(1)k x y k ++=+，亦即223x y +=．(ii)若矩形ABCD的边与坐标轴平行，则四个顶点(1±，显然满足223x y +=． 故满足条件的所有矩形的顶点在定圆223x y +=上．19．(1)因为()()f x f x '≤，所以2212(1)x x a x -+-≤，又因为21x --≤≤，所以2212(1)x x a x -+-≥在[2,1]x ∈--时恒成立，因为221132(1)22x x x x -+-=-≤， 所以32a ≥．⑵ 因为()()f x f x '=，所以2212x ax x a ++=+，所以22()210x a x a a +-++-=，则1x a a +=+或1x a a +=-． ①当1a <-时，1x a a +=-，所以1x =-或x =12a -； ②当11a -≤≤时，1x a a +=-或1x a a +=+， 所以1x =±或x =12a -或(12)x a =-+；③当1a >时，1x a a +=+，所以1x =或(12)x a =-+．⑶ 因为()()(1)[(12)]f x f x x x a '-=---，(),()(),()(),()(),f x f x f xg x f x f x f x ''⎧=⎨'<⎩≥① 若12a -≥，则[]2,4x ∈时，()()f x f x '≥，所以()()22g x f x x a '==+， 从而()g x 的最小值为(2)24g a =+；②若32a <-，则[]2,4x ∈时，()()f x f x '<，所以2()()21g x f x x ax ==++，当322a -<-≤时，()g x 的最小值为(2)45g a =+，当42a -<<-时，()g x 的最小值为2()1g a a -=-， 当4a -≤时，()g x 的最小值为(4)817g a =+．③若3122a -<-≤，则[]2,4x ∈时，221,[2,12)()22,[12,4]x ax x a g x x a x a ⎧++∈-=⎨+∈-⎩当[2,12)x a ∈-时，()g x 最小值为(2)45g a =+； 当[12,4]x a ∈-时，()g x 最小值为(12)22g a a -=-． 因为3122a -<-≤，(45)(22)630a a a +--=+<，所以()g x 最小值为45a +．综上所述，()2min817, 4,1, 42145, 22124, 2a a a a g x a a a a +-⎧⎪--<<-⎪⎪⎡⎤=⎨+-<-⎣⎦⎪⎪+-⎪⎩≤≤≥.20.(1)因为a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0，所以n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1－pa n ＝0，两式相减，得a n ＋1a n ＝p ＋1p (n ≥2)，故数列{a n }从第二项起是公比为p ＋1p的等比数列，又当n ＝1时，a 1－pa 2＝0，解得a 2＝a p，从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (n ＝1)，a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p n －2 (n ≥2).(2)①由(1)得a k ＋1＝a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p k －1，a k ＋2＝a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p k ，a k ＋3＝a p ⎝⎛⎭⎫p ＋1p k ＋1，若a k ＋1为等差中项，则2a k ＋1＝a k ＋2＋a k ＋3， 即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－2，解得p ＝－13； 此时a k ＋1＝－3a (－2)k －1，a k ＋2＝－3a (－2)k ， 所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋2|＝9a ·2k －1，若a k ＋2为等差中项，则2a k ＋2＝a k ＋1＋a k ＋3， 即p ＋1p＝1，此时无解； 若a k ＋3为等差中项，则2a k ＋3＝a k ＋1＋a k ＋2， 即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－12，解得p ＝－23， 此时a k ＋1＝－3a 2⎝⎛⎭⎫－12k －1，a k ＋3＝－3a 2⎝⎛⎭⎫－12k ＋1， 所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋3|＝9a 8·⎝⎛⎭⎫12k －1， 综上所述，p ＝－13，d k ＝9a ·2k －1或p ＝－23，d k ＝9a 8·⎝⎛⎭⎫12k －1.②当p ＝－13时，S k ＝9a (2k －1)．则由S k ＜30，得a ＜103(2k －1)，当k ≥3时，103(2k －1)＜1，所以必定有a ＜1，所以不存在这样的最大正整数． 当p ＝－23时，S k ＝9a 4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k ， 则由S k ＜30，得a ＜403⎣⎡1－⎝⎛⎭⎫12k ]，因为403⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k ＞403，所以a ＝13满足S k ＜30恒成立；但当a ＝14时，存在k ＝5，使得a ＞403⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12k 即S k ＜30，所以此时满足题意的最大正整数a ＝13.第Ⅱ卷（附加题，共40分）21.A. （1）1,2,2==⋅=PC PA PD PC PA ，4=∴PD ，又2,1=∴==CE ED PC ，,,CAB PCA CBA PAC ∠=∠∠=∠CBA PAC ∆∆∴∽，ABACAC PC =∴， 22=⋅=∴AB PC AC ，2=∴AC （2） 2==AC BE ，2=CE ，而EF BE ED CE ⋅=⋅，2212=⋅=∴EF ，BE EF =∴． B ．（1）设ab M cd ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则1122a b c d -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故2122a b c d +=-⎧⎨+=-⎩. 1013ab c d ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，故03a b c d +=⎧⎨+=-⎩. 联立以上方程组解得1,1,4,1a b c d ==-=-=，故1141M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦. （2）由（1）知 1141M -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦则矩阵M 的特征多项式为2211()(1)42341f λλλλλλ-==--=--- 令0)(=λf ，得矩阵M 另一个特征值为3. 设矩阵M 的另一个特征向量是2x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e ， 则2343x yx M x y y -⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦⎣⎦e ，解得20x y +=,故212-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦e .由12m n =+αe e ，得24m n m n -=⎧⎨+=⎩，得3,1m n == .∴5A α5551212(3)3()M M M =+=+e e e e 55551122112463()3(1)322480λλ--⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⨯-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦e e . C ．（1）θθρsin 2cos 2-= ，θρθρρsin 2cos 22-=∴， 02222=+-+∴y x y x C 的直角坐标方程为圆，即1)22()22(22=++-y x ，)22,22(-∴圆心直角坐标为． （2）方法1：直线l 上的点向圆C 引切线长是6224)4(4081)242222()2222(2222≥++=++=-+++-t t t t t ， ∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是62 方法2：直线的普通方程为0x y -+=圆心C 到l 直线距离是52|242222|=++，∴直线l 上的点向圆C 引的切线长的最小值是621522=-又因为||||||2||||a b a b a b a b a a ++-++-=≥，则有2()f x ≥解不等式122x x -+-≤，得1522x ≤≤22．（1）由题意“S 1=5且20S ≥”表示：“答完2题，第一题答对，第二题答错；或第一题答对，第二题也答对”此时概率1211133333P =⨯+⨯= ．（2）因为答完5道题，结果可能是：答对0道，此时525S =-，25ξ=；答对1道，此时515S =-，15ξ=；答对2道，此时55,5S ξ=-=；答对3道，此时55,5S ξ==；答对4道，此时515,15S ξ==；答对5道，此时525,25S ξ==， ∴ξ的取值只能是5,15,25因此23233255211240(5)()()()()333381P C C ξ==⨯+⨯=， 144455211210(15)()()333327P C C ξ==⨯+⨯=， 0555552111(25)()()3381P C C ξ==+=∴ξ的分布列为：∴92581E ξ=23．(1)易得f (1)=3；当n =2时，集合{1，2，3，4，5，6}的子集中是“好集”的有：单元集：{3}，{6}共2个，双元集{1,2}，{1,5}，{2,4}，{4,5}，{3,6}共5个，三元集有：{1,2,3}，{1,2,6}，{1,3,5}，{1,5,6}，{4,2,3}，{4,2,6}，{4,3,5}，{4,5,6}共8个，四元集有{3,4,5,6}，{2,3,4,6}，{1,3,5,6}，{1,2,3,6}，{1,2,4 ,5}共五个，五元集{1,2,4,5,6}，{1,2,3,4,5}共2个，还有一个全集． 故f (2)＝1+(2+5)×2+8＝23． (2)首先考虑f (n +1)与f (n )的关系．集合{1，2，3，…，3n ，3n +1，3n +2，3n +3}在集合{1，2，3，…，3n }中加入3个元素3n +1，3n +2，3n +3．故f (n +1)的组成有以下几部分：①原还的f (n )个集合；②含有元素3n +1的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余2的集合，含有元素是3n +2的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n +,3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余0的集合，合计是23n ；③含有元素是3n +1与3n +2的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余0的集合，含有元素是3n +2与3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余1的集合，含有元素是3n +1与3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中各元素之和被3除余2的集合，合计是23n ；④含有元素是3n +1，3n +2，3n +3的“好集”是{1，2，3，…，3n }中“好集”与它的并，再加上{3n +1，3n +2，3n +3}。
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2016年高考模拟试卷(5)南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1．设集合{}2,5A =，{}13B x x =≤≤，则A B = ▲ ． 2．设a R ∈，复数212a ii++（i 是虚数单位）是纯虚数，则a 的值为 ▲ ． 3．如图是某班8位学生诗朗诵比赛得分的茎叶图，那么这8位学生得分的平均分为 ▲ ．4．执行如图所示的伪代码，则输出的结果的集合为 ▲ ．5．甲、乙两人下棋，结果是一人获胜或下成和棋．已知甲不输的概率为0.8，乙不输的概率为0.7，则两人下成和棋的概率为 ▲ ． 6．设函数24 6 ,0,()6, 0,x x x f x x x ⎧-+=⎨+<⎩≥则不等式)1()(f x f >的解集是 ▲ ．7．已知圆柱的底面半径为r ，高为h ，体积为2，表面积为12，则11r h+= ▲ ．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 为双曲线224x y -=的左顶点，点B 和 点C 在双曲线的右支上，ABC ∆是等边三角形，则ABC ∆的面积为 ▲ ． 9．若tan()24πα+=，则sin 2α的值为 ▲ ．10．已知定义在集合A 上的函数22()log (1)log (21)f x x x =-++，其值域为(],1-∞，则A = ▲ ． 11．数列{}n a 中10a =，47a =-，对n N *∀∈，当2n ≥时，211(1)(1)(1)n n n a a a +--=--，则数列{}n a 的前n 项的和为 ▲ ．12．设实数1,1a b >>，则“a b <”是“ln ln a b a b ->-”成立的 ▲ 条件.（请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”中之一填空）13．在ABC ∆中，45B =，,M N 分别为边,AC AB 的中点，且2BM AC CN AB ⋅=⋅ ，则BA BC BC BA+的值为 ▲ ． 14．在平面直角坐标xoy 中，设圆M 的半径为1，圆心在直线240x y --=上,若圆M 上不存在点N，使其中A （0，3），则圆心M 横坐标的取值范围 ▲ . 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）ABC ∆中，角A ，B ，C 所对应的边分别为a ，b ，c ，面积为S ．（1）若AB AC ⋅=，求A 的值；（2）若tan A ∶tan B ∶tan C ＝1∶2∶3，且1c =，求b ．16．（本小题满分14分）如图，四棱锥的底面ABCD是平行四边形，PA⊥平面ABCD，M是AD中点，N 是PC中点．（1）求证：//MN面PAB；（2）若平面PMC⊥平面PAD，求证：CM AD⊥．17．（本小题满分14分）为响应新农村建设，某村计划对现有旧水渠进行改造，已知旧水渠的横断面是一段抛物线弧，顶点为水渠最底端（如图），渠宽为4m，渠深为2m．（1）考虑到农村耕地面积的减少，为节约水资源，要减少水渠的过水量，在原水渠内填土，使其成为横断面为等腰梯形的新水渠，新水渠底面与地面平行（不改变渠宽），问新水渠底宽为多少时，所填土的土方量最少？（2）考虑到新建果园的灌溉需求，要增大水渠的过水量，现把旧水渠改挖（不能填土）成横断面为等腰梯形的新水渠，使水渠的底面与地面平行（不改变渠深），要使所挖土的土方量最少，请你设计水渠改挖后的底宽，并求出这个底宽．18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆22221(0) x ya bab+=>>的右顶点与上顶点分别为,A B．（1）求椭圆的标准方程；（2）如图，若直线l与该椭圆交于,P Q两点，直线,BQ AP的斜率互为相反数．①求证：直线l的斜率为定值；②若点P在第一象限，设ABP∆与ABQ∆的面积分别为12,S S，求1SS的最大值．（第17题图）19．（本小题满分16分）已知函数2()(2)ln f x mx m x x=-+-，2()1g x x mx =++，m R ∈． （1）当0m <时，①求()f x 的单调区间；②若存在12,[1,2]x x ∈，使得12()()1f x g x -≥成立，求m 的取值范围；（2）设ln 1()xx h x e+=的导函数()h x '，当1m =时，求证：2[()1]()1g x h x e -'-<+（其中e 是自然对数的底数）．20．（本小题满分16分）若数列{}n a 满足条件：存在正整数k ，使得2n k n k n a a a +-+=对一切,n n k ∈>*N 都成立，则称数列{}n a 为k 级等差数列．（1）已知数列{}n a 为2级等差数列，且前四项分别为2,0,4,3，求89a a +的值；（2）若2sin (n a n n ωω=+为常数），且{}n a 是3级等差数列，求ω所有可能值的集合，并求ω取最小正值时数列{}n a 的前3n 项和3n S ；（3）若{}n a 既是2级等差数列，{}n a 也是3级等差数列，证明：{}n a 是等差数列．第Ⅱ卷（附加题，共40分）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 、D 共4小题，请选定其中两小题．．．．．．．．，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A ．（选修４－１：几何证明选讲）如图，∠PAQ 是直角,圆O 与射线AP 相切于点T ，与射线AQ 相交于两点BC 、.求证:BT 平分OBA ∠.B ．（选修４－２：矩阵与变换）设二阶矩阵A ，B 满足11234-⎡⎤=⎢⎥⎣⎦A ，1001⎡⎤=⎢⎥⎣⎦BA ，求1-B ． C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线:C 2sin 2cos (0)a a ρθθ=>，过点(2,4)P --的直线l 的参数方程为（t 为参数），l 与C 分别交于,M N ．（Ⅰ）写出C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程；成等比数列，求a 的值．D ．（选修４－５：不等式选讲） 设x ，y 均为正数，且x ＞y ，求证：2212232x y x xy y ++-+≥．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答．．．．．．．．．．，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．(本小题满分10分)如图，已知三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱与底面垂直，AA 1＝AB ＝AC ＝1，AB ⊥AC ，M 、N 分别是CC 1、BC 的中点，点P 在直线A 1B 1上，且满足111B A A λ=（∈λR ）． （1）求异面直线PN ，AM 所成的角；（2）若平面PMN 与平面ABC 所成的角为45°，试确定点P 的位置．23．（本小题满分10分）设集合{1,0,1}M =-，集合123{(,,)|,1,2,,}n n i A x x x x x M i n =∈= ，，，集合n A 中满足条件 “121||||||n x x x m ≤+++≤ ”的元素个数记为n m S ． （1）求22S 和42S 的值；（2）当m n <时，求证：nmS 111322n m n +++<+-．2016年高考模拟试卷(5) 参考答案南通市数学学科基地命题 第Ⅰ卷（必做题，共160分）一、填空题1．{}2．2．4-．3．91．4．{}2,5,10．5．12．6．(3,1)(3,)-+∞ ．7．3．8. ．9．35．10．3(1,]2．11．21n n -+．12．充要．13．14【解析】．设N （x,y)，由22224()(3),x y x y +=+-化简得：22(1)4x y ++=，表示为以(0,1)B -为圆心，2为半径的圆，由题意得圆B 与圆(,24)M a a -无交点，即222(241)(21)a a +-+>+或222(241)(21)a a +-+<-，解得圆心M 二、解答题15．（1）由题意知，cos AB AC bc A ⋅= ,1sin 2S bc A =,所以cos sin bc A A =， ……………………………………2分即cos A A =，tan A ∴=， 因为A 为三角形内角，所以6A π=；……………………6分（2）设tan A m =，tan 2B m =，tan 3C m =，由题意知，0m >． 因为tan tan tan tan() 1tan tan A BC A B A B+=-+=--⋅，………………………8分则23312mm m=--，解得1m =，则tan 2B =，tan 3C =，从而sin B =sin C =，………………12分所以sin sin AC B AB C ==，则AC =……………………14分16．（1）取PB 中点E ，连EA ，EN ，在PBC ∆中，//EN BC 且12EN BC =， 又12AM AD =，//AD BC ，AD BC =得//EN =AM ，……………………………………2分 四边形ENMA 是平行四边形，得//MN AE ，MN ⊄面PAB ，AE ⊂面PAB ，//MN ∴面PAB ……………………6分（2）过点A 作PM 的垂线，垂足为H ，面PMC ⊥面PAD ，面PMC 面PAD PM =，AH PM ⊥，AH ⊂面PADAH ∴⊥面PMC ，……………………8分CM ⊂面PMC ，AH ∴⊥CM ,PA ⊥平面ABCD ，……………………………10分CM ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥CM ,PA AH A = ，PA 、AH ⊂面PAD ，CM ⊥面PAD ，……………………12分AD ⊂ 面PAD ，CM AD ∴⊥．……………………14分17. 建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的方程为()220x py p =>，由已知点()22P ，在抛物线上，得1p =，所以抛物线的方程为212y x = (2)（1）为了使填入的土最少，内接等腰梯形的面积要最大，如图1，设点()21, 022A t t t ⎫⎛<< ⎪⎝⎭，则此时梯形APQB 的面积()()23211124224222S t t t t t t ⎛⎫=+⋅-=--++ ⎪⎝⎭，………………6∴()23'222S t t t =--+,令()23'22=02S t t t =--+，得23t =，当20, 3t ⎫⎛∈ ⎪⎝⎭时，()'0S t >，()S t 单调递增，当2, 23t ⎫⎛∈ ⎪⎝⎭时，()'0S t <， ()S t 单调递减，所以当23t =时，()S t 有最大值12827，改挖后的水渠的底宽为43可使填土的土方量最少. ……………………8分（2设切点()21, 02M t t t ⎫⎛> ⎪⎝⎭，则函数在点M 处的切线方程为()212y t t x t -=-，分别令0,2y y ==得2, 0,, 222tt A B t ⎫⎫⎛⎛+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭⎭，所以梯形OABC 的面积()12222S t t t t t⎛⎫=+⋅=+ ⎪⎝⎭≥，………12当且仅当t =此时OA =时，可使挖土的土方量最少. …………14分18．（1）由题意，离心率c e a ==2c =，所以224a b =，故椭圆的方程为22244x y b +=，将点代入，求得21b =， 所以椭圆的标准方程为2214x y +=； ……………4分（2）①设直线BQ 的方程为1y kx =+，则由题意直线AP 的方程为(2)y k x =--，由22114y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ ，得22(14)80k x kx ++=， 所以点Q 的坐标为222814(,)1414k k k k--++，……………………6分 同理可求得点P 的坐标为222824(,)1414k kk k -++． ……………………8分所以直线l 的斜率为2222221441441141488288221414k kk k k k k k k k k k ----++==---+--++． ……………………………10分 ②设P ，Q 两点到直线AB 的距离分别为12,d d ， 因为点P 在第一象限，则点Q 必在第三象限， 所以12k >，且点P 、Q 分别在直线:220AB x y +-=的上、下两侧， 所以220P P x y +->，220Q Q x y +-<，从而218282k kd -+-==2222828222k k x y d --++-==， 所以22222112222222282828282(14)2114148288(28)2(14)4221414k k S d k k k k k k k k S d k k k k kk k -+--+-+-++====---+++-+++，……………14分 令21(0)k t t -=>，则122222113242(1)1323S k t t S k k t t t t t t-====≤=-++++++++ 当且仅当2t t=，即tk =时，12S S有最大值为3-16分19．（1）函数2()(2)ln f x mx m x x=-+-的定义域为(0,)+∞． 2222(2)(1)()m mx x f x m x x x+--'=-+=，① 为0m <，则当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<；所以()f x 的单调增区间为(0,1)，单调减区间为[1,)+∞．……………2分②若存在12,[1,2]x x ∈，使得12()()1f x g x -≥，等价于[1,2]x ∈时，max min ()()1f x g x ≥+成立． 由①得，当0m <时，()f x 在[1,)+∞上单调递减，所以当[1,2]x ∈时，max ()(1)2f x f m ==-．……………………4分而222()1()124m m g x x mx x =++=++-．（ⅰ）当012m<-<，即20m -<<时，min ()(1)2g x g m ==+，于是23m m -≥+，矛盾! ……………………6分(ⅱ) 122m≤-≤，即42m -≤≤-时，2min ()14m g x =-，于是2224m m -≥-，矛盾! ……………………………8分（ⅲ）当22m->，即4m <-时，min ()(2)52g x g m ==+，于是262m m -≥+，所以8m ≤-．综上，m 的取值范围是8m ≤-．……………………10分（2）因为ln 1()xx h x e +=，所以1ln 1()x x x h x e --'=，所以21()(ln 1)(1)(1ln )[()1]()x xx x x x x x x x g x h x e e +--+--'-==，要证2[()1]()1g x h x e -'-<+，由0x >，即证2(1)1ln 1xe e x x x x -+>--+．设()1ln x x x x ϕ=--，()1xe m x x =+，所以()ln 2x x ϕ'=--，当20x e -<<时，()0x ϕ'>；当2x e ->时，()0x ϕ'<． 所以当2x e -=时，()1ln x x x x ϕ=--取得最大值为21e -+． 由2()0(1)xxe m x x '=>+， 所以()m x 在(0,)+∞单调增，所以()(0)1m x m >=，所以2[()1]()1g x h x e -'-<+． ……………………16分20． （1）82423()03(30)9a a a a =+-=+⨯-=91314()24210a a a a =+⨯-=+⨯=,8919a a ∴+= …………………………2分（2）{}n a 是3级等差数列，332n n n a a a +-+=，2(2sin )2(3)sin(3)2(3)sin(3)n n n n n n ωωωωω+=++++-+-（n ∈*N ） 2sin sin(3)sin(3)2sin cos3n n n n ωωωωωωω∴=++-=（n ∈*N ）所以sin 0n ω=，或cos 31ω=，sin 0n ω=对n ∈*N 恒成立时， π()k k ω=∈Zcos 31ω=时，2π32π(),(),3k k k k ωω=∈∴=∈Z Z2π{|()}{|π()}3k k k k ωωωωω∴∈=∈=∈Z Zω最小正值等于2π3，此时2π2sin 3n n a n =+.……………………6分 由于2(32)π2(31)π2(3)πsin sin sin 0333n n n --++=（n ∈*N ）323136(31)n n n a a a n --∴++=-（n ∈*N ）312345632313[126(31)]()()()2n n n n n n S a a a a a a a a a --+-=+++++++++=293n n =+（n ∈*N ）…10分 （3）若{}n a 为2级等差数列，222n n n a a a +-+=，则212{},{}n n a a -均成等差数列，设等差数列212{},{}n n a a -的公差分别为12,d d ，{}n a 为3级等差数列，332n n n a a a +-+=，则32{}n a -成等差数列，设公差为D17,a a 既是中21{}n a -的项，也是32{}n a -中的项，71132a a d D -== 410,a a 既是中2{}n a 的项，也是32{}n a -中的项，104232a a d D -==12332d d D ∴==设122d d d ==，则3D d =所以21111(1)(22)n a a n d a n d -=+-=+-（n ∈*N ）， 2222(1)(22)n a a n d a n d =+-=+-，（n ∈*N ） 又4113a a D a d =+=+，42222a a d a d =+=+，所以21a a d =+， 21(21)n a a n d ∴=+-（n ∈*N ）综合得 1(1)n a a n d ∴=+-，显然{}n a 为等差数列．……………………………………16分第Ⅱ卷（附加题，共40分）21A ．连结OT .因为AT 是切线,所以OT AP ⊥. ……………………………………2分又因为PAQ ∠是直角,即AQ AP ⊥,……………4分 所以//AB OT ,所以TBA BTO ∠=∠. ……………………6分 又OT OB =,所以OTB OBT ∠=∠,…………8分 所以OBT TBA ∠=∠,即BT 平分OBA ∠. ……………………………10分B ．1101212013434-⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦B =BAA ……………………5分1213122B --⎡⎤⎢⎥∴=⎢⎥-⎣⎦ ……………………………10分C ．（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为22y ax =(0)a >；直线l 的普通方程为20x y --=．（Ⅱ）将直线l 的参数方程与C （*）8(4)0a a ∆=+>．设点,M N 分别对应参数12,t t 恰为上述方程的根．则*2(4)4(4)0a a +-+=，得1a =，或4a =-．因为0a >，所以1a =．D ．因为000x y x y >>->,,，22211222()2()x y x y x xy y x y +-=-+-+-…………4分21()()3()x y x y x y =-+-+≥-，…………8分所以2212232x y x xy y +≥+-+．…………………10分22． （1）如图，以1AB AC AA ,,分别为x y z ,,轴，建立空间直角坐标系A xyz -．则(,0,1)P λ，11(,,0)22N ，1(0,1,)2M ，从而11(,,1)22PN λ=-- ，1(0,1,)2AM = ，111()0110222PN AM λ⋅=-⨯+⨯-⨯= ，所以异面直线PN ，AM 所成的角为90 .……………5分（2）平面ABC 的一个法向量为1(0,0,1)n AA ==．设平面PMN 的一个法向量为(,,)m x y z =，由（1）得1(,1,)2MP λ=- ．由0,0,m NP m MP ⋅=⋅=⎧⎪⎨⎪⎩ 得11()0,2210.2x y z x y z λλ⎧--+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩解得21,32(1).3y x z x λλ+⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩令3x =,得(3,21,2(1))m λλ=+- ．平面PMN 与平面ABC 所成的二面角为45 ，|cos ,|||2||||m n m n m n ⋅∴<>===⋅，解得12λ=-．故点P 在11B A 的延长线上，且112A P =．…………………10分 23．（1）228S =，4232S =…………2分； （2）设集合{0}P =，{1,1}Q=-．第 11页，共 11页 若12||||||1n x x x +++= ，即123,,n x x x x ，,中有1n -个取自集合P ，1个取自集合Q ， 故共有112n n C -种可能，即为112n C ，…………4分同理，12||||||2n x x x +++= ，即123,,,n x x x x ，中有2n -个取自集合P ，2个取自集合Q ， 故共有222n n C -种可能，即为222n C ，……若12||||||n x x x m +++= ，即123,,,n x x x x ，中有n m -个取自集合P ，m 个取自集合Q ， 故共有2n m m n C -种可能，即为2m m n C ，所以1122222n m m mn n n S C C C =++⋅⋅⋅+，…………………6分 因为当0k n ≤≤时，1k nC ≥，故10k n C -≥, 所以1122222n m m mn n n S C C C =+++ 001122112(222)(1)2(1)2m m m m n n n n n n n n C C C C C C ++<+++++-++- 0011221112(222222)(222)m m m m n n m m n n n n n n n C C C C C C ++++=+++++++-++ 11(12)(22)n n m ++=+--11322n n m ++=-+． …………………10分。