离散数学第五章

证明：bs ， 因为运算封闭， b2=b*bs b3，b4…s s有限 ｉ，j，j>ｉ 有bi=bj
bi =bj =bj- i * bi
令p=j－i 当q≥i ,bq=bp·q b 又∵p≥1 ∴k 有k p ≥i 由(１) 得 bkp=bp*bkp=bP*(bP*bkp)=…=bkp＊bkp ∴令a=bkps 则a*a=a ∴ bkp是等幂元
Δ
a
a a a
b
b b b
c
c c c
解： 从表中可知运算Δ是封闭的， a b 同时a,b和c都是左幺元。所以， c 对于任意的x,y,z∈S,都有 xΔ(yΔz)=xΔz=z=yΔz=(xΔy)Δz， 因此，<S,Δ>是半群。
二、半群的性质
设〈s，*〉是半群, 且s为有限集，则必有as， 有a*a=a
例：<A，*>，若a，b∈A，有a*b=b 证明：*满足结合律 证：a，b，c∈A，
a*（b*c）=a*c=c
( a*b）*c=b*c=c ∴a*（b*c）=（a*b）*c ∴ *满足结合律
5.2 运算及其性质
3、交换律 已知<A，*>，若x，y∈A，有 x*y=y*x，称*满足交换律。 例：设<有理数集，*>,*定义如下： a*b=a+b-ab ，问*满足交换律否？ 证：∵a，b∈A， a*b=a+b-ab=b+a-ba=b*a
3) 存在么元e，即aG，e*a=a*e=a
4) G中每个元素存在逆元 即aG，a-1 G,使a*a-1=a-1*a=e
群的定义
2、有限群 若G是有限集，称〈G，*〉为有限群，｜G｜ 称为群的阶数，若G是无限集，称〈G，*〉为 无限群
群的定义
例1．a)〈I，+〉是一个群
证： ①〈I，+〉运算封闭 ② ∵普通加法+满足结合律 ③ 其中0为么元 ④ aI，-a是a的逆元
推论：二元运算的么元若存在则唯一 证明：反证法：设有二个么元e，e’ ； 则e=e*e’=e’ 性质2 : 设*是s上的二元运算，具有左零元0l ，右零元0r， 则0l = 0r =0
推论：二元运算的零元若存在则唯一
5.2 运算及其性质
三、 逆元 1、逆元定义 设*是s上的二元运算，e是运算*的么元 ①、若x*y=e那对于运算*，x是y的左逆元，y是 x的右逆元 ②、若x*y=e，y*x=e，则称x是y的逆元，y的逆 元通常记为y-1，存在逆元(左逆无，右逆元）
∴*满足交换律。
5.2 运算及其性质
4.分配律 设<A，*，△>，若x，y，z∈A有: x*(y△z)=（x*y）△（x*z）;(y△z)*x=(y*x)△(z*x) 称运算*在△上可分配 例：设A={，}，二元运
*
△
算*，△定义如左:
离散数学
第五章
黄发良 软件学院
第五章 代数系统
数学模型 (速度—导数，面积—积分） 系统举例 (数据库系统，操作系统，MIS)
OOP (Object Oriented Programming) class
5.1 定义
代数系统是由一个集合（此集合称为代数的载体） 和定义在集合上的运算构成。
注1：载体一般是非空集合，例：整数集，实数集， 符号串集合等。
当b*a=c*a时，可同样证得b=c。
群的性质
性质3: 群中不可能有零元
证： 当│G│=1，它的唯一元素视为么元 当G>1且〈G，*〉有零元， 则xG，都有x*=*x=e 无逆元，这与G是群矛盾
群的性质
两个定义：
置换：有限集合s到s的一个双射，称为s的一个 置换 等幂元：代数系统<G,*>中，如果存在a∈G,有 a*a=a,则称a为等幂元
性质4: 么元是群中唯一的等幂元
证：若x是等幂元素， 则：x=e*x=（x-1*x）*x= x-1*（x*x） ＝x-1*x=e 性质5:群〈G，*〉的运算表中的每一行或
二、么元（单位元）和零元
例：代数A=〈{a，b，c}， ○ 〉用下表定义： ○ a b c 特殊元: b是左么元，无右么元; a是右零元，b是右零元， 无左零元; 运算:既不满足结合律，也不满足交换律。 a a a a b b b b c b c a
二、么元（单位元）和零元
例: a）〈I，x〉， I为整数集
a) 设s={a，b}，*定义如右表： 即a，b都是右零元 ∵x,y,zs ① x*ys ∴运算封闭 ② x*（y*z）=x*z=z
（x*y）*z=z
∴结合律成立
* a b a a b b a b
∴〈s，*〉是一半群，该半群称为二元素右零半群
b) 设S={a,b,c},在S上的一个二 元运算Δ定义如表所示。验证 <S,Δ>是一个半群。
作业：P178 (2)；P185 (1), (2)
5.3 半群和独异点
一、半群
1、定义
①具有运算封闭性的代数系统A=〈s，*〉 称为 广群，满足运算封闭、结合律的代数 系统 A=＜s，*＞，称为半群，这里*是二 元运算。 ②存在么元的半群称为独异点，也称含么 半群， 单位半群，单元半群。
5.3 半群和独异点
二、半群的性质
3、若〈s，*〉的么元为e,a，bs，若a，b均有逆元，
则 1)（a-1）-1=a
;
2)（a*b）-1=b-1*a-1
证明：1) ∵a*a-1=e ∴a是a-1的左逆元 a-1*a=e ∴a是a-1的右逆元 ∴(a-1)-1=a 2) ∵(a*b)*(b-1*a-1)=a*(b*b-1)*a-1=a*e*a-1=e ∴b-1*a-1是a*b的右逆元 又∵（b-1*a-1）*（a*b）=b-1*（a-1*a）*b＝e ∴b-1*a-1是a*b的左逆元 ∴（a*b）-1=b-1*a-1
问分配律成立否？
① 证明：x△(y*z)=(x△y)*(x△z) 证：当x=：x△(y*z)= ; (x△y)*(x△z)= 当x=：x△(y*z)=y*z ; (x△y)*(x△z)=y*z ②、运算*对运算△不可分配
证：∵*（△）=*= （*）△（* ）=△=
c的右逆元为空，左逆元为a
三、 逆元
c）A={〈0，1，2，…，k-1〉，×k}
模k乘法×k定义如下：
x· y x· <k y
x
x ×ky=
x· k x· y-n· y≥k, n∈{0, ±1，．．} 则有些元素存在逆元，有些元素无逆元 当且仅当x与k互质时，x有逆元
三、 逆元
2、逆元的性质
对于可结合运算ο ，如果元素X有 左逆元ｌ， 右逆元r，则l=r=x－１ 推论：逆元若存在，则唯一 证：ｌ=ｌοｅ＝ｌο（xοr） =（ｌοx）οｒ＝ｅοｒ＝ｒ
小结与作业
基本概念
广群、半群、独异点
基本性质 作业
P190 （2）、（3）
复习与回顾
特殊代数系统
广群、半群、独异点
更多特殊代数系统？
今天的内容
一、 群的定义
5.4 群和子群
1、定义：对二元运算*满足下列四条性质的代 数系统A=〈G，*〉，称为群
1) 运算封闭，即a,b,G， a*b G 2) 结合律，即a,b,cG，a*（b*c ）= （a*b）*c
闭否，<A，+>，<A，/>呢？ 解：2r，2s∈A， 2r x 2s=2r+s∈A （r+s∈Ｎ）
∴<A，x>运算封闭
2，4∈A，2+4A，∴<A，+>运算不封闭
2，4∈A，2/4A， ∴<A，/>运算不封闭
5.2 运算及其性质
2、结合律
已知<A，*>，若x，y，z∈A，有x*（y*z） =（x*y）*z，称*满足结合律。
注2：定义在载体上的n元运算是一个从An到B的 映射。
例：１）取整 [X]，求绝对值 |X|，是一元运算 ２）+,X是二元运算,
３）if x<y
and y<z thenｕ 是三元运算
5.2 运算及其性质
一、二元运算
1、运算封闭性：若x，y∈A，有x * y∈A， 称*在A上是封闭的 例： A={x｜x=2n，n∈N}， 问<A，x>运算封
的元素称为可逆的（左可逆的，右可逆的）
三、 逆元
例：
a)代数 〈N，+〉中仅有么元0，有逆元0，
〈R，*〉中，除零元0外所有元素均有逆元 b)A=〈{a，b，c}，*〉由下表定义： * a b c a a a a b a b c c b c c b是么元,
a的右逆元为c，无左逆元， b的逆元为b，
不同代数系统的比较
广群仅仅是一个具有封闭二元运算的非 空集合；半群是一个具有结合运算的广群； 独异点是具有幺元的半群；群是每个元素 都有逆元的独异点。即有：
{群}{独异点} {半群} {广群}
二、 群的性质
性质1、设<G,*> 是一个群，对于a,b∈G,必存在 唯一的x∈G,使得a*x=b。
5.2 运算及其性质
5.吸收律：设<A，*，△>，若x，y，z∈A有: x*(x △z)=x 称运算*满足吸收律; x △(x * y) =x； 运算 △满足吸收律
例:N为自然数集,x,y∈N，x*y=max{x，y},
x△y=min{x，y}
试证：*，△满足吸收律 证明：x，y∈N， x*（x△y）=max{x，min{x，y}}=x ∴*满足吸收律 x x≥y x<y x≥y =x =x
∴逆元存在为r
若存在X的另一个逆元r’ ; 则:
r’ ＝r’οｅ=r’ο(xοr)=(r’οx)οr=ｅοr ＝r
运算表与运算性质
1、运算*具有封闭性，iff 运算表中的每个元素都属于A
2、运算*具有可交换性， iff 运算表关于主对角线是对称的。
3、运算*具有等幂性， iff 运算表的主对角线上的每一元素与 它所在行（列）的表头元素相同。
证明：设a的逆元是a-1，令x=a-1*b 则 a*x=a*(a-1*b) =(a*a-1)*b =e*b =b 若另有一解x1,满足a*x1=b,则 a-1*(a*x1)= a-1*b 即 x1= a-1*b
群的性质
性质2: 可逆必可约，反之不成立 （a） a*b=a*c => b=c （b） b*a= c *a => b=c 证明 设a*b=a*c,且a的逆元是a-1,则有 a-1*(a*b)= a-1*(a*c) (a-1*a)*b=(a-1*a)*c e*b=e*c b=c
4、A关于*有零元， iff 该元素所对应的行和列中元素都与该 元素相同。
5、A关于*有幺元， iff 该元素所对应的行和列依次与运算表 的行和列相一致。 6、设A中有幺元，a和b互逆， iff 位于a所在行，b所在列的 元素以及其b所在行，a所在列的元素都是幺元。
小结与作业
代数系统定义
代数系统性质 特殊元素
5.2 运算及其性质
二、么元（单位元）和零元 1、定义 : 设*是s上二元运算，er ,eI，r，ｌ，e， s ， 有 ①.若xs，有el*x=x，称el为运算*的左么元;
若xs，有x*er=x，称er为运算*的右么元 ②.若xs，有l*x=l ，称l为运算*的左零元 若xs，有x*r=r，称r为运算*的右零元 ③. 若xs，有e*x=x，x*e=x称e为运算*的么元 若xs，有*x=x* = ，称为运算*的零元
x△（x*y）=min{x，max{x，y}}=x
∴△满足吸收律
ห้องสมุดไป่ตู้
x
x<y
5.2 运算及其性质
6.等幂律 已知〈A，*〉，若x∈A，x*x=x 则称*满 足等幂律 例：已知集合s,〈（s）,∪,∩〉,则∪,∩满足吸 收律，等幂律
复习与回顾
什么代数系统？ 两个要素：集合，集合上的运算 相关性质 封闭性、交换律、结合律、 分配律、吸收律、等幂律
则么元为1，零元为0
b）〈（s）,∪,∩〉 对运算∪，是么元， s是零元，
对运算∩，s是么元 ，是零元。 c）〈N，+〉 有么元0，无零元。
二、么元（单位元）和零元
2、性质
性质1: 设*是s上的二元运算，满足结合律，具 有左么元el，右么元er，则el=er=e 证明： er = el* er = e
（１）
二、半群的性质
2、独异点运算表中任何两行两列均不相同
证明：设独异点的么元为e，a，bs，ab
1) ∵a*eb*e ＜ｓ，＊＞运算表中ａ， ｂ两行不同，由ａ，ｂ任意性，运算表中任两行 不同 2) ∵ e*ae*b ＜ｓ，＊＞运算表中ａ， ｂ二列不同由ａ，ｂ任意性，运算表中任两列不 同．