高中数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型应用案巩固提升新人教A版必修111
高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型练习新人教A版必修1
2018-2019学年高中数学第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型练习新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型练习新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018-2019学年高中数学第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用3.2.1 几类不同增长的函数模型练习新人教A版必修1的全部内容。
第三章 3.2 3。
2。
1 几类不同增长的函数模型1．当x增大时，下列函数中，增长速度最快的应该是( )A．y＝100x B．y＝log100xC．y＝x100D．y＝100x解析：由于指数函数的增长是爆炸式增长，则当x增大时，函数y＝100x增长速度最快．答案：D2．今有一组数据如下：t 1.993。
0 4.0 5.1 6.12v1。
54。
407.51218。
01A．v＝log2t B．v＝log错误!tC．v＝错误!D．v＝2t－2解析:将t的5个数值代入这四个函数,大体估算一下,很容易发现v＝错误!的函数比较接近表中v的5个数值．答案：C3．某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，如图所示，由图中给出的信息可知，营销人员没有销售量时的收入是( )A．310元B．300元C．290元D．280元解析：由图象知，该一次函数过(1，800），（2,1 300)，可求得解析式y＝500x＋300（x≥0)，当x＝0时，y＝300。
答案：B4．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表:x0510********y5130505 1 130 2 005 3 130 4 5051关于解析：由于指数函数呈爆炸式增长，结合表中数据可知，y2是指数型函数．答案：y25．每年的3月12日是植树节，全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动．某市现有树木面积10万平方米，计划今后5年内扩大树木面积，有两种方案如下:方案一:每年植树1万平方米；方案二:每年树林面积比上年增加9％.你觉得方案________较好．解析:方案一：5年后树木面积是10＋1×5＝15(万平方米)．方案二：5年后树木面积是10（1＋9％）5≈15.386（万平方米）．∵15。
高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型教学设计新人教A版必修
3.2.1 几类不同增长函数模型整体设计教学分析函数是描述客观世界变化规律根本数学模型，不同变化规律需要用不同函数模型来描述．本节教学目标是认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长不同，应用函数模型解决简单问题．课本对几种不同增长函数模型认识及应用，都是通过实例来实现．通过教学让学生认识到数学来自现实生活，数学在现实生活中是有用．三维目标1．借助信息技术，利用函数图象及数据表格，比拟指数函数、对数函数以及幂函数增长差异．2．恰当运用函数三种表示方法(解析式、表格、图象)并借助信息技术解决一些实际问题．3．让学生体会数学在实际问题中应用价值，培养学生学习兴趣．重点难点教学重点：认识指数函数、对数函数、幂函数等函数模型增长差异，体会直线上升、指数爆炸与对数增长不同．教学难点：应用函数模型解决简单问题．课时安排2课时教学过程第1课时导入新课思路1．(事例导入)一张纸厚度大约为0.01 cm，一块砖厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次厚度与n块砖厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们厚度．你直觉与结果一致吗？解：纸对折n次厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105 m，g(20)＝2 m.也许同学们感到意外，通过对本节课学习大家对这些问题会有更深了解．思路2．(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数图象与性质，本节我们将通过实例比拟它们增长差异．推进新课新知探究提出问题(1)如果张红购置了每千克1元蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x函数．(2)正方形边长为x，面积为y，把y表示为x函数．(3)某保护区有1单位面积湿地，由于保护区努力，使湿地面积每年以5%增长率增长，经过x年后湿地面积为y，把y表示为x函数．(4)分别用表格、图象表示上述函数．(5)指出它们属于哪种函数模型．(6)讨论它们单调性．(7)比拟它们增长差异．(8)另外还有哪种函数模型与对数函数相关．活动：先让学生动手做题后再答复，经教师提示、点拨，对答复正确学生及时表扬，对答复不准确学生提示引导考虑问题思路．(1)总价等于单价与数量积．(2)面积等于边长平方．(3)由特殊到一般，先求出经过1年、2年…(4)列表画出函数图象．(5)引导学生回忆学过函数模型．(6)结合函数表格与图象讨论它们单调性．(7)让学生自己比拟并体会．(8)其他与对数函数有关函数模型．讨论结果：(1)y＝x.(2)y＝x2.(3)y＝(1＋5%)x.(4)如下表图1 图2 图3(5)它们分别属于：y＝kx＋b(直线型)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0，抛物线型)，y＝ka x＋b(指数型)．(6)从表格与图象得出它们都为增函数．(7)在不同区间增长速度不同，随着x增大y＝(1＋5%)x增长速度越来越快，会远远大于另外两个函数．(8)另外还有与对数函数有关函数模型，形如y＝log a x＋b，我们把它叫做对数型函数．应用例如例1 假设你有一笔资金用于投资，现有三种投资方案供你选择，这三种方案回报如下：方案一：每天回报40元；方案二：第一天回报10元，以后每天比前一天多回报10元；方案三：第一天回报0.4元，以后每天回报比前一天翻一番．请问，你会选择哪种投资方案？活动：学生先思考或讨论，再答复．教师根据实际，可以提示引导：我们可以先建立三种投资方案所对应函数模型，再通过比拟它们增长情况，为选择投资方案提供依据．解：设第x天所得回报是y元，那么方案一可以用函数y＝40(x∈N*)进展描述；方案二可以用函数y＝10x(x∈N*)进展描述；方案三可以用函数y＝0.4×2x－1(x∈N*)进展描述．三个模型中，第一个是常数函数，后两个都是递增函数模型．要对三个方案做出选择，就要对它增长情况进展分析．我们先用计算机计算一下三种所得回报增长情况.图4由表与图4可知，方案一函数是常数函数，方案二、方案三函数都是增函数，但方案二与方案三函数增长情况很不一样．可以看到，尽管方案一、方案二在第1天所得回报分别是方案三100倍与25倍，但它们增长量固定不变，而方案三是“指数增长〞，其“增长量〞是成倍增加，从第7天开场，方案三比其他两方案增长得快得多，这种增长速度是方案一、方案二无法企及．从每天所得回报看，在第1～3天，方案一最多；在第4天，方案一与方案二一样多，方案三最少；在第5～8天，方案二最多；第9天开场，方案三比其他两个方案所得回报多得多，到第30天，所得回报已超过2亿元．下面再看累积回报数．通过计算机或计算器列表如下：因此，投资1～6天，应选择方案一；投资7天，应选择方案一或方案二；投资8～10天，应选择方案二；投资11天(含11天)以上，那么应选择方案三．针对上例可以思考下面问题：①选择哪种方案是依据一天回报数还是累积回报数．②课本把两种回报数都列表给出意义何在？③由此得出怎样结论．答案：①选择哪种方案依据是累积回报数．②让我们体会每天回报数增长变化．③上述例子只是一种假想情况，但从中我们可以体会到，不同函数增长模型，其增长变化存在很大差异.销售人员奖励方案：在销售利润到达10万元时，按销售利润进展奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润25%.现有三个奖励模型：yx，y＝log7x＋1，y x，其中哪个模型能符合公司要求？活动：学生先思考或讨论，再答复．教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进展奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润25%，由于公司总利润目标为1 000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总利润．于是只需在区间[10,1 000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图象，通过观察函数图象，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数yx，y＝log7x＋1，y x图象(图6)．图6观察函数图象，在区间[10,1 000]上，模型yx，y x图象都有一局部在直线y＝5上方，只有模型y＝log7x＋1图象始终在y＝5下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进展奖励时才符合公司要求．下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型奖金总数不超过5万．对于模型yx，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x＝20时，y ＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y x，由函数图象，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0x0＝5，由于它在区间[10,1 000]上递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x ＝1 000时，y＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元要求．再计算按模型y＝log7x＋1奖励时，奖金是否不超过利润25%，即当x ∈[10,1 000]时，是否有y x ＝log 7x ＋1x≤0.25成立．图7令f (x )＝log 7xx ，x ∈[10,1 000]．利用计算器或计算机作出函数f (x )图象(图7)，由函数图象可知它是递减，因此f (x )＜f (10)≈－0.316 7＜0，即log 7xx .所以当x ∈[10,1 000]时，log 7x ＋1x＜0.25.说明按模型y ＝log 7x ＋1奖励，奖金不超过利润25%. 综上所述，模型y ＝log 7x ＋1确实能符合公司要求.知能训练光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样玻璃重叠起来，设光线原来强度为k，通过x块玻璃以后强度为y.(1)写出y关于x函数关系式；(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来13以下．(lg3≈0.477 1)解：(1)光线经过1块玻璃后强度为(1－10%)kk；k2k；2k 3k ；光线经过x x k . ∴y x k (x ∈N *)．xk ＜k 3x ＜13.两边取以10为底对数，x lg 0.9＜lg 13.∵lg 0.9＜0，∴x ＞lg 13lg 0.9.∵lg 13lg 0.9＝lg 31－2lg 3≈10.4，∴x min ＝11. ∴通过11块玻璃以后，光线强度减弱到原来13以下．拓展提升某池塘中野生水葫芦面积与时间函数关系图象(如图8所示)．假设其关系为指数函数，并给出以下说法：①此指数函数底数为2；②在第5个月时，野生水葫芦面积就会超过30 m 2； ③野生水葫芦从4 m 2蔓延到12 m 2只需1.5个月；④设野生水葫芦蔓延到2 m 2、3 m 2、6 m 2所需时间分别为t 1、t 2、t 3，那么有t 1＋t 2＝t 3；⑤野生水葫芦在第1到第3个月之间蔓延平均速度等于在第2到第4个月之间蔓延平均速度．哪些说法是正确？图8解：①说法正确．∵关系为指数函数，∴可设y＝a x(a＞0且a≠1)．∴由图知2＝a1.∴a＝2，即底数为2.②∵25＝32＞30，∴说法正确．③∵指数函数增长速度越来越快，∴说法不正确．④t1＝1，t2＝log23，t3＝log26，∴说法正确．⑤∵指数函数增长速度越来越快，∴说法不正确．课堂小结活动：学生先思考或讨论，再答复．教师提示、点拨，及时评价．引导方法：从根本知识与根本技能两方面来总结．答案：(1)建立函数模型；(2)利用函数图象性质分析问题、解决问题．作业课本习题组1,2.设计感想本节设计由学生熟悉素材入手，结果却出乎学生意料，由此使学生产生浓厚学习兴趣．课本中两个例题不仅让学生学会了函数模型应用，而且体会到它们之间差异；我们补充例题与之相映生辉，其难度适中，是各地高考模拟经常选用素材．其中拓展提升中问题紧贴本节主题，很好地表达了指数函数性质特点，是不可多得素材．第2课时张建国导入新课思路1．(情境导入)国际象棋起源于古代印度．相传国王要奖赏国际象棋创造者，问他要什么．创造者说：“请在棋盘第一个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，……，依次类推，每个格子里麦粒数都是前一个格子里放麦粒数2倍，直到第64个格子．请给我足够麦粒以实现上述要求．〞国王觉得这个要求不高，就欣然同意了．假定千粒麦子质量为40 g，据查，目前世界年度小麦产量为6亿吨，但这仍不能满足创造者要求，这就是指数增长．本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数增长差异．思路2．(直接导入)我们知道，对数函数y＝log a x(a＞1)，指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数．但这三类函数增长是有差异．本节我们讨论指数函数、对数函数、二次函数增长差异．推进新课新知探究提出问题(1)在区间(0，＋∞)上判断y＝log2x，y＝2x，y＝x2单调性.(2)列表并在同一坐标系中画出三个函数图象.(3)结合函数图象找出其交点坐标.(4)请在图象上分别标出使不等式log2x＜2x＜x2与log2x＜x2＜2x成立自变量x取值范围.(5)由以上问题你能得出怎样结论？讨论结果：(1)在区间(0，＋∞)上函数y＝log2x，y＝2x，y＝x2均为增函数．(2)见下表与图9.(3)从图象看出y＝log2x图象与另外两函数图象没有交点，且总在另外两函数图象下方，y＝2x图象与y＝x2图象有交点．(4)不等式log2x＜2x＜x2与log2x＜x2＜2x成立自变量x取值范围分别是(2,4)与(0,2)∪(4，＋∞)．(5)我们在更大范围内列表作函数图象(图10)，容易看出：y＝2x图象与y＝x2图象有两个交点(2,4)与(4,16)，这说明2x与x2在自变量不同区间内有不同大小关系，有时2x＜x2，有时x2＜2x.但是，当自变量x越来越大时，可以看到，y＝2x图象就像与x 轴垂直一样，2x值快速增长，x2比起2x来，几乎有些微缺乏道，如图11与下表所示．一般地，对于指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)，通过探索可以发现，在区间(0，＋∞)上，无论n比a大多少，尽管在x 一定变化范围内，a x会小于x n，但由于a x增长快于x n增长，因此总存在一个x0，当x＞x0时，就会有a x＞x n.同样地，对于对数函数y＝log a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)，在区间(0，＋∞)上，随着x增大，log a x增长得越来越慢，图象就像是渐渐地与x轴平行一样．尽管在x一定变化范围内，log a x可能会大于x n，但由于log a x增长慢于x n增长，因此总存在一个x0，当x ＞x0时，就会有log a x＜x n.综上所述，尽管对数函数y＝log a x(a＞1)，指数函数y＝a x(a＞1)与幂函数y＝x n(n＞0)在区间(0，＋∞)上都是增函数，但它们增长速度不同，而且不在同一个“档次〞上．随着x增大，y＝a x(a＞1)增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n＞0)增长速度，而y ＝log a x(a＞1)增长速度那么会越来越慢．因此，总会存在一个x0，当x＞x0时，就会有log a x＜x n＜a x.虽然幂函数y＝x n(n＞0)增长快于对数函数y＝log a x(a＞1)增长，但它们与指数增长比起来相差甚远，因此指数增长又称“指数爆炸〞．应用例如例1 某市一家报刊摊点，从报社买进晚报价格是每份0.20元，卖出价是每份0.30元，卖不掉报纸可以以每份0.05元价格退回报社．在一个月(以30天计)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进份数必须一样，这个摊主每天从报社买进多少份，才能使每月所获利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？活动：学生先思考或讨论，再答复．教师根据实际，可以提示引导：设摊主每天从报社买进x份，显然当xx；②可卖出250份10天里，收入为10×0.30×250；③10天里多进报刊退回给报社收入为10×0.05×(xx.解：设摊主每天从报社买进x份晚报，显然当x∈[250,400]时，每月所获利润才能最大．于是每月所获利润y为yx＋10×0.30×250＋10×0.05×(xxx＋625，x∈[250,400]．因函数y在[250,400]上为增函数，故当x＝400时，y有最大值825元．图12例2 某医药研究所开发一种新药，如果成人按规定剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中含药量y与时间t之间近似满足如图12所示曲线．(1)写出服药后y与t之间函数关系式；(2)据测定：每毫升血液中含药量不少于4微克时治疗疾病有效，假假设某病人一天中第一次服药时间为上午7：00，问一天中怎样安排服药时间(共4次)效果最正确？解：(1)依题意，得y ＝⎩⎪⎨⎪⎧6t ，0≤t ≤1，－23t ＋203，1<t ≤10.(2)设第二次服药时在第一次服药后t 1小时，那么－23t 1＋203＝4，t 1＝4.因而第二次服药应在11：00；设第三次服药在第一次服药后t 2小时，那么此时血液中含药量应为两次服药量与，即有－23t 2＋203－23(t 2－4)＋203＝4，解得t 2＝9，故第三次服药应在16：00；设第四次服药在第一次后t 3小时(t 3＞10)，那么此时第一次服进药已吸收完，此时血液中含药量应为第二、三次与，－23(t 3－4)＋203－23(t 3－9)＋203＝4，解得t 3＝13.5，故第四次服药应在20：30.知能训练某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起300天内，西红柿市场售价与上市时间关系用图13(1)一条折线表示；西红柿种植本钱与上市时间关系用图13(2)抛物线段表示．(1)写出图13(1)表示市场售价与时间函数关系P＝f(t)；写出图13(2)表示种植本钱与时间函数关系式Q＝g(t)；(2)认定市场售价减去种植本钱为纯收益，问何时上市西红柿纯收益最大？(1) (2)图13(注：市场售价与种植本钱单位：元/102 kg ，时间单位：天) 活动：学生在黑板上书写解答．教师在学生中巡视其他学生解答，发现问题及时纠正．解：(1)由图13(1)可得市场售价与时间函数关系为f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 300－t ，0≤t ≤200，2t －300，200<t ≤300.由图13(2)可得种植本钱与时间函数关系为g (t )＝1200(t －150)2＋100,0≤t ≤300.(2)设t 时刻纯收益为h (t )，那么由题意得h (t )＝f (t )－g (t )．即h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1200t 2＋12t ＋1752，0≤t ≤200，－1200t 2＋72t －1 0252，200<t ≤300.当0≤t ≤200时，配方整理，得h (t )＝－1200(t －50)2＋100， 所以当t ＝50时，h (t )取得区间[0,200]上最大值100；当200＜t ≤300时，配方整理，得h (t )＝－1200(t －350)2＋100，所以当t＝300时，h(t)取得区间[200,300]上最大值87.5.综上，由100＞87.5可知，h(t)在区间[0,300]上可以取得最大值100，此时t＝50，即从二月一日开场第50天时，上市西红柿纯收益最大．点评：此题主要考察由函数图象建立函数关系式与求函数最大值问题，考察运用所学知识解决实际问题能力．拓展提升探究内容①在函数应用中如何利用图象求解析式．②分段函数解析式求法．③函数应用中最大值、最小值问题．举例探究：某跨国公司是专门生产健身产品企业，第一批产品A 上市销售40天内全部售完，该公司对第一批产品A上市后国内外市场销售情况进展调研，结果如图14(1)、图14(2)、图14(3)所示．其中图14(1)折线表示是国外市场日销售量与上市时间关系；图14(2)抛物线表示是国内市场日销售量与上市时间关系；图14(3)折线表示是每件产品A销售利润与上市时间关系．图14(1)分别写出国外市场日销售量f(t)、国内市场日销售量g(t)与第一批产品A上市时间t关系式；(2)第一批产品A上市后哪几天，这家公司国内与国外日销售利润之与超过6 300万元？分析：1．利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式．2．在t ∈[0,40]上，有几个分界点，请同学们思考应分为几段．3．回忆函数最值求法．解：(1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2t ，0≤t ≤30，－6t ＋240，30<t ≤40，g (t )＝－320t 2＋6t (0≤t ≤40)． (2)每件A 产品销售利润h (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 3t ，0≤t ≤20，60，20<t ≤40. 该公司日销售利润222338,020203()608,203020360240,304020t t t t F t t t t t t ⎧⎛⎫-+≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫=-+≤⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-+≤⎪ ⎪⎝⎭⎩，＜，＜， 当0≤t ≤20时，F (t )＝3t (－320t 2＋8t )，先判断其单调性． 设0≤t 1＜t 2≤20，那么F (t 1)－F (t 2)＝3t 1(－320t 21＋8t 1)－3t 2(－320t 22＋8t 2)＜0. ∴F (t )在区间[0,20]上为增函数．∴F (t )max ＝F (20)＝6 000＜6 300.当20＜t ≤30时，令60(－320t 2＋8t )＞6 300， 那么703＜t ＜30； 当30＜t ≤40时，F (t )＝60(－320t 2＋240)＜60(－320×302＋240)＝6 300，故在第24,25,26,27,28,29天日销售利润超过6 300万元． 点评：1．利用图象求解析式，先要分清函数类型再利用待定系数法求解析式，重点是找出关键点．2．在t ∈[0,40]上，有几个分界点，t ＝20，t ＝30两点把区间分为三段．3．二次函数最值可用配方法，另外利用单调性求最值也是常用方法之一．课堂小结本节学习了：①指数函数、对数函数、二次函数增长差异．②幂函数、指数函数、对数函数应用．作业课本习题组3,4.设计感想本节设计从精彩故事开场，让学生从故事中体会数学带来震撼，然后借助计算机感受不同函数模型巨大差异．接着通过最新题型训练学生利用函数模型解决实际问题能力；并且重点训练了由图象转化为函数解析式能力，因为这是高考一个重点．本节每个例题都很精彩，可灵活选用．备课资料【备选例题】【例1】某西部山区某种特产由于运输原因，长期只能在当地销售，当地政府对该项特产销售投资收益为：每年投入x 万元，可获得利润P ＝－1160(x －40)2＋100万元．当地政府拟在新十年开展规划中加快开展此特产销售，其规划方案为：在规划后对该工程每年都投入60万元销售投资，在未来10年前5年中，每年都从60万元中拨出30万元用于修建一条公路，5年修成，通车前该特产只能在当地销售；公路通车后5年中，该特产既在本地销售，也在外地销售，在外地销售投资收益为：每年投入x 万元，可获利润Q ＝－159160(60－x )2＋1192(60－x )万元． 问从10年累积利润．．．．看，该规划方案是否可行？ 解：在实施规划前，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100(万元)，知每年只需投入40万，即可获得最大利润100万元．那么10年总利润为W 1＝100×10＝1 000(万元)．实施规划后前5年中，由题设P ＝－1160(x －40)2＋100，知每年投入30万元时，有最大利润P max ＝7958(万元)． 前5年利润与为7958×5＝3 9758(万元)． 设在公路通车后5年中，每年用x 万元投资于本地销售，而用剩下(60－x )万元用于外地区销售投资，那么其总利润为W 2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－1160(x －40)2＋100×5＋－159160x 2＋1192x ×5 ＝－5(x －30)2＋4 950.当x ＝30时，(W 2)max ＝4 950(万元)．从而10年总利润为3 9758＋4 950(万元)． ∵3 9758＋4 950＞1 000， ∴该规划方案有极大实施价值．。
高中数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型教案新人教版
3.2.1 几类不同增长的函数模型1.知识与技能在掌握好函数基本性质的前提下,使学生探求函数在实际中的应用,并学会利用函数知识建立数学模型解决实际问题.2.过程与方法(1)培养学生应用数学的意识及分析问题、解决问题的能力;(2)培养学生的综合实践和自主学习的能力.3.情感、态度与价值观体验函数是描述宏观世界变化规律的基本数学模型,认识事物之间的普遍联系与相互转化,在实践研究中,培养学生的创新精神,团结协作精神,激发学生学习数学的兴趣.重点:将实际问题转化为函数模型,训练学生通过实践探求函数在实际中的应用.难点:怎样选择适当的数学模型分析解决实际问题.重难点突破:主要利用信息技术从图、表两方面对知识讲解.首先对具体函数y=2x,y=x2,y=log2x 的增长的差异性进行比较.在比较函数y=2x,y=x2的增长的差异性时,分别选择了三个不同的步长进行研究,这样就更能反映这两类函数的增长的特点,在教学时要让学生体会到为什么要选择三种不同的步长加以研究,能让学生在解决具体问题时可以针对不同的情况进行合理的选择.在比较幂函数与对数函数的增长的差异性时可利用类比的方法,然后将结论推广到一般的指数函数y=a x(a>1)、对数函数y=log a x(a>1)、幂函数y=x n(n>0)在区间(0,+∞)的增长的差异性,即存在一个x0,当x>x0时,a x>x n>log a x,充分体现了“指数爆炸”“直线上升”“对数增长”的特点.整个过程向学生渗透从具体到一般、数形结合的数学思想方法,培养学生全面分析问题、解决问题的能力.1.澳大利亚的兔子数“爆炸”1859年,有人从欧洲带进澳洲几只兔子,由于澳洲有茂盛的牧草,而且没有兔子的天敌,兔子数量不断增加,不到100年,兔子们占领了整个澳大利亚,数量达到75亿只.可爱的兔子变得可恶起来,75亿只兔子吃掉了相当于75亿只羊所吃的牧草,草原的载畜率大大降低,而牛羊是澳大利亚的主要牲口,这使澳大利亚人头痛不已,他们采用各种方法消灭这些兔子,直至20世纪50年代,科学家采用粘液瘤病毒杀死了90%的野兔,澳大利亚人才算松了一口气.一般而言,在理想条件(食物或养料充足,空间条件充裕,气候适宜,没有敌害等)下,种群在一定时期内的增长大致符合“J”型曲线;在有限的环境(空间有限,食物有限,有捕食者存在等)中,种群增长到一定程度(K)后不再增长,曲线呈“S”型.从数学上来看,可以用指数函数描述一个种群的前期增长情况,用对数函数描述后期增长的情况.2.碳14测年法利用宇宙射线产生的放射性同位素碳14测定含碳物质的年龄的方法,就叫碳14测年法.已故著名考古学家夏鼐先生对碳14测定考古年代的作用,给了极高的评价:“由于碳14测定年代法的采用,使不同地区的各种新石器文化有了时间关系的框架,使中国的新石器考古学因为有了确切的年代序列而进入了一个新时期.”那么,碳14测年法是如何测定古代遗存物的年龄呢?原来,宇宙射线在大气中能够产生放射性碳14,并与氧结合成二氧化碳后进入所有活组织,先为植物吸收,后为动物纳入,只要植物或动物生存着,它们就会持续不断地吸收碳14,在机体内保持一定的水平,而当有机体死亡后,即会停止吸收碳14,其组织内的碳14便以约5 730年的半衰期开始衰变并逐渐消失,对于任何含碳物质,只要测定剩下的放射性碳14的含量,便可推断其年代.碳14测年法分为常规碳14测年法和加速器质谱碳14测年法两种.两者相比,后者具有明显的优点:一是样品用量少,只需1~5毫克样品就可以了,如一小片织物、骨屑、古陶瓷器表面或气孔中的微量碳粉都可测量(常规碳14测年法却需1~5克样品);二是灵敏度高,其测量同位素比值的灵敏度可达10~15至10~16(常规碳14测年法则与之相差5~7个数量级);三是测量时间短,测量现代碳若要达到1%的精度,只需10~20分钟(常规碳14测年法却需12~20小时).可以说,对测定50 000年以内的文物样品,加速器质谱碳14测年法是测定精度最高的一种.。
高中数学 3.2.1几类不同增长的函数模型课件 新人教版必修1
1．函数y＝x2与y＝2x在(0，＋∞)上增大情况有何区 别？
提示：在同一坐标系内画出函数y＝2x和y＝x2的图象， 如图：
课堂篇02
合作探究
函数模型的增长差异
【例1】 研究函数y＝0.5ex－2，y＝ln(x＋1)，y＝ x2－1在[0，＋∞)上的增长情况．
【解析】 画出草图进行比较．
【解】 分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象 (如图)，从图象上可以看出函数y＝0.5ex－2的图象首先超过 了函数y＝ln(x＋1)的图象，然后又超过了y＝x2－1的图象， 即存在一个x0满足0.5ex0－2＝x20－1，当x>x0时，ln(x＋1)<x2 －1<0.5ex－2.
2．函数模型的选取： (1)当描述增长速度变化很快时，常常选用指数函数模 型． (2)当要求不断增长，但又不会增长过快，也不会增长 到很大时，常常选用对数函数模型． (3)幂函数模型y＝xn(n>0)则可以描述增长幅度不同的变 化，n值较小(n≤1)时，增长较慢；n值较大(n>1)时，增长较 快.
2．在函数y＝3x，y＝log3x，y＝3x，y＝x3中增长速度 最快的是哪一个函数？
提示：y＝3x. 3．当0<a<1，n<0时，如何比较ax，logax，xn的大小？ 提示：总会存在一个x0，使x>x0时，logax<ax<xn，而当 x<x0时，ax，logax，xn的大小不确定．
1．三类函数增长的比较 在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝ax(a>1)，y＝ logax(a>1)和y＝xn(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不 同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝ax(a>1) 的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝xn(n>0)的增长 速度，而y＝logax(a>1)的增长速度则会越来越慢，总会存在 一个x0，当x>x0，就有logax<xn<ax.
高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型课件新人教A版必修1
函数模型及其应用
3.2.1
几类不同增长的函数模型
1.利用计算工具,比较指数函数、对数函数以及幂函数的增长差
异.
2.结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类
型增长的含义.
1
2
1.四种函数模型的性质
函数
性质
y=ax
(a>1)
在(0,+∞)上的增减性 增函数
y=logax
(a>1)
解得 a=1,b=7,c=0,则 f(x)=x2+7x,
故 f(4)=44,与计划误差为 1.
题型一
题型二
题型三
(2)构造指数函数模型 g(x)=a·bx+c(a≠0,b>0,b≠1),将点坐标代入,
+ = 8,
125
6
125 6
2
可得 + = 18, 解得a=
,b= ,c=-42,则 g(x) =
题型一
选择函数描述变化规律
【例 1】 四个变量 y 1,y2,y3,y4 随变量 x 变化的数据如下表:
x 15
y1 2 26
10
101
y2 2 32
1 024
15
226
32 768
y3 2 10
20
30
y4 2 4.322 5.322 5.907
20
401
25
626
30
901
1.05×106
3.36×107
处.
其中正确的说法是(
)
A.③ B.①②③ C.①③④
D.②③④
题型一
题型二
题型三
错解经分析,③是对的,故①错;对于②,因为乙的图象在甲的上方,
高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型练习新人教A版必修1
高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型练习新人教A版必修13.2.1几类不同增长的函数模型课时过关·能力提升基础巩固1.下列函数中,增长速度最慢的是()A.y=6xB.y=log6xC.y=x6D.y=6x答案:B2.某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整,调整后初期利润增长迅速,后来增长越来越慢.若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系,可选用()A.一次函数B.二次函数C.指数型函数D.对数型函数答案:D3.若x∈(0,1),则下列结论正确的是()A.2x>>lg xB.2x>lg x>C.>2x>lg xD.lg x>>2x解析:当0<x<1时,2x>20=1,0<=1,lg x<lg 1=0,故2x>>lg x.答案:A4.下表是函数y随自变量x变化的一组数据,由此判断它最符合的函数模型是( )x 3 4 5 6 7 8 9y 3.38 5.06 7.59 15.39 47.09 125.63 1 038.44A.一次函数B.二次函数C.指数函数D.对数函数答案:C5.已知某工厂12月份的产量是1月份产量的7倍,则该工厂这一年中的月平均增长率是()A.-1B.C.-1D.解析:设月平均增长率为x,1月份产量为a,则有a(1+x)11=7a,则1+x=,故x=-1.答案:A6.加工爆米花时,爆开且不煳的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”.在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:min)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为()A.3.50 minB.3.75 minC.4.00 minD.4.25 min解析:由题中图象可知点(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)在函数图象上,因此有故p=-0.2t2+1.5t-2,其对称轴方程为t==3.75.所以当t=3.75时,p取得最大值.故选B.答案:B7.函数y=x2与y=ln x2在(0,+∞)内增长较快的一个是.解析:由y=ln x2=2ln x,则在同一坐标系中画出y=x2,y=2ln x的图象比较得y=x2在(0,+∞)上增长较快.答案:y=x28.某种细菌在培养过程中,每15分钟分裂一次(由1个分裂成2个),这种细菌由1个分裂成4 096个需经过小时.解析:设1个细菌分裂x次后有y个细菌,则y=2x,令2x=4096=212,则x=12,即需分裂12次,需12×15=180(分钟),即3小时.答案:39.某工厂生产某种产品的月产量y与月份x之间满足关系y=a·0.5x+b.现已知该厂今年1月份、2月份生产的该产品分别为1万件、1.5万件,则3月份该产品的产量为万件.解析:由已知得故y=-2×0.5x+2,当x=3时,y=1.75.答案:1.7510.每年的3月12日是植树节,全国各地在这一天都会开展各种形式、各种规模的义务植树活动.某市现有树木面积10万平方米,计划今后5年内扩大树木面积,有两种方案如下:方案一:每年植树1万平方米;方案二:每年树木面积比上年增加9%.你觉得哪个方案较好?解:方案一:5年后树木面积是10+1×5=15(万平方米).方案二:5年后树木面积是10(1+9%)5≈15.386(万平方米).∵15.386>15,∴方案二较好.能力提升1.当x越来越大时,下列函数中,增长速度最快的应该是()A.y=100xB.y=log100xC.y=100xD.y=x100解析:由于指数函数的增长是爆炸式增长,故当x越来越大时,函数y=100x的增长速度最快.答案:C2.某地为了加强环境保护,决定使每年的绿地面积比上一年增长10%,若从今年起,x年后绿地面积是今年的y倍,则函数y=f(x)的大致图象是()解析:设今年绿地面积为m,则有my=(1+10%)x m,即y=1.1x.故仅有D项符合题意.答案:D3.某地区植被被破坏,土地沙化越来越严重,最近三年测得沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷,则沙漠增加数y关于年数x的函数关系较为近似的是()A.y=0.2xB.y=(x2+2x)C.y=D.y=0.2+log16x解析:当x=1时,排除B;当x=2时,排除D;当x=3时,排除A,故选C.答案:C4.在某种金属材料的耐高温实验中,温度随着时间变化的情况如图所示.现给出下列说法:①前5 min温度升高的速度越来越快;②前5 min温度升高的速度越来越慢;③5 min以后温度保持匀速升高;④5 min以后温度保持不变.其中正确的说法是.解析:因为温度y关于时间t的图象是先凸后平,即5min前每当t增加一个单位增量Δt,则y相应的增量Δy越来越小,而5min后y关于t的增量保持为0,则②④正确.答案:②④5.某商场2016年一月份到十二月份销售额呈现先下降后上升的趋势,现有三种模型:①f(x)=p·q x(q>0,且q≠1);②f(x)=log p x+q(p>0,且p≠1);③f(x)=x2+px+q.能较准确反映商场月销售额f(x)与月份x关系的函数模型为(填序号).若所选函数满足f(1)=10,f(3)=2,则f(x)=.解析:∵f(x)=p·q x,f(x)=log p x+q都是单调函数,函数f(x)=x2+px+q的图象先下降后上升.∴选择函数f(x)=x2+px+q.又f(1)=10,f(3)=2,∴∴p=-8,q=17,∴f(x)=x2-8x+17.答案:③x2-8x+17★6.在同一平面直角坐标系内作出下列函数的图象,并比较它们的增长情况:(1)y=0.1e x-100,x∈[1,10];(2)y=20ln x+100,x∈[1,10];(3)y=20x,x∈[1,10].解:图象如图所示,由图象可以看到:函数y=0.1e x-100,x∈[1,10]以爆炸式速度增长;函数y=20ln x+100,x∈[1,10]增长速度缓慢,并逐渐趋于稳定;函数y=20x,x∈[1,10]以稳定的速度增长.★7.下面给出f(x)与f(x+1)-f(x)随x取值而得到的函数值列表:x 1 2 3 4 52x 2 4 8 16 32x2 1 4 9 16 252x+7 9 11 13 15 171 1.4142 1.732 1 2 2.236 1log2x0 1 1.585 0 2 2.321 92x+1-2x 2 4 8 16 32(x+1)2-x2 3 5 7 9 11[2(x+1)+7]-(2x+7) 2 2 2 2 20.414 0.317 8 0.267 9 0.236 1 0.213 4log2(x+1)-log2x 1 0.585 0 0.415 0 0.321 9 0.263 0x 6 7 8 9 102x64 128 256 512 1 024x236 49 64 81 1002x+7 19 21 23 25 272.449 5 2.645 8 2.828 4 33.162 3log2x2.585 0 2.807 4 3 3.169 9 3.321 92x+1-2x64 128 256 512 1 024(x+1)2-x213 15 17 19 21[2(x+1)+7]-(2x+7) 2 2 2 2 20.196 3 0.182 7 0.171 6 0.162 3 0.154 3log2(x+1)-log2x0.222 4 0.192 6 0.169 9 0.152 0 0.137 5试问:(1)函数f(x)随x增大,函数值有什么共同的变化趋势?(2)函数f(x)增长的快慢有什么不同?(3)根据以上结论,体会以下实例的现实意义.①一个城市的电话号码的位数,大致设置为城市人口以10为底的对数;②银行的客户存款的年利率,一般不会高于10%.解:(1)随x的增大,函数f(x)的函数值都在增大.(2)通过f(x+1)-f(x)的函数值可以看出:函数f(x)增长的快慢不同,其中f(x)=2x增长最快,而且越来越快;增长最慢的,刚开始是f(x)=,到后来是log2x,而且增长的幅度越来越小.(3)①电话号码升位,会涉及千家万户,无疑是一件大事.将电话号码的位数设为城市人口以10为底的对数将保证即使人口有较大增长,电话号码也不必马上升位,保证了电话号码的稳定性.②按复利计算,存款以指数函数增长,如果利率设置太高,存款增长将越来越快,银行将难以承担利息付出.。
2018版高中数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型学案新人教A版必修1
3．2 函数模型及其应用3．2.1 几类不同增长的函数模型1．理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)2．区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点))3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点[基础·初探]教材整理几类不同增长的函数模型阅读教材P98～P101，完成下列问题．1．三种函数模型的性质(1)在区间(0，＋∞)上，函数y＝ax(a>1)，y＝log ax(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但增长进度不同，且不在同一个“档次”上．(2)随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log ax(a>1)的增长速度越来越慢．(3)存在一个x0，当x>x0时，有ax>x n>log ax.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．( )x衰减的速度越来越慢．( )(2)函数y＝log12(3)不存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.( )【解析】(1)√.因为一次函数的图象是直线，所以当x增加一个单位时，y增加或减少的量为定值．x的图象可知其衰减的速度越来越慢．(2)√.由函数y＝log12(3)×.根据指数函数和幂函数增长速度的比较可知存在一个实数m，使得当x>m时，1.1x>x100.【答案】(1)√(2)√(3)×[小组合作型](1)A．y＝2 016x B．y＝x2 016C．y＝log2 016x D．y＝2 016x(2)四个自变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如下表：【精彩点拨】指数函数增长速度最快．【自主解答】(1)比较幂函数、指数函数与对数函数可知，指数函数增长速度最快，故选A.(2)以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.【答案】(1)A (2)y21．指数函数模型y＝ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，形象地称为“指数爆炸”．2．对数函数模型y＝log ax(a＞1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢．3．幂函数模型y＝x n(n＞0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．[再练一题]1．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是( )【导学号：97030138】A．y＝1100e x B．y＝100ln xC．y＝x100D．y＝100·2x【解析】指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A.【答案】 A图321函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图321所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 016)，g(2 016)的大小．【精彩点拨】根据指数函数、幂函数的增长差异进行判断．【自主解答】(1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2,9＜x2＜10，∴x1＜6＜x2,2 016＞x2.从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，∴f(6)＜g(6)；当x＞x2时，f(x)＞g(x)，∴f(2 016)＞g(2 016)．又g(2 016)＞g(6)，∴f(2 016)＞g(2 016)＞g(6)＞f(6)．根据函数图象判断增长函数模型时，通常是根据函数图象上升的快慢来判断，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓的函数是对数函数，中间的是幂函数.[再练一题]2．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图322所示．(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较)．图322【解】(1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．[探究共研型]探究1【提示】一次函数、指数函数、对数函数．探究2 在选择函数模型时，若随着自变量的变大、函数值增加得速度急剧变化，应选择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？【提示】前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型．某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP (即人均纯收入)在0.5～8千美元的地区销售该公司A 饮料的情况调查时发现：该饮料在人均GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．(1)下列几个模拟函数中：①y ＝ax 2＋bx ；②y ＝k x ＋b ；③y ＝log ax ＋b ；④y ＝ax ＋b (x 表示人均GDP ，单位：千美元，y 表示年人均A 饮料的销售量，单位：L )．用哪个模拟函数来描述人均A 饮料销售量与地区的人均GDP 关系更合适？说明理由；(2)若人均GDP 为1千美元时，年人均A 饮料的销售量为2 L ，人均GDP 为4千美元时，年人均A 饮料的销售量为5 L ，把(1)中你所选的模拟函数求出来，并求出各个地区中，年人均A 饮料的销售量最多是多少？【精彩点拨】 (1)理解题意，根据所给函数模型的增长趋势来选择； (2)根据(1)中所选择的函数模型，求出其解析式并求最大值．【自主解答】 (1)用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP 处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．而②，③，④表示的函数在区间上是单调函数，所以②，③，④都不合适，故用①来模拟比较合适．(2)因为人均GDP 为1千美元时，年人均A 饮料的销量为2升；人均GDP 为4千美元时，年人均A 饮料的销量为5升，把x ＝1，y ＝2；x ＝4，y ＝5代入到y ＝ax 2＋bx ，得⎩⎪⎨⎪⎧2＝a ＋b 5＝16a ＋4b ，解得a ＝－14，b ＝94，所以函数解析式为y ＝－14x 2＋94x .(x ∈[0.5,8])∵y ＝－14x 2＋94x ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫x －922＋8116，∴当x ＝92时，年人均A 饮料的销售量最多是8116L .不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律1．线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律． 2．指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律． 3．对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律． 4．幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．[再练一题]3．某化工厂开发研制了一种新产品，在前三个月的月生产量依次为100t,120t,130t.为了预测今后各个月的生产量，需要以这三个月的月产量为依据，用一个函数来模拟月产量y (t)与月序数x 之间的关系．对此模拟函数可选用二次函数y ＝f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c均为待定系数，x ∈N *)或函数y ＝g (x )＝pq x ＋r (p ，q ，r 均为待定系数，x ∈N *)，现在已知该厂这种新产品在第四个月的月产量为137t ，则选用这两个函数中的哪一个作为模拟函数较好？【解】 根据题意可列方程组：⎩⎪⎨⎪⎧f 1a ＋b ＋c ＝100f 24a ＋2b ＋c ＝120f 39a ＋3b ＋c ＝130，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－5b ＝35c ＝70.所以y ＝f (x )＝－5x 2＋35x ＋70.① 同理y ＝g (x )＝－80×0.5x＋140.② 再将x ＝4分别代入①与②式得：f (4)＝－5×42＋35×4＋70＝130(t )，g (4)＝－80×0.54＋140＝135(t )．与f (4)相比，g (4)在数值上更为接近第四个月的实际月产量，所以②式作为模拟函数比①式更好，故选用函数y ＝g (x )＝pq x＋r 作为模拟函数较好.1．如表是函数值y 随自变量x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型( )A.C ．指数函数模型D ．对数函数模型【解析】 自变量每增加1函数值增加2，函数值的增量是均匀的，故为一次函数模型．故选A.【答案】 A2．下列函数中，随x 的增大，增长速度最快的是( ) A ．y ＝1 B ．y ＝x C ．y ＝3xD ．y ＝log 3x【解析】 结合函数y ＝1，y ＝x ，y ＝3x及y ＝log 3x 的图象可知，随着x 的增大，增长速度最快的是y ＝3x.【答案】 C3．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润与时间的关系，可选用( )A ．一次函数B ．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数【解析】 结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，对数型函数符合题设条件，故选D.【答案】 D4．生活经验告诉我们，当水注入容器(设单位时间内进水量相同)时，水的高度随着时间的变化而变化，在图中请选择与容器相匹配的图象，A 对应________；B 对应________；C 对应________；D 对应________.【导学号：02962023】【解析】 A 容器下粗上细，水高度的变化先慢后快，故与(4)对应；B 容器为球形，水高度变化为快—慢—快，应与(1)对应；C ，D 容器都是柱形的，水高度的变化速度都应是直线型，但C 容器细，D 容器粗，故水高度的变化为：C 容器快，与(3)对应，D 容器慢，与(2)对应．【答案】 (4) (1) (3) (2)5．函数f (x )＝1.1x，g (x )＝ln x ＋1，h (x )＝x 12的图象如图323所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a ，b ，c ，d ，e 为分界点)．图323【解】 由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C 1对应的函数是f (x )＝1.1x，曲线C 2对应的函数是h (x )＝x 12，曲线C 3对应的函数是g (x )＝ln x ＋1.由题图知，当x <1时，f (x )>h (x )>g (x )； 当1<x <e 时，f (x )>g (x )>h (x )；当e<x<a时，g(x)>f(x)>h(x)；当a<x<b时，g(x)>h(x)>f(x)；当b<x<c时，h(x)>g(x)>f(x)；当c<x<d时，h(x)>f(x)>g(x)；当x>d时，f(x)>h(x)>g(x)．。
2018年秋高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几类不同增长的函数模型学案新人教
3.2.1 几类不同增长的函数模型学习目标：1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点)2.区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点)3.会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．(难点)[自主预习·探新知]三种函数模型的性质y＝a x(a>1)y＝log a x(a>1)y＝x n(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行随n值而不同增长速度①y＝a x(a>1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，y＝log a x(a>1)的增长速度越来越慢②存在一个x0，当x>x0时，有a x>x n>log a x[基础自测]1．思考辨析(1)函数y＝x2比y＝2x增长的速度更快些．( )(2)当a>1，n>0时，在区间(0，＋∞)上，对任意的x，总有log a x<x n<a x成立．( )(3)函数y＝log x衰减的速度越来越慢．( )12[答案] (1)× (2)× (3)√2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是( )A．y＝e x B．y＝ln xC．y＝x2D．y＝e－xA [结合指数函数，对数函数及一次函数的图象变化趋势可知A正确．]3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t(年)的函数关系如图321所示．图321以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________.【导学号：37102371】②④ [结合图象可知②④正确，故填②④.][合 作 探 究·攻 重 难]几类函数模型的增长差异 (1)下列函数中，增长速度最快的是( ) A ．y ＝2 018x B ．y ＝x 2 018 C ．y ＝log 2 018xD ．y ＝2 018x(2)下面对函数f (x )＝log x ，g (x )＝x与h (x )＝x在区间(0，＋∞)上的递减情况说12(12)－12法正确的是( )A ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越慢B ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度越来越快C ．f (x )递减速度越来越慢，g (x )递减速度越来越慢，h (x )递减速度越来越慢D ．f (x )递减速度越来越快，g (x )递减速度越来越快，h (x )递减速度越来越快(1)A (2)C [(1)指数函数y ＝a x ，在a >1时呈爆炸式增长，并且随a 值的增大，增长速度越快，应选A.(2)观察函数f (x )＝log x ，g (x )＝x与h (x )＝x在区间(0，＋∞)上的图象(如图)可12(12)－12知：函数f (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢，同样，函数g (x )的图象在区间(0，＋∞)上，递减较慢，且递减速度越来越慢；函数h (x )的图象在区间(0,1)上递减较快，但递减速度逐渐变慢；在区间(1，＋∞)上，递减较慢，且越来越慢．][规律方法] 常见的函数模型及增长特点 线性函数模型线性函数模型y ＝kx ＋b k >0 的增长特点是直线上升，其增长速度不变 指数函数模型指数函数模型y ＝a x a >1 的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸” 对数函数模型对数函数模型y ＝log a x a >1 的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓幂函数模型幂函数y＝x n n>0 的增长速度介于指数增长和对数增长之间[跟踪训练]1．四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：x 151015202530y1226101226401626901 y2232 1 02437 768 1.05×106 3.36×107 1.07×109 y32102030405060y42 4.322 5.322 5.907 6.322 6.644 6.907关于x呈指数函数变化的变量是________.【导学号：37102372】y2 [以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，且都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数型函数变化．故填y2.]指数函数、对数函数与幂函数模型的比较 函数f(x)＝2x和g(x)＝x3的图象如图所示，设两函数的图象交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)，且x1＜x2.(1)请指出图322中曲线C1，C2分别对应的函数；图322(2)结合函数图象，判断f(6)，g(6)，f(2 016)，g(2 016)的大小．[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝x3，C2对应的函数为f(x)＝2x.(2)∵f(1)＞g(1)，f(2)＜g(2)，f(9)＜g(9)，f(10)＞g(10)，∴1＜x1＜2,9＜x2＜10，∴x1＜6＜x2,2 016＞x2.从图象上可以看出，当x1＜x＜x2时，f(x)＜g(x)，∴f(6)＜g(6)；当x＞x2时，f(x)＞g(x)，∴f(2 016)＞g(2 016)．又g(2 016)＞g(6)，∴f(2 016)＞g(2 016)＞g(6)＞f(6)．[规律方法] 由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升得快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．[跟踪训练]2．函数f(x)＝lg x，g(x)＝0.3x－1的图象如图323所示．图323(1)试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异(以两图象交点为分界点，对f(x)，g(x)的大小进行比较).【导学号：37102373】[解] (1)C1对应的函数为g(x)＝0.3x－1，C2对应的函数为f(x)＝lg x.(2)当x<x1时，g(x)>f(x)；当x1<x<x2时，f(x)>g(x)；当x>x2时，g(x)>f(x)；当x＝x1或x＝x2时，f(x)＝g(x)．需选择函数模型的实际问题[探究问题]1．一次函数模型、指数函数模型、对数函数模型的增长速度各有什么特点？提示：一次函数模型的增长速度不变，是均匀的；指数函数模型的增长速度最快，呈爆炸式；对数函数模型的增长速度先快后慢．2．在选择函数模型时，若随着自变量的变大、函数值增加得速度急剧变化，应选择哪个函数模型？若变化的速度很平缓，应选择哪个函数模型？提示：前者应选择指数函数模型，后者选择对数函数模型． (1)某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )A．一次函数B．二次函数C ．指数型函数D ．对数型函数(2)某皮鞋厂今年1月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万双，1.2万双，1.3万双，1.37万双．由于产品质量好、款式新颖，前几个月的销售情况良好．为了推销员在推销产品时，接受订单不至于过多或过少，需要估计以后几个月的产量．厂里分析，产量的增加是由于工人生产熟练和理顺了生产流程．厂里也暂时不准备增加设备和工人．假如你是厂长，就月份为x ，产量为y 给出三种函数模型：y ＝ax ＋b ，y ＝ax 2＋bx ＋c ，y ＝ab x ＋c ，你将利用哪一种模型去估算以后几个月的产量？思路探究：结合函数模型的增长速度选择合适的模型求解．(1)D [结合“直线上升，对数增长，指数爆炸”可知，对数型函数符合题设条件，故选D.] (2)由题意知，将产量随时间变化的离散量分别抽象为A (1,1)，B (2,1.2)，C (3,1.3)，D (4,1.37)这4个数据．①设模拟函数为y ＝ax ＋b 时， 将B ，C 两点的坐标代入函数式， 得Error!解得Error!所以有关系式y ＝0.1x ＋1.由此可得结论为：在不增加工人和设备的条件下，产量会每月上升1 000双，这是不太可能的． ②设模拟函数为y ＝ax 2＋bx ＋c 时，将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式，得 Error!解得Error!所以有关系式y ＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7.结论为：由此法计算4月份的产量为1.3万双，比实际产量少700双，而且由二次函数性质可知，产量自4月份开始将每月下降(图象开口向下，对称轴为x ＝3.5)，不合实际． ③设模拟函数为y ＝ab x ＋c 时， 将A ，B ，C 三点的坐标代入函数式， 得Error!由1)，得ab ＝1－c ，代入2)3)， 得Error!则Error!解得Error!则a ＝＝－0.8.1－cb所以有关系式y ＝－0.8×0.5x ＋1.4.结论为：当把x ＝4代入得y ＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35.比较上述三个模拟函数的优劣，既要考虑到误差最小，又要考虑生产的实际，如：增产的趋势和可能性．经过筛选，以指数函数模拟为最佳，一是误差小，二是由于厂房新建，随着工人技术和管理效益逐渐提高，一段时间内产量会明显上升，但经过一段时间之后，如果不更新设备，产量必然趋于稳定，而指数型函数模型恰好反映了这种趋势． 因此选用指数型函数y ＝－0.8×0.5x ＋1.4，模拟比较接近客观实际．[规律方法] 此类问题求解的关键是首先利用待定系数法求出相关函数模型，也就是借助数据信息，得到相关方程，进而求出待定参数。
高中数学第三章函数的应用3.2_3.2.1几类不同增长的函数模型课件新人教版必修1
归纳升华 1．一次函数在实际问题中的应用的题目，认真读题， 审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图 象，表格信息确定解析式，同时要特别注意定义域．
2．在函数模型中，二次函数模型占有重要的地位， 在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、函数 的单调性等求函数的最值，从而解决实际问题中的最大、 最小等问题．
由题意知，பைடு நூலகம்线 y1＝k1x＋b1 经过点(1，1)和(6，2)，
k1＋b1＝1，
则
得 k1＝0.2，b1＝0.8.
6k1＋b1＝2，
所以 y1＝0.2(x＋4)．
同理可得 y2＝4－x＋127.
当 x＝2 时，y1＝1.2，y2＝26，故第二年甲鱼池的个 数为 26 个，全县出产甲鱼的总数为 1.2×26＝31.2(万只)．
答案：B
4．某化工厂 2014 年 12 月的产量是 2014 年 1 月份产 量的 n 倍，则该化工厂这一年的月平均增长率是 _________．
解析：设月平均增长率为 x，第一个月的产量为 a，
11
11
则有 a(1＋x)11＝na，所以 1＋x＝ n，所以 x＝ n－1.
11
答案： n－1
5．某细菌在培养过程中，每 20 分钟分裂一次(由 1 个分裂为 2 个)，则这种细菌由 1 个分裂成 2 048 个需要 经过________小时．
第三章 函数的应用
3．2 函数模型及其应用
3．2.1 几类不同增长的函 数模型
[学习目标] 1.了解和体会函数模型在社会生活及科 研中的广泛应用(重点)． 2.理解直线上升、指数爆炸、 对数增长的含义以及三种函数模型性质的比较(重 点)． 3.会分析具体的实际问题，能够建模解决实际问 题(重点、难点)．
高中数学 第三章 函数的应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型讲义教案 新人教A版必修1
学习资料3。
2 函数模型及其应用3.2。
1几类不同增长的函数模型学习目标核心素养1.理解直线上升、指数爆炸、对数增长的含义．(重点）2．区分指数函数、对数函数以及幂函数增长速度的差异．(易混点）3．会选择适当的函数模型分析和解决一些实际问题．（难点）借助三个函数模型的增长特征培养数学运算、数学建模的素养。
三种函数模型的性质y＝a x(a>1）y＝log a x(a〉1)y＝x n（n>0）在（0，＋∞)上的增减性增函数增函数增函数图象的变化趋势随x增大逐渐近似与y轴平行随x增大逐渐近似与x轴平行随n值而不同增长速度①y＝a x(a〉1)：随着x的增大，y增长速度越来越快，会远远大于y ＝x n(n〉0)的增长速度，y＝log a x（a〉1)的增长速度越来越慢；②存在一个x0,当x>x0时，有a x>x n>log a x1．已知变量y＝1＋2x，当x减少1个单位时，y的变化情况是(）A．y减少1个单位B．y增加1个单位C．y减少2个单位D．y增加2个单位C[结合函数y＝1＋2x的变化特征可知C正确．]2．下列函数中随x的增大而增大且速度最快的是（)A．y＝e x B．y＝ln x C．y＝x2D．y＝e－xA[结合指数函数、对数函数及幂函数的图象变化趋势可知A正确．] 3．某工厂8年来某种产品总产量C与时间t（年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快;②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．②③[结合图象可知②③正确，故填②③.]几类函数模型的增长差异A．y＝2 019x B．y＝x2 019C．y＝log2 019x D．y＝2 019x（2）下面对函数f(x)＝log错误!x，g（x）＝错误!错误!与h(x)＝x错误!在区间(0，＋∞）上的递减情况说法正确的是(）A．f(x）递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越快，h(x)递减速度越来越慢B．f（x)递减速度越来越快，g(x）递减速度越来越慢，h（x)递减速度越来越快C．f（x）递减速度越来越慢，g(x)递减速度越来越慢，h（x)递减速度越来越慢D．f(x）递减速度越来越快，g（x)递减速度越来越快，h（x）递减速度越来越快（1）A（2）C［(1)指数函数y＝a x，在a〉1时呈爆炸式增长，并且随a值的增大，增长速度越快，应选A。
高中数学函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型讲义新人教A版必修省公开课一等奖新名师优质课获奖P
7.4
33/56
则关于x分别呈对数函数、指数函数、幂函数改变变量 依次为________,________,________.
34/56
【解析】(1)选A.饮各自杯中酒二分之一,柱形杯中酒 高度变为原来二分之一,其它比二分之一大,前三个杯 子中圆锥形杯中酒高度最高,可排除选项B,C,D.
35/56
7/56
2.y=ax(a>1),y=logax(a>1),y=xn(n>0)不一样增加情况, 在区间(0,+∞)上,尽管函数y=ax(a>1),y=logax(a>1) 和y=xn(n>0)都是_增__函__数__,但它们___增__加__速__度不一样, 而且不在同一个“档次”上.伴随x增加,y=ax(a>1) 增加速度会远远超出___y_=_x_n(_n_>_0增)加速度,而
30/56
【巩固训练】(1)(·开封高一检测)四位好朋友在一次 聚会上,按照各自兴趣选择了形状不一样、内空高度相 等、杯口半径相等圆口酒杯,如图所表示,盛满酒后他 们约定:先各自饮杯中酒二分之一.设剩下酒高度从左 到右依次为h1,h2,h3,h4,则它们大小关系正确是 ( )
31/56
A.h2>h1>h4 C.h3>h2>h4
46/56
【解析】(1)选A.由题意知:生活收入指数减去生活价格
指数差值是逐年增大.
(2)①y1与x之间函数关系式:
y1=
2x2 80x(0 44x(x 18, x
x 18, N)，
x
N)，
y2与x之间函数关系式:y2=60x(x≥0,x∈N).
47/56
②y1-y2=-2x2+80x-60x=-2x2+20x≥0, 解得0≤x≤10, 所以,当茶社购置这种茶壶数量小于10个时,到乙茶具店 购置茶壶费用较少,当茶社购置数量为10个时,费用一样, 当茶社购置这种茶具数量大于10个时,到甲茶具店购置 茶壶费用较少.
高中数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型课件新人教A版必修1
ab3 c 1.3,
a 0.8, 解得 b 0.5,
c 1.4. 则函数 y=-0.8×0.5x+1.4.
令 x=4 得 y=1.35.
因为 1.35 比 1.3 更接近 1.37,所以用 y=a·bx+c,
即 y=-0.8·0.5x+1.4 作为模拟函数好.
新知探求 课堂探究
新知探求·素养养成
【情境导学】
导入 在同一坐标系内视察图象(1)y=2x,y=3x,y=4x;
(2)y=log2x,y=log3x,y=log4x; (3)y=x2,y=x3,y=x4;
(4)y=2x,y=log2x,y=x2.
想一想 指数函数,对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律?幂函数的 幂指数大于0且不相同时增长快慢如何? (由图象可知,指数函数在x>0时,底数越大增长得越快,对数函数在x>1时底 数越大增长得越慢,幂函数在x>1时指数越大增长得越快)
方法技能 开放型的探究题,函数模型不是确定的,需要我们去探索,去 尝试,找到最合适的模型,解题过程一般为: (1)用待定系数法求出函数解析式; (2)检验:将(1)中求出的几个函数模型进行比较、验证,得出最合适的函数 模型; (3)利用所求出的函数模型解决问题.
即时训练3-1:某工厂生产一种电脑元件,每月的生产数据如表:
【例4】 大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵.记鲑鱼的游速为
v(m/s),鲑鱼的耗氧量的单位数为Q,研究中发现v与log3
Q 100
成正比,且当
Q=900时,v=1.
(1)求出v关于Q的函数解析式;
解:(1)设 v=k·log3 Q , 100
高中数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型学案含解析新人教A版必修0
学习资料专题3．2.1 几类不同增长的函数模型[提出问题]观察如表给出的函数值：问题1：函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值有什么共同的变化趋势？提示：函数f(x)，g(x)，h(x)随着x的增大，函数值增大．问题2：函数f(x)，g(x)，h(x)增长的速度有什么不同？提示：各函数增长的速度不同，其中f(x)＝2x增长得最快，其次是g(x)＝x2，最慢的是h(x)＝log2x.[导入新知]指数函数、对数函数和幂函数的增长差异一般地，在区间(0，＋∞)上，尽管函数y＝a x(a>1)，y＝log a x(a>1)和y＝x n(n>0)都是增函数，但它们的增长速度不同，而且不在同一个“档次”上．随着x的增大，y＝a x(a>1)的增长速度越来越快，会超过并远远大于y＝x n(n>0)的增长速度，而y＝log a x(a>1)的增长速度则会越来越慢．因此，总会存在一个x0，使得当x>x0时，就有log a x<x n<a x(a>1，n>0)．[化解疑难]对比指数函数、对数函数和幂函数的增长趋势[例1] 1234关于x呈指数函数变化的变量是________．[解析] 从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y2关于x呈指数函数变化．[答案] y2[类题通法]常见的函数模型及增长特点(1)线性函数模型线性函数模型y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长速度不变．(2)指数函数模型指数函数模型y＝a x(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．(3)对数函数模型对数函数模型y ＝log a x (a >1)的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．(4)幂函数模型幂函数y ＝x n(n >0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间． [活学活用]今有一组实验数据如下：现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是( )A ．v ＝log 2tB ．v ＝log 12tC ．v ＝t 2－12D ．v ＝2t －2解析：选C 从表格中看到此函数为单调增函数，排除B ，增长速度越来越快，排除A 和D ，选C.象交于点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，且x 1<x 2.(1)请指出图中曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)结合函数图象，判断f (6)，g (6)，f (2 017)，g (2 017)的大小． [解] (1)C 1对应的函数为g (x )＝x 3，C 2对应的函数为f (x )＝2x. (2)∵f (1)>g (1)，f (2)<g (2)，f (9)<g (9)，f (10)>g (10)，∴1<x 1<2,9<x 2<10， ∴x 1<6<x 2,2 014>x 2.从图象上可以看出，当x 1<x <x 2时，f (x )<g (x )， ∴f (6)<g (6)．当x >x 2时，f (x )>g (x )， ∴f (2 014)>g (2 014)． 又∵g (2 014)>g (6)，∴f (2 014)>g (2 014)>g (6)>f (6)． [类题通法]由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．[活学活用]函数f (x )＝lg x ，g (x )＝0.3x －1的图象如图所示． (1)试根据函数的增长差异指出曲线C 1，C 2分别对应的函数；(2)比较两函数的增长差异[以两图象交点为分界点，对f (x )，g (x )的大小进行比较]．解：(1)C 1对应的函数为g (x )＝0.3x －1，C 2对应的函数为f (x )＝lg x . (2)当x <x 1时，g (x )>f (x )； 当x 1<x <x 2时，f (x )>g (x )； 当x >x 2时，g (x )>f (x )；当x ＝x 1或x ＝x 2时，f (x )＝g (x ).[例3] 43万辆．已知该公司近三年的汽车生产量如下表所示：如果我们分别将模型：二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，指数函数模型g (x )＝a ·b x＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)，哪个模型能更好地反映该公司年生产量y 与年份x 的关系？[解] 建立年生产量y 与年份x 的函数，可知函数必过点(1,8)，(2,18)，(3,30)． ①构造二次函数模型f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＋c ＝8，4a ＋2b ＋c ＝18，9a ＋3b ＋c ＝30，解得a ＝1，b ＝7，c ＝0， 则f (x )＝x 2＋7x ，故f (4)＝44，与计划误差为1.②构造指数函数模型g (x )＝a ·b x＋c (a ≠0，b >0，b ≠1)，将点坐标代入，可得⎩⎪⎨⎪⎧ab ＋c ＝8，ab 2＋c ＝18，ab 3＋c ＝30，解得a ＝1253，b ＝65，c ＝－42，则g (x )＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫65x－42，故g (4)＝1253·⎝ ⎛⎭⎪⎫654－42＝44.4，与计划误差为1.4.由①②可得，f (x )＝x 2＋7x 模型能更好地反映该公司年生产量y 与年份x 的关系． [类题通法]不同函数模型的选取标准不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律： (1)线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律； (2)指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律； (3)对数函数增长模型适合于描述增长速度平缓的变化规律； (4)幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律．因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题．[活学活用]某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y 随生源利润x 的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x ，其中哪个模型符合该校的要求？解：借助工具作出函数y ＝3，y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5,100]上，y ＝0.2x ，y ＝1.02x的图象都有一部分在直线y ＝3的上方，只有y ＝log 5x 的图象始终在y ＝3和y ＝0.2x 的下方，这说明只有按模型y ＝log 5x 进行奖励才符合学校的要求．12.搞错函数的变化规律而致误[典例] 下列函数中随x 的增大而增大且速度最快的是( ) A ．y ＝1100e xB ．y ＝100ln xC ．y ＝x 100D ．y ＝100·2x[解析] 指数爆炸式形容指数函数． 又∵e>2， ∴1100e x 比100·2x增大速度快． [答案] A [易错防范]1．影响指数型函数增长速度的量是指数函数的底数，而并非其系数，本题易发生误认为100>1100，所以100·2x比1100e x 增大速度快的错误结论．2．函数y ＝a ·b x＋c (b >0，且b ≠1，a ≠0)图象的增长特点是随着自变量x 的增大，函数值增大的速度越来越快(底数b >1，a >0)，常形象地称为指数爆炸．[活学活用]四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(其中i ∈{1,2,3,4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )A ．f 1(x )＝x 2B ．f 2(x )＝4xC ．f 3(x )＝log 2xD ．f 4(x )＝2x解析：选D 显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x，故选D.[随堂即时演练]1．下列函数中，随着x 的增大，增长速度最快的是( ) A ．y ＝50 B ．y ＝1 000x C ．y ＝2x －1D ．y ＝11 000ln x解析：选C 指数函数模型增长速度最快，故选C.2．三个变量y 1，y 2，y 3，随着自变量x 的变化情况如下表：则关于x A ．y 1，y 2，y 3 B ．y 2，y 1，y 3 C ．y 3，y 2，y 1D ．y 1，y 3，y 2解析：选C 通过指数函数、对数函数、幂函数等不同函数模型的增长规律比较可知，对数函数的增长速度越来越慢，变量y 3随x 的变化符合此规律；指数函数的增长速度成倍增长，y 2随x 的变化符合此规律；幂函数的增长速度介于指数函数与对数函数之间，y 1随x 的变化符合此规律，故选C.3．若a >1，n >0，那么当x 足够大时，a x ，x n，log a x 的大小关系是________． 解析：∵a >1，n >0，∴函数y 1＝a x ，y2＝x n，y 3＝log a x 都是增函数．由指数函数、对数函数、幂函数的变化规律可知，当x 足够大时，a x >x n>log a x . 答案：a x >x n>log a x4．函数y ＝x 2与函数y ＝x ln x 在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________． 解析：当x 变大时，x 比ln x 增长要快， ∴x 2比x ln x 增长要快． 答案：y ＝x 25．某地发生地震，各地纷纷捐款捐物，甲、乙、丙三个公司分别派代表到慈善总会捐款给灾区．甲公司的代表说：“在10天内，我们公司每天捐款5万元给灾区．”乙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款1万元，以后每天比前一天多捐款1万元．”丙公司的代表说：“在10天内，我们公司第1天捐款0.1万元，以后每天捐款都比前一天翻一番．”你觉得哪个公司在10天内捐款最多？解：三个公司在10天内捐款情况如下表所示：[课时达标检测]一、选择题1．甲、乙两人在一次赛跑中，从同一地点出发，路程s与时间t的函数关系如下图所示，则下列说法正确的是( )A．甲比乙先出发B．乙比甲跑的路程多C．甲、乙两人的速度相同D．甲比乙先到达终点解析：选D 由题图可知，甲到达终点用时短，故选D.2．已知y1＝2x，y2＝x2，y3＝log2x，当2<x<4时，有( )A．y1>y2>y3B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y2>y3>y1解析：选B 在同一平面直角坐标系内画出这三个函数的图象(图略)，在区间(2,4)内，从上到下图象依次对应的函数为y2＝x2，y1＝2x，y3＝log2x，故y2>y1>y3.3．有一组实验数据如下表所示：A．y＝log a x(a>1)B．y＝ax＋b(a>1)C．y＝ax2＋b(a>0)D．y＝log a x＋b(a>1)解析：选C 通过所给数据可知y随x增大，其增长速度越来越快，而A，D中的函数增长速度越来越慢，而B中的函数增长速度保持不变，故选C.4．若x∈(0,1)，则下列结论正确的是( )A．2x>x 12>lg x B．2x>lg x>x12C．x 12>2x>lg x D．lg x>x12>2x解析：选A 结合y＝2x，y＝x 12及y＝lg x的图象易知，当x∈(0,1)时，2x>x12>lg x.5．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y 年，则函数y＝f(x)的图象大致为( )解析：选D 设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意可得ax＝a(1＋0.104)y，故y＝log1.104x(x≥1)，函数为对数函数，所以函数y＝f(x)的图象大致为D中图象，故选D.二、填空题6．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：解析：从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.答案：y17．某工厂8年来某种产品的总产量C与时间t(单位：年)的函数关系如图所示．以下四种说法：①前三年产量增长的速度越来越快；②前三年产量增长的速度越来越慢；③第三年后这种产品停止生产；④第三年后产量保持不变．其中说法正确的序号是________．解析：由t∈[0,3]的图象联想到幂函数y＝xα(0<α<1)，反映了C随时间的变化而逐渐增长但速度越来越慢．由t∈[3,8]的图象可知，总产量C没有变化，即第三年后停产，所以②③正确．答案：②③8．表示一位骑自行车和一位骑摩托车的旅行者在相距80 km的甲、乙两城间从甲城到乙城所行驶的路程与时间之间的函数关系，有人根据函数图象，提出了关于这两个旅行者的如下信息：①骑自行车者比骑摩托车者早出发3 h，晚到1 h；②骑自行车者是变速运动，骑摩托车者是匀速运动；③骑摩托车者在出发1.5 h后追上了骑自行车者；④骑摩托车者在出发1.5 h后与骑自行车者速度一样．其中，正确信息的序号是________．解析：看时间轴易知①正确；骑摩托车者行驶的路程与时间的函数图象是直线，所以是匀速运动，而骑自行车者行驶的路程与时间的函数图象是折线，所以是变速运动，因此②正确；两条曲线的交点的横坐标对应着4.5，故③正确，④错误．答案：①②③三、解答题9．函数f (x )＝1.1x ，g (x )＝ln x ＋1，h (x )＝x 12的图象如图所示，试分别指出各曲线对应的函数，并比较三个函数的增长差异(以1，a ，b ，c ，d ，e 为分界点)．解：由指数爆炸、对数增长、幂函数增长的差异可得曲线C 1对应的函数是f (x )＝1.1x ，曲线C 2对应的函数是h (x )＝x 12，曲线C 3对应的函数是g (x )＝ln x ＋1. 由题图知，当x <1时，f (x )>h (x )>g (x )；当1<x <e 时，f (x )>g (x )>h (x )；当e <x <a 时，g (x )>f (x )>h (x )；当a <x <b 时，g (x )>h (x )>f (x )；当b <x <c 时，h (x )>g (x )>f (x )；当c <x <d 时，h (x )>f (x )>g (x )；当x >d 时，f (x )>h (x )>g (x )．10．截止到1999年底，我国人口约为13亿，若今后能将人口平均增长率控制在1%，经过x 年后，我国人口为y (单位：亿)．(1)求y 与x 的函数关系式y ＝f (x )；(2)求函数y ＝f (x )的定义域；(3)判断函数f (x )是增函数还是减函数，并指出函数增减的实际意义．解：(1)1999年底人口数：13亿．经过1年，2000年底人口数：13＋13×1%＝13×(1＋1%)亿．经过2年，2001年底人口数：13×(1＋1%)＋13×(1＋1%)×1%＝13×(1＋1%)2亿．经过3年，2002年底人口数：13×(1＋1%)2＋13×(1＋1%)2×1%＝13×(1＋1%)3亿．…∵经过年数与(1＋1%)的指数相同，∴经过x 年后人口数为13×(1＋1%)x 亿．∴y ＝f (x )＝13×(1＋1%)x .(2)∵此问题以年作为单位时间，∴x ∈N *是此函数的定义域．(3)y ＝f (x )＝13×(1＋1%)x .∵1＋1%>1,13>0，∴y ＝f (x )＝13×(1＋1%)x 是增函数，即只要递增率为正数，随着时间的推移，人口的总数总在增长．11．某工厂今年1月、2月、3月生产某种产品分别为1万件、1.2万件、1.3万件．为了估计以后每个月的产量，以这3个月的产品数量为依据，用一个函数来模拟该产品的月产量y 与月份x 的关系．模拟函数可以选用二次函数或函数y ＝a ·b x ＋c (a ，b ，c 为常数)．已知4月份该产品的产量为1.37万件，试问：用以上哪个函数作为模拟函数较好？请说明理由．解：设两个函数：y 1＝f (x )＝px 2＋qx ＋r (p ≠0)，y 2＝g (x )＝a ·b x＋c . 依题意，⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝p ＋q ＋r ＝1，f＝4p ＋2q ＋r ＝1.2，f ＝9p ＋3q ＋r ＝1.3，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝－0.05，q ＝0.35，r ＝0.7. ∴y 1＝f (x )＝－0.05x 2＋0.35x ＋0.7，∴f (4)＝1.3(万件)．依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ g ＝ab ＋c ＝1，g＝ab 2＋c ＝1.2，g＝ab 3＋c ＝1.3， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4. ∴y 2＝g (x )＝－0.8×0.5x＋1.4. ∴g (4)＝－0.8×0.54＋1.4＝1.35(万件)．经比较，g (4)＝1.35(万件)比f (4)＝1.3(万件)更接近于4月份的产量1.37万件． ∴选y 2＝g (x )＝－0.8×0.5x ＋1.4作为模拟函数较好．。
高中数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模型知识素材新人教版必修1
收集(shōují)数据
画散点图
不 选择函数模型(móxíng)
符
合
实 际
求函数模型(móxíng)
检验 符合实际
用函数模型解释实际问题
第三页，共5页。
1．我们常见的几种函数模型为_一__次__函__数__模__型__、正比例 函数和反比例函数模型、_二__次__函__数__模__型__、__指__数__函__数__模__型_____、 对__数__函__数__模__型__、__幂__函__数__模__型___、分段函数模型．
2．指数函数、对数函数和幂函数模型
第四页，共5页。
在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年 增长 10%，专家预测经过 x 年可能增长到原来的 y 倍，则函 数 y＝f(x)的图象大致为( )
[答案] D [解析] y＝(1＋10%)x.
第五页，共5页。
素材库
第一页，共5页。
1.三种(sān zhǒnɡ)函数模型 的性质
函数 性质
y=ax(a>1)
y=logax (a>1)
y=xα (α>0)
在(0,+∞)上 的增减性
增函数
增函数
增函数
图象的变化
随x增大逐渐 随x增大逐渐
(zhújiàn)与 (zhújiàn)与x
y轴平行
轴平行
随α值不 同而不同
高中数学第三章函数的应用3.2函数模型及其应用3.2.1几种不同增长的函数模型优化练习新人教A版必
2017-2018学年高中数学第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用3.2.1 几种不同增长的函数模型优化练习新人教A版必修1编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2017-2018学年高中数学第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用3.2.1 几种不同增长的函数模型优化练习新人教A版必修1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2017-2018学年高中数学第三章函数的应用3.2 函数模型及其应用3.2.1 几种不同增长的函数模型优化练习新人教A版必修1的全部内容。
3。
2。
1 几种不同增长的函数模型[课时作业］［A组基础巩固］1．下列函数中随x的增大而增大，且速度最快的是( )A。
错误!e x B．y＝10ln x3C．y＝x10D．y＝10·2x解析：∵e>2，∴110e x比10·2x增大速度快，故选A.答案：A2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增大越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用（) A．一次函数B．二次函数C．指数型函数D．对数型函数解析：一次函数、二次函数以及指数函数的增长不会越来越慢,只有对数函数的增长符合．故选D。
答案:D3．今有一组数据如下：现准备了如下四个答案,A．v＝log2t B．v＝log12tC．v＝错误!D．v＝2t－2解析:将t的值代入四个函数，找出最接近v的那个函数模型．答案:C4．某商品价格前两年递增20%，后两年递减20％，则四年后的价格与原来价格相比较，变化情况是( )A．减少7。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学第三章函数的应用3.2.1几类不同增长的函数模
型应用案巩固提升新人教A 版必修111
[A 基础达标]
1．某公司为了适应市场需求对产品结构作了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y 与时间x 的关系，可选用( )
A ．一次函数
B ．幂函数
C ．指数型函数
D ．对数型函数
解析：选D.初期增长迅速，后来增长越来越慢，可用对数型函数模型来反映y 与x 的关系，故选D.
2．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s 与时间t 的函数关系如图所示，则下列说法正确的是( )
A ．甲比乙先出发
B ．乙比甲跑的路程多
C ．甲、乙两人的速度相同
D ．甲先到达终点
解析：选 D.从题图可以看出，甲、乙两人同时出发(t ＝0)，跑相同多的路程(s 0)，甲用时(t 1)比乙用时(t 2)短，即甲比乙的速度快，甲先到达终点．
3．某厂日产手套总成本y (元)与手套日产量x (双)的关系式为y ＝5x ＋4 000，而手套出厂价格为每双10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为( )
A ．200双
B ．400双
C ．600双
D ．800双
解析：选D.要使该厂不亏本，只需10x －y ≥0， 即10x －(5x ＋4 000)≥0，解得x ≥800. 4．若x ∈(0，1)，则下列结论正确的是( ) A ．2x
>x 1
2>lg x
B ．2x
>lg x >x 1
2
C ．x 1
2>2x
>lg x D ．lg x >x 12>2x
解析：选A.结合y ＝2x
，y ＝x 12及y ＝lg x 的图象易知，当x ∈(0，1)时，2x
>x 1
2>lg x .
5．四人赛跑，假设他们跑过的路程f i (x )(i ∈{1，2，3，4})和时间x (x >1)的函数关系分别是f 1(x )＝x 2
，f 2(x )＝4x ，f 3(x )＝log 2x ，f 4(x )＝2x
，如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是( )
A ．f 1(x )＝x 2
B ．f 2(x )＝4x
C ．f 3(x )＝log 2x
D ．f 4(x )＝2x
解析：选D.显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f 4(x )＝2x
，故选D.
6．函数y ＝x 2
与函数y ＝x ln x 在区间(1，＋∞)上增长较快的一个是________． 解析：当x 变大时，x 比ln x 增长要快， 所以x 2
要比x ln x 增长得要快． 答案：y ＝x 2
7.在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．现给出下列说法：①前5 min 温度增加的速度越来越快；②前5 min 温度增加的速度越来越慢；③5 min 以后温度保持匀速增加；④5 min 以后温度保持不变．
其中正确的说法是________．
解析：因为温度y 关于时间t 的图象是先凸后平，即5 min 前每当t 增加一个单位增量Δt ，则y 相应的增量Δy 越来越小，而5 min 后y 关于t 的增量保持为0，则②④正确．
答案：②④
8．已知某工厂生产某种产品的月产量y 与月份x 满足关系y ＝a ·0.5x
＋b ，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此厂3月份该产品产量为________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＝a ·0.51
＋b ，1.5＝a ·0.52
＋b ， 得⎩
⎪⎨⎪⎧a ＝－2，
b ＝2， 所以y ＝－2×0.5x
＋2，
所以3月份产量为y ＝－2×0.53
＋2＝1.75(万件)． 答案：1.75万件
9．画出函数f (x )＝x 与函数g (x )＝14x 2
－2的图象，并比较两者在[0，＋∞)上的大小关
系．
解：函数f (x )与g (x )的图象如图所示：
根据图象易得：
当0≤x ＜4时，f (x )>g (x )； 当x ＝4时，f (x )＝g (x )； 当x >4时，f (x )<g (x )．
10．某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度h (米)与生长时间t (年)的相关数据，选择h ＝mt ＋b 与h ＝log a (t ＋1)来刻画h 与t 的关系，你认为哪个符合？并预测第8年的松树高度．
t (年) 1 2 3 4 5 6 h (米)
0.6
1
1.3
1.5
1.6
1.7
由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理． 不妨将(2，1)代入到h ＝log a (t ＋1)中，得1＝log a 3，解得a ＝3. 故可用函数h ＝log 3(t ＋1)来拟合这个实际问题． 当t ＝8时，求得h ＝log 3(8＋1)＝2， 故可预测第8年松树的高度为2米．
[B 能力提升]
11.如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积y (m 2
)与时间t (月)的关系：
y ＝a t ，有以下叙述：
①这个指数函数的底数是2；
②第5个月时，浮萍的面积就会超过30 m 2
； ③浮萍从4 m 2
蔓延到12 m 2
需要经过1.5个月； ④浮萍每个月增加的面积都相等． 其中正确的是( )
A ．①③
B ．①②
C ．②③④
D ．①②④
解析：选B.由题意知图象单调递增，底数大于1，又过点(2，4)，故①对；令t ＝5，得
y ＝25＝32>30，故②对；若浮萍从4 m 2蔓延到12 m 2需要经过的时间是1.5个月，则有12＝23.5
，
因为23.5
＝82≠12，故③错；由指数函数模型的图象上升特征，可知④错．
12．2017～2019年春运期间，某市长途汽车站平均每日发送旅客数量如表所示．为了估测每年春运期间这个汽车站平均每日发送旅客的数量，以2017～2019年三年的数据为依据，选择函数y ＝ab
x －2 016
＋c 模拟平均每日发送旅客的数量y (万人)与年份x (年)的关系．根据所
给数据，预测2020年春运期间该长途汽车站平均每日发送旅客的数量为____________万人．
解析：依题意有⎩⎪⎨⎪⎧ab 2
＋c ＝1.2，ab 3＋c ＝1.3，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧a ＝－0.8，b ＝0.5，c ＝1.4，
所以y ＝－0.8×0.5
x －2 016
＋1.4.
当x ＝2 020时，y ＝－0.8×0.54
＋1.4＝1.35，
所以预测2020年春运期间该长途汽车站平均每日发送旅客的数量为1.35万人． 答案：1.35
13．某学校为了实现100万元的生源利润目标，准备制定一个激励招生人员的奖励方案：在生源利润达到5万元时，按生源利润进行奖励，且奖金y 随生源利润x 的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模型：y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，
y ＝1.02x ，其中哪个模型符合该校的要求？
解：借助工具作出函数y ＝3，y ＝0.2x ，y ＝log 5x ，y ＝1.02x
的图象(图略)．观察图象可知，在区间[5，100]上，y ＝0.2x ，y ＝1.02x
的图象都有一部分在直线y ＝3的上方，只有y ＝log 5x 的图象始终在y ＝3和y ＝0.2x 的下方，这说明只有按模型y ＝log 5x 进行奖励才符合学校的要求．
14．(选做题)2018年1月8日，中共中央、国务院隆重举行国家科学技术奖励大会，在科技界引发热烈反响，自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力．某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料，由大数据测得该产品的性能指标值y 与这种新材料的含量
x (单位：克)的关系为：当0≤x <6时，y 是x 的二次函数；当x ≥6时，y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x －t
.测得数据
如表(部分)
(2)求函数f (x )的最大值． 解：(1)当0≤x <6时，由题意， 设f (x )＝ax 2
＋bx ＋c (a ≠0)，
由表格数据可得⎩⎪⎨⎪⎧f （0）＝c ＝0，
f （1）＝a ＋b ＋c ＝7
4
，f （2）＝4a ＋2b ＋c ＝3，
解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1
4，b ＝2，c ＝0，
所以，当0≤x <6时，
f (x )＝－1
4
x 2＋2x ，
当x ≥6时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x －t
.由表格数据可得f (9)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫139－t ＝1
9
， 解得t ＝7.
所以当x ≥6时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x －7
，
综上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1
4
x 2
＋2x ，0≤x <6，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －7，x ≥6.
(2)当0≤x <6时，
f (x )＝－14x 2＋2x ＝－14
(x －4)2＋4，
所以当x ＝4时，函数f (x )的最大值为4；
当x ≥6时，f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫13x －7
单调递减，
所以f (x )的最大值为f (6)＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫136－7
＝3.
因为4>3，
所以函数f (x )的最大值为4.。