数列综合能力专题

数列综合能力专题

1. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若存在正整数(),m n m n <，使得m n S S =，则0m n S +=.类比上述结论，设正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，若存在正整数(),m n m n <，使得m n T T =，则m n T += 1.

2. 已知函数()()()56(4)462

x a x f x a

x x -⎧>⎪

=⎨-+≤⎪⎩, 数列{}n a 满足()()

+∈=N n n f a n ，且数列{}n a 是单调递增数列，则实数a 的取值范围是____()4,8___． 3．函数f(x)=

2

41x

+(x ∈R)，若1x x 21=+，则f(x 1)＋f(x 2)=21 又若n ∈N ＋时，)n

n

f ()n 1n f (......)n 2f ()n 1f (++++－=________。 ∵1x x 21=+，∴f(x 1)＋f(x 2)=4)44(24444241241212

12121

+++++=++++x x x x x x x x =2

1

)444(24442121x x x x =

++++ 设S n =)n n f ()n 1n f (......)n 2f ()n 1f (

++++－，∴S n =)n 1

n f (－＋f(n 2n -)＋……＋f(n 1)＋f(n

n ) 二式相加，得2S n =()311n 21+- (∵1x x 21=+∴f(x 1)＋f(x 2)=2

1)， ∴S n =()1n 3121

-

4.已知数列｛a n ｝共有m 项，记｛a n ｝的所有项和为s(1)，第二项及以后所有项和为s(2)，第三项及以后所有项和为s(3)，…，第n 项及以后所有项和为s(n)，若s(n)是首项为1，公差为2的等差数列的前n 项和，则当n

5.已知数列{}n a 、{}n b 中，对任何正整数n 都有：

11213212122n n n n n n a b a b a b a b a b n +---+++++=-- ．

（1）若数列{}n a 是首项和公差都是1的等差数列，求证：数列{}n b 是等比数列；

（2）若数列{}n b 是等比数列，数列{}n a 是否是等差数列，若是请求出通项公式，若不是请说明理由；

解：（1）依题意数列{}n a 的通项公式是n a n =，

故等式即为1122123(1)22n n n n b b b n b nb n +--++++-+=-- ， 同时有1232123(2)(1)21n n n n b b b n b n b n ---++++-+-=-- ()2n ≥， 两式相减可得12121n n n b b b b -++++=- . 可得数列{}n b 的通项公式是12n n b -=， 知数列{}n b 是首项为1，公比为2的等比数列。

（2）设等比数列{}n b 的首项为b ，公比为q ，则1n n b bq -=，从而有：

1231123122n n n n n n bq a bq a bq a bqa ba n ---+-+++++=-- ，

又234123121n n n n n bq a bq a bq a ba n ----++++=-- ()2n ≥， 故1(21)22n n n n q ba n +--+=-- ，212

2n n q q q a n b b b

---=

⨯+⨯+， 要使1n n a a +-是与n 无关的常数，必需2q =，

即①当等比数列{}n b 的公比2q =时，数列{}n a 是等差数列，其通项公式是n n

a b

=； ②当等比数列{}n b 的公比不是2时，数列{}n a 不是等差数列．

6.已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 的首项为b ，公比为a ，其中a ，

b 都是大于1的正整数，且1123,a b b a <<．

（1）求a 的值；

（2）若对于任意的*

∈N n ，总存在*

∈N m ，使得3m n a b +=成立，求b 的值； （3）令1n n n C a b +=+，问数列{}n C 中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所

有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．

解：（1）由已知，得1(1),n n n a a n b b b a -=+-=⋅．由1123,a b b a <<，得,2a b ab a b <<+．

因a ，b 都为大于1的正整数，故a ≥2．又b a >，故b ≥3． ……………2分 再由2ab a b <+，得 (2)a b a -<． 由b a >，故(2)a b b -<，即(3)0a b -<．

由b ≥3，故30a -<，解得3a <． ……………………4分

f(1,1) f(1,2) … f(1,n －1) f(1,n)

f(2,1) f(2,2) … f(2,n －1)

f(3,1) … f(3,n －2)

…

f(n,1)

于是23a <≤，根据a ∈N ，可得2a =．………………6分

（2）由2a =，对于任意的n *∈N ，均存在m +∈N ，使得1(1)52n b m b --+=⋅，则

1(21)5n b m --+=．

又3b ≥，由数的整除性，得b 是5的约数． 故1211n m --+=，b =5．

所以b =5时，存在正自然数12n m -=满足题意．………………9分

（3）设数列{}n C 中，12,,n n n C C C ++成等比数列，由122n n C nb b -=++⋅，212()n n n C C C ++=⋅，得211(22)(22)(222)n n n nb b b nb b nb b b -++++⋅=++⋅+++⋅．

化简，得12(2)2n n b n b -=+-⋅⋅． （※） …………11分 当1n =时，1b =时，等式（※）成立，而3b ≥，不成立． …12分 当2n =时，4b =时，等式（※）成立．………………………13分

当3n ≥时，112(2)2(2)24n n n b n b n b b --=+-⋅⋅>-⋅⋅≥，这与b ≥3矛盾． 这时等式（※）不成立．………………………………14分

综上所述，当4b ≠时，不存在连续三项成等比数列；当4b =时，数列{}n C 中的第二、三、四项成等比数列，这三项依次是18，30，50．………………16分

7.一个三角形数表按如下方式构成：第一行依次写上n(n ≥4)个数，在上一行的每相邻两数的中间正下方写上这两数之和，得到下一行，依此类推．记数表中第i 行的第j 个数为f(i,j)． (1)若数表中第i (1≤i ≤n －3)行的数依次成等差数列，求证：第i+1行的数也依次成等差数列； (2)已知f(1,j)=4j ，求f(i,1)关于i 的表达式； (3)在(2)的条件下，若f(i,1)=(i+1)(a i －1)，b i =