弹塑性力学-03

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这样， 这样，对于纯变形来说
δ S i = u i , j S j ⇒ δS i = ε i , j S j
现在说明应变张量 ε i, j 的物理意义。 的物理意义。 平行X轴 如S平行 轴，则 S x = S , S y = 0 平行
∂u ∂u Sx + Sy ∂x ∂y ⇒ ε = ∂u = ε = δ S x = δ S 11 x ∂x Sx S ∂v ∂v δS y = Sx + Sy ∂x ∂y
假定位移u,v为 的单值连续函数 的单值连续函数， 假定位移 为x,y的单值连续函数，按泰勒级数展开
∂u ∂u 2 2 u = u0 + Sx + S y + o( S x , S y ) ∂x ∂y ∂v ∂v 2 2 v = v 0 + S x + S y + o( S x , S y ) ∂x ∂y
o
u
P
∂u u+ dx ∂x A
x
∂v dx ∂x
v
y
v+ ∂v dy ∂y
B
P′
α
β
B′
v+
A′
u+
∂u dy ∂y
3
图2－5
同理可求得： 二、P点的切应变
εy
∂v = ∂y
o
u
P
∂u u+ dx ∂x A
x
∂v dx ∂x
v
y
P′ B
线段PA的转角：
α
β
B′
v+
A′
∂v (v + dx) − v ∂v ∂x α= = dx ∂x
应用弹塑性力学
1
第3章 应 变 章
弹性力学应变理论回顾 变形与应变的概念 主应变与应变偏量及其不变量 应变率的概念 应变协调方程
2
弹性力学应变理论回顾
在平面问题中，弹性体中各点都可能产生任意方向的位移。 通过弹性体内的任一点P，取一单元体PAB，如图所示。弹性体受 力以后P、A、B三点分别移动到P′、A′、B′。 一、P点的正应变 点的正应变 ∂u (u + dx) − u ∂u ∂x = εx = dx ∂x 在这里由于小变形，由y 方向位移v所引起的PA的伸缩 是高一阶的微量，略去不计。
则有两矢量的内积定义， 则有两矢量的内积定义，有
S1 = iS1 S 2 = jS 2
′ ′ S1′ • S 2 = S1′S 2 cos ϕ
′ ′ ′ ′ ′ ′ S1 • S 2 = ( S1 x i + S1 y j ) • ( S 2 x i + S 2 y j ) ′ ′ ′ ′ = S1 x • S 2 x + S1 y • S 2 y
2
∂ 2ε y
∂ 2γ xy
这个关系式称为形变协调方程或相容方程 形变协调方程或相容方程。也就是说,连续体的 形变协调方程或相容方程 形变分量不是互相独立的,要满足相容方程,才能保证对应的位 移分量存在。如果任取的形变分量，如果不满足相容方程，那 么三个几何方程中的任意两个求出的位移分量，将不能满足第 三个几何方程。
转动张量为
1 ∂u ∂v 1 ∂u ∂w 0 ( − ) ( − ) 2 ∂y ∂x 2 ∂z ∂x 1 ∂v ∂w 1 (− ∂u + ∂v ) wi , j = 0 ( − ) 2 ∂y ∂x 2 ∂z ∂y 1 ∂u ∂w 1 ∂v ∂w (− + ) 0 (− + ) 2 ∂z ∂y 2 ∂z ∂x
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设有一弹塑性体，在外力作用下发生了变形。 设有一弹塑性体，在外力作用下发生了变形。图中实线轮 廓为变形前的状态，虚线为变形后的状态。物体中的点A 廓为变形前的状态，虚线为变形后的状态。物体中的点 和B，变形后的位置为 和B′ ，变形后的位置为A′和 各点的位移可以用其方向的位移分量表示。 各点的位移可以用其方向的位移分量表示。因而只要确定 了物体各点的位移，物体的变形状态就确定了。 了物体各点的位移，物体的变形状态就确定了。因物体各 点的位移一般是不同的， 点的位移一般是不同的，故位移分量应为坐标的函数
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对于三维情况， 对于三维情况，应变张量为
ε i, j
∂u ∂x 1 ( ∂u + ∂v ) = 2 ∂y ∂x 1 ∂u ∂w ( + ) 2 ∂z ∂x
1 ∂u ∂v ( + ) 2 ∂y ∂x ∂v ∂y 1 ∂v ∂w ( + ) 2 ∂z ∂y
1 ∂u ∂w ( + ) 2 ∂z ∂x 1 ∂v ∂w ( + ) 2 ∂z ∂y ∂w ∂z
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如果有两个矢量，变形前分别平行于 ），i,j 如果有两个矢量，变形前分别平行于Ox,Oy轴（图3-3）， 轴 ）， 分别为Ox,Oy方向的单位矢量，则 方向的单位矢量， 分别为 方向的单位矢量
S1′ = i (δS1x + S1 ) + jδS1 y 变形后 ′ = iδS 2 x + j (δS 2 y + S 2 ) S2
1 ∂u ∂v 0 0 ( − ) 0 2 ∂y ∂x 1 ∂v ∂u 0 0 0 wi , j = 2 ( ∂ x − ∂ y ) 0 0 0 0
ε i, j 即应变张量，wi , j 即转动变量。 即应变张量， 即转动变量。
′ ′ δS x = S x − S x = ( x ′ − x) − ( x0 − x0 ) ′ δS y = S ′ − S x = ( y ′ − y ) − ( y 0 − x0 ) y
11
于是有 δS = ∂u S + ∂u S x x y ∂x ∂y
简写为
∂v ∂v δS y = S x + S y ∂x ∂y
v+
∂v dy ∂y
u+
∂u dy ∂y
∂u β= 同理可得线段PB的转角： ∂y ∂v ∂u γ xy = α + β = + 所以 ∂x ∂y
4
因此得到平面问题 的几何方程：
∂u ε x = ∂x ∂v ε y = ∂y ∂v ∂u + γ xy = ∂x ∂y
由几何方程可见，当物体的位移 分量完全确定时，形变分量即可完全 确定。反之，当形变分量完全确定时， 位移分量却不能完全确定。
由 s x , s y 的任意性
∂u ∂v = =0 ∂x ∂y
∂u ∂v + =0 ∂y ∂x
同样的，当在 平面和Oxz平面 同样的，当在Oyz平面和 平面和 平面 讨论时，可得出另外三个条件： 讨论时，可得出另外三个条件：
∂w ∂u ∂w ∂w ∂v =0 + = + =0 ∂z ∂z ∂x ∂y ∂z
S i δS i = 0
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注意到： 注意到： δS i
= ui, j S j
S iδS iux , x S x + S x ux , y S y + S y u y , x S x + S y u y , y S y = 0
∂u 2 ∂u ∂v ∂v 2 S x + ( + )S x S y + S y = 0 ∂x ∂y ∂x ∂y
2 ∂ 2γ xy ∂ 2ε x ∂ ε y ∂ 3u ∂ 3v ∂ 2 ∂u ∂v + = + 2 = ( + )= 2 2 2 ∂y ∂x ∂x∂y ∂y∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂x∂y
2 2 ∂ 2ε x ∂ ε y ∂ γ xy + 2 = 2 ∂y ∂x ∂x∂y
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∂ εx + 2 = 2 ∂y ∂x ∂x∂y
u = u ( x, y , z ) v = v ( x, y , z ) w = w( x, y , z )
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设在Oxy平面内为变形前物体中相邻的两点 P0 ( x0 , y0 ) 和 平面内为变形前物体中相邻的两点 设在
P( x, y ) ，两点间线段为
P0 P
为沿坐标轴的分量
P0 P
用矢量 S 表示
例如:ε x = 0,ε y = 0,γ xy = cxy ∂u ∂v = 0; = 0 ⇒ u = f1 (y),v = f 2 (x) ∂x ∂y ∂u ∂v ⇒ + ≠ cxy ∂y ∂x
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变形与应变的概念
在外力作用下，物体各点的位置要发生变化， 在外力作用下，物体各点的位置要发生变化，即 发生位移。 发生位移。 如果物体各点发生位移后仍保持各点间初始状态 的相对位置，则物体实际上只产生了刚体移动和转 的相对位置， 称这种位移为刚体位移。 动，称这种位移为刚体位移。 如果物体各点发生位移变形后改变了各点间初始 状态的相对位置， 状态的相对位置，则物体就同时也产生了形状的变 称为该物体产生变形。 化，称为该物体产生变形。
∂u ∂y ∂v ∂y ∂w ∂y
∂u ∂z ∂v ∂z ∂w ∂z
称为相对位移 称为相对位移 张量。 张量。一般的 说，它是不对 称的。 称的。
在三维情况下， 在三维情况下，i,j=x,y,z,此时 此时
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S移至 有刚体位移发生。但这种刚体移动并不引起物体的 移至S′有刚体位移发生 移至 有刚体位移发生。 变形，在应变分析中不需考虑， 变形，在应变分析中不需考虑，故应从以上的公式中消去表 示刚体位移的一部分位移。为此，我们设想S经刚体位移移 示刚体位移的一部分位移。为此，我们设想 经刚体位移移 的位置。 至S′的位置。此时，因长度没有变化，故有 的位置 此时，因长度没有变化，