第2章 短时傅立叶变换

48第2章 短时傅立叶变换2．1连续信号的短时傅立叶变换我们在1.1节中已指出，由于在实际工作中所遇到的信号往往是时变的，即信号的频率在随时间变化，而传统的傅立叶变换，由于其基函数是复正弦，缺少时域定位的功能，因此傅立叶变换不适用于时变信号。

信号分析和处理的一个重要任务，一方面是要了解信号所包含的频谱信息，另一方面还希望知道不同频率所出现的时间。

早在1946年，Gabor 就提出了短时傅立叶变换（Short Time Fourier Transform ，STFT ）的概念，用以测量声音信号的频率定位[64]。

给定一信号)()(2R L t x ∈，其STFT 定义为>-=<-==ΩΩΩ-Ω⎰⎰ττττττττττj j t x et g x d et g x d g x t STFT )(),()()()()(),(**, （2.1.1）式中τττΩΩ-=j t et g g )()(,（2.1.2） 及1||)(||=τg ，1||)(||,=Ωτt g并且窗函数)(τg 应取对称函数。

STFT 的含义可解释如下：在时域用窗函数)(τg 去截)(τx （注：将)(t x ，)(t g 的时间变量换成τ），对截下来的局部信号作傅立叶变换，即得在t 时刻得该段信号得傅立叶变换。

不断地移动t ，也即不断地移动窗函数)(τg 的中心位置，即可得到不同时刻的傅立叶变换。

这些傅立叶变换的集合，即是),(Ωt STFT x ，如图2.1.1所示。

显然，),(Ωt STFT x 是变量),(Ωt 的二维函数。

由于)(τg 是窗函数，因此它在时域应是有限支撑的，又由于τΩj e在频域是线谱，所以STFT 的基函数ττΩ-j et g )(在时域和频域都应是有限支撑的。

这样，（2.1.1）式内积的结果即可实现对)(t x 进行时－频定位的功能。

当然，我们自然要关心这一变换时域及频域的分辨49率。

对（2.1.2）式两边作傅立叶变换，有 ⎰-ΩΩ-=ττυυττd e e t g G j j t )()(,⎰''='Ω--Ω--t d e t g et j tj )()()(υυ t j e G )()(Ω--Ω-=υυ （2.1.3）式中υ是和Ω等效的频率变量。

图2.1.1 STFT 示意图由于υυυυυτυππd eG X G X g t x tj t t )(*21,21,)()()(),()(),(Ω-∞∞-ΩΩΩ-=><>=<⎰(2.1.4)所以 ⎰∞∞-Ω-Ω-=Ωυυυυπd e G X et STFT t j t j x )()(),(*21（2.1.5）该式指出，对)(τx 在时域加窗)(t g -τ，引导出在频域对)(υX 加窗)(Ω-υG 。

由（1.3）节及图2.1.1可以看出，基函数)(,τΩt g 的时间中心t =0τ（注意，t 是移位变Ω50量），其时宽⎰⎰=-=∆Ωτττττττd g d g t t 222,22|)(||)(|)(（2.1.6）即)(,τΩt g 的时间中心由t 决定，但时宽和t 无关。

同理，)(,υΩt G 的频率中心Ω=0υ，而带宽⎰⎰∞∞-Ω=Ω-=∆υυυυυυππυd G d G t 22212,2212|)(||)(|)( （2.1.7）也和中心频率Ω无关。

这样，STFT 的基函数)(,τΩt g 具有时－频平面上的一个如下的分辨“细胞”：其中心在),(Ωt 处，其大小为υτ∆⋅∆，不管Ω,t 取何值（即移到何处），该“细胞”的面积始终保持不变。

该面积的大小即是STFT 的时－频分辨率。

如图2.1.2所示。

图2.1.2 STFT 的时－频分辨率当我们对信号作时－频分析时，一般，对快变的信号，我们希望它有好的时间分辨率以观察其快变部分（如尖脉冲等），即观察的时间宽度t ∆要小，受时宽－带宽积的影响，这样，对该信号频域的分辨率必定要下降。

由于快变信号对应的是高频信号，因此对这一类信号，我们希望有好的时间分辨率，但同时就要降低高频的分辨率。

反之，对慢变信号，由于它对应的是低频信号，所以我们希望在低频处有好的频率分辨率，但不可避免的要降低时域的分辨率。

因此，我们希望所采取的时－频分析算法能自动适应这一要求。

显然，由于STFT 的υτ∆∆,不随Ω,t 变化而变化，因而不具备这一自动调节能力。

我们在后面要讨论的小波变换则具备这一能力。

现在，我们举例来讨论STFT 的时－频分辨率和窗函数的关系及STFT 的应用。

Ω2Ω151例2.1.1 令)()(0ττδτ-=x ，可以求出其0)()()(),(00ττττττδΩ-Ω--=--=Ω⎰j j x e t g e t g t S T F T（2.1.7）该例说明，STFT 的时间分辨率由窗函数)(τg 的宽度而决定。

例2.1.2 若ττ0)(Ω=j e x ，则t j j j x e G d e t g e t S T F T)(000)()(),(Ω-Ω-Ω-ΩΩ-Ω=-=Ω⎰ττττ（2.1.8）这样，STFT 的频率分辨率由)(τg 频谱的宽度来决定。

这两个例子给出的是极端的情况，即)(t x 分别是时域的δ函数和频域的δ函数。

)(t x 为其他信号时的情况也是如此。

显然，当利用STFT 时，若我们希望能得到好的时－频分辨率，或好的时－频定位，应选取时宽、带宽都比较窄的窗函数)(τg ，遗憾的是，由于受不定原理的限制，我们无法做到使υτ∆∆,同时为最小。

为说明这一点，我们再看两个极端的情况：例2.1.3 若1)(=τg ，τ∀，则)()(Ω=ΩδG ，这样，)(),(Ω=ΩX t STFT x 。

这时，STFT 减为简单的FT ，这将给不出任何的时间定位信息。

其实，由于)(τg 为无限宽的矩形窗，故等于没有对信号作截短。

图 2.1.3给出的是在1)(=τg ，τ∀的情况下所求出的一高斯幅度调制的chirp 信号的STFT ，上面是时域波形，其中心在70=t 处，时宽约为15，左边是其频谱，右下是其STFT ，可见此时的STFT 无任何时域定位功能。

52图2.1.3 窗函数无限宽时STFT 缺少时域定位功能例2.1.4 令)()(τδτ=g ，则tj x et x t STFT Ω-=Ω)(),( 这时可实现时域的准确定位，即),(Ωt STFT x 的时间中心即是)(t x 的时间中心，但无法实现频域的定位功能。

如图2.1.4所示，该图的时域信号类似例2.1.3，但时域中心移到30=t 处，相应的，由于作为调制信号的chirp 信号的频率较低，所以)(t x 的包络较例2.1.3要慢。

图2.1.4窗函数无限窄时STFT 缺少频域定位功能例2.1.5 设)(t x 由两个类似于例2.1.3的信号迭加而成，这两个信号一个时间中心在501=t 处，时宽321=∆t ，另一个时间中心在902=t 处，时宽也是32，调制信号的归一化频率都是0.25，如图2.1.5的上部。

在时－频分布中，类似于例2.1.4及例2.1.5的信号 往往都称为一个“时频原子（atom ）”，在该例的)(t x 中，包含了两个时频原子信号。

选择)(τg 为Hanning 窗，取窗的宽度为55，其STFT 如图2.1.5a 所示，这时频率定位是准确的，而在时间上分不出这两个“原子”信号的时间中心，我们将窗函数的宽度减为13，所得STFT 如图2.1.5b 所示，这时，在时间上也实现了两个中心的定位。

以上几例说明了窗函数宽度的选择对时间－频率分辨率的影响。

总之，由于受不定原理的制约，我们对时间分辨率和频率分辨率只能取一个折中，一个提高了，另一个就必然要降低，反之亦然。

53图2.1.5 窗函数宽度对时－频分辨率的影响， （a ）窗函数宽度为55，（b ）窗函数宽度为13对（2.1.1）式两边也取幅平方，有),(|)()(||),(|22Ω=-=Ω⎰Ω-t S d e t g x t STFT x j x ττττ （2.1.9）式中),(Ωt S x 称为)(t x 的“谱图（spectrogram ）”。

显然，谱图是恒正的，且是实的。

由于1||)(||=τg ，所以，由（2.1.9）式可得x xE dtd t S=ΩΩ⎰⎰),(（2.1.10）即谱图是信号能量的分布。

54我们在例1.1.1中已给出了STFT 的一个典型例子，当然，它也是谱图的一个典型例子。

三个不同频率的正弦信号依次相接，普通的FT 只能给出三根谱线，而STFT 可给出其频率随时间的分布，如图 1.1.1(a)～(c)所示。

将图(c)画成立体图，其高度即是信号能量随时间、频率的分布。

例2.1.6 令2)(t j e t x α=为一chirp 信号，22412)()(1σπσt et g -=为一高斯窗，式中σα,都是常数，可以求出，)(t x 的谱图是：)exp()(|),(|),(422242241)2(4142σαασσαπσ+-Ω+-=Ω=Ωt x x t STFT t S （2.1.11）其形状类似于图1.1.2(c)。

显然，当t α2=Ω时，),(Ωt S x 取最大值。

所以，),(Ωt S x 集中在t α2=Ω的斜线上，也即)(t x 的能量主要分布在这一斜线上。

由于)()(t j e t x ϕ=，而2)(t t αϕ=，所以t t αϕ2)(='，这就是)(t x 的瞬时频率。

也即)(t x 的能量主要分布在其瞬时频率的“轨迹”上。

请读者自行证明，STFT 和谱图有如下性质[8,13]：1． 若tj et x t y 0)()(Ω=，则),(),(0Ω-Ω=Ωt STFT t STFT x y（2.1.12a ） ),(),(0Ω-Ω=Ωt S t S x y（2.1.12b ）2． 若)()(0t t x t y -=，则0),(),(0t j x y e t t STFT t STFT ΩΩ-=Ω（2.1.13a ） ),(),(0Ω-=Ωt t S t S x y（2.1.13b ）观察（2.1.1）和（2.1.9）式可以发现，),(Ωt STFT x 是)(t x 的线性函数，而在（2.1.9）式的积分号中，信号)(t x 将会出现两次（相乘），因此（2.1.9）式称为信号的“双线性”或“二次”时－频分布，它是一种能量分布。

我们在后面两章中讨论的时－频分布都是属于这一类分布，它们又统称为Cohen 类。

552.2 短时傅立叶反变换如同傅立叶变换一样，我们总是希望能由变换域重建出原信号，对STFT 亦如此。

不过。

STFT 的反变换有着不同的表示形式，现分别给以介绍。