2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第13课时)知识过关检测 理 新人教A版
高考数学大一轮复习 第二章 基本初等函数、导数及其应用 第13课时 导数的应用与定积分课件 理 北师
审题视点 (1)求导后列表判断求解． (2)利用单调性作出判断，列不等式组求解． (3)对 t 分类讨论求区间[－3，－1]上的最小值．
解 (1)f′(x)＝x2＋(1－a)x－a＝(x＋1)(x－a)． 由 f′(x)＝0，得 x1＝－1，x2＝a＞0. 当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1，a) a (a，＋∞)
f′(x)ຫໍສະໝຸດ ＋0－0
＋
f(x)
极大值
极小值
故函数 f(x)的单调递增区间是(－∞，－1)，(a，＋∞)；单调 递减区间是(－1，a)．
(2)由(1)知 f(x)在区间(－2，－1)内单调递增，在区间(－1,0) 内单调递减，从而函数 f(x)在区间(－2,0)内恰有两个零点当且仅当
5．某商品一件的成本为30元，在某段时间内，若以每件x元 出售，可卖出(200－x)件，当每件商品的定价为________元时， 利润最大．
解析：利润为S(x)＝(x－30)(200－x)＝－x2＋230x－6 000， S′(x)＝－2x＋230，由S′(x)＝0得x＝115，这时利润达到最大．
，这个结论叫作微积
分基本定理，为了方便，我们常把F(b)－F(a)记成 F(x)|ab ，
即bf(x)dx＝F(x)|ab＝F(b)－F(a)． a
5．定积分的几何意义
(1)当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分
b
f(x)dx的几何
a
意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边
(3)设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a， b]上的最大值和最小值的步骤如下：
2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第7课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第2章《基本初等函数、导数及其应用》（第7课时）（新人教A 版）一、选择题1．(2012·高考安徽卷)(log 29)·(log 34)＝( ) A.14 B.12 C ．2 D ．4解析：选D.(log 29)·(log 34)＝lg9lg2×lg4lg3＝2lg3lg2×2lg2lg3＝4.2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x(a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2x B.12xC ．log 12x D ．x 2解析：选C.由题意知f (x )＝log a x ，∴a ＝log a a 12＝12，∴f (x )＝log 12x ，故选C.3．设2a ＝5b＝m ，且1a ＋1b＝2，则m ＝( )A.10 B ．10 C ．20 D ．100解析：选A.由2a ＝5b＝m 得a ＝log 2m ，b ＝log 5m ， ∴1a ＋1b ＝log m 2＋log m 5＝log m 10.∵1a ＋1b＝2，∴log m 10＝2，∴m 2＝10，m ＝10.4．(2011·高考重庆卷)设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a <b <cB ．c <b <aC ．b <a <cD ．b <c <a解析：选B.c ＝log 343＝log 1334，又12<23<34且函数f ()x ＝log 13x 在其定义域上为减函数，所以log 1312>log 1323>log 1334，即a >b >c .5．(2012·高考课标全国卷)当0＜x ≤12时，4x＜log a x ，则a 的取值范围是( )A ．(0，22) B ．(22，1) C ．(1，2) D ．(2，2)解析：选B.构造函数f (x )＝4x和g (x )＝log a x ，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的草图(图略)，可知，若g (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则a ＝22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1 二、填空题6．已知f (x )＝|log 2x |，则f (38)＋f (32)＝________.解析：f (38)＋f (32)＝|log 238|＋|log 232|＝3－log 23＋log 23－1＝2.答案：27．(2012·高考北京卷)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________.解析： 由f (ab )＝1得ab ＝10，于是f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝2(lg a ＋lg b )＝2lg(ab )＝2lg10＝2.答案：28．函数y ＝(log 14x )2－log 12x ＋5在区间[2,4]上的最小值是________．解析：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12log 12x 2－12log 12x ＋5.令t ＝12log 12x (2≤x ≤4)，则－1≤t ≤－12且y ＝t 2－t ＋5，∴当t ＝－12时，y min ＝14＋12＋5＝234.答案：234三、解答题9．设f (x )＝lg 1＋2x ＋4xa3，其中a ∈R ，如果当x ∈(－∞，1]时，f (x )有意义，求a 的取值范围．解：当x ∈(－∞，1]，f (x )有意义，即等价于x ∈(－∞，1]时，1＋2x ＋4xa3＞0成立．将不等式变形，分离出a ＞－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x .① 原命题等价于x ∈(－∞，1]时， 求使①式成立的a 的取值范围．令y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，在x ∈(－∞，1]时， 只需a ＞y max ，为此需求y max .而y ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14x ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 在x ∈(－∞，1]上是增函数． 故当x ＝1时，有y max ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋12＝－34. 因此取a ＞－34，即a 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－34，＋∞. 10．(2013·深圳调研)已知函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x.(1)判断函数的奇偶性；(2)若y ＝f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，求a 的取值范围．解：(1)函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x的定义域为R .又f (－x )＝log 12(a 2－3a ＋3)－x＝－log 12(a 2－3a ＋3)x＝－f (x )，所以函数f (x )是奇函数．(2)函数f (x )＝log 12(a 2－3a ＋3)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，则y ＝(a 2－3a ＋3)x在 (－∞，＋∞)上为增函数，由指数函数的单调性，有a 2－3a ＋3＞1， 解得a ＜1或a ＞2.所以a 的取值范围是(－∞，1)∪(2，＋∞)．一、选择题 1．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( )A ．f (13)<f (2)<f (12)B ．f (12)<f (2)<f (13)C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13)解析：选C.由f (2－x )＝f (x )，得x ＝1是函数f (x )的一条对称轴，又x ≥1时，f (x )＝ln x 单调递增，∴x <1时，函数单调递减．∴f (12)<f (13)<f (2)．2．(2013·抚顺检测)若函数f (x )＝(k －1)·a x －a －x(a ＞0且a ≠1)在R 上既是奇函数，又是减函数，则g (x )＝log a (x ＋k )的图象是( )解析：选A.由函数f (x )＝(k －1)a x－a －x(a ＞0且a ≠1)在R 上是奇函数知f (0)＝0，∴k ＝2.f (x )＝a x －a －x (a ＞0且a ≠1)，又是R 上的减函数， ∴0＜a ＜1.g (x )＝log a (x ＋2)的定义域为(－2，＋∞)，因为0＜a ＜1，故g (x )＝log a (x ＋2)为(－2，＋∞)上的减函数，且恒过定点(－1,0)，故选A.二、填空题3．若函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a ＞0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12内恒有f (x )＞0，则f (x )的单调递增区间是________．解析：定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12∪(0，＋∞)，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，2x 2＋x ∈(0,1)，因为a ＞0，a ≠1，设u ＝2x 2＋x ＞0，y ＝log a u 在(0,1)上大于0恒成立，∴0＜a ＜1，所以函数f (x )＝log a (2x 2＋x )(a ＞0，a ≠1)的单调递增区间是u ＝2x 2＋x ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈－∞，－12∪()0，＋∞的递减区间，即 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－12. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－12 4．(2011·高考山东卷)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.解析：∵2＜a ＜3，∴f (x )＝log a x ＋x －b 为定义域上的严格单调函数．f (2)＝log a 2＋2－b ，f (3)＝log a 3＋3－b .∵2＜a ＜3＜b ，∴lg2＜lg a ＜lg3， ∴lg2lg3＜lg2lg a＜1. 又∵b ＞3，∴－b ＜－3，∴2－b ＜－1， ∴log a 2＋2－b ＜0，即f (2)＜0.∵1＜lg3lg a ＜lg3lg2，3＜b ＜4，∴－1＜3－b ＜0，∴log a 3＋3－b ＞0，∴f (3)＞0， 即f (2)·f (3)＜0.由x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *知，n ＝2. 答案：2 三、解答题 5．(2013·北京东城1月检测)已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )，a ＞0且a ≠1. (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性并予以证明；(3)若a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的解集． 解：(1)f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )， 则{ x ＋1＞0，－x ＞0，解得－1＜x ＜1. 故所求函数f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}． (2)由(1)知f (x )的定义域为{x |－1＜x ＜1}， 且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x ) ＝－[log a (x ＋1)－log a (1－x )]＝－f (x )， 故f (x )为奇函数．(3)因为当a ＞1时，f (x )在定义域(－1,1)内是增函数，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x＞1.解得0＜x＜1.所以使f (x )＞0的x 的解集是{x |0＜x ＜1}．。
高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第2章《基本初等函数、导数及其应用》（第10课时）（新人教A版）一、选择题1．若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )A．－1 B．－2C．2 D．0解析：选B.由题意知f′(x)＝4ax3＋2bx，若f′(1)＝2，即f′(1)＝4a＋2b＝2，从题中可知f′(x)为奇函数，故f′(－1)＝－f′(1)＝－4a－2b＝－2，故选B.2．已知点P在曲线f(x)＝x4－x上，曲线在点P处的切线平行于直线3x－y＝0，则点P的坐标为( )A．(0,0) B．(1,1)C．(0,1) D．(1,0)解析：选D.由题意知，函数f(x)＝x4－x在点P处的切线的斜率等于3，即f′(x0)＝4x30－1＝3，∴x0＝1，将其代入f(x)中可得P(1,0)．3．(2011·高考江西卷)曲线y＝e x在点A(0,1)处的切线斜率为( )A．1 B．2C．e D.1 e解析：选A.∵y′＝e x，故所求切线斜率k＝e x|x＝0＝e0＝1.4．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，则f2013(x)等于( )A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos x解析：选C.∵f n(x)＝f n＋4(x)，故f2012(x)＝f0(x)＝sin x，∴f2013(x)＝f′2012(x)＝cos x.5．(2013·济南质检)若函数f(x)＝e x cos x，则此函数图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( )A．0 B．锐角C．直角D．钝角解析：选D.由已知得：f′(x)＝e x cos x－e x sin x＝e x(cos x－sin x)．∴f′(1)＝e(cos1－sin1)．∵π2>1>π4，而由正、余弦函数性质可得cos1<sin1，∴f′(1)<0.即f(x)在(1，f(1))处的切线的斜率k<0.∴切线的倾斜角是钝角．二、填空题6．(2011·高考重庆卷改编)曲线y＝－x3＋3x2在点()1，2处的切线方程为________．答案：y＝3x－17．(2013·黄石质检)已知f(x)＝x ln x，若f′(x0)＝2，则x0＝________.解析：f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，由f′(x0)＝2，即ln x0＋1＝2，解得x0＝e.答案：e8．下列图象中，有一个是函数f (x )＝13x 3＋ax 2＋(a 2－1)x ＋1(a ∈R ，a ≠0)的导函数f ′(x )的图象，则f (－1)＝________.解析：∵f ′(x )＝x 2＋2ax ＋a 2－1， ∴导函数f ′(x )的图象开口向上． 又∵a ≠0，其图象必为第三张图．由图象特征知f ′(0)＝a 2－1＝0，且－a >0，∴a ＝－1.故f (－1)＝－13－1＋1＝－13.答案：－13三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y ＝(1－x )(1＋1x)；(2)y ＝ln xx；(3)y ＝tan x ；(4)y ＝(1＋sin x )2.解：(1)∵y ＝(1－x )(1＋1x )＝1x －x ＝x －12－x 12，∴y ′＝(x －12)′－(x 12)′＝－12x －32－12x －12.(2)y ′＝(ln x x )′＝ln x ′x －x ′ln x x 2＝1x ·x －ln xx 2＝1－ln xx2. (3)y ′＝(sin x cos x )′＝sin x ′cos x －sin x cos x ′cos 2x＝cos x cos x －sin x －sin x cos 2x ＝1cos 2x. (4)y ′＝[(1＋sin x )2]′ ＝2(1＋sin x )·(1＋sin x )′ ＝2(1＋sin x )·cos x ＝2cos x ＋sin2x .10．已知曲线y ＝13x 3＋43.(1)求曲线在点P (2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P (2,4)的切线方程； (3)求斜率为1的曲线的切线方程．解：(1)∵P (2,4)在曲线y ＝13x 3＋43上，且y ′＝x 2，∴在点P (2,4)处的切线的斜率为k 1＝4.∴曲线在点P (2,4)处的切线方程为y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0.(2)设曲线y ＝13x 3＋43与过点P (2,4)的切线相切于点A ⎝⎛⎭⎪⎫x 0，13x 30＋43， 则切线的斜率为k 2＝x 20.∴切线方程为y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 30＋43＝x 20(x －x 0)，即y ＝x 20·x －23x 30＋43.∵点P (2,4)在切线上，∴4＝2x 20－23x 30＋43，即x 30－3x 20＋4＝0，∴x 30＋x 20－4x 20＋4＝0， ∴x 20(x 0＋1)－4(x 0＋1)(x 0－1)＝0，∴(x 0＋1)(x 0－2)2＝0， 解得x 0＝－1或x 0＝2，故所求的切线方程为4x －y －4＝0或x －y ＋2＝0. (3)设切点为(x 0，y 0)，则切线的斜率为： x 20＝1，x 0＝±1.切点为(－1,1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫1，53， ∴切线方程为y －1＝x ＋1或y －53＝x －1，即x －y ＋2＝0或3x －3y ＋2＝0.一、选择题1．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x )′＝3x log 3e ；②(log 2x )′＝1x ·ln2；③(e x )′＝e x；④(1ln x )′＝x ；⑤(x ·e x )′＝e x＋1. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4解析：选B.求导运算正确的有②③2个，故选B.2．已知点P 在曲线y ＝4e x ＋1上，α为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则α的取值范围是( )A ．[0，π4)B ．[π4，π2)C ．(π2，3π4]D ．[3π4，π)解析：选D.∵y ＝4e x ＋1，∴y ′＝－4exe x ＋12.令e x ＋1＝t ，则e x＝t －1且t >1，∴y ′＝－4t ＋4t 2＝4t 2－4t. 再令1t＝m ，则0<m <1，∴y ′＝4m 2－4m ＝4(m －12)2－1，m ∈(0,1)．容易求得－1≤y ′<0，∴－1≤tan α<0，得34π≤α<π.二、填空题3．(2013·苏州十校联考)已知函数f (x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2sin x ＋cos x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝________.解析：由已知：f ′(x )＝f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2cos x －sin x .则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，因此f (x )＝－sin x ＋cos x ，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0. 答案：04．等比数列{a n }中，a 1＝2，a 8＝4，函数f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，则f ′(0)＝________.解析：∵{a n }是等比数列，且a 1＝2，a 8＝4，∴a 1·a 2·a 3·…·a 8＝(a 1·a 8)4＝84＝212. ∵f (x )＝x (x －a 1)(x －a 2)…(x －a 8)，∴f ′(0)等于f (x )中x 的一次项的系数．∴f ′(0)＝a 1·a 2·a 3·…·a 8＝212.答案：212三、解答题 5.(2013·营口质检)如右图所示，已知A (－1,2)为抛物线C ：y ＝2x 2上的点，直线l 1过点A ，且与抛物线C 相切，直线l 2：x ＝a (a ＜－1)交抛物线C 于点B ，交直线l 1于点D .(1)求直线l 1的方程； (2)求△ABD 的面积S 1.解：(1)由条件知点A (－1,2)为直线l 1与抛物线C 的切点， ∵y ′＝4x ，∴直线l 1的斜率k ＝－4， 所以直线l 1的方程为y －2＝－4(x ＋1)， 即4x ＋y ＋2＝0.(2)点A 的坐标为(－1,2)，由条件可求得点B 的坐标为(a,2a 2)， 点D 的坐标为(a ，－4a －2)， ∴△ABD 的面积为S 1＝12×|2a 2－(－4a －2)|×|－1－a |＝|(a ＋1)3|＝－(a ＋1)3.。
2014届高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用》(第12课时)知识过关检测 理 新人教A版
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第2章《基本初等函数、导数及其应用》（第12课时）（新人教A 版）一、选择题1．函数f (x )＝x 3－3ax －a 在(0,1)内有最小值，则a 的取值范围为( ) A ．0≤a <1 B ．0<a <1C ．－1<a <1D ．0<a <12解析：选B.∵y ′＝3x 2－3a ，令y ′＝0，可得：a ＝x 2. 又∵x ∈(0,1)，∴0<a <1.故选B.2．(2013·威海调研)函数y ＝4xx 2＋1( )A ．有最大值2，无最小值B ．无最大值，有最小值－2C ．有最大值2，有最小值－2D ．无最值解析：选C.∵y ′＝x 2＋－4x ·2x x ＋＝－4x 2＋4x ＋.令y ′＝0，得x ＝1或－1，f (－1)＝－42＝－2，f (1)＝2.结合图象故选C.3．已知函数f (x )＝2x 3－6x 2＋m (m 为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是( )A ．－37B ．－29C ．－5D ．以上都不对解析：选A.f ′(x )＝6x (x －2)，∴f (x )在(－2,0)上为增函数，在(0,2)上为减函数，∴当x ＝0时，f (0)＝m 最大，∴m ＝3，而f (－2)＝－37，f (2)＝－5，∴f (x )min ＝－37.4．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ln x ，若函数f (x )在(0,1)上单调，则实数a 的取值范围是( )A ．a ≥0B ．a <－4C ．a ≥0或a ≤－4D ．a >0或a <－4解析：选C.∵f ′(x )＝2x ＋2＋a x，f (x )在(0,1)上单调，∴f ′(x )≥0或f ′(x )≤0在(0,1)上恒成立，即2x 2＋2x ＋a ≥0或2x 2＋2x ＋a ≤0在(0,1)上恒成立，所以a ≥－(2x 2＋2x )或a ≤－(2x 2＋2x )在(0,1)上恒成立．记g (x )＝－(2x 2＋2x )，0<x <1，可知－4<g (x )<0， ∴a ≥0或a ≤－4，故选C.5．(2011·高考湖南卷)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为( )A ．1 B.12C.52D.22解析：选D.由题意|MN |＝t 2－ln t (t ＞0)，不妨令h (t )＝t 2－ln t ，则h ′(t )＝2t －1t，令h ′(t )＝0，解得t ＝22，因为t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22时，h ′(t )＜0，当t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫22，＋∞时，h ′(t )＞0，所以当t ＝22时，|MN |达到最小． 二、填空题6．已知f (x )＝－x 2＋mx ＋1在区间[－2，－1]上的最大值就是函数f (x )的极大值，则m 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝m －2x ，令f ′(x )＝0，则x ＝m 2，由题设得m2∈[－2，－1]，故m ∈[－4，－2]．答案：[－4，－2]7．函数y ＝sin2x －x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π2，π2的最大值是________，最小值是________． 解析：∵y ′＝2cos2x －1＝0，∴x ＝±π6.而f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－32＋π6，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝32－π6，端点f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝π2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－π2，所以y 的最大值是π2，最小值是－π2.答案：π2 －π28．某工厂生产某种产品，已知该产品的月产量x (吨)与每吨产品的价格P (元/吨)之间的函数关系为P ＝24200－15x 2，且生产x 吨的成本为R ＝50000＋200x (元)．则该厂每月生产________吨该产品才能使利润达到最大，最大利润是________万元．(利润＝收入－成本)解析：每月生产x 吨时的利润为f (x )＝(24200－15x 2)x －(50000＋200x )＝－15x 3＋24000x －50000(x ≥0)．由f ′(x )＝－35x 2＋24000＝0，解得x 1＝200，x 2＝－200(舍去)．因f (x )在[0，＋∞)内只有一个极值点x ＝200使f ′(x )＝0，故它就是最大值点，且最大值为f (200)＝－15×2003＋24000×200－50000＝3150000(元)．所以每月生产200吨产品时的利润达到最大，最大利润为315万元． 答案：200 315 三、解答题9．(2011·高考北京卷)已知函数f (x )＝(x －k )e x. (1)求f (x )的单调区间；(2)求f (x )在区间[0,1]上的最小值．解：(1)f ′(x )＝(x －k ＋1)e x. 令f ′(x )＝0，得x ＝k －1.f (x )与↘ ↗所以，f (2)当k －1≤0，即k ≤1时，函数f (x )在[0,1]上单调递增， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (0)＝－k ； 当0<k －1<1，即1<k <2时，由(1)知f (x )在[0，k －1)上单调递减，在(k －1,1]上单调递增，所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (k －1)＝－e k －1；当k －1≥1，即k ≥2时，函数f (x )在[0,1]上单调递减， 所以f (x )在区间[0,1]上的最小值为f (1)＝(1－k )e.10．(2011·高考江苏卷)请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD 是边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A ，B ，C ，D 四个点重合于图中的点P ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E ，F 在AB 上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE ＝FB ＝x (cm)．(1)某广告商要求包装盒的侧面积S (cm 2)最大，试问x 应取何值？(2)某厂商要求包装盒的容积V (cm 3)最大，试问x 应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．解：设包装盒的高为h cm ，底面边长为a cm.由已知得a ＝2x ，h ＝60－2x2＝2(30－x )，0<x <30.(1)S ＝4ah ＝8x (30－x )＝－8(x －15)2＋1800， 所以当x ＝15时，S 取得最大值．(2)V ＝a 2h ＝22(－x 3＋30x 2)，V ′＝62x (20－x )． 由V ′＝0，得x ＝0(舍)或x ＝20.当x ∈(0,20)时，V ′>0；当x ∈(20,30)时，V ′<0， 所以当x ＝20时，V 取得极大值，也是最大值．此时h a ＝12.即包装盒的高与底面边长的比值为12.一、选择题1．某公司生产某种产品，固定成本为20000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧400x －12x 2 x ≤480000 x ＞，则总利润最大时，每年生产的产品是( )A ．100B ．150C ．200D ．300 解析：选D.由题意得，总成本函数为 C ＝C (x )＝20000＋100x ，所以总利润函数为P ＝P (x )＝R (x )－C (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300x －x 22－20000 x 60000－100xx ＞，而P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x x ，－100 x ＞，令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，P 最大．2．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，x ∈[－2,2]表示的曲线过原点，且在x ＝±1处的切线斜率均为－1，给出以下结论：①f (x )的解析式为f (x )＝x 3－4x ，x ∈[－2,2]； ②f (x )的极值点有且仅有一个；③f (x )的最大值与最小值之和等于0. 其中正确的结论有( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 解析：选C.∵f (0)＝0，∴c ＝0，∵f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . ∴⎩⎪⎨⎪⎧ f ＝－1f －＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝－13－2a ＋b ＝－1. 解得a ＝0，b ＝－4，∴f (x )＝x 3－4x ，∴f ′(x )＝3x 2－4.令f ′(x )＝0，得x ＝±233∈[－2,2]，∴极值点有两个．∵f (x )为奇函数，∴f (x )max ＋f (x )min ＝0. ∴①③正确，故选C. 二、填空题3．(2013·嘉兴质检)不等式ln(1＋x )－14x 2≤M 恒成立，则M 的最小值是________．解析：设f (x )＝ln(1＋x )－14x 2，则f ′(x )＝[ln(1＋x )－14x 2]′＝11＋x －12x ＝－x ＋x －＋x， ∵函数f (x )的定义域需满足1＋x ＞0，即x ∈(－1，＋∞)． 令f ′(x )＝0得x ＝1，当x ＞1时，f ′(x )＜0，当－1＜x ＜1时，f ′(x )＞0，∴函数f (x )在x ＝1处取得最大值f (1)＝ln2－14.∴要使ln(1＋x )－14x 2≤M 恒成立，∴M ≥ln2－14，即M 的最小值为ln2－14.答案：ln2－144．将边长为1 m 的正三角形薄铁片，沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记s ＝梯形的周长2梯形的面积，则s 的最小值是________．解析：设剪成的小正三角形的边长为x ，则梯形的周长为3－x ，梯形的面积为12·(x ＋1)·32·(1－x )，所以s ＝－x212x ＋32－x＝43·－x21－x 2(0＜x ＜1)． 由s (x )＝43·－x21－x 2，得 s ′(x )＝43·x －－x 2－－x2－2x－x 22＝43·－x －x －－x 22. 令s ′(x )＝0，且0＜x ＜1，解得x ＝13.当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，13时，s ′(x )＜0；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1时，s ′(x )＞0. 故当x ＝13时，s 取最小值3233.答案：3233三、解答题5．(2013·大同调研)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2＋bx (a 、b 为常数，g (x )＝f (x )＋f ′(x )是奇函数．(1)求f (x )的表达式；(2)讨论g (x )的单调性，并求g (x )在区间[1,2]上的最大值、最小值．解：(1)∵f ′(x )＝3ax 2＋2x ＋b ，∴g (x )＝f (x )＋f ′(x )＝ax 3＋(3a ＋1)x 2＋(b ＋2)x ＋b . ∵g (x )为奇函数，∴g (－x )＝－g (x )，∴⎩⎪⎨⎪⎧3a ＋1＝0b ＝0，解得：⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13b ＝0.∴f (x )的解析式为f (x )＝－13x 3＋x 2.(2)由(1)知g (x )＝－13x 3＋2x ，∴g ′(x )＝－x 2＋2.令g ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2，∴当x ∈(－∞，－2)，(2，＋∞)时，g (x )单调递减， 当x ∈(－2，2)时，g (x )单调递增，又g (1)＝53，g (2)＝423，g (2)＝43，∴g (x )在区间[1,2]上的最大值为g (2)＝423，最小值为g (2)＝43.。
高考数学一轮复习 第2章《基本初等函数、导数及其应用
2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第2章《基本初等函数、导数及其应用》（第1课时）（新人教A 版）一、选择题1．下列各组函数中表示同一函数的是( )A ．f (x )＝x 与g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |与g (x )＝3x 3C ．f (x )＝lne x 与g (x )＝e ln xD ．f (x )＝x 2－1x －1与g (t )＝t ＋1(t ≠1)解析：选D.由函数的三要素中的定义域和对应关系进行一一判断，知D 正确．2．(2011·高考江西卷)若f (x )＝1log 12x ＋，则f (x )的定义域为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，0C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，＋∞ D ．(0，＋∞) 解析：选A.由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋1＞0log 12x ＋＞0得－12＜x ＜0.3．(2012·高考福建卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ＞0，0，x ＝0，－1，x ＜0，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x 为有理数，0，x 为无理数，则f (g (π))的值为( )A ．1B ．0C ．－1D ．π 解析：选B.∵g (π)＝0，f (0)＝0，故选B. 4.函数y ＝f (x )的图象如图所示，则f (x )的解析式为( ) A ．y ＝－|x |－1 B ．y ＝|x －1| C ．y ＝－|x |＋1 D ．y ＝|x ＋1|解析：选C.对照函数图象，分别把x ＝0代入解析式排除A ，把x ＝－1代入解析式排除B ，把x ＝1代入解析式排除D ，故选C.5．(2011·高考辽宁卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x， x ≤1，1－log 2x ， x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)解析：选D.当x ≤1时，由21－x≤2，知x ≥0，即0≤x ≤1.当x >1时，由1－log 2x ≤2，知x ≥12，即x >1，所以满足f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．二、填空题6．已知f (x －1x )＝x 2＋1x2，则f (3)＝________.解析：∵f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x)2＋2，∴f (x )＝x 2＋2，∴f (3)＝32＋2＝11. 答案：117．已知集合A ＝R ，B ＝{(x ，y )|x ，y ∈R }，f 是从A 到B 的映射，f ：x →(x ＋1，x 2＋1)，则A 中元素2的象和B 中元素(32，54)的原象分别为________．解析：把x ＝2代入对应法则，得其象为(2＋1,3)． 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＝32x 2＋1＝54，得x ＝12.所以2的象为(2＋1,3)，(32，54)的原象为12.答案：(2＋1,3)、128．(2012·高考陕西卷)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，x ＜0，则f (f (－4))＝________.解析：f (－4)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－4＝16，所以f (f (－4))＝f (16)＝16＝4.答案：4 三、解答题9．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜2，x 22，x ≥2，且f (a )＝3，求a 的值．解：①当a ≤－1时，f (a )＝a ＋2，由a ＋2＝3，得a ＝1，与a ≤－1相矛盾，应舍去． ②当－1＜a ＜2时，f (a )＝2a ，由2a ＝3，得a ＝32，满足－1＜a ＜2.③当a ≥2时，f (a )＝a 22，由a 22＝3，得a ＝±6，又a ≥2，∴a ＝ 6. 综上可知，a 的值为32或 6.10．(1)已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，求f (x )；(2)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．解：(1)令t ＝2x ＋1，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1.(2)x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① 以－x 代x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．一、选择题1．(2012·高考山东卷)函数f (x )＝1x ＋＋4－x 2的定义域为( ) A ．[－2,0)∪(0,2] B ．(－1,0)∪(0,2] C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B.x 满足⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0x ＋1≠1，4－x 2≥0即⎩⎪⎨⎪⎧x ＞－1x ≠0－2≤x ≤2，解得－1＜x ＜0或0＜x ≤2.2．(2012·高考江西卷)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin xB ．y ＝ln x xC ．y ＝x e xD ．y ＝sin x x解析：选D.当函数以解析式形式给出时，求其定义域的实质就是以使函数的解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集．函数y ＝13x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而y ＝1sin x 的定义域为{x |x ∈R ，x ≠k π，k ∈Z }，y ＝ln xx的定义域为(0，＋∞)，y ＝x e x的定义域为R ，y ＝sin x x的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．故选D.二、填空题3．下列对应中，①A ＝{x |x 是矩形}，B ＝{x |x 是实数}，f 为“求矩形的面积”； ②A ＝{x |x 是平面α内的圆}，B ＝{x |x 是平面α内的矩形}；f ：“作圆的内接矩形”；③A ＝R ，B ＝{x ∈R |x ＞0}，f ：x →y ＝x 2＋1；④A ＝R ，B ＝R ，f ：x →y ＝1x；⑤A ＝{x ∈R |1≤x ≤2}，B ＝R ，f ：x →y ＝2x ＋1. 是从集合A 到集合B 的映射的为________．解析：其中②，由于圆的内接矩形不唯一，因此f 不是从A 到B 的映射；其中④，A 中的元素0在B 中没有对应元素，因此f 不是A 到B 的映射．答案：①③⑤4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧23x －1x x 2 x ＜，若f (a )＜a ，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≥0时，由23a －1＜a 得a ＞－3取a ≥0.当a ＜0时，由a 2＜a 得，0＜a ＜1，与a ＜0矛盾， 综上可知a 的取值范围是[0，＋∞)． 答案：[0，＋∞) 三、解答题5．下面是一个电子元件在处理数据时的流程图：(1)试确定y 与x 的函数关系式； (2)求f (－3)、f (1)的值； (3)若f (x )＝16，求x 的值．解：(1)y ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≥1，x 2＋2，x ＜1.(2)f (－3)＝(－3)2＋2＝11；f (1)＝(1＋2)2＝9.(3)若x ≥1，则(x ＋2)2＝16，解得x ＝2或x ＝－6(舍)；若x ＜1，则x 2＋2＝16，解得x ＝14(舍)或x ＝－14. 即x ＝2或x ＝－14.。
高考数学一轮复习 第二章 基本初等函数、导数的应用 第13讲 导数的综合运用课件 文
则 m 的取值范围是(4ee－1，＋∞)．
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(1)利用导数证明不等式的方法 证明 f(x)＜g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数 F(x)＝f(x)－g(x)， 如果 F′(x)＜0，则 F(x)在(a，b)上是减函数，同时若 F(a)≤0， 由减函数的定义可知，当 x∈(a，b)时，有 F(x)＜0，即证明
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1．某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成 本是 0.8πr2 分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米．已知每 出售 1 mL 的饮料，制造商可获利 0.2 分，且制造商能制作的 瓶子的最大半径为 6 cm.则瓶子半径为___6___cm 时，每瓶饮 料的利润最大，瓶子半径为____2____cm 时，每瓶饮料的利润 最小．
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所以 f(x)在(1，＋∞)内为单调增函数．
又因为 f(1)＝0，当 x>1 时，f(x)>f(1)＝0，
即 ln x－2（xx＋－11）>0.
所以
ln
2（x－1） x> x＋1 .
所以，当 x>1 时，恒有 g(x)>h(x)．
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[解析] 因为 x>0，y′＝－x2＋81＝(9－x)(9＋x)，所以由 y′＝0， 得 x＝9.又 x∈(0，9)时，y′>0；x∈(9，＋∞)时，
y′<0，所以 x＝9 时，函数取最大值．
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2．(2017·高考江苏卷)已知函数 f(x)＝x3－2x＋ex－e1x，其中 e 是自然对数的底数．若 f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数 a 的取值
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2014届高考数学（理）一轮复习知识过关检测：第2章《基本初等
函数、导数及其应用》（第13课时）（新人教A 版）
一、选择题
1．与定积分∫3π
01－cos x d x 相等的是( ) A.2∫3π
0sin x
2
d x
B.2∫3π
0⎪⎪⎪
⎪⎪⎪
sin x 2d x
C.⎪
⎪⎪⎪⎪⎪2∫3π
0sin x
2d x
D ．以上结论都不对
解析：选B.∵1－cos x ＝2sin 2
x
2，
∴∫3π
1－cos x d x ＝∫3π
2|sin x
2|d x ＝2∫3π
0|sin x
2
|d x .
2．设f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
x 2x
x
，则⎠
⎛1－1f (x )d x 的值是( )
A.⎠⎛1－1x 2
d x
B.⎠
⎛1－12x
d x
C.⎠⎛0－1x 2d x ＋⎠
⎛0
12x
d x D.⎠⎛0－12x d x ＋⎠
⎛0
1x 2
d x 答案：D
3．如果1N 能拉长弹簧1 cm ，为了将弹簧拉长6 cm ，需做功( ) A ．0.18 J B ．0.26 J C ．0.12 J D ．0.28 J 解析：选A.设F ＝kx ，则由题可得k ＝100，所以做功就是求定积分⎠⎛0
0.06100x d x ＝0.18(J)．
4．(2013·济南调研)曲线y ＝x 与x ＝1，x ＝4及x 轴所围成的封闭图形的面积为( ) A.143 B.53 C.103 D.163 解析：选A.所求的封闭图形的面积为
S ＝⎠
⎛1
4x d x ＝23x 32|41＝
14
3. 5．一物体的下落速度为v (t )＝9.8t ＋6.5(单位：米/秒)，则下落后第二个4秒内经过
的路程是( )
A ．249米
B ．261.2米
C ．310.3米
D ．450米
解析：选 B.所求路程为∫84(9.8t ＋6.5)d t ＝(4.9t 2＋6.5t )|8
4＝4.9×64＋6.5×8－4.9×16－6.5×4＝313.6＋52－78.4－26＝261.2(米)．
二、填空题
6．(2013·日照质检)积分⎠
⎛e 11＋2x
2
x
d x 的值是________． 解析：⎠⎛e
11＋2x 2
x d x ＝⎠⎛e 1(1x ＋2x )d x ＝⎠⎛e 11x
d x ＋2⎠
⎛e 1x d x ＝ln x |e
1＋x 2|e 1＝lne －l n1＋e 2－12＝
e 2
.
答案：e 2
7．(2012·高考山东卷)设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的
面积为a 2
，则a ＝________.
解析：由已知得S ＝⎠⎛a 0
x d x ＝23x 32|a 0＝23a 32＝a 2，所以a 12＝23，所以a ＝49
. 答案：49
8．(2013·德州质检)若⎠⎛a 0x 2d x ＝9，则a ＝__________；⎠
⎛2－24－x 2
d x ＝________.
解析：∵⎠⎛a 0x 2
d x ＝13x 3|a 0＝13
a 3＝9，∴a ＝3， 又⎠⎛2－24－x 2d x 表示圆x 2＋y 2＝4在x 轴上方的面积，故⎠⎛2－24－x 2
d x ＝2π. 答案：3 2π 三、解答题
9．求函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
x ＋2 －2≤x ＜02cos x 0≤x ≤π
2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积．
解：所求面积为图中阴影部分的面积，
由题意知A (－2,0)，B (0,2)，C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫π2，0， ∴所求图形的面积为⎠⎛0
－2
(x ＋2)d x ＋∫π20(2cos x )d x ＝2＋2sin x |π2
0＝4. 10．在曲线y ＝x 2
(x ≥0)上某一点A 处作一切线使之与曲线以及x 轴所围的面积为112
.
试求：切点A 的坐标及过切点A 的切线方程．
解：如图．设切点A (x 0，y 0)，
由y ′＝2x ，得过点A 的切线方程为y －y 0＝2x 0(x －x 0)，即y ＝2x 0x －x 2
0. 令y ＝0，得x ＝x 0
2.即C ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
x 0
2，0.
设由曲线和过A 点的切线及x 轴所围成图形面积为S ，
S 曲边△AOB ＝⎠⎛0
x 0x 2
d x ＝13
x 30， S △ABC ＝12|BC |·|AB |＝12(x 0－x 02)·x 20＝14x 3
0.
即：S ＝13x 30－14x 30＝112x 30＝1
12
.
所以x 0＝1，从而切点A (1,1)，切线方程为y ＝2x －1.
一、选择题
1．(2013·福建六校联考)已知f (x )为偶函数且⎠⎛6
0f (x )d x ＝8，则⎠⎛6
－6
f (x )d x 等于( )
A ．0
B ．4
C ．8
D ．16
解析：选D.原式＝⎠⎛0
－6f (x )d x ＋⎠⎛6
f (x )d x ，
∵原函数为偶函数，∴在y 轴两侧的图象对称， ∴对应的面积相等，即8×2＝16. 2.
(2012·高考福建卷)如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点P ，则点P 恰好取自阴影部分的概率为( )
A.14
B.15
C.16
D.17 解析：选C.阴影部分的面积为
故所求的概率P ＝阴影部分的面积正方形OABC 的面积＝1
6
，故选C.
二、填空题
3．设函数f (x )＝ax 2
＋c (a ≠0)，若⎠⎛1
f (x )d x ＝f (x 0)，
0≤x 0≤1，则x 0的值为________． 解析：⎠⎛10f (x )d x ＝⎠⎛10(ax 2＋c )d x ＝(13ax 3＋cx )|10＝a 3＋c ＝ax 20＋c .∴x 0＝33. 答案：
3
3
4．(2011·高考陕西卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
lg x ， x ＞0，
x ＋⎠⎛0a 3t 2
d t ，x ≤0，
若f (f (1))＝1，则a ＝
________.
解析：由题意知f (1)＝lg 1＝0，∴f (0)＝0＋a 3－03
＝1，∴a ＝1. 答案：1 三、解答题 5.
如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2
向点A (2,4)移动，记直线OP 、曲线y ＝x 2
及直线x ＝
2所围成的面积分别记为S 1，S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．
解：设直线OP 的方程为y ＝kx ， P 点的坐标为(x ，y )，
则⎠⎛0x (kx －x 2)d x ＝⎠⎛x 2
(x 2
－kx )d x ，
即⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3|x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 2|2
x ，
解得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫13
x 3－12kx 2，
解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫43，169.。