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则 AB′即为蚂蚁爬行的最短距离．
∵AB＝A′B′＝2，AA′为底面圆的周长，且 AA′＝2π×1＝2π，
∴AB′＝ A′B′2＋AA′2＝ 4＋2π2＝2 1＋π2，
即蚂蚁爬行的最短距离为 2 1＋π2.
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题型三：几何体中的有关最值问题
答案 B
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题型一：三视图与直观图
跟踪训练 1 一几何体的三视图如图所示．
(1)说出该几何体的结构特征并画出直观图； (2)计算该几何体的体积与表面积．
解 (1)由三视图知该几何体是由一个圆柱
与一个等底圆锥拼接而成的组合体，其直 观图如图所示．
2r2＋h2＝10 22， 的内接长方体的体对角线长，则 2πrh＝100π，
r＝5 ∴ h＝10
.
∴圆柱体积为 250π cm3. ∴V 圆柱＝Sh＝πr2h＝π×52×10＝250π(cm3)．
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题型二：柱体、锥体、台体的表面积和体积
8π A. 3
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B.3π
10π C. 3
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D.6π
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题型一：三视图与直观图
解析 将三视图还原为实物图求体积．
由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为 1， 1 高为 4 的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的 ， 4 3 所以 V＝ ×π×12×4＝3π. 4
跟踪训练 2 正四棱柱的对角线长为 3 cm， 它的表面积为 16 cm2， 求它的体积．
解
2a2＋b2＝32， 设正四棱柱的底面边长为 a cm，高为 b cm，则 2 4 ab ＋ 2 a ＝16，
a＝4， a＝2， 3 解得 或 7 b＝1， b＝ . 3
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本讲内容结束
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跟踪训练 3 有一根长为 3π cm， 底面半径为 1 cm 的圆柱形铁管， 用一段铁
丝在铁管上缠绕 2 圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，求 铁丝的最短长度．
解 把圆柱侧面及缠绕其上的铁丝展开，在平面上得到矩形 ABCD(如图所示)，
由题意知 BC＝3π cm，AB＝4π cm，点 A 与点 C 分别是铁 丝的起、止位置，故线段 AC 的长度即为铁丝的最短长度．
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题型三：几何体中的有关最值问题
例3 如图，在底面半径为 1，高为 2 的圆柱上 A 点处有一只蚂蚁，
它要围绕圆柱由 A 点爬到 B 点，问蚂蚁爬行的最短距离是多少？
解 把圆柱的侧面沿 AB 剪开，然后展开成为平面图形——矩形， 如图所示，连接 AB′，
第一章 空间几何体
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探题型、提能力
题型一 题型二 题型三
三视图与直观图 柱体、锥体、台体的表面积和体积 几何体中的有关最值问题
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题型二：柱体、锥体、台体的表面积和体积
例2 圆柱有一个内接长方体 AC1，长方体对角线长是 10 2cm，圆柱的侧面 展开平面图为矩形，此矩形的面积是 100π cm2，求圆柱的体积．
解 设圆柱底面半径为 r cm，高为 h cm.
如图所示，则圆柱轴截面长方形的对角线长等于它
4 2 7 112 所以该正四棱柱的体积 V＝a b＝4×1＝4(cm )或 V＝a b＝( ) × ＝ (cm3)． 3 3 27
2 3 2
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题型三：几何体中的有关最值问题
有关旋转体中某两点表面上的长度最小问题， 一般是利用展开图中两 点的直线距离最小来求解；有关面积和体积的最值问题，往往把面积 或体积表示为某一变量的二次函数的形式， 然后利用二次函数的知识 求最值．
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题型一：三视图与直观图
(2)由三视图中尺寸知，组合体下部是底面直径为 8 cm，高为 20 cm 的圆柱， 上部为底面直径为 8 cm，母线长为 5 cm 的圆锥．
易求得圆锥高 h＝ 52－42＝3(cm)，
1 2 ∴体积 V＝π·4 · 20＋ π·4 · 3＝336π(cm3)， 3
2
表面积 S＝π·42＋2π·4·20＋π·4·5＝196π(cm2)．
∴该几何体的体积为 336π cm3，表面积为 196π cm2.
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题型二：柱体、锥体、台体的表面积和体积
几何体的表面积及体积的计算是现实生活中经常能够遇到的问题， 在 计算中应注意各数量之间的关系及各元素之间的位置关系， 特别是特 殊的柱、锥、台体，要注意其中矩形、梯形及直角三角形等重要的平 面图形的应用．
AC＝ AB2＋BC2＝5π cm，
故铁丝的最短长度为 5π cm.
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章末复习课 呈重点、现规律
研究空间几何体，需在平面上画出几何体的直观图或三视图，由几何 体的直观图可画它的三视图，由三视图可得到其直观图，同时可以通 过作截面把空间几何问题转化成平面几何问题来解决． 另外，圆柱、圆锥、圆台的表面积公式，我们都是通过展开图、化空 间为平面的方法得到的， 求球的切接问题通常也是由截面把空间问题 转化为平面问题来解决．
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题型一：三视图与直观图
三视图是从三个不同的方向看同一个物体而得到的三个视图， 从三视 图可以看出，俯视图反映物体的长和宽，正视图反映它的长和高，侧 视图反映它的宽和高．
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题型一：三视图与直观图
例1 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( )