非线性控制系统
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到扰动，将使响应的振幅A发生变化，因此，原来 的等幅周期振荡不复存在。
自动控制原理
10
有些非线性系统，在初始状态的激励下，可以 产生固定振幅和固定频率的周期振荡，这种周 期振荡称为非线性系统的自激振荡或极限环。 如果非线性系统有一个稳定的极限环，则它的 振幅和频率不受扰动和初始状态的影响。
自动控制原理
假定，并且从图8.8(a)曲线上外作用频率 低的点
1开始。当 增加，A也增加，直到点2为止。若
频率继续增加，将引起从点2到点3的跳跃，并伴
有振幅和相位的改变，此现象称为跳跃谐振。当 频率 继续增加时，振幅A沿着曲线从点3到点4。
若换一个方向来进行实验，即从高频开始，这时
可观察到，当 减小时，振幅通过点3 逐渐增加， 直到点5为止。当 继续减小时，将引起从点5到
自动控制原理
3
3.逆系统法:
运用内环非线性反馈控制，构造伪线性系统， 以此为基础，设计外环控制网络，该方法直接应 用数学工具研究非线性控制问题，是非线性系统 研究的一个发展方向。但是，这些方法主要是解 决非线性系统的“分析”问题，且以稳定性问题 为主展开的。非线性系统的“综合”方法的研究 成果远不如稳定性问题研究所取得的成果。
点6的另一个跳跃，也伴有振幅和相位的改变。在
线性定常系统：例如典型二阶线性系统，如
果阻尼比=0，在初始状态的激励下，系统的零输
入响应为等幅周期振荡,其角频率 取决于系统的
参数，其振幅A与初始状态有关。但是，实际的线
性系统要维持振幅A和角频率 不变的等幅周期振 荡是不可能的。一是系统的参数会发生变化，即
使很微小的变化，也将导致 ≠0 ；二是假定系统 的参数不变， ≡ 0 ，然而，系统不可避免地会受
1、当振幅减小时，自由振荡的频率或减小， 或增加，这分别取决于 K 0或 K 0 ；
2、随着自由振荡的振幅减小，频率将保持不 变，这时系统又相当于一个线性系统。
自动控制原理
13
图8.7描绘了大于零、等于零、小于零三种情况下频率和
振幅的关系。在对图8.6所示的系统进行强迫振荡实验 时，系统的微分方程为式中为外作用函数。
11
4.频率响应:
在正弦输入信号作用下，非线性系统呈现出
一些在线性系统中见不到的特殊现象，诸如跳跃 谐振和多值响应、倍频振荡和分频振荡、频率捕 捉(跟踪)
图8.6为一机械系统，由重物、阻尼器、非线性弹 簧组成。其动态特性的微分方程为
M x B x K x K x3 0
(8-1)
式中
——重物的位移；
M——质量；
B——阻尼器的粘性摩擦系数；
K x K x3——非线性弹簧力。
自动控制原理
12
参数M、B和K均是正的常数，而k′可为正，也 可为负。如果为正，弹簧就称为硬弹簧；如果为负， 则称为软弹簧。系统非线性的程度用K的值来表征。 非线性微分方程(8-1)称为杜芬(Duffing)方程，它常 常在非线性力学中进行讨论。如果该系统受到一个 非零初始条件的作用，则方程(8-1)的解代表一个阻 尼振荡，在实验中可观察到：
自动控制原理
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1.稳定性分析复杂: 在研究非线性系统的稳定性问题时，必须要
明确两点：
a.指明给定系统的初始状态或输入信号 b.指明相对于哪一个平衡状态来分析系统的
稳定性。
2.系统的零输入响应形式:
线性系统的零输入响应形式与系统初始状态 的幅值无关 。某些非线性系统的零输入响应形式 与系统的初始状态有关。当初始状态不同时，同 一个非线性系统可能有不同的响应形式，如单调 收敛、振荡收敛或振荡发散等。
-M (c)
y M
0 x
-M
(b)
y M
m 0 m x
-M
(d)
图8.4 继电器型非线性特性
自动控制原理
6
8.2.2非线性系统的运动特点
由于描述非线性系统运动的数学模型为非线 性微分方程，叠加原理不再适用，因此非线性系 统的运动表现出以下特点：
1. 2.系统的零输入响应形式 3.自激振荡(极限环) 4.频率响应
M x Bx K x K x3 Pcost 式中Pcost 为外作用函数
K
非线性弹簧
x
K 0
K 0
K 0
M 重物
x
B
粘性阻尼器
0
w
图8.6 机械系统
图8.7 频率和振幅的关系曲线
自动控制原理
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在进行实验时，使外作用函数的振幅P保持 常数，缓慢地改变其频率，并观察响应的振幅A， 可得到与图8.8(a)和8.8(b)类似的频率响应曲线。
自动控制原理
4
8.2.1典型非线性特性
y
1. 饱和特性 2. 死区特性 3.间隙特性
M 近似饱和特性
-b
0
-M
实际饱和特性
b
x
图8.1 饱和非线性特性
y K
-
0
x
K
y
-b
0b
x
图8.2 死区非线性特性
图8.3 间隙非线性特性
自动控制原理
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4. 继电器特性
y M
0 x
-M
(a)
y M
-
0
x
自动控制原理
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1.相平面法: 一种图解分析方法，适用于具有严重非线性
特性的一阶、二阶系统，该方法通过在相平面绘 制相轨迹曲线，确定非线性微分方程在不同初始 条件下解的运动形式。
2.描述函数法: 一种等效线性化的图解分析方法，该方法对
于满足结构要求的非线性系统，பைடு நூலகம்过谐波线性化， 将非线性特性近似为复变增益环节，然后推广应 用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。
第 8 章 非线性控制系统
8.1概述 8.2非线性系统的特点 8.3相平面分析法 8.4描述函数分析法
自动控制原理
1
8.1 概述
非线性系统与线性系统有着很大的差别，诸 如非线性系统的响应取决于输入信号的幅值和形 式，不能应用叠加原理，目前还没有统一的且普 遍适用的处理方法。
由于非线性系统的复杂性和特殊性，受数学 工具限制，一般情况下难以求得非线性微分方程 的解析解，通常采用工程上适用的近似方法。 （1）相平面法 （2）描述函数法 （3）逆系统法
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例如：具有分段线性特性的非线性增益控制系统，
当形初式始为状 单态 调(收初敛始，误当差初)。始e0<状E态时e，0>系E统时的，零系输统入的响零应输
入响应形式为振荡收敛形式 ，如图8.5所示
e(t) t
E
0 e0
t
图 8.5 某非线性系统的零输入响应
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3.自激振荡(极限环):
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有些非线性系统，在初始状态的激励下，可以 产生固定振幅和固定频率的周期振荡，这种周 期振荡称为非线性系统的自激振荡或极限环。 如果非线性系统有一个稳定的极限环，则它的 振幅和频率不受扰动和初始状态的影响。
自动控制原理
假定，并且从图8.8(a)曲线上外作用频率 低的点
1开始。当 增加，A也增加，直到点2为止。若
频率继续增加，将引起从点2到点3的跳跃，并伴
有振幅和相位的改变，此现象称为跳跃谐振。当 频率 继续增加时，振幅A沿着曲线从点3到点4。
若换一个方向来进行实验，即从高频开始，这时
可观察到，当 减小时，振幅通过点3 逐渐增加， 直到点5为止。当 继续减小时，将引起从点5到
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3.逆系统法:
运用内环非线性反馈控制，构造伪线性系统， 以此为基础，设计外环控制网络，该方法直接应 用数学工具研究非线性控制问题，是非线性系统 研究的一个发展方向。但是，这些方法主要是解 决非线性系统的“分析”问题，且以稳定性问题 为主展开的。非线性系统的“综合”方法的研究 成果远不如稳定性问题研究所取得的成果。
点6的另一个跳跃，也伴有振幅和相位的改变。在
线性定常系统：例如典型二阶线性系统，如
果阻尼比=0，在初始状态的激励下，系统的零输
入响应为等幅周期振荡,其角频率 取决于系统的
参数，其振幅A与初始状态有关。但是，实际的线
性系统要维持振幅A和角频率 不变的等幅周期振 荡是不可能的。一是系统的参数会发生变化，即
使很微小的变化，也将导致 ≠0 ；二是假定系统 的参数不变， ≡ 0 ，然而，系统不可避免地会受
1、当振幅减小时，自由振荡的频率或减小， 或增加，这分别取决于 K 0或 K 0 ；
2、随着自由振荡的振幅减小，频率将保持不 变，这时系统又相当于一个线性系统。
自动控制原理
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图8.7描绘了大于零、等于零、小于零三种情况下频率和
振幅的关系。在对图8.6所示的系统进行强迫振荡实验 时，系统的微分方程为式中为外作用函数。
11
4.频率响应:
在正弦输入信号作用下，非线性系统呈现出
一些在线性系统中见不到的特殊现象，诸如跳跃 谐振和多值响应、倍频振荡和分频振荡、频率捕 捉(跟踪)
图8.6为一机械系统，由重物、阻尼器、非线性弹 簧组成。其动态特性的微分方程为
M x B x K x K x3 0
(8-1)
式中
——重物的位移；
M——质量；
B——阻尼器的粘性摩擦系数；
K x K x3——非线性弹簧力。
自动控制原理
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参数M、B和K均是正的常数，而k′可为正，也 可为负。如果为正，弹簧就称为硬弹簧；如果为负， 则称为软弹簧。系统非线性的程度用K的值来表征。 非线性微分方程(8-1)称为杜芬(Duffing)方程，它常 常在非线性力学中进行讨论。如果该系统受到一个 非零初始条件的作用，则方程(8-1)的解代表一个阻 尼振荡，在实验中可观察到：
自动控制原理
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1.稳定性分析复杂: 在研究非线性系统的稳定性问题时，必须要
明确两点：
a.指明给定系统的初始状态或输入信号 b.指明相对于哪一个平衡状态来分析系统的
稳定性。
2.系统的零输入响应形式:
线性系统的零输入响应形式与系统初始状态 的幅值无关 。某些非线性系统的零输入响应形式 与系统的初始状态有关。当初始状态不同时，同 一个非线性系统可能有不同的响应形式，如单调 收敛、振荡收敛或振荡发散等。
-M (c)
y M
0 x
-M
(b)
y M
m 0 m x
-M
(d)
图8.4 继电器型非线性特性
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8.2.2非线性系统的运动特点
由于描述非线性系统运动的数学模型为非线 性微分方程，叠加原理不再适用，因此非线性系 统的运动表现出以下特点：
1. 2.系统的零输入响应形式 3.自激振荡(极限环) 4.频率响应
M x Bx K x K x3 Pcost 式中Pcost 为外作用函数
K
非线性弹簧
x
K 0
K 0
K 0
M 重物
x
B
粘性阻尼器
0
w
图8.6 机械系统
图8.7 频率和振幅的关系曲线
自动控制原理
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在进行实验时，使外作用函数的振幅P保持 常数，缓慢地改变其频率，并观察响应的振幅A， 可得到与图8.8(a)和8.8(b)类似的频率响应曲线。
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8.2.1典型非线性特性
y
1. 饱和特性 2. 死区特性 3.间隙特性
M 近似饱和特性
-b
0
-M
实际饱和特性
b
x
图8.1 饱和非线性特性
y K
-
0
x
K
y
-b
0b
x
图8.2 死区非线性特性
图8.3 间隙非线性特性
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4. 继电器特性
y M
0 x
-M
(a)
y M
-
0
x
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1.相平面法: 一种图解分析方法，适用于具有严重非线性
特性的一阶、二阶系统，该方法通过在相平面绘 制相轨迹曲线，确定非线性微分方程在不同初始 条件下解的运动形式。
2.描述函数法: 一种等效线性化的图解分析方法，该方法对
于满足结构要求的非线性系统，பைடு நூலகம்过谐波线性化， 将非线性特性近似为复变增益环节，然后推广应 用频率法，分析非线性系统的稳定性或自激振荡。
第 8 章 非线性控制系统
8.1概述 8.2非线性系统的特点 8.3相平面分析法 8.4描述函数分析法
自动控制原理
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8.1 概述
非线性系统与线性系统有着很大的差别，诸 如非线性系统的响应取决于输入信号的幅值和形 式，不能应用叠加原理，目前还没有统一的且普 遍适用的处理方法。
由于非线性系统的复杂性和特殊性，受数学 工具限制，一般情况下难以求得非线性微分方程 的解析解，通常采用工程上适用的近似方法。 （1）相平面法 （2）描述函数法 （3）逆系统法
自动控制原理
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例如：具有分段线性特性的非线性增益控制系统，
当形初式始为状 单态 调(收初敛始，误当差初)。始e0<状E态时e，0>系E统时的，零系输统入的响零应输
入响应形式为振荡收敛形式 ，如图8.5所示
e(t) t
E
0 e0
t
图 8.5 某非线性系统的零输入响应
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3.自激振荡(极限环):