【精准解析】2021学年高中数学人教B版必修第二册训练：4.3+指数函数与对数函数的关系
【精准解析】2021学年高中数学人教B版必修第二册训练：4.1.2+第1课时+指数函数的性质与图像
A．a＞1，b＜0
B．a＞1，b＞0
C．0＜a＜1，b＞0
D．0＜a＜1，b＜0
[解析] 由图像呈下降趋势可知 0＜a＜1，又由图像与 y 轴的交点的纵坐标小于 1 可知 a－
b＜1，
即－b＞0，∴b＜0．
4．函数 y＝a|x|(a＞1)的图像是下图中的( B )
[解析]
∵y＝a|x|＝
axx≥0 a－xx＜0
1 7．函数 y＝ 2
－x2＋x＋2定义域是__[－1,2]__，值域为__
2，1 4
__．
[解析] 由－x2＋x＋2≥0 得－1≤x≤2，
此时－x2＋x＋2∈
0，9 4
，
∴u＝
－x2＋x＋2∈
0，3 2
，
1 ∴y＝ 2 u∈
2，1 4
．
8．若函数 y＝ax－m＋n－3(a＞0 且 a≠1)的图像恒过定点(3,2)，则 m＋n＝__7__．
[解析] 因为对于函数 y＝ax－m＋n－3(a＞0 且 a≠1)的图像恒过定点，令 x－m＝0，可得 x
＝m，y＝n－2，可得函数的图像经过定点(m，n－2)．再根据函数的图像恒过定点(3,2)，所以
m＝3，n－2＝2，解得 m＝3，n＝4，则 m＋n＝7．
三、解答题
9．已知函数 f(x)＝ax－1(x≥0)．其中 a＞0 且 a≠1．
∴491＝12(a2＋a－2)＝12(a2＋a12)， 整理得 9a4－82a2＋9＝0，
∴a2＝1或 a2＝9.∴a＝1或 a＝3．
9
3
故 f(x)＝1(3x＋3－x)． 2
-5-
，若 f(a)＋f(1)＝0，则实数 a 的值等于( A )
x＋1x≤0
人教B版高中数学必修第二册4.3 指数函数与对数函数的关系
题型2 求函数的反函数
例2 求下列函数的反函数．
1 x
(1)y＝( )
3
(2)y＝5x＋1.
【解析】
1．判断函数是否单调．
2．求出x.
3．推导出f －1(x)的解析式．
1
3
1
3
(1)由y＝( )x得y＞0，对调其中的x和y，得x＝( )y，解得y＝log 1 x，所
象是下图中的(
)
答案：C
状元随笔 1.先求出f －1(x).
2．再求f －1(－x).
3．最后求出f －1(1－x).
2．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，且f(2)＝1，则
f(x)＝(
)
1
A．
B．log2x
2
C．log 1 x
D．2x－2
2
答案：B
解析：由于函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数，则f(x)＝logax，
则f(2)＝loga2＝1，解得a＝2，因此，f(x)＝log2x.
限．
课堂探究·素养提升
题型1 判断函数是否有反函数(逻辑推理)
例1 下列函数中，存在反函数的是(
)
A．
B．
x
f(x)
x>0
1
x＝0
0
x<0
－1
C．
x
h(x)
【答案】
x x是有理数 x是无理数
g(x)
1
0
D．
1 2
－1 2
D
3
0
4
4
5
2
新教材人教B版高中数学必修第二册4.1.2 指数函数的性质与图象 练习(2)(解析版)
第四章指数函数、对数函数与幂函数4.1指数与指数函数4.1.2 指数函数的性质与图象一、选择题1．已知集合，则集合（）A．B．C．D．【答案】D【解析】集合＝{y|0<y<2}＝（0，2），则∁R A＝（﹣∞，0]，故选D.2．方程4x-3•2x+2=0的解集为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据题意，设t=2x，则t2-3t+2=0，解可得：t=1或t=2，若t=1，即2x=1，则x=0，若t=2，即2x=2，则x=1，则方程4x-3•2x+2=0的解集为{0，1}；故选：C．3．函数在上的最大值与最小值的差为2，则A．B．C．D．【答案】B【解析】y＝a x（a＞0，且a≠1）在区间[1，2]上为单调函数，且y ＝a x （a ＞0，且a ≠1）在区间[1，2]上最大值与最小值的差为2，即|a ﹣a 2|＝2，所以a ﹣a 2＝2或a ﹣a 2＝﹣2；即a 2﹣a +2＝0或a 2﹣a ﹣2＝0，解得a ＝2或a ＝﹣1（不合题意，舍去）；所以a ＝2．故选：B4．已知函数，则下列判断正确的是（ ）A ．函数是奇函数，且在R 上是增函数B ．函数是偶函数，且在R 上是增函数C ．函数是奇函数，且在R 上是减函数D ．函数是偶函数，且在R 上是减函数【答案】A【解析】 的定义域为R ，且； ∴是奇函数； 又和都是R 上的增函数； 是R 上的增函数． 故选：A ．5．不等式的解集是( ) A ．B ．C ．D ． 【答案】D【解析】因为y ＝2x 在R 上是增函数，，1()()x xf x e e =-()f x ()f x ()f x ()f x ()f x ()()x x 1f x e f x e-=-=-()f x x y e =x 1y ()e=-()x x 1f x e ()e∴=-所以2x﹣7<4x﹣1，即x>﹣3所以不等式的解集是{x|x>﹣3}，故选D.6．已知函数，则函数y=f（x+1）的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据题意，可得，f（x）单调递减；同时有，，即函数图象与y轴交点在（0，1）之下；A、D选项的图象为增函数，不符合；C选项的图象与y轴交点在（0，1）之上，不符合；只有B的图象符合两点，故选：B．7．已知函数，若，则（）A．2 B．C．8 D．【答案】A【解析】∵，∴，解得，故选A.8．设函数且是上的减函数，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】∵函数（a＞0且a≠1）是R上的减函数，∴，∴a＜1，故选：A．9．当时，不等式恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】当时，不等式可转化为，当时，解得取不到，故故选10．如图，在四个图形中，二次函数与指数函数的图像只可能是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】根据指数函数y＝（）x可知a，b同号且不相等，则二次函数y＝ax2+bx的对称轴0可排除B 与D，又二次函数，当x=0时，y=0，而A中，x=0时，y<0，故A不正确．故选C．11．给出下列4个判断：①若f（x）=x2-2ax在[1，+∞）上增函数，则a=1；②函数f（x）=2x-x2只有两个零点；③函数y=2|x|的最小值是1；④在同一坐标系中函数y=2x与y=2-x的图象关于y轴对称．其中正确命题的序号是（）A．①②B．②③C．③④D．①④【答案】C【解析】①二次函数的对称轴为，要使函数在上是增函数，则，所以①错误． ②令，分别作出的图象， 由图象观察，有一个交点， 时，，4两个交点，共3个交点，故②错． ③，所以函数的最小值是1， 所以③正确． ④函数图象上的任意点关于轴对称的点总在函数为图象上，所以在同一坐标系中函数与的图象关于轴对称所以④正确，故选C ．12．用b ，表示a ，b ，c 三个数中的最小值设函数，则函数的最大值为A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】B【解析】 如图所示：{,min a }c .(){}()2,1,90x f x min x x x =+-≥()f x ()(){}()2,1,90x f x min x x x =+-≥则的最大值为与交点的纵坐标，由，得 即当时，．故选：B ．二、填空题13．函数的值域是_____． 【答案】【解析】因为在单调递增，所以的值域为，∴的值域为（﹣1，+∞） 故答案为：（﹣1，+∞）．14．指数函数f （x ）=（a ﹣1）x 在R 上是增函数，则a 的取值范围是_____．【答案】（2，+∞）【解析】∵指数函数f （x ）=（a ﹣1）x 在R 上是增函数，∴a ﹣1＞1，即a ＞2，故a 的取值范围是（2，+∞），故答案为：（2，+∞）．15．函数恒过定点_____ 【答案】（1,2）【解析】函数过定点（0，1） 当时， 此时故过定点故答案为()f x 1y x =+9y x =-19y x y x =+⎧=-⎨⎩()4,5A 4x =5y =16．已知f（x）=3-x，若f（a）+f（-a）=3，则f（2a）+f（-2a）=______【答案】【解析】根据题意，f（x）=3-x，若f（a）+f（-a）=3，则3-a+3a=3，f（2a）+f（-2a）=3-2a+32a=（3-a+3a）2-2=7；故答案为：7．三、解答题17．求函数在区间上的最大值和最小值.【答案】最大值53，最小值4【解析】∵，令，，则，对称轴，则在上单调递减；在上单调递增.则，即时，；，即时，.18．已知函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象过的（-2，16）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）若f（2m+5）＜f（3m+3），求m的取值范围．【答案】（1）f（x）=；（2）m＜2.【解析】（1）∵函数f（x）=a x（a＞0且a≠1）的图象过点（-2，16），∴a-2=16∴a=，即f（x）=，（2）∵f（x）=为减函数，f（2m+5）＜f（3m+3），∴2m+5＞3m+3，解得m＜2．19．已知函数f（x）=2x-1+a（a为常数，且a∈R）恒过点（1，2）．（1）求a的值；（2）若f（x）≥2x，求x的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由已知条件可得f（1）=20+a=1+a=2，解得a=1；（2）由，得，即2x-1≤1=20，即x-1≤0，解得x≤1，因此，实数x的取值范围是（-∞，1]．20．已知函数。
高中数学人教B版 必修第二册 指数函数与对数函数的关系 课件
-2
-1
0
1
5
g-1(x)
4
1
2
3
5
例题精解
例题二
判断f(x)=2x+2的反函数是否存在,如果不存在,说明理由；
如果存在,写出反函数 f -1(x)的解析式,并在同一坐标系中作出f(x)
和 f -1(x)的图像.
例题精解
解：因为f(x)=2x+2是增函数，因
yx
此任意给定值域中的一个值，只
有唯一的x与之对应，所以f(x)存
R
a>1
增函数
增函数
0<a<1
减函数
减函数
a>1
图像
0<a<1
单调性
本课结束
(1,0)
图像
奇偶性
非奇非偶
2.指数函数 y=ax的图像.
函数
y=ax(a>1)
y=ax(0<a<1)
值域
R
(0,+∞)
Rቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(0,+∞)
单调性
增函数
减函数
图像
定义域
过定点
奇偶性
(0,1)
(0,1)
非奇非偶
新课讲授
新课讲授
一、对数函数 y= log 与指数函数y=ax的图像
y ax
y ax
4.3 指数函数与对数函数的关系
目录
CONTENTS
01 复习引入
02 新课讲授
03 例题精解
04 课堂小结
复习引入
1.对数函数y= log 的图像.
函数
y= log (a>1)
人教B版高中数学必修第二册4.1.2指数函数的性质与图象(一) 【含答案】
人教B版高中数学必修第二册4.1.2指数函数的性质与图象(一)必备知识基础练进阶训练第一层1．给出下列函数：①y＝2·3x；②y＝3x＋1；③y＝3x；④y＝x3；⑤y＝(－2)x；⑥y＝3 .其中，指数函数的个数是()A．0B．1C．2D．42．以下关于数的大小的结论中错误的是()A．1.72.5<1.73B．0.8－0.1<0.8－0.2C．1.70.3>0.93.1D．()13>()3．不论a取何正实数，函数f(x)＝a x＋1－2恒过点()A．(－1，－1)B．(－1，0)C．(0，－1)D．(－1，－3)4．设13<(13)b<(13)a<1，则()A．a a<a b<b a B．a a<b a<a bC．a b<a a<b a D．a b<b a<a a5．若函数y＝(k－2)a x＋2＋b(a>0且a≠1)是指数函数，则k＝________，b＝________．6．设f(x)＝3x，g(x)＝(13)x.(1)在同一坐标系中作出f(x)，g(x)的图象；(2)计算f(1)与g(－1)，f(π)与g(－π)，f(m)与g(－m)的值，从中你能得到什么结论？关键能力综合练进阶训练第二层7．已知a＝() 3，b＝2－1.5，c＝()13，则下列关系中正确的是()A．c<a<b B．a<b<cC．b<a<c D．b<c<a8．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是()A．(12，＋∞)B．(0，1 2 )C．(－∞，12)D．(－12，12)9．(多选)若函数y＝a x－(b＋1)(a>0且a≠1)的图象在第一、三、四象限，则必有() A．0<a<1B．b<0C．a>1D．b>010．(多选)已知实数a，b满足(12)a＝(13)b，给出下面几种关系，则其中可能成立的是()A．0<a<b B．0<b<aC．a<b<0D．b＝a11．若函数y＝(12)x在[－2，－1]上的最大值为m，最小值为n，则m＋n＝________．12．已知函数f(x)＝a x(x≥0)的图象经过点(2，14)，其中a>0且a≠1.(1)求a的值；(2)求函数y＝f(x)＋1(x≥0)的值域．核心素养升级练进阶训练第三层13．(多选)对于函数f(x)＝a bx(其中a，b为常数，a＞0且a≠1)，下列结论正确的是() A．f(x)是指数函数B．当a＞1，b＞0时，f(x)是增函数C．当0＜a＜1，b＞0时，f(x)是减函数D．当a＞1，b＜0时，f(x)是减函数14．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．参考答案及解析1．答案：C解析：①中，3x 的系数是2，故①不是指数函数；②中，y ＝3x ＋1的指数是x ＋1，不是自变量x ，故②不是指数函数；③中，3x 的系数是1，幂的指数是自变量x ，且只有3x 一项，故③是指数函数；④中，y ＝x 3的底为自变量，指数为常数，故④不是指数函数；⑤中，底数－2＜0，不是指数函数；⑥中y ＝3x2＝(3)x 是指数函数．2．答案：D解析：y ＝1.7x 单调递增，2.5<3，∴1.72.5<1.73，A 正确；y ＝0.8x 单调递减，－0.1>－0.2，∴0.8－0.1<0.8－0.2，B 正确；又1.70.3>1.70＝1，0.93.1<0.90＝1，∴1.70.3>0.93.1，C 正确；[(13)13]1 ＝(13)4＝181，[(1 )1 ]1 ＝(14)3＝164，∵181<164，∴(13)13<(1 )1 ，D 错误．3．答案：A解析：令x ＋1＝0，则x ＝－1，f (－1)＝－1，所以函数f (x )＝a x ＋1－2的图象恒过点(－1，－1).4．答案：C解析：由已知条件得0<a <b <1，∴a b <a a ，a a <b a ，∴a b <a a <b a .5．答案：3－2解析：－2＝1，＋b ＝0，＝3，＝－2.6．解析：(1)函数f (x )，g (x )(2)f (1)＝31＝3，g (－1)＝(13)－1＝3，f (π)＝3π，g (－π)＝(13)－π＝3π，f (m )＝3m ，g (－m )＝(13)－m ＝3m .从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，函数y ＝a x 与y ＝(1a )x 的图象关于y 轴对称．7．答案：C解析：∵b ＝2－1.5＝()，y ＝(12)x 是R 上的减函数，13<23<32，∴b <a <c .8．答案：B 解析：由已知，得0<1－2a <1，解得0<a <12，即实数a 的取值范围是(0，12).9．答案：CD解析：由指数函数y ＝a x 图象的性质知函数y ＝a x 的图象过第一、二象限，且恒过点(0，1)，而函数y ＝a x －(b ＋1)的图象是由y ＝a x 的图象向下平移(b ＋1)个单位长度得到的，如图，若函数y ＝a x －(b ＋1)的图象在第一、三、四象限，则a >1，且b ＋1>1，∴a >1，b >0.10．答案：BCD 解析：在同一坐标系中作出函数y ＝(12)x 与函数y ＝(13)x 的图象，如图所示．若(12)a ＝(13)b >1，则a <b <0；若(12)a ＝(13)b <1，则0<b <a ；若(12)a ＝(13)b ＝1，则b ＝a ＝0.11．答案：6解析：由指数函数y ＝(12)x 的单调性可知在x ＝－1处取最小值为2，在x ＝－2处取最大值为4.∴m ＋n ＝6.12．解析：(1)因为函数f (x )＝a x (x ≥0)的图象经过点(2，14)，所以a 2＝14，因为a >0且a ≠1，所以a ＝12.(2)由(1)得f (x )＝(12)x (x ≥0)，函数f (x )＝(12)x 为减函数，当x ＝0时，函数f (x )取最大值1，故f (x )∈(0，1]，所以函数y ＝f (x )＋1＝(12)x ＋1(x ≥0)∈(1，2]，故函数y ＝f (x )＋1(x ≥0)的值域为(1，2].13．答案：BCD解析：当b ＝0时，f (x )＝a bx 不是指数函数，A 不正确；由于f (x )＝a bx ＝(a b )x ，∴当a ＞1，b ＞0时，a b ＞1，f (x )是增函数；当a ＞1，b ＜0时，0＜a b ＜1，f (x )是减函数，故BCD 均正确．14．答案：19解析：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间x 的函数关系为y ＝2x －1(x ∈N *)，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶覆盖水面一半．。
人教高中数学必修二B版《指数与指数函数》指数函数、对数函数与幂函数说课复习(指数函数的性质与图像)
5 -3
8
与 1;
.
分析:若两个数是同底指数幂,则直接利用指数函数的单调性比
较大小;若不同底,一般用中间值法.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答
3
4
解:(1)∵0< <1,
3
∴y= 4 在定义域 R 内是减函数.
3 -1.8
3 -2.6
又∵-1.8>-2.6,∴
<
.
4
4
5
(2)∵0< <1,
1
(a>0,且
a≠1)的图像关于 y 轴对
称,分析指数函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的图像时,需找三个关键
点:(1,a),(0,1),
1
-1,
.
③指数函数的图像永远在 x 轴的上方.当 a>1 时,图像越接近于
y 轴,底数 a 越大;当 0<a<1 时,图像越接近于 y 轴,底数 a 越小.
解:因为y=(a2-3a+3)ax是指数函数,
所以
2 -3 + 3 = 1,
> 0,且 ≠ 1,
所以 a=2.
解得
= 1 或 = 2,
> 0,且 ≠ 1,
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答
当堂检测
反思感悟1.判断一个函数是指数函数的方法:
(1)看形式:即看是否符合y=ax(a>0,a≠1,x∈R)这一结构形式.
课堂篇探究学习
探究一
探究二
探究三
探究四
规范解答
人教B版高中同步学案数学必修第二册精品课件 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 对数运算法则
1 2 3 4
带有附加条件的代数式求值问题,需要对已知条件和所求式子进行化简转
化,原则上是化为同底的对数,以便利用对数的运算法则.要整体把握对数
式的结构特征,灵活运用指数式与对数式互化进行解题.
成果验收·课堂达标检测
1.(多选题)已知a,b均为不等于1的正数,则下列选项中与logab相等的有
( AD )
1
A.lo g
1 2 3 4
3
1
3
10-1+ =1+ +1-1+ =2.
4
4
4
3
4
=
2
.
4.计算:(1)3log72-log79+2log7
3
2√2
;
(2)(lg 2)2+lg 2×lg 500+lg 125;
(3)[(1-log63)2+log62×log618]÷log64.
解
9
(1)原式=log78-log79+log7 =log78-log79+log79-log78=0.
ln
4.任何对数均可用自然对数表示,即 logab=
过关自诊
1.换底公式中底数c是特定数还是任意数?
提示 换底公式等号右边的“底数c”是不定的,它可以是任何一个不为1的
正数.
2.(多选题)下列等式正确的是(ABC )
ln4
A.log34=ln3
lg4
B.log34=lg3
1
C.log34=lo g 3
lg
B.lg
C.log √ √
D.log bn(n∈R 且 n≠0)
解析
1
高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数 4.4 幂函数学案(含解析)新人教B版必修第二册-新人
4.4 幂函数学习目标1.通过具体问题,了解幂函数的概念.2.从描点作图入手,画出y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的图像,总结出幂函数的共性,巩固并会加以应用.3.理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征,能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题.自主预习1.一般地,幂函数的表达式为,其特征是以幂的为自变量,为常数.2.幂函数的图像及性质(1)在同一坐标系中,幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x12,y=x-1的图像如图.结合图像,填空.(1)所有的幂函数图像都过点,在(0,+∞)上都有定义.(2)当α>0时,幂函数图像过点,且在第一象限内单调;当0<α<1时,图像上凸,当α>1时,图像.(3)若α<0,则幂函数图像过点,并且在第一象限内单调,在第一象限内,当x从+∞趋向于原点时,函数在y轴右方无限地逼近于y轴,当x趋于+∞时,图像在x轴上方无限逼近x轴.(4)当α为奇数时,幂函数图像关于对称;当α为偶数时,幂函数图像关于对称.(5)幂函数在第象限无图像.课堂探究例1(1)下列函数:①y=x3;②y=(12)x;③y=4x2;④y=x5+1;⑤y=(x-1)2;⑥y=x;⑦y=a x(a>1).其中幂函数的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)已知y=(m2+2m-2)x x2-2+2n-3是幂函数,求m,n的值.跟踪训练1(1)已知幂函数f(x)=k·xα的图像过点(12,√22),则k+α等于()A.12B .1C.32D.2(2)已知f (x )=ax 2a+1-b+1是幂函数,则a+b 等于( )A.2B.1C.12D.0例2 比较下列各题中两个值的大小.(1)2.31.1和2.51.1;(2)(x 2+2)-13和2-13.跟踪训练2 比较下列各组数的大小. (1)(25)0.5与(13)0.5;(2)(-23)-1与(-35)-1.例3 讨论函数y=x 23的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.核心素养专练1.以下结论正确的是( )A.当α=0时,函数y=x α的图像是一条直线 B.幂函数的图像都经过(0,0),(1,1)两点C.若幂函数y=x α的图像关于原点对称,则y=x α在定义域内y 随x 的增大而增大 D.幂函数的图像不可能在第四象限,但可能在第二象限 2.下列不等式成立的是( ) A.(13)-12>(12)-12B.(34)23<(23)23C.(23)2>(32)2D.8-78<(19)783.函数y=x -3在区间[-4,-2]上的最小值是 .4.若幂函数f (x )=(m 2-m-1)x x2-2x -3在(0,+∞)上是减函数,则实数m= .参考答案自主预习1.y=x α底数 指数2.(1)(1,1) (2)(0,0),(1,1) 递增 下凸 (3)(1,1) 递减 (4)原点(0,0) y 轴 (5)四 课堂探究例1 (1)B解析:幂函数有①⑥两个. (2)由幂函数定义求参数值.解:由题意得{x 2+2x -2=12x -3=0,解得{x =-3,x =32或{x =1,x =32. 所以m=-3或1,n=32.跟踪训练1 (1)C解析:由幂函数的定义知k=1.又f (12)=√22,所以(12)x =√22,解得α=12,从而k+α=32.(2)A解析:因为f (x )=ax2a+1-b+1是幂函数,所以a=1,-b+1=0,即a=1,b=1,则a+b=2.例2 (1)考查幂函数y=x 1.1,因为在其区间[0,+∞)上是增函数,而且2.3<2.5,所以2.31.1<2.51.1. (2)考查幂函数y=x -13,因为其在区间(0,+∞)上是减函数,而且a 2+2≥2,所以(a 2+2)-13≤2-13.跟踪训练2 解:(1)因为幂函数y=x 0.5在(0,+∞)上是单调递增的, 又25>13,所以(25)0.5>(13)0.5.(2)因为幂函数y=x -1在(-∞,0)上是单调递减的, 又-23<-35,所以(-23)-1>(-35)-1.例3 因为y=x 23=√x 23,所以不难看出函数的定义域是实数集R .记f (x )=x 23,则f (-x )=(-x )23=√(-x)23=√x 23=x 23=f (x ),所以函数y=x 23是偶函数,因此,函数图像关于y轴对称.通过列表描点,可以先作出y=x 23在x ∈[0,+∞)时的函数图像,再根据对称性,可作出它在x ∈(-∞,0]时的图像,如图.由图像可以看出,函数在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增. 核心素养专练1.D2.A3.-18解析:因为函数y=x-3=1x3在(-∞,0)上单调递减,所以当x=-2时,y min=(-2)-3=-18.4.2解析:由题意,得m2-m-1=1,得m=2或m=-1.当m=2时,m2-2m-3=-3,符合要求.当m=-1时,m2-2m-3=0不符合要求.故m=2.学习目标1.掌握幂函数的概念、图像和性质.2.熟悉α=1,2,3,12,-1时的五类幂函数的图像、性质及其特点.3.能利用幂函数的图像与性质解决综合问题.自主预习1.在关系式N=a b(a>0,a≠1)中.①如果把b作为自变量,N作为因变量,这是什么函数?②如果把N作为自变量,b作为因变量,这是什么函数?③如果把a作为自变量,N作为因变量,这是什么函数?2.观察函数y=x,y=x2,y=x12,y=x-3,这几个函数有什么共同特点?把这几个函数的解析式改写成统一的形式.幂函数的定义:3.给出下列函数,其中是幂函数的有.①y=3x2②y=x2-1③y=-1x ④y=1x2⑤y=x-13⑥y=2x课堂探究1.问题①:给出下列函数:y=x,y=x12,y=x2,y=x-1,y=x3,考察这些解析式的特点,是否为指数函数?问题②:根据问题①,如果让我们起一个名字的话,你将会给它们起个什么名字呢?请给出一个一般性的结论.2.问题③:我们前面学习指对数函数的性质时,用了什么样的思路?研究幂函数的性质呢?问题④:根据函数y=x12,y=x3的性质画出图像.问题⑤:画出y=x,y=x12,y=x2,y=x-1,y=x3五个函数图像,通过对以上五个函数图像的观察,你能类比出一般的幂函数的性质吗?3.例题讲解例1已知y=(m2+2m-2)x x2-1+2n-3是定义域为R的幂函数,求m,n的值.例2比较下列各题中两个值的大小.(1)2.31.1,2.51.1;(2)(a2+2)-13,2-13.变式训练1比较下列各组的大小.(1)-8-78和-(19)78;(2)(-2)-3和(-2.5)-3;(3)(1.1)-0.1和(1.2)-0.1;(4)(4.1)25,(3.8)-23和(-1.9)34.例3讨论函数y=x23的定义域、奇偶性,通过描点作出它的图像,并根据图像说明函数的单调性.变式训练2求下列幂函数的定义域,并指出其奇偶性、单调性.(1)y=x25;(2)y=x-34;(3)y=x-2.核心素养专练1.(多选题)给出下列说法,其中正确的是()A.幂函数的图像均过点(1,1)B.幂函数的图像都在第一象限内出现C.幂函数在第四象限内可以有图像D.任意两个幂函数的图像最多有两个交点2.已知幂函数f(x)的图像经过点(8,4),则f(127)的值为()A.19B.9 C.13D.33.已知a=243,b=425,c=2513,则()A.b<a<cB.a<b<cC.b<c<aD.c<a<b4.若幂函数y=(m2-3m+3)x m-2的图像不过原点,则()A.1≤m≤2B.m=1或m=2C.m=2D.m=15.(开放性题)(1)已知函数f(x)=xα的定义域为[0,+∞),则满足条件的α可以是.(写出两个满足条件的α值)(2)已知幂函数f(x)=xα的图像经过点(0,0),(1,1),(-1,1),(4,2)中的三个点,则满足条件的α可以是.6.如图所示是6个函数的图像,则图中的a,b,c,d从大到小排列为.7.已知幂函数f(x)=xα的图像经过点(2,18),则α=,若f(a+1)<f(3-2a),实数a的取值集合为.8.求出下列函数的定义域,并判断函数的奇偶性.(1)f(x)=x2+x-2;(2)f(x)=x+3x23(3)f(x)=x3+x13;(4)f(x)=2x4+x-12.9.在同一个直角坐标系中,作出下列函数的图像,并总结出一般规律.(1)y=x-3,y=x-13,(2)y=x94,y=x49.参考答案自主预习略 课堂探究1.略2.略3.例1 m=-3,n=32例2 (1)2.31.1<2.51.1 (2)(a 2+2)-13≤2-13变式训练1 (1)-8-78<-(19)78(2)(-2)-3<(-2.5)-3(3)(1.1)-0.1>(1.2)-0.1(4)(-1.9)34<(3.8)-23<(4.1)25例3 通过列表描点,可以先作出y=x 23在x ∈[0,+∞)时的函数图像,再根据对称性,可作出它在x ∈(-∞,0]时的图像.作图略.由图像可以看出,函数y=x 23在区间(-∞,0]上单调递减,在区间[0,+∞)上单调递增.变式训练2 (1)定义域为R,是偶函数,在[0,+∞)单调递增,在(-∞,0]上单调递减. (2)定义域为(0,+∞),非奇非偶函数,在(0,+∞)上单调递减.(3)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),是偶函数,在(-∞,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减. 核心素养专练1.AB2.D3.A4.B5.(1)α=12或α=34 (2)2或12 6.d>b>c>a 7.-3 (-∞,-1)∪(23,32)8.(1){x|x ≠0},偶函数 (2)R,非奇非偶函数 (3)R,奇函数 (4){x|x>0},非奇非偶函数 9.作图略.(1)幂函数在(0,+∞)都有定义,并且函数图像都通过点(1,1). (2)如果α>0,则幂函数的图像过点(0,0),(1,1)并在(0,+∞)上为增函数. (3)如果α<0,则幂函数的图像过点(1,1),并在(0,+∞)上为减函数.。
【精准解析】2021学年高中数学人教B版必修第二册训练：4.2.1+对数运算
三、解答题
9．将下列对数式与指数式进行互化．
(1)2－4＝ 1 ； (2)53＝125； 16
(3)lg a＝2; (4)log232＝5． [解析] (1)log2116＝－4． (2)log5125＝3． (3)102＝A． (4)25＝32．
10．计算：23＋log23＋35－log39 的值． [解析] 23＋log23＋35－log39＝23·2log23＋35·3－log39 ＝8×3＋35×312＝24＋27＝51．
2．使对数 loga(－2a＋1)有意义的 a 的取值范围为( B )
A．0＜a＜1且 a≠1 2
B．0＜a＜1 2
C．a＞0 且 a≠1
D．a＜1 2
－2a＋1＞0 [解析] 由对数的性质，得 a＞0
a≠1
，解得 0＜a＜1． 2
3．log7(log3x)＝－1，则 x 的值为( C )
A．1 7
-4-
-3-
3x2＋2x－1＞0 ∴ 2x2－1＞0
2x2－1≠1 3x2＋2x－1＝2x2－1
，解得 x＝－2．
9．已知 loga3＝m，loga2＝n． (1)求 am＋2n 的值；
(2)若 0＜x＜1，x＋x－1＝a，且 am＋n＝alog36，求 x2－x－2 的值． [解析] (1)由 loga3＝m，loga2＝n 得 am＝3，an＝2， 因此 am＋2n＝am·a2n＝3×22＝12． (2)∵am＋n＝alog36，∴6＝alog36，即 a＝3，因此 x＋x－1＝3． 于是(x－x－1)2＝(x＋x－1)2－4＝5，由 0＜x＜1 知 x－x－1＜0， 从而 x－x－1＝－ 5，∴x2－x－2＝(x－x－1)(x＋x－1)＝－3 5．
人教B版高中数学必修第二册 4.3 指数函数与对数函数的关系【课件】
可知 f(x)∈12，1.故不等式－1≤f－1(x)≤12的解集为[－2，0)∪12，1.
5．[多选]已知函数 f(x)＝12x的图像与函数 g(x)的图像关于直线 y＝ x 对称，令 h(x)＝g(1－|x|)，则关于函数 h(x)的说法正确的是( )
A．函数 h(x)的图像关于原点对称 B．函数 h(x)为偶函数 C．函数 h(x)的最小值为 0 D．函数 h(x)在(0，1)上为减函数
解析 ∵y＝e2x>0，2x＝ln y，x＝12ln y，∴y＝e2x 的反函数为 y＝12ln
x，x>0.
2．已知函数y＝log3(3－x)(0≤x<3)，则它的反函数是( )
A．y＝3－3x(x≥0)
B．y＝3＋3x(x≤1)
C．y＝3＋3x(x≥0)
D．y＝3－3x(x≤1)
解析 ∵0≤x<3，∴y≤1.又3－x＝3y，∴x＝3－3y.∴y＝log3(3－ x)的反函数为y＝3－3x，x≤1.
8．已知函数f(x)＝log2(1－2x)． (1)求函数f(x)的定义域和值域； (2)求证：函数y＝f(x)的图像关于直线y＝x对称．
解 (1)要使函数f(x)＝log2(1－2x)有意义，则1－2x>0， 即2x<1.故x<0，此时0<1－2x<1， 所以f(x)＝log2(1－2x)<0， 故函数f(x)的定义域为(－∞，0)，值域为(－∞，0)． (2)证明：由y＝f(x)＝log2(1－2x)可得1－2x＝2y，解得x＝log2(1－ 2y)，故原函数的反函数为y＝f(x)＝log2(1－2x)，与原函数相同，所以函 数f(x)的图像关于直线y＝x对称．
B．(0，＋∞)
C．－
人教B版高中数学必修第二册4.23 第1课时 对数函数的概念、性质与图像【课件】
知识点三 利用对数函数的单调性比较大小
9．已知 log3b＜log3a＜log3c，则( )
5
5
5
A．7a＞7b＞7c
B．7b＞7a＞7c
C．7c＞7b＞7a
解析 令x＋3＝1，即x＝－2，得y＝loga1＋1＝1，故函数y＝loga(x ＋3)＋1的图像过定点(－2，1)．
[解题通法] 求对数型函数图像过定点的方法 求函数y＝m＋logaf(x)(a>0且a≠1)的图像过定点时，只需令f(x)＝1 求出x，即得定点为(x，m)．
5．[多选]函数f(x)＝loga(x＋2)(0<a<1)的图像一定过( )
为对数函数，∴a>0， a≠1，
解得
a＝2，∴f(x)＝log2x，∴f
1 8
＝log218＝－3.故选
B.
[易错分析] 本题容易忽视底数a应满足的条件：a>0且a≠1.
知识点二 对数函数的图像及对数型函数的图像
3．已知对数函数
f(x)的图像过点
M(8，3)，则
f
1 2
＝(
)
A．1
B．－1 C．2
D．7c＞7a＞7b
解析 由于函数 y＝log3x 为减函数，因此由 log3b＜log3a＜log3c 可
5
5
5
5
得 b＞a＞c，又函数 y＝7x 为增函数，所以 7b＞7a＞7c.
10．比较下列各组中两个值的大小(e 为自然对数的底数)：
(1) log20.5，log20.6；
人教B版高中数学必修第二册4.2.3.1对数函数的概念【上课课件】
所以f(8)＝log 1 8＝－3.
2
题型2 求函数的定义域[经典例题]
例2 求下列函数的定义域：
真数大于0.
(1)y＝log3x2;
(2)y＝loga(4－x)(a＞0，且a≠1).
【解析】 (1)因为x2＞0，即x≠0，所以函数y＝log3x2的定义域是{x|x≠0}．
(2)因为4－x＞0，即x＜4，所以函数y＝loga(4－x)的定义域是{x|x＜4}．
D．(－∞，1)
)
答案：D
解析：要使f(x)有意义，则1－x>0，∴x<1，∴f(x)的定义域为(－∞，1)．
4．在同一个坐标系下，函数y＝2x与函数y＝log x的图象都正确的是
1
(
)
2
答案：A
解析：指数函数y＝2x是增函数，对数函数y＝log 1 x是减函数，故选A.
2
课堂探究·素养提升
题型1 对数函数的概念[经典例题]
是对数函数．(3)中真数为x＋1，不是x，系数不为1，故不是对数函数．(4)中底数
是自变量x，而非常数，所以不是对数函数．(5)中底数是6，真数为x，系数为1，
符合对数函数的定义，故是对数函数．
方法归纳
判断一个函数是对数函数的方法
跟踪训练1
(1)若函数f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是对数函数，则实数a＝________；
方法归纳
求定义域有两种题型，一种是已知函数解析式求定义域，常规为：
分母不为0；0的零次幂与负指数次幂无意义；偶次根式被开方式(数)
非负；对数的真数大于0，底数大于0且不等于1.另一种是抽象函数的
定义域问题．同时应注意求函数定义域的解题步骤．
跟踪训练2 求下列函数的定义域：
高中数学 第四章 指数函数、对数函数与幂函数综合测试训练(含解析)新人教B版必修第二册-新人教B版高
第四章综合测试(时间：120分钟 满分150分)一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．若n ∈N ，a ∈R ，给出下列式子：①4－42n；②4－42n ＋1；③5a 4；④4a 5.其中恒有意义的式子的个数是( B )A ．1B ．2C ．3D ．4 [解析] 根据根指数是偶数时，被开方数非负，可知②无意义；当a ＜0时，④无意义；恒有意义的是①③.故选B ．2．函数y ＝log 12x －3的定义域为( C )A ．(－∞，18]B ．[18，＋∞)C ．(0，18]D ．(0,8][解析] 要使函数y ＝log 12x －3有意义，应满足log 12x －3≥0， ∴log 12x ≥3，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0x ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18，∴0＜x ≤18，故选C ．3．下列不等式中正确的是( C ) A ．lg 0.1＞lg 0.2 B ．0.20.1＜0.20.2C ．0.20.1＞lg 0.1D ．0.10.2＜lg 0.2[解析] lg 0.1＜0,0.20.1＞0，∴0.20.1＞lg 0.1，故选C ． 4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x x ＞0⎝ ⎛⎭⎪⎫12xx ≤0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝( D ) A ．－18B ．18C ．－8D ．8[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝log 3127＝log 33－3＝－3，f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫127＝f (－3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－3＝8，故选D ．5．若a ＞b ＞1,0＜c ＜1，则( C ) A ．a c＜b cB ．ab c ＜ba cC ．a log b c ＜b log a cD ．log a c ＜log b c[解析] 令a ＝4，b ＝2，c ＝12，则a c ＝412 ＝2，b c ＝212 ＝2，∴a c ＞b c，排除A ；ab c ＝42，ba c ＝4，∴ab c ＞ba c ，排除B ；log a c ＝log 412＝－12，log b c ＝log 212＝－1，∴log a c ＞log b c ，排除D ，故选C ．6．已知f (x )是函数y ＝log 2x 的反函数，则y ＝f (1－x )的图像是( C )[解析] 因为函数y ＝log 2x 的反函数是y ＝2x ，所以f (x )＝2x .故f (1－x )＝21－x，因为此函数在R 上是减函数，且过点(0,2)．因此选C ．7．下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )f (y )”的增函数是( B ) A ．f (x )＝x 3B ．f (x )＝3xC ．f (x )＝x 12D ．f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x[解析] 对于函数f (x )＝x 3，f (x ＋y )＝(x ＋y )3，f (x )f (y )＝x 3·y 3，而(x ＋y )3≠x 3y 3，所以f (x )＝x 3不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故A 错误； 对于函数f (x )＝3x，f (x ＋y )＝3x ＋y＝3x ·3y ＝f (x )f (y )，因此f (x )＝3x满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，且f (x )＝3x是增函数，故B 正确；对于函数f (x )＝x 12 ，f (x ＋y )＝(x ＋y )12 ，f (x )f (y )＝x 12 y 12 ＝(xy )12 ，而(x ＋y )12 ≠(xy )12 ，所以f (x )＝x 12 不满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，故C错误；对于函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，f (x ＋y )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12y＝f (x )·f (y )，因此f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 满足f (x ＋y )＝f (x )f (y )，但f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x不是增函数，故D 错误．8．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1x ＜12xx ≥1，则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值X 围是( C )A ．[23，1]B ．[0,1]C ．[23，＋∞)D ．[1，＋∞)[解析] 由f [f (a )]＝2f (a )可得f (a )≥1，故有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜13a －1≥1或⎩⎪⎨⎪⎧a ≥12a≥1，二者取并集即得a 的取值X 围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞，故选C ．二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分)9．已知实数a ，b 满足等式3a＝6b，给出下列四个关系式：①a ＝b ；②0＜b ＜a ；③a ＜b ＜0；④b ＜0＜A ．其中可能成立的是( ABC )A ．①B ．②C ．③D ．④[解析] 在同一个坐标系中画出函数y ＝3x，y ＝6x的图象如图所示．由图像，可知当a ＝b ＝0时，3a＝6b，故①可能成立；作出直线y ＝k ，如图所示，当k ＞1时，若3a＝6b，则0＜b ＜a ，故②可能成立；当0＜k ＜1时，若3a＝6b，则a ＜b ＜0，故③可能成立．故选ABC ．10．对于0＜a ＜1，下列四个不等式中成立的是( BD )A ．log a (1＋a )＜log a ⎝⎛⎭⎪⎫1＋1a B ．log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1aC ．a1＋a＜a1＋1aD ．a1＋a＞a1＋1a[解析] 因为0＜a ＜1，所以a ＜1a ，从而1＋a ＜1＋1a，所以log a (1＋a )＞log a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ．又因为0＜a ＜1，所以a1＋a＞a1＋1a．11．设函数f (x )＝2x，对于任意的x 1，x 2(x 1≠x 2)，下列命题中正确的是( ACD ) A ．f (x 1＋x 2)＝f (x 1)·f (x 2)B ．f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2) C ．f x 1－f x 2x 1－x 2＞0D ．f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22[解析] 2x 1·2x 2＝2x 1＋x 2，所以A 成立，2x 1＋2x 2≠2x 1·x 2，所以B 不成立，函数f (x )＝2x，在R 上是单调递增函数，若x 1＞x 2则f (x 1)＞f (x 2)，则f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，若x 1＜x 2，则f (x 1)＜f (x 2)，则f x 1－f x 2x 1－x 2＞0，故C 正确；f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＜f x 1＋f x 22说明函数是凹函数，而函数f (x )＝2x是凹函数，故ACD 正确．12．关于函数f (x )＝|ln |2－x ||，下列描述正确的有( ABD ) A ．函数f (x )在区间(1,2)上单调递增 B ．函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称 C ．若x 1≠x 2，但f (x 1)＝f (x 2)，则x 1＋x 2＝4 D ．函数f (x )有且仅有两个零点[解析] 函数f (x )＝|ln |2－x ||的图像如图所示：由图可得：函数f (x )在区间(1,2)上单调递增，A 正确；函数y ＝f (x )的图像关于直线x ＝2对称，B 正确；若x 1≠x 2，但f (x 1)＝f (x 2)，则当x 1，x 2＞2时，x 1＋x 2＞4，C 错误；函数f (x )有且仅有两个零点，D 正确．三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中的横线上) 13．设函数f (x )＝x －a (其中a 为常数)的反函数为f －1(x )，若函数f －1(x )的图像经过点(0,1)，则方程f －1(x )＝2的解为__1__．[解析] 由y ＝f (x )＝x －a ，得x －a ＝y 2(y ≥0)把点(0,1)代入得a ＝1． 所以f －1(x )＝x 2＋1(x ≥0)．由f －1(x )＝2，得x 2＋1＝2，即x ＝1．14．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2e x －1，x ＜2log 32x－1，x ≥2，则f [f (2)] ＝__2__．[解析] 因为f (2)＝log 3(22－1)＝1， 所以f [f (2)]＝f (1)＝2e1－1＝2．15．已知函数f (x )＝b －2x2x ＋1为定义在区间[－2a,3a －1]上的奇函数，则a ＝__1__，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝__22－3__．[解析] 因为f (x )是定义在[－2a,3a －1]上的奇函数． 所以定义域关于原点对称， 即－2a ＋3a －1＝0，所以a ＝1， 因为函数f (x )＝b －2x2x ＋1为奇函数， 所以f (－x )＝b －2－x 2－x ＋1＝b ·2x －11＋2x ＝－b －2x1＋2x ，即b ·2x－1＝－b ＋2x，所以b ＝1， 所以f (x )＝1－2x1＋2x ，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝1－212 1＋212 ＝1－21＋2＝22－3．16．下列说法中，正确的是__①④__． ①任取a ＞0，均有3a ＞2a， ②当a ＞0，且a ≠1，有a 3＞a 2， ③y ＝(3)－x是增函数，④在同一坐标系中，y ＝2x与y ＝2－x的图像关于y 轴对称． [解析] ∵幂函数y ＝x a ，当a ＞0时， 在(0，＋∞)上是增函数， ∵3＞2，∴3a＞2a，故①正确；当a ＝0.1时，0.13＜0.12，故②错； 函数y ＝(3)－x＝⎝⎛⎭⎪⎫33x是减函数，故③错； 在同一坐标系中，y ＝2x 与y ＝2－x＝(12)x 的图像关于y 轴对轴，故④正确．四、解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)计算下列各式的值． (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2＋(1－2)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27823 ； (2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8．[解析] (1)⎝ ⎛⎭⎪⎫23－2＋(1－2)0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫27823 ＝94＋1＋94＝112．(2)2lg 2＋lg 31＋12lg 0.36＋13lg 8＝lg 4＋lg 31＋lg 0.6＋lg 2＝lg 12lg 12＝1．18．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝2x －1＋a (a 为常数，且a ∈R )恒过点(1,2)．(1)求a 的值；(2)若f (x )≥2x，求x 的取值X 围．[解析] (1)f (1)＝20＋a ＝1＋a ＝2，解得a ＝1． (2)由f (x )＝2x －1＋1＝2x 2＋1≥2x ，得2x2≤1，即2x －1≤1＝20，即x －1≤0，解得x ≤1，因此，实数x 的取值X 围是(－∞，1]．19．(本小题满分12分)求函数y ＝(2x )2－2×2x＋5，x ∈[－1,2]的最大值和最小值． [解析] 设2x＝t ，因为x ∈[－1,2]，所以2x＝t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，4则y ＝t 2－2t ＋5为二次函数，图像开口向上，对称轴为t ＝1， 当t ＝1时，y 取最小值4，当t ＝4时，y 取最大值13．20．(本小题满分12分)已知幂函数y ＝f (x )的图像过点(8，m )和(9,3)． (1)求m 的值；(2)若函数g (x )＝log a f (x )(a ＞0，a ≠1)在区间[16,36]上的最大值比最小值大1，某某数a 的值．[解析] (1)由题意，y ＝f (x )是幂函数，设f (x )＝x α，图像过点(8，m )和(9,3)可得9α＝3，所以α＝12，故f (x )＝x 12 ，所以m ＝f (8)＝22，故m 的值为22．(2)函数g (x )＝log a f (x )，即为g (x )＝log a x ， 因为x 在区间[16,36]上，所以x ∈[4,6]， ①当0＜a ＜1时，g (x )min ＝log a 6，g (x )max ＝log a 4， 由log a 4－log a 6＝log a 23＝1，解得a ＝23．②当a ＞1时，g (x )min ＝log a 4，g (x )max ＝log a 6，由log a 6－log a 4＝log a 32＝1，解得a ＝32，综上可得，实数a 的值为23或32．21．(本小题满分12分)一片森林原来的面积为a ，计算每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到森林面积的一半时，所用时间是10年．为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的14，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的22．(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已被砍伐了多少年？ (3)今后最多还能砍伐多少年？[解析] (1)设每年砍伐面积的百分比为x (0＜x ＜1)，则a (1－x )10＝12a ，即(1－x )10＝12，解得x ＝1－(12)110 ．(2)设经过m 年剩余面积为原来的22， 则a (1－x )m＝22a ， 即(12)m 10 ＝(12)12 ，m 10＝12，解得m ＝5， 故到今年为止，该森林已被砍伐5年． (3)设从今年开始，以后最多能砍伐n 年，则n 年后剩余面积为22a (1－x )n ． 令22a (1－x )n ≥14a ，即(1－x )n ≥24， (12)n 10 ≥(12)32 ，n 10≤32，解得n ≤15． 故今后最多还能砍伐15年．22．(本小题满分12分)已知函数f (x )＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋a ．(1)若函数f (x )是R 上的奇函数，求a 的值；(2)若函数f (x )的定义域是一切实数，求a 的取值X 围；(3)若函数f (x )在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2，某某数a 的取值X 围． [解析] (1)函数f (x )是R 上的奇函数，则f (0)＝0，求得a ＝0． 又此时f (x )＝－x 是R 上的奇函数，所以a ＝0为所求． (2)函数f (x )的定义域是一切实数，则12x ＋a ＞0恒成立．即a ＞－12x 恒成立，由于－12x ∈(－∞，0)．故只要a ≥0即可．(3)由已知函数f (x )是减函数，故f (x )在区间[0,1]上的最大值是f (0)＝log 2(1＋a )．最小值是f (1)＝log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a ．由题设log 2(1＋a )－log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋a ≥2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＋12＞0a ＋1≥4a ＋2．故－12＜a ≤－13为所求．。
4.3.1【优化指导】2020-2021学年新教材高中数学选择性必修第二册(人教B版)
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第四章 概率与统计
课堂探究案
探究一 相关系数大小对变量相关性的影响
i＝1
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第四章 概率与统计
(1)根据散点图判断 y＝a＋bx 与 y＝c＋d x哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； (3)已知这种产品的年利润 z 与 x，y 的关系为 z＝0.2y－x.根据(2)的结 果回答下列问题： ①年宣传费 x＝49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？
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第四章 概率与统计
附：对于一组数据(u1，v1)，(u2，v2)，…，(un，vn)，其回归直线 v ＝α^＋β^u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
n
n
xi－ x yi－ y xiyi－n x y
β^＝i＝1
＝i＝1
，α^＝－v －β^－u .
n
xi－ x 2
第四章 概率与统计
4 ． 在 一 组 样 本 数 据 (x1 ， y1) ， (x2 ， y2) ， … ， (xn ， yn)(n≥2 ， x1 ， x2，…，xn不全相等)的散点图中，若所有本点(xi，yi)(i＝1,2,3，…，n)都 在 直 线 2x ＋ y － 1 ＝ 0 上 ， 则 这 组 样 本 数 据 的 样 本 相 关 系 数 r 为 ____________．
人教B版高中数学必修第二册4.1.2指数函数的性质与图象(二)【含答案】
4．1.2指数函数的性质与图象(二)必备知识基础练进阶训练第一层1．函数y＝(a2－4a＋4)a x是指数函数，则a的值是()A．4B．1或3C．3D．12．若f(x)＝(12)|x|，x∈R，那么f(x)是()A．奇函数且在(0，＋∞)上是增函数B．偶函数且在(0，＋∞)上是增函数C．奇函数且在(0，＋∞)上是减函数D．偶函数且在(0，＋∞)上是减函数3．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是() A．a<b<c B．a<c<bC．b<a<c D．b<c<a4．若(14)2a＋1<(14)8－2a，则实数a的取值范围是()A．(74，＋∞)B．(1，＋∞)C．(－∞，1)D．(－∞，74)5．函数y＝1－2x的定义域为________，值域为________．6．(1)函数f(x)＝3x－3(1＜x≤5)的值域是________；(2)已知(a2＋a＋2)x>(a2＋a＋2)1－x，则x的取值范围是________；(3)已知a－5x>a x＋7(a>0，且a≠1)，求x的取值范围．关键能力综合练进阶训练第二层7．函数y＝a x－1的定义域是(－∞，0]，则a的取值范围为()A．a＞0B．a＜1C．0＜a＜1D．a≠08．同一直角坐标系中函数y＝(12)x，y＝(13)x，y＝3x，y＝2x的图象如图所示，则上述函数分别对应的图象是()A ．①②③④B ．②①③④C ．④③②①D ．③④②①9．(多选)关于函数f (x )＝e x －e －x 2的说法中，正确的是()A ．偶函数B ．奇函数C ．在(0，＋∞)上是增函数D ．在(0，＋∞)上是减函数10．函数y ＝(12)x 2＋2x －1的值域是()A ．(－∞，4)B ．(0，＋∞)C ．(0，4]D ．[4，＋∞)11．(易错题)若函数f (x )x ，x >1，4－a 2）x ＋2，x ≤1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围为()A ．(1，＋∞)B ．(1，8)C ．(4，8)D ．[4，8)12．方程|2x －1|＝a 有唯一实数解，则a 的取值范围是________．核心素养升级练进阶训练第三层13．若定义运算a *b ，a ≥b ，，a <b ，则函数f (3x *3－x )的值域是()A ．(0，1]B ．[1)C ．(0，＋∞)D ．(－∞，＋∞)14．已知函数f (x )＝3x ，且f (a ＋2)＝18，g (x )＝3ax －4x 的定义域为[－1，1].(1)求3a 的值及函数g (x )的解析式；(2)试判断函数g (x )的单调性；(3)若方程g (x )＝m 有解，求实数m 的取值范围．参考答案与解析1．答案：C解析：>0，≠1，2－4a ＋4＝1，得a ＝3，故选C.2．答案：D解析：由x ∈R 且f (－x )＝f (x )知f (x )是偶函数，当x >0时，f (x )＝(12)x 是减函数．3．答案：C解析：∵1.50.6>1.50＝1，0.60.6<0.60＝1，故1.50.6>0.60.6，又函数y ＝0.6x 在(－∞，＋∞)上是减函数，且1.5>0.6，所以0.61.5<0.60.6，故0.61.5<0.60.6<1.50.6.4．答案：A 解析：因为函数y ＝(14)x 在R 上为减函数，所以2a ＋1>8－2a ，所以a >74.5．答案：(－∞，0][0，1)解析：由1－2x ≥0，得2x ≤1，∴x ≤0，∴y ＝1－2x 的定义域为(－∞，0].由0<2x ≤1，得－1≤－2x <0，∴0≤1－2x <1，∴y ＝1－2x 的值域为[0，1).6．答案：(1)(19，9](2)(12，＋∞)(3)见解析解析：(1)因为1＜x ≤5，所以－2＜x －3≤2.而函数f (x )＝3x 是单调递增的，于是有19＜f (x )≤32＝9，即所求函数的值域为(19，9].(2)∵a 2＋a ＋2＝(a ＋12)2＋74>1，∴(a 2＋a ＋2)x >(a 2＋a ＋2)1－x ⇔x >1－x ⇔x >12.∴x ∈(12，＋∞).(3)当a >1时，∵a －5x >a x ＋7，∴－5x >x ＋7，解得x <－76；当0<a <1时，∵a －5x >a x ＋7，∴－5x <x ＋7，解得x >－76.综上所述，当a >1时，x 的取值范围为(－∞，－76)；当0<a <1时，x 的取值范围为(－76，＋∞).7．答案：C解析：由a x －1≥0，得a x ≥a 0.∵函数的定义域为(－∞，0]，∴0＜a ＜1.8．答案：A解析：由指数函数的图象在y 轴右侧“底大图高”的特点知选A.9．答案：BC解析：f (－x )＝e －x －e x 2＝－e x －e －x 2＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数；当x 增大时，e x －e －x 增大，故f (x )增大，故函数f (x )为增函数．10．答案：C 解析：设t ＝x 2＋2x －1，则y ＝(12)t .因为t ＝(x ＋1)2－2≥－2，y ＝(12)t 为关于t 的减函数，所以0<y ＝(12)t ≤(12)－2＝4，故所求函数的值域为(0，4].11．答案：D解析：由题意可知，f (x )在R 上是增函数，－a 2>0，>1，－a 2＋2≤a ，解得4≤a ＜8，故选D.12．答案：a ≥1或a ＝0解析：作出y ＝|2x －1|的图象，如图，要使直线y ＝a 与图象的交点只有一个，∴a ≥1或a ＝0.13．答案：A解析：当x ≥0时，3x ≥3－x ，∴f (3x *3－x )＝3－x ∈(0，1]；当x <0时，3x <3－x ，∴f (3x *3－x )＝3x ∈(0，1)，∴f (3x *3－x )的值域为(0，1].14．解析：(1)f (a ＋2)＝3a ＋2＝32·3a ＝18，所以3a ＝2，所以g (x )＝(3a )x －4x ＝2x －4x .(2)g (x )＝2x －4x ＝－(2x )2＋2x ，令2x ＝t ∈12，2，所以g (x )＝μ(t )＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14在t ∈12，2上单调递减，又t ＝2x 为单调递增函数，所以g (x )在x ∈[－1，1]上单调递减．(3)由(2)知g (x )＝μ(t )＝－t 2＋t ＝－(t －12)2＋14，在t ∈12，2上单调递减，所以g (x )∈－2，14，即m ∈－2，14.。
数学人教B版必修第二册 4.3指数函数与对数函数的关系 作业 Word版含解析
2020-2021学年高一数学人教B 版（2019）必修二同步课时作业 4.3指数函数与对数函数的关系1.下列四个函数中,在区间(0,1)上是减函数的是( )A.2log y x =B.1y x =C.12x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭D.23y x = 2.已知函数1()2x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭,则函数(1)f x +的反函数的图像可能是图中的( ) A. B.C. D.3.若函数()f x 的图像与函数()10x g x =的图像关于直线y x =对称,则(100)f =( )A.10B.-1C.2D.-2 4.设0.0122log 3,3,a b c ===,则( ) A.c a b << B.a b c << C.a c b << D.b a c <<5.设0.321log 0.6,log 0.62m n ==，则( ) A ．m n m n mn ->+>B ．m n mn m n ->>+C ．m n m n mn +>->D ．mn m n m n >->+6.已知121211,log ,,2m m a m b c m ⎛⎫>=== ⎪⎝⎭则( ) A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. b c a << 7.已知()()0,1x f x a a a =>≠且，()g x 为()f x 的反函数.若()()220f g -⋅<，那么()f x 与()g x 在同一坐标系内的图象可能是( )A. B. C. D.8.函数2()(0)f x x x =>的反函数为__________.9.已知1()2x f x x+=,其反函数为1()f x -,则1(0)f -=___________. 10.已知函数()2x f x =的反函数为1()f x -.(1)若11()(1)1f x f x ----=,求实数x 的值;(2)若关于x 的方程()(1)0f x f x m +--=在区间[]1,2内有解,求实数m 的取值范围.答案以及解析1.答案：B解析：A.2log y x =在(0,)+∞上是增函数,∴2log y x =在(0,1)上是增函数,故错;B.1y x =在(0,)+∞上是减函数,∴1y x =在(0,1)上是减函数,故对;C.12x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在R 上是增函数,∴12x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭在(0,1)上是增函数,故错;D.23y x =在(0,)+∞上是增函数,∴23y x =在(0,1)上是增函数,故错.故选B.2.答案：D 解析：函数1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭的图像恒过点(0,1),则函数(1)f x +的图像恒过点(1,1)-, 则其反函数的图像恒过点(1,1)-.而选项A,B,C 中的图像明显不过点(1,1)-,故排除.所以正确选项为D.3.答案：C解析：()f x 与()g x 关于y x =对称()f x ⇒为()g x 的反函数,∴()lg (100)lg1002f x x f =⇒==.故选C.4.答案：A解析：先和0比较,0.0122log log 10,30,ln10a b c ===>=<=,得到c 最小;再与1比较,0.01022log log 21,331a b =<==>=,得到b 最大.综上,b a c >>.故选A.5.答案：A 解析：0.30.321log 0.6log 10,log 0.62m n =>==，则210log 102mn <<=. 0.60.60.60.611log 0.3log 4log 1.2log 0.61m n+=+=<=， ∴m n mn +>.∴m n m n mn ->+>.故选：A.6.答案：A解析：当1m >时，由对数函数的性质可知0,01,1a b c <<<>，则a b c <<成立．故选：A ．7.答案：C解析：因为()20f ->，又()()220f g -<，所以()20g <，又因为()f x 与()g x 的单调性相同，所以C 正确.8.答案：1()0)f x x ->解析：由2(0)y x x =>,解得x =,∴1()0)f x x -=>,故答案为1()0)f x x -=>.9.答案：-1 解析：∵1()2x f x x +=,则由12x y x +=,得21xy x =+,∴121x y =-,∴11()21f x x -=-,∴11(0)1201f -==-⨯-. 10.答案：(1)由题意可得12()log f x x -=, 所以2222log log (1)1log log 21x x x x --=⇒=-, 所以2213x x x =⇒=-. (2)由()(1)0f x f x m +--=,可得222x x m =+, 令[]22,4x t =∈,所以2m t t=+, 所以当[]2,4t ∈时,函数2m t t=+为增函数, 所以函数的最小值为3,最大值为92,所以实数m 的取值范围为93,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.。
人教B版高中数学必修第二册4.3指数函数与对数函数的关系【含答案】
4．3指数函数与对数函数的关系1．函数y＝log3x的反函数是()A．y＝log13x B．y＝3xC．y＝(13)x D．y＝x32．函数y＝3x(0＜x≤2)的反函数的定义域为()A．(0，＋∞)B．(1，9]C．(0，1)D．[9，＋∞)3．函数f(x)＝log2(3x＋1)的反函数y＝f－1(x)的定义域为()A．(1，＋∞)B．[0，＋∞)C．(0，＋∞)D．[1，＋∞)4．函数y＝f(x)的反函数存在，若点(2，1)在y＝f(x)的图象上，则其反函数一定过点________．5．已知函数f(x)＝log2(x＋a)的反函数为y＝f－1(x)，且f－1(2)＝1，则实数a＝________．6．求下列函数的反函数．(1)y＝2x＋1(x<0)；(2)y＝e x＋1.7．函数y＝1x＋5(x≠－5)的反函数是()A．y＝1x－5(x≠0)B．y＝x＋5(x∈R)C．y＝1x＋5(x≠0)D．y＝x－5(x∈R)8．(多选)下列说法不正确的是()A．函数y＝a x与y＝(1a )x的图象关于x轴对称B．函数y＝log a x与y＝log1的图象关于y轴对称C．函数y＝a x与y＝log a x的图象关于直线y＝x对称D．函数y＝a x与y＝log a x的图象关于y轴对称9．将y＝2x的图象________，再作关于直线y＝x对称的图象，可得到函数y＝log2(x＋1)的图象()A．先向上平移一个单位长度B．先向右平移一个单位长度C．先向左平移一个单位长度D．先向下平移一个单位长度10．(多选)已知f(x)2（x－1），x>1，（12）x，x≤1，则下列结论正确的是()A．f(f(1))＝22B．f(f(－1))＝12C．f(f(0))＝12D．f(f(20202019))＝201911．已知函数f(x)＝1＋log a x，y＝f－1(x)是函数y＝f(x)的反函数，若y＝f－1(x)的图象过点(2，4)，则a的值为________．12．设函数f(x)＝log a x(a>0且a≠1)满足f(27)＝3，则f－1(log92)的值是________．13．设方程2x＋x－3＝0的根为a，方程log2x＋x－3＝0的根为b，求a＋b的值．14．已知f(x)＝log a(a x－1)(a>0，且a≠1).(1)求f(x)的定义域；(2)讨论f(x)的单调性；(3)解方程f(2x)＝f－1(x).参考答案与解析1．答案：B解析：∵y ＝log 3x ，∴3y ＝x ，∴函数y ＝log 3x 的反函数是y ＝3x ，故选B.2．答案：B解析：由于反函数的定义域为原函数的值域，∵0＜x ≤2，∴y ＝3x ∈(1，9]，故y ＝3x (0＜x ≤2)的反函数的定义域为(1，9].3．答案：C解析：y ＝f －1(x )的定义域即为原函数的值域，∵3x ＋1＞1，∴log 2(3x ＋1)＞0.4．答案：(1，2)解析：由互为反函数的图象关于直线y ＝x 对称，∴(2，1)关于y ＝x 的对称点(1，2)一定在其反函数的图象上．5．答案：3解析：函数f (x )＝log 2(x ＋a )的反函数为y ＝f －1(x )，且f －1(2)＝1，则2＝log 2(1＋a )，解得a ＝3.6．解析：(1)因为y ＝2x ＋1，0<2x <1，所以1<2x ＋1<2，所以1<y <2，由2x ＝y －1，得x ＝log 2(y －1)，所以f －1(x )＝log 2(x －1)(1<x <2).(2)由y ＝e x ＋1得x ＋1＝ln y ，即x ＝－1＋ln y ，所以所求反函数为y ＝－1＋ln x (x >0).7．答案：A 解析：∵y ＝1x ＋5(x ≠－5)，∴y ≠0，∴xy ＋5y ＝1，∴x ＝1y －5，∴y ＝1x ＋5(x ≠－5)的反函数为y ＝1x －5(x ≠0).8．答案：ABD 解析：令a ＝2，分别作出y ＝a x ，y ＝(1a )x ，y ＝log a x ，y ＝log 1a x ，y ＝x 对应的图象如图，由图象可知：函数y ＝a x 与y ＝(1a)x 的图象关于y 轴对称，故A 不正确；函数y ＝log a x 与y ＝log 1ax 的图象关于x 轴对称，故B 不正确；函数y ＝a x 与y ＝log a x 的图象关于直线y ＝x 对称，故C 正确，D 不正确．9．答案：D解析：将y ＝2x 向下平移一个单位得到y ＝2x －1，再作关于直线y ＝x 对称的图象即可得到，故选D.10．答案：ACD解析：f (f (1))＝f (12)＝(12)12＝22，选项A 正确；f (f (－1))＝f (2)＝0≠12，选项B 不正确；f (f (0))＝f (1)＝12，选项C 正确；f (f (20202019))＝f (log 212019)＝()log2＝2log 22019＝2019，选项D正确．11．答案：4解析：因为y＝f－1(x)的图象过点(2，4)，所以函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，又因为f(x)＝1＋log a x，所以2＝1＋log a4，即a＝4.12．答案：2解析：∵f(27)＝3，∴log a27＝3，解得a＝3，∴f(x)＝log3x，∴f－1(x)＝3x，所以f－1(log92)＝3log92＝3log3＝2.13．解析：将方程整理得2x＝－x＋3，log2x＝－x＋3.如图可知，a是指数函数y＝2x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标，b是对数函数y＝log2x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标，由于函数y＝2x与y＝log2x互为反函数，所以它们的图象关于直线y＝x对称，由题意可得出A，B两点也关于直线y＝x对称，于是A，B两点的坐标为A(a，b)，B(b，a)，而A，B都在直线y＝－x＋3上，所以b＝－a＋3(A点坐标代入)，或a＝－b＋3(B点坐标代入)，故a＋b＝3.14．解析：(1)要使函数有意义，必须a x－1>0，得a x＞1，当a>1时，x>0；当0<a<1时，x<0，∴当a>1时，f(x)的定义域为(0，＋∞)；当0<a<1时，f(x)的定义域为(－∞，0).(2)当a>1时，设0<x1<x2，则1<ax1<ax2，故0<ax1－1<ax2－1，∴log a(ax1－1)<log a(ax2－1)，∴f(x1)<f(x2)，故当a>1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数，类似地，当0<a<1时，f(x)在(－∞，0)上为增函数．(3)令y＝log a(a x－1)，则a y＝a x－1，∴x＝log a(a y＋1)，∴f－1(x)＝log a(a x＋1)，由f(2x)＝f－1(x)，得log a(a2x－1)＝log a(a x＋1)，∴a2x－1＝a x＋1，解得a x＝2或a x＝－1(舍去)，∴x＝log a2.。
人教B版高中数学必修第二册课后习题 第4章 指数函数、对数函数与幂函数 第4章末测评卷
第四章测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.函数y=x 53的图象大致是( )2.已知f(x)=a-x(a>0且a≠1),且f(-2)>f(-3),则实数a的取值范围是( )A.(0,+∞)B.(1,+∞)C.(-∞,1)D.(0,1)3.若函数f(x)=1+3-x的反函数为g(x),则g(10)=( )A.2B.-2C.3D.-14.函数f(x)=lo g12(2x-x2)的单调递减区间为( )A.(0,2)B.(-∞,1]C.[1,2)D.(0,1]5.函数f(x)=a x-2+3(a>0且a≠1)的图象恒过定点P,点P 又在幂函数g(x)的图象上,则g(3)的值为( ) A.4B.8C.9D.166.10月16日,搭载神舟十三号载人飞船的长征二号F 遥十三运载火箭,在酒泉卫星发射中心成功发射升空,载人飞船精准进入预定轨道,顺利将3名宇航员送入太空,发射取得圆满成功.已知在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下,可以用公式v=v 0·ln Mm 计算火箭的最大速度v(单位:m/s),其中v 0(单位:m/s)是喷流相对速度大小,m(单位:kg)是火箭(除推进剂外)的质量,M(单位:kg)是推进剂与火箭质量的总和,Mm 称为“总质比”.若某型火箭的喷流相对速度大小为1 000 m/s,当总质比为625时,该型火箭的最大速度约为( )(附:lg e≈0.434,lg 2≈0.301) A.5 790 m/s B.6 219 m/s C.6 442 m/s D.6 689 m/s7.设a=log 32,b=ln 2,c=5-12,则( ) A.a<b<c B.b<c<a C.c<a<bD.c<b<a8.若对于任意-1)2的取值范围是( ) A.(-∞,13)B.(-∞,13]C.(-∞,1)D.(-∞,1]二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知a>0,b>0,2a+b=1,则( ) A.log 0.5a+log 0.5b 的最大值为3 B.4a +2b 的最小值为2√2 C.a ∈(0,12)D.a 2+b 2的最小值为1410.设a,b,c 都是正数,且4a =6b =9c ,则下列结论正确的是( ) A.ab+bc=2ac B.ab+bc=ac C.4b ·9b =4a ·9c D.1c=2b−1a11.已知函数f(x)={2x -4,x ≥0,-x 2-4x +1,x <0,则关于x 的方程[f(x)]2-3f(x)+2=0的解可以为( ) A.-4B.0C.-2D.log 2612.关于函数f(x)=|ln|2-x||,下列描述正确的有 ( )A.f(x)在区间(1,2)内单调递增B.y=f(x)的图象关于直线x=2对称C.若x 1≠x 2,f(x 1)=f(x 2),则x 1+x 2=4D.f(x)有且仅有两个零点三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.方程log 3(3x-1)=log 3(x-1)+log 3(3+x)的解为x= . 14.函数y=12x,-3≤x≤1的值域是 .15.若log a 23<1,则实数a 的取值范围是 .16.已知函数f(x)={lnx ,x >0,e x +1,x ≤0,且函数g(恰有两个不同的零点,则实数m 的取值范围是 .四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)计算题: (1)√2-1-(-9.6)0+√(√2-e )44−(827)23+(32)-2.(2)lg 4+2lg 5+log 45·log 514.+a).18.(12分)已知函数f(x)=log2(12x(1)若函数f(x)是R上的奇函数,求实数a的值;(2)若函数f(x)的定义域是R,求实数a的取值范围;(3)若函数f(x)在区间[0,1]上的最大值与最小值的差不小于2,求实数a 的取值范围.19.(12分)已知函数f(x)=lg(10x-1).(1)求函数f(x)的定义域和值域;(2)设函数g(x)=f(x)-lg(10x+1),若关于x的不等式g(x)<t恒成立,求实数t的取值范围.20.(12分)在刚刷完漆的室内放置空气净化器,净化过程中有害气体含量P(单位:mg/L)与时间t(单位:h)的关系为:P=P0e-kt,其中P0,k是正常数,如果在前5 h消除了10%的有害气体,那么(1)10 h后还剩百分之几的有害气体?(2)有害气体减少50%需要花多少时间?(精确到1 h)(参考数据:ln2≈0.693 1,ln 0.9≈-0.105 4)21.(12分)已知a>0且a≠1,函数f(x)=log a2.1-x(1)求f(x)的定义域及其零点;(2)设g(x+3,当a>1时,若对任意x1∈(-∞,-1],存在x2∈[3,4],使得f(x1)≤g(的取值范围.22.(12分)给出下面两个条件:①函数f(x)的图象与直线y=-1只有一个交点;②函数f(x)的两个零点的差的绝对值为2.在这两个条件中选择一个,将下面问题补充完整,使函数f(x)的解析式确定.已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足f(x+1)-f(x)=2x-1,且. (1)求f(x)的解析式;,27],2f(log3的取值范围.(2)若对任意x∈[19参考答案第四章测评1.B 函数y=x 53=√x53的定义域为R,且此函数在定义域上是增函数,故排除选项A,C;当0<x<1时,x 53<x,所以x∈(0,1)时,函数y=x53图象要在函数y=x图象的下方,排除选项D.故选B.2.D3.B 令y=1+3-x,得x=-log3(y-1),∴g(x)=-log3(x-1)(x>1),∴g(10)=-2.4.D 记u(x)=2x-x2=-(x-1)2+1,u(x)的图象为抛物线,对称轴为x=1,且开口向下,令u(x)>0,解得x∈(0,2),①当x∈(0,1]时,u(x)单调递增,f(x)=lo g12u(x)单调递减,即原函数的单调递减区间为(0,1];②当x∈[1,2)时,u(x)单调递减,f(x)=lo g12u(x)单调递增,即原函数的单调递增区间为[1,2).故选D.5.C ∵f(x)=a x-2+3,令x-2=0,得x=2,∴f(2)=a0+3=4,∴f(x)的图象恒过点(2,4).设g(x)=x a,把P(2,4)代入得2a=4,∴a=2,∴g(x)=x2,∴g(3)=32=9.故选C.6.C 由题得v=v 0·ln Mm =1000×ln625=1000×4lg5lge=1000×4×(1-lg2)lge≈6442m/s.故选C.7.C a=log 32=1log 23,b=ln2=1log 2e,而log 23>log 2e>1,所以a<b,c=5-12=√5,而√5>2=log 24>log 23,所以c<a,综上c<a<b.故选C. 8.C ∵2-1)2x<1(-1<12x=(12)x对于任意x ∈(-∞,-1]恒成立.∵-1<2,解得m<1.∴实数m 的取值范围是(-∞,1).故选C.9.BC a>0,b>0,2a+b=1⇒ab≤18,则log 0.5a+log 0.5b=log 0.5ab≥3,当且仅当a=14,b=12时,等号成立,故A 错误;4a +2b =22a +2b ≥2√2,当且仅当a=14,b=12时,等号成立,故B 正确;a>0,b>0,2a+b=1⇒b=1-2a>0⇒0<a<12,故C 正确;a 2+b 2=a 2+(1-2a)2=5a 2-4a+1,0<a<12,则当a=25时,有最小值为15,故D 错误.10.ACD 设4a =6b =9c =t,t>1,则a=log 4t,b=log 6t,c=log 9t,所以b c+ba=log 6t log 9t+log 6t log 4t =lgt lg6lgt lg9+lgt lg6lgt lg4=lg9lg6+lg4lg6=lg9+lg4lg6=lg (9×4)lg6=lg62lg6=2,即b c+ba=2,所以1c+1a=2b,所以1c=2b−1a,故D 正确;由b c+ba=2,所以ab+bc=2ac,故A正确,B 错误;因为4a ·9c =4a ·4a =(4a )2,4b ·9b =(4×9)b =(62)b =(6b )2.又4a =6b =9c ,所以(4a )2=(6b )2,即4b ·9b =4a ·9c ,故C 正确.故选ACD. 11.AD [f(x)]2-3f(x)+2=0,[f(x)-1][f(x)-2]=0,得f(x)=1或f(x)=2,当x≥0时,2x -4=1或2x -4=2,解得x=log 25或x=log 26;当x<0时,-x 2-4x+1=1或-x 2-4x+1=2,解得x=-4或x=-2±√3.故在选项中方程的解可以为AD.故选AD.12.ABD 根据图象变换作出函数f(x)的大致图象,如图,由图象知f(x)在区间(1,2)内单调递增,故A 正确;函数图象关于直线x=2对称,故B 正确;令f(x 1)=f(x 2)=k,则直线y=k 与函数f(x)图象相交可能是4个交点,如图.如果最左边两个交点横坐标分别是x 1,x 2,则x 1+x 2=4不成立,故C 错误;f(x)的图象与x 轴仅有两个公共点,即函数仅有两个零点,故D 正确.故选ABD. 13.214.[12,8] 因为指数函数y=12x在区间[-3,1]上单调递减,所以当x=-3时,函数有最大值为12-3=8;当x=1时,函数有最小值为12.所以函数y 的值域为[12,8].15.0,23∪(1,+∞) 当a>1时,不等式为log a 23<log a a,∴a>23,即a>1;当0<a<1时,不等式为log a 23<log a a,∴a<23,即0<a<23.综上所述,实数a 的取值范围是0,23∪(1,+∞).16.(1,2] 由g(,即函数g(与函数y=f(x)图象交点的横坐标.当x≤0时,f(x)=e x +1单调递增,其值域为(1,2];当x>0时,f(x)=ln 与函数y=f(x)图象有2个交点,即函数g(的取值范围是(1,2]. 17.解(1)原式=√2+1-1+e-√2−23×23+49=e.(2)原式=lg4+lg25+log 45·(-log 54)=lg4×25-lg5lg4×lg4lg5=lg102-1=2-1=1.18.解(1)若函数f(x)是R 上的奇函数,则f(0)=0,即log 2(120+a)=0,解得a=0.当a=0时,f(x)=-x=-f(-x),在R 上为奇函数,所以a=0为所求. (2)若函数f(x)的定义域是R,则12x +a>0恒成立,即a>-12x 恒成立,由于-12x ∈(-∞,0),故只要a≥0即可,即实数a 的取值范围为[0,+∞).(3)由题意,知函数f(x)在[0,1]上单调递减,故f(x)在区间[0,1]上的最大值是f(0)=log 2(1+a),最小值是f(1)=log 2(12+a).由题意,得log 2(1+a)-log 2(12+a)≥2,所以{1+a >0,a +12>0,a +1≥4a +2,解得-12<a≤-13, 故实数a 的取值范围为(-12,-13].19.解(1)∵10x -1>0,∴10x >100,则x>0,∴f(x)的定义域为(0,+∞).又10x -1>0,∴f(x)的值域为R.(2)g(x)=f(x)-lg(10x+1)=lg(10x-1)-lg(10x+1)=lg (10x -110x +1)=lg (1-210x +1).∵10x >0,∴10x +1>1,∴0<210x +1<2,∴-2<-210x +1<0,∴-1<1-210x +1<1.又1-210x +1>0,∴0<1-210x +1<1.∴lg (1-210x +1)<0,∴g(x)的值域为(-∞,0).∵关于x 的不等式g(x)<t 恒成立,∴t≥0,即t 的取值范围是[0,+∞). 20.解(1)根据题意得P=P 0e -5k =P 0(1-10%),则e -5k =90%,故当t=10时,P=P 0e -10k =P 0(e -5k )2=P 0(90%)2=P 081%,故10个小时后还剩81%的有害气体. (2)根据题意得P 0e -kt=P 050%,即(e -5k)15t =12,即0.915t =0.5,故t=5log 0.90.5=5-ln2ln0.9≈33,故有害气体减少50%需要花33小时.21.解(1)由题意知,21-x>0,1-x>0,解得x<1,所以函数f(x)的定义域为(-∞,1).令f(x)=0,得21-x=1,解得x=-1,故函数f(x)的零点为-1.(2)若对于任意x 1∈(-∞,-1],存在x 2∈[3,4],使得f(x 1)≤g(≥-1.即m ∈[-1,+∞).22.解(1)因为二次函数f(x)=ax 2+bx+c 满足f(x+1)-f(x)=2x-1,f(x+1)-f(x)=a(x+1)2+b(x+1)+c-ax 2-bx-c=2ax+a+b=2x-1,所以{2a =2,a +b =-1,解得{a =1,b =-2,所以f(x)=x 2-2x+c.选①,因为函数f(x)的图象与直线y=-1只有一个交点,所以f(1)=1-2+c=-1,解得c=0,所以f(x)的解析式为f(x)=x 2-2x.选②,设x 1,x 2是函数f(x)的两个零点,则|x 1-x 2|=2,且Δ=4-4c>0,可得c<1.由题可知x 1+x 2=2,x 1x 2=c,所以|x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√4-4c =2,解得c=0,所以f(x)的解析式为f(sx)=x 2-2x.(2)由2f(log3≤-2f(log3x).当x∈1,27时,log3x∈[-2,3].令h=log3x,9,27],2f(log3≤-2f(h)在h∈[-2,3]上恒则h∈[-2,3],所以对任意x∈[19成立,所以m≤[-2f(h)]min.当h=-2时,取最小值,则-2f(-2)=-16,所以实数m的取值范围为(-∞,-16].。
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-4-
(1)求函数 f(x)的定义域、值域； (2)求函数 f(x)的反函数 f－1(x)； (3)判断 f－1(x)的单调性． [解析] (1)要使函数 f(x)有意义，需满足 2－x＞0，即 x＜2， 故原函数的定义域为(－∞，2)，值域为 R． (2)由 y＝loga(2－x)得，2－x＝ay，即 x＝2－ay． ∴f－1(x)＝2－ax(x∈R)． (3)f－1(x)在 R 上是减函数． 证明如下：任取 x1，x2∈R 且 x1＜x2， ∵f－1(x2)－f－1(x1)＝2－ax2－2＋ax1＝ax1－ax2， ∵a＞1，x1＜x2，∴ax1＜ax2 即 ax1－ax2＜0， ∴f－1(x2)＜f－1(x1)， ∴y＝f－1(x)在 R 上是减函数． 9．已知 f(x)＝loga(ax－1)(a＞0，且 a≠1)． (1)求 f(x)的定义域； (2)讨论 f(x)的单调性； (3)解方程 f(2x)＝f－1(x)． [解析] (1)要使函数有意义，必须 ax－1＞0， 当 a＞1 时，x＞0； 当 0＜a＜1 时，x＜0． ∴当 a＞1 时，f(x)的定义域为(0，＋∞)； 当 0＜a＜1 时，f(x)的定义域为(－∞，0)． (2)当 a＞1 时，设 0＜x1＜x2，则 1＜ax1＜ax2， 故 0＜ax1－1＜ax2－1， ∴loga(ax1－1)＜loga(ax2－1)， ∴f(x1)＜f(x2)． 故当 a＞1 时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数； 类似地，当 0＜a＜1 时，f(x)在(－∞，0)上为增函数． (3)令 y＝loga(ax－1)，则 ay＝ax－1， ∴x＝loga(ay＋1)． ∴f－1(x)＝loga(ax＋1)． 由 f(2x)＝f－1(x)，得 loga(a2x－1)＝loga(ax＋1)， ∴a2x－1＝ax＋1， 解得 ax＝2 或 ax＝－1(舍去)，∴x＝loga2．
即 f(x)＝log2x，f(8)＝log28＝3．
5．(多选题)函数 y＝2|x|在下面的区间上，不存在反函数的是( AC )
A．[－1,1]
B．(－∞，0]
C．[－2,4]
D．[2,4]
[解析] 函数若在区间上单调，则存在反函数，易知函数 y＝2|x|在[－1,1]，[－2,4]上不单
调．
二、填空题 6．已知 f(x)＝2x＋b 的反函数为 f－1(x)，若 y＝f－1(x)的图像经过点 Q(5,2)，则 b＝__1__．
．
－2a＝3
b＝－2
10．求下列函数的反函数．
(1)f(x)＝ 1 ； 2x＋1
(2)f(x)＝1－ 1－x2(－1≤x＜0)；
x2－10≤x≤1
(3)f(x)＝
．
x2－1≤x＜0
[解析] (1)设 y＝f(x)＝2x＋1 1．
∵x≠－1，∴y≠0． 2
-2-
由
y＝2x＋1 1，解得
x＝1－y． 2y
∴ 1 ＜10x2－1≤1，即原函数的值域为( 1 ，1]．
10
10
∴原函数的反函数为 y＝ lg x＋1( 1 ＜x≤1)． 10
二、填空题
5．若点(1,2)既在 y＝ ax＋b的图像上，又在其反函数的图像上，则 a＝__－3__，b＝__7__．
[解析] 由题意可知点(1,2)和点(2,1)都在 y＝ ax＋b的图像上，
A．第一、二象限
B．第二、三象限
C．第三、四象限
D．第一、四象限
[解析] 因为第三、四象限关于 y＝x 对称的象限为第三、二象限，故 y＝f－1(x)的图像经过
第二、三象限．
3．函数 y＝f(x)的图像过点(1,3)，则它的反函数的图像过点( D )
A．(1,2)
B．(2,1)
C．(1,3)
D．(3,1)
以先求反函数，再与原函数作比较即可得出答案；或利用反函数的性质求解，依题意，知点(1，
a)与(a，1)均在原函数图像上，故可得 a＝－1． 22
3．已知函数 y＝f(x)与 y＝ex 互为反函数，函数 y＝g(x)的图像与 y＝f(x)的图像关于 x 轴对
称，若 g(a)＝1，则实数 a 的值为( C )
A．y＝－ 1＋lg x(x＞ 1 ) 10
B．y＝ 1＋lg x(x＞ 1 ) 10
C．y＝－ 1＋lg x( 1 ＜x≤1) 10
D．y＝ 1＋lg x( 1 ＜x≤1) 10
[解析] 由 y＝10x2－1(0＜x≤1)，得 x2－1＝lg y，
即 x＝ lg y＋1．
又∵0＜x≤1，即－1＜x2－1≤0，
三、解答题
9．已知 y＝1x＋a 与 y＝3－bx 互为 2
反函数，求 a、b 的值．
[解析] 由 y＝1x＋a，得 x＝2y－2a， 2
∴y＝2x－2A．
即函数 y＝1x＋a 的反函数为 y＝2x－2a， 2
由已知得函数 y＝2x－2a 与函数 y＝3－bx 为同一函数，
∴ －b＝2
a＝－3
，∴
2
∴f－1(x)＝1－x(x≠0)． 2x
(2)设 y＝f(x)＝1－ 1－x2．
∵－1≤x＜0，∴0＜y≤1．
由 y＝1－ 1－x2，解得 x＝－ 2y－y2．
∴f－1(x)＝－ 2x－x2(0＜x≤1)．
(3)设
y＝f(x)＝
x2－10≤x≤1 x2－1≤x＜0
，
当 0≤x≤1 时，－1≤y≤0，
[解析] ∵互为反函数的图像关于直线 y＝x 对称，
∴点(1,3)关于直线 y＝x 的对称点为(3,1)，故选 D．
4．若函数 y＝f(x)是函数 y＝ax(a＞0 且 a≠1)的反函数，且 f(2)＝1，则 f(8)＝( A )
A．3
B．1 3C．－3Fra bibliotekD．－1 3
[解析] 由题意可知 f(x)＝logax，f(2)＝loga2＝1，a＝2，
∴f(1)＋g(1)＝2．
7．设 a＞0 且 a≠1，若函数 f(x)＝ax－1＋2 的反函数的图像经过定点 P，则点 P 的坐标是
__(3,1)__． [解析] 因为函数 f(x)＝ax－1＋2 经过定点(1,3)，所以函数 f(x)的反函数的图像经过定点
P(3,1)．
三、解答题
8．已知函数 f(x)＝loga(2－x)(a＞1)．
∴f(5)＝e5－1＝e4．
解法二：令 lnx＋1＝5，则 lnx＝4，
∴x＝e4，∴f(5)＝e4．
2．若函数 y＝ ax 的图像关于直线 y＝x 对称，则 a 的值为( B ) 1＋x
A．1
B．－1
C．±1
D．任意实数
[解析] 因为函数图像本身关于直线 y＝x 对称，故可知原函数与反函数是同一函数，所
-1-
[解析] 由互为反函数的图像关于直线 y＝x 对称可知，点 Q′(2,5)必在 f(x)＝2x＋b 的图 像上，
∴5＝22＋b， ∴b＝1．
7．函数 f(x)＝ 4－x的反函数是__f－1(x)＝4－x2(x≥0)__．
[解析] 函数的值域为[0，＋∞)，令 y＝ 4－x，
将其中的 x，y 对调得 x＝ 4－y，解得 y＝4－x2， 所以反函数 f－1(x)＝4－x2(x≥0)．
∴ 2＝ a＋b ，解得 a＝－3 ．
1＝ 2a＋b
b＝7
6．已知函数 f(x)的反函数为 g(x)＝1＋2lg x(x＞0)，则 f(1)＋g(1)＝__2__．
[解析] 令 g(x)＝1，则 2lg x＝0，∴x＝1．
∵f(x)与 g(x)互为反函数，
∴f(1)＝1，g(1)＝1＋2lg 1＝1，
第四章 4.3
一、选择题
A 级 基础巩固
请同学们认真完成 [练案 8]
1．函数 y＝ex 与 y＝ln x 的图像( D )
A．关于原点对称
B．关于 x 轴对称
C．关于 y 轴对称
D．关于直线 y＝x 对称
[解析] ∵函数 y＝ex 与 y＝ln x 是互为反函数，
∴其图像关于直线 y＝x 对称．
2．函数 y＝f(x)的图像经过第三、四象限，则 y＝f－1(x)的图像经过( B )
-3-
A．－e
B．－1 e
C．1 e
D．e
[解析] ∵函数 y＝f(x)与 y＝ex 互为反函数，
∴f(x)＝ln x，
又∵函数 y＝g(x)的图像与 y＝f(x)的图像关于 x 轴对称，∴g(x)＝－ln x，
∴g(a)＝－ln a＝1，∴ln a＝－1，∴a＝1． e
4．函数 y＝10x2－1(0＜x≤1)的反函数是( D )
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由 y＝x2－1，得 x＝ 1＋y； 当－1≤x＜0 时，0＜y≤1， 由 y＝x2，得 x＝－ y．
∴f－1(x)＝ 1＋x－1≤x≤0 ． － x0＜x≤1
B 级 素养提升
一、选择题
1．若 f(lnx＋1)＝x，则 f(5)＝( C )
A．log5e
B．ln 4
C．e4
D．4e
[解析] 解法一：令 lnx＋1＝t，则 x＝et－1，∴f(t)＝et－1，
8．若函数 y＝f(x)的反函数是 y＝－ 2－x2(－1≤x≤0)，则原函数的定义域是__[－ 2，－
1]__，f(－1)＝__－1__． [解析] 因为原函数的定义域为反函数的值域，又－1≤x≤0，所以 1≤2－x2≤2，即 y∈[－
2，－1]．
令－ 2－x2＝－1，解得 x＝±1，因为原函数的定义域为[－ 2，－1]，所以 x＝－1．