大学高等数学第一册考试试题+答案

一、选择题（本大题共5小题，每题3分，共15分）

1.设-∞=→)(lim 0

x f x x ，-∞=→)(lim 0

x g x x ，A

x h x x =→)(lim 0

，则下列命题不正确的是

( B )

A. -∞=+→)]()([lim 0

x g x f x x ; B. ∞=→)]()([lim 0

x h x f x x ;

C.

-∞=+→)]()([lim 0

x h x f x x ; D.

+∞=→)]()([lim 0

x g x f x

x . 2. 若∞

→n lim 2)5

1(++n n

=( A )

A.

5e ; B. 4e ; C. 3e ; D. 2e . 3. 设0lim →x x

f x f cos 1)

0()(--=3,则在点x=0处 ( C )

A. f(x)的导数存在,且)0('f ≠0;

B. f(x)的导数不存在;

C. f(x)取极小值;

D. f(x)取极大值.

4设x

e 2-是f(x)的一个原函数,则

⎰dx x xf )(= ( A )

A.

x e 2-(x+

2

1)+c; B; x e 2- (1－x)+c; C. x e 2- (x －1)+c; D. －x e 2- (x+1)+c.

5.

⎰

x

a

dt t f )3('= ( D )

A. 3[f(x)－f(a)] ;

B. f(3x)－f(3a);

C. 3[f(3x)－f(3a)] ;

D. 3

1

[f(3x)－f(3a)].

二、填空题（本大题共7小题，每题3分，共21分）

1. 若+∞→x lim (1

1

223-+x x +αx+β)=1,则 α= －2 , β= 1 . .

2. 设f(x)在x=a 处可导,则0lim →h h

h a f h a f )

3()(--+= 4)('a f .

3. 设y=5

22)ln(e x a x +++,则dy

. 4. 不定积分

dx e x

x

⎰2

=

c e x

x ++2

ln 12 .

5. 广义积分⎰-3

11dx x x = 23

10

. . 6. ⎰-++11

21

sin dx x x

x x = 0 .

7. 用定积分的定义计算：∞

→n lim

∑=+n i n

i

n 1sin 31π=

π

2

.

三、计算题（本大题共7小题，每题7分，共49分）

1. 设函数

f(x)= ⎩

⎨⎧>+≤+00

12x b ax x e x 在点x=0可导，求a 与b 的值 .

1. 解:f(x)在x=0可导⇒ f(x)在x=0连续⇒-→0

lim x f(x)=f(0)= +→0

lim x f(x)=b ⇒b=2,

又)0('

=f =-→0lim x x

f x f )

0()(-=-→0lim x x e x 12-=2

)0('

+f =+→0lim x x f x f )0()(-=+→0lim x x ax 22-+=a(因b=2),

由已知有)0('=f =)0('

+f ，故a=2,b=2 .

2.求

)1ln(x y +=的n 阶导数 .

2.解：n

n n x n y

)1()!1()1(1)

(+--=-

3. 求由参数方程2ln(1)arctan x t y t t

⎧=+⎨=-⎩ 所确定的隐函数y=y(x)的一阶,二阶导数dx dy ,2

2dx y

d . 3.解： dx dy =2t

, 2

2dx y d =214t t +

4. 求0lim →x )

sin 1ln(cos sin 1x x x

x x +-+ .

4.解：原式=0

lim

→x )

cos sin 1(sin cos sin 12x x x x x x

x x ++-+=

210lim →x x x

x sin +=1 5. 求

⎰+dx x x )ln 31(1

.

5.解：原式=⎰

++)ln 31()ln 31131x d x =…=c x ++ln 31ln 3

1

6. 求

⎰

-dx x

a x 2

2

2

（a>0）

. 6.解：令t a x sin =

原式=……=c x a a

x a x a +--)(arcsin 22222

7. 求I=

⎰2

1

arcsin xdx .

7.解：I=210

]arcsin [x x ⎰

--+210

21)

2(21

dx x

x =……….=12312-+

π 四、应用题（5分） 摆线的一拱:

)20(,)

cos 1(2)

sin (2π≤≤⎩⎨

⎧-=-=t t y t t x 与直线y=0围成一平面图形, (1)求此平面图形的面积;

(2)求此平面图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积.

解：(1) S=

⎰

⋅2

20

πydx =⎰--π

20

')]sin (2)[cos 1(2dt t t t =… =12π,

(2) V x =π

⎰

⋅2

20

2πdx y =⎰--π20

'22)]sin ([)cos 1(dt t t a t a = (240)

五、证明题（本大题共2小题，每题5分，共10分） (1) 利用函数图形的凹凸性证明不等式：

),0,0(2

ln

)(ln ln y x y x y

x y x y y x x ≠>>++>+. (1)证：令,0)(",ln )(>=t f t t x f 图形凹，由定义得证.

(2) 设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,0

ab )('ξf =)('

2ηηf 成立 .

(2) 证：结论变为 ab

)('

ξf =

2

'1

)

(ηηf , 设g(x)=

x

1

, f(x),g(x)在[a,b]上满足柯西定理的条件,必存在一点η∈(a,b), 使得

a b a f b f 11)()(--=2

'1)(ηηf ,即a

b a f b f --)()(ab=2η)(;

ηf .

又f(x)在[a,b]上满足拉氏定理的条件,必存在一点ξ∈(a,b), 使得 a

b a f b f --)()(=)('ξf ,即ab )('ξf =2η)(;

ηf ,得证.