向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用作者：王军林来源：《考试周刊》2013年第21期摘要：本文基于向量的基本理论与性质，主要介绍了向量在中学数学中的应用，并简单分析了向量学习的误区.关键词：向量数量积平面几何立体几何高中数学中引进向量，给中学数学带来了广阔的天地，无论是在平面几何﹑立体几何﹑解析几何﹑三角函数等方面都有着大大拓宽解题思路的重要作用.向量融“形”“数”于一体，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合.毫不夸张地说，向量的数形迁移思想在中学数学中能得到很好的体现.本文整理了几类向量在中学数学中的应用.一、预备知识1.平面向量的数量积a·b=|a||b|cosθ（a≠0，b≠0，0°≤θ≤180°）坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a·b=xx+yy.2.平面向量的基本定理如果e和e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、λ，使a=λe+λe.3.两个向量平行的充要条件a∥b？圳a=λb坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a∥b？圳xy-xy=0.4.两个非零向量垂直的充要条件a⊥b？圳a·b=0坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a⊥b？圳xx+yy=0.二、向量应用的探究1.利用向量解三角问题例1：已知α，β∈（0，），且cosα+cosβ-cos（α+β）=，求α，β的值.解：原条件式可化为sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα-=0构造向量={sinα，1-cosα}，={sinβ，cosβ}，|·|=|cosα-|≤？圯（cosα-）≤0？圯cosα=？圯α=由α，β的对称性知β=.2.利用向量解不等式的问题对于不等式问题的解决，有时如果我们利用常规的解法，往往很繁琐.利用两个向量的数量积的一个性质：·=||·||cosθ（其中θ为向量与的夹角），又-1≤cosθ≤1，则易得到以下推论：（1）·≤||·||；（2）|·|≤||·||；（3）当与同向时，·=||·||，当与反向时，·=-||·||；（4）当与共线时，|·|=||·||.下面利用这些性质和推论来看两个例子.例2：已知a和b为正数，求证：（a+b）（a+b）≥（a+b）.证明：设=（a，b），=（a，b）则·=a+b，||=，||=由性质|·|≤||·||，得（a+b）（a+b）≥（a+b）.说明：对于例1根式不等式我们通常采用两边平方的办法，但这种办法运算量大，容易出错.而应用向量法解决不等式的问题，不仅避免了常规解法的不足，而且为解题带来了新的思路.3.利用向量求最值问题最值问题是高中数学中的一个重要问题，在高考中它的考核主要体现在求实际问题，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积（体积）最大（最小）”等诸多实际问题上.解决这些问题的办法则是将其代数化，转化为函数，再利用所学的方法如：换元法，不等式法等求解.下面将介绍利用向量方法解最值问题.例3：已知m，n，x，y∈R，且m+n=a，x+y=b，求mx+ny的最大值.解：设=（m，n），=（x，y），则由向量积的坐标运算得·=mx+ny.而||=，||=，从而有mx+ny≤·.当与同向时，mx+ny取最大值·=.三、注意向量学习的几个误区误区一：“实数a﹑b﹑c由ab=ac，a≠0推出b=c”这一性质在向量推理中不正确.例4：取||=1，||=，与的夹角为45°，||=，与的夹角为0°.显然 = =，但≠.误区二：“如果ab=0，那么a，b中至少有一个为零”在向量推理中不正确.例5：已知||=2，||=3，与的夹角为90°，则有·=2×3×cos90°=0，显然≠，≠.由·=0，可以推出以下四种可能：①=，≠；②≠，=；③=，=；④≠且≠，但⊥.误区三：乘法结合律（ab）·c=a·（bc）在向量推理中不成立.例6：试说明（·）·=·（·）不成立.解：因为在式中·是一个数量，由实数与向量的积的运算的定义，可知左边表示的是与共线的向量，同理，右边表示的是与共线的向量，而向量与一般是不共线的，故（·）·≠·（·）.误区四：平面几何中的性质在向量中不一定成立.例7：判断下列各命题是否正确，并说明为什么？①若∥，∥，则∥.②若||=||，则=±.③单位向量都相等.解：①不正确，取=，则对两不共线向量与，也有∥，∥，但不平行于.②不正确，因为||=||只是说明这两个向量的模相等，但方向未必相同.③不正确，单位向量是模均是1，但对方向没有要求.综上所述，我们发现向量集数与形于一体，沟通了代数、几何与三角函数的联系.利用向量的运算法则、数量积可解决长度、角度、垂直问题，应用实数与向量的积，则可以证明共线、平行等问题，以及它的巧妙应用.其中运用到的数形迁移思想，是重要的数学思想方法.在高中数学中引进向量，充分体现出新教材新思路﹑新方法的优越性，并且对于培养直觉思维﹑逻辑思维﹑运算求解等理性思维能力，具有重要意义.参考文献：[1]人民教育出版社中学教学室.全日制普通高级中学教科书（试验修订本，必修），数学第一册（下）[M].人民教育出版社，2001，11.[2]沈凯.利用向量解平面几何问题[J].中学数学，2003（1）：15-16.[3]张萍.浅谈用向量法解立体几何题[J].中学数学研究，2004（4）：37-38.[4]邹明.用向量方法求空间角和距离[J].数学通报，2004（5）：36-37.[5]吕林根，许子道.解析几何[M].北京：高等教育出版社，1986.[6]白华玉.巧设法向量求点面距与线面角[J].数学通报，2003.2，25-26.。
向量在中学数学解题中的巧用
例２
如图 ２ ，已知三 菱 锥 Ｄ一 ｝ Ｃ的侧棱 ＯＡ ， Ｄ ， Ｏ Ｃ 两两 垂直 ，且 Ｏ Ａ＝ｌ ， ＝Ｏ Ｃ＝２ Ｅ 是 ＤＣ 的 中点 。 ，
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－ ｌ｝Ｉ 已 ∞ ６， ｌ ： ａ 知 ＝。 丽又 ０
Ａ Ｂ 为正 三 角形 ， Ａ ＝ Ｂ＝ Ｃ＝２ ＡＣ Ｃ Ａ Ｂ 。
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在ＲＡ Ｎ ｔＣ Ｂ中，加 ＝ ２ √ ，可得Ⅳ Ｃ＝√ ２，故：
ｃ ｏ１４ ） （， － ，连结ＭＣ ，作Ｎ ＿ＭＣ￣ Ｈ 。 ，ｉ ＨＬ －
曾经 在 高 中数 学 教学 中解 决一 些 立 体 几何 和代 数 问题 时 ，我 们 仅 仅 应 用 本 书 中 的 定 理 、 公 理 、直 线 的位 置 关 系 ，直线 与 平 面之 间 的关 系 等 。如 果 现 在我 们 重 视用 空 问 向量 概 念来 解 决 问题 的 话 ，在 空 间 中解 决 和证 明较 难 的一 些 问题 时就 会 变 得较 为 容 易 ，而 且还 能 提 高学 生 的 思维 能 力、 分析 能力和 空 间想 象能 力 。 解 （ ） 作 Ｄ 上 Ｃ 垂 足 为 Ｄ ，连 接 Ａ ， 由侧 面 １： Ｏ Ｓ Ｃ为等 要 直 角三 角 形 ， Ａ Ｊ ０ ，如 图 ｌ Ｂ ０ － ，以 ０ 为 标 原点 ， ＯＡ为 轴 正 方向 ，建 立直 角 坐标 系 ｘ ｚ。 ｙ
丽． ： ， ０
相交 直线 Ｓ 、 Ａ 垂赢 ，所 以 ＯＧ 上平 面 Ｓ Ｂ 。 Ｅ Ｂ Ａ
一
Ａ Ｂ＝２，Ｂ ２ ２，Ｓ ＝ Ｂ＝ ３ Ｃ＝ ４ Ａ Ｓ √。
（ ）求 证 ： ． 上 Ｃ ； １
ＯＧ与 一Ｓ的夹 角 记 为 Ｄ ， Ｓ 与平 面 Ｓ Ｂ所 成 的角 Ｄ Ａ
向量在几何中应用研究
向量在几何中应用研究
向量集数形于一身，它是沟通代数、三角函数、几何的一种工具，有着极其丰富的背景。
可以这么说，向量作为中学数学必不可少的一部分进入高中教材，但研究不深，本文主要从简单平面几何、解析几何三方面来研究向量在其中的应用。
将向量作为高中数学的必学内容，是必然的。
无论是从国内外中学数学教学改革的历史经验来看，还是从当前中学数学教学的目的来看，向量进入中学数学，对于更好地学习几何，将来进一步学习高等数学，对于学生灵活运用数学知识解决实际问题都会有启蒙和奠基的作用。
1 向量在简单平面几何中的应用
向量化是几何抽象化的有效工具，是研究几何性质的量化手段，由于平面向量集与有序实数对集关于加法与数乘运算的同构，用向量法证明几何中的平行、垂直、中点等问题有许多简捷之处.
3 总结
在高中数学教材中为向量与的夹角，此公式无论对平面向量，还是空间向量都有明显的几何意义，它的引进为解决平面几何，空间几何，解析几何提供了一个实用，方便的工具，在几何角中具有举足轻重的地位。
向量在中学数学中的简单应用
向量在中学数学中的简单应用作者：张秦芹来源：《世纪之星·交流版》2015年第06期向量作为工具性知识，既与传统内容有着很大的联系，又体现出自身所具有的一些特性，因而在中学数学中有着极其广泛的应用。
向量由大小和方向两个量确定，大小反映了向量数的特征，方向反映了形的特征，是中学中数形结合思想的典型体现，它所蕴含的丰富的数学思想和方法，有益于发展学生的思维能力，激发其创造性。
在中学阶段学习的向量有平面向量和空间向量两部分，其中空间向量是平面向量的推广与拓展。
由于平面向量与空间向量没有本质的区别，因此，不管是平面图形还是空间图形，运用向量解决、研究图形问题的思路是一致。
一般情况下，有两种途径：一是选择适当的基向量，其它有向线段用基向量线性表示，然后通过向量的运算求解；二是建立适当的坐标系，运用向量或点的坐标运算求解。
究竟用哪一种方法，可视具体问题而定。
）一、求解平面上的夹角与利用空间向量求空间角问题1.向量法求平面上的夹角问题：（求两非零向量a与b的夹角q的依据）①cosq=；②设a==（x1，y1）和b=（x2，y2），则cosq=2.求空间的角用向量则很好的解决了这一问题对异面直线所成的角：若异面直线AB，CD的夹角为θ，则θ与向量，所成的角相等或互补，因此：=；对直线与平面所成的角：设平面与其斜线m所成的角为，平面的法向量为n，直线m的方向向量为m，记=，与互余（当为锐角时）或与的补角互余（当为钝角时），因此： =︱cos|=，（0求平面与平面所成的角：平面与平面相交形成两对平面角互补的二面角，于是：平面与平面相交所成二面角分三种情形：向量a，b分别平行于平面，且都与二面角的棱垂直，记=，则与相等或互补，因此（正负号的选取视具体图形而定）。
向量a平行于平面，且垂直于二面角的棱，平面的法向量为n，记=，则（的选取视具体情况而定）。
平面与平面的法向量分别为m，n，记=，则与相等或互补，因此：（正负号的选取视具体情况而定）。
向量在中学数学中的应用
2010、2011级高中数学教师培训第三阶段第3次作业作业——试论述向量在中学数学中的应用向量是中学数学的主要内容之一,巧妙地构造向量,利用向量的运算及性质,可以解决证明有关恒等式，不等式、求某些函数极值和有关几何问题。
请从上述几个方面“论述向量在中学数学中的应用”一、向量在几何中的应用：平行四边形性质的证明：设四边形ABCD 是平行四边形，证明：AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2) 证明：∵+=，-= ∴2222+⋅+=，2222ADAD AB AB BD +⋅-=)(22222+=+ 即：AC 2+BD 2=2(AB 2+AD 2)二、向量在不等式中的应用：柯西不等式的证明：设a,b,c,d ∈R ，证明:(ac+bd)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2) 证明：设向量m =(a,b),n =(c,d)的夹角θ， 由||||cos ||||≤=⋅θ得ac+bd ≤2222d c b a ++所以(ac+bd)2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2)。
三、向量在函数中的作用：函数最值的计算：求函数x x x f 4163)(-+=的最大值。
解：x x x f -+=423)(， 令向量)4,(,)2,3(x x -==,则 132413||||)(=-+=≤⋅=x x b a b a x f 其中等号在,同向，即x x -=432，1336=x 时成立， 所以函数x x x f 4163)(-+=的最大值为132。
四、向量在恒等式中的作用： 三角恒等式的证明：求证：βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- 证明：设向量)sin ,(cos ,)sin ,(cos ββαα==，则,1||,1||,sin sin cos cos ==+=⋅βαβα 另一方面，)cos()cos(||||βαβα-=-=⋅ 所以βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-。
高考数学中的线性代数及应用
高考数学中的线性代数及应用在高考数学中，线性代数是一个重要的考点，它是数学中的一个分支，讲究向量、矩阵、行列式等内容，在实际应用中发挥着重要的作用。
一、向量向量是线性代数中的基础概念之一，是指同时具有大小和方向的量。
在高中数学课程中，我们已经学过向量的基本概念和运算。
在高考中，必须掌握向量的点乘、叉乘、平面方程以及向量组的线性相关、线性无关等重要概念。
这些知识点在高考数学中都有考查，同时也具有一定的应用意义。
在实际应用中，向量的应用广泛，如在工程测量中用于计算物体的位移、速度、加速度等，同时还可用于计算力的大小和方向。
在计算机图形学中，向量可用于表示三维空间中的点和对象，是计算机图形学中最重要的数据类型之一。
二、矩阵矩阵是一个方阵或非方阵，其中的元素可以是实数或复数。
在高考数学中，我们学过矩阵的基本概念、常见矩阵运算、矩阵的秩等知识点。
同时还要具备求解矩阵方程、解线性方程组、矩阵的转置、逆矩阵等重要概念。
在实际应用中，矩阵的应用非常广泛，如在物理学中用于解决运动问题、在经济学中用于计算供给和需求、在计算机科学中用于解决线性方程组或图像处理等。
可以说，矩阵在各个领域都发挥着重要作用。
三、行列式行列式是矩阵的一个重要概念，我们已经在高中数学中学过，它是用于计算面积、体积、求解未知量等方面的重要工具。
在高考数学中，行列式的基本概念和应用是必考内容之一，同时还需掌握行列式的基本性质和简化计算的技巧。
在实际应用中，行列式的应用也非常广泛，如在计算机编程中用于判断一个矩阵是否满足某些条件、在经济学中用于计算系统的可行性、在物理学中用于计算角动量和自旋等指标。
可以说，行列式在各个领域都有不同的应用。
总结高考数学中的线性代数及应用是一个非常重要的考点，它涵盖了向量、矩阵、行列式等重要概念，在实际应用中也发挥着重要的作用。
因此，我们必须掌握这些知识点，并注意学习它们的应用技巧和实际应用场景。
只有这样，我们才能在高考中取得优异的成绩，并将所学知识投入到实践中，为社会发展做出贡献。
中学数学教案空间向量的数量积与向量积
中学数学教案空间向量的数量积与向量积中学数学教案：空间向量的数量积与向量积导入部分：在学习高中数学的过程中，我们经常会接触到空间向量的概念与计算。
空间向量乃是数学中一个重要的概念，它能够帮助我们描述和计算具有方向和大小的物理量。
本教案将重点探讨空间向量的数量积与向量积，帮助学生更好地理解和运用这些概念。
一、空间向量的数量积数量积是指两个向量相乘得到一个数的运算。
在空间向量中，两个向量的数量积可以通过向量的坐标进行计算。
假设有向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)，它们的数量积可以表示为A·B = x1x2 + y1y2 + z1z2。
1.1 数量积的几何意义数量积不仅可以用于计算，还具有几何意义。
对于给定的两个向量A和B，它们的数量积A·B可以表示为A与B的夹角的余弦值乘以两个向量的模长之积。
1.2 数量积的性质数量积具有以下性质：1）数量积满足交换律，即A·B = B·A。
2）数量积满足分配律，即(A+B)·C = A·C + B·C。
3）对于任意非零向量A，A·A > 0，即数量积为正。
二、空间向量的向量积向量积是指两个向量相乘得到一个向量的运算。
在空间向量中，两个向量的向量积可以利用行列式来计算。
假设有向量A(x1, y1, z1)和向量B(x2, y2, z2)，它们的向量积可以表示为A × B = (y1z2 - y2z1, z1x2 - z2x1, x1y2 - x2y1)。
2.1 向量积的几何意义向量积不仅可以用于计算，同样具有几何意义。
对于给定的两个向量A和B，它们的向量积A × B的模长可以表示为A和B所张成的平行四边形的面积。
2.2 向量积的性质向量积具有以下性质：1）向量积满足反交换律，即A × B = -B × A。
2）向量积满足分配律，即(A + B) × C = A × C + B × C。
向量在高中数学解题中的应用丁有生
向量在高中数学解题中的应用丁有生发布时间：2023-05-31T07:57:21.065Z 来源：《中国教师》2023年6期作者：丁有生[导读] 量在数学领域中具有双重特性，既具备一定的代数特性，也具备相应的几何特征。
在高中数学问题处理中，通过向量的运用，可以让学生更加高质量地实现代数、几何问题的转化，提高学生的数学问题处理能力，为学生的综合发展提供保障基于此，本文章对向量在高中数学解题中的应用进行探讨，以供参考。
云南省红河州第一中学摘要：量在数学领域中具有双重特性，既具备一定的代数特性，也具备相应的几何特征。
在高中数学问题处理中，通过向量的运用，可以让学生更加高质量地实现代数、几何问题的转化，提高学生的数学问题处理能力，为学生的综合发展提供保障基于此，本文章对向量在高中数学解题中的应用进行探讨，以供参考。
关键词：向量；高中数学解题；应用引言如何在解题教学中去培养学生的数学核心素养是高中数学教师需要思考的问题。
教师有必要端正解题教学的态度，从核心素养角度出发去设计解题教学内容，确保学生不仅可以学会解题，还能够在解题中获得综合能力的提升。
因此，教师应当以数学核心素养为研究基础，探究高中数学解题教学的策略，提高课堂教学质量，为高中生学好数学、走向社会打下良好的基础。
一、高中数学解题现状分析（一）解题方式不够合理首先，当前高中数学教师依然会单一授讲，教师一般在讲台上讲解解题的思路，学生在下面机械地听讲，这种方式具有一定的呆板性，学生一般能在课堂上听明白，但是一旦自己做题时就会出现这样或那样的错误。
教师在讲解解题步骤时，通常用一种方法解答，忽略了学生的自主探究过程，没有留给学生自主思考的机会，而一道数学题目往往会以多种形式考查，有的学生并不适合用教师讲解的方法做题，因此会限制学生的思维发展，学生的解题能力就会下降。
（二）混淆公式、定理、定律高中数学涉及的公式、定律、定理较多，很多学生在记忆定理、公式时多是死记硬背，缺乏对公式内容的主动探索和分析，这样就导致记忆流于形式，学生很难真正把握定理、公式、定律的实质。
向量在中学数学中的应用
向量在中学数学中的应用向量在解决高中数学问题中的应用主要体现在许多方面，如：空间几何向量、线性向量等。
比较突出的就是空间几何向量，应用比较广泛，主要应用于证明，计算等方面。
由于空间几何类的数学问题比较抽象，要想解决此类问题就需要向量来将其转化，将几何问题转化为比较简单的代数问题，以便于计算和证明。
通过调查分析，学生反映在证明几何问题时，大部分首选向量这一计算方式来解决问题。
在传统的计算方法对比下，无论是学生还是教师更愿意采用向量的方法来解决问题。
立体几何引入空间向量以后确实降低了解题的难度，而在求解过程中，要求学生有很强的运算能力，但由于计算繁琐，直观性较差，学生还是会有很多问题。
最突出的问题就是缺乏空间立体感，还有繁琐的计算容易出现错误。
数学几何的学习空间想象力十分重要，这就给向量使用带来一定的困难，许多学生在确定坐标时不确定，导致解决问题时出现各种错误。
对空间向量的运用不熟练等问题也会直接影响解题速度。
由此可见，向量的使用不能过于盲目，需要具体问题具体分析。
另外，向量在高中数学中使用较多，这就在一定程度上让学习养成依赖的习惯，虽然有些题目可以使用向量，解答稳定。
但是确阻碍了学生思考和探究的热情，只依赖于基础的公式，不能学会活学活用，阻碍了学生创新能力的全面发展，思维过于狭隘，不懂得多方位思考问题。
有些题只是简单的公式代入，甚至有时连图都不用参考，这将不利于培养学生的分析能力、空间想象能力。
此外，学生对于向量知识结构体系了解不够全面。
向量具有形与数的双重身份，它成为高中数学知识的交汇点，成为联系多项数学内容的桥梁，所以学习向量有助于学生理清各种知识间的联系，学生理解了这种联系，可以去构建和改善自己的数学认知结构。
而现实过程中学生们掌握的.向量知识是片面的、独立的，不能建立完整的知识结构体系，这也不利于学生对向量的学习。
最后，高中数学教材中对于向量的了解比较粗略，无法协助学生更加深入细致的介绍，在一定程度上无法满足用户学生的自学，种种问题都就是影响向量化解数学问题的因素。
陕西省柞水中学高中数学必修四(北师大版)第二章学案 向量应用举例(一)
【导学案】平面向量的应用举例（一） 班级 姓名 组号 编写人：党显武 审核人：王松涛【学习目标】1、 了解直线的方向向量与法向量的概念，会求直线的方向向量与法向量；2、 会运用平面向量的方法解决解析几何中的点到直线的距离问题公式的推导，直线平行与垂直问题，直线的夹角问题；3、 体会运用向量解决解析几何问题的方法思路。
【重点难点】重点：向量法解决解析几何问题难点：解析几何问题向向量的转化【知识链接】 【学习过程】一、预习自学（一）直线的方向向量与法向量得定义： 1、定义：若一个非零向量所在的直线与直线l 平行或共线，则把这个非零向量m 叫直线l 的一个方向向量；与直线l 的方向向量m 垂直的非零向量n 叫直线l 的一个法向量。
2、通常直线22;0(0)l Ax By C A B ++=+≠的一个方向向量记作(,)m B A =-.若斜率k 存在，也可记为m =（1，k ）一个法向量(,)n A B =,也可记为1(1,)n k=-(二)认真阅读课本P101—102页内容，归纳总结向量法推导点到直线的距离公式的过程步骤. 第一步、确定两个向量：1、直线22;0(0)l Ax By C A B ++=+≠的一个法向量为(,)n A B =2、在直线上任选一点(,)P x y ，则向量MP =第二步、确定夹角：过点M 作MD ⊥l 于D,则在Rt MPD ∆中， cos PMD ∠=cos ,MP n =第三步、解三角形：在cos Rt MPD d MP PMD ∆=•∠中，=二、合作探究问题一：用向量法求点P （1，2）到直线:210l x y ++=的距离。
问题二： 已知点(1,2),(3,4),(2,5)A B C --,求经过点A 且垂直于直线BC 的直线l 的方程. 问题三：已知两条直线12:(23)10,:(25)(6)70,l mx m y l m x m y ---=+++-=分别求实数m 的值，使得两直线（1） 平行； （2）垂直三、达标检测1、直线:34120l x y -+=的一个方向向量是， ；一个法向量是 .2、12:20,:20tan .l x y l x y θθ+-=-=的夹角为，试求3、向量(5,1):310m l x my m =-+-==是直线的法向量，则实数。
向量在数学中的作用
向量在数学中的作用有人说，中学数学中引入向量，用向量来处理几何问题，是因为用向量比用综合几何的方法简单、容易。
这种看法是不全面的。
虽然有许多问题，用向量处理确实比用综合几何方法简单，但也可以找到用综合几何的方法处理更简单的问题。
向量之所以被引入到中学，这是因为向量在数学中占有重要的地位。
向量作为一个既有方向又有大小的量，在数学中是一个最基本的概念。
在现代数学的发展中起着不可替代的作用。
是代数、几何、泛函分析等基础学科研究的基本内容。
向量是代数的对象。
运算及其规律是代数学的基本研究对象。
向量可以进行多种运算，如，向量的加法、减法，数与向量的乘法（数乘），向量与向量的数量积（也称点乘），向量与向量的向量积（也称叉乘）等。
向量的这些运算包含了三种不同类型的代数运算。
向量的运算具有一系列丰富的运算性质。
与数运算相比，向量运算扩充了运算的对象和运算的性质。
向量是几何的对象。
向量可以用来表示空间中的点、线、面。
如果，以坐标系的原点为起点，向量就与空间中的点建立了一一对应关系；一点和一个非零向量可以唯一确定一条直线，它通过这个点且与给定向量平行；同样，一个点和一个非零向量，可以唯一确定一个平面，它过这个点且与给定向量垂直。
在高维空间中，这种表示十分有用，还可以表示曲线，曲面。
因此，向量可以描述、刻画和替代几何中的基本研究对象——点、线、面，它也是几何研究的对象。
向量是几何研究对象，这种认识很重要。
在立体几何中，可用向量来讨论空间中点、线、面之间的位置关系；判断线线、线面、面面的平行与垂直，用向量来度量几何体：计算长度、角度、面积等。
随着数学视野不断拓展，这样的观念会给我们越来越多的用处。
向量是沟通代数与几何的一座天然桥梁。
它不需要什么过渡。
在数学中，我们有两座沟通代数与几何的桥梁，一是向量，一是坐标系。
坐标系依赖于原点的选择。
向量的优越性在于可以不依赖于原点，空间中每一点的地位是平等的，它不依赖坐标，因此，它比坐标系更一般、更重要。
中学数学认识向量与直线的位置关系
中学数学认识向量与直线的位置关系在中学数学中，向量和直线是非常重要的概念。
向量既有大小又有方向，可以表示一个物体的位移或力的大小与方向。
而直线则是由一系列点无限延伸而成的，可以用来表示很多几何图形或者物体的方向和位置。
在数学中，我们经常需要研究向量和直线之间的位置关系，这对于理解几何学和应用数学有着重要的作用。
一、向量的表示和运算在研究向量和直线的位置关系之前，我们先了解一下向量的基本表示和运算。
向量通常用箭头表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的方向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
在平面上，一个向量可以由其在x轴和y轴上的分量表示，例如a = (a1, a2)，其中a1表示x方向上的分量，a2表示y方向上的分量。
向量之间可以进行加法和减法运算。
向量的加法满足交换律和结合律，即a + b = b + a和(a + b) + c = a + (b + c)。
向量的减法可以看作是加上一个相反向量，即a - b = a + (-b)，其中-b表示向量b的相反向量。
二、向量和直线的位置关系在几何学中，我们常常需要研究向量和直线之间的位置关系，可以分为以下三种情况：1. 向量在直线上：如果一个向量与直线重合或者平行，那么我们说向量在直线上。
这意味着向量的方向和直线的方向相同或者相似。
可以通过向量的坐标表示来判断向量是否在直线上。
2. 向量与直线相交：如果一个向量与直线相交且不在直线上，那么我们说向量与直线相交。
这意味着向量的起点和终点分别位于直线的两侧。
可以通过向量的终点坐标来判断向量是否与直线相交。
3. 向量与直线平行或共线：如果一个向量与直线平行或共线，那么我们说向量与直线平行或共线。
这意味着向量和直线的方向相同或者相似，但不一定重合。
三、向量和直线的应用向量和直线的位置关系不仅在几何学中有着应用，还在实际问题中起着重要的作用。
以下是一些向量和直线的应用示例：1. 位移向量：我们可以使用向量来表示物体的位移。
向量法在解决直线问题中的应用
向量法在解决直线问题中的应用摘要：直线和向量是中学数学中的两个原始概念，但是把向量运用于解决直线问题却能收到奇特的效果。
本文就给大家介绍了向量法在直线问题中的应用。
关键词：直线问题；向量；方程；位置关系作者简介：蓝兴华，任教于浙江省衢州高级中学。
直线和向量是中学数学中的两个原始概念，利用向量把有关直线问题进行相应转化，有利于迅速准确地解题。
本文介绍了一些用向量的思维解决直线问题的例子，方法简单，结论易为中学生接受，是解析几何与向量相结合进行解题的一种有益尝试。
空间向量中垂直于平面的向量叫法向量。
受此启发，我们也可把垂直于直线的向量叫直线的法向量。
设直线，则当时，此时的斜率，而向量所在的直线的斜率，可知，故；当时，的斜率不存在，向量所在的直线的斜率也有，即不管直线的斜率是否存在都有，故是直线的法向量。
这样便有下面的定理:证明时利用平面几何的知识，（1）、（2）两个命题易证，（3）中两直线所成的角与两个法向量所成的角互补或相同也易证明。
在现行教材和资料书上直线方程都以一般形式给出，学生在解决直线平行和垂直时往往都要把直线转化为斜截式，还要考虑斜率是否存在，非常复杂而且易错，有了上述定理就可以很好地解决这些问题。
下面举例说明定理的应用;一、判定两直线的位置关系The Application of Vector Method in Solving Linear ProblemLAN XinghuaAbstract: Linear and vector are two original concepts in midle school mathematics teaching and applying vector to solve linear problem can achieve better effect. This paper introduces the application of vector method in linear problem.Key words: linear problem; vector; equation; position relation。
向量在中学数学知识体系中应用论文
向量在中学数学知识体系中的应用【摘要】为了加深对向量思想方法的理解，提高学生的数学思维品质，本文介绍了向量在函数、不等式、平面几何、平面解析几何、立体几何等知识体系中的巧妙运用。
【关键词】中学数学向量知识体系向量是近代数学中重要的基本数学概念之一，有深刻的几何背景，是解决几何问题的有力工具。
兼有代数与几何两种形式，具有代数的抽象与严谨和几何的直观，运算简洁而富有新意，有深刻的几何、物理背景。
向量思想方法在教学中的渗透，对提高学生数学解题能力，培养学生数学创造性思维，提高学生数学素质，实现中学数学课程目标等具有很强的现实意义。
向量在初中引入到高中阶段的深入，这深刻体现了向量在整个中学数学中占有特别重要的位置。
高中数学课程应该返璞归真，努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。
为了使学生进一步提高向量思维方法的领悟能力，需要通过一些实际案例的学习和分析，阐述与交流来提高对向量思想方法体现的理解力，对向量思想方法渗透的感知力，对向量思想方法运用的辨析力。
下面主要举例说明向量思想方法在中学数学中的典型运用。
1.向量在函数中的运用向量与函数表面看来没什么联系，但是深入思考可知向量的模和向量的数量积是联系向量与函数的纽带。
比如函数中求最值问题，就可以采用向量的两个不等关系来进行联系，其，其二。
运用向量思想方法求解函数最值问题时，就应该首先想到上面的两个不等式，运用函数与向量的关系，可以引导学生把向量思想运在解决函数问题，进而加深学生对向量的认识。
案例1 已知,求的最小值。
分析：从所求的式子的特点，可以发现可分别构造向量进行求解。
解：构造向量，则当且仅当同时平行即时等号成立。
解得：评注：由上案例可知，运用向量求函数的最大值的最大优点是解法简单、有规律、较容易理解、易于掌握。
2.向量在不等式的运用向量可以用几何表示（即用有向线段表示）也可以用代数表示（即用坐标表示）。
因此我们必须把图形和数字牢牢的联系起来，也是说向量和图形可以相互转化，用代数方法研究。
人教版数学向量的认识与运算
人教版数学向量的认识与运算向量是数学中重要的概念之一，广泛应用于物理、几何以及其他领域。
而在中学数学教材中，人教版数学向量的学习是非常重要的一部分。
本文将介绍人教版数学向量的认识与运算，以帮助读者更好地掌握这一知识点。
第一部分：向量的基本概念在学习向量之前，我们首先需要了解向量的基本概念。
向量是由大小和方向共同决定的量，通常用有向线段来表示。
在人教版数学中，向量通常用大写字母表示，例如AB表示从点A到点B的向量。
第二部分：向量的表示方法人教版数学主要介绍了二维向量和三维向量的表示方法。
对于二维向量，我们可以使用坐标表示法或单位向量法。
坐标表示法指的是将向量的起点放在原点O，并用终点的坐标表示向量。
单位向量法则是将向量表示为一个已知方向上的单位向量，并用向量的模长乘以单位向量的方式来表示向量。
对于三维向量，同样可以使用坐标表示法或单位向量法。
不同的是，坐标表示法需要使用向量在三个坐标轴上的投影来表示。
而单位向量法则是使用与向量方向相同的单位向量来表示，并在单位向量前面加上向量的模长。
第三部分：向量的运算人教版数学中，常见的向量运算有向量的加法、减法和数量乘法。
向量的加法：向量的加法运算是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新向量。
例如，若向量A的分量为（a1，a2），向量B的分量为（b1，b2），则向量A + B的分量为（a1 + b1，a2 + b2）。
向量的减法：向量的减法运算是指将两个向量的对应分量相减，得到一个新向量。
例如，若向量A的分量为（a1，a2），向量B的分量为（b1，b2），则向量A - B的分量为（a1 - b1，a2 - b2）。
数量乘法：向量的数量乘法是指将一个向量的每个分量乘以一个标量，得到一个新向量。
例如，向量A的分量为（a1，a2），标量k为任意实数，则向量kA的分量为（ka1，ka2）。
第四部分：向量的性质人教版数学中也介绍了一些向量的性质，包括共线、共面和向量的线性组合。
数学用向量方法解决问题专题研究3000字报告
数学用向量方法解决问题专题研究3000字报告一、课题研究的背景及意义向量具有几何形式与代数形式的“双重身份”，它是中学数学知识的一个交汇点，是数学问题解决的重要工具。
《普通高中数学课程标准》对其教学要求为重基础，突出向量作为工具的作用。
本课题对高中数学教科书中的向量内容进行分析，把向量作为数学工具来解决数学问题，列举在教学中积累的应用向量解决问题的实例，并进行分类讨论。
主要是向量在平面几何、函数、等式与不等式、数列、复数、三角函数、平面解析几何等数学问题解决教学方面的应用。
学生在中学阶段必须掌握利用向量来解决常见的数学问题。
在此背景下，“运用向量法解题”是一值得关注和研究的问题。
二、课题研究的目标和内容研究目标本课题研究的目标是明确向量在中学数学解题中的地位，提高对向量解题的认识，有效地促进中学数学中利用向量解题，从解题的内涵、思维过程等方面试图从向量解题的思想方法、解题策略、解题心理、解题案例等方面尽可能全面的阐述向量解题，给学习向量的人提供相应的参考。
1、优化学生认识的结构根据数学学习的同化理论，学生在数学学习的过程中，总是在原有的知识基础上，学习、接受新的知识，使旧知识获得新的意义，使原来的认知结构得到重建和优化。
如学习向量平行与垂直时，可以使原有的直线平行、垂直含义及证明的方法得到扩充，得到同化，充实了学生的知识结构。
在向量的观念下，学生可以从多角度多方面思考数学知识，达到对知识的融合，优化学生认识结构。
2、培养学生的思维品质中学数学教学的目的之一是培养学生的思维能力，而培养数学思维品质是形成数学思维能力的基本条件。
向量的引入给培养学生的思维品质提供了新的方法和途径。
利用向量知识点的多样性，一题多解，培养思维的广阔性；在平面向量这一章中许多概念及有关向量的运算、运算性质、运算律、既类似于实数的相关知识，又有本质区别，这是本章难点，在训练过程中，完善学生认识结论，克服知识负迁移，培养思维的批判性；以课文习题为蓝本实现一题多变，培养思维的灵活性；利用向量形成解题模型，做到一法多题，培养学生思维的聚合性。
辽宁省新宾满族自治县高级中学高中数学人教B版必修4导学案：2.4向量在几何中的应用
学习目标
3．用向量证明平面几何、解析几何问题的步骤.
4．体会向量在解决问题中的应用，培养运算及解决问题的能力。
学习过程
一、课前准备
（预习教材117页～122页，找出疑惑之处)
二、新课导学
1.向量在平面几何中的应用
例1。
如右图，已知平行四边形ABCD 、E 、E 在对角线BD 上，并且=BE FD 。
求证：AECF 是平行四边形。
例2.求证平行四边形对角线互相平分。
例3．已知正方形ABCD ，P 为对角线AC 上任一点，,E AB PE 与点⊥,F BC PF 与点⊥ 连DP,EF,求证：DP ⊥EF.
1.
向量加法的三角形法则、平行四边形法则。
2. 向量平行、垂直的判断方法。
D A B C F E
2。
向量在解析几何中的应用
例4 求通过A(-1,-2），且平行于向量32a =（，）的直线方程。
变式：求通过A(2，1）,且与直线:4390l x y -+=平行的直线方程。
例5：已知直线:0l Ax By C ++=,(,)n A B =。
求证向量n l ⊥。
3．向量在物理中的应用（自学)
三、课堂检测:
1、求经过点P 且平行于向量a 的直线方程 （1）P （3，-5)
12a =（，） （2) P(—2,0）
03a =（，） 2、求过点P （1，—1）且与向量43a =（，-）垂直的直线方程
3、由下列条件写出直线的一般式方程：
（1）过点A （2, —3）,平行于向量34a =（-，）；
（2)过点P(3,2），垂直与向量32a =（，-）。
四、教后反思：。
用向量方法解决数学问题
用向量方法解决数学问题将向量引入高中数学教材，并做为一种基础理论和基本方法要求学生掌握。
这是由于向量知识具有以下几大特点和需要。
首先，利用向量解决一些数学问题，将大大简化原本利用其他数学工具解题的步骤，使学生多掌握一种行之有效的数学工具。
其次，向量的引入将使高中数学中“数形结合”理论得到新的解析，为在高中数学贯彻“数形结合”的教学理念提供一种崭新的方法。
向量具有很好的“数形结合”特性。
一是“数”的形式，即利用一对实数对既可表示向量大小，又可以表示向量的方向；二是“形”的形式，即利用一条有向线段来表示一个向量。
而且这两种形式又是密切联系的，它们之间可以利用简单的运算进行相互转化。
可以说向量是联系代数关系与几何图形的最佳纽带。
它可以使图形量化，使图形间关系代数化，使我们从复杂的图形分析中解脱出来，只需要研究这些图形间存在的向量关系，就可以得出精确的最终结论。
使分析思路和解题步骤变得简洁流畅，又不失严密。
第三，向量概念本身来源于对物理系中既有方向、又有大小的物理量，即物理学中所称的“矢量”的研究。
其实，“向量”和“矢量”是在数学和物理两门学科对同一量的两种不同称呼而已。
在物理学中，矢量是相对于有大小而没有方向的“标量”的另一类重要物理量。
几乎全部的高中物理学理论都是通过这两类量来阐释的。
矢量广泛地应用于力学（如力，速度，加速度等）和电学（如电流方向，电场强度等）理论之中，在高中新教材中引入向量章节，对向量进行系统深入的学习和研究。
对学生在物理课上学习和理解矢量知识无疑将提供一个数学根据和许多运算便利。
同样，学生在物理课上碰到的与矢量有关的物理实际又会使他们对向量也有更深入了解，并激发他们学习向量知识的兴趣和热情。
如在力学中，对力、速度等的分解和合成，使用的就是向量的加减理论，数学和物理的完美结合，起到异曲同工之作用。
第四，把向量理论引入高中教材，也是当今世界中等教育的一种普遍趋势，是教育顺应时代发展的必然结果。
向量的数量积在中学数学解题中的应用
一 一
解 题 方 法 与 技 巧
向量 的数 量 积在 中学数 学解 题 中的应 用
广 西贺 州市桂 梧 高级 中学（ ４ ８ ０ 唐咸 桂 ５２ ０ ） 向量 的数 量积作 为 向量乘 法 的一 种 重要 运算 ， 在
向量理 论 中 占有 十分重要 的位 置 ， 证 明垂 直 、 行 、 对 平
离 一 ￣（ １ ） 十（ —２ 一 １ ， 过 点 Ａ 的 最 短 ／ １ ＋１ 。 ２ ） ２则
弦 长为 ２￣１ ， 长 弦 长 为 ２ ｌ ＝２． 过 点 ／３一 最 × ３ ６故
Ａ 的 弦 长 范 围 为 ［ Ｏ ２ ］ 在 （ Ｏ ２ ） 的整 数 共 有 １ ，６ ． １ ，６ 问
Ｂ Ｄ 于 Ｈ． 设 茸一 （ ，） ＞ｏ ． Ⅲ， １ （ ）
则 一 ｚ， 一÷ ， － 华 （。 ； ） － ｚ （
， 一 。
÷， （ ｛． ） ｚ ） 葡一 一
ｄ ＋ ６ 一 １ 。 ．
点评 ： 向量 的数 量 积 除用 来 证 明 等式 外 ， 可 以 还 用来 证 明不等式 ， 般 比用常规 方法 证 明来 得简 明． 一
二 、 函数 最 值 问 题 求
量 法去思 考 ， 能 另辟 蹊径 ， 则 大大 降低求 解难 度．
一
、
证明等 式 、 等式 问题 不
分组 方法 ， 配 到 ３个 奥 运 场 馆 有 Ａｊ种 方 法 ， 有 分 共
×Ａｊ 分配 方 案． 上 可 得 每个 场 馆 至 少 分 配 种 综
１２
一
名 志愿 者 的方 案 为 ｃ Ａｉ ｉ ＋
×Ａｊ ５ 一１ ｏ种．
考 点 ６ 考 查等价 转化 的计 数 问题 考点 剖 析 ： 何 图形 的计 数 问题 是 常考 点． 解 几 求 时一要熟 悉 几 何 图形 概 念 性 质 ； 要 按 同 一 标 准 分 二 类； 三若 直接 求解 困难 ， 则可从 反 面人手 ． 【 ６ （ 【 ８ 湖 北 ） 点 （ ， ） 圆 。 例 】 ２） ， （ ］ 过 １ ２作 １ ＋ ＋２ ｚ一 ４ 一 １ ４— ０ 的 弦 ， 中 弦 长 为 整 数 的 共 ６ 其
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向量在中学数学中的应用
摘要：本文基于向量的基本理论与性质，主要介绍了向量在中学数学中的应用，并简单分析了向量学习的误区.
关键词：向量数量积平面几何立体几何
高中数学中引进向量，给中学数学带来了广阔的天地，无论是在平面几何﹑立体几何﹑解析几何﹑三角函数等方面都有着大大拓宽解题思路的重要作用.向量融“形”“数”于一体，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，用它研究问题时可以实现形象思维与抽象思维的有机结合.毫不夸张地说，向量的数形迁移思想在中学数学中能得到很好的体现.本文整理了几类向量在中学数学中的应用.
一、预备知识
1.平面向量的数量积
a·b=|a||b|cosθ（a≠0，b≠0，0°≤θ≤180°）
坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a·b=xx+yy.
2.平面向量的基本定理
如果e和e是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ、λ，使a=λe+λe.
3.两个向量平行的充要条件
a∥b？圳a=λ b
坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a∥b？圳xy-xy=0.
4.两个非零向量垂直的充要条件
a⊥b？圳a·b=0
坐标运算：设a=（x，y），b=（x，y），则a⊥b？圳xx+yy=0.
二、向量应用的探究
1.利用向量解三角问题
例1：已知α，β∈（0，），且cosα+cosβ-cos（α+β）=，求α，β的值.
解：原条件式可化为
sinαsinβ+（1-cosα）cosβ+cosα-=0
构造向量={sinα，1-cosα}，={sinβ，cosβ}，
|·|=|cosα-|≤？圯（cosα-）≤0
？圯cosα=？圯α=
由α，β的对称性知β=.
2.利用向量解不等式的问题
对于不等式问题的解决，有时如果我们利用常规的解法，往往很繁琐.利用两个向量的数量积的一个性质：·=||·||cosθ（其中θ为向量与的夹角），又-1≤cosθ≤1，则易得到以下推论：（1）·≤||·||；
（2）|·|≤||·||；
（3）当与同向时，·=||·||，当与反向时，·=-||·
||；
（4）当与共线时，|·|=||·||.
下面利用这些性质和推论来看两个例子.
例2：已知a和b为正数，求证：（a+b）（a+b）≥（a+b）.
证明：设=（a，b），=（a，b）
则·=a+b，||=，||=
由性质|·|≤||·||，得（a+b）（a+b）≥（a+b）.
说明：对于例1根式不等式我们通常采用两边平方的办法，但这种办法运算量大，容易出错.而应用向量法解决不等式的问题，不仅避免了常规解法的不足，而且为解题带来了新的思路.
3.利用向量求最值问题
最值问题是高中数学中的一个重要问题，在高考中它的考核主要体现在求实际问题，从文字表述上常常表现为“工程造价最低”，“利润最大”或“面积（体积）最大（最小）”等诸多实际问题上.解决这些问题的办法则是将其代数化，转化为函数，再利用所学的方法如：换元法，不等式法等求解.下面将介绍利用向量方法解最值问题.
例3：已知m，n，x，y∈r，且m+n=a，x+y=b，求mx+ny的最大值.
解：设=（m，n），=（x，y），
则由向量积的坐标运算得·=mx+ny.
而||=，||=，
从而有mx+ny≤·.
当与同向时，mx+ny取最大值·=.
三、注意向量学习的几个误区
误区一：“实数a﹑b﹑c由ab=ac，a≠0推出b=c”这一性质在向量推理中不正确.
例4：取||=1，||=，与的夹角为45°，||=，与的夹角为0°.
显然 = =，但≠.
误区二：“如果ab=0，那么a，b中至少有一个为零”在向量推理中不正确.
例5：已知||=2，||=3，与的夹角为90°，则有·=2×3×cos90°=0，
显然≠，≠.
由·=0，可以推出以下四种可能：
①=，≠；
②≠，=；
③=，=；
④≠且≠，但⊥.
误区三：乘法结合律（ab）·c=a·（bc）在向量推理中不成立.
例6：试说明（·）·=·（·）不成立.
解：因为在式中·是一个数量，由实数与向量的积的运算的定义，可知左边表示的是与共线的向量，同理，右边表示的是与共线
的向量，而向量与一般是不共线的，故（·）·≠·（·）.
误区四：平面几何中的性质在向量中不一定成立.
例7：判断下列各命题是否正确，并说明为什么？
①若∥，∥，则∥.
②若||=||，则=±.
③单位向量都相等.
解：①不正确，取=，则对两不共线向量与，也有∥，∥，但不平行于.
②不正确，因为||=||只是说明这两个向量的模相等，但方向未必相同.
③不正确，单位向量是模均是1，但对方向没有要求.
综上所述，我们发现向量集数与形于一体，沟通了代数、几何与三角函数的联系.利用向量的运算法则、数量积可解决长度、角度、垂直问题，应用实数与向量的积，则可以证明共线、平行等问题，以及它的巧妙应用.其中运用到的数形迁移思想，是重要的数学思想方法.在高中数学中引进向量，充分体现出新教材新思路﹑新方法的优越性，并且对于培养直觉思维﹑逻辑思维﹑运算求解等理性思维能力，具有重要意义.
参考文献：
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