数学运算之几何问题专题

数学运算之几何问题专题
面积基本公式：（1）三角形的面积S＝1/2ah （2）长方形的面积S＝a×b （3）正方形的面积S＝a2 （4）梯形的面积S＝(a+b)/2×h
（5）圆的面积=πr2＝1/4πd2
（1）等底等高的两个三角形面积相同；
（2）等底的两个三角形面积之比等于高之比；
（3）等高的两个三角形面积之比等于底之比。

解决面积问题的核心是“割、补”思维，即当我们看到一个关于求解面积的问题，不要立刻套用公式去求解，这样做很可能走入误区，最后无法求解或不能快速求解。

对于此类问题通常的使用的方法就是“辅助线法”即通过引入新的辅助线将图形分割或者补全为很容易得到的规则图形，从而快速求得面积。

体积基本公式：(1)长方体的体积V＝abc (2)正方体的体积V＝a3
(3)圆柱的体积V＝Sh ＝πr2，S为圆柱底面积。

(4)圆锥的体积V＝1/3Sh ＝1/3πr2h ，S为圆锥底面积。

周长基本公式：（1）长方形的周长C＝(a＋b)×2
（2）正方形的周长C＝a×4 （3）圆的周长C＝2πr ＝πd
例1、现有边长1米的一个木质正方体，已知将其放入水里，将有0.6米浸入水中，如果将其分割成边长0.25米的小正方体，并将所有的小正方体都放入水中，直接和水接触的表面积总量为（）。

A 3.4平方米B9.6平方米C13.6平方米D16平方米
【解析】边长1米的一个木质正方体放入水里，有0.6米浸入水中，说明要考虑水的浮力的作用，并且告诉了浮力的大小。

可以得到的小正方体有64个，每一个直接和水接触的表面积包括一个底面和4个侧面的60%。

根据题意，直接和水接触的表面积总量为64×（0.25×0.25+40.6×0.25×0.25）=13.6（平方米）。

答案选C。

例2、甲、乙两个容器均有50厘米深，底面积之比为5∶4，甲容器水深9厘米，乙容器水深5厘米，再往两个容器各注入同样多的水，直到水深相等，这时两容器的水深是（）。

A20厘米B25厘米C30厘米D35厘米
【解析】不妨假设两个容器的底面积分别为5和4，设注入同样多的水后相等的水深为x厘米，根据题意，注入水的体积相等，得到方程5（x-9）=4（x-5），解方程得x=25（厘米）。

答案选B。

例3、半径为5厘米的三个圆弧围成如右图所示的区域，其中AB弧与AD弧为四分之一圆弧，而BCD弧是一个半圆弧，则此区域的面积是多少平方厘
米?()
A25B10+5πC50D
【解析】作辅助线如右图所示，显然所求区域面积等于矩形BDEF的面积，即5
×10=50（平方厘米）。

答案选C。

例4、一个边长为8的正立方体，由若干个边长为1的正立方体组成，现在要将大立方体表面涂漆，请问一共有多少个小立方体被涂上了颜色?()
A296B324C328D384
【解析】解法一：大立方体的表面积就是被涂了色的小立方体的面数，等于8×8×6=384（面），其中顶点上的8个小立方体每个都有3个面被涂了颜色，12条棱每条棱上有6个小立方体每个都有2个面被涂了颜色。

可以想象，被涂色的小立方体的个数与被涂了色的小立方体的面数相比，3个面被涂了颜色的小立方体算了3次，2个面被涂了颜色的小立方体算了2次，因此，被涂色的小立方体的个数=384-2×8-12×6=296（个）。

答案选A。

解法二：小立方体共有83=512（个），其中在内部（没有一个面在外侧）的共有63=216（个），则在外部的共有512-216=296（个），因此，被涂色的小立方体有296个。

答案选A。

例5、右图中心线上半部与下半部都是由3个红色小三角形，5个蓝色小三角形
与8个白色小三角形所组成。

当把上半图沿着中心线往下折叠时，有2对红色小三角形重合，3对蓝色小三角形重合，以及有2对红色与白色小三角形重合，
试问有多少对白色小三角形重合?()
A4B5C6D7
【解析】依题意，该图共有6个红色小三角形，10个蓝色小三角形，16个白色小三角形，折叠后有6个红色小三角形，6个蓝色小三角形，2个白色小三角形重合，可以想象剩余的4个蓝色小三角形要与4个白色小三角形重合，于是剩余的10个白色小三角形重合，即5对。

答案选B。

例6、半径为1厘米的小圆在半径为5厘米的固定的大圆外滚动一周，小圆滚了几圈?()
A4B5C6D7
【解析】小圆在大圆外滚动一周的圈数等于大圆周长与小圆周长比较的倍数。

圆周等于2，即圆周的倍数等于半径的倍数，即答案为5。

选B。

例7、欲建一道长100尺，高7尺的单层砖墙，能够使用的砖块有两种：长2尺高1尺或长1尺高1尺(砖块不能切割)。

垂直连接砖块必须如右图所示交错间
隔，且墙的两端必须砌平整。

试问至少需要多少砖块才能建成此墙?()
A347B350C353D366
【解析】由墙高7尺可知共需砌7层，要用砖尽量少，则第1、3、5、7层用50块长2尺高1尺的砖，2、4、6层两头各用一块长1尺高1尺的砖，中间用49块长2尺高1尺的砖。

所以共需用砖4×50+3×（49+2）=353（块）。

答案选C。

例8、设有边长为2的正立方体。

假定在它顶上的面再粘上一个边长为1的正立方体(如右图)。

试问新立体的表面积比原立方体的表面积增加的百分比最接近于
下面哪一个数?()
A10B15C17D21
【解析】原立方体的表面积为：2×2×6=24，新立方体的表面积为：2×2×6+1×1×4=28，增加的百分比为：28-2424≈17%。

答案选C。

例9、一个油漆匠漆一间房间的墙壁，需要3天时间。

如果用同等速度漆一间长、宽、高都比原来大一倍的房间的墙壁，那么需要多少天?()
A3B12C24D30
【解析】长、宽、高都比原来大一倍，表面积就是原来的4倍，因此需要3×4=12（天）。

答案选B。

A
B
C
D
【解析】将两个四边形分成四个三角形，如下图所示，四个三角形等底等高，面积相等，因此，两个四边形有相同的面积；同时，2，4完全相同，1和3的两条底边相等，第二、三条边3比1长。

因此，Ⅰ的周长小于Ⅱ的周长。

答案选D。

例11、设S、R、T三点为一等边三角形的三个顶点，X、Y、Z为△SRT三边的中点。

若用此六个点中的任意三个点作顶点，可有多少类面积不等的三角
形?()
A2B3C4D 5
【解析】如图所示，可以看到，不同形状的三角形有△SRT、△XRY、△SYR、△SXY四类，其中△SXY和△XRY面积相等，所以，共有3类面积不等的三角形。

答案选B。

例12、一家冷饮店，过去用圆柱形的纸杯子装汽水，每杯卖2元钱，一天能卖
100杯。

现在改用同样底面积和高度的圆锥形纸杯子装，每杯只卖1元钱。

如果该店每天卖汽水的总量不变，那么现在每天的销售额是过去的多少?（）
A50％B100％C150％D200％
【解析】过去每天的销售额是2×100=200（元）。

由于等底等高的圆柱体的体积是圆锥体的3倍，那么如果该店每天卖汽水的总量不变，每天要卖300杯，则现在每天的销售额是1×300=300（元），是原来的1.5倍。

答案选C。

例13、一个长方体形状的盒子长、宽、高分别为20厘米、8厘米和2厘米，现在要用一张纸将其六个面完全包裹起来，要求从纸上剪下的部分不得用作贴补，请问这张纸的大小可能是下列哪一个?（）
A25厘米、宽17厘米B26厘米、宽14厘米
C24厘米、宽21厘米D24厘米、宽14厘米
【解析】纸的面积一定大于或等于长方体的表面积，通过运算，符合条件的只有C。

答案选C。

例14如图，三角形ABC的面积为1，并且AE=3AB，BD=2BC，那么△BDE 的面积是多少？
解：在△BDE与△ABC中，∠DBE+∠ABC=180°．因为AE=3AB，所以BE=2AB．又因为BD=2BC，所以S△BDE=2×2×S△ABC=4×1=4．
答：△BDE的面积是4．
例15如图，在△ABC中，AB是AD的6倍，AC是AE的3倍．如果△ADE的面积等于1平方厘米，那么△ABC的面积是多少？
解：在△ABC与△ADE中，∠BAC=∠DAE．因为AB=6AD，AC=3AE，所以S△ABC=6×3×S△ADE=18×1=18（平方厘米）．
答：△ABC的面积为18平方厘米．
例16如图，将△ABC的各边都延长一倍至A′、B′、C′，连接这些点，得到一个新的三角形A′B′C′．若△ABC的面积为1，求△A′B′C′的面积．
解：在△A′B′B与△ABC中，∠A′BB′+∠ABC=180°．因为AB=AA′，所以A′B=2AB，又因为B′B=BC，所以S△A′B′B=1×2×S△ABC=2S△ABC=2．
同理S△B′C′C=2×1×S△ABC=2．
S△A′C′A=2×1×S△ABC=2．
所以S△A′B′C′=S△A′B′B+S△B′C′C+S△A′C′A+S△ABC
=2+2+2+1
=7
答：△A′B′C′的面积为7．
例17如下图，将凸四边形ABCD的各边都延长一倍至A′、B′、C′、D′，连接这些点得到一个新的四边形A′B′C′D′，若四边形A′B′C′D′的面积为30平方厘米，那么四边形ABCD的面积是多少？
分析要求四边形ABCD的面积，必须求出四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的关系，因而就要求出△A′B′B、△B′C′C、△C′D′D、△A′D′A与四边形ABCD的关系．
解：连结AC、BD．
在△A′B′B与△ABC中，∠A′BB′+∠ABC=180°．因为A′A=AB，所以A′B=2AB，又因为B′B=BC，所以有S△A′B′B=2×1×S△ABC=2S△ABC．
同理有S△B′C′C=2×1×S△BCD=2S△BCD
S△C′D′D=2×1×S△ADC=2S△ADC
S△A′D′A=2×1×S△ABD=2S△ABD．
所以S四边形A′B′C′D′=S△A′B′B+S△B′C′C+S△C′D′D+S△A′D′A+S四边形ABCD
=2S△ABC+2S△BCD+2S△ADC+2S△ABD+S四边形ABCD
=2（S△ABC+S△ADC）+2（S△BCD+S△ABD）+S四边形ABCD
=2S四边形ABCD+2S四边形ABCD+S四边形ABCD
=5S四边形ABCD
则S四边形ABCD=30÷5=6（平方厘米）．
答：四边形ABCD的面积为6平方厘米．
B1C1=C1C，△A1B1C1的面积为1平方厘米，则△ABC的面积为多少平方厘米？
解：连接A1C．如上图
在△BB1C与△A1B1C1中，∠BB1C+∠A1B1C1=180°，因为
A1B1=
所以有S△BB1C=2×2×S△A1B1C1=4×1=4（平方厘米）．
在△A1C1C与△A1B1C1中，∠A1C1C+∠A1C1B1=180°，因为CC1=C1B1，A1C1=A1C1，所以有S△A1C1C=1×1×S△A1B1C1=1×1=1（平方厘米）．
在△ABD与△ADC中，∠ADB+∠ADC=180°．因为BD=DC，
在△ABA1与△ABD中，∠BAA1=∠BAD．因为AB=AB，AA1=
答：三角形ABC的面积为9平方厘米．
最短路线问题：
通常最短路线问题是以“平面内连结两点的线中，直线段最短”为原则引申出来的．人们在生产、生活实践中，常常遇到带有某种限制条件的最近路线即最短路线问题．
在本讲所举的例中，如果研究问题的限制条件允许已知的两点在同一平面内，那么所求的最短路线是线段；如果它们位于凸多面体的不同平面上，而允许走的路程限于凸多面体表面，那么所求的最短路线是折线段；如果它们位于圆柱和圆锥面上，那么所求的最短路线是曲线段；但允许上述哪种情况，它们都有一个共同点：当研究曲面仅限于可展开为平面的曲面时，例如圆柱面、圆锥面和棱柱面等，将它们展开在一个平面上，两点间的最短路线则是连结两点的直线段．这里还想指出的是，我们常遇到的球面是不能展成一个平面的．例如，在地球（近似看成圆球）上A、B二点之间的最短路线如何求呢？我们用过A、B两点及地球球心O的平面截地球，在地球表面留下的截痕为圆周（称大圆），在这个大圆周上A、B两点之间不超过半个圆周的弧线就是所求的A、B两点间的最短路线，航海上叫短程线．
在求最短路线时，一般我们先用“对称”的方法化成两点之间的最短距离问题，而两点之间直线段最短，从而找到所需的最短路线．像这样将一个问题转变为一个和它等价的问题，再设法解决，是数学中一种常用的重要思想方法．例1如下图，侦察员骑马从A地出发，去B地取情报．在去B地之前需要先饮一次马，如果途中没有重要障碍物，那么侦察员选择怎样的路线最节省时间，
请你在图中标出来．
解：要选择最节省时间的路线就是要选择最短路线．
作点A关于河岸的对称点A′，即作AA′垂直于河岸，与河岸交于点C，且使AC=A′C，连接A′B交河岸于一点P，这时P点就是饮马的最好位置，连接PA，此时PA＋PB就是侦察员应选择的最短路线．
证明：设河岸上还有异于P点的另一点P′，连接P′A，P′B，P′A′．
∵P′A+P′B＝P′A′+P′B＞A′B=PA′+PB=PA+PB，而这里不等式P′A′＋P′B＞A′B成立的理由是连接两点的折线段大于直线段，所以PA+PB是最短路线．此例利用对称性把折线APB化成了易求的另一条最短路线即直线段A′B，所以这种方法也叫做化直法，其他还有旋转法、翻折法等．看下面例题．例2如图一只壁虎要从一面墙壁α上A点，爬到邻近的另一面墙壁β上的B 点捕蛾，它可以沿许多路径到达，但哪一条是最近的路线呢？
解：我们假想把含B点的墙β顺时针旋转90°（如下页右图），使它和含A 点的墙α处在同一平面上，此时β转过来的位置记为β′，B点的位置记为B′，则A、B′之间最短路线应该是线段AB′，设这条线段与墙棱线交于一点P，那么，折线4PB就是从A点沿着两扇墙面走到B点的最短路线．
证明：在墙棱上任取异于P点的P′点，若沿折线AP′B走，也就是沿在墙转90°后的路线AP′B′走都比直线段APB′长，所以折线APB是壁虎捕蛾的最短路线．
由此例可以推广到一般性的结论：想求相邻两个平面上的两点之间的最短路线时，可以把不同平面转成同一平面，此时，把处在同一平面上的两点连起来，所得到的线段还原到原始的两相邻平面上，这条线段所构成的折线，就是所求的最短路线．
例3长方体ABCD—A′B′C′D′中，AB=4，A′A=2′，AD=1，有一只小虫从顶点D′出发，沿长方体表面爬到B点，问这只小虫怎样爬距离最短？（见图（1））
解：因为小虫是在长方体的表面上爬行的，所以必需把含D′、B两点的两个相邻的面“展开”在同一平面上，在这个“展开”后的平面上D′B间的最短路线就是连结这两点的直线段，这样，从D′点出发，到B点共有六条路线供选择．
①从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点，将这两个面摊开在
一个平面上（上页图（2）），这时在这个平面上D′、B间的最短路线距离就是连接D′、B两点的直线段，它是直角三角形ABD′的斜边，根据勾股定理，
D′B2=D′A2+AB2=（1+2）2＋42=25，∴D′B=5．
②容易知道，从D′出发经过后侧面再进入下底面到达B点的最短距离也是5．
③从D′点出发，经过左侧面，然后进入前侧面到达B点．将这两个面摊开在同一平面上，同理求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（上页图（3）），有：D′B2＝22+（1+4）2=29．
④容易知道，从D′出发经过后侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是29．
⑤从D′点出发，经过左侧面，然后进入下底面到达B点，将这两个平面摊开在同一平面上，同理可求得在这个平面上D′、B两点间的最短路线（见图），
D′B2=（2+4）2+12=37．
⑥容易知道，从D′出发经过上侧面再进入右侧面到达B点的最短距离的平方也是37．
比较六条路线，显然情形①、②中的路线最短，所以小虫从D′点出发，经过上底面然后进入前侧面到达B点（上页图（2）），或者经过后侧面然后进入下
底面到达B点的路线是最短路线，它的长度是5个单位长度．
利用例2、例3中求相邻两个平面上两点间最短距离的旋转、翻折的方法，可以解决一些类似的问题，例如求六棱柱两个不相邻的侧面上A和B两点之间的最短路线问题（下左图），同样可以把A、B两点所在平面及与这两个平面都相邻的平面展开成同一个平面（下右图），连接A、B成线段AP1P2B，P1、P2是线段AB与两条侧棱线的交点，则折线AP1P2B就是AB间的最短路线．
圆柱表面的最短路线是一条曲线，“展开”后也是直线，这条曲线称为螺旋线．因为它具有最短的性质，所以在生产和生活中有着很广泛的应用．如：螺钉上的螺纹，螺旋输粉机的螺旋道，旋风除尘器的导灰槽，枪膛里的螺纹等都是螺旋线，看下面例题．
例4景泰蓝厂的工人师傅要给一个圆柱型的制品嵌金线，如下左图，如果将金线的起点固定在A点，绕一周之后终点为B点，问沿什么线路嵌金线才能使金线的用量最少？
解：将上左图中圆柱面沿母线AB剪开，展开成平面图形如上页右图（把图中的长方形卷成上页左图中的圆柱面时，A′、B′分别与A、B重合），连接AB′，再将上页右图还原成上页左图的形状，则AB′在圆柱面上形成的曲线就是连接AB且绕一周的最短线路．
圆锥表面的最短路线也是一条曲线，展开后也是直线．请看下面例题．例5有一圆锥如下图，A、B在同一母线上，B为AO的中点，试求以A为起点，以B为终点且绕圆锥侧面一周的最短路线．
解：将圆锥面沿母线AO剪开，展开如下图（把右图中的扇形卷成上图中的圆锥面时，A′、B′分别与A、B重合），在扇形中连AB′，则将扇形还原成圆锥之后，AB′所成的曲线为所求．
例6如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A点爬到桶内的B 点去寻找食物，已知A点沿母线到桶口C点的距离是12厘米，B点沿母线到桶口D点的距离是8厘米，而C、D两点之间的（桶口）弧长是15厘米．如果蚂蚁爬行的是最短路线，应该怎么走？路程总长是多少？
分析我们首先想到将桶的圆柱面展开成矩形平面图（下图），由于B点在里面，不便于作图，设想将BD延长到F，使DF＝BD，即以直线CD为对称轴，作出点B的对称点F，用F代替B，即可找出最短路线了．
解：将圆柱面展成平面图形（上图），延长BD到F，使DF=BD，即作点B关于直线CD的对称点F，连结AF，交桶口沿线CD于O．
因为桶口沿线CD是B、F的对称轴，所以OB＝OF，而A、F之间的最短线路是直线段AF，又AF=AO＋OF，那么A、B之间的最短距离就是AO＋OB，故蚂蚁应该在桶外爬到O点后，转向桶内B点爬去．
延长AC到E，使CE=DF，易知△AEF是直角三角形，AF是斜边，EF=CD，根据勾股定理，
AF2=（AC+CE）2+EF2
＝（12＋8）2＋152＝625=252，解得AF=25．
即蚂蚁爬行的最短路程是25厘米．
例7A、B两个村子，中间隔了一条小河（如下图），现在要在小河上架一座小木桥，使它垂直于河岸．请你在河的两岸选择合适的架桥地点，使A、B两个村子之间路程最短．
分析因为桥垂直于河岸，所以最短路线必然是条折线，直接找出这条折线很困难，于是想到要把折线化为直线．由于桥的长度相当于河宽，而河宽是定值，所以桥长是定值．因此，从A点作河岸的垂线，并在垂线上取AC等于河宽，就相当于把河宽预先扣除，找出B、C两点之间的最短路线，问题就可以解决．解：如上图，过A点作河岸的垂线，在垂线上截取AC的长为河宽，连结BC交河岸于D点，作DE垂直于河岸，交对岸于E点，D、E两点就是使两村行程最短的架桥地点．即两村的最短路程是AE＋ED＋DB．
例8在河中有A、B两岛（如下图），六年级一班组织一次划船比赛，规则要求船从A岛出发，必须先划到甲岸，又到乙岸，再到B岛，最后回到A岛，试问应选择怎样的路线才能使路程最短？
解：如上图，分别作A、B关于甲岸线、乙岸线的对称点A′和B′，连结A′、B′分别交甲岸线、乙岸线于E、F两点，则A→E→F→B→A是最短路线，即最短路程为：AE＋EF＋FB＋BA．
证明：由对称性可知路线A→E→F→B的长度恰等于线段A′B′的长度．而从A 岛到甲岸，又到乙岸，再到B岛的任意的另一条路线，利用对称方法都可以化成一条连接A′、B′之间的折线，它们的长度都大于线段A′B′，例如上图中用“·—·—·”表示的路线A→E′→F′→B的长度等于折线AE′F′B的长度，它大于A′B′的长度，所以A→E→F→B→A是最短路线．。