立体几何第五讲 垂直的性质和证明学生
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A．4 B．3 C．2 D．1 6．如图，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 1，过 A 点作平面 A1BD 的垂线，垂足为点 H， 有下列三个结论：
①点 H 是△A1BD 的中心； ②AH 垂直于平面 CB1D1； ③AC1 与 B1C 所成的角是 90°. 其中正确结论的序号是________． 7. 如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN⊥PM， N 为垂足．
1
[玩转典例] 题型一 直线与平面垂直的判定与性质 例 1 如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD， AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.
[玩转跟踪] 1.如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PA 垂直于底面，E、F 分别 是 AB、PC 的中点，PA＝AD.
6Байду номын сангаас
(1)求证：AN⊥平面 PBM. (2)若 AQ⊥PB，垂足为 Q， 求证 NQ⊥PB.
8. 如图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，E、F 分别是 A1B、A1C 的中点，点 D 在 B1C1 上， A1D⊥B1C1. 求证：(1)EF∥平面 ABC；
(2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C.
题型三 直线、平面垂直的综合应用 例 3 如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB∥DC △PAD 是等边三角形，已知 BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5. (1)设 M 是 PC 上的一点，求证：平面 MBD⊥平面 PAD； (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积．
求证：(1)CD⊥PD； (2)EF⊥平面 PCD.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例 2 (2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形 ABCM 中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以 AC 为折 痕将△ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB⊥DA.
(1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC； (2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP＝DQ＝2DA，求三棱锥 Q－ABP 的体
(1)设平面 ACE∩平面 DEF＝a，求证：DF∥a； (2)若 EF＝CF＝2BC，试问在线段 BE 上是否存在点 G，使得平面 DFG⊥平面 CDE？若存在， 请确定 G 点的位置；若不存在，请说明理由．
[玩转跟踪]
4
1.(2020·郑州模拟)如图，已知三棱柱 ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC ＝90°，点 M，N 分别为 A′B 和 B′C′的中点．
3 积．
2
[玩转跟踪] 1．(2018·江苏高考)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1. 求证：(1)AB∥平面 A1B1C； (2)平面 ABB1A1⊥平面 A1BC.
2.(2020·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥 PABCD 的底面是矩形，PA⊥ 平面 ABCD，E，F 分别是 AB，PD 的中点，且 PA＝AD. 求证：(1)AF∥平面 PEC； (2)平面 PEC⊥平面 PCD.
5
①AG⊥平面 EFG；②AH⊥平面 EFG； ③GF⊥平面 AEF；④GH⊥平面 AEF. 4. 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 是 AB 上一点，N 是 A1C 的中点，MN⊥平 面 A1DC.
求证：(1)MN∥AD1； (2)M 是 AB 的中点． 5. 如图所示，PA⊥平面 ABC，△ABC 中 BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为( )
第五讲 垂直的判定与性质
1．直线与平面垂直
图形
[玩前必备] 条件
结论
a⊥b，b⊂α(b 为α内的任意直线) a⊥α
判定
a⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝O a⊥α
a∥b，a⊥α
b⊥α
性质
a⊥α，b⊂α a⊥α，b⊥α
a⊥b a∥b
2．两个平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定 如果一个平面经过另一个平面的一条 定理 垂线那么这两个平面互相垂直
l⊂β ⇒α⊥β
l⊥α
(3)平面与平面垂直的性质定理 文字语言
性质 定理
如果两个平面垂直，那么在 一个平面内垂直于它们交线 的直线垂直于另一个平面
图形语言
符号语言
α⊥β α∩β＝a ⇒l⊥α l⊂β l⊥a
9．(2020·淄博模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PD⊥底面 ABCD， PD＝DC，E 是 PC 的中点，作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.
7
(1)证明：PA∥平面 EDB； (2)证明：PB⊥平面 EFD.
[玩转跟踪]
3
1．(江西)如图，直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝ 2，AA1 ＝3，E 为 CD 上一点，DE＝1，EC＝3.
(1)证明：BE⊥平面 BB1C1C； (2)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离．
题型四 垂直的探索性综合应用 例 4 如图，在三棱台 ABCDEF 中，CF⊥平面 DEF，AB⊥BC.
(1)证明：MN∥平面 AA′C′C； (2)设 AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面 A′MN，试证明你的结论．
[玩转练习] 1．已知直线 a∥b，平面α∥β，a⊥α，则 b 与β的位置关系是( ) A．b⊥β B．b∥β C．b⊂β D．b⊂β或 b∥β 2．已知空间四边形 ABCD 的四边相等，则它的两对角线 AC、BD 的关系是( ) A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交 3. 如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为边 BC、CD 的中点，H 是 EF 的中点．现沿 AE、 AF、EF 把这个正方形折成一个几何体，使 B、C、D 三点重合于点 G，则下列结论中成立 的是________．(填序号)
①点 H 是△A1BD 的中心； ②AH 垂直于平面 CB1D1； ③AC1 与 B1C 所成的角是 90°. 其中正确结论的序号是________． 7. 如图，AB 为⊙O 的直径，PA 垂直于⊙O 所在的平面，M 为圆周上任意一点，AN⊥PM， N 为垂足．
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[玩转典例] 题型一 直线与平面垂直的判定与性质 例 1 如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD， AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点． 证明：(1)CD⊥AE； (2)PD⊥平面 ABE.
[玩转跟踪] 1.如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PA 垂直于底面，E、F 分别 是 AB、PC 的中点，PA＝AD.
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(1)求证：AN⊥平面 PBM. (2)若 AQ⊥PB，垂足为 Q， 求证 NQ⊥PB.
8. 如图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，E、F 分别是 A1B、A1C 的中点，点 D 在 B1C1 上， A1D⊥B1C1. 求证：(1)EF∥平面 ABC；
(2)平面 A1FD⊥平面 BB1C1C.
题型三 直线、平面垂直的综合应用 例 3 如图所示，在四棱锥 P—ABCD 中，平面 PAD⊥平面 ABCD，AB∥DC △PAD 是等边三角形，已知 BD＝2AD＝8，AB＝2DC＝4 5. (1)设 M 是 PC 上的一点，求证：平面 MBD⊥平面 PAD； (2)求四棱锥 P—ABCD 的体积．
求证：(1)CD⊥PD； (2)EF⊥平面 PCD.
题型二 平面与平面垂直的判定与性质 例 2 (2018·全国Ⅰ)如图，在平行四边形 ABCM 中，AB＝AC＝3，∠ACM＝90°.以 AC 为折 痕将△ACM 折起，使点 M 到达点 D 的位置，且 AB⊥DA.
(1)证明：平面 ACD⊥平面 ABC； (2)Q 为线段 AD 上一点，P 为线段 BC 上一点，且 BP＝DQ＝2DA，求三棱锥 Q－ABP 的体
(1)设平面 ACE∩平面 DEF＝a，求证：DF∥a； (2)若 EF＝CF＝2BC，试问在线段 BE 上是否存在点 G，使得平面 DFG⊥平面 CDE？若存在， 请确定 G 点的位置；若不存在，请说明理由．
[玩转跟踪]
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1.(2020·郑州模拟)如图，已知三棱柱 ABCA′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC ＝90°，点 M，N 分别为 A′B 和 B′C′的中点．
3 积．
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[玩转跟踪] 1．(2018·江苏高考)在平行六面体 ABCDA1B1C1D1 中，AA1＝AB，AB1⊥B1C1. 求证：(1)AB∥平面 A1B1C； (2)平面 ABB1A1⊥平面 A1BC.
2.(2020·安徽淮北一中模拟)如图，四棱锥 PABCD 的底面是矩形，PA⊥ 平面 ABCD，E，F 分别是 AB，PD 的中点，且 PA＝AD. 求证：(1)AF∥平面 PEC； (2)平面 PEC⊥平面 PCD.
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①AG⊥平面 EFG；②AH⊥平面 EFG； ③GF⊥平面 AEF；④GH⊥平面 AEF. 4. 如图所示，在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中，M 是 AB 上一点，N 是 A1C 的中点，MN⊥平 面 A1DC.
求证：(1)MN∥AD1； (2)M 是 AB 的中点． 5. 如图所示，PA⊥平面 ABC，△ABC 中 BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为( )
第五讲 垂直的判定与性质
1．直线与平面垂直
图形
[玩前必备] 条件
结论
a⊥b，b⊂α(b 为α内的任意直线) a⊥α
判定
a⊥m，a⊥n，m、n⊂α，m∩n＝O a⊥α
a∥b，a⊥α
b⊥α
性质
a⊥α，b⊂α a⊥α，b⊥α
a⊥b a∥b
2．两个平面垂直
(1)平面与平面垂直的定义
如果两个平面所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．
(2)平面与平面垂直的判定定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定 如果一个平面经过另一个平面的一条 定理 垂线那么这两个平面互相垂直
l⊂β ⇒α⊥β
l⊥α
(3)平面与平面垂直的性质定理 文字语言
性质 定理
如果两个平面垂直，那么在 一个平面内垂直于它们交线 的直线垂直于另一个平面
图形语言
符号语言
α⊥β α∩β＝a ⇒l⊥α l⊂β l⊥a
9．(2020·淄博模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面 ABCD 是矩形，侧棱 PD⊥底面 ABCD， PD＝DC，E 是 PC 的中点，作 EF⊥PB 交 PB 于点 F.
7
(1)证明：PA∥平面 EDB； (2)证明：PB⊥平面 EFD.
[玩转跟踪]
3
1．(江西)如图，直四棱柱 ABCD－A1B1C1D1 中，AB∥CD，AD⊥AB，AB＝2，AD＝ 2，AA1 ＝3，E 为 CD 上一点，DE＝1，EC＝3.
(1)证明：BE⊥平面 BB1C1C； (2)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离．
题型四 垂直的探索性综合应用 例 4 如图，在三棱台 ABCDEF 中，CF⊥平面 DEF，AB⊥BC.
(1)证明：MN∥平面 AA′C′C； (2)设 AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面 A′MN，试证明你的结论．
[玩转练习] 1．已知直线 a∥b，平面α∥β，a⊥α，则 b 与β的位置关系是( ) A．b⊥β B．b∥β C．b⊂β D．b⊂β或 b∥β 2．已知空间四边形 ABCD 的四边相等，则它的两对角线 AC、BD 的关系是( ) A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交 3. 如图，在正方形 ABCD 中，E、F 分别为边 BC、CD 的中点，H 是 EF 的中点．现沿 AE、 AF、EF 把这个正方形折成一个几何体，使 B、C、D 三点重合于点 G，则下列结论中成立 的是________．(填序号)