高中数学人教A版选修2-2(课时训练)2.1 合情推理与演绎推理2.1.1 Word版含答案
高中数学人教A版选修2-2同步辅导与检测2.1.1合情推理
答案：A
3．设函数f(x)＝(x＞0)，观察：
x f1(x)＝f(x)＝x＋2 ， x f2(x)＝f(f1(x))＝ ， 3x＋4 f3(x)＝f(f2(x))＝ x ， 7x＋8 f4(x)＝f(f3(x))＝ x ， 15x＋16
……
根据以上事实，由归纳推理可得：
x 当n∈N*且n≥2时，fn(x)＝f(fn－1(x))＝___________. 2n－1x＋2n
3 2 3 2
完全归纳法 ． 2．归纳推理包括_____________ 不完全归纳法 和_____________ 两类对象具有某些类似特征 和 3．由__________________________ 其中一类对象的某些已知特征，推出 __________________________
另一类对象也具有这些特征的推理 称为类比推理(简称类比)， ________________________________ 特殊 特殊 简言之，类比推理是由___________ 到___________ 的推理．
解析：设圆内两两相交的 n 条线段彼此最多分割成的线 段为 f(n)条，将圆最多分割为 g(n)部分．
1 2
1 当n＝3时，a3＝ ； 1＝3 1＋2 1 当n＝4时，a4＝ 1＝4 1＋3 1 3
；
观察可得，数列的前4项等于相应的序号的倒数．由此猜 想，这个数列的通项公式为an＝ .
1 n
点评：归纳猜想是一种重要的思维方法，但结果的正确性
还需进一步证明，但这个猜想可以为我们的研究提供一种方 向．
自测自评
1．已知a1＝3，a2＝6且an＋2＝an＋1－an，则a33为(
A．3 B．－3 C．6 D．－6
)
人教A版选修2-2数学：2.1《合情推理与演绎证明》测试1(新人教A版选修2-2).docx
数学：2.1《合情推理与演绎证明》测试新人教A 版选修（2-2）一、选择题1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ）Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 答案：Ａ2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ）Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 答案：Ｃ3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ）Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定 答案：Ｃ4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+Ｄ．4578b b b b +>+答案：Ｂ5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ）Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 答案：Ｄ 6．观察式子：213122+<，221151233++<，222111712344+++<，L ，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n ++++<-L ≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n ++++<+L ≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n-++++<L ≥Ｄ．22211121(2)2321n n n n ++++<+L ≥ 答案：Ｃ7．如图，在梯形ABCD 中，()AB DC AB a CD b a b ==>，，∥．若EF AB ∥，EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出：ma mbEF m m+=+．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD BC ，相交于O 点，设OAB △，OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则OEF △的面积0S 与12S S ，的关系是（ ）Ａ．120mS nS S m n+=+Ｂ．120nS mS S m n +=+Ｃ．120m S n S S +=Ｄ．120n S m S S +=答案：Ｃ8．已知a b ∈R ，，且2a b a b ≠+=，，则（ ） Ａ．2212a b ab +<<Ｂ．2212a b ab +<<Ｃ．2212a b ab +<<Ｄ．2212a b ab +<<答案：Ｂ9．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠有有理根，那么a b c ，，中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ） Ａ．假设a b c ，，都是偶数 Ｂ．假设a b c ，，都不是偶数Ｃ．假设a b c ，，至多有一个是偶数 Ｄ．假设a b c ，，至多有两个是偶数 答案：Ｂ10．用数学归纳法证明(1)(2)()213(21)nn n n n n +++=-L L ····，从k 到1k +，左边需要增乘的代数式为（ ） Ａ．21k + Ｂ．2(21)k + Ｃ．211k k ++ Ｄ．231k k ++ 答案：Ｂ11．类比“两角和与差的正余弦公式”的形式，对于给定的两个函数，()2x xa a S x --=，()2x xa a C x -+=，其中0a >，且1a ≠，下面正确的运算公式是（ ） ①()()()()()S x y S x C y C x S y +=+； ②()()()()()S x y S x C y C x S y -=-； ③()()()()()C x y C x C y S x S y +=-； ④()()()()()C x y C x C y S x S y -=+；Ａ．①③ Ｂ．②④ Ｃ．①④ Ｄ．①②③④答案：Ｄ12．正整数按下表的规律排列则上起第2005行，左起第2006列的数应为（ ） Ａ．22005 Ｂ．22006Ｃ．20052006+Ｄ．20052006⨯答案：Ｄ 二、填空题13．写出用三段论证明3()sin ()f x x x x =+∈R 为奇函数的步骤是 ． 答案：满足()()f x f x -=-的函数是奇函数， 大前提 333()()sin()sin (sin )()f x x x x x x x f x -=-+-=--=-+=-， 小前提所以3()sin f x x x =+是奇函数． 结论14．已知111()1()23f n n n *=++++∈N L ，用数学归纳法证明(2)2n nf >时，1(2)(2)k k f f +-等于 ． 答案：111121222k k k ++++++L 15．由三角形的性质通过类比推理，得到四面体的如下性质：四面体的六个二面角的平分面交于一点，且这个点是四面体内切球的球心，那么原来三角形的性质为 ． 答案：三角形内角平分线交于一点，且这个点是三角形内切圆的圆心 16．下面是按照一定规律画出的一列“树型”图： 设第n 个图有n a 个树枝，则1n a +与(2)n a n ≥之间的关系是 ． 答案：122n n a a +=+ 三、解答题17．如图（1），在三角形ABC 中，AB AC ⊥，若AD BC ⊥，则2AB BD BC =·；若类比该命题，如图（2），三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有什么结论？命题是否是真命题．解：命题是：三棱锥A BCD -中，AD ⊥面ABC ，若A 点在三角形BCD 所在平面内的射影为M ，则有2ABC BCMBCD S S S =△△△·是一个真命题． 证明如下：在图（2）中，连结DM ，并延长交BC 于E ，连结AE ，则有DE BC ⊥． 因为AD ⊥面ABC ，，所以AD AE ⊥． 又AM DE ⊥，所以2AE EM ED =·． 于是22111222ABCBCM BCD SBC AE BC EM BC ED S S ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭△△△·····． 18．如图，已知PA ⊥矩形ABCD 所在平面，M N ，分别是AB PC ，的中点． 求证：（1）MN ∥平面PAD ；（2）MN CD ⊥．证明：（1）取PD 的中点E ，连结AE NE ，． N E ，∵分别为PC PD ，的中点．EN ∴为PCD △的中位线，12EN CD ∥∴，12AM AB =，而ABCD 为矩形， CD AB ∴∥，且CD AB =． EN AM ∴∥，且EN AM =．AENM ∴为平行四边形，MN AE ∥，而MN ⊄平面PAC ，AE ⊂平面PAD ， MN ∴∥平面PAD ．（2）PA ⊥∵矩形ABCD 所在平面，CD PA ⊥∴，而CD AD ⊥，PA 与AD 是平面PAD 内的两条直交直线， CD ⊥∴平面PAD ，而AE ⊂平面PAD ， AE CD ⊥∴．又MN AE ∵∥，MN CD ⊥∴．19．求证：当一个圆和一个正方形的周长相等时，圆的面积比正方形的面积大． 证明：（分析法）设圆和正方形的周长为l ，依题意，圆的面积为2π2πl ⎛⎫⎪⎝⎭·， 正方形的面积为24l ⎛⎫⎪⎝⎭．因此本题只需证明22π2π4l l ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．要证明上式，只需证明222π4π16l l >，两边同乘以正数24l，得11π4>．因此，只需证明4π>．∵上式是成立的，所以22π2π4l l ⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．这就证明了如果一个圆和一个正方形的周长相等，那么圆的面积比正方形的面积最大． 20．已知实数a b c d ，，，满足1a b c d +=+=，1ac bd +>，求证a b c d ，，，中至少有一个是负数．证明：假设a b c d ，，，都是非负实数，因为1a b c d +=+=，所以a b c d ，，，[01]∈，，所以2a c ac +，2b cbd +， 所以122a cb dac bd ++++=≤， 这与已知1ac bd +>相矛盾，所以原假设不成立，即证得a b c d ，，，中至少有一个是负数． 21．设()2x x a a f x -+=，()2x x a a g x --=（其中0a >，且1a ≠）．（1）523=+请你推测(5)g 能否用(2)(3)(2)(3)f f g g ，，，来表示；（2）如果（1）中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．解：（1）由3332332255(3)(2)(3)(2)22221a a a a a a a a a a f g g f -----+--+-+=+=··，又55(5)2a a g --=，因此(5)(3)(2)(3)(2)g f g g f =+．（2）由(5)(3)(2)(3)(2)g f g g f =+，即(23)(3)(2)(3)(2)g f g g f +=+， 于是推测()()()()()g x y f x g y g x f y +=+．证明：因为()2x x a a f x -+=，()2x xa a g x --=（大前提）．所以()()2x y x y a a g x y +-+-+=，()2y y a a g y --=，()2y ya a f y -+=，（小前提及结论）所以()()()()()()22222x x y y x x y y x y x y a a a a a a a a a a f x g y g x f y g x y ----+-++--+-+=+==+··．22．若不等式111123124an n n +++>+++L 对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明结论． 解：当1n =时，11111123124a ++>+++，即262424a>， 所以26a <．而a 是正整数，所以取25a =，下面用数学归纳法证明：11125123124n n n +++>+++L ． （1）当1n =时，已证；（2）假设当n k =时，不等式成立，即11125123124k k k +++>+++L ． 则当1n k =+时，有111(1)1(1)23(1)1k k k +++++++++L 111111112313233341k k k k k k k =++++++-+++++++L 251122432343(1)k k k ⎡⎤>++-⎢⎥+++⎣⎦． 因为2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++， 所以2116(1)2323491883(1)k k k k k k ++=>+++++， 所以112032343(1)k k k +->+++． 所以当1n k =+时不等式也成立． 由（1）（2）知，对一切正整数n ，都有11125123124n n n +++>+++L ， 所以a 的最大值等于25．。
高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：2.1 合情推理与演绎推理2.1.2 Word版含答案
2.1.2演绎推理[学习目标]1．理解演绎推理的意义．2．掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理．3．了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系．[知识链接]1．演绎推理的结论一定正确吗？答演绎推理的结论不会超出前提所界定的范围，所以在演绎推理中，只要前提和推理形式正确，其结论就一定正确．2．如何分清大前提、小前提和结论？答在演绎推理中，大前提描述的是一般原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般原理对特殊情况作出的判断，这与平时我们解答问题中的思考是一样的，即先指出一般情况，从中取出一个特例，特例也具有一般意义．例如，平行四边形对角线互相平分，这是一般情况；矩形是平行四边形，这是特例；矩形对角线互相平分，这是特例具有一般意义．3．演绎推理一般是怎样的模式？答“三段论”是演绎推理的一般模式，它包括：(1)大前提——已知的一般原理；(2)小前提——所研究的特殊情况；(3)结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．[预习导引]1．演绎推理要点一用三段论的形式表示演绎推理例1把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100 ℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，2100＋1是奇数，所以2100＋1不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．解(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100 ℃，大前提在一个标准大气压下把水加热到100 ℃，小前提水会沸腾．结论(2)一切奇数都不能被2整除，大前提2100＋1是奇数，小前提2100＋1不能被2整除．结论(3)三角函数都是周期函数，大前提y＝tan α是三角函数，小前提y＝tan α是周期函数．结论规律方法用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系．有时可省略小前提，有时甚至也可大前提与小前提都省略．在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提．跟踪演练1试将下列演绎推理写成三段论的形式：(1)太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行，海王星是太阳系中的大行星，所以海王星以椭圆轨道绕太阳运行；(2)所有导体通电时发热，铁是导体，所以铁通电时发热；(3)一次函数是单调函数，函数y＝2x－1是一次函数，所以y＝2x－1是单调函数；(4)等差数列的通项公式具有形式a n＝pn＋q(p，q是常数)，数列1,2,3，…，n是等差数列，所以数列1,2,3，…，n的通项具有a n＝pn＋q的形式．解(1)大前提：太阳系的大行星都以椭圆形轨道绕太阳运行；小前提：海王星是太阳系里的大行星；结论：海王星以椭圆形轨道绕太阳运行．(2)大前提：所有导体通电时发热；小前提：铁是导体；结论：铁通电时发热．(3)大前提：一次函数都是单调函数； 小前提：函数y ＝2x －1是一次函数； 结论：y ＝2x －1是单调函数．(4)大前提：等差数列的通项公式具有形式a n ＝pn ＋q ； 小前提：数列1,2,3，…，n 是等差数列；结论：数列1,2,3，…，n 的通项具有a n ＝pn ＋q 的形式． 要点二 演绎推理的应用例2 正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的棱长均为a ，D 、E 分别为C 1C 与AB 的中点，A 1B 交AB 1于点G .(1)求证：A 1B ⊥AD ； (2)求证：CE ∥平面AB 1D . 证明(1)连接BD .∵三棱柱ABC －A 1B 1C 1是棱长均为a 的正三棱柱， ∴A 1ABB 1为正方形，∴A 1B ⊥AB 1. ∵D 是C 1C 的中点，∴△A 1C 1D ≌△BCD ，∴A 1D ＝BD ，∵G 为A 1B 的中点，∴A 1B ⊥DG ， 又∵DG ∩AB 1＝G ，∴A 1B ⊥平面AB 1D . 又∵AD ⊂平面AB 1D ，∴A 1B ⊥AD .(2)连接GE ，∵EG ∥A 1A ，∴GE ⊥平面ABC . ∵DC ⊥平面ABC ，∴GE ∥DC ，∵GE ＝DC ＝12a ，∴四边形GECD 为平行四边形，∴CE ∥GD .又∵CE ⊄平面AB 1D ，DG ⊂平面AB 1D ， ∴CE ∥平面AB 1D .规律方法 (1)应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略．(2)数学问题的解决与证明都蕴含着演绎推理，即一连串的三段论，关键是找到每一步推理的依据——大前提、小前提，注意前一个推理的结论会作为下一个三段论的前提．跟踪演练2 求证：函数y ＝2x －12x ＋1是奇函数，且在定义域上是增函数．证明 y ＝(2x ＋1)－22x＋1＝1－22x ＋1， 所以f (x )的定义域为R .f (－x )＋f (x )＝⎝⎛⎭⎫1－22－x ＋1＋⎝⎛⎭⎫1－22x ＋1＝2－⎝⎛⎭⎫22x ＋1＋22－x ＋1＝2－⎝⎛⎭⎫22x ＋1＋2·2x2x ＋1＝2－2(2x ＋1)2x ＋1＝2－2＝0.即f (－x )＝－f (x )，所以f (x )是奇函数． 任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2.则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫1－22x 1＋1－⎝⎛⎭⎫1－22x 2＋1＝2⎝⎛⎭⎫12x 2＋1－12x 1＋1＝2·2x 1－2x 2(2x 2＋1)(2x 1＋1). 由于x 1<x 2，从而2x 1<2x 2，2x 1－2x 2<0， 所以f (x 1)<f (x 2)，故f (x )为增函数． 要点三 合情推理、演绎推理的综合应用例3 如图所示，三棱锥A －BCD 的三条侧棱AB ，AC ，AD 两两互相垂直，O 为点A 在底面BCD 上的射影．(1)求证：O 为△BCD 的垂心；(2)类比平面几何的勾股定理，猜想此三棱锥侧面与底面间的一个关系，并给出证明． (1)证明 ∵AB ⊥AD ，AC ⊥AD ，AB ∩AC ＝A ， ∴AD ⊥平面ABC ，又BC ⊂平面ABC . ∴AD ⊥BC ，又∵AO ⊥平面BCD ，AO ⊥BC ， ∵AD ∩AO ＝A ，∴BC ⊥平面AOD ，∴BC ⊥DO ，同理可证CD ⊥BO ， ∴O 为△BCD 的垂心．(2)解 猜想：S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD＝S 2△BCD .证明：连接DO 并延长交BC 于E ，连结AE ， 由(1)知AD ⊥平面ABC ， AE ⊂平面ABC ，∴AD ⊥AE ，又AO ⊥ED ， ∴AE 2＝EO ·ED ，∴⎝⎛⎭⎫12BC ·AE 2＝⎝⎛⎭⎫12BC ·EO ·⎝⎛⎭⎫12BC ·ED ， 即S 2△ABC ＝S △BOC ·S △BCD . 同理可证：S 2△ACD ＝S △COD ·S △BCD ， S 2△ABD ＝S △BOD ·S △BCD . ∴S 2△ABC ＋S 2△ACD ＋S 2△ABD ＝S △BCD ·(S △BOC ＋S △COD ＋S △BOD )＝S △BCD ·S △BCD ＝S 2△BCD .规律方法 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真．但合情推理常常帮助我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法，而演绎推理得到的结论一定正确(前提和推理形式都正确的前提下)．跟踪演练3 已知命题：“若数列{a n }是等比数列，且a n >0，则数列b n ＝na 1a 2…a n (n ∈N *)也是等比数列”．类比这一性质，你能得到关于等差数列的一个什么性质？并证明你的结论． 解 类比等比数列的性质，可以得到等差数列的一个性质是：若数列{a n }是等差数列，则数列b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n 也是等差数列．证明如下：设等差数列{a n }的公差为d ，则b n ＝a 1＋a 2＋…＋a n n ＝na 1＋n (n －1)d 2n ＝a 1＋d2(n －1)，所以数列{b n }是以a 1为首项，d2为公差的等差数列．1．下面几种推理过程是演绎推理的是( )A ．两条直线平行，同旁内角互补，如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180°B ．某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质D ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12⎝⎛⎭⎫a n －1＋1a n －1(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式答案 A解析 A 是演绎推理，B 、D 是归纳推理，C 是类比推理．2．“因为对数函数y ＝log a x 是增函数(大前提)，又y ＝log 13 x 是对数函数(小前提)，所以y＝log 13x 是增函数(结论)．”下列说法正确的是( )A ．大前提错误导致结论错误B ．小前提错误导致结论错误C ．推理形式错误导致结论错误D ．大前提和小前提都错误导致结论错误 答案 A解析 y ＝log a x 是增函数错误．故大前提错．3．把“函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：________；小前提：________；结论：________.答案 二次函数的图象是一条抛物线 函数y ＝x 2＋x ＋1是二次函数 函数y ＝x 2＋x ＋1的图象是一条抛物线4． “如图，在△ABC 中，AC >BC ，CD 是AB 边上的高，求证：∠ACD >∠BCD ”．证明：在△ABC 中 ， 因为CD ⊥AB ，AC >BC ， ① 所以AD >BD ， ② 于是∠ACD >∠BCD .③则在上面证明的过程中错误的是________．(只填序号) 答案③ 解析 由AD >BD ，得到∠ACD >∠BCD 的推理的大前提应是“在同一三角形中，大边对大角”，小前提是“AD >BD ”，而AD 与BD 不在同一三角形中，故③错误．1．演绎推理是从一般性原理出发，推出某个特殊情况的推理方法；只要前提和推理形式正确，通过演绎推理得到的结论一定正确．2．在数学中，证明命题的正确性都要使用演绎推理，推理的一般模式是三段论，证题过程中常省略三段论的大前提.一、基础达标1．下列表述正确的是()①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；⑤类比推理是由特殊到特殊的推理．A．①②③B．②③④C．②④⑤D．①③⑤答案 D解析根据归纳推理，演绎推理，类比推理的概念特征可以知道①③⑤正确．2．《论语·学路》篇中说：“名不正，则言不顺；言不顺，则事不成；事不成，则礼乐不兴；礼乐不兴，则刑罚不中；刑罚不中，则民无所措手足；所以，名不正，则民无所措手足．”上述推理用的是()A．类比推理B．归纳推理C．演绎推理D．一次三段论答案 C解析这是一个复合三段论，从“名不正”推出“民无所措手足”，连续运用五次三段论，属演绎推理形式．3．正弦函数是奇函数，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函数，因此f(x)＝sin (x2＋1)是奇函数．以上推理()A．结论正确B．大前提不正确C．小前提不正确D．全不正确答案 C解析由于函数f(x)＝sin (x2＋1)不是正弦函数．故小前提不正确．4．“∵四边形ABCD是矩形，∴四边形ABCD的对角线相等．”以上推理的大前提是() A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形答案 B解析利用三段论分析：大前提：矩形都是对角线相等的四边形；小前提：四边形ABCD是矩形；结论：四边形ABCD的对角线相等．5．三段论：“①小宏在2013年的高考中考入了重点本科院校；②小宏在2013年的高考中只要正常发挥就能考入重点本科院校；③小宏在2013年的高考中正常发挥”中，“小前提”是________(填序号)．答案③解析在这个推理中，②是大前提，③是小前提，①是结论．6．在求函数y＝log2x－2的定义域时，第一步推理中大前提是当a有意义时，a≥0；小前提是log2x－2有意义；结论是________．答案y＝log2x－2的定义域是[4，＋∞)解析由大前提知log2x－2≥0，解得x≥4.7．用三段论证明：直角三角形两锐角之和为90°.证明因为任意三角形内角之和为180°(大前提)，而直角三角形是三角形(小前提)，所以直角三角形内角之和为180°(结论)．设直角三角形两个锐角分别为∠A、∠B，则有∠A＋∠B＋90°＝180°，因为等量减等量差相等(大前提)，(∠A＋∠B＋90°)－90°＝180°－90°(小前提)，所以∠A＋∠B＝90°(结论)．二、能力提升8．“所有9的倍数(M)都是3的倍数(P)，某奇数(S)是9的倍数(M)，故某奇数(S)是3的倍数(P)．”上述推理是()A．小前提错B．结论错C．正确的D．大前提错答案 C解析由三段论推理概念知推理正确．9．已知三条不重合的直线m、n、l，两个不重合的平面α、β，有下列命题：①若m∥n，n⊂α，则m∥α；②若l⊥α，m⊥β且l∥m，则α∥β；③若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊂β，n⊥m，则n⊥α.其中正确的命题个数是()A．1 B．2C ．3D ．4答案 B解析 ①中，m 还可能在平面α内，①错误；②正确；③中，m 与n 相交时才成立，③错误；④正确．故选B.10．已知函数f (x )满足：f (1)＝14，4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )(x ，y ∈R )，则f (2 010)＝________.答案 12解析 令y ＝1得4f (x )·f (1)＝f (x ＋1)＋f (x －1) 即f (x )＝f (x ＋1)＋f (x －1)① 令x 取x ＋1则f (x ＋1)＝f (x ＋2)＋f (x ) ②由①②得f (x )＝f (x ＋2)＋f (x )＋f (x －1)， 即f (x －1)＝－f (x ＋2)，∴f (x )＝－f (x ＋3)，∴f (x ＋3)＝－f (x ＋6)， ∴f (x )＝f (x ＋6)， 即f (x )周期为6，∴f (2 010)＝f (6×335＋0)＝f (0)对4f (x )f (y )＝f (x ＋y )＋f (x －y )，令x ＝1，y ＝0，得 4f (1)f (0)＝2f (1)， ∴f (0)＝12，即f (2 010)＝12.11．用演绎推理证明函数f (x )＝|sin x |是周期函数．证明 大前提：若函数y ＝f (x )对于定义域内的任意一个x 值满足f (x ＋T )＝f (x )(T 为非零常数)，则它为周期函数，T 为它的一个周期． 小前提：f (x ＋π)＝|sin(x ＋π)|＝|sin x |＝f (x )． 结论：函数f (x )＝|sin x |是周期函数．12．S 为△ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC .求证：AB ⊥BC . 证明如图，作AE ⊥SB 于E .∵平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB ∩平面SBC ＝SB .AE ⊂平面SAB . ∴AE ⊥平面SBC ， 又BC ⊂平面SBC .∴AE ⊥BC .又∵SA ⊥平面ABC ， ∴SA ⊥BC .∵SA ∩AE ＝A ，SA ⊂平面SAB ，AE ⊂平面SAB ， ∴BC ⊥平面SAB .∵AB ⊂平面SAB .∴AB ⊥BC . 三、探究与创新13．设f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x2(其中a ＞0且a ≠1)．(1)5＝2＋3请你推测g (5)能否用f (2)，f (3)，g (2)，g (3)来表示； (2)如果(1)中获得了一个结论，请你推测能否将其推广．解 (1)由f (3)g (2)＋g (3)f (2)＝a 3＋a －32a 2－a －22＋a 3－a －32a 2＋a －22＝a 5－a －52，又g (5)＝a 5－a －52因此，g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)．(2)由g (5)＝f (3)g (2)＋g (3)f (2)，即g (2＋3)＝ f (3)g (2)＋g (3)f (2)，于是推测g (x ＋y )＝f (x )g (y )＋g (x )f (y )．证明 因f (x )＝a x ＋a －x 2，g (x )＝a x －a －x2(大前提)，所以g (x ＋y )＝a x ＋y －a－(x ＋y )2，g (y )＝a y －a －y 2，f (y )＝a y ＋a －y2(小前提及结论)，所以f (x )g (y )＋g (x )f (y )＝a x ＋a －x 2·a y －a －y 2＋a x －a －x 2a y ＋a －y 2＝a x ＋y －a－(x ＋y )2＝g (x ＋y ).。
高中数学(人教A版选修2-2)课时作业 2.1.1 合情推理资料
课时提升作业(十四)合情推理一、选择题(每小题3分，共18分)1.某同学在电脑上打下了一串黑白圆，如图所示，，按这种规律往下排，那么第36个圆的颜色应是( )A.白色B.黑色C.白色可能性大D.黑色可能性大【解析】选A.由题干图知，图形是三白二黑的圆周而复始相继排列，是一个周期为5的三白二黑的圆列，因为36÷5=7余1，所以第36个圆应与第1个圆颜色相同，即白色.2.已知数列{a n}满足a0=1，a n=a0+a1+a2+…+a n-1(n≥1)，则当n≥1时，a n等于( )A.2nB.n(n+1)C.2n-1D.2n-1【解析】选C.a0=1，a1=a0=1，a2=a0+a1=2a1=2，a3=a0+a1+a2=2a2=4，a4=a0+a1+a2+a3=2a3=8，…，猜想n≥1时，a n=2n-1.3.给出下列三个类比结论：①类比a x·a y=a x+y，则有a x÷a y=a x-y；②类比log a(xy)=log a x+log a y，则有sin(α+β)=sinαsinβ；③类比(a+b)2=a2+2ab+b2，则有(a+b)2=a2+2a·b+b2.其中结论正确的个数是( )A.0B.1C.2D.3【解析】选C.根据指数的运算法则知a x÷a y=a x-y，故①正确；根据三角函数的运算法则知：sin(α+β)≠sinαsinβ，②不正确；根据向量的运算法则知：(a+b)2=a2+2a·b+b2，③正确.4.设n棱柱有f(n)个对角面，则(n+1)棱柱的对角面的个数f(n+1)等于( )A.f(n)+n+1B.f(n)+nC.f(n)+n-1D.f(n)+n-2【解题指南】因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作(n-3)个对角面，n条侧棱可作n(n-3)个对角面，由于这些对角面是相互之间重复计算了，所以共有n(n-3)÷2个对角面，从而得出f(n+1)与f(n)的关系.【解析】选C.因为过不相邻两条侧棱的截面为对角面，过每一条侧棱与它不相邻的一条侧棱都能作对角面，可作(n-3)个对角面，n条侧棱可作n(n-3)个对角面，由于这些对角面是相互之间重复计算了，所以共有n(n-3)÷2个对角面，所以可得f(n+1)-f(n)=(n+1)(n+1-3)÷2-n(n-3)÷2=n-1，故f(n+1)=f(n)+n-1.5.古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数.比如：他们研究过图1中的1，3，6，10，…，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数；类似地，称图2中的1，4，9，16，…，这样的数为正方形数.下列数中既是三角形数又是正方形数的是( )A.289B.1024C.1225D.1378【解析】选C.观察三角形数：1，3，6，10，…，记该数列为{a n}，则a1=1，a2=a1+2，a3=a2+3，…a n=a n-1+n.所以a1+a2+…+a n=(a1+a2+…+a n-1)+(1+2+3+…+n)⇒a n=1+2+3+…+n=，观察正方形数：1，4，9，16，…，记该数列为{b n}，则b n=n2.把四个选项的数字，分别代入上述两个通项公式，可知使得n都为正整数的只有1225.6.(2014·枣庄高二检测)将正奇数按如图所示的规律排列，则第21行从左向右的第5个数为( )13 5 79 11 13 15 1719 21 23 25 27 29 31…A.809B.853C.785D.893【解析】选A.前20行共有正奇数1+3+5+…+39=202=400个，则第21行从左向右的第5个数是第405个正奇数，所以这个数是2×405-1=809.二、填空题(每小题4分，共12分)7.在平面上，若两个正三角形的边长的比为1∶2，则它们的面积比为1∶4.类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长的比为1∶2，则它们的体积比为________.【解析】==·=×=.答案：8.(2014·石家庄高二检测)设n为正整数，f(n)=1+++…+，计算得f(2)=，f(4)>2，f(8)>，f(16)>3，观察上述结果，可推测一般的结论为________. 【解析】由前四个式子可得，第n个不等式的左边应当为f(2n)，右边应当为，即可得一般的结论为f(2n)≥.答案：f(2n)≥9.(2014·杭州高二检测)对于命题“如果O是线段AB上一点，则||·+||·=0”将它类比到平面的情形是：若O是△ABC内一点，有S+S△OCA·+S△OBA·=0，将它类比到空间的情形应为：若O是四面体ABCD △OBC·内一点，则有____________________________.【解析】根据类比的特点和规律，所得结论形式上一致，又线段类比平面，平面类比到空间，又线段长类比为三角形面积，再类比成四面体的体积，故可以类比为V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0.答案：V O-BCD·+V O-ACD·+V O-ABD·+V O-ABC·=0三、解答题(每小题10分，共20分)10.平面中的三角形和空间中的四面体有很多相类似的性质，例如在三角形中：(1)三角形两边之和大于第三边.(2)三角形的面积S=×底×高.(3)三角形的中位线平行于第三边且第于第三边的.…请类比上述性质，写出空间中四面体的相关结论.【解析】由三角形的性质，可类比得空间四面体的相关性质为：(1)四面体的任意三个面的面积之和大于第四个面的面积.(2)四面体的体积V=×底面积×高.(3)四面体的中位面平行于第四个面且面积等于第四个面的面积的.11.在平面几何中研究正三角形内任意一点与三边的关系时，我们有真命题：边长为a的正三角形内任意一点到各边的距离之和是定值a，类比上述命题，请你写出关于正四面体内任意一点与四个面的关系的一个真命题，并给出简要的证明.【解题指南】利用类比推理时，正三角形可类比成正四面体，归纳出结论再给予证明.【解析】类比所得的真命题是：棱长为a的正四面体内任意一点到四个面的距离之和是定值 a.证明：设M是正四面体P-ABC内任一点，M到面ABC，面PAB，面PAC，面PBC的距离分别为d1，d2，d3，d4.由于正四面体四个面的面积相等，故有：V P-ABC=V M-ABC+V M-PAB+V M-PAC+V M-PBC=·S△ABC·(d1+d2+d3+d4)，而S△ABC=a2，V P-ABC=a3，故d1+d2+d3+d4=a(定值).【变式训练】设f(x)=，先分别求f(0)+f(1)，f(-1)+f(2)，f(-2)+f(3)，然后归纳出一个一般结论，并给出证明.【解析】f(0)+f(1)=+=+=+=.同理f(-1)+f(2)=，f(-2)+f(3)=.由此猜想：当x1+x2=1时，f(x1)+f(x2)=.证明：设x1+x2=1，则f(x1)+f(x2)=+====.故猜想成立.一、选择题(每小题4分，共16分)1.(2014·厦门高二检测)定义A*B，B*C，C*D，D*A的运算分别对应下图中的(1)，(2)，(3)，(4)，那么下图中的(A)，(B)所对应的运算结果可能是( )A.B*D，A*DB.B*D，A*CC.B*C，A*DD.C*D，A*D【解析】选B.由(1)(2)(3)(4)图得A表示|，B表示□，C表示—，D表示○，故图(A)(B)表示B*D和A*C.2.(2014·西安高二检测)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1，1)，(1，2)，(2，1)，(1，3)，(2，2)，(3，1)，(1，4)，(2，3)，(3，2)，(4，1)，…，则第60个数对是( )A.(7，5)B.(5，7)C.(2，10)D.(10，1)【解析】选B.依题意，由和相同的“整数对”分为一组不难得知，第n组“整数对”的和为n+1，且有n个“整数对”.这样前n组一共有个“整数对”.注意到<60<.因此第60个“整数对”处于第11组的第5个位置，可得为(5，7).3.(2014·汕头高二检测)观察下列各式： 1=12， 2+3+4=32， 3+4+5+6+7=52， 4+5+6+7+8+9+10=72， …，可以得出的一般结论是( ) A.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=n 2 B.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2 C.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=n 2 D.n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-1)=(2n-1)2【解析】选B.可以发现：第一个式子的第一个数是1，第二个式子的第一个数是2，…故第n 个式子的第一个数是n ；第一个式子中有1个数相加，第二个式子中有3个数相加，…故第n 个式子中有2n-1个数相加；第一个式子的结果是1的平方，第二个式子的结果是3的平方，…故第n 个式子应该是2n-1的平方，故可以得到n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2.4.(2014·临沂高二检测)已知x>0，由不等式x+≥2=2，x+=++≥3=3，…我们可以得出推广结论：x+≥n+1(n ∈N *)，则a=( )A.2nB.n 2C.3nD.n n【解析】选D.再续写一个不等式：x+=+++≥4=4，由此可得a=n n.二、填空题(每小题5分，共10分)5.已知经过计算和验证有下列正确的不等式：+<2，+<2，+<2，根据以上不等式的规律，请写出一个对正实数m，n 都成立的条件不等式_____________________.【解析】观察所给不等式可以发现：不等式左边两个根式的被开方数的和等于20，不等式的右边都是2，因此对正实数m，n都成立的条件不等式是：若m>0，n>0，则当m+n=20时，有+<2.答案：若m>0，n>0，则当m+n=20时，有+<26.在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=b，BC=a，则△ABC外接圆半径r=.运用类比方法，若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直且长度分别为a，b，c，则其外接球的半径R=________.【解题指南】解题时题设条件若是三条线两两互相垂直，就要考虑到构造正方体或长方体.【解析】(构造法)通过类比可得R=.证明：作一个在同一个顶点处棱长分别为a，b，c的长方体，则这个长方体的体对角线的长度是，故这个长方体的外接球的半径是，这也是所求的三棱锥的外接球的半径.答案：【变式训练】在平面几何里，有“若△ABC的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为S△ABC=(a+b+c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，内切球的半径为R，则四面体的体积为________”.【解题指南】注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论.【解析】三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径.二维图形中类比为三维图形中的，得V四面体ABCD=(S1+S2+S3+S4)R.答案：V四面体ABCD=(S1+S2+S3+S4)R三、解答题(每小题12分，共24分)7.观察下列等式：①sin210°+cos240°+sin10°cos40°=；②sin26°+cos236°+sin6°cos36°=.由上面两题的结构规律，你能否提出一个猜想?并证明你的猜想.【解析】由①②可看出，两角差为30°，则它们的相关形式的函数运算式的值均为.猜想：若β-α=30°，则β=30°+α，sin2α+cos2β+sinαcosβ=，也可直接写成sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=.下面进行证明：左边=++sinαcos(α+30°)=++sinα·(cosα·cos30°-sinαsin30°)=-cos2α++cos2α-sin2α+sin2α-==右边.故sin2α+cos2(α+30°)+sinαcos(α+30°)=.8.某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图(1)，(2)，(3)，(4)为最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮.现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形.(1)求出f(5)的值.(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n+1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式. (3)求+++…+的值. 【解析】(1)f(5)=41.(2)因为f(2)-f(1)=4=4×1，f(3)-f(2)=8=4×2，f(4)-f(3)=12=4×3，f(5)-f(4)=16=4×4，…由上式规律，所以得出f(n+1)-f(n)=4n.因为f(n+1)-f(n)=4n⇒f(n+1)=f(n)+4n⇒f(n)=f(n-1)+4(n-1)=f(n-2)+4(n-1)+4(n-2)=f(n-3)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)=…=f(1)+4(n-1)+4(n-2)+4(n-3)+…+4=2n2-2n+1.(3)当n≥2时，==.所以+++…+=1+×=1+=-.关闭Word文档返回原板块。
高二数学2.1.1合情推理课后习题新人教A版选修2-2
课时演练 · 促提升
A组
1. 已知数列 1, a+a2, a2+a3+a4, a3+a4+a5+a6, …, 则数列的第 k 项是 (
)
A.a k+ak+1+… +a2k B.a k- 1+ak+… +a2k- 1 C.a k- 1+ak+… +a2k D.a k- 1+ak+… +a2k- 2
A.a n=3n- 1 C.an=3n- 2n
B. an=3n D. an=3n- 1+2n- 3
解析 : ∵a1=1, a2=3, a3=9, a4=27, ∴猜想 an=3n- 1.
答案 : A
5. 如图所示 , n 个连续自然数按规律排列如下 :
根据规律 , 从 2 004 到 2 006 的箭头方向依次为 (
)
A. →↑
B. ↑→
C.↓→
D.→↓
解析 : 观察总结规律为 : 以 4 个数为一个周期 , 箭头方向重复出现 . 因此 ,2 004 到 2 006 的箭
头方向和 0 到 2 的箭头方向是一致的 . 故选 C.
答案 : C
6. 设 { an} 是首项为
1 的正数项数列
,且(
n+1) -n+an+1an=0(
比成 . 故有 .
答案 : 8. 已知 sin 230° +sin 290° +sin 2150° =,sin 25° +sin 265° +sin 2125° =, 通过观察上述两等式
的规律 , 请你写出一般性的命题 , 并给出证明 .
人教a版数学【选修2-2】练习：2.1.1合情推理(含答案)
2 A． n＋1 2
2 B． n n＋ 1
2 C．2n－ 1
2 D． 2n－ 1
[答案 ] [解析 ]
B
因为
Sn＝
n
2
a
n，
a1＝
1，
所以
S2＝4a2 ＝a1＋ a2?
选修 2-2 第二章 2.1 2.1.1 第 1 课时
一、选择题
1.观察图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为
()
A．
B．△
C．?
D ．○
[答案 ] A
[解析 ] 观察可发现规律：①每行、每列中，方、圆、三角三种形状均各出现一次，②
每行、每列有两阴影一空白，即得结果．
2．在数列 { an} 中， a1＝ 0， an＋ 1＝ 2an ＋2，则猜想 an＝ (
照此规律，第 n 个等式可为 __________________________________ ． [答案 ] (n＋ 1)(n＋ 2), (n＋ n)＝ 2n× 1× 3×, × (2n－ 1)
[解析 ] 观察规律，等号左侧第 n 个等式共有 n 项相乘，从 n＋ 1 到 n＋n，等式右端是 2n 与 等 差 数 列 {2 n － 1} 前 n 项 的 乘 积 ， 故 第 n 个 等 式 为 (n ＋ 1)( n ＋ 2), (n ＋ n) ＝ 2n× 1× 3×, × (2 n－ 1)．
7．观察下列等式： 12＝ 1， 12－ 22＝－ 3， 12－ 22＋ 32＝ 6， 12－ 22＋ 32－ 42＝－ 10，
,,
由以上等式推测到一个一般的结论：对于
________. [答案 ]
(－
1)
n
＋
1n2＋ 2
高中数学人教A版选修2-2同步辅导与检测2.1.2合情推理与演绎推理
(3)数列{an}中，如果当n≥2时，an－an－1为常数，则{an}为 等差数列；大前提 通项公式为an＝2n＋3时，若n≥2，则an－an－1＝2n＋3－ [2(n－1)＋3]＝2(常数)；小前提
通项公式an＝2n＋3表示的数列为等差数列．结论
(4)三角形的内角和是180°；大前提 Rt△ABC是三角形；小前提 所以Rt△ABC的内角和是180°.结论
上满足增函数的定义，这是证明本题的关键．
证明：设 x1<x2，则 x2－x1>0，
3 f(x2 )－f(x1 ) ＝ (x3 ＋ x ) － ( x 2 2 1＋x1) 3 ＝(x3 － x 2 1) ＋ (x2－x1) 2 ＝(x2－x1 )(x2 ＋ x x ＋ x 2 2 1 1) ＋ (x2 －x1) 2 ＝(x2 －x1 )(x2 ＋ x x ＋ x 2 2 1 1 ＋1)
________ 结论 、__________.
自测自评 1．演绎推理中的“一般性命题”包括( )
①已有的事实；②定义、定理、公理等；③个人积累的经 验． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
解析：演绎推理中的“一般性命题”包括“已有的事
实”、“定义、定理、公理等”． 答案：A
2．下列说法不正确的个数为(
解析：大前提：一切奇数都不能被2整除； 小前提：(2100＋1)是奇数； 结论：(2100＋1)不能被2整除．
(3)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A与∠B是两条平
行直线的同旁内角，那么∠A＋∠B＝180°.
解析：大前提：两条平行直线，同旁内角互补； 小前提：∠A与∠B是两条直线平行的同旁内角； 结论：∠A＋∠B＝180°.
跟踪训练
1．把下列演绎推理写成三段论的形式：
高中数学人教A选修2-2同步辅导与检测：2.1.1合情推理
几何中的归纳推理
如图，在圆内画1条线段，将圆分成2部分；画2条线段，彼此最多分割 成4条线段，同时将圆分割成4部分；画3条线段，彼此最多分割成9条线段，将圆最 多分割成7部分；画4条线段，彼此最多分割成16条线段，将圆最画5条线段，它们彼此最多分割成多少条线段？将圆最多分割成多少 部分？
推理与证明
§2．1 合情推理与演绎推理 2．1.1 合 情 推 理
1．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理． 2．用归纳和类比进行推理，作出猜想．
基础梳理
1．归纳推理是由______某__类__事__物__的__部__分具对有象___________，推某出些该特类征事物的全
部对象都具有__________________，或者由个别这事些实特概征括的出推一理般结论的推理，简言 之，归纳推理是由__________到__________、由__________到__________的推理．
_____观__察___、_________分_析、__________，比再较进行_________联_，想然后提出猜想的推理， 我们把它们统称为合情推理．
归纳类比
自测自评
1．已知a1＝3，a2＝6且an＋2＝an＋1－an，则a33为( )
A．3
B．－3
C．6
D．－6
解析：a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，故{an}以6个 项为周期循环出现，a33＝a3＝3.
3 2
3
2 3
2
分析：注意观察四个式子的共同特征或规律：①结构的一致性；②观察角 的“共性”．
解析：猜想：sin2(α－60°)＋sin2α＋sin2(α＋60°)＝ .
3 证明：左边＝(sin αcos 60°－cos αsin 60°)2＋sin2α＋(sin αcos 60°＋cos αsin 2
高中数学(人教A版,选修22)2.1 合情推理与演绎推理 课件+同步练习(9份)22 2.1.1 第2课时 备选
选修2-2 第二章 2.1 2.1.1 第2课时1．已知整数的数列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…则第60个数对是( )A ．(3,8)B ．(4,7)C ．(4,8)D ．(5,7)[答案] D[解析] 观察可知横坐标与纵坐标之和为2的数对有1个，和为3的数对有2个，和为4的数对有3个，和为5的数对有4个，…，依此类推和为n ＋1的数对有n 个，和相同的数对的排序是按照横坐标依次增大的顺序来排的，由n (n ＋1)2＝60⇒n (n ＋1)＝120，n ∈N ，n ＝10时，n (n ＋1)2＝55个数对，还差5个数对，且这5个数对的横、纵坐标之和为12，它们依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，所以第60个数对是(5,7)．2．若数列{a n }是等差数列，b n ＝1n(a 1＋a 2＋…＋a n )，则数列{b n }也是等差数列．类比上述性质，若数列{c n }是各项都为正数的等比数列，则d n ＝________时，数列{d n }也是等比数列．[答案] n c 1·c 2·…·c n[解析] 可类比为d n ＝n c 1·c 2·…·c n ，证明如下：设等比数列{c n }的首项为c 1，公比为q ，则d n ＝n c 1·c 2·…·c n ＝(c 1·c 1q ·…·c 1q n －1)1n＝[c n 1·q (1＋n －1)·(n －1)2]1n ＝c 1·q n －12① d n ＋1＝n ＋1c 1·c 2·…·c n ＋1＝(c 1·c 1q ·…·c 1q n )1n ＋1＝[c n ＋11·q (1＋n )n 2]1n ＋1＝c 1·q n 2 ②由②÷①得d n ＋1d n ＝c 1·q n 2c 1·q n －12＝q 12为常数， 所以数列{d n }也为等比数列．3．可以运用下面的原理解决一些相关图形的面积问题：如果与一固定直线平行的直线被甲、乙两个封闭的图形所截得的线段的比都为k ，那么甲的面积是乙的面积的k 倍．你可以从给出的简单图形①、②中体会这个原理．现在图③中的两个曲线的方程分别是x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)与x 2＋y 2＝a 2，运用上面的原理，图③中椭圆的面积为________．[答案] πab[解析] 由于椭圆与圆截y 轴所得线段之比为b a ，即k ＝b a ，∴椭圆面积S ＝πa 2·b a＝πab . 4．已知命题：平面直角坐标系xOy 中，△ABC 顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在椭圆x 2m 2＋y 2n 2＝1(m >n >0，p ＝m 2－n 2)上，椭圆的离心率是e ，则sin A ＋sin C sin B ＝1e，试将该命题类比到双曲线中，给出一个结论．[解析] 平面直角坐标系xOy 中，△ABC 顶点A (－p,0)和C (p,0)，顶点B 在双曲线x 2m 2－y 2n 2＝1(m >0，n >0，p ＝m 2＋n 2)上，双曲线的离心率是e ，则|sin A －sin C |sin B ＝1e .。
人教版高中数学高二选修2-2课时作业2-1合情推理与演绎推理
课时作业7合情推理与演绎推理一、选择题1．如果对象A和对象B都具有相同的属性P，Q，R等，此外已知对象A还有一个属性S，而对象B还有一个未知的属性x，由此类比推理，可以得出下列哪个结论可能成立()A．x就是P B．x就是QC．x就是R D．x就是S各自另外的属性S只能类比x.故应选D.D2．由数列1,10,100,1 000，…，猜测该数列的第n项可能是() A．10n B．10n－1C．10n＋1D．11n由数字特征，归纳推测可能是10n－1.故应选B.B3．观察下图图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为()A．■B．△C．▭D．○图形涉及三种符号▭，○，△；其中○与△各有3个，且各自有二黑一白，所以缺一个黑色▭符号，即应画上■才合适．故应选A.A4．下面几种推理是合情推理的是()①由圆的性质类比出球的有关性质；②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°；③教室内一把椅子坏了，则该教室内的所有椅子都坏了；④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得凸多边形内角和是(n－2)·180°.A．①②③B．①③④C．①②④D．②③④本题可利用合情推理的定义进行判断，其中③中前提太特殊导致结论很难判断真假，因此不是合情推理．故应选C.C5．三角形的面积为S＝12(a＋b＋c)·r，a，b，c为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可以得出四面体的体积为()A．V＝13abcB ．V ＝13ShC ．V ＝13(S 1＋S 2＋S 3＋S 4)r (S 1，S 2，S 3，S 4分别为四面体四个面的面积，r 为四面体内切球的半径)D ．V ＝13(ab ＋bc ＋ac )h (h 为四面体的高)由平面向空间类比时，一般是面积对应体积，12对应13，边长对应面积，内切圆半径对应内切球半径．故应选C. C6．设0<θ<π2，已知a 1＝2cos θ，a n ＋1＝2＋a n ，则猜想a n ＝( )A ．2cos θ2nB ．2cosθ2n －1 C ．2cos θ2n ＋1D ．2sin θ2na 2＝2cos θ2，a 3＝2cos θ4，a 4＝2cos θ8，…猜测a n ＝2cos θ2n －1.故应选B. B7．已知扇形的弧长为l ，半径为r ，类比三角形的面积公式：S ＝底×高2，可推出扇形的面积公式S 扇＝( )A.r 22B.l 22C.lr 2D ．不可类比由类比推理知S 扇＝12lr .故应选C. C8．根据给出的数塔猜测123 456×9＋7＝( ) 1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1 111 1 234×9＋5＝11 111 12 345×9＋6＝111 111 A ．1 111 110 B ．1 111 111 C ．1 111 112D ．1 111 113类比前五行可得出结论B. 故应选B. B 二、填空题9．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝________. 因为f (x )在R 上是奇函数， 所以f (0)＝0，f (－x )＝－f (x )， 又y ＝f (x )的图象关于直线x ＝12对称．所以f (x )＝f (1－x )， 所以f (1)＝f (1－1)－f (0)＝0，f (2)＝f (1－2)＝f (－1)＝－f (1)＝0， f (3)＝f (1－3)＝f (－2)＝－f (2)＝0， f (4)＝f (1－4)＝f (－3)＝－f (3)＝0， f (5)＝f (1－5)＝f (－4)＝－f (4)＝0， 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋f (5)＝0. 010．在等差数列{a n }中，若a 10＝0，则有等式a 1＋a 2＋…＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a 19－n (n ＜19，n ∈N ＋)成立，类比上述性质，相应地：在等比数列{b n }中，若b 9＝1，则有等式________成立．事实上，对等差数列{a n }，如果a k ＝0，则a n ＋1＋a 2k －1－n ＝a n＋2＋a 2k －2－n ＝…＝a k ＋a k ＝0.所以有：a 1＋a 2＋ …＋a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋(a n ＋1＋a n ＋2＋…＋a 2k －2－n ＋a 2k －1－n )(n <2k －1，n ∈N ＋)．从而对等比数列{b n }，如果b k ＝1，则有等式：b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 2k －1－n (n <2k －1，n ∈N ＋)成立．b 1b 2…b n ＝b 1b 2…b 17－n (n <17，b ∈N *) 11．下表给出了一个“三角形数阵”：14 12，14 34，38，316 1，12，14，18……依照表中数的分布规律，可猜得第10行第6个数是________． 观察可知第10行第一个数为104，且每行均为公比是12的等比数列，所以第6个数为104×⎝ ⎛⎭⎪⎫125＝564. 56412．在工程技术中，常用到双曲正弦函数sh x ＝e x －e －x2和双曲余弦函数ch x ＝e x ＋e －x2，其实双曲正弦函数和双曲余弦函数与我们学过的正弦函数和余弦函数相类似，比如关于正余弦函数有：cos(x ＋y )＝cos x cos y －sin x sin y 成立，而关于双曲余弦函数满足ch(x ＋y )＝ch x ch y －sh x sh y ，请你类比此关系式，写出关于双曲正弦、双曲余弦函数的一个新公式______________________________．以下答案供参考： ch(x －y )＝ch x ch y ＋sh x sh y ； sh(x ＋y )＝sh x ch y ＋ch x sh y ； sh2x ＝2sh x ·ch x ；ch2x ＝ch 2x －sh 2x ＝1＋2sh 2x ＝2ch 2x －1； ch 2x －sh 2x ＝1等． 三、解答题 13．设S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1n ×(n ＋1)，写出S 1，S 2，S 3，S 4的值，归纳并猜想出结果．当n ＝1,2,3,4时，计算得原式的值分别为：S 1＝12，S 2＝23，S 3＝34，S 4＝45.观察这4个结果都是分数，每个分数的分子与项数对应，且分子比分母恰好小1.归纳猜想：S n ＝n n ＋1.推算：由11×2＝1－12，12×3＝12－13，…，1n ×(n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴S n ＝1－12＋12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝nn ＋1.14．把下列演绎推理写成三段论的形式．(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾；(2)一切奇数都不能被2整除，(2100＋1)是奇数，所以(2100＋1)不能被2整除；(3)三角函数都是周期函数，y ＝tan α是三角函数，因此y ＝tan α是周期函数；(4)两条直线平行，同旁内角互补．如果∠A 与∠B 是两条平行直线的同旁内角，那么∠A ＋∠B ＝180°.(1)大前提：在一个标准大气压下，水的沸点是100℃， 小前提：在一个标准大气压下把水加热到100℃， 结论：水会沸腾．(2)大前提：一切奇数都不能被2整除，小前提：2100＋1是奇数，结论：2100＋1不能被2整除．(3)大前提：三角函数都是周期函数，小前提：y＝tanα是三角函数，结论：y＝tanα是周期函数．(4)大前提：两条直线平行，同旁内角互补，小前提：∠A与∠B是两条平行直线的同旁内角，结论：∠A＋∠B＝180°.15．如下图所示，在△ABC中，射影定理可表示为a＝b·cos C＋c·cos B，其中a，b，c分别为角A，B，C的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．如图所示，在四面体P－ABC中，设S1，S2，S3，S分别表示△PAB，△PBC，△PCA，△ABC的面积，α，β，γ依次表示面PAB，面PBC，面PCA与底面ABC所成二面角的大小．我们猜想射影定理类比推理到三维空间，其表现形式应为S＝S1·cosα＋S2·cosβ＋S3·cosγ.16．如下图，在锐角△ABC中，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，D，E是垂足，求证：(1)△ABD是直角三角形；(2)AB的中点M到D，E的距离相等．(1)因为有一个内角是直角的三角形是直角三角形(大前提) 在△ABD中，AD⊥BC，即∠ADB＝90°(小前提) 所以△ABD是直角三角形(结论)(2)因为直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半(大前提)因为DM是直角△ABD斜边上的中线，(小前提)所以DM＝12AB. (结论)同理EM＝12AB.所以DM＝EM，即M到D，E的距离相等．。
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合情推理与演绎推理
合情推理
[学习目标]
．了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理．
．了解合情推理在数学发现中的作用．
[知识链接]
．归纳推理和类比推理的结论一定正确吗？
答
归纳推理的结论超出了前提所界定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的，结论不一定正确．类比推理是从人们已经掌握了的事物的特征，推测正在被研究中的事物的特征，所以类比推理的结果具有猜测性，不一定可靠．
．由合情推理得到的结论可靠吗？
答
一般来说，由合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠，例如，费马猜想就被数学家欧拉推翻了．
[预习导引]
．归纳推理和类比推理
定义特征
归纳推理由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都
具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理
归纳推理是由部分到整体，由个别到一般的推
理
类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推
出另一类对象也具有这些特征的推理
类比推理是由特殊到特殊的推理.合情推理的含义
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、
类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．
．合情推理的过程
→→→
要点一归纳推理的应用
例观察如图所示的“三角数阵”
…………第行
…………第行
…………第行
…………第行
…………第行
…………
记第(＞)行的第个数为(≥，∈*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：()第行的个数依次为、、、、、；
()依次写出、、、；
()归纳出＋与的关系式．。