【步步高高考数学总复习】§ 2.4 指数与指数函数
高考理科数学总复习课件指数与指数函数
指数函数定义
指数函数性质
形如y=a^x（a>0且a≠1）的函数称 为指数函数。
指数函数在其定义域内是单调的，当 a>1时单调递增，当0<a<1时单调递 减。
指数函数图像
指数函数的图像是一条过定点（0,1） 的曲线，当a>1时，图像在x轴上方且 向右上方延伸；当0<a<1时，图像在 x轴上方且向右下方延伸。
A. $c > b > a$ B. $b > c > a$ C. $a > c > b$ D. $a > b > c$
2. 函数$y = 4^{x} - 2^{x + 1} + 3$的值域为( )
模拟试题训练
A. $(2, +infty)$ B. $[2, +infty)$ C. $(3, +infty)$ D. $[3, +infty)$
口增长率。
细菌繁殖模型
在适宜的条件下，细菌的数量会 呈指数增长。指数函数可以描述 细菌数量随时间的变化情况，有 助于预测细菌繁殖的速度和数量
。
化学反应速率
某些化学反应的速率与反应物的 浓度成正比，符合指数函数的规 律。通过测量反应速率和反应物 浓度的关系，可以研究化学反应
的动力学特性。
05
高考真题回顾与模拟训练
。
02
指数函数性质与图像分析
指数函数单调性
当底数a>1时，指数 函数y=a^x在全体实 数范围内单调递增；
指数函数的单调性与 其底数大小密切相关 ，底数决定了函数的 增减性。
当底数0<a<1时，指 数函数y=a^x在全体 实数范围内单调递减 ；
【2022高考数学一轮复习(步步高)】目录
第一章集合、常用逻辑用语、不等式§1.1集合§1.2 充分条件与必要条件§1.3 全称量词与存在量词§1.4 不等关系与不等式§1.5 一元二次不等式及其解法§1.6 基本不等式强化训练1不等式中的综合问题第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ§2.1 函数的概念及其表示第1课时函数的概念及其表示第2课时函数的定义域与值域§2.2 函数的基本性质第1课时单调性与最大(小)值第2课时奇偶性、对称性与周期性第3课时函数性质的综合问题§2.3 幂函数与二次函数§2.4 指数与指数函数§2.5 对数与对数函数§2.6 函数的图象§2.7 函数与方程强化训练2函数与方程中的综合问题§2.8 函数模型及其应用第三章导数及其应用§3.1 导数的概念及运算§3.2 导数与函数的单调性§3.3 导数与函数的极值、最值强化训练3导数中的综合问题高考专题突破一高考中的导数综合问题第1课时利用导数研究恒(能)成立问题第2课时利用导函数研究函数的零点第3课时利用导数证明不等式第四章三角函数、解三角形§4.1任意角和弧度制、三角函数的概念§4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式§4.3 简单的三角恒等变换第1课时两角和与差的正弦、余弦和正切公式第2课时简单的三角恒等变换§4.4 三角函数的图象与性质§4.5 函数y＝A sin(ωx＋φ)的图象及应用强化训练4三角函数中的综合问题§4.6 解三角形高考专题突破二高考中的解三角形问题第五章平面向量、复数§5.1 平面向量的概念及线性运算§5.2 平面向量基本定理及坐标表示§5.3 平面向量的数量积强化训练5平面向量中的综合问题§5.4 复数第六章数列§6.1 数列的概念与简单表示法§6.2 等差数列及其前n项和§6.3 等比数列及其前n项和强化训练6数列中的综合问题高考专题突破三高考中的数列问题第七章立体几何与空间向量§7.1空间几何体及其表面积、体积强化训练7空间几何体中的综合问题§7.2 空间点、直线、平面之间的位置关系§7.3 直线、平面平行的判定与性质§7.4 直线、平面垂直的判定与性质强化训练8空间位置关系中的综合问题§7.5 空间向量及其应用高考专题突破四高考中的立体几何问题第八章解析几何§8.1直线的方程§8.2 两条直线的位置关系§8.3 圆的方程§8.4 直线与圆、圆与圆的位置关系强化训练9直线与圆中的综合问题§8.5 椭圆第1课时椭圆及其性质第2课时直线与椭圆§8.6 双曲线§8.7 抛物线强化训练10圆锥曲线中的综合问题高考专题突破五高考中的圆锥曲线问题第1课时范围与最值问题第2课时定点与定值问题第3课时证明与探索性问题第九章统计与统计案例§9.1 随机抽样、用样本估计总体§9.2 变量间的相关关系、统计案例强化训练11统计中的综合问题第十章计数原理、概率、随机变量及其分布§10.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理§10.2 排列、组合§10.3 二项式定理§10.4 随机事件的概率与古典概型§10.5 离散型随机变量的分布列、均值与方差§10.6 二项分布与正态分布高考专题突破六高考中的概率与统计问题。
指数与指数函数(课件)2024届高三数学一轮全方位基础复习(新教材新高考)
4 3
25
【解析】对于A，根据分式指数幂的运算法则，可得3 ⋅ 4 = 3+4 = 12 ≠ ，选项A错误；
对于B，8 = 2，故 = ± 8 2，选项B正确；
1
1
1
1
1
对于 C， + = 3， (2 + −2 )2 = + −1 + 2 = 3 + 2 = 5，因为 > 0，所以2 + −2 = 5，选项C错误；
立，
则满足2 − 4 < 0，即2 < 4，解得−2 < < 2，所以实数的取值范围是(−2,2)．
故答案为：(−2,2)．
考向典题讲解
【对点训练6】（2023·全国·高三专题练习）已知不等式4 − ⋅ 2 + 2 > 0，对于 ∈ (−∞, 3]恒成立，则实数
的取值范围是_________．
当 n 为偶数时， an＝|a|＝
－a，a<0.
n
考点知识梳理
2.分数指数幂
m
n
n
m
a
正数的正分数指数幂， a ＝____(a>0，m，n∈N*，n>1).
1
m
n
m
n
1 (a>0，m，n∈N*，n>1).
a
正数的负分数指数幂，a ＝____＝
n m
a
0的正分数指数幂等于__,0的负分数指数幂没有意义.
当() = 0时，e = ，结合图象可知，此时 < 0，所 > 0，则e > e0 = 1，所以 > 1，
故选：C．
）
考向典题讲解
高考数学总复习 2-4 指数与指数函数但因为测试 新人教B版
高考数学总复习 2-4 指数与指数函数但因为测试 新人教B 版1.(文)若log 2a <0，⎝⎛⎭⎫12b<1，则( ) A ．a >1，b >0 B ．a >1，b <0 C ．0<a <1，b >0 D ．0<a <1，b <0[答案] C[解析] 由log 2a <0得0<a <1， 由⎝⎛⎭⎫12b<1＝⎝⎛⎭⎫120知b >0. (理)三个数P ＝(25)－15 ，Q ＝(65)－15 ，R ＝(65)－25的大小顺序是( )A ．Q <R <PB ．R <Q <PC ．Q <P <RD ．P <Q <R[答案] B[解析] 当a >1时，y ＝a x为R 上的增函数，故(65)－25 <(65)－15 ，∴R <Q ，则排除A 、C 、D ，选B.[点评] 对于P 、Q 的大小关系，当x <0时，∵0<a <1时，有a x >1，但当a >1时，a x<1，故(65)－15 <(25)－15 ，∴Q <P .2．函数f (x )＝(a 2－1)x 在R 上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．|a |>1 B ．|a |<2 C ．|a |< 2 D ．1<|a |< 2[答案] D[解析] 由题意知，0<a 2－1<1， ∴1<a 2<2，∴1<|a |< 2.3．(文)若指数函数y ＝a x 的反函数的图象经过点(2，－1)，则a 等于( ) A.12 B ．2 C ．3 D ．10 [答案] A[解析] 运用原函数与反函数图象关于直线y ＝x 对称，则函数y ＝a x 过点(－1,2)，故选A. (理)(2011·山东文，3)若点(a,9)在函数y ＝3x 的图象上，则tan a π6的值为( )A ．0 B.33C ．1 D. 3[答案] D[解析] 由点(a,9)在函数y ＝3x 图象上知3a ＝9，即a ＝2，所以tan a π6＝tan π3＝ 3.4．(文)在同一平面直角坐标系中，函数f (x )＝2x ＋1与g (x )＝21－x 的图象关于( )A ．原点对称B ．x 轴对称C ．y 轴对称D ．直线y ＝x 对称[答案] C [解析] y ＝2x＋1的图象关于y 轴对称的曲线对应函数为y ＝21－x ，故选C.(理)(2011·聊城模拟)若函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是( ) A ．m ≤－1 B ．－1≤m <0 C ．m ≥1 D ．0<m ≤1[答案] A[解析] ∵|1－x |∈[0，＋∞)，∴2|1－x |∈[1，＋∞)，欲使函数y ＝2|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，应有m ≤－1.5．(文)(2011·浙江省台州市模拟)若函数f (x )＝⎩⎨⎧2x， x <1，x －1 x ≥1，且f (a )>1，则实数a 的取值范围是( )A ．(0,1)B ．(2，＋∞)C ．(0,1)∪(2，＋∞)D ．(1，＋∞)[答案] C[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧a <1，2a >1，得0<a <1，由⎩⎨⎧a ≥1，a －1>1，得a >2，所以实数a 的取值范围是(0,1)∪(2，＋∞)．(理)函数y ＝|2x －1|在区间(k －1，k ＋1)内不单调，则k 的取值范围是( ) A ．(－1，＋∞) B ．(－∞，1) C ．(－1,1) D ．(0,2)[答案] C[解析] 由于函数y ＝|2x －1|在(－∞，0)内单调递减，在(0，＋∞)内单调递增，而函数在区间(k －1，k ＋1)内不单调，所以有k －1<0<k ＋1，解得－1<k <1.6．(2010·山东枣庄市模考)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x x ≥4f x ＋1 x <4，则f (2＋log 23)的值为( )A.13 B.16 C.112 D.124 [答案] D[解析] ∵1<log 23<2，∴3<2＋log 23<4， ∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝⎛⎭⎫123＋log23＝⎝⎛⎭⎫12log224＝124. 7．(文)(2011·青岛模拟)若定义运算a *b ＝⎩⎨⎧a a <b b a ≥b ，则函数f (x )＝3x *3－x 的值域是________．[答案] (0,1][解析] 由a *b 的定义知，f (x )取y ＝3x 与y ＝3－x 的值中的较小的，∴0<f (x )≤1.(理)(2011·广东省汕头市四校联考)如图所示的算法流程图中，若f (x )＝2x ，g (x )＝x 2，则h (3)的值等于________．[答案] 9[解析] 由程序框图可知，h (x )的值取f (x )与g (x )的值中较大的，∵f (3)＝23＝8，g (3)＝32＝9,9>8，∴h (3)＝9.8．若函数f (x )＝⎩⎨⎧1x，x <0⎝⎛⎭⎫13x，x ≥0则不等式|f (x )|≥13的解集为________．[答案] [－3,1] [解析]f (x )的图象如图．|f (x )|≥13⇒f (x )≥13或f (x )≤－13.∴⎝⎛⎭⎫13x ≥13或1x ≤－13∴0≤x ≤1或－3≤x <0，∴解集为{x |－3≤x ≤1}．9．(2010·常德市检测)定义区间[x 1，x 2]的长度为x 2－x 1，已知函数f (x )＝3|x |的定义域为[a ，b ]，值域为[1,9]，则区间[a ，b ]的长度的最大值为______，最小值为______．[答案] 4 2[解析] 由3|x |＝1得x ＝0，由3|x |＝9得x ＝±2，故f (x )＝3|x |的值域为[1,9]时，其定义域可以为[0,2]，[－2,0]，[－2,2]及[－2，m ]，0≤m ≤2或[n,2]，－2≤n ≤0都可以，故区间[a ，b ]的最大长度为4，最小长度为2.10．(文)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x 4x ＋1.(1)求f (x )在(－1,1)上的解析式； (2)证明：f (x )在(0,1)上是减函数．[解析] (1)∵f (x )是R 上的奇函数，∴f (0)＝0， 又当x ∈(－1,0)时，－x ∈(0,1)， ∴f (－x )＝2－x4－x ＋1＝2x1＋4x，∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－2x1＋4x ，∴f (x )在(－1,1)上的解析式为f (x )＝⎩⎨⎧2x4x ＋1x ∈0，1 －2x 4x＋1 x ∈－1，0 0 x ＝0.(2)当x ∈(0,1)时，f (x )＝2x4x ＋1.设0<x 1<x 2<1， 则f (x 1)－f (x 2)＝2x 14x 1＋1－2x 24x 2＋1＝2x 2－2x 12x 1＋x 2－14x 1＋1 4x 2＋1，∵0<x 1<x 2<1，∴2x 2－2x 1>0,2x 1＋x 2－1>0， ∴f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在(0,1)上是减函数． (理)已知f (x )＝a a 2－1(a x －a －x )(a >0且a ≠1)．(1)判断f (x )的奇偶性； (2)讨论f (x )的单调性；(3)当x ∈[－1,1]时，f (x )≥b 恒成立，求b 的取值范围．[分析] (1)判断奇偶性应先求定义域后计算f (－x )，看是否等于f (x )(或－f (x ))； (2)可用单调性定义，也可用导数判断f (x )的单调性； (3)b ≤f (x )恒成立，只要b ≤f (x )min ，由f (x )的单调性可求f (x )min . [解析] (1)函数定义域为R ，关于原点对称． 又因为f (－x )＝a a 2－1(a －x －a x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数． (2)当a >1时，a 2－1>0，y ＝a x 为增函数，y ＝a －x 为减函数，从而y ＝a x －a －x 为增函数，所以f (x )为增函数．当0<a <1时，a 2－1<0，y ＝a x 为减函数，y ＝a －x 为增函数，从而y ＝a x －a －x 为减函数，所以f (x )为增函数．故当a >0，且a ≠1时，f (x )在定义域内单调递增． (3)由(2)知f (x )在R 上是增函数，∴在区间[－1,1]上为增函数，∴f (－1)≤f (x )≤f (1)， ∴f (x )min ＝f (－1)＝a a 2－1(a －1－a )＝a a 2－1·1－a 2a＝－1.∴要使f (x )≥b 在[－1,1]上恒成立，则只需b ≤－1，故b 的取值范围是(－∞，－1].11.(文)(2011·浙江省金华十校模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －2，x ≤2log 2x －1 ，x >2，则f (f (5))等于( )A ．－1B ．1C ．－2D ．2[答案] B[解析] f (f (5))＝f (log 2(5－1))＝f (2)＝22－2＝1.(理)(2011·山东济南一模)若实数x ，y 满足4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，则t ＝2x ＋2y 的取值范围是( )A ．0<t ≤2B ．0<t ≤4C ．2<t ≤4D ．t ≥4[答案] C[解析] 由4x ＋4y ＝2x ＋1＋2y ＋1，得(2x ＋2y )2－2×2x ×2y ＝2(2x ＋2y )． 即t 2－2·2x ＋y ＝2t ，t 2－2t ＝2·2x ＋y.又由2x ＋2y ≥22x ＋y ，得2x ＋y ≤14(2x ＋2y )2，即2x ＋y ≤14t 2.所以0<t 2－2t ≤12t 2.解得2<t ≤4.12．(文)(2011·广州市综合测试)函数f (x )＝e x ＋e －x (e 为自然对数的底数)在(0，＋∞)上( )A ．有极大值B ．有极小值C ．是增函数D ．是减函数[答案] C[解析] 设0<x 1<x 2，则f (x 2)－f (x 1)＝e x2＋1e x 2－ex 1－1e x 1＝(e x 2－e x1)－e x 2－e x 1e x 2e x 1＝(e x 2－e x 1)(1－1e x 2e x 1)>0，所以函数f (x )＝e x ＋e －x (e 为自然对数的底数)在(0，＋∞)上是增函数．(理)(2011·大连模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－a x －3，x ≤7，a x －6，x >7.若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是( )A ．[94，3)B ．(94，3)C ．(2,3)D ．(1,3)[答案] C[解析] ∵{a n }是递增数列， ∴f (n )为单调增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >13－a >0a 8－6> 3－a ×7－3，∴2<a <3. 13．(2011·陕西师大附中一模)设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1b ＝2，则m ＝________.[答案]10[解析] ∵2a ＝5b ＝m ∴a ＝log 2m ，b ＝log 5m ∴1a ＋1b ＝1log 2m ＋1log 5m ＝log m 2＋log m 5＝log m 10＝2 ∴m ＝10.14．(文)(2011·南通六校联考)已知a ＝5－12，函数f (x )＝a x ，若实数m 、n 满足f (m )>f (n )，则m 、n 的大小关系为________．[答案] m <n[解析] ∵a ＝5－12∈(0,1)，∴y ＝a x 是减函数， 故a m >a n ⇒m <n .(理)(2010·柳州市模考)已知⎝⎛⎭⎫2x －229的展开式的第7项为214，则x 的值为________．[答案] －13[解析] T 7＝C 69(2x )3·⎝⎛⎭⎫－226＝212×8x ＝214， ∴3x ＝－1，∴x ＝－13.15．(文)(2011·上海吴淞中学月考)已知函数f (x )＝a ·2x ＋a －22x ＋1是奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f (x )的单调性，并用定义证明； (3)求函数的值域．[解析] (1)∵f (x )的定义域为R ，且为奇函数． ∴f (0)＝0，解得a ＝1.(2)由(1)知，f (x )＝2x －12x ＋1＝1－22x ＋1，∴f (x )为增函数．证明：任取x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2. f (x 1)－f (x 2)＝1－22x 1＋1－1＋22x 2＋1＝2 2x 1－2x 22x 1＋1 2x 2＋1，∵x 1<x 2，∴2x 1－2x 2<0，且2x 1＋1>0,2x 2＋1>0. ∴f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)． ∴f (x )为R 上增函数．(3)令y ＝2x －12x ＋1，则2x ＝－1－yy －1，∵2x >0，∴－1－yy －1>0，∴－1<y <1.∴函数f (x )的值域为(－1,1)．(理)(2010·浙江台州模拟)定义在D 上的函数f (x )，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M >0，都有|f (x )|≤M 成立，则称f (x )是D 上的有界函数，其中M 称为函数f (x )的上界．已知函数f (x )＝1＋a ·⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x . (1)当a ＝1时，求函数f (x )在(－∞，0)上的值域，并判断函数f (x )在(－∞，0)上是否为有界函数，请说明理由； (2)若函数f (x )在[0，＋∞)上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围． [解析] (1)当a ＝1时，f (x )＝1＋⎝⎛⎭⎫12x ＋⎝⎛⎭⎫14x .因为f (x )在(－∞，0)上递减，所以f (x )>f (0)＝3，即f (x )在(－∞，0)上的值域为(3，＋∞)．故不存在常数M >0，使|f (x )|≤M 成立． 所以函数f (x )在(－∞，0)上不是有界函数． (2)由题意知，|f (x )|≤3在[0，＋∞)上恒成立． ∴－3≤f (x )≤3，即－4－⎝⎛⎭⎫14x ≤a ·⎝⎛⎭⎫12x≤2－⎝⎛⎭⎫14x ， ∴－4·2x －⎝⎛⎭⎫12x ≤a ≤2·2x －⎝⎛⎭⎫12x在[0，＋∞)上恒成立， 设2x ＝t ，h (t )＝－4t －1t ，p (t )＝2t －1t ，由x ∈[0，＋∞)得t ≥1，设1≤t 1<t 2，h (t 1)－h (t 2)＝t 2－t 14t 1t 2－1t 1t 2>0p (t 1)－p (t 2)＝t 1－t 22t 1t 2＋1t 1t 2<0所以h (t )在[1，＋∞)上递减，p (t )在[1，＋∞)上递增，h (t )在[1，＋∞)上的最大值为h (1)＝－5，p (t )在[1，＋∞)上的最小值为p (1)＝1， 所以实数a 的取值范围为[－5,1]．1．(2010·山东省实验中学)若关于x 的方程|a x －1|＝2a (a >0，a ≠1)有两个不等实根，则a 的取值范围是( ) A ．(0,1)∪(1，＋∞) B ．(0,1) C ．(1，＋∞) D ．(0，12)[答案] D[解析] 若a >1，如图(1)为y ＝|a x －1|的图象，与y ＝2a 显然无交点；当0<a <1时，如图(2)，要使y ＝2a 与y ＝|a x －1|的图象有两个交点，应有2a <1，∴0<a <12.2．设函数f (x )＝|2x －1|的定义域和值域都是[a ，b ](b >a )，则a ＋b 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] A[解析] 因为f (x )＝|2x －1|的值域为[a ，b ]，所以b >a ≥0，而函数f (x )＝|2x －1|在[0，＋∞)内是单调递增函数，因此应有⎩⎪⎨⎪⎧ |2a －1|＝a |2b －1|＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0b ＝1，所以有a ＋b ＝1，选A.[点评] 本题解题的关键在于首先由函数的值域推出b >a ≥0，从而避免了对a 、b 的各种可能存在情况的讨论，然后根据函数的单调性，建立关于a 、b 的方程组求解．3．(2011·石家庄一中模拟)若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，其图象经过点(a ，a )，则f (x )＝( )A ．log 2xB ．log 12 xC.12x D ．x 2[答案] B[解析] 函数y ＝a x 的反函数是f (x )＝log a x ， ∵其图象经过点(a ，a )，∴a ＝log a a ，∴a ＝12，∴f (x )＝log 12x .4．(2010·深圳市调研)已知所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上，则a 3＋a 7与2a 5的大小关系是( )A ．a 3＋a 7>2a 5B ．a 3＋a 7<2a 5C ．a 3＋a 7＝2a 5D ．a 3＋a 7与2a 5的大小关系与a 的值有关 [答案] A[解析] 因为所有的点A n (n ，a n )(n ∈N *)都在函数y ＝a x (a >0，a ≠1)的图象上，所以有a n ＝a n ，故a 3＋a 7＝a 3＋a 7，由基本不等式得：a 3＋a 7>2a 3·a 7＝2a 10＝2a 5，∴a 3＋a 7>2a 5(因为a >0，a ≠1，从而基本不等式的等号不成立)，故选A.5．设函数f (x )＝a－|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则( )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)[答案] A[解析] 由a －2＝4，a >0，得a ＝12，∴f (x )＝(12)－|x |＝2|x |.又∵|－2|>|－1|，∴2|－2|>2|－1|，即f (－2)>f (－1)．6．函数y ＝a 2x －2(a >0，a ≠1)的图象恒过点A ，若直线l ：mx ＋ny －1＝0经过点A ，则坐标原点O 到直线l 的距离的最大值为________．[答案]2[解析] 由指数函数的性质可得：函数y ＝a 2x －2(a >0，a ≠1)的图象恒过点A (1,1)，而A ∈l ， ∴m ＋n －1＝0，即m ＋n ＝1，由基本不等式可得：m 2＋n 2≥12(m ＋n )2＝12.∴O 到直线l 的距离d ＝1m 2＋n 2≤122＝2， ∴O 到直线l 的距离的最大值为 2.7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x x ≤1log 2x －1 x >1，则f (x )≤12的解集为________．[答案] [1，2＋1] [解析] 由f (x )≤12得，⎩⎪⎨⎪⎧ ⎝⎛⎭⎫12x ≤12x ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧log 2x －1 ≤12x >1， ∴x ＝1或1<x ≤2＋1，∴1≤x ≤2＋1，故解集为[1，2＋1]．8．(2011·潍坊模拟)设f (x )是定义在实数集R 上的函数，满足条件y ＝f (x ＋1)是偶函数，且当x ≥1时，f (x )＝2x－1，则f (23)、f (32)、f (13)的大小关系是________．[答案] f (23)<f (32)<f (13)[解析] 由f (x ＋1)＝f (－x ＋1)知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，x ≥1时，f (x )为单调增函数，则x ≤1时，f (x )为单调减函数．又f (32)＝f (1＋12)＝f (1－12)＝f (12)，13<12<23，∴f (23)<f (32)<f (13)．9．已知函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0，a ≠1)，若f (－1)＝3，则f (0)＋f (2)的值为________．[答案] 9[解析] 由f (－1)＝3得a ＋1a＝3，于是f (2)＝a 2＋1a 2＝(a ＋1a)2－2＝32－2＝7. 又∵f (0)＝1＋1＝2，∴f (0)＋f (2)＝9.。
高三数学第一轮复习2.4 指数与指数函数
第二章
2.4 指数与指数函数
知识梳理
核心考点
学科素养
-2-
知识梳理 双基自测
123
1.根式 (1)根式的概念
xn=a⇒
������ ������
= ������ a(当������为奇数,且������∈N*时), = ± ������ ������(当������为偶数,且������∈N*时).
(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
关闭
答案
第二章
2.4 指数与指数函数
知识梳理
核心考点
学科素养
-8-
知识梳理 双基自测
12345
2.已知x<0时,函数f(x)=(2a-1)x的值恒大于1,则实数a的取值范围
是( )
A.
1 2
,1
C.(1,+∞)
B.(1,2) D.(-∞,1)
由题意可得 0<2a-1<1,解得12<a<1,故选 A. A
思考如何进行指数式的大小比较?
关闭
y1=40.9=21.8,y2=80.48=21.44,y3=
1 2
-1.5
=21.5.因为 1.8>1.5>1.44,且
y=2x 在 R 上单调递增,所以 y1>y3>y2.
关闭
D
解析 答案
第二章
考点1
考点2
考点3
2.4 指数与指数函数
知识梳理
核心考点
学科素养
-22-
������ ������
=
������
1������������(a>0,m,n∈N*,
高三一轮复习 课件 2.4 指数与指数函数
-3-
1.根式 (1)根式的概念 xn=a⇒ x=
n
������ (当������为奇数且������∈N *时),
������
������ = ± ������(当������为偶数且������∈N *时).
(2)根式的性质 ①( ������ ������)n=a(n∈N*). ������,������为奇数, ������ ② ������������ = ������,������ ≥ 0, |������| = ������为偶数. -������,������ < 0, 2.实数指数幂 (1)分数指数幂的表示 ①正数的正分数指数幂的意义是
D D. 故选
关闭
解析
答案
-16考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混
(2)(2015河北衡水模拟)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则 b的取值范围是 .
关闭
曲线 |y|=2x+1 与直线 y=b 的图象如图所示 ,由图可知 :如果 |y|=2x+1 与直线 y=b 没有公共点 ,则 b 应满足的条件是 b∈[-1,1].
-14考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混
对点训练1 化简下列各式:
1 (1)0.027 3
3
−
1 -2 7
3
+
7 2 9
3
1 2
-( 2-1)0;
(2)
7 ������2
������-3 ÷
������-8 · ������15 .
解:(1)原式= =(a2)3
2 3 1
27 1 000 3 1 - 3
-18考点1 考点2 考点3 知识方法 易错易混
2.4 指数与指数函数(讲解部分) 高考数学(课标版,理科)复习课件
是()
A.a<0,b<0,c<0
B.a<0,b≥0,c>0
C.2-a<2c
D.2a+2c<2
解析 作出函数f(x)=|2x-1|的图象(如图中实线所示),由a<b<c,且f(a)>f(c)> f(b),结合图象知f(a)<1,a<0,f(c)<1,0<c<1,∴0<2a<1,1<2c<2,
∴f(a)=|2a-1|=1-2a, f(c)=|2c-1|=2c-1. 又f(a)>f(c),即1-2a>2c-1, ∴2a+2c<2,故选D. 答案 D
高考理数
2.4 指数与指数函数
考点清单
考点一 指数及指数幂的运算
考向基础 1.根式的概念
根式的概念
符号表示
备注
一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根
—
当n是奇数时,正数的n次方根是一个正数,负数的
na
n次方根是一个负数
当n是偶数时,正数的n次方根有两个,这两个数互 ± n a (a>0) 为相反数
2.与指数函数有关的复合函数的单调性 形如y=af(x)的函数的单调性,它的单调区间与f(x)的单调区间有关: 若a>1,函数f(x)的单调增(减)区间即函数y=af(x)的单调增(减)区间;若0<a<1, 函数f(x)的单调增(减)区间即函数y=af(x)的单调减(增)区间.即“同增异减”. 注意 当底数a与1的大小不确定时应分类讨论. 3.对于含有ax,a2x的函数表达式,通常可以令t=ax进行换元,但换元过程中要 注意新元的取值范围.
解法二:(分离参数法)分离参数k得k<3x+32x -1,令u=3x+32x -1,则u≥2 2 -1
2019-2020年高考数学一轮总复习课件：2.4 指数与指数函数
例
(2018湖北荆州中学月考,14)化简来自5 61
a 3b2
1
·(-3 a 2
2
1
b-1)÷(4a 3 b-3) 2 · ab
=
.
解析
原式=
5 6
3
1 2
· a 13
1 2
1 3
1 2
21 3 1
·b 2 2
=- 5
4b
.
答案 - 5
m
an
=⑥
n am
(a>0,m,n∈N*,n>1).
3)0的正分数指数幂是0,0的负分数指数幂无意义. (2)有理指数幂的运算性质: 1)aras=ar+s(a>0,r,s∈Q); 2)(ar)s=ars(a>0,r,s∈Q); 3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).
考向突破
考向 指数幂的运算
解析
g(x)=2·
1 2
x
,∴g(x)为减函数,且图象经过点(0,2),排除B,D;
f(x)=1
+log2x为增函数,且图象经过点 12 ,
0
,排除A,故选C.
答案 C
考向二 指数函数的性质及应用
例2 (2017浙江高考模拟训练冲刺卷一,4)已知函数f(x)是奇函数,当x>0
时, f(x)=ax(a>0且a≠1),且f(lo g1 4)=-3,则a的值为 ( )
2
A. 3 B.3 C.9 D. 3
2
解析 由f(lo g1 4)=-3,得f(-2)=-3,又f(x)是奇函数,则有f(2)=3,即a2=3,又a>
高考数学总复习之指数与指数函数
高考数学总复习之指数与指数函数一、知识梳理 1.指数（1）n 次方根的定义：若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n”是方根的记号.在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.（2）方根的性质①当n 为奇数时，n n a =a . ②当n 为偶数时，nn a =|a |=⎩⎨⎧<-≥).0(),0(a aa a（3）分数指数幂的意义①a nm =nm a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.②anm -=nm a1=nma 1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.2.指数函数（1）指数函数的定义：一般地，函数y =a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数. （2）指数函数的图象：底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y 轴对称. （3）指数函数的性质：①定义域：R .②值域：（0，＋∞）.③过点（0，1），即x =0时，y =1.④当a ＞1时，在R 上是增函数；当0＜a ＜1时，在R 上是减函数. 二、点击双基1.3a ·6a -等于（ ） A.－a - B.－a C.a -D. a解析：3a ·6a-=a 31·（－a ）61=－（－a ）6131+=－（－a ）21.答案：A2.指数函数)(x f y =的反函数的图象过点（2，－1），则此指数函数的解析式为（ ） A.x y )21(= B. x y 2= C.x y 3= D.x y 10=答案：A3.（湖北，文5）若函数y =a x +b －1（a ＞0且a ≠1）的图象经过二、三、四象限，则一定有A.0＜a ＜1且b ＞0B.a ＞1且b ＞0C.0＜a ＜1且b ＜0D.a ＞1且b ＜0 解析：作函数y =a x +b －1的图象. 答案：C4.（重庆文14）若0>x ，则=---⋅+-)(4)32()32(212123412341x x x x x ________.Oxy Oxyy=a x 11a> ）1y=ax ((0＜＜1)答案：－23.5.（湖南，文16）若直线y =2a 与函数y =|a x －1|（a ＞0且a ≠1）的图象有两个公共点，则a 的取值范围是___________________.解析：数形结合.由图象可知0＜2a ＜1，0＜a ＜21. 答案：0＜a ＜21 6.函数y =222)21(+-x x的递增区间是___________.解析：∵y =（21）x在（－∞，+∞）上是减函数，而函数y =x 2－2x +2=（x －1）2+1的递减区间是（－∞，1］，∴原函数的递增区间是（－∞，1］.答案：（－∞，1］7.48373)27102(1.0)972(03225.0+-++--π= __________．答案：100三、典例剖析例1 下图是指数函数（1）y =a x ，（2）y =b x ，（3）y =c x ，（4）y =d x 的图象，则a 、b 、c 、d 与1的大小关系是 A.a ＜b ＜1＜c ＜d B.b ＜a ＜1＜d ＜cC.1＜a ＜b ＜c ＜dD.a ＜b ＜1＜d ＜c 剖析：可先分两类，即（3）（4）的底数一定大于1，（1）（2）的底数小于1，然后再从（3）（4）中比较c 、d 的大小，从（1）（2）中比较a 、b 的大小.解法一：当指数函数底数大于1时，图象上升，且当底数越大，图象向上越靠近于y 轴；当底数大于0小于1时，图象下降，底数越小，图象向右越靠近于x 轴.得b ＜a ＜1＜d ＜c .解法二：令x =1，由图知c 1＞d 1＞a 1＞b 1， ∴b ＜a ＜1＜d ＜c . 答案：B例2 已知2xx +2≤（41）x －2，求函数y =2x －2－x 的值域. 解：∵2xx+2≤2－2（x －2），∴x 2+x ≤4－2x ，即x 2+3x －4≤0，得－4≤x ≤1.又∵y =2x －2－x是［－4，1］上的增函数，∴2－4－24≤y ≤2－2－1.故所求函数y 的值域是［－16255，23］. 例3 要使函数y =1+2x +4x a 在x ∈（－∞，1］上y ＞0恒成立，求a 的取值范围. 解：由题意，得1+2x+4xa ＞0在x ∈（－∞，1］上恒成立，即a ＞－xx421+在x ∈（－∞，1］上恒成立.又∵－xx 421+=－（21）2x －（21）x =－［（21）x +21］2+41，当x ∈（－∞，Ox y 1(1) (2) (3) (4)1］时值域为（－∞，－43］，∴a ＞－43. 评述：将不等式恒成立问题转化为求函数值域问题是解决这类问题常用的方法.例4已知093109≤+⋅-x x ，求函数2)21(4)41(1+⋅-=-x x y 的最大值和最小值。
【走向高考】高考数学一轮总复习(基础梳理导学+高频考点通关)2-4指数与指数函数课件 新人教B版
a≤b， 得 a>b，
x 2 f(x)＝1⊗2x＝ 1
x≤0， x>0.
aa≤b， (理)(2013· 广州模拟)定义运算a⊕b＝ ba>b
则f(x)＝
2x⊕2－x的图象是(
)
[答案] C
[分析]
由a⊕b的定义知，a⊕b的值取a与b中较小的那
走向高考· 数学
人教B版 ·高考一轮总复习
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章 函
数
第二章
第四节 指数与指数函数
基础梳理导学
3
规范答题样板
高频考点通关
4
课后强化作业
基础梳理导学
夯实基础 稳固根基 1．整数指数幂的运算性质 (1)am· an＝________，(am)n＝________， (a· b)n＝________.(m、n∈Z) n x＝ a，n为奇数， n (2)x ＝a，(n∈N，n>1)⇔ n x＝± aa>0，n为偶数. ( a)n＝______； a2＝______； n
[答案]
[解析]
4
B．2xy D．－2x2y
D
4 16x y ＝ 24· x24y4＝2x2|y|＝－2x2y.故选D.
8 4
4
1－x，x≤0 2．(文)(2013· 广州调研)已知函数f(x)＝ x a ，x>0
，若
f(1)＝f(－1)，则实数a的值等于( A．1
[答案] B
x－1 3 ，x≤0， fx－1－fx－2，x>0，
则f(2013)＝________.
1 [答案] － 3
[解析]
1 1 2 由题意得f(－1)＝ ，f(0)＝ ，f(1)＝ ，f(2)＝－ 9 3 9
2024版高考数学总复习：指数与指数函数课件
+
1
＝2 5，故D正确．
1
1 −2
4
3．已知a＞0，b＞0，化简：
8
5
解析：原式＝2 ×
3
3
−
3
2 ·2 · 2
3
3
−
102 · 2
1
·
4 −1
0.1
1
−1 · 3 −3 2
8
1+3
-1
＝2 ×10 ＝ .
2
5
3
4
3
＝___________．
2
4．计算：
167
－
9
10
27 −3
1
2
为 a ＋ a-1 ＝ 3 ， 所 以 +
1
−2
1
2
2
=+
−1
1
2
+ 2 = 5，且 > 0，所以 +
＝ 5 ， 故 C 错 误 ； 在 选 项 D 中 ， 因 为 a3 ＋ a-3 ＝ 18 ， 且 a>0 ， 所 以
+
1
2
＝a3＋a-3＋2＝20，所以a
1
2
3
4
−
8
+ 0.002
解析：原式＝
−
1
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
－10( 5－2)-1＋π0＝___________．
1
3 −2
−
＋5002
2
167
5－20＋1＝－ .
9
1
2
3
4
−
10
5−2
5+2
高考数学一轮复习专题2.4指数与指数函数(讲)(2021年整理)
（浙江专版）2019年高考数学一轮复习专题2.4 指数与指数函数（讲）编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（（浙江专版）2019年高考数学一轮复习专题2.4 指数与指数函数（讲））的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为（浙江专版）2019年高考数学一轮复习专题2.4 指数与指数函数（讲）的全部内容。
第04节指数与指数函数【考纲解读】考点考纲内容5年统计分析预测指数幂的运算1。
了解指数幂的含义,掌握有理指数幂的运算。
2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用。
3.了解指数函数的变化特征.2014•浙江文8；理7;2015•浙江理12；2016•浙江文7；理12;2017•浙江5。
2018•浙江5,14，20；1.指数幂的运算;2。
指数函数的图象和性质的应用；3。
除小题单独考查外,在大题中考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等4。
备考重点：（1）有理指数幂的运算；（2)指数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；（3）图象过定点；（4）底数分类讨论问题.指数函数的图象和性质【知识清单】1.根式和分数指数幂1。
根式(1)概念:式子错误!叫做根式,其中n叫做根指数，a叫做被开方数。
(2）性质:（错误!）n＝a(a使错误!有意义）；当n为奇数时，错误!＝a，当n为偶数时，错误!＝｜a｜＝错误!2.分数指数幂(1）规定:正数的正分数指数幂的意义是a错误!＝错误!(a>0，m，n∈N＊，且n>1）;正数的负分数指数幂的意义是a－错误!＝错误!(a〉0，m，n∈N＊，且n>1）;0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.（2)有理指数幂的运算性质:a r a s＝a r＋s;（a r）s＝a rs；(ab)r＝a r b r，其中a>0，b〉0，r，s∈Q。
22版：§2.3 指数与指数函数（步步高）
§2.3 指数与指数函数考试要求 1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.通过实例，了解指数函数的实际意义，能用描点法或借助计算工具画指数函数的图象.3.理解指数函数的单调性，特殊点等性质，并能简单应用．1．根式(1)如果x n ＝a ，那么x 叫做a 的n 次方根．(2)式子na 叫做根式，其中n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (3)(na )n ＝a .当n 为奇数时，na n ＝a ，当n 为偶数时，na n ＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.2．分数指数幂正数的正分数指数幂，m na ＝na m (a >0，m ，n ∈N *，n >1)． 正数的负分数指数幂，m n a-＝1m na＝1na m(a >0，m ，n ∈N *，n >1)．0的正分数指数幂为0，0的负分数指数幂没有意义． 3．指数幂的运算性质a r a s ＝a r ＋s ；(a r )s ＝a rs ；(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ，s ∈R )． 4．指数函数及其性质(1)概念：函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)叫做指数函数，其中指数x 是自变量，函数的定义域是R ，a 是底数．(2)指数函数的图象与性质a >10<a <1图象定义域R值域(0，＋∞)性质过定点(0,1)，即x＝0时，y＝1当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1当x<0时，y>1；当x>0时，0<y <1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数微思考1．若函数y＝k·a x＋b为指数函数，则a，k，b满足什么条件？提示k＝1，b＝0，a>0且a≠1.2.如图所示是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，则a，b，c，d与1之间的大小关系是什么？提示c>d>1>a>b>0.题组一思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)4(－4)4＝－4.(×)(2)2a·2b＝2ab.(×)(3)函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．(√)(4)若a m<a n(a>0，且a≠1)，则m<n.(×)题组二教材改编2．化简416x8y4(x<0，y<0)得()A．2x2y B．2xyC．4x2y D．－2x2y答案 D3．函数f(x)＝a x－1＋2(a>0且a≠1)的图象恒过定点________．答案(1,3)4．已知a＝1335-⎛⎫⎪⎝⎭，b＝1435-⎛⎫⎪⎝⎭，c＝3432-⎛⎫⎪⎝⎭，则a，b，c的大小关系是________．答案c<b<a解析 ∵y ＝⎝⎛⎭⎫35x是R 上的减函数， ∴1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭>1435-⎛⎫⎪⎝⎭>⎝⎛⎭⎫350，即a >b >1， 又c ＝3432-⎛⎫⎪⎝⎭<⎝⎛⎭⎫320＝1，∴c <b <a . 题组三 易错自纠5．若函数f (x )＝(a 2－3)·a x 为指数函数，则a ＝______. 答案 2解析 依题意⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3＝1，a >0且a ≠1，解得a ＝2.6．函数f (x )＝a x 在[－1,1]上的最大值为2，则a ＝______. 答案 2或12解析 当a >1时，f (x )＝a x 为增函数， 则a 1＝2，∴a ＝2满足题意， 当0<a <1时，f (x )＝a x 为减函数， 则a －1＝2，∴a ＝12满足题意，综上有a ＝2或12.题型一 指数幂的运算1．计算：238－⎝⎛⎭⎫－780＋4(3－π)4＋162[(2)]-＝______. 答案 π＋8解析 原式＝233(2)－1＋|3－π|＋162(2) ＝4－1＋π－3＋23 ＝π＋8.2．计算：1214-⎛⎫⎪⎝⎭·()3113324(0.1)()ab a b ---⋅⋅＝________(a >0，b >0)．答案 85解析 原式＝33322233222410a b a b--⋅＝85. 3．若12x ＋12x -＝3，则33222232x x x x --+-+-＝________. 答案 13解析 由12x ＋12x-＝3，两边平方，得x ＋x －1＝7，再平方得x 2＋x －2＝47. ∴x 2＋x －2－2＝45.32x ＋32x -＝312x ⎛⎫⎪⎝⎭＋312x -⎛⎫ ⎪⎝⎭＝(12x ＋12x -)(x －1＋x －1)＝3×(7－1)＝18.∴33222232x x x x --+-+-＝13.思维升华 (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加． ②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．题型二 指数函数的图象及应用例1 (1)(多选)已知实数a ，b 满足等式2 021a ＝2 022b ，下列等式可以成立的是( ) A ．a ＝b ＝0 B ．a <b <0 C ．0<a <b D ．0<b <a答案 ABD解析 如图，观察易知，a <b <0或0<b <a 或a ＝b ＝0，故选ABD.(2)若函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点，则实数b的取值范围是________．答案(0,2)解析在同一平面直角坐标系中画出y＝|2x－2|与y＝b的图象，如图所示．∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)＝|2x－2|－b有两个零点．∴b的取值范围是(0,2)．思维升华(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．跟踪训练1(1)(2020·山东师大附中月考)函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是()答案 A解析方法一当x＝0时，y＝0，排除C.又f(x)为偶函数，排除B，D，故选A.方法二y＝1－e|x|的图象可由y＝e|x|关于x轴对称得到y＝－e|x|的图象，再向上平移一个单位长度得到，故选A.(2)函数f(x)＝a x－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是()A．a>1，b<0B．a>1，b>0C．0<a<1，b>0D ．0<a <1，b <0 答案 D 解析 由f (x )＝a x－b的图象可以观察出，函数f (x )＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a <1.又f (0)＝a －b <a 0， ∴－b >0，即b <0.题型三 指数函数的性质及应用 命题点1 比较指数式的大小例2 (2020·全国Ⅱ)若2x －2y <3－x －3－y ，则( ) A ．ln(y －x ＋1)>0 B ．ln(y －x ＋1)<0 C ．ln|x －y |>0 D ．ln|x －y |<0答案 A解析 设函数f (x )＝2x －3－x .因为函数y ＝2x 与y ＝－3－x 在R 上均单调递增， 所以f (x )在R 上单调递增．原式等价于2x －3－x <2y －3－y ，即f (x )<f (y )， 所以x <y ，即y －x >0，所以A 正确，B 不正确．因为|x －y |与1的大小关系不能确定，所以C ，D 不正确． [高考改编题]若e a ＋πb ≥e －b ＋π－a ，下列结论一定成立的是( )A ．a ＋b ≤0B ．a －b ≥0C ．a －b ≤0D ．a ＋b ≥0答案 D解析 ∵e a ＋πb ≥e －b ＋π－a ， ∴e a －π－a ≥e －b －πb ，①令f (x )＝e x －π－x ，则f (x )是R 上的增函数， ①式即为f (a )≥f (－b )， ∴a ≥－b ，即a ＋b ≥0.命题点2 解简单的指数方程或不等式 例3 (1)若212x ＋≤⎝⎛⎭⎫14x －2，则函数y ＝2x的值域是( )A.⎣⎡⎭⎫18，2B.⎣⎡⎦⎤18，2 C.⎝⎛⎭⎫－∞，18 D ．[2，＋∞)答案 B解析 ⎝⎛⎭⎫14x －2＝(2－2)x －2＝2－2x ＋4，∴212x ＋≤2－2x ＋4，即x 2＋1≤－2x ＋4，即x 2＋2x －3≤0， ∴－3≤x ≤1，此时y ＝2x 的值域为[2－3,21]，即为⎣⎡⎦⎤18，2.(2)已知实数a ≠1，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x ，x ≥0，2a －x ，x <0，若f (1－a )＝f (a －1)，则a 的值为______．答案 12解析 当a <1时，41－a ＝21，解得a ＝12；当a >1时，代入不成立．故a 的值为12.命题点3 指数函数性质的综合应用 例4 (1)已知函数f (x )＝2|2x －m |(m 为常数)，若f (x )在区间[2，＋∞)上单调递增，则m 的取值范围是________． 答案 (－∞，4]解析 令t ＝|2x －m |，则t ＝|2x －m |在区间⎣⎡⎭⎫m 2，＋∞上单调递增，在区间⎝⎛⎦⎤－∞，m2上单调递减．而y ＝2t 是增函数，所以要使函数f (x )＝2|2x －m |在[2，＋∞)上单调递增，则有m2≤2，即m ≤4，所以m 的取值范围是(－∞，4]．(2)不等式4x －2x ＋1＋a >0对任意x ∈R 都成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 (1，＋∞)解析 原不等式可化为a >－4x ＋2x＋1对x ∈R 恒成立，令t ＝2x ，则t >0，∴y ＝－4x ＋2x ＋1＝－t 2＋2t ＝－(t －1)2＋1≤1， 当t ＝1时，y max ＝1，∴a >1.思维升华 (1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量．(2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 跟踪训练2 (1)(多选)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73B.2312⎛⎫⎪⎝⎭>432- C ．1.70.3>0.93.1D.3423⎛⎫⎪⎝⎭<2334⎛⎫ ⎪⎝⎭答案 BCD解析 ∵y ＝1.7x 为增函数，∴1.72.5<1.73，故A 不正确．432-＝4312⎛⎫ ⎪⎝⎭，y ＝⎝⎛⎭⎫12x 为减函数，∴2312⎛⎫ ⎪⎝⎭>4312⎛⎫ ⎪⎝⎭＝432-，故B 正确；∵1.70.3>1，而0.93.1∈(0,1)，∴1.70.3>0.93.1，故C 正确； y ＝⎝⎛⎭⎫23x 为减函数，∴3423⎛⎫ ⎪⎝⎭<2323⎛⎫ ⎪⎝⎭， 又y ＝23x 在(0，＋∞)上递增，∴2323⎛⎫⎪⎝⎭<2334⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴3423⎛⎫⎪⎝⎭<2323⎛⎫ ⎪⎝⎭<2334⎛⎫⎪⎝⎭，故D 正确． (2)设m ，n ∈R ，则“m <n ”是“⎝⎛⎭⎫12m －n >1”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 答案 C解析 ⎝⎛⎭⎫12m －n >1， 即⎝⎛⎭⎫12m －n >⎝⎛⎭⎫120， ∴m －n <0，∴m <n .故“m <n ”是“⎝⎛⎭⎫12m －n >1”的充要条件． (3)函数f (x )＝24313ax x -+⎛⎫⎪⎝⎭.若f (x )在(－∞，－3)上单调递减，则a 的取值范围是________．答案 ⎝⎛⎦⎤－∞，－23 解析 令t ＝ax 2－4x ＋3，则y ＝⎝⎛⎭⎫13t， ∵y ＝⎝⎛⎭⎫13t 为减函数，∴t ＝ax 2－4x ＋3在(－∞，－3)上单调递增，则⎩⎪⎨⎪⎧a <0，2a ≥－3，解得a ≤－23.。
指数与指数函数步步高(孩子数学差的救星)
对数函数步步高（一步一步来一定一题做）说明：很多家长，会有这样的体会，孩子的数学差，怎么办？请家教请得起但效果不好，孩子自学学不会，本材料“是低坡度高要求”的研究成果，也许你可以死马当活马治，会有大的收获。
本文适合高中数学习不好的学生，或是初高中衔接的学生。
(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1.1 已知x ＝8，x ＝1.2 已知2log x =3，则x ＝1.3 已知7log x =0。
则 x ＝1．已知log 7[log 3(log 2x )]＝0，那么x12- 等于( )A.13B.36C.24D.33 2.1函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数是log a y x =吗？x ＝2.2 在()x f x a =中，已知f (2)＝1，那么它的反函数log a y x =必过点（1，2）吗？2．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( )A ．log 2xB.12x C ．log 12x D ．2x －2 3.1 如果12a b c 0110a ，则a,b,c 的大小关系是3.2 下面的数的大小关系是 3log 2 3l o g 3；l n 2 ln 4 2ln e 124 1253．设 a ＝log 32，b ＝ln2，c ＝512-，则( ) A ．a <b <c B ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a3.2 总结出比较三个数大小的方法与步骤：4.1 y=lnU 是单调 函数。
U=1-x 是单调 函数4.2 函数y ＝ln(1－x )的定义域中含有x=1么？4．函数y ＝ln(1－x )的图象大致为( )5.1设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )。
则函数y=f (x )关于x=1对称？5.2 要比较一个分段函数的函数值的大小，必先将自变量转化到同一单调区间？ 5.3 113()(2)()222f f f =-=对吗？ 1()3f = 5．设函数f (x )定义在实数集上，f (2－x )＝f (x )，且当x ≥1时，f (x )＝ln x ，则有( ) A ．f (13)<f (2)<f (12) B ．f (12)<f (2)<f (13) C ．f (12)<f (13)<f (2)D ．f (2)<f (12)<f (13) 5.4 总结分段函数的函数值比较大小的步骤：6.1 比较大小：2＋log 23 4已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x ＜4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝2(3log 3)f + 还是f (2＋log 23)＝22log 31()2+ 6.2 23log 31()2+=2log 3311()()22×吗？ 6.3 2log 31()2=6．已知函数f (x )满足：当x ≥4时，f (x )＝(12)x ；当x ＜4时，f (x )＝f (x ＋1)，则f (2＋log 23)＝( ) A.124B.112C.18D.38二、填空题(共3小题，每小题5分，满分15分)7.1 lg 0.0013=-吗？ 7.2 22211lg (lg )(lg3)33==吗？7.3 lg 213－4lg3＋42lg3=-吗？ 7．|1＋lg0.001|＋lg 213－4lg3＋4＋lg6－lg0.02的值为________． 8.1函数f (x )＝log a x (0<a <1)单调递_______8.2 函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值分别是________8．若函数f (x )＝log a x (0<a <1)在区间[a,2a ]上的最大值是最小值的3倍，则a ＝________.9.1 函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方，从数形结合上说，是不是()1f x >________9.2 解{1031x x +£>得－1＜x ≤0吗？______________9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1，x ≤0log 2x ，x ＞0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是__________．三、解答题(共3小题，满分35分)10.1 用十字相乘法解2230x x +-得________________________10.2 f (x )＝log a (3－2x －x 2)的定义域为_____________10.3当x ∈(3,1]--时，u ＝－(x ＋1)2＋4是 函数10．设0<a <1，求函数f (x )＝log a (3－2x －x 2)的单调区间．11.1 当0a ，u ＝2－ax 在[0,1]上是关于x 的_______函数11.2已知函数f (x )＝log a (2－ax )，函数f (x )在[0,1]上是关于x 的减函数，则1a还是01a _______ 11．已知函数f (x )＝log a (2－ax )，是否存在实数a ，使函数f (x )在[0,1]上是关于x 的减函数，若存在，求a 的取值范围．对数与对数函数步步高答案1、解析：由条件知，log 3(log 2x )＝1，∴log 2x ＝3，∴x ＝8，∴x 12-＝24. 答案：C2、解析：f (x )＝log a x ，∵f (2)＝1，∴log a 2＝1，∴a ＝2.∴f (x )＝log 2x .答案：A3、解析：a ＝log 32＝ln2ln3<ln2＝b ，又c ＝512-＝15<12，a ＝log 32>log 33＝12，因此c <a <b . 答案：C4、解析：依题意由y ＝ln x 的图象关于y 轴对称可得到y ＝ln(－x )的图象，再将其图象向右平移1个单位即可得到y ＝ln(1－x )的图象，变换过程如图．答案：C5、解析：由f (2－x )＝f (x )可知f (x )关于直线x ＝1对称，当x ≥1时，f (x )＝ln x ，可知当x ≥1时f (x )为增函数，所以当x <1时f (x )为减函数，因为|12－1|<|13－1|<|2－1|， 所以f (12)<f (13)<f (2)． 答案：C6、解析：∵2＜3＜4＝22，∴1＜log 23＜2.∴3＜2＋log 23＜4，∴f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝f (log 224)＝(12)2log 24＝22log 24-＝221log 24＝124. 答案：A7、解析：原式＝|1－3|＋|lg3－2|＋lg300＝2＋2－lg3＋lg3＋2＝6.答案：68、解析：本题考查了对数函数的性质．∵0<a <1，∴log a a ＝3log a 2a,2a ＝13a ，得a ＝24. 答案：24 9、解析：当x ≤0时，3x ＋1＞1⇒x ＋1＞0，∴－1＜x ≤0；当x ＞0时，log 2x ＞1⇒x ＞2，∴x ＞2.综上所述，x 的取值范围为－1<x ≤0或x ＞2.答案：{x |－1<x ≤0或x ＞2}10、解：因为0<a <1又因为f (x )＝log a (3－2x －x 2)的定义域为{x |－3<x <1}，令u ＝3－2x －x 2，x ∈(－3,1)，则y ＝log a u .因为y ＝log a u 在定义域内是减函数，当x ∈(3,1]--时，u ＝－(x ＋1)2＋4是增函数，所以f (x )在(3,1]--上是减函数．同理，f (x )在[－1,1)上是增函数．故f (x )的单调减区间为(3,1]--，单调增区间为[－1,1)．11、解：∵a >0，且a ≠1，∴u ＝2－ax 在[0,1]上是关于x 的减函数．又f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是关于x 的减函数， ∴函数y ＝log a u 是关于u 的增函数，且对x ∈[0,1]时， u ＝2－ax 恒为正数．其充要条件是⎩⎨⎧a >12－a >0，即1<a <2. ∴a 的取值范围是(1,2)．。