2018版高中数学第一章解三角形疑难规律方法学案新人教B版必修5(含答案)
高中必修五导学案 第一章 解三角形(含答案)
第一章 解三角形§1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理 【学习目标】1. 掌握正弦定理的内容；2. 掌握正弦定理的证明方法；3. 会运用正弦定理解斜三角形的两类基本问题．【学习过程】1、课前准备试验：固定∆ABC 的边CB 及∠B ，使边AC 绕着顶点C 转动．思考：∠C 的大小与它的对边AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB 的长度随着其对角∠C 的大小的增大而 ．能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？2、新课导学 ※ 学习探究探究1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图，在Rt ∆ABC 中，设BC =a ，AC =b ，AB =c ，根据锐角三角函数中正弦函数的定义， 有sin a A c =，sin b B c =，又sin 1cC c==， 从而在直角三角形ABC 中，sin sin sin a b cA B C==．探究2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：当∆ABC 是锐角三角形时，设边AB 上的高是CD ，根据任意角三角函数的定义，有CD =sin sin a B b A =，则sin sin a bA B=， 同理可得sin sin c bC B=，从而sin sin a bA B =sin c C=．类似可推出，当∆ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试导.新知：正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即sin sin a bA B =sin c C=． （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k 使sin a k A =， ，sin c k C =；（2）sin sin a b A B =sin c C =等价于 ，sin sin c bC B =，sin a A =sin c C ． （3）正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sin sin b Aa B=；b = ．②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sin sin aA B b=；sin C = ．（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它的边和角的过程叫作解三角形．【学习评价】1．满足a =4，A=045，B=060的△ABC 的边b 的值为（ ） A 62 B 232+ C 13+ D 132+2．△ABC 中6=a ，36=b ，A=030，则边c = （ ） A 6 B 12 C 6或12 D 363．在△ABC 中，若C B A cos sin 2sin ⋅=，C B A 222sin sin sin +=，则△ABC 的形状是（ ）A ．直角三角形B 。
高中数学 第一章 解三角形 1.1.2 余弦定理练习(含解析)新人教B版必修5-新人教B版高二必修5
1.1.2 余弦定理课时过关·能力提升1已知在△ABC 中,a ∶b ∶c=1∶1∶√3,则cos C 的值为( ) A.23 B.-23C.12D.-122在△ABC 中,若2cos B sin A=sin C ,则△ABC 的形状一定是( ) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形D.等边三角形2cos B sin A=sin C ,得a 2+a 2-a 2aa·a=c , 所以a=b.所以△ABC 为等腰三角形.3已知在△ABC 中,AB=3,BC=√13,AC=4,则边AC 上的高是( ) A.3√22B.3√32C.32D.3√3,得cos A=aa 2+aa 2-aa 22aa ·aa =9+16-132×3×4=12.∴sin A=√32.∴S △ABC =12AB ·AC ·sin A=12×3×4×√32=3√3.设边AC 上的高为h ,则S △ABC =12AC ·h=12×4×h=3√3. ∴h=3√32.4已知在△ABC 中,∠ABC=π4,AB=√2,BC=3,则sin ∠BAC=( ) A.√1010 B.√105C.3√1010D.√55ABC中,由余弦定理,得AC2=AB2+BC2-2AB·BC cos∠ABC=2+9-2×√2×3×√22=5,即得AC=√5.由正弦定理aasin∠aaa =aasin∠aaa,即√5√22=3sin∠aaa,所以sin∠BAC=3√1010.5已知在△ABC中,∠B=60°,b2=ac,则△ABC一定是三角形.B=60°,b2=ac,由余弦定理,得b2=a2+c2-2ac cos B,得ac=a2+c2-ac,即(a-c)2=0,所以a=c.又∠B=60°,所以△ABC是等边三角形.6已知△ABC的内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且3b2+3c2-3a2=4√2bc,则sin A=.7设△ABC的内角∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且a=1,b=2,cos C=14,则sinB=.,得c2=a2+b2-2ab cos C=1+4-2×1×2×14=4,解得c=2,即b=c,故sin B=sin C=√1-(14)2=√154.8如图,在△ABC中,已知点D在BC边上,AD⊥AC,sin∠BAC=2√23,AB=3√2,AD=3,则BD的长为.AD⊥AC,∴∠DAC=π2.∵sin ∠BAC=2√23,∴sin (∠aaa +π2)=2√23,∴cos ∠BAD=2√23.由余弦定理,得BD 2=AB 2+AD 2-2AB ·AD ·cos∠BAD=(3√2)2+32-2×3√2×3×2√23=3.∴BD=√3. √3 9在△ABC 中,已知∠B=45°,D 是BC 边上的一点,AD=10,AC=14,DC=6,求AB 的长.ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理,得cos ∠ADC=aa 2+aa 2-aa 22aa ·aa=100+36-1962×10×6=-12,∴∠ADC=120°,∴∠ADB=60°.在△ABD 中,AD=10,∠B=45°,∠ADB=60°, 由正弦定理,得aa sin∠aaa=aasin a, ∴AB=aa ·sin∠aaasin a=10sin60°sin45°=10×√32√22=5√6.10在△ABC 中,∠A ,∠B ,∠C 的对边分别为a ,b ,c ,且满足c=2b cos A. (1)求证:∠A=∠B ;(2)若△ABC 的面积S=152,cos C=45,求c 的值.c=2b cos A ,由正弦定理,得sin C=2sin B ·cos A ,所以sin(A+B )=2sin B ·cos A ,所以sin(A-B )=0.在△ABC 中,因为0<∠A<π,0<∠B<π, 所以-π<∠A-∠B<π,所以∠A=∠B.(1)知a=b.因为cos C=45,又0<∠C<π,所以sin C=35.又因为△ABC 的面积S=152, 所以S=12ab sin C=152,可得a=b=5. 由余弦定理,得c 2=a 2+b 2-2ab cos C=10. 所以c=√10. ★11设△ABC 是锐角三角形,a ,b ,c 分别是内角∠A ,∠B ,∠C 所对的边,并且sin 2A=sin (π3+a )sin (π3-a )+sin 2B.(1)求∠A 的值;(2)若aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,a=2√7,求b ,c (其中b<c ).因为sin 2A=(√32cos a +12sin a )·(√32cos a -12sin a )+sin 2B=34cos 2B-14sin 2B+sin 2B=34,所以sin A=√32.又∠A 为锐角, 所以∠A=π3.(2)由aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·aa ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12,可得bc cos A=12.① 由(1)知∠A=π3, 所以bc=24.②由余弦定理知a 2=c 2+b 2-2bc cos A , 将a=2√7及①代入上式,得c 2+b 2=52,③ 由③+②×2,得(b+c )2=100,所以b+c=10. 因此b ,c 是一元二次方程t 2-10t+24=0的两个根. 解此方程并由c>b 知c=6,b=4.。
数学人教B版必修5学案： 本章整合 第一章解三角形 含
本章整合知识网络专题探究专题一 判断三角形的形状正弦定理、余弦定理是反映三角形中边角关系的重要定理，是处理有关三角形问题的有力工具，要注意两定理的变形运用及实际应用．判断三角形的形状，其常用方法是：将已知式子都化为角的式子或边的式子再判断．通常利用正弦定理的变形如a ＝2R ·sin A 将边化角，利用余弦定理的推论如cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc 把角的余弦化边，或利用sin A ＝a 2R 把角的正弦化边，然后利用三角形的有关知识，三角恒等变形方法、代数恒等变形方法进行转化、化简，从而得出结论．常见结论有：设a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 的对边， ①若a 2＋b 2＝c 2，则∠C ＝90°； ②若a 2＋b 2>c 2，则∠C <90°； ③若a 2＋b 2<c 2，则∠C >90°；④若sin 2A ＝sin 2B ，则∠A ＝∠B 或∠A ＋∠B ＝π2．【应用1】 在△ABC 中， 若sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，则该三角形是__________三角形．提示：考虑到已知条件是三个角正弦的比值，可用正弦定理得出三边的关系，再利用余弦定理判断最大角的大小即可．解析：∵sin A ∶sin B ∶sin C ＝2∶3∶4，根据正弦定理， 得a ∶b ∶c ＝2∶3∶4．设a ＝2m ，b ＝3m ，c ＝4m (m >0)，∵c >b >a ，∴∠C >∠B >∠A ．∴cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝4m 2＋9m 2－16m 22×2m ×3m ＝－14<0．∴∠C 是钝角．∴△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角【应用2】 在△ABC 中，若∠B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状．提示：已知条件中等式只有边，故结合其特点，可选择利用正弦定理化边为角，再结合三角函数关系化简求解；本题也可利用∠B ＝60°这一条件，用余弦定理，找出边之间的关系来判断．解：解法一：由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C ． ∵∠B ＝60°，∴∠A ＋∠C ＝120°． ∴∠A ＝120°－∠C ，代入上式，得 2sin 60°＝sin(120°－∠C )＋sin C ， 展开，整理得32sin C ＋12cos C ＝1． ∴sin(∠C ＋30°)＝1．∴∠C ＋30°＝90°． ∴∠C ＝60°．故∠A ＝60°． ∴△ABC 为等边三角形．解法二：由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ． ∵∠B ＝60°，b ＝a ＋c2，∴⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°．整理，得(a －c )2＝0，∴a ＝c ．从而a ＝b ＝c ． ∴△ABC 为等边三角形． 专题二 恒等式的证明证明有关三角形中边角关系的恒等式，若出现边角混合关系式，通常情况下，有两种方法：化边为角，将已知条件统一用角表示；化角为边，将已知条件用边表示，然后利用角的关系或边的关系进行求解，从而使问题得到解决．【应用1】 在△ABC 中，求证： (1)a 2＋b 2c 2＝sin 2A ＋sin 2B sin 2C；(2)a 2＋b 2＋c 2＝2(bc cos A ＋ca cos B ＋ab cos C )．提示：本题(1)可从左边证到右边，利用正弦定理将边的关系转化为角的关系；本题(2)可从右边证到左边，利用余弦定理将角的关系转化为边的关系．证明：(1)由正弦定理，设a sin A ＝b sin B ＝csin C＝ k ，显然 k ≠0，所以，左边＝k 2sin 2A ＋k 2sin 2B k 2sin 2C ＝sin 2A ＋sin 2Bsin 2C ＝右边，即原等式成立．(2)根据余弦定理，右边＝2⎝⎛bc ·b 2＋c 2－a22bc ＋ca ·c 2＋a 2－b 22ca ＋ab ·a 2＋b 2－c 22ab ＝(b 2＋c 2－a 2)＋(c 2＋a 2－b 2)＋(a 2＋b 2－c 2)＝a 2＋b 2＋c 2＝左边，即原等式成立．【应用2】 已知在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ．求证：cot A ＋cot B ＋cot C ＝a 2＋b 2＋c 24S．提示：解本题的关键是化切为弦，再结合余弦定理变形．证明：由余弦定理，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，所以cot A ＝cos A sin A ＝b 2＋c 2－a 22bc sin A ＝b 2＋c 2－a24S，同理可得cot B ＝a 2＋c 2－b 24S ，cot C ＝a 2＋b 2－c 24S ，所以cot A ＋cot B ＋cot C ＝b 2＋c 2－a 24S ＋a 2＋c 2－b 24S ＋a 2＋b 2－c 24S ＝a 2＋b 2＋c 24S． 专题三 三角形的面积问题求三角形面积与正弦定理、余弦定理、三角函数、函数的有关知识紧密地联系在一起，是高考中的常见题型．常用三角形面积公式： (1)S △ABC ＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c ．(2)S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ．(3)S ＝p (p －a )(p －b )(p －c )⎝⎛⎭⎫其中p ＝a ＋b ＋c 2．【应用】 (2013·重庆高考，文18)在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a 2＝b 2＋c 2＋3bc ．(1)求∠A ；(2)设a ＝3，S 为△ABC 的面积，求S ＋3cos B cos C 的最大值，并指出此时∠B 的值． 提示：(1)利用余弦定理求∠A ；(2)利用正弦定理及面积公式将面积S 表示出来，再用三角变换的知识求出最值．解：(1)由余弦定理得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝－3bc 2bc ＝－32．又因0<∠A <π，所以∠A ＝5π6．(2)由(1)得sin A ＝12，又由正弦定理及a ＝3得S ＝12bc sin A ＝12·a sin B sin A ·a sin C ＝3sin B sin C ， 因此，S ＋3cos B cos C ＝3(sin B sin C ＋cos B cos C ) ＝3cos(∠B －∠C )．所以，当∠B ＝∠C ，即∠B ＝π－∠A 2＝π12时，S ＋3cos B cos C 取最大值3．专题四 正、余弦定理的综合应用以三角形为载体，以正、余弦定理为工具，以三角恒等变换为手段来考查解三角形问题是近几年高考中一类热点题型．在具体解题中，除了熟练使用正弦、余弦定理这个工具外，也要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化解题的目的．【应用1】 在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且cos C cos B ＝2a －cb ．(1)求cos B 的值；(2)若b ＝7，a ＋c ＝4，求△ABC 的面积．提示：(1)先利用正弦定理化简，再用三角变换整理即得．(2)利用余弦定理及面积公式，再注意整体求ac 的技巧．解：(1)由cos C cos B ＝2a －c b ＝2sin A －sin Csin B ，得cos C ·sin B ＝2sin A ·cos B －cos B ·sin C ． ∴2sin A ·cos B ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ＝sin(B ＋C )＝sin(π－A )＝sin A ． ∵sin A ≠0，∴cos B ＝12．(2)∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝a 2＋c 2－ac ＝7，又a ＋c ＝4， ∴(a ＋c )2－3ac ＝7．∴ac ＝3． ∴S △ABC ＝12ac sin B ＝12×3×32＝334．【应用2】 在锐角△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，且3a ＝2c sin A ． (1)确定角C 的大小；(2)若c ＝7，且△ABC 的面积为332，求a ＋b 的值．提示：(1)利用正弦定理将边转化为角即可；(2)利用余弦定理和面积公式列出关于a ，b 的方程求解，注意整体技巧． 解：(1)由3a ＝2c sin A 及正弦定理，得 a c ＝2sin A 3＝sin A sin C ．∵sin A ≠0，∴sin C ＝32． ∵△ABC 是锐角三角形，∴∠C ＝π3．(2)∵c ＝7，∠C ＝π3．由面积公式，得12ab sin π3＝332，∴ab ＝6．① 由余弦定理，得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos π3＝7，即a 2＋b 2－ab ＝7．②由①②，得(a ＋b )2＝25，故a ＋b ＝5． 专题五 正、余弦定理在实际问题中的应用解决有关三角形的应用问题时，首先要认真分析题意，找出各量之间的关系，根据题意画出示意图，将要求的问题抽象为三角形模型，然后利用正弦定理、余弦定理求解，最后将结果还原为实际问题，这一程序可用框图表示为：实际问题――→抽象概括解三角形问题――→推理演算三角形问题的解还原，实际问题的解 【应用1】 如图所示，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D 在西偏北15°的方向上，行驶5 km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角为8°，求此山的高度CD ．提示：要测出高CD ，只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长即可．根据已知条件，可以计算出BC 的长．解：在△ABC 中，∠BAC ＝15°，∠ACB ＝25°－15°＝10°． 根据正弦定理，得BC ＝AB sin ∠BAC sin ∠ACB ＝5sin 15°sin 10°≈7．452 4(km)，CD ＝BC tan ∠DBC ＝BC ×tan 8°≈1．047(km)． 答：山的高度约为1．047 km ．【应用2】如图，某巡逻艇在A 处发现北偏东45°相距9海里的C 处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10海里/时的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14海里/时的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才能追赶上该走私船？提示：在求解三角形中，可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．解：设该巡逻艇沿AB 方向经过x 小时后在B 处追上走私船，则CB ＝10x ，AB ＝14x ，AC ＝9，∠ACB ＝75°＋45°＝120°，∴(14x )2＝ 92＋ (10x )2 －2×9×10x cos 120°， 化简，得32x 2－30x －27＝0． 解得x ＝32或x ＝－916(舍去)．∴BC ＝ 10x ＝15，AB ＝14x ＝21． 又∵sin ∠BAC ＝BC sin 120°AB ＝1521×32＝5314，∴∠BAC ＝38°13′或∠BAC ＝141°47′(钝角不合题意，舍去)． ∴38°13′＋45°＝83°13′．答：巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1．5小时才能追赶上该走私船．。
人教B版数学必修五：第1章解三角形章末整合学案含答案解析
第一章解三角形章末整合知识概览对点讲练知识点一正、余弦定理解三角形的基本问题例1在△ABC中，(1)已知a＝3，b＝2，B＝45°，求A、C、c；(2)已知sin A∶sin B∶sin C＝(3＋1)∶(3－1)∶10，求最大角．回顾归纳已知三角形的两边和其中一边的对角，应用正弦定理解三角形时，有时可能出现一解、两解或无解情况，应结合图形并根据“三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．变式训练1(1)△ABC中，AB＝1，AC＝3，∠C＝30°，求△ABC的面积；(2)已知a、b、c是△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，S是△ABC的面积．若a＝4，b ＝5，S＝53，求c的长度．知识点二正、余弦定理在三角形中的应用例2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别是A 、B 、C 的对边长．已知b 2＝ac 且a 2－c 2＝ac －bc .(1)求A 的大小；(2)求b sin Bc的值．回顾归纳 (1)在三角形的三角变换中，正、余弦定理及勾股定理是解题的基础．如果题目中同时出现角及边的关系，往往要利用正、余弦定理化成仅含边或仅含角的关系．(2)要注意利用△ABC 中A ＋B ＋C ＝π，以及由此推得的一些基本关系式：sin(B ＋C )＝sin A ，cos(B ＋C )＝－cos A ，tan(B ＋C )＝－tan A ，sin B ＋C 2＝cos A 2等，进行三角变换的运算．变式训练2 在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72.(1)求角A 的度数；(2)若a ＝3，b ＋c ＝3，求b 、c 的值．知识点三 正、余弦定理在实际问题中的应用例3 A 、B 、C 是一条直路上的三点，AB ＝BC ＝1 km ，从这三点分别遥望一座电视发射塔P ，A 见塔在东北方向，B 见塔在正东方向，C 见塔在南偏东60°方向．求塔到直路的距离．回顾归纳 (1)解斜三角形应用题的程序是：①准确地理解题意；②正确地作出图形(或准确地理解图形)；③把已知和要求的量尽量集中在有关三角形中，利用正弦定理和余弦定理有顺序地解这些三角形；④根据实际意义和精确度的要求给出答案．(2)利用解斜三角形解决有关测量的问题时，其关键在于透彻理解题目中的有关测量术语．变式训练3如图所示，当甲船位于A 处时获悉，在其正东方向相距20海里的B 处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C 处的乙船，设乙船按方位角为θ的方向沿直线前往B 处救援，求sin θ的值．1．正弦定理揭示了三角形的两边和对角的关系，因此，可解决两类问题： (1)已知两角和其中任一边，求其他两边和一角，此时有一组解．(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他解，其解不确定．2．余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对应边的关系，是勾股定理的推广，它能解决以下两个问题：(1)已知三边，求其他三角，其解是唯一的．(2)已知两边及它们的夹角，求第三边及其他两角，此时也只有一解．3．正、余弦定理将三角形的边和角有机地联系起来，从而使三角形与几何产生了联系，为求与三角形有关的量(如面积、外接圆、内切圆)提供了理论基础，也是判断三角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据.课时作业一、选择题1．在△ABC 中，A ＝60°，a ＝43，b ＝42，则B 等于( ) A ．45°或135° B ．135° C ．45° D ．以上答案都不对2．在△ABC 中，已知cos A cos B >sin A sin B ，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰三角形3．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为( )A.π6B.π3C.π6或5π6D.π3或2π3 4．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝16，面积为2203，那么BC 的长度为( ) A ．25 B ．51 C ．49 3 D ．49 5．△ABC 中，下列结论：①a 2>b 2＋c 2，则△ABC 为钝角三角形；②a 2＝b 2＋c 2＋bc ，则A 为60°；③a 2＋b 2>c 2，则△ABC 为锐角三角形；④若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，则a ∶b ∶c ＝1∶2∶3.其中正确的个数为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 二、填空题6．三角形两条边长分别为3 cm,5 cm ，其夹角的余弦是方程5x 2－7x －6＝0的根，则此三角形的面积是________．7．在△ABC 中，A ＝60°，b ＝1，S △ABC ＝3，则asin A＝______.8．一艘船以20 km/h 的速度向正北航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向，1 h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75°的方向上，这时船与灯塔的距离BC 等于________．三、解答题9．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a ＝2，cos B ＝35.(1)若b ＝4，求sin A 的值；(2)若△ABC 的面积S △ABC ＝4，求b ，c 的值．10．在△ABC 中，已知AB ＝463，cos B ＝66，AC 上的中线BD ＝5，求sin A 的值．章末整合对点讲练例1 解 (1)由正弦定理及已知条件有3sin A ＝2sin 45°，得sin A ＝32，∵a >b ，∴A >B ＝45°，∴A ＝60°或120°. 当A ＝60°时，C ＝180°－45°－60°＝75°， c ＝b sin C sin B ＝2sin 75°sin 45°＝6＋22，当A ＝120°时，C ＝180°－45°－120°＝15°， c ＝b sin C sin B ＝2sin 15°sin 45°＝6－22.(2)根据正弦定理可知a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ＝(3＋1)∶(3－1)∶10， ∴边c 最大，即角C 最大．设a ＝(3＋1)k ，b ＝(3－1)k ，c ＝10k ， 则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝(3＋1)2＋(3－1)2－(10)22(3＋1)(3－1)＝－12.∵C ∈(0，π)，∴C ＝2π3.变式训练1 解 (1)1sin 30°＝3sin B ，∴sin B ＝32，∴B ＝60°或120°，当B ＝60°时，A ＝90°，∴BC ＝2，此时，S △ABC ＝32. 当B ＝120°时，A ＝30°，∴S △ABC ＝12×3×1×sin 30°＝34.综上，△ABC 的面积为32或34.(2)∵S ＝12ab sin C ＝53，∴sin C ＝32，于是C ＝60°或C ＝120°.当C ＝60°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2－ab ＝21，∴c ＝21；当C ＝120°时，c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝a 2＋b 2＋ab ＝61， ∴c ＝61.∴c 的长度为21或61.例2 解 (1)∵b 2＝ac 且a 2－c 2＝ac －bc ， ∴a 2－c 2＝b 2－bc ，∴b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝bc 2bc ＝12，∴A ＝60°.(2)方法一 在△ABC 中，由正弦定理得： sin B ＝b sin A a ，∵b 2＝ac ，∴b a ＝cb .∴sin B ＝b sin A a ＝c ·sin Ab，∴b sin B c ＝sin A ＝sin 60°＝32.方法二 在△ABC 中，由面积公式得： 12bc sin A ＝12ac sin B ∵b 2＝ac ，∴bc sin A ＝b 2sin B ， ∴b sin Bc ＝sin A ＝sin 60°＝32. 变式训练2 解 (1)∵B ＋C ＝180°－A ， ∴B ＋C 2＝90°－A 2. 由4sin 2B ＋C 2－cos 2A ＝72，得4cos 2A 2－cos 2A ＝72，即2(1＋cos A )－(2cos 2 A －1)＝72.整理得4cos 2A －4cos A ＋1＝0.∴cos A ＝12，又0°<A <180°，∴A ＝60°.(2)由A ＝60°，根据余弦定理得 cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，即b 2＋c 2－a 22bc ＝12.∴b 2＋c 2－a 2＝bc ，∵a ＝3，∴b 2＋c 2－bc ＝3. 又b ＋c ＝3，∴b 2＋c 2＋2bc ＝9，∴bc ＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧ b ＋c ＝3bc ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ b ＝1c ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧b ＝2c ＝1. 例3 解如图所示，过C 、B 、P 分别作CM ⊥l ，BN ⊥l ，PQ ⊥l ，垂足分别为M 、N 、Q . 设BN ＝x ，则PQ ＝x ，P A ＝2x . ∵AB ＝BC ，∴CM ＝2BN ＝2x ，PC ＝2x . 在△P AC 中，由余弦定理得 AC 2＝P A 2＋PC 2－2P A ·PC ·cos 75°， 即4＝2x 2＋4x 2－42x 2·6－24， 解得x 2＝2(4＋3)13，过P 作PD ⊥AC ，垂足为D ，则线段PD 的长为塔到直路的距离．在△P AC 中，由于12AC ·PD ＝12P A ·PC ·sin 75°，得PD ＝P A ·PC ·sin 75°AC ＝22x 2·sin 75°2＝2·2(4＋3)13·6＋24＝7＋5313(km)．答 塔到直路的距离为7＋5313km.变式训练3 解 在△ABC 中，AB ＝20，AC ＝10， ∠BAC ＝120°，由余弦定理知：BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝202＋102－2×20×10×⎝⎛⎭⎫－12＝700.∴BC ＝107. 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BCsin ∠BAC ，∴sin ∠ACB ＝AB BC ·sin ∠BAC ＝20107·sin 120°＝217.∴cos ∠ACB ＝277.∴sin θ＝sin(∠ACB ＋30°)＝sin ∠ACB ·cos 30°＋cos ∠ACB ·sin 30°＝217×32＋277×12＝5714. 课时作业1．C [∵sin B ＝b ·sin A a ＝22，且b <a ，∴B ＝45°.]2．C [cos A cos B >sin A sin B ⇔cos(A ＋B )>0， ∴A ＋B <90°，∴C >90°，C 为钝角．] 3．D [∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32，即cos B ·tan B ＝sin B ＝32.∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.]4．D [S △ABC ＝12AC ×AB ×sin 60°＝12×16×AB ×32＝2203，∴AB ＝55.∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC cos 60°＝552＋162－2×16×55×12＝2 401∴BC ＝49.]5．A [①由a 2>b 2＋c 2知A 为钝角，①正确；②由a 2＝b 2＋c 2＋bc 知A ＝120°，②错；③由a 2＋b 2>c 2，仅能判断C 为锐角，A 、B 未知，③错；④由A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，知A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴sin A ∶sin B ∶sin C ＝12∶32∶1＝1∶3∶2，④错．所以仅①正确．]6．6 cm 2解析 由5x 2－7x －6＝0，解得x 1＝－35，x 2＝2.∵x 2＝2>1，不合题意．∴设夹角为θ，则cos θ＝－35得sin θ＝45，∴S ＝12×3×5×45＝6 (cm 2)．7.2393解析 由S ＝12bc sin A ＝12×1×c ×32＝3，∴c ＝4. ∴a ＝b 2＋c2－2bc cos A ＝12＋42－2×1×4cos 60°＝13.∴a sin A ＝13sin 60°＝2393. 8．20 2 km解析 如图所示， BC sin 45°＝ACsin 30°∴BC ＝ACsin 30°×sin 45°＝2012×22＝20 2 (km)． 9．解 (1)∵cos B ＝35>0，且0<B <π，∴sin B ＝1－cos 2B ＝45.由正弦定理得a sin A ＝b sin B ，sin A ＝a sin Bb ＝2×454＝25.(2)∵S △ABC ＝12ac sin B ＝4，∴12×2×c ×45＝4，∴c ＝5.由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝22＋52－2×2×5×35＝17，∴b ＝17.10．解 设E 为BC 的中点．连接DE ，则DE ∥AB ，且DE ＝12AB ＝263，设BE ＝x .在△BDE 中利用余弦定理可得： BD 2＝BE 2＋ED 2－2BE ·ED cos ∠BED ， 5＝x 2＋83＋2×263×66x ，解得x ＝1，x ＝－73(舍去)．故BC ＝2，从而AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝283，即AC ＝2213.又sin B ＝306，故2sin A ＝2213306，sin A ＝7014.。
2018版高中数学人教B版必修五学案：第一单元 §1-2 应
学习目标 1.会用正弦、余弦定理解决生产实践中有关不可到达点距离的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．知识点一常用角思考试画出“北偏东60°”和“南偏西45°”的示意图．梳理在解决实际问题时常会遇到一些有关角的术语，请查阅资料后填空：(1)方向角指北或指南方向线与目标方向所成的小于________度的角．(2)仰角与俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平线________时叫仰角，目标视线在水平线________时叫俯角．(如下图所示)(3)张角由C点看AB的张角指的是角________．知识点二测量方案思考1如图是北京故宫的角楼，设线段AB表示角楼的高度，在宫墙外护城河畔的马路边，选位置C，设CC′为测量仪器的高，过点C′的水平面与AB相交于点B′，由测点C′对角楼进行测量，你认为通过测量的数据能求出角楼的高度吗？思考2如图，如果移动测量仪CC′到DD′(测量仪高度不变)，想想看，我们能测得哪些数据，使问题得以解决？梳理测量某个量的方法有很多，但是在实际背景下，有些方法可能没法实施，比如直接测量某楼高．这个时候就需要设计方案绕开障碍间接地达到目的．设计测量方案的基本任务是把目标量转化为可测量的量，并尽可能提高精确度．一般来说，基线越长，精确度越高．类型一测量两个不能到达点之间的距离问题例1如图，为测量河对岸A、B两点的距离，在河的这边测出CD的长为32km，∠ADB＝∠CDB＝30°，∠ACD＝60°，∠ACB＝45°，求A、B两点间的距离．反思与感悟测量两个不可到达的点之间的距离，一般是把求距离问题转化为应用余弦定理求三角形的边长问题，然后把求未知的另外边长问题转化为只有一点不能到达的两点距离测量问题，运用正弦定理解决．跟踪训练1要测量河对岸两地A、B之间的距离，在岸边选取相距1003米的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，求A、B两地的距离．类型二求高度命题角度1测量仰角(俯角)求高度例2如图所示，D，C，B在地平面同一直线上，DC＝10 m，从D，C两地测得A点的仰角分别为30°和45°，则A点离地面的高AB等于()A．10 m B．5 3 mC．5(3－1) m D．5(3＋1) m反思与感悟利用正弦、余弦定理来解决实际问题时，要从所给的实际背景中，进行加工、提炼，抓住本质，抽象出数学模型，使之转化为解三角形问题．跟踪训练2江岸边有一炮台C高30 m，江中有两条船B，A，船与炮台底部D在同一直线上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，则两条船相距________ m.命题角度2测量方位角求高度例3如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600 m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.反思与感悟此类问题特点：底部不可到达，且涉及与地面垂直的平面，观测者两次观测点所在直线不经过“目标物”，解决办法是把目标高度转化为地平面内某量，从而把空间问题转化为平面内解三角形问题．跟踪训练3如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10 m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB 的高是()A．10 m B．10 2 mC．10 3 m D．10 6 m1．如图，在河岸AC上测量河的宽度BC，测量下列四组数据，较适宜的是()A．a，c，αB．b，c，αC．c，a，βD．b，α，γ2．如图，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好13千米，那么x的值是________．3．甲、乙两楼相距20 m，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________m，________m.4.如图所示，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°，则A、B两点的距离为________m.1．运用正弦定理就能测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”，而测量“两个不可到达点间的距离”要综合运用正弦定理和余弦定理．测量“一个可到达点与一个不可到达点间的距离”是测量“两个不可到达点间的距离”的基础，这两类测量距离的题型间既有联系又有区别．2．正弦、余弦定理在实际测量中的应用的一般步骤：(1)分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图；(2)建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；(4)检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．答案精析问题导学 知识点一 思考梳理 (1)90 (2)上方 下方 (3)ACB 知识点二思考1 可测得点A 的仰角α的大小．在△AB ′C ′中，三条边的长度都无法测出，因而AB ′无法求得．思考2 如图所示，在点B ′，C ′，D ′构成的三角形中，可以测得∠β和∠γ的大小，又可测得C ′D ′的长，这样，我们就可以根据正弦定理求出边B ′C ′的长，从而在Rt △AB ′C ′中，求出AB ′的长．使问题得到解决． 题型探究 类型一例1 解 在△BCD 中， ∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°， 由正弦定理得BC sin 30°＝CD sin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝ 64(km)．在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°， ∴△ACD 为正三角形， ∴AC ＝CD ＝32(km)． 在△ABC 中，由余弦定理得 AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 45° ＝34＋616－2×32×64×22＝38， ∴AB ＝64(km)．∴河对岸A 、B 两点间的距离为64km. 跟踪训练1 解 如图在△ACD 中，∠CAD ＝180°－(120°＋30°)＝30°，∴AC ＝CD ＝1003(米)．在△BCD 中，∠CBD ＝180°－(45°＋75°)＝60°， 由正弦定理得BC ＝1003sin 75°sin 60°＝200sin 75°(米)．在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(1003)2＋(200sin 75°)2－2×1003×200sin 75°cos 75° ＝1002×(3＋4×1－cos 150°2－2×3×sin 150°)＝1002×5， ∴AB ＝1005(米)．所以河对岸A 、B 两点间的距离为1005米． 类型二 命题角度1例2 D [方法一 设AB ＝x m ， 则BC ＝x m. ∴BD ＝(10＋x )m.∴tan ∠ADB ＝AB DB ＝x 10＋x ＝33.解得x ＝5(3＋1)m.所以A 点离地面的高AB 等于 5(3＋1)m.方法二 ∵∠ACB ＝45°， ∴∠ACD ＝135°，∴∠CAD ＝180°－135°－30°＝15°. 由正弦定理，得AC ＝CD sin ∠CAD ·sin ∠ADC＝10sin 15°·sin 30°＝206－2∴AB＝AC sin 45°＝5(3＋1)m.]跟踪训练230命题角度2例3100 6解析依题意，∠CAB＝30°，AB＝600 m，∠CBA＝180°－75°＝105°，∠CBD＝30°，∴∠ACB＝180°－30°－105°＝45°.由正弦定理，得BC＝ABsin∠ACB·sin∠CAB＝600sin 45°×sin 30°＝3002，∴CD＝BC tan∠CBD＝3002×tan 30°＝1006(m)．跟踪训练3 D当堂训练1．D 2.4 3.2034033 4.50 2。
2018版高中数学(人教B版)必修五学案第一章 1.1.1 正弦定理(一) Word版含答案
正弦定理和余弦定理
正弦定理(一)
[学习目标].通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．
[知识链接]
下列说法中，正确的有．
()在直角三角形中，若为直角，则＝.
()在△中，若＞，则＞.
()在△中，＝π－－.
()利用、都可以证明三角形全等．
()在△中，若＝，则＝.
答案()()()
解析根据三角函数的定义，()正确；在三角形中，大边对大角，大角对大边，()正确；三角形的内角和为π，()正确；可以证明三角形全等，不能证明，()不正确；若＝，则＝或，()不正确，故()()()正确．
[预习导引]
．在△中的有关定理
在△中，＝°，则有：
()＋＝°，°<<°，°<<°；
()＋＝(勾股定理)；
()＝；＝；＝.
．正弦定理
在一个三角形中，各边的长和它所对角的正弦的比相等，即＝＝，这个比值是其外接圆的直径.
．解三角形
一般地，我们把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的元素．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
要点一正弦定理的推导与证明
例在锐角△中，证明：＝＝.
证明如图，在锐角△中，过点作⊥于点，有＝，＝.
∴＝＝．∴＝.
同理，＝.∴＝＝成立．
规律方法从正弦定理可以推出它的常用变形有：
()＝，＝，＝.
()＝，＝，＝.
()＝，＝，＝.
()∶∶＝∶∶.
跟踪演练在钝角△中，如何证明＝＝仍然成立？。
高中数学第一章解三角形1.1.2余弦定理(二)学案新人教A版必修5(2021学年)
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1.1．2 余弦定理（二)［学习目标］ 1。
熟练掌握余弦定理及其变形形式，能用余弦定理解三角形。
2。
能应用余弦定理判断三角形形状.３。
能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题．知识点一余弦定理及其推论1.ａ２=b2＋c2-２bc cos__A，b２＝ｃ2+ａ2－2ｃa cos_＿B，c２=ａ2+b2－2aｂcos＿＿C．2.cos A=错误!,ｃos B＝错误!,coｓC＝错误!.３．在△AＢC中,ｃ２=a2＋ｂ2⇔C为直角,ｃ2＞a2＋ｂ2⇔Ｃ为钝角;c2＜a2+ｂ2⇔C为锐角．知识点二正弦、余弦定理解决的问题思考以下问题不能用余弦定理求解的是＿＿＿___＿＿.（1)已知两边和其中一边的对角，解三角形；(2)已知两角和一边，解三角形；（3)已知一个三角形的两条边及其夹角，解三角形;（４）已知一个三角形的三条边,解三角形.答案 (2)题型一利用余弦定理判断三角形的形状例1 在△AＢC中,cｏs２错误!＝错误!,其中a,b，c分别是角A，B，C的对边，则△ＡBＣ的形状为（ )A.直角三角形B．等腰三角形或直角三角形Ｃ．等腰直角三角形D．正三角形答案 A解析方法一在△ABC中，由已知得＼f(1＋ｃoｓＢ,2)=＼f(１，2）+错误!，∴cｏｓB=ac=错误!,化简得c２=a2+ｂ2。
原创1：第一章 解三角形
＝( ＋ )＝ (＋)，
其中 ＝
，α是第一象限角．
∵ ° < < °，且α是第一象限角
∴ 当C＋α=90°时，AB＋2BC有最大值 .
同学们，再见！
水域，并说明理由．
典例突破
（二）正、余弦定理的实际应用
(1) 如图，＝ ，＝ ，∠＝，＝
° < < °知 =
=
−(
.
)
.
由余弦定理，得＝ + − ∙ ＝ .
∴ 船的行驶速度为
例3. 在△ABC中，＝°，＝ ，则AB＋2BC的最大值为
________．
【解析】 由正弦定理知
＝
＝
°
∴ AB＝2sin C，BC＝2sin A.
又 A＋C ＝120°
∴ AB＋2BC＝2sin C＋4sin(120 °－C)
典例突破
（三）解三角形与三角函数的综合
∴ ∠ =
∴
，∠
= −
∠
=
∙∠
在△ABC中，由正弦定理得＝
°
=
典例突破
（一）正、余弦定理解三角形
方法1）
∴ 在△ABC中，由余弦定理得
BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos∠2
即 25＝AB2＋49－11AB，即(AB－8)·(AB－3)＝0，
刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东 45°且
与点A相距 海里的位置B，经过40分钟又测得该船
已行驶到点A北偏东°＋ (其中＝
°)且与点A相距 海里的位置C.
2018版高中数学人教B版必修五学案第一单元 章末复习课 Word版含答案
学习目标.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.能灵活、熟练运用正弦、余弦定理解三角形．
．能解决三角形与三角变换的综合问题及实际问题.
知识点一正弦定理及其推论
设△的外接圆半径为，则
()＝＝＝.
()＝，＝，＝.
()＝，＝，＝.
()在△中，>⇔⇔.
知识点二余弦定理及其推论
．＝，＝，＝.
．＝；＝；＝.
．在△中，＝＋⇔为；>＋⇔为；<＋⇔为．
知识点三三角形面积公式
() ＝＝＝；
()＝＝＝.
类型一利用正弦、余弦定理解三角形
例如图，在△中，＝＝，＝，点在边上，∠＝°，求的长度．
反思与感悟解三角形的一般方法：
()已知两角和一边，如已知、和，由＋＋＝π求，由正弦定理求、.
()已知两边和这两边的夹角，如已知、和，应先用余弦定理求，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用＋＋＝π，求另一角．
()已知两边和其中一边的对角，如已知、和，应先用正弦定理求，由＋＋＝π求，再由正弦定理或余弦定理求，要注意解可能有多种情况．
()已知三边、、，可应用余弦定理求、、.
跟踪训练
如图，在△中，∠＝，＝，点在边上，＝，∠＝.。
2018版高中数学人教B版必修五学案：第一单元 1.1-1 正弦定理一 含答案 精品
1．1.1正弦定理(一)学习目标 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法.2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．知识点一正弦定理的推导思考1如图，在Rt△ABC中，asin A、bsin B、csin C各自等于什么？思考2在一般的△ABC中，asin A＝bsin B＝csin C还成立吗？课本是如何说明的？梳理在任意△ABC中，都有asin A＝bsin B＝csin C，证明方法除课本提供的方法外，还可借助三角形面积公式，外接圆或向量来证明．知识点二正弦定理的呈现形式1.asin A＝____________＝__________＝2R (其中R 是____________)； 2．a ＝b sin A sin B ＝c sin A sin C＝2R sin A ；3．sin A ＝a2R ，sin B ＝________，sin C ＝________.知识点三 解三角形一般地，把三角形的三个角及其对边分别叫做三角形的______．已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做____________．类型一 定理证明例1 在钝角△ABC 中，证明正弦定理．反思与感悟 (1)本例用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使你理解更深刻，记忆更牢固．(2)要证a sin A ＝bsin B ，只需证a sin B ＝b sin A ，而a sin B ，b sin A 都对应CD .初看是神来之笔，仔细体会还是有迹可循的，通过体会思维的轨迹，可以提高我们的分析解题能力． 跟踪训练1如图，锐角△ABC 的外接圆O 半径为R ，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c .求证：asin A ＝2R .类型二 用正弦定理解三角形例2 已知△ABC ，根据下列条件，解三角形：a ＝20，A ＝30°，C ＝45°.反思与感悟 (1)正弦定理实际上是三个等式：a sin A ＝b sin B ，b sin B ＝c sin C ，a sin A ＝c sin C，每个等式涉及四个元素，所以只要知道其中的三个就可以求另外一个． (2)具体地说，以下两种情形适用正弦定理： ①已知三角形的任意两角与一边；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角．跟踪训练2 在△ABC 中，已知a ＝18，B ＝60°，C ＝75°，求b 的值．类型三 边角互化命题角度1 化简证明问题例3 在任意△ABC 中，求证：a (sin B －sin C )＋b (sin C －sin A )＋c (sin A －sin B )＝0.命题角度2 运算求解问题例4 在△ABC 中，A ＝π3，BC ＝3，求△ABC 的周长的最大值．反思与感悟 利用a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R 或正弦定理的变形公式a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)能够使三角形边与角的关系相互转化．跟踪训练3 在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若A ∶B ∶C ＝1∶2∶3，求a ∶b ∶c 的值．1. 在△ABC 中，一定成立的等式是( ) A ．a sin A ＝b sin B B ．a cos A ＝b cos B C ．a sin B ＝b sin AD ．a cos B ＝b cos A2．在△ABC 中，sin A ＝sin C ，则△ABC 是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．锐角三角形D ．钝角三角形3．在△ABC 中，已知BC ＝5，sin C ＝2sin A ，则AB ＝________. 4．在△ABC 中，a ＝3，b ＝2，B ＝π4，则A ＝________.1. 定理的表示形式：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，或a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C (k >0)．2. 利用正弦定理可以实现三角形中边角关系的相互转化：一方面可以化边为角，转化为三角函数问题来解决；另一方面，也可以化角为边，转化为代数问题来解决．答案精析问题导学 知识点一 思考1a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝c . 思考2 在一般的△ABC 中，a sin A ＝b sin B ＝csin C 仍然成立，课本采用边AB 上的高CD ＝b sin A＝a sin B 来证明． 知识点二 1.b sin B c sin C △ABC 外接圆的半径 3.b 2Rc 2R知识点三 元素 解三角形 题型探究 类型一例1 证明 如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点， 根据正弦函数的定义知：CDb ＝sin ∠CAD ＝sin(180°－A )＝sin A ， CDa＝sin B . ∴CD ＝b sin A ＝a sin B . ∴a sin A ＝b sin B. 同理，b sin B ＝csin C .故a sin A ＝b sin B ＝c sin C. 跟踪训练1 证明 连接BO 并延长，交外接圆于点A ′，连接A ′C ，则圆周角∠A ′＝∠A .∵A ′B 为直径，长度为2R ，∴∠A ′CB ＝90°，∴sin A ′＝BC A ′B ＝a2R ，∴sin A ＝a 2R ，即asin A ＝2R .类型二例2 解 ∵A ＝30°，C ＝45°， ∴B ＝180°－(A ＋C )＝105°， 由正弦定理得b ＝a sin B sin A ＝20sin 105°sin 30°＝40sin(45°＋60°) ＝10(6＋2)，c ＝a sin C sin A ＝20sin 45°sin 30°＝202，∴B ＝105°，b ＝10(6＋2)，c ＝20 2. 跟踪训练2 解 根据三角形内角和定理， A ＝180°－(B ＋C )＝180°－(60°＋75°)＝45°. 根据正弦定理，得b ＝a sin B sin A ＝18sin 60°sin 45°＝9 6.类型三 命题角度1例3 证明 由正弦定理，令a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C ，k >0.代入得 左边＝k (sin A sin B －sin A sin C ＋sin B sin C －sin B sin A ＋sin C sin A －sin C sin B ) ＝0＝右边， 所以等式成立． 命题角度2例4 解 设AB ＝c ，BC ＝a ，CA ＝b . 由正弦定理， 得a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3sin π3＝2 3. ∴b ＝23sin B ，c ＝23sin C ， a ＋b ＋c ＝3＋23sin B ＋23sin C ＝3＋23sin B ＋23sin ⎝⎛⎭⎫2π3－B ＝3＋23sin B ＋23⎝⎛⎭⎫32cos B ＋12sin B＝3＋33sin B ＋3cos B ＝3＋6sin ⎝⎛⎭⎫B ＋π6， ∴当B ＝π3时，△ABC 的周长有最大值9.跟踪训练3 解 ∵A ＋B ＋C ＝π， A ∶B ∶C ＝1∶2∶3， ∴A ＝π6，B ＝π3，C ＝π2，∴sin A ＝12，sin B ＝32，sin C ＝1.设a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝k (k >0)， 则a ＝k sin A ＝k 2，b ＝k sin B ＝32k ，c ＝k sin C ＝k ，∴a ∶b ∶c ＝12∶32∶1＝1∶3∶2.当堂训练1．C 2.B 3.25 4.π3或2π3。
2018版高中数学人教B版必修五学案：第一章 1-1-1 正弦定理二 含答案 精品
1.1.1 正弦定理(二)[学习目标] 1.熟记并能应用正弦定理的有关变形公式解决三角形中的问题.2.能根据条件，判断三角形解的个数.3.能利用正弦定理、三角变换、三角形面积公式解决较为复杂的三角形问题．[知识链接]以下关于正弦定理的叙述或变形错误的是 ． (1)在△ABC 中，若sin A a ＝cos B b ＝cos Cc ，则A ＝90°.(2)在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b .(3)在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A >B ；反之，若A >B ，则sin A >sin B . (4)在△ABC 中，asin A ＝b ＋c sin B ＋sin C .答案 (2)解析 对于(1)，由正弦定理可知，sin B ＝cos B ，sin C ＝cos C ，∴B ＝C ＝45°，故A ＝90°，故(1)正确．对于(2)，由sin 2A ＝sin 2B 可得A ＝B 或2A ＋2B ＝π， ∴a ＝b 或a 2＋b 2＝c 2，故(2)错误．对于(3)，在△ABC 中，sin A >sin B ⇔a >b ⇔A >B ，故(3)正确． 对于(4)，因为a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，所以asin A ＝b ＋c sin B ＋sin C ，故(4)正确．[预习导引]1．正弦定理的常见变形 (1)sin A ∶sin B ∶sin C ＝a ∶b ∶c .(2)a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝a ＋b ＋c sin A ＋sin B ＋sin C ＝2R . (3)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C . (4)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R .2．三角变换公式(1)sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β.(2)sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. (3)sin2α＝2sin αcos α.要点一 利用正弦定理判断三角形的形状例1 在△ABC 中，若sin A ＝2sin B cos C ，且sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，试判断△ABC 的形状． 解 方法一 在△ABC 中，根据正弦定理：a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ， ∴(a 2R )2＝(b 2R )2＋(c2R)2，即a 2＝b 2＋c 2. ∴A ＝90°，∴B ＋C ＝90°.由sin A ＝2sin B cos C ，得sin 90°＝2sin B cos(90°－B )， ∴sin 2B ＝12.∵B 是锐角，∴sin B ＝22，∴B ＝45°，C ＝45°. ∴△ABC 是等腰直角三角形．方法二 在△ABC 中，根据正弦定理，得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R (R 为△ABC 外接圆的半径)．∵sin 2A ＝sin 2B ＋sin 2C ，∴a 2＝b 2＋c 2，∴△ABC 是直角三角形且A ＝90°. ∵A ＝180°－(B ＋C )，sin A ＝2sin B cos C ， ∴sin(B ＋C )＝2sin B cos C . ∴sin B cos C －cos B sin C ＝0， 即sin(B －C )＝0.∴B －C ＝0，即B ＝C . ∴△ABC 是等腰直角三角形．规律方法 依据条件中的边角关系判断三角形的形状时，主要有以下两种途径：(1)利用正弦定理把已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等得出边的相应关系，从而判断三角形的形状；(2)利用正弦定理把已知条件转化为内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等变形得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A ＋B ＋C ＝π这个结论．在两种解法的等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解． 跟踪演练1 在△ABC 中，已知a 2tan B ＝b 2tan A ，试判断△ABC 的形状．解 在△ABC 中，由正弦定理得a sin A ＝bsin B ，∴a b ＝sin A sin B ，∴a 2b 2＝sin 2A sin 2B. 又∵a 2tan B ＝b 2tan A ，∴a 2b 2＝tan A tan B ，∴tan A tan B ＝sin 2A sin 2B，∴sin A cos A ＝sin B cos B ，即sin 2A ＝sin 2B . ∴2A ＝2B 或2A ＋2B ＝π，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 要点二 利用正弦定理求最值或范围例2 在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 分别对应边a ，b ，c ，且a ＝2b sin A ，求cos A ＋sin C 的取值范围．解 设R 为△ABC 外接圆的半径． ∵a ＝2b sin A ，∴2R sin A ＝4R sin B sin A ， ∴sin B ＝12.∵B 为锐角，∴B ＝π6.令y ＝cos A ＋sin C ＝cos A ＋sin [π－(B ＋A )] ＝cos A ＋sin(π6＋A )＝cos A ＋sin π6cos A ＋cos π6sin A＝32cos A ＋32sin A ＝3sin(A ＋π3)． 由锐角△ABC 知，π2－B <A <π2，∴π3<A <π2.∵2π3<A ＋π3<5π6， ∴12<sin(A ＋π3)<32， ∴32<3sin(A ＋π3)<32，即32<y <32. ∴cos A ＋sin C 的取值范围是(32，32)． 规律方法 在三角形中解决三角函数的取值范围或最值问题的方法： (1)利用正弦定理理清三角形中基本量间的关系或求出某些量．(2)将要求最值或取值范围的量表示成某一变量的函数(三角函数)，从而转化为函数的值域或最值问题．跟踪演练2 在△ABC 中，若C ＝2B ，求cb的取值范围．解 因为A ＋B ＋C ＝π，C ＝2B ，所以A ＝π－3B >0，所以0<B <π3，所以12<cos B <1.因为c b ＝sin C sin B ＝sin 2Bsin B ＝2cos B ，所以1<2cos B <2，故1<cb<2.要点三 正弦定理与三角变换的综合应用例3 已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a ＋c ＝2b ，且2cos 2B －8cos B ＋5＝0，求角B 的大小，并判断△ABC 的形状． 解 ∵2cos 2B －8cos B ＋5＝0， ∴2(2cos 2B －1)－8cos B ＋5＝0. ∴4cos 2B －8cos B ＋3＝0， 即(2cos B －1)(2cos B －3)＝0. 解得cos B ＝12或cos B ＝32(舍去)．∵0<B <π，∴B ＝π3.∵a ＋c ＝2b .由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B ＝2sin π3＝ 3.∴sin A ＋sin(2π3－A )＝3，∴sin A ＋sin2π3cos A －cos 2π3sin A ＝ 3. 化简得32sin A ＋32cos A ＝3，∴sin(A ＋π6)＝1.∵0<A <π，∴A ＋π6＝π2.∴A ＝π3，C ＝π3，即A ＝B ＝C .∴△ABC 是等边三角形．规律方法 借助正弦定理可以实现三角形中边角关系的互化，在转化为角的关系后，常常利用三角变换公式进行化简，从而进行三角形形状的判断、三角恒等式的证明．跟踪演练3 已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a 、b 为△ABC 的两边，A 、B 为两内角，试判断这个三角形的形状．解 设方程的两根为x 1、x 2，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B ，∴b cos A ＝a cos B .由正弦定理得2R sin B cos A ＝2R sin A cos B (R 为△ABC 外接圆的半径)， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0，sin(A －B )＝0. ∵A 、B 为△ABC 的内角， ∴0<A <π，0<B <π，－π<A －B <π， ∴A －B ＝0，即A ＝B . 故△ABC 为等腰三角形．1．在△ABC 中，AC ＝6，BC ＝2，B ＝60°，则角C 的值为( ) A. 45° B. 30° C ．75° D ．90° 答案 C解析 由正弦定理，得2sin A ＝6sin 60°，∴sin A ＝22.∵BC ＝2<AC ＝6， ∴A 为锐角． ∴A ＝45°.∴C ＝75°.2．在△ABC 中，若a cos A ＝b cos B ＝ccos C ，则△ABC 是( )A ．直角三角形B ．等边三角形C ．钝角三角形D ．等腰直角三角形答案 B解析 由正弦定理知：sin A cos A ＝sin B cos B ＝sin Ccos C ，∴tan A ＝tan B ＝tan C ，∴A ＝B ＝C .3．在△ABC 中，2a sin A －b sin B －csin C ＝ .答案 0 解析 由于a sin A ＝b sin B ＝c sin C ，所以2a sin A －b sin B －c sin C ＝(a sin A －b sin B )＋(a sin A －c sin C)＝0. 4．在△ABC 中，a ＝23，b ＝6，A ＝30°，判断三角形是否有解，若有解，解该三角形． 解 a ＝23，b ＝6，a ＜b ，A ＝30°＜90°. 又因为b sin A ＝6sin 30°＝3，a ＞b sin A ， 所以本题有两解，由正弦定理得：sin B ＝b sin A a ＝6sin 30°23＝32，故B ＝60°或120°.当B＝60°时，C＝90°，c＝a2＋b2＝43；当B＝120°时，C＝30°，c＝a＝2 3.所以B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝2 3.1．已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形解的情况可能无解，也可能一解或两解．首先求出另一边的对角的正弦值，当正弦值大于1或小于0时，这时三角形解的情况为无解；当正弦值大于0小于1时，再根据已知的两边的大小情况来确定该角有一个值或者两个值.2．判断三角形的形状，最终目的是判断三角形是不是特殊三角形，当所给条件含有边和角时，应利用正弦定理将条件统一为“边”之间的关系式或“角”之间的关系式．。
(人教B版必修5)第一章解三角形章末回顾学案(含答案)
第一章 解三角形 本章回顾1．三角形中的边角关系设△ABC 中，边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C. (1)三角形内角和定理 A ＋B ＋C ＝π.(2)三角形中的诱导公式sin(A ＋B)＝sin C ，cos(A ＋B)＝－cos C ， tan(A ＋B)＝－tan C ，sin A ＋B 2＝cos C 2，cos A ＋B 2＝sin C 2，tan A ＋B 2＝cot C 2.(3)三角形中的边角关系 a ＝b ⇔A ＝B ； a>b ⇔A>B ；a ＋b>c ，b ＋c>a ，c ＋a>b. (4)三角形中几个常用结论①在△ABC 中，a ＝bcos C ＋ccos B(其余两个略)； ②在△ABC 中，sin A>sin B ⇔A>B ；③在△ABC 中，tan A ＋tan B ＋tan C ＝tan Atan Btan C. 2．正弦定理 (1)正弦定理在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边边长分别为a ，b ，c ，则a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R. 其中R 是△ABC 外接圆半径． (2)正弦定理的变形公式正弦定理反映了三角形的边角关系．它有以下几种变形公式，解题时要灵活运用． ①a＝2Rsin A ，b ＝2Rsin B ，c ＝2Rsin C ；②sin A＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R；③sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；④sin A sin B ＝a b ，sin B sin C ＝b c ，sin C sin A ＝c a . 3．余弦定理 (1)余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a 2＝b 2＋c 2－2bccos A ； b 2＝a 2＋c 2－2accos B ； c 2＝a 2＋b 2－2abcos C. (2)余弦定理的推论cos A ＝b 2＋c 2－a22bc ；cos B ＝a 2＋c 2－b22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c22ab.4．三角形的面积 三角形面积公式S △＝12ah a ＝12bh b ＝12ch c ；S △＝12absin C ＝12acsin B ＝12bcsin A ；S △＝12(a ＋b ＋c)r (r 为△ABC 内切圆半径)；S △＝abc4R (R 为△ABC 外接圆半径)；S △＝－－－⎝⎛⎭⎪⎫其中p ＝12＋b ＋.5．解三角形的常见类型及解法在三角形的六个元素中，若知道三个，其中至少一个元素为边，即可求解该三角形，按已知条件可分为以6．已知两边及一边对角解三角形，解的个数的判断在△ABC 中，以已知a ，b ，A 为例一、构建方程(组)解三角问题例1如图所示，设P 是正方形ABCD 内部的一点，P 到顶点A 、B 、C 的距离分别是1,2,3，求正方形的边长． 解 设边长为x ，x>0， 在△ABP 中，cos∠ABP＝x 2＋22－124x ＝x 2＋34x，在△CBP 中，cos∠CBP＝x 2＋22－324x ＝x 2－54x，又cos 2∠ABP＋cos 2∠CBP＝1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋34x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2－54x 2＝1. ∴x 2＝5＋22或x 2＝5－2 2 所以，x ＝5±22， 即正方形的边长为5±2 2. 例2如图所示，测量人员沿直线MNP 的方向测量，测得塔尖A 处的仰角分别是∠AMB＝30°，∠ANB＝45°，∠APB ＝60°，且MN ＝PN ＝500 m ，求塔高AB.分析 设AB ＝h ，则MB ，NB ，PB 都可用h 来表示，在底面△BMP 中，MN ＝PN ＝500 m ，借助△MNB 与△MPB，利用公共角∠PMB，结合余弦定理的推论得出方程可求解．解 设AB ＝h ，∵AB⊥MB，AB⊥NB，AB⊥PB， 又∠AMB＝30°，∠ANB＝45°，∠APB＝60°，∴MB＝3h ，NB ＝h ，PB ＝33h.在△MPB 中，cos∠PMB＝MP 2＋MB 2－BP22MP·MB＝1 0002＋3h 2－13h22×1 000×3h. 在△MNB 中，cos∠NMB＝MN 2＋MB 2－BN22MN·MB＝5002＋3h 2－h 22×500×3h. ∴1 0002＋83h 22 0003h ＝5002＋2h21 0003h.整理，得h ＝2506.∴塔高AB 为250 6 m.二、构建目标函数解三角问题例3 如图所示，已知⊙O 的半径是1，点C 在直径AB 的延长线上，BC ＝1，点P 是⊙O 上半圆上的一个动点，以PC 为边作等边三角形PCD ，且点D 与圆心分别在PC 的两侧．(1)若∠POB＝θ，试将四边形OPDC 的面积y 表示为关于θ的函数； (2)求四边形OPDC 面积的最大值．分析 四边形OPDC 可以分成△OPC 与△PCD.S △OPC 可用12OP·OC·sin θ表示；而求△PCD 的面积关键在于求出边长PC ，在△POC 中利用余弦定理即可求出；至于面积最值的获得，则可通过三角函数知识解决．解 (1)在△POC 中，由余弦定理，得PC 2＝OP 2＋OC 2－2OP·OC·cos θ＝5－4cos θ， 所以y ＝S △OPC ＋S △PCD ＝12×1×2sin θ＋34×(5－4cos θ) ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＋534. (2)当θ－π3＝π2，即θ＝5π6时，y max ＝2＋534. 答 四边形OPDC 面积的最大值为2＋534.例4 甲船在A 处、乙船在甲船正南方向距甲船20海里的B 处，乙船以每小时10海里的速度向正北方向行驶，而甲船同时以每小时8海里的速度由A 处向北偏西60°方向行驶，问经过多少小时后，甲、乙两船相距最近？分析 利用余弦定理构建甲、乙两船的距离关于时间t 的目标函数，注意到t ＝2时，乙到达A 处，此时，甲地、乙地、A 地三处构不成三角形，要注意分类讨论．如图所示：解 设甲、乙两船经t 小时后相距最近，且分别到达P 、Q 两处，因乙船到达A 处需2小时． ①当0≤t≤2时，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝20－10t ，所以PQ ＝AQ 2＋AP 2－2AP·AQcos 120°＝ －2＋2－－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 ＝84t 2－240t ＋400＝221t 2－60t ＋100.②当t>2时，在△APQ 中，AP ＝8t ，AQ ＝10t －20，∴PQ＝AQ 2＋AP 2－2AQ·APcos 60°＝221t 2－60t ＋100.综合①②知，PQ ＝221t 2－60t ＋100 (t≥0)．当且仅当t ＝3021＝107时，PQ 最小．答 甲、乙两船行驶107小时后，相距最近．三、利用等价转化思想解三角问题例5 在△ABC 中，已知sin 2A ＋sin 2B －sin 2C sin 2A －sin 2B ＋sin 2C ＝1＋cos 2C1＋cos 2B，求证：△ABC 是等腰三角形或直角三角形． 分析 从题中的等式结构来看，情况较为复杂，且求证的是判定△ABC 为等腰三角形或直角三角形两种情况．因此，应综合应用正、余弦定理，先进行化简，再讨论．证明 应用正弦定理及二倍角公式，将已知等式变形为：a 2＋b 2－c 2a 2－b 2＋c 2＝2cos 2C2cos 2B，再由余弦定理将其变形为：2abcos C 2accos B ＝cos 2Ccos 2B，整理得cos C cos B ⎝ ⎛⎭⎪⎫b c －cos C cos B ＝0.∴cos C cos B ＝0或b c －cos C cos B ＝0， 若cos C cos B ＝0，则C ＝90°； 若b c －cos C cos B ＝0，依据正弦定理得sin B sin C ＝cos C cos B， 即sin Bcos B ＝sin Ccos C ．所以sin 2B ＝sin 2C. 所以2B ＝2C 或2B ＋2C ＝180°， 即B ＝C 或B ＋C ＝90°.综上所述，△ABC 是等腰三角形或直角三角形．例6 在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的三边长分别为a ，b ，c ，若a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2，a ＝43，B ＝45°，求△ABC的面积．分析 解决本题的突破口是由a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2联想到余弦定理，这就需要降次，自然就得进行等式的变形．变形后自然容易发现它与余弦定理的关系，进而应用余弦定理解决问题．解 因为a 3＋b 3－c 3a ＋b －c＝c 2，所以变形得(a ＋b)(a 2＋b 2－c 2－ab)＝0.因为a ＋b≠0，所以a 2＋b 2－c 2－ab ＝0，即a 2＋b 2－c 2＝ab. 根据余弦定理的推论得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝ab 2ab ＝12.又因为0°<C<180°，所以C ＝60°. 因为B ＝45°，A ＋B ＋C ＝180°，所以A ＝180°－(60°＋45°)＝75°.根据正弦定理得a sin A ＝bsin B，所以b ＝asin Bsin A ＝43×226＋24＝12－4 3.根据三角形的面积公式得S △ABC ＝12absin C ＝12×43×(12－43)×32＝36－12 3.四、构建辅助圆解三角应用题例7 (能力创新题)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A.某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 北偏东45°＋θ ⎝ ⎛⎭⎪⎫其中sin θ＝2626，0°<θ<90° 且与点A 相距1013海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位：海里/小时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．分析 第(1)问实际上就是求BC 长度，在△ABC 中，利用余弦定理求解即可；第(2)问警戒区域是以E 为中心的一个圆，半径为7(海里)，问题实质上可以看作直线BC 与圆E 是否有交点，因此可以构建辅助圆E 来求解．解(1)如图所示，AB ＝402， AC ＝1013，∠BAC＝θ，sin θ＝2626.由于0°<θ<90°， 所以cos θ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫26262＝52626. 由余弦定理得BC ＝AB 2＋AC 2－2AB·AC·cos θ＝10 5. 所以船的行驶速度为 1054060＝10523＝155(海里/小时)． (2)如图所示，以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B 、C 的坐标分别是B(x 1，y 1)、 C(x 2，y 2)，BC 与x 轴的交点为D. 由题设有，x 1＝y 1＝22AB ＝40，x 2＝ACcos∠CAD＝1013cos(45°－θ)＝30， y 2＝ACsin∠CAD＝1013sin(45°－θ)＝20.所以过点B 、C 的直线l 的斜率k ＝2010＝2，直线l 的方程为y ＝2x －40. 又点E(0，－55)到直线l 的距离d ＝|0＋55－40|1＋4＝35<7，所以船会进入警戒水域．五、利用正、余弦定理解平面几何问题例8 (竞赛竞技题)(斯特瓦尔特定理)在△ABC 中，D 是BC 边上一点，若BD ＝p ，DC ＝q ，求证：AD 2＝b 2p ＋c 2qp ＋q－pq.证明 如图所示，在△ABD 中， 由正弦定理：cos B ＝c 2＋p 2－AD22cp.在△ABC 中，由余弦定理：cos B ＝c 2＋a 2－b22ac.∴c 2＋p 2－AD 22cp ＝c 2＋a 2－b 22ca.∴c 2＋p 2－AD 2＝p a (c 2＋a 2－b 2)．∴AD 2＝c 2＋p 2－p a(c 2＋a 2－b 2)把a ＝p ＋q 代入后整理得：AD 2＝c 2－p p ＋q (c 2－b 2)－pq.即AD 2＝b 2p ＋c 2q p ＋q－pq.注 当D 为BC 中点时，p ＝q ，此时，AD ＝122b 2＋2c 2－a 2，即三角形中线长定理．斯特瓦尔特定理是三角形中线长定理推广，中线长定理是该定理的特例．1．构造三角形巧求代数式的值例1 设a ，b ，c 为正实数，且⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋ac ＋c 2＝16b 2＋3c 2＝27a 2＋ab ＋13b 2＝25，求ab ＋2bc ＋3ac 的值．解 a 2＋ac ＋c 2＝a 2＋c 2－2accos 120°＝42； 13b 2＋c 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b 32＋c 2＝32； a 2＋ab ＋13b 2＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 32－2a·⎝ ⎛⎭⎪⎫b 3cos 150°＝52.三个条件式的结构都类似余弦定理，于是可以构造直角三角形ABC ，使∠C＝90°.AB ＝5，BC ＝3，CA ＝4，在直角三角形ABC 内作一点O ，使∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，则∠COA＝120°， 如图所示．OA ＝a ，OB ＝b3，OC ＝c.一方面：S △ABC ＝S △AOB ＋S △BOC ＋S △COA ＝12a·b 3·sin 150°＋12·b 3·c＋12·casin 120° ＝143(ab ＋2bc ＋3ac) 另一方面：S △ABC ＝12AC·BC＝12×4×3＝6.∴143(ab＋2bc＋3ac)＝6.即ab＋2bc＋3ac＝24 3.2．构造四面体巧证不等式例2设x>0，y>0，z>0，求证：x2－xy＋y2＋y2－yz＋z2>z2－zx＋x2.证明如图所示，构造四面体V—ABC，使∠AVB＝∠BVC＝∠CVA＝60°，且VA＝x，VB＝y，VC＝z，由余弦定理得AB＝x2＋y2－2xycos 60°＝x2－xy＋y2同理，BC＝y2－yz＋z2，CA＝z2－zx＋x2，在△ABC中，由于AB＋BC>CA，故有：x2－xy＋y2＋y2－yz＋z2>z2－zx＋x2.。
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第一章 解三角形
1 正弦定理的一个推论及应用
在初学正弦定理时，若问同学们这样一个问题：在△ABC 中，若sin A >sin B ，则A 与B 的大小关系怎样？那么几乎所有的同学都会认为A 与B 的大小关系不确定．若再问：在△ABC 中，若A >B ，则sin A 与sin B 的大小关系怎样？仍然会有很多同学回答大小关系不确定．鉴于此，下面我们讲讲这个问题． 一、结论
例1 在△ABC 中，sin A >sin B ⇔A >B .
分析 题中条件简单，不易入手．但既在三角形中，何不尝试用联系边角的正弦定理？ 证明 因为sin A >sin B ⇔2R sin A >2R sin B (其中R 为△ABC 外接圆的半径)，
根据正弦定理变式a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B (其中a ，b 分别为A ，B 的对边)，可得sin A >sin
B ⇔a >b ，
再由平面几何定理“大角对大边，小角对小边”，可得a >b ⇔A >B . 所以sin A >sin B ⇔A >B . 二、结论的应用
例2 在△ABC 中，A ＝45°，a ＝4，b ＝22，求B .
分析 在遇到这样的问题时，有的同学一看，这不正好用正弦定理嘛，于是就直接由正弦定理得B ＝30°或B ＝150°.其实这是错误的！错在哪儿？我们只需由上述结论即可发现． 解 由正弦定理，得sin 45°4＝sin B 22，sin B ＝12.
又sin B <sin A ，所以B <A ，所以B ＝30°.
点评 同学们在解题时，一定要根据问题的具体情况，恰当地选用定理．同时，使用正弦定理求角时，要特别小心，不要出现漏解或增解的情况． 例3 在△ABC 中，已知B ＝30°，b ＝3，c ＝33，求A .
分析 同学们在求解这个问题的时候，在用正弦定理求角C 时不要丢解． 解 由正弦定理及已知条件，得 sin C ＝
c sin B b ＝3
2
， 因为sin C >sin B ， 所以C >B ，所以C 有两解． (1)当C ＝60°时，有A ＝90°； (2)当C ＝120°时，有A ＝30°.
点评 除此之外，本题也可以利用余弦定理来求解.
2 三角形定“形”记
根据边角关系判断三角形的形状是一类热点问题．解答此类问题，一般需先运用正、余弦定理转化已知的边角关系，再进一步判断三角形的形状，这种转化一般有两个通道，即化角为边或化边为角．下面例析这两个通道的应用． 一、通过角之间的关系定“形”
例1 在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形
D ．正三角形
分析 通过三角形恒等变换和正弦、余弦定理，把条件式转化，直至能确定两角(边)的关系为止，即可判断三角形的形状．
解析 方法一 利用正弦定理和余弦定理， 2sin A cos B ＝sin C 可化为
2a ²a 2＋c 2－b 22ac
＝c ，即a 2＋c 2－b 2＝c 2，即a 2－b 2＝0，即a 2＝b 2
，故a ＝b .所以△ABC 是等腰
三角形．故选B.
方法二 因为在△ABC 中，A ＋B ＋C ＝π， 即C ＝π－(A ＋B )，所以sin C ＝sin(A ＋B )． 由2sin A cos B ＝sin C ，
得2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 即sin A cos B －cos A sin B ＝0，即sin(A －B )＝0. 又因为－π＜A －B ＜π，所以A －B ＝0，即A ＝B . 所以△ABC 是等腰三角形，故选B. 答案 B
点评 根据角的三角函数之间的关系判断三角形的形状，一般需通过三角恒等变换，求出角(边)之间的关系．
二、通过边之间的关系定“形”
例2 在△ABC 中，若sin A ＋sin C sin B ＝b ＋c
a ，则△ABC 是( )
A ．锐角三角形
B ．直角三角形
C ．等腰三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
分析 先运用正弦定理化角为边，根据边之间的关系即可判断三角形的形状． 解析 在△ABC 中，由正弦定理，可得
sin A ＋sin C sin B ＝a ＋c b ＝b ＋c
a ，整理得a (a ＋c )＝
b (b ＋
c )，
即a 2
－b 2
＋ac －bc ＝0，(a －b )(a ＋b ＋c )＝0. 因为a ＋b ＋c ≠0，所以a －b ＝0，即a ＝b ， 所以△ABC 是等腰三角形．故选C. 答案 C
点评 本题也可化边为角，但书写复杂，式子之间的关系也不易发现.
3 细说三角形中解的个数
解三角形时，处理“已知两边及其一边的对角，求第三边和其他两角”问题需判断解的个数，这是一个比较棘手的问题．下面对这一问题进行深入探讨． 一、出现问题的根源
我们作图来直观地观察一下．不妨设已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，作图步骤如下： ①先做出已知角A ，把未知边c 画为水平的，角A 的另一条边为已知边b ； ②以边b 的不是A 点的另外一个端点为圆心，边a 为半径作圆C ； ③观察圆C 与边c 交点的个数，便可得此三角形解的个数． 显然，当A 为锐角时，有如图所示的四种情况：
当A 为钝角或直角时，有如图所示的两种情况：
根据上面的分析可知，由于a ，b 长度关系的不同，导致了问题有不同个数的解．若A 为锐角，只有当a 不小于b sin A 时才有解，随着a 的增大得到的解的个数也是不相同的．当A 为钝角时，只有当a 大于b 时才有解． 二、解决问题的策略 1．正弦定理法
已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，求B . 根据正弦定理a sin A ＝b
sin B
，可得sin B ＝
b sin A
a
. 若sin B >1，三角形无解；若sin B ＝1，三角形有且只有一解；若0<sin B <1，B 有两解，再根据a ，b 的大小关系确定A ，B 的大小关系(利用大边对大角)，从而确定B 的两个解的取舍． 2．余弦定理法
已知△ABC 的两边a ，b 和角A ，求c . 利用余弦定理可得a 2
＝b 2
＋c 2
－2bc cos A ， 整理得c 2
－2bc cos A －a 2
＋b 2
＝0.
适合上述问题的一元二次方程的解c 便为此三角形的解． 3．公式法
当已知△ABC 的两边a ，b 和角A 时，通过前面的分析可总结三角形解的个数的判断公式如下表：
三、实例分析
例 在△ABC 中，已知A ＝45°，a ＝2，b ＝2(其中角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c )，试判断符合上述条件的△ABC 有多少个？
分析 此题为“已知两边和其中一边的对角”解三角形的问题，可以利用上述办法来判断△ABC 解的情况．。