第3章 动量定理

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起跳和落地时的肌肉和筋腱
足球、排球、体操等运动中，膝部要承受多达7-14倍的峰值体重
骨骼特有的自然力学结构将跳跃中的足以粉碎花岗岩的冲击力分解。
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3.1.2 质点组动量定理和动量守恒定律
定义：质点组中各质点动量的 矢量和称为质点组动量，即
p pi
i
考察质点组动量变化
dp d pi dpi f i外 dt f ji dt i i i j i fi外 dt f ji dt i i j i
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其分量式为 2.
普遍地说，物理量为状态参量的单值函数，该物理量 p m 则称为状态量或态函数。此处 为状态量 的函数，故 p是状态量。 只适用惯性系(非惯性系中须加入惯性力）
非惯性系
动量定理的微分形式
dI 外 dI 惯 dp
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3.由动量定理，可得牛顿第二定律的另一种表达式
f外 0，表明系统是与外界无相互作用孤立系。对
动量守恒定律是比牛顿定律更普遍的最基本的定律
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例题：已知：m<M，h，m和h并不很小
求：H
1）软绳由松到紧，M不动 v M、m受T和重力作用
0m
2 gh
m h H M
2）在绷紧瞬间达到同一末速度V
mV mv0 m Tt mgt
任何限定和要求；内力的存在仅影响各质点的动量，不 影响(系统)质点组的总动量。 2. 于孤立系统，大到宇宙，小到原子，必定有动量守恒。 尽管此处动量守恒从牛顿定律导出，但它的适用范围比 经典力学广泛得多。 3.动量守恒常用于碰撞打击等问题，此时f内>>f外，故忽 略外力，将系统当作动量守恒系统处理——近似处理。
火箭
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推导：选地面作参照系，水平飞行，忽略空气阻力
v
M t
（1) t 时刻: 火箭+燃料=M
u v
Wdt
v dv
M Wdt
dM (2) 经 dt 时间后 , 质量为 Wdt 的燃料喷出， W 0 dt 其相对火箭的喷出速度为u
在 t+dt 时刻：火箭对地速度为v+dv，系统总动量的大小为
l 总压力 N 3Mg L
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3.4 变质量物体的运动 增质型
m
F
v
冲量
一对内力的冲量之和为0
v
m dm
F
v dv
初动量
dm
动量定理 略去高阶小量
Fdt (m dm)(v dv ) (mv v dm) dv dm m F (v v ) dt dt
作用在质点组上的合外力的冲量等于质点组动量的增量 ——质点组动量定理(源于质点动量定理和牛顿第三定律)
质点组动量守恒定律
当
f外 0 时， p p0 0 或 p p0 c
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当作用在质点组上的合外力为零，则质点组动量保持不变
说明：
1.守恒条件表明，只要 f 外 0 ，则 p c ，对内力无
d m dp f dt dt
d f m dt m 普适，即相对论下，
尽管由牛顿定律导出，但比
m0 1 c
2 2
，上式仍成立。
d m dp 牛顿表述第二定律时采用的即为 f dt dt
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4
动量 P mv 是一个瞬时量，而力的冲量反映力的
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M0 V u ln M
3.化学燃料所能达到的最大 u 值为5km/s V 对质量比的依赖很不敏感，如要达到第二宇宙速度11.2km/s u=2.5 km/s，需要M0/M=88.2 (M/M0=0.011，燃料占99％) 用多级火箭在某一阶段扔掉多余的外壳避免这一困难 (提高 M0/M)减轻负担，节省燃料，可节省2/3的燃料。
它们对地面的速度为v，选向右为正方向。
Mv ( M Wdt )(v dv) Wdt (v u )
动量守恒适用于惯性系，故各量应对地面写出。
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v
M t
u v
Wdt
v dv
M Wdt
Mv Mv vWdt Mdv Wdtdv vWdt uWdt 忽略二阶小量
带电粒子在电场作用下获得的速度～3108 m/s ，比化学燃料喷射速 度 u 值大得多 , 由此引起人们对离子火箭, 光子火箭的遐想。可惜它们 喷出的物质太少, 从而推动力太小 ，即所需加速过程太长。
美国”深空一号”1998年发射：发动机产生0.09N推力，每 天消耗100克氙推进剂 ，每过一天速度增加25-32km/s
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应用质点动量 定理提取dt


根据牛顿第三定律， f ji f ij 故 f ji 0 简写
i j i
即 f ji f ij 0 f外 fi外
i
则有，微分式 积分式

f外 dt dp f外 dt dp
I p p0
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末动量
减质型
m
F
v
dm<0 冲量
m dm dm
F
v
v dv
动量定理 Fdt ( m dm)(v dv ) ( v dm) mv dv dm m F (v v ) 略去高阶小量 dt dt
质点所受合力的冲量等于分力的冲量之和
I

t2
t1
t2 f i dt f i dt I i
i

i
t1
i
质点动量定理的积分形式
dI dp I p p 2 p1
质点动量定理： 作用在质点上的力的冲量等于质点动量的增量
l 总压力 N N1 N 2 3Mg L
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解法二
将绳子作为一个整体，考虑它的受力与动量的增量 绳子受重力和支持力
dp d L l Mg N Mv dt dt L l Mv dl l Mv 2 l Mg Mg Mg Mg Mg 3 Mg L L dt L L L dl v; v 2 =2gl ; dt
(M+m)v0 Mv+m(-u+v) (M+m)v0=Mv+m(v-u) v=v0+mu/(M+m)
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人跑后系统的总动量为 动量守恒
例 下落的绳子对地面的压力 解法一
绳子下落长度 l 时，地面所受压力分两部分 l 静止绳子的压力 N1 Mg L 下落绳子的压力 下落速度
L
M
v 2 gl
l vdt N 2 dt dp dmv M v N 2 2 Mg L L
时间累积效应，是与过程有关的量。 恒力的冲量 F (t t ) ，若是变力，积分应注意矢量性
2 1
F
t1
t2
t
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车祸的撞击过程
通常的车祸并不是一次单一的撞击，而是一系列的撞击。 车祸包括三个主要因素即三次撞击。 第一次是汽车撞到物体上； 第二次是你的身体撞到汽车的内部； 第三次是突然停止，使你的内部器官撞击外部骨骼，这才是 真正的伤害。 只有这些危害得到科学的分析，汽车的设计才会得到改善。
Mdv uWdt udM
M0 v0 u ln M
M0——火箭初始质量 M ——净质量或有效载荷
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v
M t
几点说明
u v
Wdt
v dv
M Wdt
（1）实际过程中存在重力和空气阻力，动量不守恒。 在外层空间重力效应和空气阻力都足够小， 在一级近似中可忽略 （2）喷出物质的速度可以写成－u+v，也可以写成-u+v+dv， 只是差一个高级小量，但不影响结果。
第三章 动量定理和动量守恒定律
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3.1 动量定理和动量守恒定律
3.1.1 质点动量定理
力对质点作用一段时间产生的效果
f ma
力的冲量 质点的动量
dI fdt
d f m dt fdt d (m )
p m
dI dp
2
质点动量定理的微分形式
(mg T ) 0 V 2 H m ( Mg T ) 2 h 0 V 2 ( H ) M M m V2 m2 h H 2 h 2 2 M m 2g M m M 1 m
2
m
H M
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例题：光滑地面，初始：m，M，v0（右） 最后，人：相对于车u (左) 求：车的速率v？ 解： 以人、车为系统，在水平方向上不受外力作用，动量守恒。 人相对于地面的速度 系统原总动量 -u+v
质点动量守恒Biblioteka Baidu律
当作用在质点上的合力等于零时，质点动量保持不变，即
f 0, p p0 0 或 p p0 c
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说明： 1.矢量性：
物理量 I 、p 为矢量，动量定理为矢量方程。
I i pi pi 0 i x, y, z p 为状态量， I 为过程量：
末动量
初动量
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变质量物体的运动方程
dv dm m F (v v ) dt dt
右边第一项：物体所受外力 右边第二项：物体质量变化产生的作用力
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3.2 火箭推进速度
3.2.1 火箭推进速度
概述 火箭：自带燃料，靠喷气推进的飞行器，可在无空 气的太空中飞行 原理：质点组动量规律 用途：和平——发射卫星、宇宙飞船等 军事——弹头
MV 0 Tt Mgt
mv0 m M m g t V M m M m
t 0
mv0 m V M m
重力有限大 产生的冲量可以忽略(P58) 12
3）m和M一起运动，达到最大位移H 匀加速直线运动公式
2 v 2 v0 2 a ( x x0 )