现代控制理论第一章答案1
现代控制理论习题解答(第一章)

Ra
La
i f = 常数
ua
f ia D J
ω
ML
【解】: 设状态变量为:
题 1-2 图
⎡ x1
⎢ ⎣
x
2
⎤ ⎥ ⎦
=
⎡ia ⎢⎣ω
⎤ ⎥ ⎦
其中 ia 为流过电感上的电流, ω 电动机轴上的角速度。 电动机电枢回路的电压方程为:
eb 为电动机反电势。 电动机力矩平衡方程为
•
ua = La ia + Ra ⋅ ia + eb
(4) y (4) + 3y + 2y = −3u + u
【解】:
5
在零初始条件下,方程两边拉氏变换,得到传递函数,再根据传递函数求状态空间 表达式。 此题多解,一般写成能控标准型、能观标准型或对角标准型,以下解法供参考。 (1)传递函数为:
状态空间表达式为:
G(s) =
2
s3 + 2s2 + 4s + 6
1⎤
R 2 C1 −1
R2C2
⎥ ⎥ ⎥
⎡ ⎢ ⎣
x1 x2
⎥⎦
⎤ ⎥ ⎦
+
⎡ ⎢ ⎢ ⎣
1
R1C1 0
⎤ ⎥⎥u i ⎦
y = u0 = [0
1]⎢⎡
⎣
x1 x2
⎤ ⎥ ⎦
(2)
设状态变量: x1 = iL 、 x2 = uc 而
1
根据基尔霍夫定律得: 整理得
•
iL = C uc
•
ui = R ⋅ iL + LiL + uc
•
M D = J ω + fω + M L
现代控制理论第版课后习题答案

现代控制理论第版课后习题答案Prepared on 22 November 2020《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式。
解:系统的模拟结构图如下: 系统的状态方程如下: 令y s =)(θ,则1x y =所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
解:由图,令32211,,x u x i x i c ===,输出量22x R y =有电路原理可知:•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为:1-4 两输入1u ,2u ,两输出1y ,2y 的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解:系统的状态空间表达式如下所示: 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图。
解:令..3.21y x y x y x ===,,,则有相应的模拟结构图如下: 1-6 (2)已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟结构图解:ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘(1) 画出其模拟结构图 (2) 求系统的传递函数 解:(2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量(3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010A 解:A 的特征方程 061166712230123=+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得:3,2,1321-=-=-=λλλ当11-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得: 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P(或令111-=p ,得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P ) 当21-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p 解得: 1232122221,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1423222122p p p P(或令112=p ,得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P )当31-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得: 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型(并联分解)(2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x解:A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 当31=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P当32=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P当13=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1(s)和W 2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时,系统的传递函数阵,并讨论所得结果 解:(1)串联联结 (2)并联联结1-11 (第3版教材)已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解:1-11(第2版教材) 已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数 解:1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示,并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为(1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b解法1: 解法2:求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011T 所以,状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。
现代控制理论课后习题答案
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现代控制理论课后习题答案第⼀章习题1.2求下列多项式矩阵()s D 和()s N 的两个不同的gcrd:()2223(),()1232s s s s s s s s s ??++== ? ?+-??D N 解:()()22232321s s s s s s s++ =++ ? ?D S N S ; ()3r 2,1,2E -:223381s s s s s s ??++ ?-- ? ???;()3r 2,3,3E :223051s s s s s ??++ ?- ? ???;()3r 1,3,2E s --:01051s s ?? ?- ? ;()3r 2,1,5E s -:01001s ?? ?;()3r 3,1,1E -:01000s ?? ? ? ???;()1r 2,3E :01000s ?? ? ? ???;()1r 1,2E :00100s ?? ?;所以⼀个gcrd 为001s ??;取任⼀单模矩阵预制相乘即可得另⼀个gcrd 。
1.9 求转移矩阵t A e (1)已知1141??=A ,根据拉⽒反变换求解转移矩阵tA e 。
(2) 已知412102113-?? ?= ? ?-??A ,根据C-H 有限项展开法求解转移矩阵t A e 。
解:(1)11()41s s s --??-= ?--??I A1110.50.50.250.2511(3)(1)(3)(1)13131()4141110.50.5(3)(1)(3)(1)(3)(1)3131s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s --+---+-+??-+-+ ? ?-=== ? ?---+ ?-+ ? ?-+-+-+-+?I A 3311330.5e 0.5e 0.25e 0.25e e ()e e 0.5e 0.5e t t t t t t tt t s ------??+-??=-= ??? ?-+?A L I A (2)由2412()12(1)(3)0113λλλλλλ--?? ?=--=--= ? ?--??A I -,得1,233,1λλ== 对1,23λ=,可以计算1,2()2rank λ=A I -,所以该特征值的⼏何重数为1。
《现代控制理论》第三版_.习题答案

K1
0 0 K1
K p
B 0 0 0 0 0
K1
T
K p
C 1 0 0 0 0 0;
1-3.
图
1-29
机械系统。M1
M
受外力
2
作用 f1 f2作用,求M1 M 2运动速度输出的
状态空间表达式。
解:微分方程 M1 y1 f1 K1(c1 c2 ) B1( y1 y2 )
M 2 y2 f2 K2c2 B2 y2 K1(c1 c2 ) B1( y1 y2 )
第一章 作业
参考答案
1-1. 求模拟结构图,并建立其状态空间 表达式。 解:状态方程:
x1 x2
x2
Kb J2
x3
x3
1 J1
x5 K p x6 x3 x4
Kp J1
x3
1 J1
x4
1 J1
x5
Kp J1
x6
x4 Kn x3 x5 K1(x6 x3 ) K1x3 K1x6
x 6
设状态变量 x = c1 c2 y1 y2 T
y y1 y2 T ,u f1 f2 T
令 x1 c1, x2 c2, x3 y1, x4 y2
x1 x3 x2 x4
x3
K1 M1
x1
K1 M1
x2
B1 M1
x3
B1 M1
x4
1 M1
f1
x4
K1 M2
x1
K1 K2 M2
第二章 作业
参考答案
2-4. 用三种方法计算eAt (定义法,约 当标准型,拉氏反变换,凯莱哈密顿)
(1)
A
0 4
1 0
直接法(不提倡使用,除非针对一些特
《现代控制理论》第三版_.习题答案

1 0 0 3 1 0 5 2 1 52 7 1 5 2 70 125 3 5 7 5 0 0 1 1 B 2 ; 2 5 5
1 0 a1 0 0 1 0 1 0 0 1 a2 3 7 5
0 B 0 1
C (b0 a0bn ) (bn1 an1bn ) 2 1 0
3 1 a 或者 2 2 1 a1 0 a0
e At I At 1 22 1 33 A t A t 2! 3! t2 t4 t6 t3 t5 1 4 16 64 , 4 16 t 2! 4! 6! 3! 5! 3 5 2 4 6 t t t t t t 4 16 64 , 1 4 16 64 3! 5! 2! 4! 6!
0 0 1 B M 1 0 0 0 0 1 M2
1 0 B 1 M1 B1 M2
1 B1 M1 B1 B2 M2
0
0 0 1 0 C 0 0 0 1
1-5. 根据微分方程, 写状态方程, 画模 拟结构图。
1 a2 a2 2 a1 3 2 a a a 1 2 2 a0
1 a2 a1
1 a2
12 b1 b0
b3 b 2 b1 1 b0
凯莱哈密顿法: 1,2 2 j
0 (t ) 1 1 e1t 1 2(e 2 jt e 2 jt ) (t ) 1 2t 4 2 jt 2 jt e j ( e e ) 2 1
《现代控制理论》第三版第一章.习题答案
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第一章 作业参考答案1-1. 求模拟结构图,并建立其状态空间表达式。
解:状态方程:()()()1223235634134561111435163131161611116111()bp pp n p p p p p K xx x x J xx K x x x J K K x x x x J J J J 16xK x xK x x K x K x K K x u x x K K K K K x x u K K K ===+--=--++==-=-+⎡⎤=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦=--+输出方程:1x θ=矩阵形式: =xAx +B u y =Cx 其中:211111110100000000011000000000000000b 1p p n p p K J K K J J J J K K K K K K K ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦A = 100000Tp K B K ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦[]100000C =;1-3. 图1-29机械系统。
1M 2M 受外力作用1f 2f 作用,求1M 2M 运动速度输出的状态空间表达式。
解:微分方程111112112()()M yf K c c B y y =---- 22222221121()12()M yf K c B y K c c B =--+-+ y y - 设状态变量[]1212Tc c y y x =[]12Ty y y =,[]12Tf f =u令11x c =,22x c =,31x y =,42x y = 13xx = 24xx = 1111312341111111K K B B x x x x x M M M M M =-+-++ f1121214124322221K K K B B B x x x x x M M M M M ++=--++22f所以 =xAx +B u y =Cx 其中:11111111112112220100001K K B B M M M M K K K B B B M M M M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥++⎢⎥--⎢⎥⎣⎦A =22 1200001010B M M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦C 00100001⎡⎤=⎢⎥⎦ ⎣1-5. 根据微分方程,写状态方程,画模拟结构图。
现代控制理论第3版(刘豹_唐万生)课后答案资料
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第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式。
图1-27系统方块结构图解:系统的模拟结构图如下:图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下:u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ,则1x y =所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U图1-28 电路图解:由图,令32211,,x u x i x i c ===,输出量22x R y =有电路原理可知:•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为:[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
《现代控制理论》第3版课后习题答案
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《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式。
11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解:系统的模拟结构图如下:)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下:u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n pb1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ,则1x y =所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
R1L1R2L2CU---------Uc ---------i1i2图1-28 电路图解:由图,令32211,,x u x i x i c ===,输出量22x R y =有电路原理可知:•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为:[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
《现代控制理论》课后习题全部答案(最完整打印版)
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第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式。
11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解:系统的模拟结构图如下:)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下:u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙阿令y s =)(θ,则1x y =所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解:由图,令32211,,x u x i x i c ===,输出量22x R y =有电路原理可知:∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为:[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
(完整word版)《现代控制理论》第3版课后习题答案
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《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式。
图1-27系统方块结构图解:系统的模拟结构图如下:图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下:u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ,则1x y =所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
U图1-28 电路图解:由图,令32211,,x u x i x i c ===,输出量22x R y =有电路原理可知:•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为:[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
《现代控制理论》刘豹著(第3版)课后习题答案(最完整版)
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第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式。
11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解:系统的模拟结构图如下:)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下:uKK x KK x KK x X K x K x x x x J Kx J x J K x J Kx x J K x x x ppppn pb 1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙令y s =)(θ,则1x y =所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙65432116543211111111265432100000100000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x xx x K K K K K K J K J J K J KJ K x x x x x xp p pp n pb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解:由图,令32211,,x u x i x i c ===,输出量22x R y =有电路原理可知:∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x Cx Cx x L x L R x uL x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为:[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000010111010x x x R y u L x x x CCL L R L L R x x x 。
现代控制理论课后习题答案
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绪论为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点,并且在以后参加考研考博考试直到工作中,为大家提供一个理论参考依据,我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》(刘豹第三版),希望大家好好利用这本辅助工具。
根据老师要求,本次任务分组化,责任到个人。
我们班整体分为五大组,每组负责整理一章习题,每个人的任务由组长具体分配,一个人大概分1~2道题,每个人任务虽然不算多,但也给同学们提出了要求:1.写清题号,抄题,画图(用CAD或word画)。
2.题解详略得当,老师要求的步骤必须写上。
3.遇到一题多解,要尽量写出多种方法。
本习题集贯穿全书,为大家展示了控制理论的基础、性质和控制一个动态系统的四个基本步骤,即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。
我们紧贴原课本,强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题,将各章节的知识点都有机地整合在一起,力争做到了对控制理论概念阐述明确,给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。
在课后题中出现的本章节重难点部分,我们加上了必要的文字和图例说明,让读者感觉每一题都思路清晰,简单明了,由于我们给习题配以多种解法,更有助于发散大家的思维,做到举一反三!这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管,魏琳琳同学负责分组和发布任务书,由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核,然后汇总到胡玉皓同学那里,并由他做最后的总审核工作,绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。
本书耗时两周,在同学的共同努力下完成,是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶,望大家能够合理使用,如发现错误请及时通知,欢迎大家的批评指正!2014年6月2日第一章 控制系统的状态空间表达式1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式图1-27系统方块结构图解:系统的模拟结构图如下:图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下:u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n pb1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ,则1x y =所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
现代控制理论第版课后习题答案
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现代控制理论第版课后习题答案Document number:WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式。
解:系统的模拟结构图如下: 系统的状态方程如下: 令y s =)(θ,则1x y =所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
解:由图,令32211,,x u x i x i c ===,输出量22x R y =有电路原理可知:•••+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为:1-4 两输入1u ,2u ,两输出1y ,2y 的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解:系统的状态空间表达式如下所示: 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图。
解:令..3.21y x y x y x ===,,,则有相应的模拟结构图如下: 1-6 (2)已知系统传递函数2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟结构图解:ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘(1) 画出其模拟结构图 (2) 求系统的传递函数 解:(2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量(3)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010A 解:A 的特征方程 061166712230123=+++=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得:3,2,1321-=-=-=λλλ当11-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得: 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P(或令111-=p ,得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P ) 当21-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p 解得: 1232122221,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1423222122p p p P(或令112=p ,得⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P )当31-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得: 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型(并联分解)(2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x解:A 的特征方程 0)3)(1(311212142=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 当31=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P当32=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p 解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P当13=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得3323132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P约旦标准型1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1(s)和W 2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时,系统的传递函数阵,并讨论所得结果 解:(1)串联联结 (2)并联联结1-11 (第3版教材)已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解:1-11(第2版教材) 已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数 解:1-12 已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示,并使驱动函数u 的系数b(即控制列阵)为(1)⎥⎦⎤⎢⎣⎡=11b解法1: 解法2:求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=1011T 所以,状态空间表达式为第二章习题答案2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。
《现代控制理论》课后习题答案1

G ( s) =
每一个环节的状态空间模型分别为:
1 2s + 5 ⋅ s+3 s+5
2 = −5 x 2 + u1 ⎧x ⎩ y = −5 x 2 + 2u1
1 = −3x1 + u ⎧x ⎨ ⎩ y1 = x1
又因为 y1 = u1 , 所以
和 ⎨
1 = −3 x1 + u ⎧x ⎨ 2 = x1 − 5 x 2 ⎩x y = 2 x1 − 5 x 2
由此得到的 d 就是状态空间实现中的直接转移项 D 。 1.6 在例 1.2.2 处理一般传递函数的状态空间实现过程中,采用了如图 1.12 的串联分解, 试问:若将图 1.12 中的两个环节前后调换,则对结果有何影响? 答: 将图 1.12 中的两个环节调换后 y a(s)
5
1.10
已知单输入单输出时不变系统的微分方程为:
(t ) + 3 y (t ) = u ( t ) + 6u ( t ) + 8u ( t ) y (t ) + 4 y
试求:(1)建立此系统状态空间模型的对角线标准形; (2)根据所建立的对角线标准形求系统的传递函数。 答: (1)由微分方程可得:
s 2 + 6s + 8 2s + 5 G(s) = 2 = 1+ 2 s + 4s + 3 s + 4s + 3
记
G 1 (s) =
其中,
c c 2s + 5 2s + 5 = = 1 + 2 , s + 4 s + 3 ( s + 1)( s + 3) s + 1 s + 3
王金城现代控制理论第一章_习题答案
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王金城化工出版社第1章习题参考答案:1-1(a )选123123,,,,,y y y v v v 为状态变量,根据牛顿定律,对1M ,有()11112121dv M g K y K y y M dt---= 对2M ,有()()222123232dv M g K y y K y y M dt+---= 对3M ,有()33323433dv M g K y y K y M dt+--= 令312112233415263,,,,,dy dy dyx y x y x y x v x v x v dt dt dt=========,整理得 ()()()122214253641112334233251262322233,,,,,K K K x x x x x x x x xg M M K K K K K x K K xx x g x x x g M M M M M +====-++++=-++=-+()()()1221123222223433300010000001000000010000001100010000K K K M M x x g K K K K M M M K K K M M ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦100000010000001000y x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(b )选12,12,,y y v v 为状态变量,根据牛顿定律,对1M ,有()11121111dv M g B v v K y M dt+--= 对2M ,有()22221212dv f M g B v B v v M dt+---= 令1211223142,,,dy dyx y x y x v x v dt dt ======,整理得 11113243134111,,K B Bxx x x x x x x g M M M ===--++ ,112434222B B B f x x x g M M M +=-++所以状态空间描述为1111111122220010000001000011100K B B xx g f M M M B B B M M M ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦10000100y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦1-2(a )取电感电流i 和电容电压u 为状态变量,列回路方程122c rc c c u u R (i )u u R di L u u dt u du C dt R ⎧=+++⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎪⎩令12c x i,x u,y u ===()1212121212112121211r R R R R L(R R )L(R R )L(R R )xx u R C R RC(R R )C(R R )-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦1222121212r R RR R y x u R R R R R R ⎡⎤=--+⎢⎥+++⎣⎦ (b )选择回路电流a i 和电枢角速度ω为状态变量,有aa a a ae di u R i L K dt ω=++ 力矩平衡方程:a a d J B K i ,dtωω+= 其中a K 为转矩常数 1a a e a a a a adi R K i u dt L L L ω=--+a a K d B i dt J J ωω=-- 令12a x i ,x ,ω==有10a e a aa a R K L L L xx u K B JJ -⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦ , []01y x ω==1-3 (1)传递函数为3221375Y(s )U(s )s s s =+++将传递函数中的公因子提出,于是有3123211375Y(s )s U(s )s s s----=+++ 按梅逊公式构建系统的状态变量图能控标准形:0100001057131x x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦u []200y x =能观标准形:0052107001130x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[]001y =x(2)传递函数为:2332132223123Y(s )s s s U(s )s s s s----++==++++ 按梅逊公式构建系统的状态变量图能控标准形:010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦[]210y x =能观标准形:003210010120x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[]001y x =(3)传递函数为:3212332123324515471547Y(s )s s s s s s U(s )s s s s s s------+++---==+++++++ 按梅逊公式构建系统的状态变量图状态空间描述为:010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦[]514y x u =---+(4)①12121221212121b s b b s b s Y(s )U(s )s a s a a s a s ----++==++++ 状态空间描述为:1322140101xx u x a a x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ ,[]21y b b x =②22121201200111s c Z(s )c c Y(s )c s c s c s s c c ---==++++ 状态空间描述为:332144000101x x y c c x x c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦ ,301z x c = 两系统串联,得112122332121440001000001000100x x a a x x u x x c c b b x x c c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦(5)由G(z)有,y(k+3)+4y(k+2)+5y(k+1)+2y(k)=u(k)令12312x (k )y(k )x (k )y(k )x (k )y(k )=⎧⎪=+⎨⎪=+⎩ 1230100100102541x (k )x(k )x (k )u(k )x (k )⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦[]123100x (k )y(k )x (k )x (k )⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(6)由G(z)有,y(k+3)+6y(k+2)+11y(k+1)+6y(k)=2u(k+2)+u(k+1)+2u(k)01001001061161x(k )x(k )u(k )⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦[]123212x (k )y(k )x (k )x (k )⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦1-4 (a )化简系统结构图得系统状态空间描述:1234010000010024220025025x x x u x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦ []0100y x =(b) 化简系统结构图得系统状态空间描述:1112221323255223735353xx u ///x x u ////--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ []110y x = []201y x =1-5 (1) 传递函数为21233212332322461246s s s s s G(s )s s s s s s ------++++==++++++ 能控标准形:010*********x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦[]231y x =能观标准形:006210430121x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦[]001y x =(2)传递函数为24422431332132s s s G(s )s s s s -----+-+==++++ 能控标准形:01000001000001020301xx u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦[]1300y x =-能观标准形:00021100030103000100x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦[]0010y x = 1-6(1) 24512122123123(s )(s )G(s )(s )(s )(s )s s s ++-==++++++++状态空间描述:100102010031x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,[]12122y x =- (2)223533313313(s )G(s )(s )(s )s s (s )+--==+++++++ 状态空间描述:310003010011x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦,[]333y x =-- 1-7(1)∵31I A ()()λλλ-=++ 1213,λλ=-=-∴1003A -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦11111111,p Ap ,p λλ⎡⎤=-==⎢⎥⎣⎦,22222131,p Ap ,p λλ⎡⎤=-==⎢⎥-⎣⎦∴1111P ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦1111112P ---⎡⎤=-⎢⎥-⎣⎦ 11112B P B -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦∴11020312x x u ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥-⎢⎥⎣⎦(2)1230123I A ,,,λλλλ-==-=-=-∴100020003A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦111111111,p Ap ,p λλ⎡⎤⎢⎥=-==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,2222212212,p Ap ,p λλ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦333331333,p Ap ,p λλ⎡⎤⎢⎥=-==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴1111231132P ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=---⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦137272304027162B P B -⎡⎤⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∴37271002020304000327162x x u ⎡⎤⎢⎥-⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎣⎦(3)519400433030114003433114j x j x j j ⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥-+⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦+⎢⎥⎢⎥⎣⎦1-8 (1)∵A 为友矩阵123012I A ,,λλλλ-====∴ 110010002A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 101112124P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1111B P B --⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ∴100101010021x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(2)212331031I A ()(),,λλλλλλ-=--====310030001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 120112111P ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 11335234B P B --⎡⎤⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ ∴3101330305200134x x u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦1-9(1)110061031002P -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦111000062300100111000152020233302100313000222AP AP -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1106203502BP B -⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦203640C CP ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ 11000621102203333502022xx u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦203640y x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (2)①1111I A I P AP P P P AP P (I A)P λλλλ-----=-=-=-11I A P I A P P P I A I A λλλλ---=-=-=-∴特征值不变②1111G(s )C(sI A)B CP(sI P AP )P B ----=-=- 111C P(sI P AP )P B ---⎡⎤=-⎣⎦11111C P(sI )P PP APP B C(sI A )B -----⎡⎤=-=-⎣⎦∴传递函数不变1-10证明:11G (s )c(sI A)b -=- 12G (s )c(sI A)b -=- ∵T T TA A ,b c ,c b ===∴12T T T T T T TG (s )b (sI A )c b (sI )A c -⎡⎤=-=-⎣⎦ [11T T T T T Tb (sI A )c b (sI A)c --⎤⎡⎤=-=-⎦⎣⎦11TTc(sI A )b G (s )-⎡⎤=-=⎣⎦ ∵系统为单输入单输出,11T G (s )G (S )= ∴两者传递函数相同。
《现代控制理论》课后习题答案(完整版)
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1-5
列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图。解:令 ,则有
相应的模拟结构图如下:
1-6
解:
1-7
‘
(1)画出其模拟结构图
(2) 求系统的传递函数解:
(2)
1-8
(3)(3)
解:A的特征方程
解得: 令得
(或令 ,得)
当 时,
解得: 令 得
1-9
(2)
解:A的特征方程
第一章习题答案
1-1
解:系统的模拟结构图如下:
系统的状态方程如下:
阿
令 ,则
所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
1-2
解:由图,令 ,输出量
有电路原理可知:既得
写成矢量矩阵形式为:
1-3
1-4 两输入 , ,两输出 , 的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式和传递函数阵。
1串联联结2并联联结1113版教材已知如图122所示的系统其中子系统的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数现代控制理论课后习题全部答111第版教材已知如图122所示的系统其中子系统的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数现代控制理论课后习题全部答112已知差分方程为试将其用离散状态空间表达式表示并使驱动函数u的系数b即控制列阵为所以现代控制理论课后习题全部答所以状态空间表达式为现代控制理论课后习题全部答第二章习题答案现代控制理论课后习题全部答现代控制理论课后习题全部答现代控制理论课后习题全部答24用三种方法计算以下矩阵指数函数第二种方法即拉氏反变换法
(1)
解法1:
解法2:
求T,使得得所以
当时,
当 时,
解之得令得
约旦标准型
《现代控制理论》课后习题全部答案(最完整打印版)
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第一章习题答案1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式。
11K s K K p +sK s K p 1+s J 11sK n 22s J K b -++-+-)(s θ)(s U 图1-27系统方块结构图解:系统的模拟结构图如下:)(s U )(s θ---+++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图1K pK K 1pK K 1+++pK n K ⎰⎰⎰11J ⎰2J K b ⎰⎰-1x 2x 3x 4x 5x 6x系统的状态方程如下:u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===∙∙∙∙∙∙阿令y s =)(θ,则1x y =所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙∙654321165432111111112654321000001000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp npb1-2有电路如图1-28所示。
以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
R1L1R2L2CU---------Uc---------i1i2图1-28 电路图解:由图,令32211,,x u x i x i c ===,输出量22x R y =有电路原理可知:∙∙∙+==+=++3213222231111x C x x x x R x L ux x L x R 既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=∙∙∙写成矢量矩阵形式为:[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡32121321222111321000*********x x x R y u L x x x CC L L R L L R x x x 。
现代控制理论课后习题答案
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绪论为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点,并且在以后参加考研考博考试直到工作中,为大家提供一个理论参考依据,我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制理论习题集》(刘豹第三版),希望大家好好利用这本辅助工具。
根据老师要求,本次任务分组化,责任到个人。
我们班整体分为五大组,每组负责整理一章习题,每个人的任务由组长具体分配,一个人大概分1~2道题,每个人任务虽然不算多,但也给同学们提出了要求:1、写清题号,抄题,画图(用CAD或word画)。
2、题解详略得当,老师要求的步骤必须写上。
3、遇到一题多解,要尽量写出多种方法。
本习题集贯穿全书,为大家展示了控制理论的基础、性质与控制一个动态系统的四个基本步骤,即建模、系统辨识、信号处理、综合控制输入。
我们紧贴原课本,强调运用统一、联系的方法分析处理每一道题,将各章节的知识点都有机地整合在一起,力争做到了对控制理论概念阐述明确,给每道题的解析赋予了较强的物理概念及工程背景。
在课后题中出现的本章节重难点部分,我们加上了必要的文字与图例说明,让读者感觉每一题都思路清晰,简单明了,由于我们给习题配以多种解法,更有助于发散大家的思维,做到举一反三!这本书就是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管,魏琳琳同学负责分组与发布任务书,由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核,然后汇总到胡玉皓同学那里,并由她做最后的总审核工作,绪论就是段培龙同学与付博同学共同编写的。
本书耗时两周,在同学的共同努力下完成,就是二班大家庭里又一份智慧与努力的结晶,望大家能够合理使用,如发现错误请及时通知,欢迎大家的批评指正!2014年6月2日第一章控制系统的状态空间表达式1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式图1-27系统方块结构图解:系统的模拟结构图如下:图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下:u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x pp p p n p b1611166131534615141313322211+--=+-==++--===••••••令y s =)(θ,则1x y =所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为[]⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••6543211654321111111126543210000010000000000000010010000000000010x x x x x x y uK K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p pp n p b1-2有电路如图1-28所示。
《现代控制理论》第3版刘豹课后习题答案完整免费
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《现代控制理论参考答案》第三版第一章答案1-1 试求图 1-27 系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式。
U (s) +K1+Kps K1+1K b(s)-K p s K1s-J1s J2s2-K ns图1-27系统方块结构图解:系统的模拟结构图如下:K p+K1+x x++1x K b x xU(s)K p-K1+-J1J2(s) --K1x4K nK p图1-30双输入--双输出系统模拟结构图系统的状态方程如下:x1x2x 2K b x3J 2x3K p K nx41K p x3J1x5x6 J1J1J1x4x3x5K 1 x3K1X6x6K1 x1K1 x6K1 u K p K p K p令(s)y ,则y x1所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为0 1 0 0 0 0x 1K b 00 x 1 0x 2J 2 0x 2K p K n 1 K p 0 x 3 0x 3J 1 J 1 J J 1 0 ux 4 x 40 1 0 0 0 00 K 1 0 0 K 1 x 5x 5K 1x 6x 6K 1 0K 1 K pK pK px 1x 2 y1 0 0 00 0x 3 x 4 x 5x 61-2 有电路如图 1-28 所示。
以电压 u(t ) 为输入量, 求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻 R 2上的电压作为输出量的输出方程。
R1 L1 L2i1i2C--------- UUc R2---------图1-28 电路图解:由图,令 i 1 x 1 , i 2x 2 , u cx 3 ,输出量 y R 2 x 2x 1R 1 x 11x 3 1 uR 1 x 1 L 1 x 1 x 3uL 1 L 1L 1R 21x 3L 2 xR 2 x 2 x 3x 2x 2有电路原理可知:2既得L 2L 2x 1x 2 C x 3x 31x 11x 2CCy R 2 x 2写成矢量矩阵形式为:。
现代控制理论课后习题答案
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精心整理绪论为了帮助大家在期末复习中能更全面地掌握书中知识点,并且在以后参加考研考博考试直到工作中,为大家提供一个理论参考依据,我们11级自动化二班的同学们在王整风教授的带领下合力编写了这本《现代控制分写清家的思维,做到举一反三!这本书是由11级自动化二班《现代控制理论》授课老师王整风教授全程监管,魏琳琳同学负责分组和发布任务书,由五个小组组组长李卓钰、程俊辉、林玉松、王亚楠、张宝峰负责自己章节的初步审核,然后汇总到胡玉皓同学那里,并由他做最后的总审核工作,绪论是段培龙同学和付博同学共同编写的。
本书耗时两周,在同学的共同努力下完成,是二班大家庭里又一份智慧和努力的结晶,望大家能够合理使用,如发现错误请及时通知,欢迎大家的批评指正!1-1 令(θ1-2既得22213322222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-=+-=+--=•••写成矢量矩阵形式为:1-3 有机械系统如图1.29所示,M 1和M 2分别受外力f 1和f 2的作用.求以M 1和M 2的运动速度为输出的状态空间表达式.解:即 对M 将x 1M 24x & 42M 221M 1221M 221M 3221M 4 输出状态空间表达式为 y 1=c 1=x 3 y 2=c 2=x 41-4 两输入1u ,2u ,两输出1y ,2y 的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式和传递函数阵。
解:系统的状态空间表达式如下所示: 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的的模拟结构图。
(1) 解:由微分方程得:系统的传递函数为W (s )=3s 752s s s23++++则状态空间表达式为: 相应的模拟结构图如下:(2) 解:由微分方程得:系统的传递函数为W (s )=3s 752s 3s ss232+++++则状态空间表达式为:相应的模拟结构图如下:1-6 已知系统传递函数(1))3)(1()1(10)(++-=S S S S S W(2)2)3)(2()1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟结构图解:(1)由 )3)(1()1(10)(++-=S S S S S W 可得到系统表达式为1527 3UX2x1yX 3X 2X 1(2)ss s s s s s s s W 31233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-++-=+++=1-7 给定下列状态空间表达式 (1) 画出其模拟结构图 (2) 求系统的传递函数 解:1-8 求下列矩阵的特征矢量: (1)A=⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2112 解:A 的特征方程:A I -λ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+2112λλ=542++λλ=0 解之得:1λ=-2+j ,2λ=-2-j;当1λ=-2+j 时,⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2112⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111p p =(-2+j)⎥⎦⎤⎢⎣⎡2111p p 解得:11p =-j 21p ,令11p =1,得1P =⎥⎦⎤⎢⎣⎡j 1; 当2λ=-2-j 时,⎥⎦⎤⎢⎣⎡---2112⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212p p =(-2-j)⎥⎦⎤⎢⎣⎡2212p p u X 4X 3X 2X 1y当11-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得: 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P(或令111-=p ,得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P ) 当21-=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p 解得: 1232122221,2p p p p =-= 令212=p 得⎥⎥⎤⎢⎢⎡-=⎥⎥⎤⎢⎢⎡=4222122p p P 当11=λ时,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3121113121115441-01-1-21p p p p p p 解得: 令311=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2133121111p p p P当2j 1552+=λ时, ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡3222123222122j 1555441-01-1-21p p p p p p 解得: 令122=p 得 ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=412j 153-33222122p p p P当λ=-3时⎥⎦⎤⎢⎣⎡2-112-⎥⎦⎤⎢⎣⎡2221P P =-3⎥⎦⎤⎢⎣⎡2221P P解之得P 21=-P 22,令P 21=1,得P 2=⎥⎦⎤⎢⎣⎡1-1故T=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-1111,1-T =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-21212121,则AT T 1-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--3001,B T 1-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-2121,CT=[]11, 故约旦标准型为.Z =⎥⎦⎤⎢⎣⎡3-001-Z , y=[]11Z (2)110021⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡•••3x 2x 1x =⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡31-12012-14⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡3x 2x 1x +⎥⎥⎥⎤⎢⎢⎢⎡357213u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2y 1y 解:解得当1λ当λ2当3λ=1时 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡31-12012-14⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332313P P P =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡332313P P P 解之得P 13=0,P 23=2P 33, 令P 33=1,的P 3=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡120故T=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101201011, 1-T =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---1221110101-T AT=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡100030013 1-T B=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1539472CT=⎥⎦⎤⎢⎣⎡302413 故约旦标准型为.Z =⎥⎥⎤⎢⎢⎡030013X+⎥⎥⎤⎢⎢⎡9472u Y=⎢⎣⎡231— s (2W W(s)=⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣++++21021s s s s +⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎣+++01s 143s s =⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎣+++++++2111)4)(2()3)(1(s s s s s s s 串联联接时,由于前一环节的输出为后一环节的输入,串联后等效非线性环节特性与两环节的先后次序有关,故改变向后次序等效特性会发生改变。
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习题解答2-12-22-32-42-52-62-72-82-92-102-112-122-132-142-152-162-172-182-1 如题图2-1所示为RLC 电路网络,其中()i U t 为输入电压,安培表的指示电流)(t i o 为输出量。
试列写状态空间模型。
题图2-1解: (1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式.()()()1()()()()()i L C L C R C C dU t L i t U t dtd i t i t i t C U t U t dt R =+=+=+(2) 在这个电路中,只要给定了储能R 元件电感L 和电容C 上的i L 和U C 的初始值,以及t ≥t 0时刻后的输入量U i (t ),则电路中各部分的电压、电流在t ≥t 0时刻以后的值就完全确定了。
也就是说,i L 和U C 可构成完整的描述系统行为的一组最少个数的变量组,因此可选i L 和为U C 状态变量,即x 1(t )=i L , x 2(t )=u C(3) 将状态变量代入电压电流的关系式,有122121111i dx x U dt L L dx x x dt C RC =-+=-经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组--状态方程11i 22110110x x L U L x x C RC ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦(4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程,1221110C x y U x x R R R ⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦(5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达式11i 221211011010x x L U L x x C RC x y x R ⎡⎤-⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2-2 如题图2-2所示为RLC 电路网络,其中1()v t 为输入电压,2()v t 为输出电压。
试列写状态空间模型。
题图2-2解: (1) 根据回路电压和节点电流关系,列出各电压和电流所满足的关系式.1121d d d d d d d d C L L C C C L u i L R i C u t t u u u R C R i C t t ⎧⎛⎫+-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪+=- ⎪⎪⎝⎭⎩(2) 选择状态变量.状态变量的个数应为独立一阶储能元件(如电感和电容)的个数.对本题x 1(t )=i L , x 2(t )=u C(3) 将状态变量代入电压电流的关系式,经整理可得如下描述系统动态特性的一阶矩阵微分方程组--状态方程121121211122112121()()10()()R R R R R L R R L x x u L x x R R R C R R C --⎡⎤⎡⎤⎢⎥++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥++⎣⎦(4) 列写描述输出变量与状态变量之间关系的输出方程,()11212111221212d d ()()C L x u R R R y u R i C R x Cx x t R R R R ⎡⎤⎡⎤⎛⎫==-=-=⎢⎥⎢⎥⎪++⎝⎭⎣⎦⎣⎦(5) 将上述状态方程和输出方程列写在一起,即为描述系统的状态空间模型的状态空间表达式121121211122112121121212121()()10()()()()R R R R R L R R L x x u L x x R R R C R R C x R R R y x R R R R --⎡⎤⎡⎤⎢⎥++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥++⎣⎦⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦2-3 设有一个弹簧-质量-阻尼器系统,安装在一个不计质量的小车上,如题图2-3所示。
u 和y为分别为小车和质量体的位移,k 、b 和m 分别为弹簧弹性系数、阻尼器阻尼系数和质量体质量阻尼器。
试建立u 为输入,y 为输出的状态空间模型。
题图2-3解:下面推导安装在小车上的弹簧-质量-阻尼器系统的数学模型。
假设0<t 时小车静止不动,并且安装在小车上面的弹簧-质量-阻尼器系统这时也处于静止状态(平衡状态)。
在这个系统中,()u t 是小车的位移,并且是系统的输入量。
当0t =时,小车以定常速度运动,即u = 常量。
质量的位移()y t 为输出量(该位移是相对于地面的位移)。
在此系统中,m表示质量,b 表示黏性摩擦系数,k 表示弹簧刚度。
假设阻尼器的摩擦力与yu - 成正比,并且假设弹簧为线性弹簧,即弹簧力与y u -成正比。
对于平移系统,牛顿第二定律可以表示为:ma F =∑式中,m 为质量,a 为质量加速度,F ∑为沿着加速度a 的方向并作用在该质量上的外力之和。
对该系统应用牛顿第二定律,并且不计小车的质量,我们得到:22()d y dy du m b k y u dt dt dt ⎛⎫=---- ⎪⎝⎭ 即: 22d y dy du m b ky b ku dt dt dt ++=+这个方程就是该系统的数学模型。
对这个方程进行拉普拉斯变换,并且令初始条件等于零,得到:)()()()(2s U k bs s Y k bs ms +=++取)()(s U s Y 与之比,求得系统的传递函数为:2()()()Y s bs kG s U s ms bs k +==++下面我们来求这个系统的状态空间模型。
首先将该系统的微分方程b k b k yy y u u m m m m ++=+与下列标准形式比较:1212o ya y a yb u b u b u ++=++ 得到:1b a m =, 2k a m =, 0o b =, 1b b m =,2k b m =即而得到:00111022211200b b b a mk b b a a m m ββββββ===-=⎛⎫=--=- ⎪⎝⎭并定义:102111x y u y b x xu x u m ββ=-==-=-可得到:1212222112212b xx u x u mk bk b xa x a x u x x u m m m m ββ=+=+⎡⎤⎛⎫=--+=--+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦输出方程为: 1y x =即:[]11222120110b xx m u k b x x k b mm m m x y x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎛⎫⎣⎦⎣⎦⎢⎥-⎣⎦⎢⎥⎪⎝⎭⎣⎦⎡⎤=⎢⎥⎣⎦2-4 题图2-4为登月舱在月球软着陆的示意图。
其中,m 为登月舱质量,g 为月球表面重力常数,m k -项为反向推力,k 为常数,y 为登月舱相对于地球表面着陆点的距离。
现指定状态变量组m x yx y x ===321 , 和 ,输入变量 m u = ,试列出系统的状态方程。
题图2-4解:本题属于由物理系统建立状态空间描述的基本题。
对给定力学系统,储能元件质量的相应变量即位置、速度和质量(本题中他也是随时间改变的),可被取为状态变量组m x yx y x ===321 , 和 。
基此,利用力学定律并考虑到输入变量mu =,先来导出 1223333xy x k gm g kx ym x u m m x x xm u ====-=-+==在将此方程组表为向量方程,就得到系统的状态方程:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1 0 0 0 0 0 00 1 033321321x k x g x x x x xx且由状态方程形式可以看出,给定力学系统为非线性系统。
2-5某磁场控制的直流电动机的简化原理图如题图2-5所示,其中电动机轴上的负载为阻尼摩擦,其摩擦系数为f ;电动机轴上的转动惯量为J 。
设输入为电枢电压u a 和激磁电压u f ,输出为电机转角θ,试列出系统的状态空间模型。
题图2-5解 设电动机的铁芯工作在非饱和区。
分析题图2-5所描述的电动机转速控制系统,可以写出电动机的主回路、励磁回路电压方程和轴转动运动方程为22d d d d d d a a a aff f f fu R i E i u R i L tM J ft t θθ=+=+=+式中,E a 和M 分别为如下电动机电枢电势和电动机转矩,且d d d d ae ef E C k i t t θθ=Φ=, m a m f a M C i k i i =Φ=式中,C e 和C m 分别为电动机的电枢电势常数和转矩常数;Φ为磁场的磁通量,其正比于励磁回路电流i f ;k e 和k m 分别为比例常数。
因此,主回路、励磁回路电压方程和轴转动运动可记为22d d d d d d d d aa a e f f f f f fm f a u R i k i ti u R i L t k i i J ft t θθθ⎧=+⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪=+⎪⎩(2-13)对于上述微分方程组,若已知电枢电流i f (t )、角位移θ(t )及其导数t t /d )(d θ在初始时刻t 0的值,以及电枢电压u a 和励磁回路电压u f ,则方程组有惟一解。
因此,可以选择状态变量为123d ()()(),()(),()d f t x t i t x t t x t t θθ===因此,由微分方程组(2-13)可得系统的状态方程为112313313131---f f f f m m a e a a R x x u L L x x k k u k x x f f x x i x x x J J J R J ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎛⎫-⎪== ⎪⎪⎝⎭⎩输出方程为y =θ=x 2由上述状态方程和输出方程可得系统的非线性状态空间模型为112323113321--f f f f m m e a a a R x x u L L x x k k k f x u x x x x JR JR J y x ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎪⎩=2-6 题图2-6为一化学反应器,它是一个均匀、连续流动单元,其中发生如下反应速率常数为k 的一级吸热反应A k→B该化工反应生产过程为:温度为常量θf,含A物质浓度为常量C Af的料液以Q(t)的流量进入反应器;假定流出的液体的流量也为Q(t),保持单元内液体体积为V;为了使化学反应向右进行,用蒸汽对反应器内的溶液进行加热,蒸汽加热量为q(t)。
试以料液的流量Q(t)和蒸汽加热量q(t)为输入,容器内的液体的温度θ(t)和物质B的浓度C B(t)为输出,建立状态空间模型。
题图2-6参见2.2小节例题2-7. 将以下系统输入输出方程变换为状态空间模型。