2017年春中考数学总复习滚动小专题(六)三角形有关的计算与证明试题

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山东数学中考分类汇编--有关三角形的综合证明题

有关三角形的综合证明题1．（（2018年滨州）已知，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，点D为BC的中点．（1）如图①，若点E、F分别为AB、AC上的点，且DE⊥DF，求证：BE＝AF；（2）若点E、F分别为AB、CA延长线上的点，且DE⊥DF，那么BE＝AF吗？请利用图②说明理由．2．（2017年东营）如图，在等腰三角形ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC 边上的一个动点（不与B、C重合），在AC上取一点E，使∠ADE＝30°．（1）求证：△ABD∽△DCE；（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．3.（2021年东营）已知点O是线段AB的中点，点P是直线l上的任意一点，分别过点A和点B作直线l的垂线，垂足分别为点C和点D．我们定义垂足与中点之间的距离为“足中距”．（1）[猜想验证]如图1，当点P与点O重合时，请你猜想、验证后直接写出“足中距”OC和OD的数量关系是．（2）[探究证明]如图2，当点P是线段AB上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．（3）[拓展延伸]如图3，①当点P是线段BA延长线上的任意一点时，“足中距”OC和OD的数量关系是否依然成立，若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；②若∠COD＝60°，请直接写出线段AC、BD、OC之间的数量关系．4．（2020•菏泽）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，点E在AC的延长线上，ED⊥AB于点D，若BC＝ED，求证：CE＝DB．5.（2018•菏泽）如图，AB∥CD，AB=CD，CE=BF．请写出DF与AE的数量关系，并证明你的结论．6．（2022•菏泽）如图1，在△ABC中，∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，在DA上取点E，使DE＝DC，连接BE、CE．（1）直接写出CE与AB的位置关系；（2）如图2，将△BED绕点D旋转，得到△B′E′D（点B′、E′分别与点B、E对应），连接CE′、AB′，在△BED旋转的过程中CE′与AB′的位置关系与（1）中的CE与AB的位置关系是否一致？请说明理由；（3）如图3，当△BED绕点D顺时针旋转30°时，射线CE′与AD、AB′分别交于点G、F，若CG＝FG，DC＝，求AB′的长．7.（2017年莱芜）已知△ABC与△DEC是两个大小不同的等腰直角三角形．（1）如图①所示，连接AE，DB，试判断线段AE和DB的数量和位置关系，并说明理由；（2）如图②所示，连接DB，将线段DB绕D点顺时针旋转90°到DF，连接AF，试判断线段DE和AF的数量和位置关系，并说明理由8.（2018年莱芜）已知△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D、E分别是AB、AC的中点，将△ADE绕点A按顺时针方向旋转一个角度α（0°＜α＜90°）得到△AD'E′，连接BD′、CE′，如图1．（1）求证：BD′＝CE'；（2）如图2，当α＝60°时，设AB与D′E′交于点F，求的值．9、（2019年莱芜）如图，已知等边△ABC，CD⊥AB于D，AF⊥AC，E为线段CD上一点，且CE＝AF，连接BE，BF，EG⊥BF于G，连接DG．（1）求证：BE＝BF；（2）试说明DG与AF的位置关系和数量关系．10.（2017年聊城）如图，已知AB∥DE，AB＝DE，BE＝CF，求证：AC∥DF．11.（2017临沂）数学课上，张老师出示了问题：如图1，AC，BD是四边形ABCD 的对角线，若∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？经过思考，小明展示了一种正确的思路：如图2，延长CB到E，使BE=CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC=CE，所以AC=BC+CD．小亮展示了另一种正确的思路：如图3，将△ABC绕着点A逆时针旋转60°，使AB与AD重合，从而容易证明△ACF是等边三角形，故AC=CF，所以AC=BC+CD．在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图4，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小颖提出的问题，请你写出结论，并给出证明．（2）小华提出：如图5，如果把“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=60°”改为“∠ACB=∠ACD=∠ABD=∠ADB=α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？针对小华提出的问题，请你写出结论，不用证明．12．（2020•泰安）若△ABC和△AED均为等腰三角形，且∠BAC＝∠EAD＝90°．（1）如图（1），点B是DE的中点，判定四边形BEAC的形状，并说明理由；（2）如图（2），若点G是EC的中点，连接GB并延长至点F，使CF＝CD．求证：①EB＝DC，②∠EBG＝∠BFC．13．（2020•泰安）小明将两个直角三角形纸片如图（1）那样拼放在同一平面上，抽象出如图（2）的平面图形，∠ACB与∠ECD恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接BD，AB＝BD，点F是线段CE上一点．探究发现：（1）当点F为线段CE的中点时，连接DF（如图（2）），小明经过探究，得到结论：BD ⊥DF．你认为此结论是否成立？．（填“是”或“否”）拓展延伸：（2）将（1）中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点F为线段CE的中点．请判断此结论是否成立．若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．问题解决：（3）若AB＝6，CE＝9，求AD的长．14．（2021•威海）（1）已知△ABC，△ADE如图①摆放，点B，C，D在同一条直线上，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE＝45°．连接BE，过点A作AF⊥BD，垂足为点F，直线AF交BE于点G．求证：BG＝EG．（2）已知△ABC，△ADE如图②摆放，∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ACB＝∠ADE＝30°．连接BE，CD，过点A作AF⊥BE，垂足为点F，直线AF交CD于点G．求的值．15．（2022•威海）回顾：用数学的思维思考（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC．①BD，CE是△ABC的角平分线．求证：BD＝CE．②点D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD，CE．求证：BD＝CE．（从①②两题中选择一题加以证明）猜想：用数学的眼光观察经过做题反思，小明同学认为：在△ABC中，AB＝AC，D为边AC上一动点（不与点A，C重合）．对于点D在边AC上的任意位置，在另一边AB上总能找到一个与其对应的点E，使得BD＝CE．进而提出问题：若点D，E分别运动到边AC，AB的延长线上，BD与CE还相等吗？请解决下面的问题：（2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边AC，AB的延长线上，请添加一个条件（不再添加新的字母），使得BD＝CE，并证明．探究：用数学的语言表达（3）如图3，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠A＝36°，E为边AB上任意一点（不与点A，B重合），F为边AC延长线上一点．判断BF与CE能否相等．若能，求CF的取值范围；若不能，说明理由．16.（2022烟台）（1）【问题呈现】如图1，△ABC和△ADE都是等边三角形，连接BD，CE．求证：BD＝CE．（2）【类比探究】如图2，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°．连接BD，CE．请直接写出BDCE的值．（3）【拓展提升】如图3，△ABC和△ADE都是直角三角形，∠ABC＝∠ADE＝90°，且AB BC＝AD DE ＝34．连接BD，CE．①求BDCE的值；②延长CE交BD于点F，交AB于点G．求sin∠BFC的值．17. （2020烟台）（12分）如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直【问题解决】如图1，若点D在边BC上，求证：CE+CF＝CD；【类比探究】如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由．18.（2019烟台）【问题探究】（1）如图1，△ABC和△DEC均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点B，D，E 在同一直线上，连接AD，BD．①请探究AD与BD之间的位置关系：；②若AC＝BC＝，DC＝CE＝，则线段AD的长为；【拓展延伸】（2）如图2，△ABC和△DEC均为直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝，BC＝，CD＝，CE＝1．将△DCE绕点C在平面内顺时针旋转，设旋转角∠BCD为α（0°≤α＜360°），作直线BD，连接AD，当点B，D，E在同一直线上时，画出图形，并求线段AD 的长．19．（2017烟台）【操作发现】（1）如图1，△ABC为等边三角形，现将三角板中的60°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板斜边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=30°，连接AF，EF．①求∠EAF的度数；②DE与EF相等吗？请说明理由；【类比探究】（2）如图2，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D，在三角板另一直角边上取一点F，使CF=CD，线段AB上取点E，使∠DCE=45°，连接AF，EF，请直接写出探究结果：①求∠EAF的度数；②线段AE，ED，DB之间的数量关系．20．（2019枣庄）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC于点D．（1）如图1，点M，N分别在AD，AB上，且∠BMN＝90°，当∠AMN＝30°，AB＝2时，求线段AM的长；（2）如图2，点E，F分别在AB，AC上，且∠EDF＝90°，求证：BE＝AF；（3）如图3，点M在AD的延长线上，点N在AC上，且∠BMN＝90°，求证：AB+AN ＝AM．21．（2020枣庄）在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是中线，AC＝BC，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AC交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图1，若CE＝CF，求证：DE＝DF；（2）如图2，在∠EDF绕点D旋转的过程中，试证明CD2＝CE•CF恒成立；（3）若CD＝2，CF＝，求DN的长．22．（2022枣庄）已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4cm，点P从点A出发，沿AB方向以每秒cm的速度向终点B运动，同时动点Q从点B出发沿BC方向以每秒1cm的速度向终点C运动，设运动的时间为t秒．（1）如图①，若PQ⊥BC，求t的值；（2）如图②，将△PQC沿BC翻折至△P′QC，当t为何值时，四边形QPCP′为菱形？23.（2018淄博）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是；位置关系是．（2）类比思考：如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．（3）深入研究：如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．24、（2019淄博）已知，在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD，AC＝AE，∠BAE＝∠DAC．求证：∠E＝∠C．25．（2018淄博）已知：如图，△ABC是任意一个三角形，求证：∠A+∠B+∠C=180°．。

江西省2017中考数学第二部分专题综合强化专题复习六特殊图形的计算与证明课件

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(2)如图所示，∵∠DAG＝∠ACB，∠DAE＝∠BAC， ∴∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝∠DAG＋∠DAE＋∠ABC＝180° ，又∵∠DAG＋ ∠DAE＋∠BAE＝180° ，∴∠BAE＝∠ABC，∵AC＝BC＝AE，∴∠BAC＝∠ABC， 1 ∴∠BAE＝∠BAC，∴AB⊥CE，且 CH＝HE＝ CE， 2 1 ∵AC＝BC，∴AH＝BH＝ AB＝3， 2 则 CE＝2CH＝8，BE＝5，∴BE＋CE＝13.
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∵PE＝1，∴PN＝2PE＝2，∴CE＝PC＋PE＝3， CE ∴CN＝＝2 3， cos30° ∵∠MNC＝60° ，CN＝MN＝MD， ∴△CNM 是等边三角形， ∵△ABN≌△CDM，∴AN＝CM＝2 3.
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如图，平行四边形ABCD中，AB＝3 cm，BC＝5 cm，∠B＝60°，G是CD的中点，E是边AD上的动点，EG的延长线与BC的延长线交于点F，连接CE，DF. (1)求证：四边形CEDF是平行四边形； 3.5 cm时，四边形CEDF是矩形； (2)①当AE＝_____ 2 cm时，四边形CEDF是菱形(直接写出答案)． ②当AE＝_____
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(2016沈阳)在△ABC中，AB＝6，AC＝BC＝5，将△ABC绕点A按顺时针方向旋转，得到△ADE ，旋转角为 α(0°＜ α ＜ 180°) ，点 B的对应点为点 D，点 C的对应点为点E，连接BD，BE. (1)如图，当α＝60°时，延长BE交AD于点F. ①求证：△ABD是等边三角形；
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【思路点拨】
本题考查等边三角形的判定，全等三角形的判定，锐角三角函
数和相似三角形的判定和性质．(1)①由三角形ABC中有两个60°而求得它为等边三
角形；②由△EBD也是等边三角形，连接DC，证得△ABE≌△CBD，在Rt△EDC中很容易证得结论． (2) 连接 DC ，证得△ABC∽△EBD ，设 BD ＝ x，在 Rt△EBD 中 DE ＝2x，由相似比即得到比值．

中考数学复习滚动小专题六三角形的有关计算与证明试题

2019-2020年中考数学复习滚动小专题六三角形的有关计算与证明试题1．(xx·齐齐哈尔)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，垂足分别为D ，E ，AD 与BE 相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan ∠ABD ＝1，AC ＝3时，求BF 的长．解：(1)证明：∵在△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠FDB ＝∠ADC＝∠BEC＝90°.∴∠C ＋∠DAC＝∠C＋∠FBD＝90°，即∠D AC ＝∠FBD.∴△ACD ∽△BFD.(2)∵tan ∠ABD ＝1，∴AD ＝BD.由(1)，得∠DAC＝∠FBD，∠FDB ＝∠ADC＝90°，∴△ACD ≌△BFD.∴BF ＝AC ＝3.2．(xx·滨州)如图，已知B ，C ，E 三点在同一条直线上，△ABC 与△DCE 都是等边三角形，其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F ，求证：(1)△ACE≌△BCD；(2)AG GC ＝AF FE.证明：(1)∵△ABC 与△CDE 都为等边三角形，∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠DCE＝60°.∴∠ACB ＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠ACE＝∠BCD.∴△ACE ≌△BCD(SAS)．(2)∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC ＝∠AEC.∵∠GCD ＝∠FCE＝60°，∴△GCD≌△FCE(ASA)．∴CG ＝CF.又∵∠GCF＝60°，∴△CFG 为等边三角形．∴∠CGF ＝∠ACB＝60°.∴GF ∥CE.∴AG GC ＝AF FE.3．如图，AB ∥FC ，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，分别延长FD 和CB 交于点G.(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若GB ＝2，BC ＝4，BD ＝1，求AB 的长．解：(1) 证明：∵ AB∥FC，∴∠ADE ＝∠CFE.又∵∠AED＝∠CEF，DE ＝FE ，∴△ADE ≌△CFE(ASA)．(2)∵△ADE≌△CFE，∴AD ＝CF.∵AB ∥FC ，∴∠GBD ＝∠GCF，∠GDB ＝∠GFC.∴△GBD ∽△GCF.∴GB GC ＝BD CF. 又∵GB＝2，BC ＝4，BD ＝1，∴CF ＝3＝AD.∴ AB ＝AD ＋BD ＝3＋1＝4.4．如图，△ABC 和△AED 是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EAD＝90°，点D ，E 在∠BAC 的外部，连接DC ，BE.(1)求证：BE ＝CD ；(2)若将△AED 绕点A 旋转，直线CD 交直线AB 于点G ，交直线BE 于点K.若AC ＝8，GA ＝2，试求GC·KG 的值．解：(1)证明：∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BAC ＋∠BAD＝∠EAD＋∠BAD，即∠CAD＝∠BAE.∵AB ＝AC ，AE ＝AD ，∴△BAE ≌△CAD(SAS)．∴BE＝CD.(2)①当点G 在线段AB 上时，∵△BAE ≌△CAD ，∴∠ACD ＝∠ABE.又∵∠CGA＝∠BGK，∴△CGA ∽△BGK.∴AG KG ＝GC GB.∴AG·GB＝KG·GC. ∵AC ＝8，∴AB ＝8.∵GA ＝2，∴GB ＝6.∴GC·KG＝12；②当点G 在线段AB 延长线上时，如图．∵△BAE ≌△CAD ，∴∠ACD ＝∠ABE.又∵∠BGK＝∠CGA，∴△CGA ∽△BGK.∴AG KG ＝GC GB.∴AG·GB＝KG·GC. ∵AC ＝8，∴AB ＝8.∵GA ＝2，∴GB ＝10.∴GC ·KG ＝20.5．(xx·黄石)在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝2∠DAE ＝2α.(1)如图1，若点D 关于直线AE 的对称点为F ，求证：△ADF∽△ABC；(2)如图2，在(1)的条件下，若α＝45°，求证：DE 2＝BD 2＋CE 2；(3)如图3，若α＝45°，点E 在BC 的延长线上，则等式DE 2＝BD 2＋CE 2还能成立吗？请说明理由．图1 图2 图3解：(1)证明：∵点D 关于直线AE 的对称点为F ，∴∠EAF ＝∠DAE，AD ＝AF ，又∵∠BAC＝2∠DAE，∴∠BAC ＝∠DAF.∵AB ＝AC ，∴AB AD ＝AC AF. ∴△ADF ∽△ABC.(2)证明：∵点D 关于直线AE 的对称点为F ，∴EF ＝DE ，AF ＝AD.∵α＝45°，∴∠BAD ＝90°－∠CAD，∠CAF ＝∠DAE＋∠EAF－∠CAD＝45°＋45°－∠CAD＝90°－∠CAD. ∴∠BAD ＝∠CAF.在△ABD 和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAF，AD ＝AF ，∴△ABD ≌△ACF(SAS)．∴CF ＝BD ，∠ACF ＝∠B.∵AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，α＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形．∴∠B ＝∠ACB＝45°.∴∠ECF ＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°.在Rt △CEF 中，由勾股定理，得EF 2＝CF 2＋CE 2，∴DE 2＝BD 2＋CE 2.(3)DE 2＝BD 2＋CE 2还能成立．理由如下：作点D 关于AE 的对称点F ，连接EF ，CF.由轴对称的性质，得EF ＝DE ，AF ＝AD ，∵α＝45°，∴∠BAD ＝90°－∠CAD，∠CAF ＝∠DAE＋∠EAF－∠CAD＝45°＋45°－∠CAD＝90°－∠CAD. ∴∠BAD ＝∠CAF.在△ABD 和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD＝∠CAF，AD ＝AF ，∴△ABD ≌△ACF(SAS)．∴CF ＝BD ，∠ACF ＝∠B.∵AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，α＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形．∴∠B ＝∠ACB＝45°.∴∠BCF ＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°.在Rt △CEF 中，由勾股定理，得EF 2＝CF 2＋CE 2，∴DE 2＝BD 2＋CE 2.K mS<&28692 7014 瀔30562 7762 睢}22525 57FD 埽,36451 8E63 蹣32795 801B 耛。

中考数学一轮复习《三角形及其性质》练习题(含答案)

中考数学一轮复习《三角形及其性质》练习题（含答案）课时1一般三角形及等腰三角形(建议答题时间：40分钟)1. (2017泰州)三角形的重心是()A. 三角形三条边上中线的交点B. 三角形三条边上高线的交点C. 三角形三条边垂直平分线的交点D. 三角形三条内角平分线的交点2. (2017金华)下列各组数中，不可能成为一个三角形三边长的是()A. 2，3，4B. 5，7，7C. 5，6，12D. 6，8，103. (2017株洲)如图，在△ABC中，∠BAC＝x，∠B＝2x，∠C＝3x，则∠BAD的度数是()A. 145°B. 150°C. 155°D. 160°第3题图4. (2017甘肃)已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a＋b－c|－|c－a－b|的结果为()A. 2a＋2b－2cB. 2a＋2bC. 2cD. 05. (2017德阳)如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BE平分∠ABC交AC边于E，∠BAC＝60°，∠ABE＝25°，则∠DAC的大小是()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°第5题图第6题图6. (2017滨州)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，且DA＝DC，BD＝BA，则∠B的大小为()A. 40°B. 36°C. 30°D. 25°7. (2017荆州)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，AB的垂直平分线l交AC 于点D，则∠CBD的度数为()A. 30°B. 45°C. 50°D. 75°第7题图第8题图第9题图8. (2017郴州)小明把一副含45°，30°的直角三角板如图摆放，其中∠C＝∠F＝90°，∠A＝45°，∠D＝30°，则∠α＋∠β等于()A. 180°B. 210°C. 360°D. 270°9. (2017天津)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE是△ABC的两条中线，P是AD上的一个动点，则下列线段的长等于BP＋EP最小值的是()．A. BCB. CEC. ADD. AC10. (2017泰州)将一副三角板如图叠放，则图中∠α的度数为________．第10题图第12题图第13题图11. (2017成都)在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶4，则∠A的度数为________．12. (2017江西)如图①是一把园林剪刀，把它抽象为图②，其中OA＝OB，若剪刀张开的角为30°，则∠A＝________度．13. (2017湘潭)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC交AC于点D，DE垂直平分AB，垂足为点E，请任意写出一组相等的线段________．14. (2017徐州)△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，DE＝7，则BC＝________.15. (2017丽水)等腰三角形的一个内角为100°，则顶角的度数是________．16. (2017陕西)如图，在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线．若∠A ＝52°，则∠1＋∠2的度数为________．第16题图第18题图17. (2017淄博)在边长为4的等边三角形ABC中，D为BC边上的任意一点，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，则DE＋DF＝________. 18. (2017宁夏)在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝13DM，当AM⊥BM时，则BC的长为________．19. (2017达州)△ABC中，AB＝5，AC＝3，AD是△ABC的中线，设AD长为m，则m的取值范围是________．20. (2017内江)如图，AD平分∠BAC，AD⊥BD，垂足为点D，DE∥AC.求证：△BDE是等腰三角形．第20题图21. (2017北京)如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC 于点D.求证：AD＝BC.第21题图22. (2017连云港)如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD＝AE，连接BE、CD交于点F.(1)判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；(2)求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC.第22题图课时2直角三角形及勾股定理(建议答题时间：40分钟)1. 下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是()A. 3，4，5B. 1，2， 3C. 6，7，8D. 2，3，42. (2016沈阳)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝8，则BC的长是()A. 433 B.4 C. 83 D. 4 3第2题图第3题图3. (2017大连)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为()A. 2aB. 22aC. 3aD. 43 3a4. (2017黄石)如图，在△ABC中，E为BC边的中点，CD⊥AB，AB＝2，AC＝1，DE＝32，则∠CDE＋∠ACD＝()A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°第4题图第5题图5. (2017重庆巴蜀月考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，边AB的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若BC＝4，AC＝8，则BD＝()A. 3B. 4C. 5D. 66. (2017陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的△ABC和△A′B′C′拼在一起，其中点A′与点A重合，点C′落在边AB上，连接B′C.若∠ACB＝∠AC′B′＝90°，AC＝BC＝3，则B′C的长为()A. 3 3B. 6C. 3 2D. 21第6题图第7题图7. 关注数学文化(2017襄阳)“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b，若(a＋b)2＝21，大正方形的面积为13，则小正方形的面积为()A. 3B. 4C. 5D. 68. (2017株洲)如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是________度．第8题图第11题图第12题图9. (2017安顺)三角形三边长分别为3，4，5，那么最长边上的中线长等于________．10. (2017岳阳)在△ABC中，BC＝2，AB＝23，AC＝b，且关于x的方程x2－4x ＋b＝0有两个相等的实数根，则AC边上的中线长为________．11. (2017常德)如图，已知Rt△ABE中∠A＝90°，∠B＝60°，BE＝10，D是线段AE上的一动点，过D作CD交BE于C，并使得∠CDE＝30°，则CD长度的取值范围是________．12. (2017娄底)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝CB＝2，点D为AC的中点，点E，F分别是线段AB，CB上的动点，且∠EDF＝90°，若ED的长为m，则△BEF的周长是________．(用含m的代数式表示)13. (2017杭州)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，点D在边AC上，AD＝5，DE⊥BC于点E，连接AE，则△ABE的面积等于________．第13题图第14题图14. (2017武汉)如图，在△ABC中，AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，BD＝2CE，则DE的长为________．15. (2017山西)一副三角板按如图方式摆放，得到△ABD和△BCD，其中∠ADB ＝∠BCD＝90°，∠A＝60°，∠CBD＝45°.E为AB的中点，过点E作EF⊥CD于点F.若AD＝4 cm，则EF的长为________cm.第15题图第16题图16. (2017河南)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终．．落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为________．17. (2018原创)如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，∠A＝30°，D是边AB上一点，∠BDC＝45°，AD＝4，求BC的长．(结果保留根号)第17题图18. (2018原创)如图，在△ABC中，D为AC边的中点，且DB⊥BC，BC＝4，CD＝5.(1)求DB的长；(2)在△ABC中，求BC边上高的长．第18题图19. 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，(1)求AB的长；(2)求CD的长．第19题图20. (2017徐州)如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC＝4，BC＝33，将线段AC 绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC、DB.(1)线段DC＝________；(2)求线段DB的长度．第20题图答案课时1 一般三角形及等腰三角形1. A2. C3. B4. D【解析】由三角形中任意两边之和大于第三边，得：a＋b>c，∴c－a－b ＝c－(a＋b)<0，∴|c－a－b|＝a＋b－c，|a＋b－c|＝a＋b－c，∴|a＋b－c|－|c－a －b|＝0.5. B【解析】∵BE是∠ABC的角平分线，∴∠ABC＝2∠ABE＝50°，又∵∠BAC ＝60°，则∠C＝70°，又∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＝20°.6．B【解析】设∠C＝x°，∵AD＝DC，∴∠DAC＝∠C＝x°，∴∠ADB＝2x°，∵AB＝BD，∴∠BAD＝∠ADB＝2x°，∴∠B＝180°－4x°，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝x°，∴180°－4x°＝x°，解得x＝36，∴∠B＝∠C＝36°.7．B【解析】∵∠A＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝75°，又∵l为AB的垂直平分线，∴DB＝DA，∠DBA＝∠A＝30°∴∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝75°－30°＝45°.8. B【解析】如解图，∵∠C＝∠F＝90°，∴∠3＋∠4＝90°，∠2＋∠5＝90°，又∵∠2＝∠4，∴∠3＝∠5，∵∠1＝∠3，∴∠1＝∠5＝180°－∠β，∵∠α＝∠D＋∠1＝∠D＋180°－∠β，∴∠α＋∠β＝∠D＋180°＝30°＋180°＝210°.第8题解图9. B【解析】∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，∴AD⊥BC，∴AD是BC的垂直平分线，∴点B关于AD的对应点为点C，∴CE等于BP＋EP的最小值．10. 15°11. 40°12. 7513. CD＝DE14. 1415. 100°【解析】由三角形内角和定理可知，若等腰三角形的一个内角为100°，则这个内角为顶角，此时两底角均为40°，即该三角形顶角的度数是100°.16. 64°【解析】∵在△ABC中，BD和CE是△ABC的两条角平分线，∴∠1＝∠ABD＝12∠ABC，∠2＝∠ACE＝12∠ACB，∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)，∵∠ABC＋∠ACB＋∠A＝180°，∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－52°＝128°，∴∠1＋∠2＝12(∠ABC＋∠ACB)＝12×128°＝64°.17. 23【解析】假设点D与点B重合，可得DE＋DF为等边三角形AC边上的高，再由等边三角形的边长为4，可求AC边上的高为23，故DE＋DF＝2 3.18. 8【解析】∵AM⊥BM，∴∠AMB＝90°，在Rt△ABM中，∵D是AB的中点，∴DM＝12AB＝3，∵ME＝13DM，∴ME＝1，DE＝4，又∵DE∥BC，∴DE是△ABC的中位线，∴BC＝8.19. 1＜m＜4【解析】如解图，延长AD到点E，使AD＝ED，连接CE，∵AD 是△ABC的中线，∴BD＝CD，∵在△ABD和△ECD中，BD＝CD，DE＝AD，∠ADB＝∠EDC，∴△ABD≌△ECD(SAS)，∴AB＝EC，在△AEC中，∵AC＋EC＞AE，且EC－AC＜AE，即AB＋AC＞2AD，AB－AC＜2AD，∴2＜2AD＜8，∴1＜AD＜4即1＜m＜4.第11题解图20. 证明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC，∵DE∥AC，∴∠ADE＝∠DAC.∴∠BAD＝∠ADE，∵AD⊥BD，∴∠ADB＝90°，∴∠BAD＋∠B＝90°.∵∠BDE＋∠ADE＝90°，∴∠B＝∠BDE，∴BE＝DE，∴△BDE是等腰三角形．21. 解：∵AB＝AC∴在△ABC中，∠ABC＝∠C＝12(180°－∠A)＝12×(180°－36°)＝72°，又∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠DBC＝12∠ABC＝12×72°＝36°，∴∠ABD＝∠A，∴AD＝BD，又∵在△ABC中，∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°，∴∠BDC＝∠C，∴BD＝BC，∴AD＝BC.22. (1)解：∠ABE＝∠ACD.理由如下：∵AB＝AC，∠BAE＝∠CAD，AE＝AD，∴△ABE≌△ACD(SAS)．∴∠ABE＝∠ACD；(2)证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.由(1)可知∠ABE＝∠ACD，∴∠FBC＝∠FCB，∴FB＝FC.又∵AB＝AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即过点A、F的直线垂直平分线段BC.课时2直角三角形及勾股定理1. B2. D3. B【解析】∵CD⊥AB，CD＝DE＝a，∴CE＝2a，∵在△ABC中，∠ACB ＝90°，点E是AB的中点，∴AB＝2CE＝22a.4. C【解析】∵点E为BC边的中点，CD⊥AB，DE＝32，∴BE＝CE＝DE＝32，∴∠CDE ＝∠DCE ，BC ＝ 3.在△ABC 中，AC 2＋BC 2＝1＋(3)2＝4＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∴∠CDE ＋∠ACD ＝∠DCE ＋∠ACD ＝90°.5. C 【解析】设BD ＝x ，∵边AB 的垂直平分线交AC 于点D ，∴AD ＝BD ＝x ，则CD ＝8－x ，在Rt △BCD 中，根据勾股定理，得x 2－(8－x )2＝42，解得x ＝5.6. A 【解析】∵∠ACB ＝∠A ′C ′B ′＝90°，AC ＝BC ＝3，∴△ABC 是等腰直角三角形，∴∠CAB ＝45°，在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2＋BC 2＝32＋32＝32，又∵△ABC ≌△A ′B ′C ′， ∴A ′B ′＝ AB ＝32， ∠C ′A ′B ′＝∠CAB ＝45°，∴∠CAB ′＝∠C ′AB ′＋∠CAB ＝ 45°＋45°＝90°，在Rt △CAB ′中，AC ＝3，AB ′＝32，∴B ′C ＝AC 2＋AB′2＝32＋（32）2＝3 3.7. C 【解析】如解图，∵S 正方形ABCD ＝13，∴AB ＝13，∵AG ＝a ，BG ＝b ，∴a 2＋b 2＝AB 2＝13，∵(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝21，∴2ab ＝(a ＋b )2－a 2－b 2＝21－13＝8，∴ab ＝4，∴S △ABG ＝12ab ＝12×4＝2，∴S 小正方形＝S 大正方形－4S △ABG ＝13－4×2＝5.第7题解图8. 25 9. 5210. 2 【解析】∵方程x 2－4x ＋b ＝0有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝16－4b ＝0，解得b ＝4.又∵BC ＝2，AB ＝23，AC ＝b ＝4，∴AB 2＋BC 2＝(23)2＋22＝42＝AC 2，∴∠B ＝90°，∴AC 边上的中线长为2.11. 0<CD ≤5 【解析】如解图，取BE 的中点F ，连接AF ，∵∠A ＝90°，则AF ＝12BE ＝EF ＝5，∴∠EAF ＝∠E ＝90°－∠B ＝30°，又∵∠CDE ＝30°，∴∠CDE＝∠EAF ，∴CD ∥AF ，∴CD AF ＝EDEA .当D 与A 重合时，CD 与AF 重合，取得最大值为5，当D 接近于E 时，DE 越小，CD 越小，∵线段CD 不能为0，∴0<CD≤5.第11题解图12. 2＋2m【解析】如解图，连接BD，∵D为AC的中点，∴BD⊥AC，BD 平分∠ABC，∴∠BDC＝90°，∠ABD＝∠C＝45°，∴∠BDF＋∠FDC＝90°，又∵∠EDF＝90°，∴∠BDF＋∠BDE＝90°，∴∠CDF＝∠BDE，∴△BED≌△CFD(ASA)，∴BE＝CF，DE＝DF，则BE＋BF＋EF＝BC＋EF＝2＋EF，而Rt △DEF中，DE＝DF＝m，∴EF＝2m，则△BEF的周长为2＋ 2 m.第12题解图13. 78【解析】如解图，过点A作AH⊥BC于点H，∵AB＝15，AC＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC＝152＋202＝25，∵AD＝5，∴DC＝20－5＝15，∵DE⊥BC，∠BAC＝90°，∴△CDE∽△CBA，∴CECA＝CDCB，∴CE＝1525×20＝12.第13题解图14. 33－3【解析】∵AB＝AC＝23，∠BAC＝120°，∴BC＝6，∠B＝∠BCA ＝30°，如解图，将△ABD绕点A逆时针旋转120°得到△ACD′，∴∠D′CA＝∠B ＝30°，AD＝AD′，∴∠D′CE＝60°，∵∠DAE＝60°，∠DAD′＝120°，∴∠EAD′＝60°，∴△EAD′≌∠EAD(SAS)，∴ED′＝ED，∴ED′＋BD＋EC＝6，∴EC＝6－DE3，∵CD ′＝BD ＝2CE ，∠D ′CE ＝60°，∴∠D ′EC ＝90°，∴D ′E 2＋EC 2＝D ′C 2，即DE 2＋(6－DE 3)2＝(6－DE3×2)2，解得DE ＝33－3(负根舍去)．第14题解图15. 2＋6 【解析】如解图，连接DE ，在EF 上找一点G ，使得DG ＝EG ，连接DG ，在Rt △ABD 中，∠A ＝60°， ∴AD ＝12AB ，又∵E 为AB 的中点，∴AE ＝12AB ＝DE ，∴AD ＝AE ＝DE ，∴△ADE 为等边三角形，∴DE ＝AD ＝4 cm ，∠DEA ＝60°，又∵EF ⊥CD ，∠C ＝90°，∴EF ∥CB ，∴∠AEF ＝∠ABC ＝75°，∴∠DEF ＝15°，在Rt △EFD 中，∠EFD ＝90°，∵DG ＝EG ，∴∠GDE ＝∠DEF ＝15°，∴∠DGF ＝30°，设DF ＝x ，则EG ＝DG ＝2x ，FG ＝3x ，EF ＝(2＋3)x ，根据勾股定理得DF 2＋EF 2＝DE 2，即x 2＋(2＋3)2x 2＝16，解得x ＝6－2，∴EF ＝(2＋6) cm .第15题解图16. 2＋12或1 【解析】(1)当∠B ′MC 为直角时，此时点M 在BC 的中点位置，点B ′与点A 重合，如解图①，则BM 长度为12BC ＝2＋12；(2)当∠MB ′C 为直角时，如解图②，根据折叠性质得，BM ＝B ′M ，BN ＝B ′N ，B ′M ∥BA ，∴MC BC ＝B ′MAB ，即MC B ′M ＝BC AB ＝2，∴MC B ′M＝2，即MC ＋BM BM ＝2＋11，即BCBM ＝2＋11，∵BC＝2＋1，∴BM＝1.故BM长为2＋12或1.第16题解图17. 解：∵∠BDC＝45°，∠ABC＝90°，∴△BDC为等腰直角三角形，∴BD＝BC，∵∠A＝30°，∴BC＝12AC，在Rt△ABC中，根据勾股定理得AC2＝AB2＋BC2，即(2BC)2＝(4＋BD)2＋BC2，解得BC＝BD＝2＋23(负根舍去)．18. 解：(1)∵DB⊥BC，BC＝4，CD＝5，∴BD＝52－42＝3；(2)如解图，延长CB，过点A作AE⊥CB交CB延长线于点E，∵DB⊥BC，AE⊥BC，∴AE∥DB，∵D为AC边的中点，∴BD＝12AE，∴AE＝6，即BC边上高的长为6.第18题解图19. 解：(1)在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，∴AB＝AC2＋BC2＝202＋152＝25，即AB的长是25；(2)∵S△ABC＝12AC·BC＝12AB·CD，∴20×15＝25·CD，∴CD＝12.20. 解：(1) 4；【解法提示】在△ACD中，∵∠A＝60°，AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴DC＝AC＝4.(2)如解图，过点D作DE⊥BC于点E.第20题解图在△CDE中，∠DCE＝∠ACB－∠ACD＝90°－60°＝30°，CD＝4，∴DE＝2，根据勾股定理得CE＝CD2－DE2＝23，∴BE＝BC－CE＝33－23＝3，∴DB＝BE2＋DE2＝（3）2＋22＝7.。

2017中考专题复习--三角形与四边形证明与计算专题复习2

三角形与四边形证明与计算专题复习21.（2016陕西）如图，在▱ABCD 中，连接BD ，在BD 的延长线上取一点E ，在DB 的延长线上取一点F ，使BF=DE ，连接AF 、CE ．求证：AF ∥CE ．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AD=BC ，∴∠1=∠2，∵BF=DE ，∴BF+BD=DE+BD ，即DF=BE ，在△ADF 和△CBE 中，，∴△ADF ≌△CBE （SAS ），∴∠AFD=∠CEB ，∴AF ∥CE ．2.（2016山东菏泽）如图，点O 是△ABC 内一点，连结OB 、OC ，并将AB 、OB 、OC 、AC 的中点D 、E 、F 、G 依次连结，得到四边形DEFG ．（1）求证：四边形DEFG 是平行四边形；（2）若M 为EF 的中点，OM=3，∠OBC 和∠OCB 互余，求DG 的长度．解：（1）∵D 、G 分别是AB 、AC 的中点，∴DG ∥BC ，DG=BC ， ∵E 、F 分别是OB 、OC 的中点，∴EF ∥BC ，EF=BC ，∴DE=EF ，DG ∥EF ， ∴四边形DEFG 是平行四边形；（2）∵∠OBC 和∠OCB 互余，∴∠OBC+∠OCB=90°，∴∠BOC=90°，∵M 为EF 的中点，OM=3，∴EF=2OM=6．由（1）有四边形DEFG 是平行四边形，∴DG=EF=6． 10.（2015湖南邵阳）已知在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，现按如下步骤作图： ①分别以A ，C 为圆心，a 为半径（a ＞21AC ）作弧，两弧分别交于M ，N 两点；②过M ，N 两点作直线MN 交AB 于点D ，交AC 于点E ；③将△ADE 绕点E 顺时针旋转180°，设点D 的像为点F ．（1）请在图中直线标出点F 并连接CF ；（2）求证：四边形BCFD 是平行四边形；（3）当∠B 为多少度时，四边形BCFD 是菱形．解：（1）如图所示：（2）∵根据作图可知：MN 垂直平分线段AC ，∴D 、E 为线段AB 和AC 的中点，∴DE 是△ABC 的中位线，∴DE =BC ，∵将△ADE 绕点E 顺时针旋转180°，点D 的像为点F ，∴EF =ED ，∴DF =BC ，∵DE ∥BC ，∴四边形BCFD 是平行四边形；（3）当∠B =60°时，四边形BCFD 是菱形；∵∠B =60°，∴BC =AB ，∵DB =AB ，∴DB =CB ， ∵四边形BCFD 是平行四边形，∴四边形BCFD 是菱形．3.（2016山东滨州）如图，BD是△AB C的角平分线，它的垂直平分线分别交AB，BD，BC 于点E，F，G，连接ED，DG．（1）请判断四边形EBGD的形状，并说明理由；（2）若∠ABC=30°，∠C=45°，ED=2，点H是BD上的一个动点，求HG+HC的最小值．解：（1）四边形EBGD是菱形．理由：∵EG垂直平分BD，∴EB=ED，GB=GD，∴∠EBD=∠EDB，∵∠EBD=∠DBC，∴∠EDF=∠GBF，在△EFD和△GFB中，，∴△EFD≌△GFB，∴ED=BG，∴BE=ED=DG=GB，∴四边形EBGD是菱形．（2）作EM⊥BC于M，DN⊥BC于N，连接EC交BD于点H，此时HG+HC最小，在RT△EBM中，∵∠EMB=90°，∠EBM=30°，EB=ED=2，∴EM=BE=，∵DE∥BC，EM⊥BC，DN⊥BC，∴EM∥DN，EM=DN=，MN=DE=2，在RT△DNC中，∵∠DNC=90°，∠DCN=45°，∴∠NDC=∠NCD=45°，∴DN=NC=，∴MC=3，在RT△EMC中，∵∠EMC=90°，EM=．MC=3，∴EC===10．∵HG+HC=EH+HC=EC，∴HG+HC的最小值为10．4.（2016·贵州安顺）如图，在▱ABCD中，BC=2AB=4，点E、F分别是BC、AD的中点．（1）求证：△ABE≌△CDF；（2）当四边形AECF为菱形时，求出该菱形的面积．（1）证明：∵在▱A BCD中，AB=CD，∴BC=AD，∠ABC=∠CDA．又∵BE=EC=BC，AF=DF=AD，∴BE=DF．∴△ABE≌△CDF．（2）解：∵四边形AECF为菱形时，∴AE=EC．又∵点E是边BC的中点，∴BE=EC，即BE=AE．又BC=2AB=4，∴AB=BC=BE，∴AB=BE=AE，即△ABE为等边三角形，▱ABCD的BC边上的高为2×sin60°=，∴菱形AECF的面积为2．5.(2016河北）已知n边形的内角和θ=（n-2）×180°.（1）甲同学说，θ能取360°；而乙同学说，θ也能取630°.甲、乙的说法对吗？若对，求出边数n.若不对，说明理由；（2）若n边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x.。

(四川版)2017中考数学专题总复习专题六与三角形有关的证明和计算试题含答案

专题六与三角形有关的证明和计算(针对四川中考全等三角形和相似三角形)1．(2016²襄阳)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，且BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.(1)求证：AB ＝AC ；(2)若AD ＝23，∠DAC ＝30°，求AC 的长．解：(1)∵AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F ，∴DE ＝DF ，∠DEB ＝∠DFC ＝90°，在Rt △DEB 和Rt △DFC 中，⎩⎪⎨⎪⎧BD ＝CD ，DE ＝DF ，∴Rt △DEB ≌Rt △DFC ，∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC (2)∵AB ＝AC ，BD ＝DC ，∴AD ⊥BC ，在Rt △ADC 中，∵∠ADC ＝90°，AD ＝23，∠DAC ＝30°，∴AC ＝2CD ，设CD ＝a ，则AC ＝2a ，∵AC 2＝CD 2＋AD 2，∴4a 2＝a 2＋(23)2，∵a ＞0，∴a ＝2，∴AC ＝2a ＝42．(导学号 14952475)(2017²广元预测)在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝6，BC ＝8，D ，E 分别是斜边AB 和直角边CB 上的点，把△ABC 沿着直线DE 折叠，顶点B 的对应点是B′.(1)如图1，如果点B′和顶点A 重合，求CE 的长；(2)如图2，如果点B′和落在AC 的中点上，求CE 的长．解：(1)如图1，设CE ＝x ，则BE ＝8－x ；由题意得：AE ＝BE ＝8－x ，由勾股定理得：x 2＋62＝(8－x )2，解得x ＝74，即CE 的长为74(2)如图2，∵点B′落在AC 的中点，∴CB ′＝12AC ＝3.设CE ＝x ，类比(1)中的解法，可列出方程：x 2＋32＝(8－x )2，解得x ＝5516.即CE 的长为55163．(导学号 14952476)情境观察(1)将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A′C′D，如图1所示．将△A′C′D 的顶点A′与点A 重合，并绕点A 按逆时针方向旋转，使点D ，A (A′)，B 在同一条直线上，如图2所示．观察图2可知：与BC 相等的线段是__AD (A′D )__，∠CAC ′＝__90__°.问题探究(2)如图3，△ABC 中，AG ⊥BC 于点G ，以A 为直角顶点，分别以AB ，AC 为直角边，向△ABC 外作等腰Rt △ABE 和等腰Rt △ACF ，过点E ，F 作射线GA 的垂线，垂足分别为P ，Q .试探究EP 与FQ 之间的数量关系，并证明你的结论．解：(1)∵将矩形ABCD 纸片沿对角线AC 剪开，得到△ABC 和△A ′C ′D ，∴与BC 相等的线段是 AD 或A′D ，∵∠C ′AD ＝∠C ，∠C ＋∠CAB ＝90°，∴∠C ′AD ＋∠CAB ＝90°∴∠CAC ′＝90° (2)EP ＝FQ ，理由如下：∵Rt △ABE 是等腰三角形，∴EA ＝BA ，∠PEA ＋∠PAE＝90°，∠PAE ＋∠BAG ＝90°，∴∠PEA ＝∠BAG ，∴⎩⎪⎨⎪⎧∠EPA ＝∠AGB ，∠PEA ＝∠BAG ，EA ＝AB ，∴△ABG ≌△EAP (AAS )，∴AG ＝EP.同理AG ＝FQ.∴EP ＝FQ4．(导学号 14952477)(2016²武汉)在△ABC 中，P 为边AB 上一点．(1)如图1，若∠ACP＝∠B，求证：AC 2＝AP²AB；(2)若M 为CP 的中点，AC ＝2.①如图2，若∠PBM＝∠ACP，AB ＝3，求BP 的长；②如图3，若∠ABC＝45°，∠A ＝∠BMP＝60°，直接写出BP 的长．解：(1)∵∠ACP ＝∠B ，∠A ＝∠A ，∴△ACP ∽△ABC ，∴AC AP ＝AB AC，∴AC 2＝AP²AB (2)①取AP 的中点G ，连接MG ，设AG ＝x ，则PG ＝x ，BG ＝3－x ，∵M 是PC 的中点，∴MG ∥AC ，∴∠BGM ＝∠A ，∵∠ACP ＝∠P BM ，∴△APC ∽△GMB ，∴AP GM ＝AC GB ，即2x 1＝23－x ，∴x ＝3±52，∵AB ＝3，∴AP ＝3－5，∴PB ＝5；②过C 作CH⊥AB 于H ，延长AB 到E ，使BE ＝BP ，设BP ＝x ，则BE ＝BP ＝x ，∵∠ABC ＝45°，∠A ＝60°，∴CH ＝3，HE ＝3＋x ，∴CE 2＝(3)2＋(3＋x )2，∵BE ＝BP ，PM ＝CM ，∴BM ∥CE ，∴∠PMB ＝∠PCE ＝60°＝∠A ，∵∠E ＝∠E ，∴△ECP ∽△EAC ，∴CE EP ＝AE CE，∴CE 2＝EP²EA ，∴3＋3＋x 2＋23x ＝2x (x ＋3＋1)，∴x ＝7－1或x ＝－7－1(舍去)，∴BP ＝7－15．(导学号 14952478)(2016²徐州)已知：如图①，在▱ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝5 cm ，AC ⊥AB ，△ACD 沿AC 的方向匀速平移得到△PNM，速度为1 cm /s ；同时，点Q 从点C 出发，沿CB 方向匀速运动，速度为1 cm /s ，当点P 与点C 重合时△PNM 停止平移，点Q 也停止运动．如图②，设运动时间为t(s )．解答下列问题：(1)当t 为__4__s 时，点P 与点C 重合；(2)设△QMC 的面积为y (cm 2)，求y 与t 之间的函数关系式；(3)是否存在某一时刻t ，使PQ ⊥MQ ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)在如图①中，在Rt △ABC 中，因为∠BAC ＝90°，BC ＝5，AB ＝3，所以AC ＝BC 2－AB 2＝52－32＝4，∴t ＝4 s 时，点P 与点C 重合．故答案为4 (2)如图，作PD⊥BC 于点D ，AE ⊥BC 于点E ，由S △ABC ＝12AB²AC ＝12BC ²AE ，所以AE ＝125，在Rt △ACE 中，由勾股定理可得CE ＝165，因为PD⊥BC ，AE ⊥BC ，所以AE∥PD ，所以△CPD∽△CAE ，所以CP CA ＝CD CE ＝PD AE，即4－t 4＝CD 165＝PD 125，求得PD ＝12－3t 5，CD ＝16－4t 5，因为PM∥BC ，所以M 到BC 的距离h ＝PD ＝12－3t 5，所以△QMC 的面积y ＝12CQ³h ＝12³t³12－3t 5＝－310t 2＋65t (3)若PQ⊥MQ ，则∠MQP ＝∠PDQ ＝90°，因为MP∥BC ，所以∠MPQ ＝∠PQD ，所以△MQP∽△PDQ ，所以PM PQ ＝PQ DQ ，所以PQ 2＝PM³DQ ，即PD 2＋DQ 2＝PM²DQ ，由CD ＝16－4t 5，得DQ ＝CD －CQ ＝16－9t 5，故(12－3t 5)2＋(16－9t 5)2＝5³16－9t 5，整理得2t 2－3t ＝0解得t ＝32或0(舍弃)．答：当t ＝32s 时，PQ ⊥MQ6．(导学号 14952479)(2017²乐山预测)对于坐标平面内的点，现将该点向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，这种点的运动称为点的斜平移，如点P(2，3)经1次斜平移后的点的坐标为(3，5)，已知点A 的坐标为(1，0)．(1)分别写出点A 经1次，2次斜平移后得到的点的坐标；(2)如图，点M 是直线l 上的一点，点A 关于点M 的对称点为点B ，点B 关于直线l 的对称点为点C.①若A ，B ，C 三点不在同一条直线上，判断△ABC 是否是直角三角形？请说明理由； ②若点B 是由点A 经n 次斜平移后得到，且点C 的坐标为(7，6)，求出点B 的坐标及n 的值．解：(1)点A 经1次斜平移后得到的点的坐标为(2，2)，点A 经2次斜平移后得到的点的坐标为(3，4) (2)①连接CM ，如图1，由中心对称可知，AM ＝BM ，由轴对称可知：BM ＝CM ，∴AM ＝CM ＝BM ，∴∠MAC ＝∠ACM ，∠MBC ＝∠MCB ，∵∠MAC ＋∠ACM ＋∠MBC ＋∠MCB ＝180°，∴∠ACM ＋∠MCB ＝90°，∴∠ACB ＝90°，∴△ACB 是直角三角形；②延长BC 交x 轴于点E ，过点C 作CF⊥AE 于点F ，如图2，∵A (1，0)，C (7，6)，∴AF ＝CF ＝6，∴△ACF 是等腰直角三角形，由①得∠ACE ＝90°，∴∠AEC ＝45°，∴E 点坐标为(13，0)，设直线BE 的解析式为y ＝kx ＋b ，∵点C ，E 在直线上，可得：⎩⎪⎨⎪⎧13k ＋b ＝0，7k ＋b ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－1，b ＝13.∴y ＝－x ＋13，∵点B 由点A 经n 次斜平移得到，∴B (n ＋1，2n )，由2n ＝－n －1＋13，解得n ＝4，∴B (5，8)。

中考数学打基础系列三角形的基本计算与证明专题

备战中考数学打基础专题练习系列（三角形的基本计算与证明）专题总分：120分建议用时：100分钟一、选择题（30分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10选项1. 下列长度的3根小木棒不能搭成三角形的是（）A. 2cm，3cm，4cmB.1cm，2cm，3cmC. 3cm， 4cm，5cmD. 4cm，5cm， 6cm2. 如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，那么这个三角形是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.等边三角形3.如图，四个图形中，线段BE是△ABC的高的图是（）4.如图，已知BD是△ABC的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为21，12，则AB－BC的长是（）.A.6B.7C.8D.95. 如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E在BC边上,∠ABD=∠DAE=∠EAC=36°,则图中共有等腰三角形的个数是( )A.4B.5C.6D.76. 如图,在平面直角坐标系中,已知A(0,√3),B(-2,-√3),△ABC 是等边三角形,AD 是BC 边上的高,则点C 的坐标是 ( )A.(2,-√3)B.(-2,√3)C.(2,-2)D.(-2,2)7. 如图,D,E,F 分别是等边三角形ABC 各边上的点,且AD=BE=CF,则△DEF 的形状是( )A.等边三角形B.腰和底边不相等的等腰三角形C.直角三角形D.不等边三角形8.如图，将一张三角形纸片ABC 的一角折叠，使点A 落在△ABC 外的A′处，折痕为DE ，如果∠A=α，∠CEA′=β，∠BDA′=γ，那么下列式子中正确的是（）A ．γ=2α+βB ．γ=α+2βC ．γ=α+βD ．γ=180°-α-β12AB C9.一个多边形割去一个角后，得到的多边形的内角和为1440°，则这个多边形原来的边数为（）A．9 B．10 C．11 D．以上都有可能10. 如图，在△ABC中E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC ，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF-S△BEF=( )A.1B.2C.3D.4二、填空题（32分）11. 在等腰三角形ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD将这个三角形的周长分为15和12两部分，则底边BC的长为_________．12. 某城市几条道路的位置关系如图所示,已知AB∥CD,AE与AB的夹角为48°,若CF与EF的长度相等,则∠C的度数为_________．13. 如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC，交AC于点E.若∠AED＝50°，则∠D的度数为 .14.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于12 AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为_____．15.如图，在△ABC 中，已知点D ，E ，F 分别为边BC ，AD ，CE 的中点，且 S △ABC =4 cm 2，那么阴影部分的面积是_________．16. 如图，在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝10，△ABC 的高AD 与CE 的比是 .17.用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1所示），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形ABCDE ．图中，∠BAC ＝度．18. 如图,在等边△ABC 中,D 是边AC 上一点,连接BD.将△BCD 绕点B 逆时针旋转60°,得到△BAE,连接ED.若BC=10,BD=9,则△AED 的周长是________.三、解答题（58分）A BC DEF19. 已知△ABC 中，DE ∥BC ，∠AED=50°，CD 平分∠ACB ，求∠CDE 的度数．20. 如图，已知：AD 平分BAC ∠，EF 垂直平分AD ，交BC 延长线于F ，连结AF 。

中考数学总复习——几何证明分类试题汇编

C ABD中考数学总复习——几何证明分类试题汇编三角形总复习题1、求证等腰三角形两腰上的高线相等（先画出图，再写出已知、求证和证明）。

2．求证：有两条高相等的三角形是等腰三角形（先画出图，再写出已知、求证和证明）1.如图，已知在△ABC 中，CD ⊥AB 于D ，AC ＝20，BC ＝15，DB ＝9。

(1)求DC 的长。

(2)求AB 的长。

2.如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。

ADEBC3．如图，铁路上A ，B 两点相距25km ，C ，D 为两村庄，DA ⊥AB 于A ，CB ⊥AB 于B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在铁路AB 上建一个土特产品收购站E ，使得C ，D 两村到E 站的距离相等，则E 站应建在离A 站多少km 处？18．如图６，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD=BF ,AE =BC , 且 AE ∥BC ．E求证：（1）△AEF≌△BCD；(2)EF∥CD．4.如图，在△AFD和△BEC中，点A、E、F、C在同一直线上，有下面四个论断：(1)AD=CB；(2)AE=CF；(3)∠B=∠D；(4)AD∥BC。

请用其中三个作为条件，余下一个作为结论，编一道数学问题，并写出解答过程.18．如图10，在△AFD 和△CEB 中，点A 、E 、F 、C 在同一条直线上，有下面四个结断：①AD =CB ；②AE =CF ；③∠B =∠D ；④AD ∥BC ．请用其中三个作为条件，余下的一个作为结论编一道数学题，并证明结论成立．5.如图，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，求AD 、CD 的长.CABEF D图6. 已知，如图，⊿ABC 中，∠A = 900，AB =AC ，D 是BC 边上的中点，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且BE = AF ，求证：ED ⊥FD7.已知：如图，AB ＝AC ，CE ⊥AB 于E ，BD ⊥AC 于D ，求证：BD ＝CE .DBCEF8.已知：如图，在等边三角形ABC的AC边上取中点D，BC的延长线上取一点E，使CE＝CD．求证：BD＝DE．9．如图：已知在ABC，D为BC边的中点，过点D作△中，AB AC，.⊥，⊥，垂足分别为E FDE AB DF AC（1）求证：BED CFD △≌△；（2）若90A ∠=°，求证：四边形DFAE 是正方形.10.如图，△ABC 中，AB =AC ，AD 、AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线，BE ⊥AE ．（1）求证：DA ⊥AE ；（2）试判断AB 与DE 是否相等？并证明你的结论．DCBE AFA BCD EF11. 已知，如图，O 是△ABC 的∠ABC 、∠ACB 的角平分线的交点，OD∥AB 交BC 于D ，OE ∥AC 交BC 于E ，若12. 已知，如图⊿ABC 中，∠ACB 的平分线交AB 于E ，∠ACB 的补角∠ACD 的平分线为CG ，EG ∥BC 交AC 于F ，EF 会与FG 相等吗？为什么？C13.（2012临沂）如图，点A．F、C．D在同一直线上，点B和点E 分别在直线AD的两侧，且AB=DE，∠A=∠D，AF=DC．（1）求证：四边形BCEF是平行四边形，（2）若∠ABC=90°，AB=4，BC=3，当AF为何值时，四边形BCEF是菱形．ADEF 14.（2012•恩施州）如图，在△ABC 中，AD ⊥BC 于D ，点D ，E ，F 分别是BC ，AB ，AC 的中点．求证：四边形AEDF 是菱形．15．（2012•南通）（本小题满分10分）如图，菱形ABCD 中，∠B ＝60º，点E 在边BC 上，点F 在边CD 上．(1)如图1，若E 是BC 的中点，∠AEF ＝60º，求证：BE ＝DF ； (2)如图2，若∠EAF ＝60º，求证：△AEF 是等边三角形．16.（2011广东）如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD 、等边△ABE 。

中考数学专题复习：三角形的证明

中考数学专题复习：三角形的证明一．选择题1．下列语句中错误的是（）A. 角的大小与角两边的长短无关B. 过两点有且只有一条直线C. 若线段，则一定是的中点D. 与两点之间的距离是指连接．两点间的线段的长度2．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，△ABC和△ACB角平分线交于点O，则AO的长度为（）A．2.5B．3C．D．3．把一副三角尺ABC与BDE按如图所示那样拼在一起，△ABC＝60°，△C＝△DBE ＝90°，其中A，D，B三点在同一直线上，BM为△ABC的平分线，BN为△CBE 的平分线，则△MBN的度数是（）A．55°B．30°C．45°D．60°4．如图，△ABC中△ACB＝90°，且CD△AB．△B＝60°，则△1等于（）A．30°B．40°C．50°D．60°5．若点在线段的垂直平分线上，，则( ).A. B. 无法确定 C. D.6．如图，在△ABC中，△ACB＝90°，△B＝15°，DE垂直平分AB，交BC于点E，AE＝6cm，则AC＝（）A．6cm B．5cm C．4cm D．3cm7．如图，在△ABC中，△C＝90°，AD是△BAC的角平分线，E是边AB上一点，若CD＝6，则DE的长可以是（）A．1B．3C．5D．78．下列命题：△一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形；△对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；△一个角为90°且一组邻边相等的四边形是正方形；△对角线相等的平行四边形是矩形．其中真命题的个数是（）A．1B．2C．3D．49．在△ABC中，有下列条件：△△A+△B＝△C；△△A：△B：△C＝1：2：3；△△A＝2△B＝3△C；△△A＝△B＝△C．其中能确定△ABC是直角三角形的条件有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．如图，DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝4cm，AB＝5cm，则△EBC 的周长为（）A．8cm B．9cm C．10cm D．11cm11．某一实验装置的截面图如图所示，上方装置可看做一长方形，其侧面与水平线的夹角为，下方是一个直径为，高为的圆柱形容器，若使容器中的液面与上方装置相接触，则容器中液体的高度至少应为（）A. B. C. D.12．用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60°时，首先应该假设（）A．三角形中每个内角都大于60°B．三角形中至少有一个内角大于60°C．三角形中每个内角都大于或等于60°D．三角形中每一个内角都小于成等于60°二．填空题13．如图，点A．O．E在同一直线上，△AOB＝40°，△EOD＝28°46′，OD平分△COE，则△COB的度数为__________．14．如图，△ABC中，AB＝8，BC＝10，BD是△ABC的角平分线，DE△AB于点E，若DE＝4，则三角形ABC的面积为__________．15．如图，OP平分△AOB，△AOP＝15°，PC△OB，PD△OB于点D，PD＝4，则PC等于__________．16．如图，在△ABC中，△ABC和△ACB的平分线交于点E，过点E作MN△BC 交AB于M，交AC于N，若BM+CN＝10，则线段MN的长为__________．17．说明命题“如果a．b．c是△ABC的三边，那么长为a﹣1．b﹣1．c﹣1的三条线段能构成三角形”是假命题的反例可以是a＝2，b＝2，c＝__________．18．用反证法证明“已知五个正数的和等于1，求证：这五个正数中至少有一个大于或等于”时，首先要假设__________．三．解答题19．如图：△AOB＝160°，OC是△AOB的平分线，OD是△COB的平分线，求△COD 的度数．20．已知：如图，△AOB及M．N两点．请你在△AOB内部找一点P，使它到角的两边和到点M．N的距离分别相等（保留作图痕迹）．21．如图，已知：AD是△BAC的平分线，AB＝BD，过点B作BE△AC，与AD 交于点F．（1）求证：AC△BD；（2）若AE＝2，AB＝3，BF＝，求△ABF中AB边上的高．22．如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD交于点E，现有三个条件：△AB＝DC；△△A＝△D，△△1＝△2，请你从三个条件中选出两个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题，并给予证明．（1）条件是__________；结论是__________（填序号）；（2）证明．23．如图所示，在△ABC中．AB＝AC．△A＝36°，DE垂直平分AB交AC于点D，垂足为点E，求证：AD＝BC．24．如图，在四边形中，已知为的角平分线，，．两点分别在．上，且.请完整说明为什么四边形的面积为四边形的一半．25．已知等边△ABC和点P，设点P到△ABC三边AB．AC．BC的距离分别为h1，h2，h3，△ABC的高为h．（1）若点P在一边BC上[如图△]，此时h3＝0，求证：h1+h2+h3＝h；（2）当点P在△ABC内[如图△]，以及点P在△ABC外[如图△]这两种情况时，上述结论是否成立？若成立，请予以证明；若不成立，h1，h2，h3与h之间又有怎样的关系，请说出你的猜想，并说明理由．参考答案13．82°28′14．3615．816．1017．3（答案不唯一）18．这五个数都小于19．解：△OC是△AOB的平分线，△AOB＝160°，△△COB＝△AOB＝80°，又△OD是△COB的平分线，△△COD＝△COB＝40°．20．解：点P就是所求的点．如果能正确画出角平分线和中垂线的给满分21．（1）证明：△AD是△BAC的平分线，△△CAD＝△BAD，△AB＝BD，△△BDA＝△BAD，△△CAD＝△BDA，△AC△BD；（2）解：作FG△AB于G，在Rt△ABE中，AE＝2，AB＝3，△BE＝＝＝，△FE＝BE﹣BF＝﹣＝，△AD是△BAC的平分线，BE△AC，作FG△AB，△FG＝FE＝，即△ABF中AB边上的高为．22．解：（1）条件是：△AB＝DC；△△A＝△D，结论是△△1＝△2；（2）证明如下：在△ABE与△DEC中，△△ABE△△DEC（AAS），△BE＝EC，△△1＝△2．故答案为：△△；△23．证明：△△ABC中，AB＝AC，△A＝36°，△△ABC＝72°，△DE是线段AB的垂直平分线，△AD＝BD，△△A＝△ABD＝36°，△△CDB＝△A+△ABD＝72°，△△CDB＝△C，△BD＝BC，△AD＝BC．24．解：分别作于，于，△为的角平分线，△，△，△，又△，△，△，△，△，△四边形的面积，四边形的面积，△四边形的面积，又△四边形的面积，△四边形的面积，△四边形的面积为四边形的面积的一半．25．解：（1）如图1，连接AP，则S△ABC＝S△ABP+S△APC △BC•AM＝AB•PD+AC•PF即BC•h＝AB•h1+AC•h2又△△ABC是等边三角形△BC＝AB＝AC，△h＝h1+h2；（2）点P在△ABC内时，h＝h1+h2+h3，理由如下：如图2，连接AP．BP．CP，则S△ABC＝S△ABP+S△BPC+S△ACP △BC•AM＝AB•PD+AC•PE+BC•PF即BC•h＝AB•h1+AC•h2+BC•h3又△△ABC是等边三角形，△BC＝AB＝AC．△h＝h1+h2+h3；点P在△ABC外时，h＝h1+h2﹣h3．理由如下：如图3，连接PB，PC，P A由三角形的面积公式得：S△ABC＝S△P AB+S△P AC﹣S△PBC，即BC•AM＝AB•PD+AC•PE﹣BC•PF，△AB＝BC＝AC，△h1+h2﹣h3＝h，即h1+h2﹣h3＝h．。

河北省邢台市2017年中考数学二轮模块复习《三角形四边形有关的证明计算》练习解析

三角形四边形有关的证明计算一、证明题典例精讲例1. 已知：如图，AF平分∠BAC，BC⊥AF，垂足为E，点D与点A关于点E对称，PB分别与线段CF，AF相交于P，M．（1）求证：AB=CD；（2）若∠BAC=2∠MPC，请你判断∠F与∠MCD的数量关系，并说明理由．解：（1）证明：∵AF平分∠BAC，∴∠CAD=∠DAB=12∠BAC．∵D与A关于E对称，∴E为AD中点．∵BC⊥AD，∴BC为AD的中垂线，∴AC=CD．在Rt△ACE和Rt△ABE中，注：证全等也可得到AC=CD∠CAD+∠ACE=∠DAB+∠ABE=90°，∠CAD=∠DAB．∴∠ACE=∠ABE，∴AC=AB．注：证全等也可得到A C=AB∴AB=CD．（2）∵∠BAC=2∠MPC，又∵∠BAC=2∠CAD，∴∠MPC=∠CAD．∵AC=CD，∴∠CAD=∠CDA，∴∠MPC=∠CDA．∴∠MP F=∠CDM．∵AC=AB，AE⊥BC，∴CE=BE．注：证全等也可得到CE=BE∴AM为BC的中垂线，∴CM=BM．（6分）注：证全等也可得到CM=BM ∵EM⊥BC，∴EM平分∠CMB，（等腰三角形三线合一）∴∠C ME=∠BME．注：证全等也可得到∠CME=∠BME ∵∠BME=∠PMF，∴∠PMF=∠C M E，∴∠MCD=∠F（三角形内角和）．例2. 如图，在等腰△ABC中,点D、E分别是两腰AC、BC上的点，连接AE、BD相交于点O，∠1=∠2．（1）求证：OD=OE；FM PE DCBA（2）求证：四边形AB ＥD 是等腰梯形；（3）若AB=3DE, △DCE 的面积为2, 求四边形ABED 的面积．1）证明：如图，∵△ABC 是等腰三角形，∴AC=BC ， ∴∠BAD ＝∠ABE ，又∵AB=BA 、∠2＝∠1， ∴△ABD ≌△BAE （ASA ）， ∴BD=AE ，又∵∠１＝∠２，∴OA=OB ， ∴BD-OB=AE-OA ，即：OD=OE ．(2)证明：由（1）知：OD=OE ，∴∠OED ＝∠ODE ， ∴∠OED=180(21-∠DOE ），同理：∠1=180(21-∠AOB ），又∵∠DOE ＝∠AOB ，∴∠1＝∠OED ，∴DE ∥AB ，∵AD 、BE 是等腰三角形两腰所在的线段，∴AD 与BE 不平行， ∴四边形ABED 是梯形，又由（1）知∴△ABD ≌△BAE ，∴AD=BE ∴梯形ABED 是等腰梯形．（3）解：由（2）可知：DE ∥AB ，∴△DCE ∽△ACB ， ∴2)(ABDE ACB DCE =∆∆的面积的面积，即：91)3(22==∆DE DE ACB 的面积，∴△ACB 的面积=18，∴四边形ABED 的面积=△ACB 的面积-△DCE 的面积=18-2=16 ．针对性训练1.已知：如图①，在ABC △中，AB AC =，90BAC ∠=°，D E 、分别是AB AC 、边的中点，将ABC △绕点A 顺时针旋转α角（0180α<<°°），得到AB C ''△（如图②）．（1）探究DB '与EC '的数量关系，并给予证明；（2）当DB AE '∥时，试求旋转角α的度数．2. 如图，ABC △中，AB =BC ，BE AC ⊥于点E ，AD BC ⊥于点D ，45BAD ∠=°，AD 与BE交于点F ，连接CF . （1）求证：BF =2AE ；（2）若CD AD 的长.3. 如图，点A 是线段BC 上一点，△ABD 和△ACE 都是等边三角形.（1）连结BE ，CD ，求证：BE =CD ；（2）如图，将△ABD 绕点A 顺时针旋转得到△AB D ''. ①当旋转角为度时，边AD '边落在边AE 上；②在①的条件下，延长DD '交CE 于点P ，连接BD '，CD '.当线段AB ，AC 满足什么数量关系时，△BDD ′与△CPD ′全等？并给予证明.参考答案1. 1）DB EC ''=证明：D E ，分别是AB AC ，的中点，1122AD AB AE AC ∴==，． AB AC AD AE =∴= ，．B AC '' △是BAC △顺时针旋转得到．EAC DAB AC AC AB AB α''''∴∠=∠====，． ADB AEC DB EC ''''∴∴=△≌△，．（2）DB AE ' ∥，90B DA DAE '∴∠=∠=°． 1190cos 22AE C EA B DA AE AC AC α'''∴∠=∠==∴=' °，，． ∴旋转角60α=°．2. （1）证明：∵45AD BC BAD ∠=⊥，°， ∴45ABD BAD ∠=∠=°， ∴AD =BD.∵AD BC BE AC ⊥，⊥，∴90CAD ACD ∠+∠=°，90CBE ACD ∠+∠=°， ∴CAD CBE ∠=∠.又∵90CDA BDF ∠=∠=°， ∴ADC BDF △≌△， ∴AC =BF .∵AB =BC ，BE AC ⊥， ∴AE =EC ，即AC =2AE . ∴BF =2AE .（2）解：∵ADC BDF △≌△，∴DF =CD∴在Rt CDF △中，CF ∵BE AC AE EC =⊥，， ∴AF =FC =2.∴AD =AF +DF3.（1）证明：∵△ACE 、△ABD 都是等边三角形.∴AB ＝AD ，AE ＝AC ，∠BAD ＝∠CAE ＝60°， ∴∠BAD ＋∠DAE ＝∠CAE ＋∠DAE ∴∠BAE ＝∠D AC ，∴△BAE ≌△DAC ∴BE ＝CD .（2）①60，②当AC ＝2AB 时，△BDD '与△CPD '全等，证明如下：由旋转可知AB '与AD 重合，∴AB BD DD AD ''===， ∴四边形ABDD '是菱形， ∴ABD '∠＝DBD '∠＝21∠ABD ＝21×60°＝30°， DP BC ∥. ∵△ACE 是等边三角形，∴ AC ＝AE ，∠A CE ＝60°， ∵AC ＝2AB ，∴AE ＝2AD ′， ∴∠PCD ′＝∠ACD ′＝21∠ACE 1602=⨯°＝30°， .DP BC ∥30ABD DBD BD D ACD PCD PD C ''''''∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=°.∴BD CD ''=， ∴BDD CPD ''△≌△. 二、猜想、探究题典例精讲例1 如图（1），Rt ABC △中，90ACB =∠，CD AB ⊥，垂足为D ，AF 平分CAB ∠，交CD于点E ，交CB 于点F ．（1）求证：CE CF =．将图（1）中的ADE △沿AB 向右平移到A D E '''△的位置，使点E '落在BC 边上，其它条件不变，如图（2）所示．试猜想：BE '与CF 有怎样的数量关系？请证明你的结论．（1）证明：∵AF 平分CAB ∠，∴.CAF EAD ∠=∠∵90ACB ∠=°，∴90.CAF CFA ∠+∠=°又∵CD AB ⊥于D ，∴90EAD AED ∠+∠=°. ∴.CFA AED ∠=∠∵AED CEF ∠=∠，∴.CFA CEF ∠=∠ ∴.CE CF =（2）证明：如图，过点E 作EG AC ⊥于G ．又∵AF 平分CAB ∠，.ED AB ⊥∴.ED EG =由平移的性质可知：D E DE =′′，∴.D E GE =′′ ∵90ACB ∠=°，∴90.ACD DCB ∠+∠=° ∵CD AB ⊥于D ，∴90.B DCB ∠+∠=° ∴.ACD B ∠=∠在Rt CEG △与Rt BE D △′′中，GCE BCGE BD E GE D E ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩′′′′ ∴CEG BE D △≌△′′.∴CE BE =′. 由（1）可知CE CF =，∴.BE CF =′例2 如图，△ABC 的边BC 在直线m 上，AC ⊥BC ，且AC=BC ，△DEF 的边FE 也在直线m 上，边DF 与边AC 重合，且DF=EF ．（1）在图（1）中，请你通过观察、思考，猜想并写出AB 与AE 所满足的数量关系和位置关系；（不要求证明）（2）将△DEF 沿直线m 向左平移到图（2）的位置时，DE 交AC 于点G ，连结AE ，BG ．猜想△BCG 与△ACE 能否通过旋转重合？请证明你的猜想．解：（1）AB=AE , AB ⊥AE（2）将△BCG 绕点C 顺时针旋转90°后能与△ACE 重合（或将△ACE 绕点C 逆时针旋转90°后能与△BCG 重合），理由如下：∵AC ⊥BC ，DF ⊥EF ，B 、F 、C 、E 共线，∴∠ACB=∠ACE=∠DFE=90° 又∵AC=BC ，DF=EF ，∴∠DFE =∠D =45°，在△CEG 中，∵∠ACE=90°，∴∠CGE=∠DEF=90°， ∴CG=CE ，在△BCG 和△ACE 中∵⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=CE CG ACE ACB AC BC ∴△BCG ≌△ACE （SAS ）∴将△BCG 绕点C 顺时针旋转90°后能与△ACE 重合（或将△ACE 绕点C 逆时针旋转90°后能与△BCG 重合）例3如图，ABC △和DEF △是两个全等的等腰直角三角形，90BAC EDF ∠=∠=°，DEF △的顶点E 与ABC △的斜边BC 的中点重合．将DEF △绕点E 旋转，旋转过程中，线段DE 与线段AB 相交于点P ，线段EF 与射线CA 相交于点Q ．（1）如图①，当点Q 在线段AC 上，且AP AQ =时，求证：BPE CQE △≌△；（2）如图②，当点Q 在线段CA 的延长线上时，求证：BPE CEQ △≌△；并求当BP a = ，92CQ a =时，P 、Q 两点间的距离（用含a 的代数式表示）．证明：（1）点E 是等腰直角三角形斜边的中点，BE CE B C AB AC ∴=∠=∠=，，，（1分）AP AQ = ， BP CQ ∴=，（2分） BPE CQE ∴△≌△；（3分）（2）BEF C CQE BEF DEF BEP ∠=∠+∠∠=∠+∠ ，，C CQE DEF BEP ∴∠+∠=∠+∠， 45C DEF ∠=∠= °，BEF CQE ∠=∠ ．（4分）B C ∠=∠ ，BPE CEQ ∴△∽△；（5分）BP BECE CQ∴=，（6分）92BP a CQ a BE CE === ，，，BE ∴=，即3BC = （7分） 3sin 45322AB AC BC a PA a QA a ∴===∴==°，，，（8分）∴在Rt PAQ △中52PQ a ===．针对性训练1.（1）操作发现：如图①，D是等边△ABC边BA上一动点（点D与点B不重合），连结DC，以DC为边在BC上方作等边△DCF，连结AF．你能发现线段AF与BD之间的数量关系吗？并证明你发现的结论．（2）类比猜想：如图②，当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时，其它作法与（1）相同．猜想AF与BD在（1）中的结论是否仍然成立？（3）深入探究：Ⅰ．如图③，当动点D在等边△ABC边BA上运动时（点D与点B不重合），连结DC，以DC为边在其上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′，连结AF、BF′．探究AF、BF 与AB有何数量关系？并证明你探究的结论．Ⅱ．如图④，当动点D在等边△ABC边BA的延长线上运动时，其它作法与图③相同，Ⅰ中的结论是否成立？若不成立，是否有新的结论？并证明你得出的结论．2. 在矩形ABCD中，已知AD＞AB．在边AD上取点E，使AE＝AB，连结CE．过点E作EF⊥CE，与边AB或其延长线交于点F．猜想：如图①，当点F在边AB上时，线段AF与DE的大小关系为__________；探究：如图②，当点F在边AB的延长线上时，EF与边BC交于点G．判断线段AF与DE的大小关系．应用：如图②，若AB＝2，AD＝5，利用探究得到的结论，求线段BG的长．FFCBDA图①图②3. 已知四边形ABCD是正方形，等腰直角△AEF的直角顶点E在直线BC上（不与点B，C重合），FM⊥AD，交射线AD于点M.(1)当点E在边BC上，点M在边AD的延长线上时,如图①，求证：AB+BE=AM；(提示：延长MF，交边BC的延长线于点H.)(2)当点E 在边CB 的延长线上，点M 在边AD 上时，如图②；当点E 在边BC 的延长线上，点M 在边AD 上时，如图③.请分别写出线段AB ，BE ，AM 之间的数量关系, 不需要证明； (3)在(1)，(2)的条件下，若BE=3，∠AFM =15°，则AM = .参考答案1. 解（1）发现：AF BD =．（1分）证明：在等边ABC △中，60AC BC ACB =∠=︒，，在等边DCF △中，60DC FC DCF =∠=︒，，∴ACB ACD DCF ACD ∠-∠=∠-∠，即BCD ACF ∠=∠，(SAS)BCD ACF ∴△≌△．AF BD ∴=.（2分） (2)猜测：AF=BD ．（3分） (3)探究：Ⅰ）AF BF AB '+=．（5分）证明：同理可证BCF ACD ACF BCD '△≌△，△≌△．BF AD AF BD '∴==，，AF BF AD BD AB '∴+=+=.Ⅱ）AF BF AB '-=．（6分）证明：同理可证BCF ACD ACF BCD '△≌△，△≌△，,BF AD AF BD '∴==．又AD AB BD +=，AF BF AB '∴=+，AF BF AB '∴-=.2.AF＝DE；AF＝DE；23 BG=．【解析】解：（1）猜想：AF＝DE；（2）探究：AF＝DE，理由如下：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠D＝∠ABC＝90°，AB＝CD，∴∠AFE＋∠AEF＝90°，∵EF⊥CE，∴∠CEF＝90°，∴∠AEF＋∠DEC＝90°，∴∠DEC＝∠AFE，∵AE＝AB，∴AE＝CD，∴△AFE≌△DEC，∴AF＝DE．（3）由（2）得△AFE≌△DEC，∴设D E＝x，∵AD＝5，∴AE＝5－x＝2，∵AB＝2，AB＝AE，∴AE＝5－x＝2，解得x＝3，∴AF＝DE＝3，∴FB＝1，∵四边形ABCD为矩形，∴AD//BC，∴FB BG FA AE=，即132BG =，∴23BG =． 3.证明略（2）如图②:AM=AB-BE,如图③:AM=BE-AB.(3)有两种情况，如图②:AM=3-3 如图③:AM=3-1【解析】解：（1）证明：∵∠AEB+∠HEF =90°，∠AEB+∠BAE =90°∴∠BAE =∠HEF 。

河北省2017中考数学温习转动小专题六三角形的有关计算与证明试题

转动小专题(六) 三角形的有关计算与证明1．(2016·齐齐哈尔)如图，在△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，垂足别离为D ，E ，AD 与BE 相交于点F.(1)求证：△ACD∽△BFD；(2)当tan ∠ABD ＝1，AC ＝3时，求BF 的长．解：(1)证明：∵在△ABC 中，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，∴∠FDB ＝∠ADC＝∠BEC＝90°.∴∠C ＋∠DAC＝∠C＋∠FBD＝90°，即∠DAC＝∠FBD.∴△ACD ∽△BFD.(2)∵tan ∠ABD ＝1，∴AD ＝BD.由(1)，得∠DAC＝∠FBD，∠FDB ＝∠ADC＝90°，∴△ACD ≌△BFD.∴BF ＝AC ＝3.2．(2015·滨州)如图，已知B ，C ，E 三点在同一条直线上，△ABC 与△DCE 都是等边三角形，其中线段BD 交AC 于点G ，线段AE 交CD 于点F ，求证：(1)△ACE≌△BCD； (2)AG GC ＝AF FE.证明：(1)∵△ABC 与△CDE 都为等边三角形，∴AC ＝BC ，CE ＝CD ，∠ACB ＝∠DCE＝60°.∴∠ACB ＋∠ACD＝∠DCE＋∠ACD，即∠ACE＝∠BCD.∴△ACE ≌△BCD(SAS)．(2)∵△ACE≌△BCD，∴∠BDC ＝∠AEC.∵∠GCD ＝∠FCE＝60°，∴△GCD≌△FCE(ASA)．∴CG ＝CF.又∵∠GCF＝60°，∴△CFG 为等边三角形．∴∠CGF ＝∠ACB＝60°.∴GF ∥CE.∴AG GC ＝AF FE.3．如图，AB ∥FC ，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，别离延长FD 和CB 交于点G.(1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若GB ＝2，BC ＝4，BD ＝1，求AB 的长．解：(1) 证明：∵ AB∥FC，∴∠ADE ＝∠CFE.又∵∠AED＝∠CEF，DE ＝FE ，∴△ADE ≌△CFE(ASA)．(2)∵△ADE≌△CFE，∴AD ＝CF.∵AB ∥FC ，∴∠GBD ＝∠GCF，∠GDB ＝∠GFC.∴△GBD ∽△GCF.∴GB GC ＝BD CF. 又∵GB＝2，BC ＝4，BD ＝1，∴CF ＝3＝AD.∴ AB ＝AD ＋BD ＝3＋1＝4.4．如图，△ABC 和△AED 是等腰直角三角形，∠BAC ＝∠EAD＝90°，点D ，E 在∠BAC 的外部，连接DC ，BE.(1)求证：BE ＝CD ；(2)若将△AED 绕点A 旋转，直线CD 交直线AB 于点G ，交直线BE 于点K.若AC ＝8，GA ＝2，试求GC·KG 的值．解：(1)证明：∵∠BAC＝∠EAD＝90°，∴∠BA C ＋∠BAD＝∠EAD＋∠BAD，即∠CAD＝∠BAE.∵AB ＝AC ，AE ＝AD ，∴△BAE ≌△CAD(SAS)．∴BE＝CD.(2)①当点G 在线段AB 上时，∵△BAE ≌△CAD ，∴∠ACD ＝∠ABE.又∵∠CGA＝∠BGK，∴△CGA ∽△BGK.∴AG KG ＝GC GB.∴AG·GB＝KG·GC. ∵AC ＝8，∴AB ＝8.∵GA ＝2，∴GB ＝6.∴GC·KG＝12；②当点G 在线段AB 延长线上时，如图．∵△BAE ≌△CAD ，∴∠ACD ＝∠ABE.又∵∠BGK＝∠CGA，∴△CGA ∽△BGK. ∴AG KG ＝GC GB.∴AG·GB＝KG·GC. ∵AC ＝8，∴AB ＝8.∵GA ＝2，∴GB ＝10.∴GC ·KG ＝20.5．(2016·黄石)在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝2∠DAE ＝2α.(1)如图1，若点D 关于直线AE 的对称点为F ，求证：△ADF∽△ABC；(2)如图2，在(1)的条件下，若α＝45°，求证：DE 2＝BD 2＋CE 2；(3)如图3，若α＝45°，点E 在BC 的延长线上，则等式DE 2＝BD 2＋CE 2还能成立吗？请说明理由．图1 图2 图3解：(1)证明：∵点D 关于直线AE 的对称点为F ，∴∠EAF ＝∠DAE，AD ＝AF ，又∵∠BAC＝2∠DAE，∴∠BAC ＝∠DAF.∵AB ＝AC ，∴AB AD ＝AC AF. ∴△ADF ∽△ABC.(2)证明：∵点D 关于直线AE 的对称点为F ，∴EF ＝DE ，AF ＝AD.∵α＝45°，∴∠BAD ＝90°－∠CAD，∠CAF ＝∠DAE＋∠EAF－∠CAD＝45°＋45°－∠CAD＝90°－∠CAD. ∴∠BAD ＝∠CAF.在△A BD 和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD ＝∠CAF，AD ＝AF ，∴△ABD ≌△ACF(SAS)．∴CF ＝BD ，∠ACF ＝∠B.∵AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，α＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形．∴∠B ＝∠ACB＝45°.∴∠ECF ＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°.在Rt △CEF 中，由勾股定理，得EF 2＝CF 2＋CE 2，∴DE 2＝BD 2＋CE 2.(3)DE 2＝BD 2＋CE 2还能成立．理由如下：作点D 关于AE 的对称点F ，连接EF ，CF.由轴对称的性质，得EF ＝DE ，AF ＝AD ，∵α＝45°，∴∠BAD ＝90°－∠CAD，∠CAF ＝∠DAE＋∠EAF－∠CAD＝45°＋45°－∠CAD ＝90°－∠CAD. ∴∠BAD ＝∠CAF.在△ABD 和△ACF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ，∠BAD＝∠CAF，AD ＝AF ，∴△ABD ≌△ACF(SAS)．∴CF ＝BD ，∠ACF ＝∠B.∵AB ＝AC ，∠BAC ＝2α，α＝45°，∴△ABC 是等腰直角三角形．∴∠B ＝∠ACB＝45°.∴∠BCF ＝∠ACB＋∠ACF＝45°＋45°＝90°.在Rt △CEF 中，由勾股定理，得EF 2＝CF 2＋CE 2，∴DE 2＝BD 2＋CE 2.。

2017年春中考数学总复习滚动小专题(十)与图形变换有关的简单计算与证明试题

滚动小专题(十) 与图形变换有关的简单计算与证明1．(2016·厦门)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，将△ABC绕点C顺时针旋转90°，若点A，B 的对应点分别是点D，E，画出旋转后的三角形，并求点A与点D之间的距离．(不要求尺规作图)解：如图，△EDC即为所求．连接AD.∵在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝4，∴AC＝AB2－BC2＝3.∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°，点A，B的对应点分别是点D，E，∴AC＝CD＝3，∠ACD＝90°.∴AD＝AC2＋CD2＝3 2.2．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD＝4，△ABC的周长为14，将△ABC平移到△DEF的位置．(1)指出平移的方向和平移的距离；(2)求四边形ABFD的周长．解：(1)平移的方向是沿AD(或者是沿BC)方向，平移的距离是4.(2)根据平移的性质：AD＝CF＝4.∵△ABC≌△DEF，∴AC＝DF.∵C△ABC＝AB＋BC＋AC＝14，∴C梯形ABFD＝AB＋BF＋DF＋AD＝AB＋BC＋CF＋AC＋AD＝C△ABC＋CF＋AD＝14＋4＋4＝22.3．(2015·连云港)如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E.(1)求证：∠EDB＝∠EBD；(2)判断AF与DB是否平行，并说明理由．解：(1)证明：由折叠可知：∠CDB＝∠EDB.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB.∴∠CDB＝∠EBD.∴∠EDB＝∠EBD.(2)AF∥DB，理由如下：∵∠EDB＝∠EBD，∴DE＝BE.由折叠可知：DC＝DF.∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB.∴DF＝AB.∴AE＝EF.∴∠EAF ＝∠EFA.在△BED 中，∠EDB ＋∠EBD＋∠DEB＝180°，∴2∠EDB ＋∠DEB＝180°.同理，在△AEF 中，2∠E FA ＋∠AEF＝180°.∵∠DEB ＝∠AEF，∴∠EDB ＝∠EFA.∴AF ∥DB.4.(2016·齐齐哈尔)如图，平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(－1，3)，B(－4，0)，C(0，0)．(1)画出将△ABC 向上平移1个单位长度，再向右平移5个单位长度后得到的△A 1B 1C 1；(2)画出将△ABC 绕原点O 顺时针方向旋转90°得到△A 2B 2O ；(3)在x 轴上存在一点P ，满足点P 到A 1与点A 2距离之和最小，请直接写出P 点的坐标．解：(1)如图所示，△A 1B 1C 1为所求作的三角形．(2)如图所示，△A 2B 2O 为所求作的三角形．(3)∵A 2坐标为(3，1)，A 3坐标为(4，－4)，∴A 2A 3所在直线的解析式为y ＝－5x ＋16.令y ＝0，则x ＝165， ∴P 点的坐标为(165，0)．5．(2015·日照)如图，已知在△ABC 中，CA ＝CB ，∠ACB ＝90°，E ，F 分别是CA ，CB 边的三等分点，将△ECF 绕点C 逆时针旋转α角(0°＜α＜90°)，得到△MCN，连接AM ，BN.(1)求证：AM ＝BN ；(2)当MA∥CN 时，试求旋转角α的余弦值．解：(1)证明：∵CA＝CB ，∠ACB ＝90°，E ，F 分别是CA ，CB 边的三等分点，∴CE ＝CF.根据旋转的性质，CM ＝CE ＝CN ＝CF ，∠ACM ＝∠BCN＝α.在△AMC 和△BNC 中，⎩⎪⎨⎪⎧CA ＝CB ，∠ACM ＝∠BCN，CM ＝CN ，∴△AMC ≌△BNC(SAS )．∴AM ＝BN.(2)∵MA∥CN，∴∠ACN ＝∠CAM.∵∠ACN ＋∠NCB＝90°，∴∠ACN ＋∠ACM＝90°.∴∠CAM ＋∠A CM ＝90°.∴∠AMC ＝90°.∴cos α＝CM AC ＝CE AC ＝13.6．(2016·北京)在等边△ABC 中：图1 图2(1)如图1，P 、Q 是BC 边上两点，AP ＝AQ ，∠BAP ＝20°，求∠AQB 的度数； (2)点P 、Q 是BC 边上的两个动点(不与点B 、C 重合)，点P 在点Q 的左侧，且AP ＝AQ ，点Q 关于直线AC 的对称点为M ，连接AM 、PM.①依题意将图2补全；②小茹通过观察、实验，提出猜想：在P 、Q 运动的过程中，始终有PA ＝PM.小茹把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：想法1：要证明PA ＝PM ，只需证△PAM 是等边三角形．想法2：在BA 上取一点N ，使得BN ＝BP ，要证PA ＝PM ，只需证△ANP≌△PCM.想法3：将线段BP 绕点B 顺时针旋转60，得到线段BK ，要证PA ＝PM ，只需证PA ＝CK ，PM ＝CK.……请你参考上面的想法，帮助小茹证明PA ＝PM(一种方法即可)．解：(1)∵AP＝AQ ，∴∠AQB ＝∠APC.又∵∠APC＝∠B＋∠BAP＝60°＋20°＝80°，∴∠AQB ＝80°.(2)①如图所示．②证明：∵△ABC 为等边三角形，∴∠ABC ＝∠ACB＝∠BAC＝60°.又∵AP＝AQ ，∴∠APQ ＝∠AQB.∴∠BAP ＋∠ABC＝∠APQ＝∠AQB＝∠CAQ＋∠ACB.∴∠BAP＝∠CAQ.∵Q ，M 关于AC 对称∴AQ ＝AM ，∠QAC ＝∠MAC.∴∠PAM ＝∠PAC＋∠MAC＝∠PAC＋∠BAP＝∠BAC＝60°.又∵PA＝QA ＝MA ，∴△APM 为正三角形．∴PA ＝PM.7．有一根直尺，短边的长为4 cm ，长边的长为10 cm ，还有一块锐角为45°的直角三角形纸板，它的斜边长16 cm .如图1，将直尺的短边DE 与直角三角形纸板的斜边AB 重合，且点D 与点A 重合，将直尺沿AB 方向平移，如图2，图3，设平移的长度为x cm ，且满足0≤x≤12，直尺与直角三角形纸板重合部分的面积(即图中阴影部分)为S cm 2.(1)当x＝0时，S＝8cm2；当x＝4时，S＝24cm2；当x＝6时，S＝28cm2；(2)是否存在一个位置，使阴影部分的面积为26 cm2？若存在，请求出此时x的值．解：存在．当S＝26 cm2时，4＜x＜12，∴S＝S△ABC－S△ADG－S△BEF，即12×16×8－12x2－12(16－x－4)2＝26.解得x1＝6－2，x2＝6＋ 2.故当x1＝6－2，x2＝6＋2时，阴影部分面积为26 cm2.8．(2016·十堰)如图，将矩形纸片ABCD(AD＞AB)折叠，使点C刚好落在线段AD上，且折痕分别与边BC，AD相交，设折叠后点C，D的对应点分别为点G，H，折痕分别与边BC，AD相交于点E，F.(1)判断四边形CEGF的形状，并证明你的结论；(2)若AB＝3，BC＝9，求线段C E的取值范围．解：(1)四边形CEGF为菱形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠GFE＝∠FEC.∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，∴∠GEF＝∠FEC.∴∠GFE＝∠FEG.∴GF＝GE.∵图形翻折后EC与GE完全重合，∴GE＝EC.∴GF＝EC.又∵GF∥EC，∴四边形CEGF为平行四边形．∴四边形CEGF为菱形．(2)如图1，当F与D重合时，CE取最小值，由折叠的性质得CD＝DG，∠CDE＝∠GDE＝45°.∵∠ECD＝90°，∴∠DEC＝45°＝∠CDE.∴CE＝CD＝DG.∵DG∥CE，∴四边形CEGD是正方形．∴CE＝CD＝AB＝3.如图2，当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得AE＝CE.∵∠B＝90°，∴AE2＝AB2＋BE2，即CE2＝32＋(9－CE)2. ∴CE＝5.∴线段CE的取值范围3≤CE≤5.。

河北省近年届中考数学系统复习第四单元图形的初步认识与三角形滚动小专题(六)与三角形有关的计算与证明

河北省2019届中考数学系统复习第四单元图形的初步认识与三角形滚动小专题（六）与三角形有关的计算与证明练习编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（河北省2019届中考数学系统复习第四单元图形的初步认识与三角形滚动小专题（六）与三角形有关的计算与证明练习）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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滚动小专题（六) 与三角形有关的计算与证明类型1 以全等为基础的有关计算与证明1．(2018·镇江）如图，在△ABC中,AB＝AC，点E,F在边BC上，BE＝CF，点D在AF的延长线上，AD＝AC.（1)求证:△ABE≌△ACF；（2)若∠BAE＝30°，则∠ADC＝75°.证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACF.又∵BE＝CF，∴△ABE≌△ACF(SAS)．2．在平面内,正方形ABCD与正方形CEFH如图放置,连接DE，BH，两线相交于点M。

求证：（1)BH＝DE；(2）BH⊥DE。

证明:（1）在正方形ABCD与正方形CEFH中,BC＝DC,CE＝CH，∠BCD＝∠ECH＝90°，∴∠BCD＋∠DCH＝∠ECH＋∠DCH，即∠BCH＝∠DCE.在△BCH和△DCE中，错误!∴△BCH≌△DCE（SAS）．∴BH＝DE.(2)令BH与CD相交于点O.∵△BCH≌△DCE，∴∠CBH＝∠CDE。

又∵∠BOC＝∠DOM，∴∠DMB＝∠BCD＝90°.∴BH⊥DE。

中考数学滚动小专题五三角形的有关计算与证明

三角形的有关计算与证明三角形的有关计算和证明是中考的必考内容之一，这类试题解法比较灵活，通常以全等三角形、等腰三角形、等边三角形和直角三角形的性质和判定为考查重点，以计算题、证明题的形式出现，解答这类问题时，不仅要熟练掌握有关的公式定理，更要注意它们之间的相互联系.例(2014·重庆B卷)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E为AC边的中点，过点A作AD⊥AB交BE的延长线于点D.CG平分∠ACB交BD于点G，F为AB边上一点，连接CF，且∠ACF＝∠CBG.求证：(1)AF＝CG；(2)CF＝2DE.【思路点拨】(1)要证明AF＝CG，可以利用“ASA”证明△ACF≌△CBG来得到；(2)要证明CF＝2DE，由(1)得CF=BG，则只要证明BG=2DE，又利用△AED≌△CEG可得DG=2DE，故证明DG=BG即可. 【解答】证明：(1)∵∠ACB＝90°，CG平分∠ACB，AC＝BC.∴∠BCG＝∠CAB＝45°.又∵∠ACF＝∠CBG，AC＝BC，∴△ACF≌△CBG(ASA),∴CF＝BG，AF＝CG.(2)延长CG交AB于点H.∵AC＝BC，CG平分∠ACB，∴CH⊥AB，H为AB中点.又∵AD⊥AB，∴CH∥AD,∴G为BD中点，∠D＝∠EGC.∵E为AC中点，∴AE＝EC.又∵∠AED＝∠CEG，∴△AED≌△CEG(AAS),∴DE＝EG,∴DG＝2DE,∴BG＝DG＝2DE.由(1)得CF＝BG，∴CF＝2DE.方法归纳：解答与线段或角相等的有关问题时，通常将它转化为全等三角形问题来求解.1.(2014·长沙)如图，四边形ABCD是矩形，把矩形沿对角线AC折叠，点B落在点E处，CE与AD相交于点O.(1)求证：△AOE≌△COD；(2)若∠OCD=30°，3求△AOC的面积.2.(2014·滨州)如图，已知正方形ABCD，把边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，连接AC′，BC′，CC′.写出图中所有的等腰三角形，并写出推理过程.3.如图，在△ABC中，∠ABC=45°,CD⊥AB,BE⊥AC,垂足分别为D、E，F为BC中点，BE与DF、DC分别交于点G、H，∠ABE=∠CBE.(1)线段BH与AC相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由；(2)求证：BG2-GE2=EA2.4.在等边△ABC中，点E是AB上的动点，点E与点A、B不重合，点D在CB的延长线上，且EC=ED.(1)当BE=AE时，求证：BD=AE；(2)当BE≠AE时，“BD=AE”还成立吗？若你认为不成立，请直接写出BD与AE数量关系式，若你认为成立，请给予证明.5.(2014·重庆A 卷)如图，△ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，AD ⊥BC ，垂足是D ，AE 平分∠BAD ，交BC 于点E.在△ABC 外有一点F ，使FA ⊥AE ，FC ⊥BC.(1)求证：BE=CF ；(2)在AB 上取一点M ，使BM=2DE ，连接MC ，交AD 于点N ，连接ME.求证：①ME ⊥BC ；②DE=DN.参考答案1.(1)证明：由折叠的性质可得：AE ＝AB,∠E ＝∠B ＝90°.∵四边形ABCD 是矩形，∴CD ＝AB,∠D ＝90°.∴AE ＝CD ，∠E ＝∠D ＝90°.在△AOE 和△COD 中，,,,AOE COD E D AE CD ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△AOE ≌△COD(AAS).(2)在Rt △OCD 中，∠OCD ＝30°，∴OC=2OD.∵AB ＝CD ＝3，OD 2+CD 2=OC 2，∴OD 23)2=4OD 2,解得OD ＝1.∴OC ＝2.由折叠知：∠BCA ＝∠ACO.∵AD ∥BC ，∴∠OAC ＝∠BCA ，∴∠OAC ＝∠ACO ，∴OA ＝OC ＝2，∴S△AOC=12·OA·CD=12×2×3=3.2.图中的所有的等腰三角形有：△DCC′，△DAC′，△ABC′，△BCC′，理由如下：∵正方形ABCD，∴CD=AD=AB=BC，∠ADC=∠DAB=∠ABC=∠BCD=90°.∵边DC绕D点顺时针旋转30°到DC′处，∴DC′=DC=AD=AB，∠DCC′=∠DC′C=12(180°-30°)=75°，即△DCC′是等腰三角形.∵∠ADC=90°，∠CDC′=30°，∴∠ADC′=60°.∵DC′=AD，∴△DAC′为等边三角形.∴AC′=AD=AB，∠DAC′=∠DC′A=60°,∴△ABC′为等腰三角形，∠BAC′=90°-60°=30°,∴∠ABC′=∠AC′B=12(180°-30°)=75°,∴∠C′BC=90°-75°=15°，∠C′CB=90°-75°=15°,∴∠C′BC=∠C′CB,∴△BCC′是等腰三角形.3.(1)BH=AC.证明：∵∠BDC=∠BEC=∠CDA=90°,∠ABC=45°,∴∠BCD=45°=∠ABC,∴DB=DC.又∵∠BHD=∠CHE,∴∠DBH=∠DCA.∴△DB H≌△DCA,∴BH=AC.(2)证明：连接GC.则GC2-GE2=EC2.∵F为BC中点，DB=DC，∴DF垂直平分BC,∴BG=GC.∴BG2-GE2=EC2.∵∠ABE=∠CBE,∠CEB=∠AEB,BE=BE,∴△BCE≌△BAE.∴EC=EA,∴BG2-GE2=EA2.4.(1)证明：如图1，在等边△ABC中，∠ABC=∠ACB=60°. ∵BE=AE，∴∠ACE=∠ECB=30°.又∵CE=DE，∴∠D=∠EC D=30°.∴∠DEB=30°，∴BE=BD，∴BD=AE.(2)BD=AE还成立.证明：如图2，过点E作EF∥AC交BC于F，易证△EFB 为等边三角形，∴EF=FB=BE.∴∠EFB=∠EBF.∴∠CFE=∠EBD.∵CE=DE ，∴∠ECD=∠D.∴△ECF ≌△EDB ，∴CF=BD.∵AB=BC ，AB-BE=BC-BF ，即AE=CF.∴AE=BD.5.证明：(1)∵∠BAC=90°，AB=AC ，∴∠B=∠ACB=45°.∵FC ⊥BC ，∴∠BCF=90°.∴∠ACF=90°-45°=45°，∴∠B=∠ACF.∵∠BAC=90°，FA ⊥AE ，∴∠BAE+∠CAE=90°，∠CAF+∠CAE=90°，∴∠BAE=∠CAF.在△ABE 和△ACF 中，,,,BAE CAF AB AC B ACF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△ACF(ASA).∴BE=CF.(2)①如图，过点E 作EH ⊥AB 于H ，则△BEH 是等腰直角三角形.∴HE=BH ，∠BEH=45°.∵AE 平分∠BAD ，AD ⊥BC ，∴DE=HE ，∴DE=BH=HE.∵BM=2DE ，∴HE=HM ，∴△HEM 是等腰直角三角形，∴∠MEH=45°，∴∠BEM=45°+45°=90°，∴ME ⊥BC.②由题意，得∠CAE=45°+12×45°=67.5°，∴∠CEA=180°-45°-67.5°=67.5°，∴∠CAE=∠CEA=67.5°，∴AC=CE.在Rt △ACM 和Rt △ECM 中，,,CM CM ACCE =⎧⎨=⎩∴Rt △ACM ≌Rt △ECM(HL)， ∴∠ACM=∠ECM=12×45°=22.5°.又∵∠DAE=12×45°=22.5°，∴∠DAE=∠ECM.∵∠BAC=90°，AB=AC ，AD ⊥BC ， ∴AD=CD=12BC.在△ADE 和△CDN 中， ,,,DAE ECM AD CD ADE CDN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△ADE ≌△CDN(ASA)， ∴DE=DN.。

广西2017年春中考数学总复习题型专项七三角形四边形的证明与计算试题

题型专项(七) 三角形、四边形的证明与计算类型1 三角形的证明与计算1．(2016·宜宾)如图，已知∠CAB＝∠DBA，∠CBD ＝∠DAC.求证：BC ＝AD.证明：∵∠C AB ＝∠DBA ，∠CBD ＝∠DAC， ∴∠CBA ＝∠DAB. 在△BCA 与△ADB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠CAB＝∠DBA，AB ＝AB.∠CBA＝∠DAB，∴△BCA ≌△ADB(ASA )， ∴BC ＝AD.2．(2014·南宁)如图，AB ∥FC ，D 是AB 上一点，DF 交AC 于点E ，DE ＝FE ，分别延长FD 和CB 交于点G. (1)求证：△ADE≌△CFE；(2)若GB ＝2，BC ＝4，BD ＝1，求AB 的长．解：(1)证明：∵AB∥FC，∴∠A ＝∠FCE. 在△ADE 和△CFE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠FCE，∠DEA ＝∠FEC，DE ＝FE ，∴△ADE ≌△CFE(AAS )．(2)∵AB∥FC，∴△GBD ∽△GCF. ∴GB ∶GC ＝BD∶CF.∵GB ＝2，BC ＝4，BD ＝1， ∴2∶6＝1∶CF.∴CF＝3. ∵△ADE ≌△CFE ， ∴AD ＝CF.∴AB ＝AD ＋BD ＝4.3．(2016·泰州)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 在BA 的延长线上，AD 平分∠CAE. (1)求证：AD∥BC；(2)过点C 作CG⊥AD 于点F ，交AE 于点G ，若AF ＝4，求BC 的长．解：(1)证明：∵AD 平分∠CAE， ∴∠DAG ＝∠DAC＝12∠CAG.∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACB. ∵∠CAG ＝∠B＋∠ACB， ∴∠B ＝12∠CAG.∴∠B ＝∠DAG. ∴AD ∥BC. (2)∵CG⊥AD，∴∠AFC ＝∠AFG＝90°. 在△AFC 和△AFG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠CAF＝∠GAF，AF ＝AF ，∠AFC＝∠AFG，∴△AFC ≌△AFG(ASA )． ∴CF ＝GF. ∵AD ∥BC ，∴△AGF ∽△BGC.∴GF ∶GC ＝AF∶BC＝1∶2. ∴BC ＝2AF ＝2×4＝8.4．(2016·襄阳)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，且BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F. (1)求证：AB ＝AC ；(2)若AD ＝23，∠DAC ＝30°，求AC 的长．解：(1)证明：∵AD 平分∠BAC，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ， ∴DE ＝DF. ∵BD ＝CD ，∴Rt △BDE ≌Rt △CDF. ∴∠B ＝∠C. ∴AB ＝AC.(2)∵AB＝AC ，BD ＝CD ， ∴AD ⊥BC.在Rt △ADC 中，∵∠DAC ＝30°，AD ＝23，∴AC ＝ADcos 30°＝4.类型2 四边形的证明与计算5．(2015·桂林)如图，在▱ABCD 中，E ，F 分别是AB ，CD 的中点． (1)求证：四边形EBFD 为平行四边形；(2)对角线AC 分别与DE ，BF 交于点M ，N ，求证：△ABN≌△CDM.证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD.∵E ，F 分别是AB ，CD 的中点， ∴BE ＝DF.∵BE∥DF，∴四边形EBFD 为平行四边形． (2)∵四边形EBFD 为平行四边形， ∴∠ABN ＝∠CDM.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AB ＝CD. ∴∠BAC ＝∠DCA. 在△ABN 和△CDM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠BAN＝∠DCM，AB ＝CD ，∠ABN ＝∠CDM，∴△ABN ≌△CDM(ASA )．6．(2016·桂林模拟)如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上的点，若EF ＝EC 且EF⊥EC. (1)求证：AE ＝DC ；(2)已知DC ＝10，求BC 的长．解：(1)证明：∵EF⊥EC，∴∠CEF ＝90°，∠2＋∠3＝90°. 又∵∠1＋∠2＝90°， ∴∠1＝∠3.在△AEF 和△DCE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A＝∠D，∠1＝∠3，EF ＝CE ，∴△AEF ≌△DCE.∴AE ＝DC.(2)由(1)可知AE ＝DC ＝10，AB ＝DC ＝10，∴BE ＝AB 2＋AE 2＝102＋102＝10 2.7．(2016·济宁)如图，正方形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，延长CB 至点F ，使CF ＝CA ，连接AF ，∠ACF 的平分线分别交AF ，AB ，BD 于点E ，N ，M ，连接EO. (1)EO ＝2，求正方形ABCD 的边长；(2)猜想线段EM 与CN 的数量关系并加以证明．解：(1)∵四边形ABCD 是正方形， ∴AO ＝OC ，△ABC 是等腰直角三角形．在△ACF 中，AC ＝CF ，CE 平分∠ACF， ∴AE ＝EF.∴EO 为△AFC 的中位线．∴CF ＝2EO ＝22.∴AC＝22.∴AB＝AC2＝2.(2)EM ＝12CN.证明：∵CF＝CA ，CE 是∠ACF 的平分线， ∴CE ⊥AF.∴∠AEN ＝∠CBN＝90°. ∵∠ANE ＝∠CNB， ∴∠BAF ＝∠BCN.在△ABF 和△CBN 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAF＝∠BCN，AB ＝CB ，∠ABF ＝∠CBN＝90°，∴△ABF ≌△CBN(ASA )．∴AF ＝CN.∵∠BAF ＝∠BCN，∠ACN ＝∠BCN， ∴∠BAF ＝∠OCM.∵四边形ABCD 是正方形，∴AC ⊥BD.∴∠ABF ＝∠COM＝90°. ∴△ABF ∽△COM. ∴CM AF ＝CO AB .∴CM CN ＝CO AB ＝22，即CM ＝22CN. 由(1)知EO CB ＝EM CM ＝22，∴EM ＝22CM ＝22×22CN ＝12CN.8．(2016·玉林)如图1，菱形ABCD 对角线AC ，BD 的交点O 是四边形EFGH 对角线FH 的中点，四个顶点A ，B ，C ，D 分别在四边形EFGH 的边EF ，FG ，GH ，HE 上． (1)求证：四边形EFGH 是平行四边形；(2)如图2，若四边形EFGH 是矩形，当AC 与FH 重合时，已知ACBD ＝2，且菱形ABCD 的面积是20，求矩形EFGH 的长与宽．解：(1)证明：∵四边形ABCD 为菱形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD.又∵O 为FH 的中点， ∴OF ＝OH.在△AOF 和△COH 中，⎩⎪⎨⎪⎧OA ＝OC ，∠AOF ＝∠COH，OF ＝OH ，∴△AOF ≌△COH.∴∠AFO ＝∠CHO.∴EF ∥GH.同理可证∴EH∥FG. △BOF ≌△DOH. ∴∠OFB ＝∠OHD.∴四边形EFGH 是平行四边形． (2)∵S 菱形ABCD ＝12AC·BD＝20，又ACBD ＝2，解得AC ＝45，BD ＝2 5.在△AOB 和△AGH 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAO＝∠CAG，∠AOB ＝∠AGC，∴△AOB ∽△AGH. ∴AO BO ＝AG GH ＝AC BD ＝21. 设GH ＝x ，则AG ＝2x.∴x 2＋(2x)2＝(45)2，解得x ＝4. ∴矩形EFGH 长与宽分别是8和4.9．(2016·南宁)已知四边形ABCD 是菱形，AB ＝4，∠ABC ＝60°，∠EAF 的两边分别与射线CB ，DC 相交于点E ，F ，且∠EAF＝60°.(1)如图1，当点E 是线段CB 的中点时，直接写出线段AE ，EF ，AF 之间的数量关系； (2)如图2，当点E 是线段C B 上任意一点时(点E 不与B ，C 重合)，求证：BE ＝CF ； (3)如图3，当点E 在线段CB 的延长线上，且∠EAB＝15°时，求点F 到BC 的距离．解：(1)AE ＝EF ＝AF.(2)证明：连接AC ，∵∠BAC ＝∠EAF＝60°， ∴∠BAE ＝∠CAF.在△BAE 和△CAF 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BAE＝∠CAF，BA ＝CA ，∠B ＝∠ACF，∴△BAE ≌△CAF.∴BE ＝CF.(3)过点A 作AG⊥BC 于点G ，过点F 作FH⊥BC 于点H ， ∵∠EAB ＝15°，∠ABC ＝60°， ∴∠AEB ＝45°.在Rt △ABG 中，∵∠ABC ＝60°，AB ＝4， ∴BG ＝2，AG ＝2 3.在Rt △AEG 中，∵∠AEG ＝∠EAG＝45°， ∴AG ＝GE ＝2 3.∴EB ＝EG －BG ＝23－2. ∵△AEB ≌△AFC ，∴AE ＝AF ，EB ＝CF ＝23－2，∠AEB ＝∠AFC＝45°. ∵∠EAF ＝60°，AE ＝AF ， ∴△AEF 是等边三角形． ∴∠AEF ＝∠AFE＝60°.∵∠AEB ＝45°，∠AEF ＝60°， ∴∠CEF ＝∠AEF－∠AEB＝15°. 在Rt △EFH 中，∠CEF ＝15°， ∴∠EFH ＝75°. ∵∠AFE ＝60°，∴∠AFH ＝∠EFH－∠AFE＝15°.∵∠AFC ＝45°，∴∠CFH ＝∠AFC－∠AFH＝30°. 在Rt △CHF 中，∵∠CFH ＝30°，CF ＝23－2， ∴FH ＝CF·cos 30°＝(23－2)×32＝3－ 3. ∴点F 到BC 的距离为3－ 3.10．(2016·枣庄)如图，把△EFP 放置在菱形ABCD 中，使得顶点E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上．已知EP ＝FP ＝6，EF ＝63，∠BAD ＝60°，且AB ＞6 3. (1)求∠EPF 的大小；(2)若AP ＝10，求AE ＋AF 的值；(3)若△EFP 的三个顶点E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上运动，请直接写出AP 长的最大值和最小值．解：(1)过点P 作PG⊥EF 于G. ∵PE ＝PF ＝6，EF ＝63，∴FG ＝EG ＝33，∠FPG ＝∠EPG＝12∠EPF.在Rt △FPG 中，sin ∠FPG ＝FG PF ＝336＝32.∴∠FPG ＝60°.∴∠EPF ＝2∠FPG＝120°.(2)作PM⊥AB 于M ，PN ⊥AD 于N. ∵AC 为菱形ABCD 的对角线，∴∠DAC ＝∠BAC，AM ＝AN ，PM ＝PN. 在Rt △PME 和Rt △PNF 中， PM ＝PN ，PE ＝PF ，∴Rt △PME ≌Rt △PNF. ∴NF ＝ME.又AP ＝10，∠PAM ＝12∠DAB＝30°，∴AM ＝AN ＝AP·cos 30°＝10×32＝5 3. ∴AE ＋AF ＝(AM ＋ME)＋(AN －NF)＝AM ＋AN ＝10 3.(3)如图，当△EFP 的三个顶点E ，F ，P 分别在线段AB ，AD ，AC 上运动时，点P 在P 1，P 2之间运动，易知P 1O ＝P 2O ＝3，AO ＝9，∴AP 的最大值为12，最小值为6.11．(2016·东营)如图1，△ABC 是等腰直角三角形，∠BAC ＝90°，AB ＝AC ，四边形ADEF 是正方形，点B ，C 分别在边AD ，AF 上，此时BD ＝CF ，BD ⊥CF 成立．(1)当△ABC 绕点A 逆时针旋转θ(0°＜θ＜90°)时，如图2，BD ＝CF 成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(2)当△ABC 绕点A 逆时针旋转45°时，如图3，延长BD 交CF 于点H. ①求证：BD⊥CF；②当AB ＝2，AD ＝32时，求线段DH 的长．解：(1)BD ＝CF 成立．证明如下：由题意，得∠CAF＝∠BAD＝θ. 在△CAF 和△BAD 中，⎩⎪⎨⎪⎧CA ＝BA ，∠CAF ＝∠BAD，FA ＝DA ，∴△CAF ≌△BAD ，∴BD ＝CF.(2)①证明：由(1)得△CAF≌△BAD， ∴∠CFA ＝∠BDA.∵∠FNH ＝∠DNA，∠DNA ＋∠NDA＝90°， ∴∠CFA ＋∠FNH＝90°. ∴∠FHN ＝90°，即BD⊥CF. ②连接DF ，延长AB 交DF 于M ，∵四边形ADEF 是正方形，AD ＝32，AB ＝2， ∴AM ＝DM ＝3，BM ＝AM －AB ＝1， DB ＝DM 2＋BM 2＝10. ∵∠MAD ＝∠MDA＝45°， ∴∠AMD ＝90°.又∵∠DHF＝90°，∠MDB ＝∠HDF， ∴△DMB ∽△DHF. ∴DM DH ＝DB DF ，即3DH ＝106.解得DH ＝9105.。

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滚动小专题(六) 与三角形有关的计算与证明
1．(2016·泉州)如图，△ABC ，△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE＝90°，点E 在AB 上．求证：△CDA≌△CEB.
证明：∵△ABC，△CDE 均为等腰直角三角形，∠ACB ＝∠DCE＝90°，
∴CE ＝CD ，BC ＝AC.
∴∠ACB －∠ACE＝∠DCE－∠ACE.
∴∠ECB ＝∠DCA.
在△CDA 与△CEB 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠DCA ＝∠ECB，DC ＝EC ，
∴△CDA ≌△CEB.
2．(2016·河北)如图，点B ，F ，C ，E 在直线l 上(F ，C 之间不能直接测量)，点A ，D 在l 异侧，测得AB ＝DE ，AC ＝DF ，BF ＝EC.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)指出图中所有平行的线段，并说明理由．
解：(1)证明：∵BF＝EC ，
∴BF ＋FC ＝EC ＋FC ，即BC ＝EF.
又AB ＝DE ，AC ＝DF ，
∴△ABC ≌△DEF.
(2)AB∥DE，AC ∥DF.
理由：∵△ABC≌△DEF，
∴∠ABC ＝∠DEF，∠ACB ＝∠DFE.
∴AB∥DE，AC ∥DF.
3．(2016·襄阳)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC，且BD ＝CD ，DE ⊥AB 于点E ，DF ⊥AC 于点F.
(1)求证：AB ＝AC ； (2)若AD ＝23，∠DAC ＝30°，求AC 的长．
解：(1)证明：∵AD 平分∠BAC，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，∴DE ＝DF.
∵BD ＝CD ，
∴Rt △BDE ≌Rt △CDF.
∴∠B ＝∠C.∴AB＝AC.
(2)∵AB＝AC ，BD ＝CD ，∴AD ⊥BC.
∴AC ＝AD cos30°
＝4.
4．(2016·北京)如图，在四边形ABCD 中，∠ABC ＝90°，AC ＝AD ，M ，N 分别为AC ，CD 的中点，连接BM ，MN ，BN.
(1)求证：BM ＝MN ；
(2)若∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD，AC ＝2，求BN 的长．
解：(1)证明：在△CAD 中，∵M ，N 分别是AC ，CD 的中点，∴MN ∥AD 且MN ＝12AD. 在Rt △ABC 中，∵M 是AC 的中点，∴BM ＝12
AC. 又∵AC＝AD ，∴MN ＝BM.
(2)∵∠BAD ＝60°且AC 平分∠BAD，
∴∠BAC ＝∠DAC＝30°.
由(1)知，BM ＝12
AC ＝AM ＝MC ， ∴∠BMC ＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°.
∵MN ∥AD ，∴∠NMC ＝∠DAC＝30°.
∴∠BMN ＝∠BMC＋∠NMC＝90°.
∴BN 2＝BM 2＋MN 2. 而由(1)知，MN ＝BM ＝12AC ＝12
×2＝1，∴BN ＝ 2.
5．(2016·泰州)如图，△ABC 中，A B ＝AC ，E 在BA 的延长线上，AD 平分∠CAE.
(1)求证：AD∥BC；
(2)过点C 作CG⊥AD 于点F ，交AE 于点G ，若AF ＝4，求BC 的长．
解：(1)证明：∵AD 平分∠CAE，
∴∠DAG ＝12
∠CAG. ∵AB ＝AC ，
∴∠B ＝∠ACB.
∵∠CAG ＝∠B＋∠ACB，∴∠B ＝12
∠CAG. ∴∠B ＝∠DAG.∴AD∥BC.
(2)∵CG⊥AD，∴∠AFC ＝∠AFG＝90°.
在△AFC 和△AFG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠CAF＝∠GAF，AF ＝AF ，∠AFC ＝∠AFG，
∴△AFC ≌△AFG(ASA)．
∴CF ＝GF.
∵AD ∥BC ，
∴△AGF ∽△BGC.
∴GF ∶GC ＝AF∶BC＝1∶2.
∴BC ＝2AF ＝2×4＝8.
6．(2015·菏泽)如图，已知∠ABC＝90°，D 是直线AB 上的点，AD ＝BC.
(1)如图1，过点A 作AF⊥AB，并截取AF ＝BD ，连接DC 、DF 、CF ，判断△CDF 的形状并证明；
(2)如图2，E 是直线BC 上一点，且CE ＝BD ，直线AE 、CD 相交于点P ，∠APD 的度数是一个固定的值吗？若是，请求出它的度数；若不是，请说明理由．
解：(1)△CDF 是等腰直角三角形．理由如下：
∵AF ⊥A D ，∠ABC ＝90°，
∴∠FAD＝∠DBC.
在△FAD 与△DB C 中，
⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，∠FAD ＝∠DBC，AF ＝BD ，
∴△FAD ≌△DBC(SAS)．
∴FD ＝DC.
∴△CDF 是等腰三角形．
∵△FAD ≌△DBC ，
∴∠FDA ＝∠DCB.
∵∠BDC ＋∠DCB＝90°，
∴∠BDC ＋∠FDA＝90°，即∠CDF＝90°.
∴△CDF 是等腰直角三角形．
(2)∠APD 的度数是固定值．
作AF⊥AB 于A ，使AF ＝BD ，连接DF ，CF.
∵AF ⊥AD ，∠ABC ＝90°，
∴∠FAD ＝∠DBC，AF ∥CE.
在△FAD 与△DBC 中，⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝BC ，∠FAD ＝∠DBC，AF ＝BD ，
∴△FAD ≌△DBC(SAS)．
∴FD ＝DC.
∴△CDF 是等腰三角形．
∵△FAD ≌△DBC ，
∴∠FDA ＝∠DCB.
∵∠BDC ＋∠DCB＝90°，
∴∠BDC ＋∠FDA＝90°.
∴△CDF 是等腰直角三角形．
∴∠FCD ＝45°.
∵AF ∥CE ，且AF ＝CE ，
∴四边形AFCE 是平行四边形．
∴AE∥CF.
∴∠APD ＝∠FCD＝45°.
7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 为△ABC 的角平分线，将线段BM 绕点B 顺时针方向旋转使点M 刚好落在AM 的延长线上的点N 处，此时作ND⊥BC 于点D.
(1)求证：∠ABN＝90°；
(2)求证：CM ＝BD ；
(3)若BD ＝32
DM ，AB ＝10，求线段BN 的长．
解：(1)证明：∵线段BM 绕点B 旋转后得线段BN ，
∴BM ＝BN.
∴∠CMA ＝∠BMN＝∠BNM.
又∵AM 平分∠BAC，
∴∠CAM ＝∠BAM. ∴△ACM ∽△ABN.
∴∠ABN ＝∠C＝90°.
(2)证明：过点M 作ME⊥AB 于点E.
∵AM 平分∠BAC，∠C ＝90°， ME ⊥AB ，
∴ME ＝CM.
∵ND ⊥BC ，
∴∠MEB ＝∠BDN＝∠ABN＝90°.
∴∠MBE ＋∠MBN＝∠MBN＋∠BND＝90°.
∴∠MBE ＝∠BND.
∵∠MEB ＝∠BDN，∠MBE ＝∠BND，BM ＝BN ，
∴△MEB ≌△BDN.
∴ME ＝BD.∴CM＝BD.
(3)设DM ＝2x ，则CM ＝BD ＝3x ，BN ＝BM ＝BD ＋DM ＝5x.
在Rt △BDN 中，DN ＝BN 2－BD 2＝4x.
在Rt △MDN 中，tan ∠MND ＝DM DN ＝2x 4x ＝12
. ∵∠C ＝∠NDM＝90°，∴AC ∥DN.
∴∠BAM ＝∠CAM＝∠MND.
∴tan ∠BAM ＝tan ∠MN D ＝12
. 在Rt △ABN 中，BN ＝AB·tan ∠BAM ＝10×12＝5.。