初二上第12章整式的乘除2

2017年06月28日成都七中育才【学道】28的初中数学组卷一．解答题（共40小题）1．阅读下列材料，并解决后面的问题．材料：我们知道，n个相同的因数a相乘记为a n，如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若a n=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b （即log a b=n），如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24=；log216=；log264=．（2）通过观察（2）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式？（3）由（2）题猜想，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N=（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），（4）根据幂的运算法则：a m•a n=a m+n以及对数的定义证明（3）中的结论．2．分解因式：（1）2x2﹣7x+3（2）（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8（3）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a．3．设m＞n＞0，m2+n2=4mn，求的值．4．m取什么值时，x3+y3+z3+mxyz（xyz≠0）能被x+y+z整除？5．已知1+2+3+…+n=，这里n为任意正整数，请你利用恒等式（n+1）3=n3+3n2+3n+1，推导出12+22+32+…+n2的计算公式．6．如果有理数m可以表示成2x2﹣6xy+5y2（其中x、y是任意有理数）的形式，我们就称m为“世博数”．（1）两个“世博数”a、b之积也是“世博数”吗？为什么？（2）证明：两个“世博数”a、b（b≠0）之商也是“世博数”．7．找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．8．若（z﹣x）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，证明：2y=x+z．9．某次有10支球队参加的足球比赛，实行主客场双循环赛制，即任何两队分别在主场和客场各比赛一场，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．（1）试问这次比赛共进行了多少场？（2）若每场比赛都取得最高分，则这次比赛各队积分的总和是多少若每场比赛都取得最低分，则这次比赛各队积分的总和是多少？（3）若比赛结束后按积分的高低排出名次，在积分榜上位次相邻的两支球队积分差距最多可达几分？10．已知25x=2000，80y=2000，求的值．11．（1）已知：a+b=3，ab=2．求a2+b2的值．（2）已知：a﹣b=1，a2+b2=4，求ab的值．12．（1）猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；（2）应用：已知x﹣，求x2+的值；（3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值．13．请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，求：①a+b的值；②a4﹣b4的值．14．把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？15．如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形（a＞b），沿图中虚线用剪刀均匀分成四块相同小长方形，然后按图2方式拼成一个大正方形（1）你认为图2中大正方形的边长为；小正方形（阴影部分）的边长为．（用含a、b代数式表示）（2）仔细观察图2，利用图2中存在的面积关系，直接写出下列三个代数式：（a ﹣b）2，（a+b）2，4ab之间的等量关系（3）利用（2）中得出的结论解决下面的问题：已知a+b=7，ab=6，求代数式（a ﹣b）的值．16．用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形．（1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式成立；（2）利用（1）中的结论计算：a+b=2，ab=，求a﹣b；（3）根据（1）中的结论，直接写出x+和x﹣之间的关系；若x2﹣3x+1=0，分别求出x+和（x﹣）2的值．17．如图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状围成一个正方形．（1）图②中的阴影部分面积为；（2）观察图②，请你写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是．（3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了．（4）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．（在图中标出相应的长度）18．在A型纸片（边长为a的正方形），B型纸片（边长为b的正方形），C型纸片（长为a，宽为b的长方形）各若干张．（1）取A型纸片1张，B型纸片4张，C型纸片4张，拼成一个大正方形，画出示意图，你能得到反映整式乘法运算过程的等式吗？（2）分别取A型、B型、C型纸片若干张，拼成一个正方形，使所拼正方形的面积为4a2+4ab+b2，画出示意图，你能得到反映因式分解过程的等式吗？（3）用这3种纸片，每种各10张，从其中取出若干张卡片，每种至少取1张，把取出的纸片拼成一个正方形，请问一共能拼出多少种不同大小的正方形？简述理由．19．用2个边长为a cm的大正方形，2个边长为b cm的小正方形，5个长、宽分别为a cm、b cm的全等小长方形拼成了如图所示的大长方形．若4个正方形的面积和为68cm2，1个小长方形的面积为15cm2，求这个大长方形的周长．20．计算并观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=；（x﹣1）（x2+x+1）=；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=；（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接写下面的空格．（x﹣1）（）=x6﹣1；（3）利用你发现的规律计算：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=；（4）利用该规律计算1+4+42+43+…+42013=．21．计算：（1）a（a+b）﹣b（a﹣b）（2）（x﹣2y）（2y+x）+（2y+x）2﹣2x（x+2y）22．（1）填空：（m+）（m﹣）=（2）化简求值：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．23．阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题：经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（2+1）（2﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=．（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=．（3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．24．比较大小：2100与375（说明理由）25．计算：（1）34×36（2）a2×（﹣a）2（3）（3ab7）2（4）（x﹣y）3（x﹣y）2（5）（x2）5×（﹣x）5（6）（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4．26．计算：（1）34×36=（2）x•x7=（3）a2•a4+（a3）2=（4）（﹣2ab3c2）4=（5）（﹣3xy3）3=（6）（﹣0.125）2015×82016=．27．用简便方法计算下列各题：（1）（）2016×（﹣1.25）201728．已知a3n=8，b2n=9，求a n•b n的值．29．计算或因式分解（1）计算：（﹣3+2a）2（2）计算：+﹣|﹣|×（﹣2）3（3）计算：（6x4y2+8x3y4）÷2xy2﹣（﹣2xy）2（4）因式分解：（a﹣2）（a﹣4）+1．30．计算：（1）2（x2）3•x2﹣（3x4）2；（2）（2x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣1）2．31．王老师家买了一套新房，其结构如图所示，（单位：米）他打算将卧室铺上木地板，其余部份铺上地砖．（1）木地板和地砖分别需要多少平方米？（2）如果地砖的价格为每平方米x元，木地板的价格为每平方米3x元，那么王老师需要花多少钱？32．先化简，再求值：[（x+y）2﹣y（2x+y）﹣8x]÷2x，其中x=﹣2．33．如图，某体育训练基地，有一块边长为（6m+5n）米的正方形土地，现准备在这块正方形土地上修建一个长为（2m+3n）米，宽为（m+2n）米的长方形游泳池，剩余部分则全部修建成休息区域．（结果化简）（1）求休息区域的面积；（2）为了满足更多人需求，现要扩大游泳池，使游泳池的长增加（2m+n）米，宽增加（3m+n）米，正方形土地的面积不变，则扩大游泳池后休息区域的面积是多少？34．先化简，再求值（x﹣2）2+2（x+2）（x﹣4）﹣（x﹣3）（x+3），其中x=﹣1．35．化简求值．（a+b）（a﹣b）+（a+b）2，其中a=3，b=﹣．36．先简化、再求值：[（x+2y）2﹣（x+y）（3x﹣y）﹣5y2]÷2x，其中x=﹣2，y=．37．先化简，再求值：（3x﹣y）2+（3x+y）（3x﹣y），其中x=1，y=﹣2．38．已知x2﹣9=0，求代数式x2（x+1）﹣x（x2﹣1）﹣x﹣7的值．39．先化简，再求值：，其中a=﹣1．40．先化简，再求值：x（x﹣4y）+（2x+y）（2x﹣y）﹣（2x﹣y）2，其中x=﹣2，．2017年06月28日成都七中育才【学道】28的初中数学组卷参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．（2016•曲阜市校级自主招生）阅读下列材料，并解决后面的问题．材料：我们知道，n个相同的因数a相乘记为a n，如23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若a n=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b （即log a b=n），如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24=2；log216=4；log264=6．（2）通过观察（2）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式？log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式？（3）由（2）题猜想，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N=log a MN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0），（4）根据幂的运算法则：a m•a n=a m+n以及对数的定义证明（3）中的结论．【分析】（1）根据题意可以得到题目中所求式子的值；（2）根据题目中的式子可以求得它们之间的关系；（3）根据题意可以猜想出相应的结论；（4）根据同底数幂的乘法和对数的性质可以解答本题．【解答】解：（1）log24=log222=2，log216=log224=4，log264=log226=6，故答案为：2，4，6；（2）由题意可得，4×16=64，log24、log216、log264之间满足的关系式是log24+log216=log264；（3）猜想的结论是：log a M+log a N=log a MN，故答案为：log a MN；（4）证明：设log a M=m，log a N=n，∴M=a m，N=a n，∴MN=a m+n，∴log a M+log a N=log a MN．【点评】本题考查同底数幂的乘法、新定义，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．2．（2016•濮阳校级自主招生）分解因式：（1）2x2﹣7x+3（2）（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8（3）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a．【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可；（2）把x2+2x看做一个整体，利用十字相乘法分解即可；（3）先利用分组分解法分解，再提公因式即可．【解答】解：（1）2x2﹣7x+3=（2x﹣1）（x﹣3）；（2）（x2+2x）2﹣7（x2+2x）﹣8=（x2+2x﹣8）（x2+2x+1）=（x+4）（x﹣2）（x+1）2；（3）x2+2x﹣15﹣ax﹣5a=（x+5）（x﹣3）﹣a（x+5=（x+5）（x﹣3﹣a）．【点评】本题考查的是多项式的因式分解，掌握分组分解法、公式法因式分解是解题的关键．3．（2014•福州校级自主招生）设m＞n＞0，m2+n2=4mn，求的值．【分析】根据m2+n2=4mn，求得（m+n）2=6mn，（m﹣n）2=2mn，又m＞n＞0，得到m+n=，m﹣n=，即可解答．【解答】解：∵m2+n2=4mn，∴（m+n）2=6mn，（m﹣n）2=2mn，又∵m＞n＞0，∴m+n=，m﹣n=，∴．【点评】本题考查了完全平方公式，解决本题的关键是熟记完全平方公式．4．（2014•雨花区校级自主招生）m取什么值时，x3+y3+z3+mxyz（xyz≠0）能被x+y+z整除？【分析】当x3+y3+z3+mxyz能被x+y+z整除时，它含有x+y+z 因式，运用赋值法即可求解．【解答】解：当x3+y3+z3+mxyz能被x+y+z整除时，它含有x+y+z 因式，令x+y+z=0，得x=﹣（y+z），代入原式其值必为0，即[﹣（y+z）]3+y3+z3﹣myz（y+z）=0，把左边因式分解，得﹣yz（y+z）（m+3）=0，∵xyz≠0，∴x≠0，∵x=﹣（y+z），∴（y+z）≠0，∴当m+3=0时等式成立，∴当m=﹣3时，x，y，z不论取什么值，原式都能被x+y+z整除．【点评】此题考查了整式的除法，本题用到的其实还是逆推，要想整除必定含有x+y+z这个因式，然后巧妙的运用赋值法降低解题难度．5．（2013•徐汇区校级自主招生）已知1+2+3+…+n=，这里n为任意正整数，请你利用恒等式（n+1）3=n3+3n2+3n+1，推导出12+22+32+…+n2的计算公式．【分析】根据已知等式得到n3﹣（n﹣1）3=3n2﹣3n+1公式的n的式子，相加推导出12+22+32+42+…+n2的公式．【解答】解：∵n3﹣（n﹣1）3=3n2﹣3n+1，∴当式中的n从1、2、3、依次取到n时，就可得下列n个等式：13﹣03=3﹣3+1，23﹣13=3×22﹣3×2+1，33﹣23=3×32﹣3×3+1，…，n3﹣（n﹣1）3=3n2﹣3n+1，将这n个等式的左右两边分别相加得：n3=3×（12+22+32+…+n2）﹣3×（1+2+3+…+n）+n，即12+22+32+42+…+n2==n（n+1）（2n+1）．【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．6．（2012•宣州区校级模拟）如果有理数m可以表示成2x2﹣6xy+5y2（其中x、y 是任意有理数）的形式，我们就称m为“世博数”．（1）两个“世博数”a、b之积也是“世博数”吗？为什么？（2）证明：两个“世博数”a、b（b≠0）之商也是“世博数”．【分析】先将有理数m=2x2﹣6xy+5y2变形为（x﹣2y）2+（x﹣y）2，可知“世博数”m=p2+q2（其中p、q是任意有理数）．两个“世博数”a、b，不妨设a=j2+k2，b=r2+s2，其中j、k、r、s为任意给定的有理数．（1）a、b之积为=（jr+ks）2+（js﹣kr）2是“世博数”；（2）a、b（b≠0）之商=也是“世博数”．【解答】解：∵m=2x2﹣6xy+5y2=（x﹣2y）2+（x﹣y）2，其中x、y是有理数，∴“世博数”m=p2+q2（其中p、q是任意有理数），只须p=x﹣2y，q=x﹣y即可．（3分）∴对于任意的两个两个“世博数”a、b，不妨设a=j2+k2，b=r2+s2，其中j、k、r、s 为任意给定的有理数，（3分）则（1）ab=（j2+k2）（r2+s2）=（jr+ks）2+（js﹣kr）2是“世博数”；（3分）（2）=也是“世博数”．（3分）【点评】本题考查了因式分解的应用，掌握“世博数”的概念是解题的关键，注意“世博数”m=p2+q2（其中p、q是任意有理数）．7．（2010•越城区校级自主招生）找出能使二次三项式x2+ax﹣6可以因式分解（在整数范围内）的整数值a，并且将其进行因式分解．【分析】根据十字相乘法的分解方法和特点可知：a是﹣6的两个因数的和，则﹣6可分成3×（﹣2），﹣3×2，6×（﹣1），﹣6×1，共4种，所以将x2+ax﹣6分解因式后有4种情况．【解答】解：x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）；x2﹣x﹣6=（x﹣3）（x+2）；x2+5x﹣6=（x+6）（x﹣1）；x2﹣5x﹣6=（x﹣6）（x+1）．【点评】本题考查十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察，尝试，并体会它实质是二项式乘法的逆过程，常数﹣6的不同分解是本题的难点．8．（2010•阜阳校级自主招生）若（z﹣x）2﹣4（x﹣y）（y﹣z）=0，证明：2y=x+z．【分析】由于（z﹣x）2=（x﹣z）2=（x﹣y+y﹣z）2，然后利用完全平方公式即可证明结论．【解答】证明：∵（z﹣x）2=（x﹣z）2=（x﹣y+y﹣z）2，∴（z﹣x）2﹣4（x﹣y）（y﹣z），=（x﹣y+y﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z），=（x﹣y）2+2（x﹣y）（y﹣z）+（y﹣z）2﹣4（x﹣y）（y﹣z），=（x﹣y）2﹣2（x﹣y）（y﹣z）+（y﹣z）2，=[（x﹣y）﹣（y﹣z）]2，∴（x﹣y）﹣（y﹣z）=0，∴x﹣y=y﹣z，即2y=x+z．【点评】此题主要考查了整式的运算，解题的关键是多次利用完全平方公式把整式根据需要变形．9．（2006•启东市校级自主招生）某次有10支球队参加的足球比赛，实行主客场双循环赛制，即任何两队分别在主场和客场各比赛一场，胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．（1）试问这次比赛共进行了多少场？（2）若每场比赛都取得最高分，则这次比赛各队积分的总和是多少若每场比赛都取得最低分，则这次比赛各队积分的总和是多少？（3）若比赛结束后按积分的高低排出名次，在积分榜上位次相邻的两支球队积分差距最多可达几分？【分析】（1）每只球队要进行的比赛的场数是9场，有10支球队又由实行的主客场的双循环赛制，因此比赛的场数应该是9×10=90场；（2）每场比赛都取得最高分，即一个队胜一个队负．因此一场最多拿3分，然后根据（1）得出的场数算出各队比赛的总积分．每场比赛都取得最低分，那么就是每场都打平，因此一场最少拿2分．然后根据（1）的场数算出积分总和；（3）位次相邻的两支球队的积分差距最大，我们可以想象一下，如果有第一名球队参赛的比赛场次都拿最高分即3分，而没有第一名参赛的场次每场都拿最低分即2分（参赛的两队各拿一分），那么第一名的积分应该是9×2×3=54分．而其他的球队在没有第一名参赛的比赛中都是平局因此积分是8×2×1=16分，因此积分的最大差距是38分．【解答】解：（1）由题意，比赛的总场数应该是9×10=90场；（2）若每场比赛都取得最高分，则这次比赛各队积分之总和是90×3=270，若每场比赛都取得最低分，则这次比赛各队积分之总和是90×2=180；（3）设积分第一名球队为全胜，有积分3×18=54分，无第一名球队参赛的比赛均为平局，则其余球队的积分均为16分．在积分榜上位次相邻的两支球队积分差距最多可达38分．【点评】本题考查的是球类比赛的积分问题，只要弄清楚不同情况下场次和积分的不同关系就能顺利解答了．10．已知25x=2000，80y=2000，求的值．【分析】因为x、y为指数，我们目前无法求出x、y的值，而=，其实只需求出x+y、xy的值或它们的关系，自然想到指数运算律．【解答】解：由已知得=25，=80，两式相乘，得×==25×80=2000，所以=1．【点评】本题考查了同底数幂的乘法运算法则，将已知条件转化为分数指数是解题的关键．11．（2016秋•尚志市期末）（1）已知：a+b=3，ab=2．求a2+b2的值．（2）已知：a﹣b=1，a2+b2=4，求ab的值．【分析】（1）依据a2+b2=（a+b）2﹣2ab求解即可；（2）依据2ab=（a2+b2）﹣（a﹣b）2求解即可．【解答】解：（1）a2+b2=（a+b）2﹣2ab=32﹣2×2=5；（2）2ab=（a2+b2）﹣（a﹣b）2=4﹣1=3．∴ab=1.5．【点评】本题主要考查的是完全平方公式的应用，应用公式进行适当变形是解题的关键．12．（2016春•泰州校级期末）（1）猜想：试猜想a2+b2与2ab的大小关系，并说明理由；（2）应用：已知x﹣，求x2+的值；（3）拓展：代数式x2+是否存在最大值或最小值，不存在，请说明理由；若存在，请求出最小值．【分析】（1）判断两式大小，利用完全平方公式验证即可；（2）已知等式两边平方，利用完全平方公式化简，整理求出所求式子的值即可；（3）利用得出的规律确定出代数式的最小值即可．【解答】解：（1）猜想a2+b2≥2ab，理由为：∵a2+b2﹣2ab=（a﹣b）2≥0，∴a2+b2≥2ab；（2）把x﹣=5两边平方得：（x﹣）2=x2+﹣2=25，则x2+=27；（3）x2+≥2，即最小值为2．【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13．（2016秋•天门期末）请认真观察图形，解答下列问题：（1）根据图中条件，用两种方法表示两个阴影图形的面积的和（只需表示，不必化简）；（2）由（1），你能得到怎样的等量关系？请用等式表示；（3）如果图中的a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，求：①a+b的值；②a4﹣b4的值．【分析】（1）直接把两个正方形的面积相加或利用大正方形的面积减去两个长方形的面积；（2）利用面积相等把（1）中的式子联立即可；（3）注意a，b都为正数且a＞b，利用（2）的结论进行探究得出答案即可．【解答】解：（1）两个阴影图形的面积和可表示为：a2+b2或（a+b）2﹣2ab；（2）a2+b2=（a+b）2﹣2ab；（3）∵a，b（a＞b）满足a2+b2=53，ab=14，∴①（a+b）2=a2+b2+2ab=53+2×14=81∴a+b=±9，又∵a＞0，b＞0，∴a+b=9．②∵a4﹣b4=（a2+b2）（a+b）（a﹣b），且∴a﹣b=±5又∵a＞b＞0，∴a﹣b=5，∴a4﹣b4=（a2+b2）（a+b）（a﹣b）=53×9×5=2385．【点评】本题考查对完全平方公式几何意义的理解与运用，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几何意义；主要围绕图形面积展开分析．14．（2016秋•扶沟县期末）把几个图形拼成一个新的图形，再通过图形面积的计算，常常可以得到一些有用的式子，或可以求出一些不规则图形的面积．（1）如图1，是将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c 的正方形，试用不同的方法计算这个图形的面积，你能发现什么结论，请写出来．（2）如图2，是将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起，B、C、G三点在同一直线上，连接BD和BF，若两正方形的边长满足a+b=10，ab=20，你能求出阴影部分的面积吗？【分析】（1）此题根据面积的不同求解方法，可得到不同的表示方法．一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积，种是大正方形的面积，可得等式（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac，（2）利用S=正方形ABCD的面积+正方形ECGF的面积﹣三角形BGF的面积﹣阴影三角形ABD的面积求解．【解答】（1）（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac（2）∵a+b=10，ab=20，∴S=a2+b2﹣（a+b）•b﹣a2=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣ab=×102﹣阴影×20=50﹣30=20．【点评】本题考查了完全平方公式几何意义，解题的关键是注意图形的分割与拼合，会用不同的方法表示同一图形的面积．15．（2016秋•内江期末）如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形（a＞b），沿图中虚线用剪刀均匀分成四块相同小长方形，然后按图2方式拼成一个大正方形（1）你认为图2中大正方形的边长为（a+b）；小正方形（阴影部分）的边长为（a﹣b）．（用含a、b代数式表示）（2）仔细观察图2，利用图2中存在的面积关系，直接写出下列三个代数式：（a ﹣b）2，（a+b）2，4ab之间的等量关系（3）利用（2）中得出的结论解决下面的问题：已知a+b=7，ab=6，求代数式（a ﹣b）的值．【分析】（1）本题可以直接求阴影部分正方形的边长，计算面积；也可以用正方形的面积减去四个小长方形的面积，得阴影部分的面积；（2）由（1）即可得出三个代数式之间的等量关系；（3）将a+b=7，ab=6，代入三个代数式之间的等量关系即可求出（a﹣b）2的值．【解答】解：（1）图2中大正方形的边长为（a+b）；小正方形（阴影部分）的边长为（a﹣b）；（2）三个代数式之间的等量关系是：（a+b）2=（a﹣b）2+4ab；（3）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=25，所以a﹣b=5；故答案为：（a+b）；（a﹣b）．【点评】本题主要考查公式变形能力，如何准确地确定三个代数式之间的等量关系是解题的关键．16．（2016春•杭州期末）用四块完全相同的小长方形拼成的一个“回形”正方形．（1）用不同代数式表示图中的阴影部分的面积，你能得到怎样的等式，试用乘法公式说明这个等式成立；（2）利用（1）中的结论计算：a+b=2，ab=，求a﹣b；（3）根据（1）中的结论，直接写出x+和x﹣之间的关系；若x2﹣3x+1=0，分别求出x+和（x﹣）2的值．【分析】（1）根据阴影部分的面积=4个小长方形的面积=大正方形的面积﹣小正方形的面积，利用完全平方公式，即可解答；（2）根据完全平方公式解答；（3）根据完全平分公式解答．【解答】解：（1）阴影部分的面积为：4ab或（a+b）2﹣（a﹣b）2，得到等式：4ab=（a+b）2﹣（a﹣b）2，说明：（a+b）2﹣（a﹣b）2=a2+2ab+b2﹣（a2﹣2ab+b2）=a2+2ab+b2﹣a2+2ab﹣b2=4ab．（2）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab==4﹣3=1，∴a﹣b=±1．（3）根据（1）中的结论，可得：，∵x2﹣3x+1=0，方程两边都除以x得：，∴，∴．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，准确识图，根据阴影部分的面积的两种不同表示方法得到的代数式的值相等列式是解题的关键．17．（2016春•莘县期末）如图①是一个长为2m、宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状围成一个正方形．（1）图②中的阴影部分面积为（m+n）2﹣4mn或（m﹣n）2；（2）观察图②，请你写出三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2．（3）实际上有许多代数恒等式可以用图形的面积来表示，如图③，它表示了（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2．（4）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）=m2+4mn+3n2．（在图中标出相应的长度）【分析】（1）根据图形表示出阴影部分的面积即可；（2）根据（1）中的结果得出即可；（3）根据大长方形面积等于长乘以宽或5个矩形面积和的两种不同算法可列出等式；（4）画出长m+n和宽m+3n的矩形，再分成8个矩形即可．【解答】解：（1）图②中阴影部分的面积为（m+n）2﹣4mn或（m﹣n）2，故答案为：（m+n）2﹣4mn或（m﹣n）2；（2）三个代数式（m+n）2，（m﹣n）2，mn之间的等量关系是（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2，故答案为：（m+n）2﹣4mn=（m﹣n）2；（3）图③表示的关系式为：（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2，故答案为：（2m+n）（m+n）=2m2+3mn+n2；（4）如图所示：．【点评】本题考查了完全平方公式的几何背景，属于基础题，注意仔细观察图形，表示出各图形的面积是关键．18．（2016春•寿光市期末）在A型纸片（边长为a的正方形），B型纸片（边长为b的正方形），C型纸片（长为a，宽为b的长方形）各若干张．（1）取A型纸片1张，B型纸片4张，C型纸片4张，拼成一个大正方形，画出示意图，你能得到反映整式乘法运算过程的等式吗？（2）分别取A型、B型、C型纸片若干张，拼成一个正方形，使所拼正方形的面积为4a2+4ab+b2，画出示意图，你能得到反映因式分解过程的等式吗？（3）用这3种纸片，每种各10张，从其中取出若干张卡片，每种至少取1张，把取出的纸片拼成一个正方形，请问一共能拼出多少种不同大小的正方形？简述理由．【分析】（1）如图所示，根据边长和面积写出等式即可；（2）如图所示，根据面积的等式画出图形，并根据边长分解因式；（3）有六种不同大小的正方形．【解答】解：（1）如图得：（a+2b）（a+2b）=a2+4ab+4b2；（2）如图，得：4a2+4ab+b2=（2a+b）2；（3）（a+b）2=a2+2ab+b2（a+2b）2=a2+4ab+4b2（a+3b）2=a2+6ab+9b2（2a+b）2=4a2+4ab+b2（2a+2b）2=4a2+8ab+4b2（3a+b）2=9a2+6ab+b2（3a+2b）2=9a2+12ab+4b2（不合题意）所以可以拼出6种不同大小的正方形．【点评】本题考查了因式分解的意义和完全平方公式的几何背景，与几何图形相结合，利用组合后所成长方形的面积与组合图形的面积相等列式即可．19．（2016春•工业园区期末）用2个边长为a cm的大正方形，2个边长为b cm 的小正方形，5个长、宽分别为a cm、b cm的全等小长方形拼成了如图所示的大长方形．若4个正方形的面积和为68cm2，1个小长方形的面积为15cm2，求这个大长方形的周长．【分析】由题意可求得a2+b2和ab的值，利用完全平方公式可求得a+b，则可求得大长方形的周长．【解答】解：由题意可知2a2+2b2=68，ab=15，∴a2+b2=34，2ab=30，∴（a+b）2=a2+2ab+b2=34+30=64，∴a+b=±8，∵a+b＞0，∴a+b=8，∴6（a+b）=48（cm）．答：这个大长方形的周长为48cm．【点评】本题主要考查完全平方公式的灵活运用，利用条件求得a2+b2和ab的值是解题的关键．20．（2016秋•望谟县期末）计算并观察下列各式：（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1；（2）从上面的算式及计算结果，你发现了什么？请根据你发现的规律直接写下面的空格．（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）=x6﹣1；（3）利用你发现的规律计算：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1；（4）利用该规律计算1+4+42+43+…+42013=（42014﹣1）．【分析】（1）利用平方差公式，依此类推得到结果即可；（2）利用发现的规律填写即可；（3）利用得出的规律计算得到结果；（4）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．【解答】解：（1）（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1；（2）（x﹣1）（x5+x4+x3+x2+x+1）=x6﹣1；（3）利用你发现的规律计算：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1；（4）1+4+42+43+…+42013=×（4﹣1）×（1+4+42+43+…+42013）=（42014﹣1）．故答案为：（1）x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；（2）x5+x4+x3+x2+x+1；（3）x7﹣1；（4）（42014﹣1）．【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．21．（2016秋•黄埔区期末）计算：（1）a（a+b）﹣b（a﹣b）（2）（x﹣2y）（2y+x）+（2y+x）2﹣2x（x+2y）【分析】根据整式运算的法则即可求出答案．【解答】解：（1）原式=a2+ab﹣ab+b2=a2+b2（2）原式=（x2﹣4y2）+（x2+4xy+4y2）﹣（2x2+4xy）=0【点评】本题考查整式运算，涉及多项式乘以多项式，完全平方公式．22．（2016春•碑林区校级期末）（1）填空：（m+）（m﹣）=m2﹣（2）化简求值：（1﹣）（1﹣）（1﹣）…（1﹣）（1﹣）．【分析】（1）根据平方差公式即可求出答案．（2）根据平方公式进行因式分解即可求出答案．【解答】解：（1）原式=m2﹣（2）原式=（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）…（1﹣）（1+）（1﹣）（1+）=×××…×=×=故答案为：（1）m2﹣【点评】本题考查平方差公式，解题的关键是熟练运用平方差公式进行计算或因式分解，本题属于中等题型．23．（2016春•密云县期末）阅读材料后解决问题：小明遇到下面一个问题：计算（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）．经过观察，小明发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）=（2+1）（2﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）=（24﹣1）（24+1）（28+1）=（28﹣1）（28+1）=216﹣1请你根据小明解决问题的方法，试着解决以下的问题：（1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=232﹣1．（2）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=．（3）化简：（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．【分析】（1）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；（2）原式变形后，利用题中的规律计算即可得到结果；（3）分m=n与m≠n两种情况，化简得到结果即可．【解答】解：（1）原式=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）=232﹣1；故答案为：232﹣1（2）原式=（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）（38+1）（316+1）=；故答案为：；（3）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）．当m≠n时，原式=（m﹣n）（m+n）（m2+n2）（m4+n4）（m8+n8）（m16+n16）=；当m=n时，原式=2m•2m2…2m16=32m31．【点评】此题考查了平方差公式，弄清题中的规律是解本题的关键．24．（2017春•江都区月考）比较大小：2100与375（说明理由）【分析】根据幂的乘方，可化成指数相同的幂，根据指数相同，底数越大，幂越大，可得答案．【解答】解：2100＜375，理由：2100=（24）25=1625，375=（33）25=2725，27＞16，2725＞1625，∴2100＜375．【点评】本题考查了幂的乘方，先化成指数相同的幂，再比较大小．25．（2017春•淮安月考）计算：（1）34×36（2）a2×（﹣a）2（3）（3ab7）2（4）（x﹣y）3（x﹣y）2（5）（x2）5×（﹣x）5（6）（m4）2+m5•m3+（﹣m）4•m4．【分析】（1）根据同底数幂的乘法即可求出答案．（2）根据积的乘方和同底数幂的乘法公式即可求出答案（3）根据积的乘方即可求出答案（4）根据同底数幂的乘法即可求出答案（5）根据幂的乘法公式与同底数幂的乘法即可求出答案（6）先根据幂的乘法公式进行化简，然后利用整式加减运算即可求出答案．【解答】解：（1）原式=310，（2）原式=a2×a2=a4，（3）原式=9a2b14，（4）原式=（x﹣y）5，（5）原式=﹣x10×x5=﹣x15（6）原式=m8+m8+m8=3m8，【点评】本题考查学生的计算能力，解题的关键是熟练运用整式乘法的运算公式，本题属于基础题型．26．（2017春•宿城区校级月考）计算：（1）34×36=310（2）x•x7=x8（3）a2•a4+（a3）2=2a6（4）（﹣2ab3c2）4=16a4b12c8（5）（﹣3xy3）3=﹣27x3y9（6）（﹣0.125）2015×82016=﹣8．【分析】（1）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；（2）直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案；（3）直接利用同底数幂的乘法运算法则结合合并同类项法则计算得出答案；（4）直接利用积的乘方运算法则计算得出答案；（5）直接利用积的乘方运算法则计算得出答案；（6）直接利用积的乘方运算法则将原式变形计算得出答案．【解答】解：（1）原式=310．故答案为：310．（2）原式=x8；故答案为：x8；（3）原式=a6+a6=2a6；故答案为：2a6；（4）原式=16a4b12c8．故答案为：16a4b12c8；（5）原式=﹣27x3y9；故答案为：2a6；（6）原式=（﹣0.125）2015×82015×8=（﹣0.125×8）2015×8=﹣8．故答案为：﹣8．【点评】此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项等知识，正确掌握运算法则是解题关键．27．（2017春•江都区月考）用简便方法计算下列各题：（1）（）2016×（﹣1.25）2017。