高中数学选修4-4北师大版 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化教案 Word版
2.2 点的极坐标与直角坐标的互化 学案 (北师大选修4-4)
§2 极坐标系 2.1 极坐标系的概念2.2 点的极坐标与直角坐标的互化1．掌握极坐标的概念，弄清极坐标的结构(建立极坐标的四要素)． 2．理解广义极坐标下点的极坐标(ρ，θ)与点之间的多对一的对应关系．3．已知一点的极坐标，能在极坐标系中描点，能进行点的极坐标与直角坐标的互化．1．极坐标系的概念 (1)极坐标系的建立．如图，在平面内取一个定点O ，叫作____，从点O 引一条射线Ox ，叫作____，选定一个________和__的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为________．(2)点的极坐标的规定．①如图，对于平面内任意一点M ，用ρ表示线段OM 的长，θ表示以Ox 为始边、OM 为终边的角，ρ叫作点M 的____，θ叫作点M 的____，有序实数对(ρ，θ)叫作点M 的______，记作M ______.当点M 在极点时，它的极径ρ＝__，极角θ可以取______．②为了研究问题方便，极径ρ也允许取负值．当ρ＜0时，点M (ρ，θ)的位置可以按下列规则确定：作射线OP ，使∠xOP ＝θ，在OP 的__________上取一点M ，使|OM |＝|ρ|，这样点M 的坐标就是(ρ，θ)，如下图：【做一做1－1】在极坐标系中，与点π36⎛⎫ ⎪⎝⎭，重合的点是( )． A ．⎝⎛⎭⎫3，136π B ．⎝⎛⎭⎫3，－π6 C ． ⎝⎛⎭⎫3，176π D ．⎝⎛⎭⎫3，－56π 【做一做1－2】在极坐标系中，与(ρ，θ)关于极轴对称的点是( )． A ．(ρ，θ) B ．(ρ，－θ) C ．(ρ，θ＋π) D ．(ρ，π－θ) 2．点的极坐标与直角坐标的互化 (1)互化的前提条件．如图，建立一个平面直角坐标系，把平面直角坐标系的原点作为____，x 轴的正半轴作为____，建立极坐标系，并且两种坐标系中取相同的________．(2)互化公式．如上图，设M 是平面内的任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)．如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，那么除____外，平面内点的直角坐标与极坐标之间就是一一对应的．①点M 的极坐标(ρ，θ)化为直角坐标(x ，y )的公式是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ .②点M 的直角坐标(x ，y )化为极坐标(ρ，θ)的公式是⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝ ，tan θ＝ .【做一做2－1】点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫5，23π，化成直角坐标形式是__________． 【做一做2－2】点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫－2，－π3，化成直角坐标形式是__________． 【做一做2－3】点P 的直角坐标为(6，2)，化成极径是正值，极角在0到2π之间的极坐标为__________．1．建立极坐标系的意义 剖析：我们已经知道，确定平面内一个点的位置时，有时是依靠水平距离与垂直距离(即“长度”与“长度”，这就是直角坐标系的基本思想)这两个量来刻画，有时却是依靠距离与方位角(即“长度”与“角度”，这就是极坐标系的基本思想)这两个量来刻画．在生活中，如在台风预报、地震预报、测量、航空、航海中，甚至更贴近我们生活的如我们听到的声音，不但有高低之分，还有方向之分，我们能够辨别出声源的相对位置，这些都要用距离和方向来确定一点的位置．有些复杂的曲线，比如说环绕一点作旋转运动的点的轨迹，用直角坐标表示，形式极其复杂，但用极坐标表示，就变得十分简单且便于处理．在应用上有重要价值的等速螺线，它的直角坐标x 与y 之间的关系很难确定，可是它的极坐标ρ与θ却有一个简单的一次函数关系，我们将在后一节的内容中学习极坐标形式下的一些简单曲线方程．总之，使用极坐标是人们生产生活的需要．平面内建立直角坐标系是人们公认的最容易接受并且被经常采用的方法，但它并不是确定点的位置的唯一方法．2．极坐标系下点与它的极坐标对应情况剖析：(1)给定点(ρ，θ)，就可以在极坐标平面内确定唯一的一个点M ；(2)给定平面上一点M ，却有无数个极坐标与之对应．原因在于极角有无数个．答案：1．(1)极点 极轴 单位长度 角 极坐标系(2)①极径 极角 极坐标 (ρ，θ) 0 任意值 ②反向延长线【做一做1－1】A 当k ∈Z 时，(ρ，θ)，(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，θ＋(2k ＋1)π)表示同一个点．因为13π6＝π6＋2π，所以点⎝⎛⎭⎫3，π6与⎝⎛⎭⎫3，13π6表示同一个点，即重合． 【做一做1－2】B 极径为ρ，极角为θ，θ关于极轴对称的角为负角－θ，故所求的点为(ρ，－θ)．2．(1)极点 极轴 单位长度 (2)原点 ①ρcos θ ρsin θ ②x 2＋y 2 yx(x ≠0)【做一做2－1】⎝⎛⎭⎫－52，532 x ＝5cos 23π＝－52，y ＝5sin 23π＝532.所以点M 的直角坐标为⎝⎛⎭⎫－52，532.【做一做2－2】(－1，3) 因为点A 的极坐标又可以写成⎝⎛⎭⎫2，2π3， 所以x ＝ρcos θ＝2cos 2π3＝2×⎝⎛⎭⎫－12＝－1， y ＝ρsin θ＝2sin 2π3＝2×32＝ 3.所以点A 的直角坐标为(－1，3)．【做一做2－3】⎝⎛⎭⎫22，π6 ρ＝ 6 2＋ 2 2＝22，tan θ＝26＝33，又点P 在第一象限，得θ＝π6，因此点P 的极坐标是⎝⎛⎭⎫22，π6.题型一 极坐标系中点的表示【例1】已知点M 的极坐标为⎝⎛⎭⎫5，π3，下列给出的四个坐标中能表示点M 的坐标的是( )．A ．⎝⎛⎭⎫5，－π3B ．⎝⎛⎭⎫5，43π C ．⎝⎛⎭⎫5，－23π D ．⎝⎛⎭⎫5，－53π 反思：在极坐标系中，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一个点．特别注意，极点O 的坐标为(0，θ)(其中θ可以取任意值)．这与直角坐标系中的点与有序实数对一一对应的关系不同，极坐标平面内的点的极坐标可以有无数多种表示．题型二 对称性问题【例2】在极坐标系中，点A 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π6.(限定ρ＞0，0≤θ＜2π) (1)点A 关于极轴对称的点的极坐标是__________； (2)点A 关于极点对称的点的极坐标是__________；(3)点A 关于直线θ＝π2对称的点的极坐标是__________．反思：在极坐标系中，点(ρ，θ)关于极轴所在直线对称的点的极坐标为(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，关于直线θ＝π2对称的点的极坐标为(ρ，2k π＋π－θ)(k ∈Z )，关于极点对称的点的极坐标为(ρ，θ＋π＋2k π)(k ∈Z )．题型三 点的极坐标与直角坐标的互化【例3】(1)把点M 的极坐标⎝⎛⎭⎫8，2π3化成直角坐标； (2)把点P 的直角坐标(6，－2)化成极坐标(ρ＞0,0≤θ＜2π)． 分析：本题考查的是直角坐标与极坐标的互化公式的应用．反思：由直角坐标化成极坐标时，算出tan θ＝－33，仅根据0≤θ＜2π，只能得出θ＝5π6或θ＝11π6，要确定极角，需再根据点所在的象限来判断．答案：【例1】D 与点M 终边相同的极坐标可以表示为⎝⎛⎭⎫5，2k π＋π3(k ∈Z )，即极径相等，极角相差2π的整数倍．根据选项，当k ＝－1时，2k π＋π3＝－2π＋π3＝－53π，即⎝⎛⎭⎫5，－53π能表示点M .【例2】(1)⎝⎛⎭⎫3，11π6 (2)⎝⎛⎭⎫3，7π6 (3)⎝⎛⎭⎫3，5π6 通过作图可求解． 【例3】解：(1)x ＝8cos 2π3＝－4，y ＝8sin 2π3＝43，因此点M 的直角坐标是(－4,43)．(2)ρ＝ 6 2＋ －2 2＝22，tan θ＝－26＝－33，又因为点P 在第四象限，故θ＝11π6.因此点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫22，11π6.1在极坐标系中与点A(3，π3-)关于极轴所在的直线对称的点的极坐标是( )． A ．2π33⎛⎫ ⎪⎝⎭， B ．π33⎛⎫ ⎪⎝⎭， C ．4π33⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．5π36⎛⎫ ⎪⎝⎭，2在极坐标系中，确定点π26M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，的位置，下面方法正确的是( )．A ．作射线OP ，使π6xOP ∠=，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝2B ．作射线OP ，使π6xOP ∠=，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2C ．作射线OP ，使7π6xOP ∠=，再在射线OP 的反向延长线上取点M ，使|OM |＝2D ．作射线OP ，使π6xOP ∠=-，再在射线OP 上取点M ，使|OM |＝23点M 的极坐标为π4,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，化为直角坐标为__________．4将下列各点由直角坐标化为极径ρ是正值，极角在0到2π之间的极坐标．(1)；(2)(2--，．答案： 1．B 极坐标系中的点(ρ，θ)关于极轴所在直线的对称点的极坐标为(ρ，2k π－θ)(k ∈Z )，利用这个规律即可判断之．与点A ⎝⎛⎭⎫3，－π3关于极轴所在直线的对称的点的极坐标可以表示为⎝⎛⎭⎫3，2k π＋π3(k ∈Z )，这时只有选项B 满足条件．2．B 本题涉及到极径为负值时的坐标表示．当ρ＜0时，表示点(ρ，θ)的方法如下：作射线OP ，使∠xOP ＝θ.在OP 反向延长线上取一点M ，使|OM |＝|ρ|，故B 项正确．3．(22，－22) x ＝ρcos θ＝4cos ⎝⎛⎭⎫－π4＝4×22＝22， y ＝ρsin θ＝4sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝4×⎝⎛⎭⎫－22＝－22， ∴M (22，－22)．4．解：(1)ρ＝32＋ 3 2＝23，tan θ＝y x ＝33，又点(3，3)在第一象限，所以θ＝π6.所以点(3，3)的极坐标为⎝⎛⎭⎫23，π6. (2)ρ＝ －2 2＋ －23 2＝4，tan θ＝y x ＝－23－2＝3，又点(－2，－23)在第三象限，所以θ＝4π3.所以点(－2，－23)的极坐标为⎝⎛⎭⎫4，4π3.。
曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化课件-北师大版高中数学选修4-4
π ∴这是过极点且倾斜角为 3 的射线的极坐标方程．
π ∴射线 y＝ 3x(x≥0)的极坐标方程为 θ＝ 3 (ρ≥0)．
(2)将 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入 x2＋y2＝r2，得 ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＝r2，∴ρ2＝r2(r>0)． ∵ρ≥0，∴ρ＝r 为所求．
题型二 极坐标方程化为直角坐标方程
曲线的极坐标方程与直角坐标方程的相互转化及应用 (1)与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样，以平面直角坐 标系的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取 相同的长度单位．平面内的曲线(含直线)的极坐标方程与直角坐 标方程也可以进行互相转化． (2)较简单曲线的极坐标方程可直接求，较复杂曲线的极坐标 方程可以先求直角坐标方程，然后再转化． (3)极坐标方程对应曲线的形状往往不易看出，通常是先转化 为直角坐标方程，然后再分析形状.
【答案】 3
课后巩固
1．把方程 x＋ 3y＝0 化为极坐标方程为( )
π A．ρsin(θ＋ 6 )＝0
π B．ρcos( 6 ＋θ)＝0
π C．ρsin( 6 －θ)＝0
答案 A
π D．ρcos( 6 －θ)＝0
π 解析 把 x＝ρcosθ，y＝ρsinθ代入并化简得 ρsin(θ＋ 6 )＝0，故
4．已知直线的极坐标方程为
π ρsin(θ＋ 4 )＝
22，则极点到该
直线的距离是________．
答案
2 2
5．求下列各圆的圆心坐标和半径． (1)ρ＝cosθ＋ 3sinθ； (2)ρ2＋4ρsinθ＋1＝0； (3)ρ2－2ρ(cosθ＋ 3sinθ)＝5.
π 解析 (1)圆心为(1， 3 )，半径为 1.
数学选修4-4教案：(第4课)极坐标与直角坐标的互化
课 题: (第4课)极坐标与直角坐标的互化教学目标：1、掌握极坐标和直角坐标的互化关系式2、会实现极坐标和直角坐标之间的互化教学重点：对极坐标和直角坐标的互化关系式的理解教学难点：互化关系式的掌握教学方法：启发诱导，讲练结合。
教 具：多媒体、实物投影仪教学过程：一、复习引入：情境1：若点作平移变动时，则点的位置采用直角坐标系描述比较方便;情境2：若点作旋转变动时，则点的位置采用极坐标系描述比较方便问题1：如何进行极坐标与直角坐标的互化？问题2：平面内的一个点的直角坐标是)3,1(，这个点如何用极坐标表示？学生回顾理解极坐标的建立及极径和极角的几何意义正确画出点的位置，标出极径和极角，借助几何意义归结到三角形中求解二、讲解新课：直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位。
平面内任意一点P 的指教坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩说明1上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式2通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2。
3互化公式的三个前提条件1. 极点与直角坐标系的原点重合;2. 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合;3. 两种坐标系的单位长度相同.例4．（1）把点M 的极坐标)32,8(π化成直角坐标 （2）把点P 的直角坐标)2,6(-化成极坐标变式训练在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离例5.若以极点为原点,极轴为x 轴正半轴,建立直角坐标系.(1)已知A 的极坐标),35,4(π求它的直角坐标, (2)已知点B 和点C 的直角坐标为)15,0()2,2(--和 求它们的极坐标.ρ(＞0,0≤θ＜2π)变式训练把下列个点的直角坐标化为极坐标(限定ρ＞0,0≤θ＜π2) )4,3(),4,3(),2,0(),1,1(----D C B A例6.在极坐标系中,已知两点)32,6(),6,6(ππB A . 求A,B 中点的极坐标.三、课堂练习：在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(ππP N M -. 判断P N M ,,三点是否在一条直线上.四、课堂小结：1．互化公式cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 222tan x y y x ρθ⎧=+⎪⎨=⎪⎩2．互化公式的三个前提条件1. 极点与直角坐标系的原点重合;2. 极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合;3. 两种坐标系的单位长度相同.五、课外作业：作业：教材P15页12，13。
高中数学 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化2.5圆锥曲线统一的极坐标方程导学案北师大版选修4-4
2.3 直线和圆的极坐标方程2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化*2.5 圆锥曲线统一的极坐标方程1．能在极坐标系中,求直线或圆的极坐标方程．2．会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化． 3．了解圆锥曲线统一的极坐标方程．1．直线和圆的极坐标方程 (1)极坐标方程与曲线．在极坐标系中,曲线可以用含有ρ,θ这两个变量的方程φ(ρ,θ)＝0来表示．如果曲线C 上的点与一个二元方程φ(ρ,θ)＝0建立了如下关系：①曲线C 上的每个点的极坐标中__________满足方程φ(ρ,θ)＝0； ②极坐标满足方程φ(ρ,θ)＝0的__都在曲线C 上．那么方程φ(ρ,θ)＝0叫作曲线C 的__________,曲线C 叫作极坐标方程φ(ρ,θ)＝0的____．(2)直线的极坐标方程．直线l 经过极点,倾斜角为α,则直线l 的极坐标方程是__________． (3)圆的极坐标方程．①圆心在极点,半径为r 的圆的极坐标方程是______；②圆心在(a,0)(a ＞0),半径为a 的圆的极坐标方程是________．【做一做1－1】在极坐标系中,过点M ⎝⎛⎭⎪⎫2，π2,且平行于极轴的直线的极坐标方程是__________．【做一做1－2】在极坐标系中,圆心在点⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2(a ＞0)处,且过极点的圆的极坐标方程是( )．A ．ρ＝2a cos θB ．ρ＝2a sin θ(0≤θ≤π)C ．ρ＝a tan θD ．ρ＝2a tan θ(0≤θ≤π) 2．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化根据点的直角坐标与极坐标互化关系式,曲线方程两种形式的互化可以顺利完成． 点的直角坐标与极坐标互化关系如下：(1)点M 的极坐标(ρ,θ)化为直角坐标(x ,y )的公式：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ ，y ＝ ；(2)点M 的直角坐标(x ,y )化为极坐标(ρ,θ)的公式：⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝ ，tan θ＝ x ≠0.【做一做2－1】极坐标方程cos θ＝22(ρ≥0)表示的曲线是( )． A ．余弦曲线 B ．两条相交直线 C ．一条射线 D ．两条射线【做一做2－2】直角坐标方程x 2＋(y －2)2＝4化为极坐标方程为__________． 3．圆锥曲线统一的极坐标方程圆锥曲线统一的极坐标方程是ρ＝________, 当0＜e ＜1时,它表示____； 当e ＝1时,它表示______； 当e ＞1时,它表示______．【做一做3】把极坐标方程ρ＝42－cos θ化为直角坐标方程．1．求曲线的极坐标方程的步骤剖析：(1)建立适当的极坐标系,设P (ρ,θ)是曲线上的任意一点；(2)由曲线上的点所满足的条件,列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式f (ρ,θ)＝0；(3)将列出的关系式f (ρ,θ)＝0进行整理,化简,得出曲线的极坐标方程；(4)证明所得的方程就是曲线的极坐标方程,若方程的推导过程正确,化简过程都是同解变形,这一证明可以省略．2．直角坐标与极坐标互化时的注意事项剖析：(1)两组公式是在三个条件规定下得到的；(2)由直角坐标求极坐标时,理论上不是唯一的,但一般约定只在规定范围内求值； (3)由直角坐标方程化为极坐标方程,最后要化简；(4)由极坐标方程化为直角坐标方程时要注意变形的等价性,通常总要用ρ去乘方程的两端．答案：1．(1)①至少有一组(ρ,θ) ②点 极坐标方程 曲线 (2)θ＝α(ρ∈R ) (3)①ρ＝r ②ρ＝2a cos θ 【做一做1－1】ρsin θ＝2(ρ≥0) 如图,设P (ρ,θ)(ρ≥0)为所求直线上任意一点, 在Rt △OMP 中,ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2(ρ≥0),即ρsin θ＝2(ρ≥0)．【做一做1－2】B 如图所示,圆与射线OP 的交点为P ⎝⎛⎭⎪⎫2a ，π2,在圆上任取一点M (ρ,θ),连接OM 和MP ,则有OM ⊥MP ,在Rt △MOP 中,由Rt △MOP 的边角关系可得ρ＝2a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝2a sin θ(0≤θ≤π)． 2．(1)ρcos θ ρsin θ (2)x 2＋y 2yx【做一做2－1】D ∵cos θ＝22,∴ρcos θ＝22ρ. 两边平方,得x 2＝12(x 2＋y 2),即y ＝±x .又∵ρ≥0,∴ρcos θ＝x ≥0.∴y ＝±x (x ≥0)表示两条射线．【做一做2－2】ρ＝4sin θ x 2＋(y －2)2＝4可化为x 2＋y 2＝4y ,把x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入,得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝4ρsin θ,化简得ρ＝4sin θ.3．ep1－e cos θ椭圆 抛物线 双曲线 【做一做3】解：由ρ＝42－cos θ变形得2ρ－ρcos θ＝4,把ρ＝x 2＋y 2,x ＝ρcos θ代入,平方,得4x 2＋4y 2＝x 2＋8x ＋16,即3x 2－8x ＋4y 2－16＝0.题型一 求直线的极坐标方程【例1】设P ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4,直线l 过P 点且倾斜角为3π4,求直线l 的极坐标方程．分析：设M (ρ,θ)(ρ≥0)是直线l 上除P 点外的任意一点,极点为O ,构造三角形求OM . 反思：在极坐标系中,求直线的极坐标方程的一般方法为：设M (ρ,θ)为直线上任意一点,极点为O ,连接OM ,构造出含有OM 的三角形,再找出我们需求的ρ与θ的关系,即为直线的极坐标方程．也可以先求出直角坐标方程,再化为极坐标方程．题型二 求圆的极坐标方程【例2】求以C (4,0)为圆心,半径等于4的圆的极坐标方程．反思：在极坐标系中,求圆的极坐标方程时,关键是找出曲线上的点满足的关系,将它用坐标表示并化简,得到ρ和θ的关系,即为所求极坐标方程．题型三 极坐标方程和直角坐标方程的互化【例3】将下列式子进行直角坐标方程与极坐标方程之间的互化．(1)x 2＋y 2＝4；(2)(x －1)2＋(y ＋2)2＝4；(3)ρ＝3c O s θ；(4)ρ＝c O s ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4. 反思：极坐标系和直角坐标系都是用一对有序实数来确定平面上点的位置的方法,都是研究平面图形的重要工具．在进行极坐标方程与直角坐标方程互化时,除了正确使用互化公式外,还要注意变形的等价性．题型四 圆锥曲线的极坐标方程【例4】平面直角坐标系中,有一定点F (2,0)和一条定直线l ：x ＝－2.求与定点F 的距离和定直线l 的距离的比等于常数12的点的轨迹的极坐标方程．分析：用待定系数法求极坐标方程．反思：求圆锥曲线的极坐标方程,关键是建立极坐标系,明确P 的几何意义,求出e 和P ,圆锥曲线的极坐标方程就求出来了．答案：【例1】解：如图所示,设M (ρ,θ)(ρ≥0)为直线l 上除P 点外的任意一点,极点为O ,连接OM ,OP ,该直线交Ox 于点A ,则有|OM |＝ρ,|OP |＝2,∠MOP ＝|θ－π4|,∠OPM ＝π2,所以|OM |cos ∠MOP ＝|OP |,即ρcos ⎪⎪⎪⎪⎪⎪θ－π4＝2,即ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2,显然点P 也在这条直线上． 故所求直线的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2. 【例2】解：如图所示,由题设可知,这个圆经过极点,圆心在极轴上,设圆与极轴的另一个交点是A ,在圆上任取一点P (ρ,θ),连接OP ,PA,在Rt △OPA 中,|OA |＝8,|OP |＝ρ,∠AOP ＝θ,∴|OA |·cos θ＝ρ,即8cos θ＝ρ,即ρ＝8cos θ就是圆C 的极坐标方程． 【例3】解：(1)将x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝4得(ρcos θ)2＋(ρsin θ)2＝4,即ρ2＝4.(2)将(x －1)2＋(y ＋2)2＝4展开得x 2－2x ＋y 2＋4y ＝－1.将x ＝ρcos θ,y ＝ρsin θ代入x 2－2x ＋y 2＋4y ＝－1,得(ρcos θ)2－2ρcos θ＋(ρsin θ)2＋4ρsin θ＝－1.化简,得ρ2－2ρcos θ＋4ρsin θ＋1＝0.(3)因为ρ＝3cos θ,所以ρ2＝3ρcos θ,即x 2＋y 2＝3x .(4)由ρ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝cos θcos π4＋sin θsin π4 ＝22cos θ＋22sin θ. 整理,得ρ2＝22ρcos θ＋22ρsin θ, 即x 2＋y 2＝22x ＋22y . 即x 2－22x ＋y 2－22y ＝0. 【例4】解：过定点F 作定直线l 的垂线,垂足为K ,以F 为极点,FK 的反向延长线Fx 为极轴,建立极坐极系．由题意,设所求极坐标方程为ρ＝ep1－e cos θ,∵定点F (2,0),定直线l ：x ＝－2,∴p 为F 点到直线l 的距离,为2－(－2)＝4.又常数12＝e ,∴所求点的轨迹的极坐标方程为ρ＝ep 1－e cos θ＝12×41－12cos θ,即ρ＝42－cos θ.1极坐标方程为ρ＝2cos θ的圆的半径是( )．A ．1B ．2C ．12D ．3 2过点A (2,0),并且垂直于极轴的直线的极坐标方程是( )． A ．ρc O s θ＝2 B ．ρsin θ＝2 C ．ρc O s θ＝1 D ．ρsin θ＝13已知一条直线的极坐标方程为πsin 42ρθ⎛⎫+=⎪⎝⎭,则极点到该直线的距离是__________．4从原点O 引直线交直线2x ＋4y －1＝0于点M ,P 为射线OM 上一点,已知|OP |·|OM |＝1.求P 点的轨迹的极坐标方程．答案：1．A ∵ρ＝2cos θ,∴ρ2＝2ρcos θ,即x 2＋y 2＝2x .化简,得(x －1)2＋y 2＝1.∴半径为1. 2．A 如图所示,设M (ρ,θ)为直线上除A (2,0)外的任意一点,连接OM ,则有△AOM 为直角三角形,并且∠AOM ＝θ,|OA |＝2,|OM |＝ρ,所以有|OM |cos θ＝|OA |,即ρcos θ＝2,显然当ρ＝2,θ＝0时,也满足方程ρcos θ＝2,所以所求直线的极坐标方程为ρcos θ＝2.3．22 ∵ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝ρsin θcos π4＋ρcos θsin π4 ＝22ρsin θ＋22ρcos θ＝22, ∴ρsin θ＋ρcos θ＝1,即x ＋y ＝1.则极点到该直线的距离d ＝|0＋0－1|2＝22.4．解：以O 为极点,x 轴正方向为极轴建立极坐标系,直线2x ＋4y －1＝0的方程可化为2ρcos θ＋4ρsin θ－1＝0,设M (ρ0,θ0),P (ρ,θ),则2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝θ0，ρ0·ρ＝1，知⎩⎪⎨⎪⎧θ0＝θ，ρ0＝1ρ.代入2ρ0cos θ0＋4ρ0sin θ0－1＝0,得2×1ρcos θ＋4×1ρsin θ－1＝0,整理,得ρ＝2cos θ＋4sin θ.所以P 点的轨迹的极坐标方程为ρ＝2cos θ＋4sin θ.。
《 极坐标方程与直角坐标方程的互化》 (北师大版 选修4-4)
所以所求直线的方程为 ρcos θ ＝ 3.
课后检测
2．在极坐标平面上，求圆心为 A8，π3 ，半径为 5 的圆的方程．
解 在圆上任取一点 P(ρ，θ)，那么，在△AOP 中， |OA|＝8，|AP|＝5，∠AOP＝π3 －θ 或θ －π3 . 由余弦定理得 cosπ3 －θ＝822×＋8ρ·2－ρ52， 即 ρ2－16ρcosθ －π3 ＋39＝0 为所求圆的极坐标方程．
课本第17页 练习 第1,2,4，5题
点拨精讲
题型一 极坐标方程与直角坐标方程的互化
当堂检测
1. (1)将x2－y2＝a2化为极坐标方程； (2)将ρ＝2asin θ化为直角坐标方程． 解 (1)直接代入互化公式，ρ2cos2θ－ρ2sin2θ＝a2， ∴ρ2cos 2θ＝a2，这就是所求的极坐标方程． (2)两边同乘以ρ得ρ2＝2a×ρsin θ. ∴x2＋y2＝2ay，这就是要求的直角坐标方程．
北师大版 选修 4-4
第一章《坐标系》
§2.3 直线与圆的极坐标方程 §2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
知识回顾
1.点的极坐标与直角坐标互化的前提条件是什么？ 2.点的极坐标化为直角坐标的公式是什么？ 3.点的直角坐标化为极坐标的公式是什么？ 4.在平面直角坐标系中，如何求得曲线的方程？
所以，过 A2，π4 平行于极轴的直线方程为 ρsin θ ＝ 2.
当堂检测
2．求从极点出发，倾斜角是π4 的射线的极坐标方程．
解 设 M(ρ，θ)为射线上任意一点(如 图)，则射线就是集合
P＝M|∠xOM＝π4
.
将已知条件用坐标表示，得
θ ＝π4 (ρ≥0)．① 这就是所求的射线的极坐标方程．方
高中数学选修4-424曲线的极坐标方程和直角坐标方程的互化教案
单元（章节）课题
本节课题
2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
三维目标
知识与技能：掌握极坐标方程和直角坐标方程的互化关系式；会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化．
过程与方法：通过学生自主探究极坐标方程和直角坐标方程的互化关系式，培养学生自主学习能力和阅读能力；
情感,态度与价值观：培养学生数学表达能力。
提炼的课题
极坐标方程与直角坐标方程的互化
教学重难点
重点：掌握极坐标方程和直角坐标方程的互化关系式．
难点：实现ห้องสมุดไป่ตู้坐标方程和直角坐标方程之间的互化．
教学过程
一、情境导入
1.点的直角坐标与极坐标互化关系如下：
(1)点M的极坐标 化为直角坐标 的公式：
(2)点M的直角坐标 化为极坐标 的公式：
（1）将方程转化成含、、的式子；
（2）将 分别换成、、；
（3）整理、化简。
2.将曲线的直角坐标方程化成极坐标方程的基本步骤：
（1）将 分别换成、、；
（2）整理、化简。
五、课堂小结
你今天主要学习了什么？都有哪些收获？
课堂检测内容
1.把下面的极坐标方程转化为直角坐标方程.
（1） （2）
2.课本P17练习1.
课后作业布置
课本第18页A组5,6
预习内容布置
完成《极坐标习题二》
（1） （2） （3）
2．直角坐标方程化为极坐标方程的公式
（1） （2） （3）
三、典型例题
题型一：极坐标方程化为直角坐标方程
例1、将下列曲线的极坐标方程化成直角坐标方程：
题型二：直角坐标方程化为极坐标方程
例2.将下列曲线的直角坐标方程化成极坐标方程。
高二数学 4-4第一章坐标系全部教案
表示方法？（3）、坐标不唯一是由谁引起的？（4）、不同的极坐标是否可以写出统一
表达式。约定：极点的极坐标是 =0， 可以取任意角。
变式训练 ：在极坐标系里描出下列各点
A（3，0） B（6，2 ）C（3， ）D（5， 4 ）E（3， 5 ）F（4， ）G（6， 5 ）
2
3
6
3
例 2 在极坐标系中，
特别强调：由极径的意义可知 ≥0;当极角 的取值范围是[0,2 )时,平面上的 点(除去极点)就与极坐标（，）建立一一对应的关系 .们约定,极点的极坐标是极 径 =0,极角是任意角. 3、负极径的规定：在极坐标系中，极径 允许取负值，极角 也可以去任意的正角 或负角，当 ＜0 时，点 M （，）位于极角终边的反向延长线上，且 OM= 。
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
（二）、平面直角坐标轴中的伸缩变换
1、在平面直角坐标系中进行伸缩变换，即改变 x 轴或 y 轴的单位长度，将会对图形
产生影响。
2、探究：(1)在正弦曲线 y=sinx 上任取一点 P(x,y)，保持纵坐标不变，将横坐标 x
π 3
<0，解得 k=-1,
= 3
-2 =- 5 , 点 A 的坐标为（5，- 5 ）.
3
3
变式训练：1、若 ABC的的三个顶点为 A(5, 5 ), B(8, 5 ),C(3, 7 ),判断三角形的形状.
2
6
6
答案：正三角形。2、若 A、B 两点的极坐标为 (1,1), (2 ,2 ) 求 AB 的长以及 AOB 的 面积。（O 为极点）
高中北师大版数学选修4-4教学案...
⾼中北师⼤版数学选修4-4教学案... 2019新版⾼中北师⼤版数学选修4-4教学案：第⼀章曲线的极坐标⽅程与直⾓坐标⽅程的互化圆锥曲线统⼀的极坐标⽅程[对应学⽣⽤书P12]曲线的极坐标⽅程与直⾓坐标⽅程的互化(1)互化的前提条件：①极坐标系中的极点与直⾓坐标系中的原点重合．②极坐标系中的极轴与直⾓坐标系中的x 轴的正半轴重合．③两种坐标系中取相同的长度单位．(2)互化公式： x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，错误!(3)圆锥曲线统⼀的极坐标⽅程为：ρ＝.ρ＝1和ρ＝－1是同⼀个圆的极坐标⽅程，那么，该圆对应的直⾓坐标⽅程也有两个吗？提⽰：唯⼀的⼀个，x2＋y2＝1.[对应学⽣⽤书P13][例(1)x ＋y ＝0；(2)x2＋y2＋2ax ＝0(a≠0)；(3)(x －5)2＋y2＝25.[思路点拨] 本题考查极坐标与直⾓坐标互化公式的应⽤及转化与化归思想，解答此题，需要将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，及x2＋y2＝ρ2代⼊直⾓坐标⽅程，再化简即可．[精解详析] (1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代⼊x＋y＝0得ρcos θ＋ρsin θ＝0，∴ρ(cos θ＋sin θ)＝0.∴cos θ＋sin θ＝0.∴sin θ＝－cos θ.∴tan θ＝－1.∴θ＝(ρ≥0)和θ＝(ρ≥0)．综上所述，直线x＋y＝0的极坐标⽅程为θ＝(ρ≥0)和θ＝(ρ≥0)．(2)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代⼊x2＋y2＋2ax＝0得ρ2cos2θ＋ρ2sin2θ＋2aρcos θ＝0，即ρ(ρ＋2acos θ)＝0.∴ρ＝－2acos θ.∴圆x2＋y2＋2ax＝0(a≠0)的极坐标⽅程为ρ＝－2acos θ.(3)(x－5)2＋y2＝25，即：x2＋y2－10x＝0.把x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代⼊上式得：ρ2－10ρcos θ＝0.即ρ＝0或ρ＝10cos θ.∵极点ρ＝0在圆ρ＝10cos θ上，∴所求圆的极坐标⽅程为ρ＝10cos θ.将直⾓坐标⽅程化为极坐标⽅程，只需将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，x2＋y2＝ρ2代⼊化简即可，但化简时要注意变形的等价性．1．把圆的直⾓坐标⽅程(x－a)2＋(y－b)2＝r2化为极坐标⽅程．解：把x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代⼊⽅程(x－a)2＋(y－b)2。
高中数学北师大版选修4-4+2.4曲线的极坐标方程和直角坐标方程的互化教案
精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
高中数学极坐标与直角坐标的互化公开课精品教案教学设计
《极坐标与直角坐标的互化》教学设计一、教材分析《极坐标与直角坐标的互化》是高中新教材人教版选修4-4第一讲第二节的内容，是在学生已经学习过平面极坐标系的前提下，通过生活实例、学生之间相互讨论进行探究，在老师的引导下自主完成极坐标与直角坐标的互化的公式，并进行极坐标与直角坐标的互化.为后面学习简单曲线的极坐标方程及参数方程奠定基础.二、学情分析通过前面对极坐标的学习，学生已经对极坐标系以及点的极坐标表示有了了解.用坐标表示方位的思想已经普遍存在于日常生活中，所以学生对于极坐标与直角坐标的互化学习应该很容易接受.三、教学目标分析1.知识与技能：能够写出极坐标平面内点的极坐标的表示；学生自己探究出平面内一点极坐标与平面直角坐标的互化公式，能够利用互划公式解决相关习题.2.过程与方法：通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法；通过探究活动培养学生合作、观察、分析、比较和归纳能力.3.情感态度与价值观：通过数学家的浪漫故事引入，提升学生的学习兴趣，通过生活中的具体事例引入极坐标与平面直角坐标的互化，使学生认识极坐标与平面直角坐标的互化来描述实际问题的方便性及实用性，体验数学的实际应用价值.通过对问题的探究使学生享受到成功的喜悦.四、教学重难点：重点：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．难点：实现极坐标和直角坐标之间的互化．五、教学方法：情境引入法，体会数学之美实际问题设问，贴近生活小组合作研究法，解决相关问题谈话式教学法，老师提问学生回答六、教学基本流程七、教学过程1、复习引入：情境1：百岁山矿泉水广告情境2： 17 世纪著名的法国哲数学家笛卡尔，美丽的瑞典公主拉夏贝尔的爱情故事引出心形曲线)sin 1(θρ-=a .师生活动：讲述百岁山矿泉水广告里含有的故事，从而引出心型曲线，如果有学生知道就让学生来讲.设计意图：情境引入，引起学生的兴趣，渗透数学史.情境3：每一年的四月都会在安宁区仁寿山举行“桃花节”,会吸引来自于各地的游客前去观赏，某天，一旅客到达仁寿山顶入口处想去八卦台和寿台游览，但不认识路，刚巧遇到了两个当地人，分别询问了八卦台和寿仙台的位置. 甲回答：从入口处向东走3200米，再向北走200米就到八卦台了.乙回答：从入口处向东偏北︒60方向走400米就到寿仙台了.请问(1)甲、乙两人分别用到了什么数学思想回答旅客的问路？(2)我们如何能知道这名从入口出发游览两处景点后再回到入口共走了多少路程呢？ 师生互动：分别请两名同学在黑板上画出直角坐标系下和极坐标系下甲乙两人为游客所指的路，从而引出课题极坐标系和直角坐标系下的坐标互划问题.设计意图：通过现实生活中的实际问题引入问题，引发学生思并引入课题.2、新课探究：探究问题1：（1）极坐标与直角坐标互化时需要满足什么条件？（2）可以有几种方案解决上述问题？请你给出具体的解题过程.（3）请你总结出第一象限点的直角坐标和极坐标的互划公式.结论：直角坐标系的原点0为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：{θρθρsin cos ==y x { x y y x =+=θρtan 222说明（1）上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式（2）通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2.（3）互化公式的三个前提条件（1）极点与直角坐标系的原点重合;（2）极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合;（3）两种坐标系的单位长度相同.设计意图：通过引例中的问题的探究让同学们感受到直角坐标和极坐标的不同，具体解决问题中需要统一形式，从而引发学生研究解决问题的兴趣，小组合作学习提高学习效率，能很好的提升学习效果，解决问题的过程中培养和提高学生的发现能力和总结归纳能力.探究问题2：上面推导出来的公式是否适合平面内任意一个位置的点呢？师生互动：教师提问，学生小组讨论回答.。
江西省吉安县第三中学高中数学北师大版选修4-4：1.2.4 曲线的极坐标方程与直角坐标的互化161 学案
《选修4-4》2.4曲线的极坐标方程与直角坐标方程互化导学
提纲
【学习目标】
1、曲线的极坐标方程
2、两种方程的互化
【导读流程】
一、知识回顾：
极坐标与直角坐标的转换公式：
设点M 的直角坐标是 (x, y)，极坐标是 (ρ,θ)
θρθρsin ,cos ==y x )0(tan ,222≠=
+=x x
y y x θρ 二、课前思考 问题1：在直角坐标系中，以原点O 为圆心, 1为半径的圆的方程是什么？
问题2：在极坐标系中，以极点O 为圆心, 1为半径的圆的方程是什么？
问题3：曲线上的点的坐标都满足这个方程吗？
三、例题展示
【例1】指出下列方程所表示的曲线的形状.
θ
ρθρθρρθρπ
θρsin 12)4(0
5sin 6cos 3)3(;32cos )2(;2)3
cos(122+==-+-==-）（
【例2】将下列曲线的直线坐标方程化成极坐标方程 022;
02122=-+=--ax y x y x ）（）（
四、合作应用探究
探究一：求曲线θθρcos 3sin -=的曲线方程。
探究二：在极坐标系中,圆)3cos(3π
θρ-=极轴截得的弦长为_______
五、当堂检测
1、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-⋅=表示的曲线是__________
2、极坐标方程 3sin 42
=θ表示的曲线是________ 3、以），（4
2-π为圆心，2为半径的圆的极坐标方程为________。
高中数学《极坐标与直角坐标的互化》教案
《极坐标与直角坐标的互化》教学设计一、教材分析《极坐标与直角坐标的互化》是高中新教材人教版选修4-4第一讲第二节的内容，是在学生已经学习过平面极坐标系的前提下，通过生活实例、学生之间相互讨论进行探究，在老师的引导下自主完成极坐标与直角坐标的互化的公式，并进行极坐标与直角坐标的互化.为后面学习简单曲线的极坐标方程及参数方程奠定基础.二、学情分析通过前面对极坐标的学习，学生已经对极坐标系以及点的极坐标表示有了了解.用坐标表示方位的思想已经普遍存在于日常生活中，所以学生对于极坐标与直角坐标的互化学习应该很容易接受.三、教学目标分析1.知识与技能：能够写出极坐标平面内点的极坐标的表示；学生自己探究出平面内一点极坐标与平面直角坐标的互化公式，能够利用互划公式解决相关习题.2.过程与方法：通过自主探究体会数形结合、类比的数学思想方法；通过探究活动培养学生合作、观察、分析、比较和归纳能力.3.情感态度与价值观：通过数学家的浪漫故事引入，提升学生的学习兴趣，通过生活中的具体事例引入极坐标与平面直角坐标的互化，使学生认识极坐标与平面直角坐标的互化来描述实际问题的方便性及实用性，体验数学的实际应用价值.通过对问题的探究使学生享受到成功的喜悦.四、教学重难点：重点：掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．难点：实现极坐标和直角坐标之间的互化．五、教学方法：情境引入法，体会数学之美实际问题设问，贴近生活小组合作研究法，解决相关问题谈话式教学法，老师提问学生回答六、教学基本流程七、教学过程1、复习引入：情境1：百岁山矿泉水广告情境2： 17 世纪著名的法国哲数学家笛卡尔，美丽的瑞典公主拉夏贝尔的爱情故事引出心形曲线)sin 1(θρ-=a .师生活动：讲述百岁山矿泉水广告里含有的故事，从而引出心型曲线，如果有学生知道就让学生来讲.设计意图：情境引入，引起学生的兴趣，渗透数学史.情境3：每一年的四月都会在安宁区仁寿山举行“桃花节”,会吸引来自于各地的游客前去观赏，某天，一旅客到达仁寿山顶入口处想去八卦台和寿台游览，但不认识路，刚巧遇到了两个当地人，分别询问了八卦台和寿仙台的位置. 甲回答：从入口处向东走3200米，再向北走200米就到八卦台了.乙回答：从入口处向东偏北︒60方向走400米就到寿仙台了.请问(1)甲、乙两人分别用到了什么数学思想回答旅客的问路？(2)我们如何能知道这名从入口出发游览两处景点后再回到入口共走了多少路程呢？师生互动：分别请两名同学在黑板上画出直角坐标系下和极坐标系下甲乙两人为游客所指的路，从而引出课题极坐标系和直角坐标系下的坐标互划问题.设计意图：通过现实生活中的实际问题引入问题，引发学生思并引入课题.2、新课探究：探究问题1：（1）极坐标与直角坐标互化时需要满足什么条件？（2）可以有几种方案解决上述问题？请你给出具体的解题过程.（3）请你总结出第一象限点的直角坐标和极坐标的互划公式.结论：直角坐标系的原点0为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.平面内任意一点P 的直角坐标与极坐标分别为),(y x 和),(θρ，则由三角函数的定义可以得到如下两组公式： {θρθρsin cos ==y x { x y y x =+=θρtan 222说明（1）上述公式即为极坐标与直角坐标的互化公式（2）通常情况下，将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ≥0，0≤θ≤π2.（3）互化公式的三个前提条件（1）极点与直角坐标系的原点重合;（2）极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合;（3）两种坐标系的单位长度相同.设计意图：通过引例中的问题的探究让同学们感受到直角坐标和极坐标的不同，具体解决问题中需要统一形式，从而引发学生研究解决问题的兴趣，小组合作学习提高学习效率，能很好的提升学习效果，解决问题的过程中培养和提高学生的发现能力和总结归纳能力.探究问题2：上面推导出来的公式是否适合平面内任意一个位置的点呢？师生互动：教师提问，学生小组讨论回答.设计意图：利用类比的思想将公式推广平面内任意的点.在活动中培养学生小组互动探究学习的合作精神.3.举例应用：例1、【课本P10页例2题】把M 的极坐标)32,5(π化成直角坐标.例2、【课本P11页例3】已知M 的直角坐标)1,3(--化成极坐标.师生互动：学生板演，教师针对问题讲评.设计意图：本环节设计帮助学生更好的理解点的极坐标和直角坐标互划公式，在具体的操作中体会数形结合的思想、在板演中规范学生的答题格式.4.课堂练习：课本练习4、5师生互动：学生完成课本练习并回答，教师做出相应的点评.设计意图：学生练习，熟悉并记忆公式.5.拓展提高：在极坐标系中,已知三点)6,32(),0,2(),3,2(ππP N M -.判断P N M ,,三点是否在一条直线上. 师生互动：学生完成并回答，教师做出相应的点评.设计意图：学生练习，树立一题多解的解题模式.6.当堂小结：（1）极坐标与直角坐标互换的前提条件；（2）互换的公式；（3）互换的基本方法.7.课后作业：（1）课本P 12页习题1.2 第4、5题（2）ρ=2表示什么图形？（3）课后思考题：我们之前已经学习了圆的直角坐标方程，圆有极坐标方程么？是什么样的呢？7.板书设计：《极坐标与直角坐标互划》点评一、本节课能够体现先进的教育教学思想、教育观念。
2018年高中数学北师大版选修4-4课件： 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
π x＝8cos 6 x＝ρcos θ π 由公式y＝ρsin θ ，得 z＝z y＝8sin 6 z＝4 ∴P 点的直角坐标为(4 3，4,4)．
x＝4 3， ，即y＝4， z＝4.
•考点二 点的球坐标与直角坐标的互化
x ＋y ＋z ＝r x＝rsin φcos θ 运用公式 y＝rsin φsin θ z＝rcos φ
已知点 M 的柱坐标为
π π π 2，4，3，点 N 的球坐标为 2，4，2，求线
• 思维导引：把柱坐标与球坐标都化为直角坐标，利 用空间两点间的距离公式来解决．
x＝ρcos θ， 解 析 ： 设 点 M 的 直 角 坐 标 为 (x ， y ， z) ， 则 由 y＝ρsin θ， z＝z， π 4＝1， π 4＝1， 得
x＝ 2cos y＝ 2sin z＝3，
则 M(1,1,3)．
2 2 2 2 x ＋ y ＋ z ＝ r ， x＝rsin φcos θ， 设点 N 的直角坐标为(x′，y′，z′)，则由 y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ，
空间点 P 的直角坐标(x， y， z)与柱坐标(ρ， θ， z)之间的变换公式为y＝ρsin θ， z＝z.
•要点三 空间直角坐标系与柱坐标系的 转化 x＝ρcos θ，
•要点四 空间直角坐标系与球坐标系的转化
空间点 P 的直角坐标(x，y，z)与球坐标(r，φ，θ)之间的变换公式为
思维导引：已知点 M 的球坐标，求它的直角坐标联想到公式
2 2 2 2 x ＋ y ＋ z ＝ r ， x＝rsin φcos θ， y＝rsin φsin θ， z＝rcos φ，
代入求解．
2022年 高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4坐标系与参数方程 极坐标系》20
§曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化学习目标：掌握极坐标系中直线和圆的方程，会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化；学习重点：会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化．学习难点: 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化．新课导学 -----曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化1互化的前提条件：①②③2互化公式：①②3其他相关知识〔复习〕〔1〕两点间的距离：〔2〕点到直线的距离：〔3〕和差角公式:① ②〔4〕二倍角公式:① ②〔5以a，b为圆心，r为半径的圆的标准方程：【预习自测】[例1] 把以下直角坐标方程化为极坐标方程．1＋＝1； 22＋2＋2a＝0a≠0；[例2] 将以下极坐标方程化为直角坐标方程，并说明是何曲线．1ρinθ＝1； 2ρcoθ＋inθ－4＝0； 3ρ＝－2co θ；领悟：1．把以下极坐标方程与直角坐标方程进行互化．〔1〕2-2=16 2ρ2in2θ＝2 3ρ＝2co[例3] 直线的极坐标方程为ρin＝错误!，求点A到这条直线的距离．【课堂练习】一、选择题1．圆的极坐标方程为ρ2＋2ρ3coθ－2inθ＝0，那么圆心的直角坐标是A．3,2 B．2,3 C．－3,2 D．－3，－22．极坐标方程ρ＝inθ＋2coθ表示的曲线为A．直线 B．圆 C．椭圆 D．双曲线3．圆的直角坐标方程为＋12＋－12＝2，那么圆的极坐标方程是A．ρ＝2inθ－2coθ B．ρ＝2coθ－2inθ C．ρ＝2inθ D．ρ＝2coθ二、解答题4．圆的极坐标方程为ρ＝4coθ，圆心为C, 点P的极坐标为，求【小结及反思】【课后探究】1．P的极坐标为，直线L1过P点，且与直线L2:ρcoθ-ρinθ2=0平行，求直线L1的直角坐标方程。
2极坐标方程ρ＝－co θ与ρco ＝1表示的两个图形的位置关系是什么？。
高中数学北师大版选修4-4+2.2点的极坐标和直角坐标的互化教案
θ ; ）精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。
读沙漠，读出了它坦荡豪放的胸怀；读太阳，读出了它普照万物的无私；读春雨，读出了它润物无声的柔情。
读大海，读出了它气势磅礴的豪情。
读石灰，读出了它粉身碎骨不变色的清白。
2、幸福幸福是“临行密密缝，意恐迟迟归”的牵挂；幸福是“春种一粒粟，秋收千颗子”的收获. 幸福是“采菊东篱下，悠然见南山”的闲适；幸福是“奇闻共欣赏，疑义相与析”的愉悦。
幸福是“随风潜入夜，润物细无声”的奉献；幸福是“夜来风雨声，花落知多少”的恬淡。
幸福是“零落成泥碾作尘，只有香如故”的圣洁。
幸福是“壮志饥餐胡虏肉，笑谈渴饮匈奴血”的豪壮。
幸福是“先天下之忧而忧，后天下之乐而乐”的胸怀。
幸福是“人生自古谁无死，留取丹心照汗青”的气节。
3、大自然的语言丰富多彩：从秋叶的飘零中，我们读出了季节的变换；从归雁的行列中，我读出了集体的力量；从冰雪的消融中，我们读出了春天的脚步；从穿石的滴水中，我们读出了坚持的可贵；从蜂蜜的浓香中，我们读出了勤劳的甜美。
4、成功与失败种子，如果害怕埋没，那它永远不能发芽。
鲜花，如果害怕凋谢，那它永远不能开放。
矿石，如果害怕焚烧（熔炉），那它永远不能成钢（炼成金子）。
蜡烛，如果害怕熄灭（燃烧），那它永远不能发光。
航船，如果害怕风浪，那它永远不能到达彼岸。
5、墙角的花，当你孤芳自赏时，天地便小了。
井底的蛙，当你自我欢唱时，视野便窄了。
笼中的鸟，当你安于供养时，自由便没了。
山中的石！当你背靠群峰时，意志就坚了。
水中的萍！当你随波逐流后，根基就没了。
空中的鸟！当你展翅蓝天中，宇宙就大了。
空中的雁！当你离开队伍时，危险就大了。
地下的煤！你燃烧自己后，贡献就大了6、朋友是什么？朋友是快乐日子里的一把吉它，尽情地为你弹奏生活的愉悦；朋友是忧伤日子里的一股春风，轻轻地为你拂去心中的愁云。
朋友是成功道路上的一位良师，热情的将你引向阳光的地带；朋友是失败苦闷中的一盏明灯，默默地为你驱赶心灵的阴霾。
高中数学新北师大版精品教案《北师大版高中数学选修4-4：坐标系与参数方程 极坐标系》64
课题：极坐标和参数方程教学目标1、通过近五年的高考题，发现全国卷的命题规律和特点，举一反三。
教学重点参数方程与普通方程的互化；一般要求是把参数方程化成普通方程，较高要求是利用设参求曲线的轨迹方程或研究某些最值问题；极坐标与直角坐标的互化。
教学难点研究极坐标方程、直角坐标方程和参数方程的互化以及求解相关最值问题教学过程一、考试说明对本节的要求1、坐标系（1）理解坐标系的作用；了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况（2）能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标系和直角坐标的互化（3）能在极坐标系中给出简单图形的方程。
了解柱坐标系、球坐标系中表示空间中点的位置的方法。
（不做要求）2、参数方程（1）了解参数方程以及参数的意义；能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程。
（2）了解平摆线、渐开线的生成过程，并能推导出他们的参数方程。
（不做要求）二、全国卷极坐标和参数方程的命题趋向根据不同的几何问题可以建立不同的坐标系，坐标系选取的恰当与否关系着解决平面内的点的坐标和线的方程的难易以及他们的位置关系的数据确立。
有些问题用极坐标系解决比较简单，而有些问题如果我们引入一个参数就可以使问题容易入手简单，计算简便。
高考出现的题目往往是求曲线的极坐标方程、参数方程以及极坐标方程、参数方程和普通方程间的相互转化，并用极坐标方程、参数方程研究有关的距离问题、交点问题和位置关系的判定。
极坐标和参数方程在高考中的地位在全国卷1中以主观题形式出现，题序为第22题，分值为10分。
全国卷考情扫描2021年全国卷以椭圆和圆为背景，求解直角坐标点和取值范围的问题；2021年全国卷Ⅰ以圆为背景，考查参数方程与极坐标方程的互化及应用；2021年全国卷Ⅰ以直线与椭圆为背景，考查直角坐标方程与参数方程的互化以及距离的最值问题；2021年全国卷Ⅰ以直线与圆为背景，考查直角坐标方程与极坐标方程的互化以及三角形的面积的求解； 2021年全国卷Ⅰ以直线和圆为背景，考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化与应用.三、模拟练习题再现1、（2021年全国1）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为)0a (sin 1cos >⎩⎨⎧+==为参数，t ta y t a x ，在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C（1）说明1C 是哪种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程（2）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 和2C 的公共点都在3C 上，求a2、（2021年全国1）在直角坐标系xOy 中，直线1C :x=2-,圆2C ：22(1)(2)1x y -+-=，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
高中数学 北师大选修4-4 1.2.2《极坐标与直角坐标的互化》课件
化成极坐标.
因为点在第三象限, 所以 因此, 点M的极坐标为
， 。
1.把点M 的极坐标 (8, 2 ), (4,11 ), (2, ) 化成直角
3
6
坐标；
2.把点P的直角坐标 ( 6, 2) (2,2)和(0,15) 化成极坐标。
解:（1）由极坐标化为直角坐标的公式：
x cos; y sin.
x
得极坐标分别为 (2 2,11 ),(2 2, 7 ),(15, 3 )
6
42
平面内任意一点 P 的直角坐标与极坐标分别为 (x, y) 和 (, ) ，
则由三角函数的定义可以得到如下两组公式：
x cos
y
sin
2 x2 y2
tan
y x
(x
0)
.
1.2.2 极坐标与直角坐标 的互化
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ),
这个点如何用极坐标表示? y
在直角坐标系中, 以原点作为极点,x轴的
正半轴作为极轴,
θ
并且两种坐标系中取相同的长标为(ρ,θ)
M (2, )或(2, 2k ) k Z
3
3
3
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)，极坐标是 (ρ,θ), x=ρcos θ, y=ρsin θ
通常情况下，将点的直角坐标, 化为极坐标时，取
0, 0,2
互化公式的三个前提条件： 1. 极点与直角坐标系的原点重合; 2. 极轴与直角坐标系的x轴的正半轴重合; 3. 两种坐标系的单位长度相同.
例1. 将点M的极坐标 解:
化成直角坐标.
所以, 点M的直角坐标为
例2. 将点M的直角坐标 解:
数学北师大版高中选修4-4极坐标与直角坐标系互化
化成直角坐标. 2 5 解: x 5 cos 3 2 2 5 3 y 5 sin 3 2
θ o x
已知下列点的极坐标，求它们的直 角坐标。
3 A ( 3, ) B ( 2, ) C (2, ) 4 6 2
3 3 11 D ( , ) E (1, ) F (2, ) 4 2 3 2
教学目标:
1、如何建立一种联系，实现极坐标与直 角坐标的转化；
2、联系三角函数的定义，导出极坐标与 直角坐标互化公式的关键．
教学重点及教学难点
教学重点难点： 极坐标与直角坐标互化公式。
M
M
y sin r x cos r
M
M
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 )
这个点如何用极坐标表示?
A ( 3, 3 ) B (1, 3 ) C (5,0)
D (0,2) E ( 3,3) F (2, 2 3)
例3 已知两点 A(2, ), B(3, ) 3 2 求两点间的距离. B 提示: 方法一:余弦定理
o 方法二:两点间距离公式 AFra bibliotekx
小结：
• 注意互化的前提,点所在象限或角的大小. • 借助三角函数定义，将M的极坐标(ρ,θ)转化 为直角坐标(x,y)的关系式:
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相 同的长度单位
y
M (1, 3)
θ
O
x
点M的直角坐标为 (1, 3) 设点M的极坐标为(ρ,θ)
M ( 2, π / 3)
1 （ 3 ）2
2 2
3 tan 3 1
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y) 极坐标是 (ρ,θ)
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第五课时 曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
一、教学目的：
知识目标：掌握极坐标系中直线和圆的方程，会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
能力目标：巩固求曲线方程的方法和步骤、会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。
二、重难点：教学重点：会进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化
教学难点：寻找关于ρ，θ的等式
三、教学方法：启发、诱导发现教学.
四、教学过程：
（一）、复习引入：
问题情境：情境1：3cos =θρ , 5=ρ, 2=θρsis , πθ4
3=分别表示什么曲线？情境2：上述方程分别表示了直线与圆，把这些直线与圆一般化，它们的方程分别是什么？我们知道，同一条曲线在不同的坐标系中，会有不同的方程。
为了研究问题方便，有时需要把在一种坐标系中的方程化为在另一种坐标系中的方程。
根据点的直角坐标与极坐标互化关系式，曲线方程两种形式的互化便可以顺利完成。
（二）、题目探析，体会感受过程，归纳总结
1、基础巩固导练
（1）.已知点P 的极坐标是（1，π），则过点P 且垂直极轴的直线极坐标方程是 .
（2）.在极坐标系中，曲线)3sin(4πθρ-
=一条对称轴的极坐标方
程 .
（3）.在极坐标中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点.
则|AB|= .
（4）.已知三点A(5，2π
)，B(-8，π611)，C(3，π6
7)，则ΔABC 形状为 . （5）.已知某圆的极坐标方程为：ρ 2 –42ρcon(θ-π/4)+6=0则：A.圆的普通方程 ；B.圆上所有点（x,y ）中xy 的最大值和最小值分别为 、 .
（1）.ρcos θ= -1；（2）.56
πθ=
；（3）
.（4）.等边三角形；(5).(x-2)2+(y-2)2=2;
;9、1；
2、例题精讲
例1、【课本P15页例10】将下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程。
（1）、ρcos θsin 2-ρθ-=0； （2）、c o s 0ρ-θ=； （3）、2c o s 216θ=ρ
学生练习，教师准对问题讲评。
反思归纳：曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法。
例2、【课本P15页例11】将下列曲线的直角坐标方程化为极坐标方程。
（1）、X-Y-2=0；（2）、2220ax y x +-=；（3）、222591y x +=（4）、22
64361y x -=（5）、248x y =- 反思归纳：曲线的极坐标方程化为直角坐标方程的方法。
（三）、强化巩固导练：学生练习课本P17页练习题中2、3、5
（四）、小结：本节课学习了以下内容：1．求曲线的极坐标方程，就是建立以ρ，θ为变量的方程；类似于直角坐标系中的x,y ；2．求直线和圆的极坐标方程的基本步骤。
3、要会熟练地进行曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化。
（五）、作业：课本P18页A 组5、6、10 B 组中2
课外练习（1）化在直角坐标方程0822=-+y y x 为极坐标方程，（2）化极坐标方程)3cos(6πθρ-
= 为直角坐标方程。
五、教学反思：。