人教A版高中数学必修5：等比数列的概念与通项公式 课时练习

课时作业11 等比数列的概念与通项公式
[基础巩固](25分钟，60分)
一、选择题(每小题5分，共25分)
1．在等比数列{a n }中，已知a 1＝1
3，a 5＝3，则a 3等于( )
A ．1
B ．3
C ．±1
D ．±3
解析：由a 5＝a 1·q 4＝3，所以q 4＝9，得q 2＝3，a 3＝a 1·q 2
＝13×3＝1.故选A.
答案：A
2．设a 1，a 2，a 3，a 4成等比数列，其公比为2，则2a 1＋a 2
2a 3＋a 4的值为( )
A.14
B.12
C.1
8
D ．1 解析：2a 1＋a 22a 3＋a 4＝2a 1＋2a 18a 1＋8a 1＝4a 116a 1＝14，故选A.
答案：A
3．已知等比数列{a n }的前三项依次为a －1，a ＋1，a ＋4，则a n 等于( )
A ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n
B ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －1
C ．4·⎝ ⎛⎭⎪⎫23n
D ．4·⎝ ⎛⎭
⎪⎫23n －1
解析：因为数列{a n }为等比数列， 所以(a ＋1)2
＝(a －1)(a ＋4)，
所以a ＝5，即数列的前三项为4,6,9，公比为32.
所以a n ＝a 1q n －1＝4·⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －1
.
故选B. 答案：B
4．已知{a n }为等比数列且a n >0，a 2·a 4＋2a 3·a 5＋a 4·a 6＝25，则a 3＋a 5等于( ) A ．5 B ．10
C ．15
D ．20
解析：由等比数列的性质知a 2·a 4＝a 2
3，a 4·a 6＝a 2
5，所以a 2
3＋2a 3·a 5＋a 2
5＝25，即(a 3＋a 5)2
＝25.
又a n >0，所以a 3＋a 5>0，所以a 3＋a 5＝5. 答案：A
5．已知等比数列{a n }满足a 1＝1
4，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )
A ．2
B ．1 C.12 D.18
解析：解法一：设{a n }的公比为q ，则a n ＝
q n －1
4
.
由a 3a 5＝4(a 4－1)得q 6
42＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫q 3
4－1，即(q 3－8)2
＝0，解得q ＝2，因此a 2＝12.
解法二：设{a n }的公比为q ，由等比数列的性质可知a 3a 5＝a 2
4， ∴a 2
4＝4(a 4－1)，即(a 4－2)2
＝0，得a 4＝2，
则q 3
＝a 4a 1＝21
4
＝8，得q ＝2，
则a 2＝a 1q ＝14×2＝1
2，故选C.
答案：C
二、填空题(每小题5分，共15分)
6．若－1,2，a ，b 成等比数列，则a ＋b ＝________. 解析：根据题意有2－1＝a 2＝b
a ，解得a ＝－4，
b ＝8，
所以a ＋b ＝(－4)＋8＝4. 答案：4
7．在1和16两数之间插入三个数，使它们成等比数列，则中间的数为________． 解析：设中间的数为x ，公比为q ，则x 是1和16的等比中项，所以x 2
＝16，即x ＝±4.又因为x ＝1·q 2
>0，所以x ＝4.
答案：4
8．设等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝－1，a 1－a 3＝－3，则a 4＝________.
解析：设等比数列{a n }的公比为q ，易知q ≠±1，则a 1＋a 2＝a 1(1＋q )＝－1，a 1－a 3＝a 1(1－q 2
)＝－3，两式相除，得
1＋q 1－q 2＝13
，解得q ＝－2，a 1＝1，所以a 4＝a 1q 3
＝－8. 答案：－8
三、解答题(每小题10分，共20分)
9．已知{a n }是等比数列，其中a 7＝1，且a 4，a 5＋1，a 6成等差数列．求数列{a n }的通项公式．
解析：设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q (q ≠0)，由a 7＝a 1q 6
＝1，得a 1＝q －6
，从而
a 4＝a 1q 3＝q －3，a 5＝a 1q 4＝q －2，a 6＝a 1q 5＝q －1.
因为a 4，a 5＋1，a 6成等差数列，所以a 4＋a 6＝2(a 5＋1)，即q －3
＋q －1
＝2(q －2
＋1)，q －1
(q
－
2
＋1)＝2(q －2＋1)，所以q ＝12.故a n ＝a 1q n －1＝q －6·q n －1＝q n －7
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －7.
10．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2－a n ，求证：数列{a n }是等比数列． 证明：∵S n ＝2－a n ，∴S n ＋1＝2－a n ＋1.
∴a n ＋1＝S n ＋1－S n ＝(2－a n ＋1)－(2－a n )＝a n －a n ＋1， ∴a n ＋1＝1
2a n .
又∵S 1＝a 1＝2－a 1， ∴a 1＝1≠0，
又由a n ＋1＝1
2a n 知a n ≠0，
∴
a n ＋1a n ＝1
2
， ∴{a n }是等比数列，且首项为1，公比为1
2
.
[能力提升](20分钟，40分)
11．数列{a n }满足：a n ＋1＝λa n －1(n ∈N *
，λ∈R 且λ≠0)，若数列{a n －1}是等比数列，则λ的值为( )
A ．1
B ．－1 C.1
2
D ．2 解析：由a n ＋1＝λa n －1，得a n ＋1－1＝λa n －2＝λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫a n －2λ
.由于数列{a n －1}是等比数列，所以2
λ
＝1，解得λ＝2.故选D.
答案：D
12．在等差数列{a n }中，a 1，a 3，a 4成等比数列，则该等比数列的公比为________． 解析：设等差数列{a n }公差为d ，因为a 1，a 3，a 4成等比数列， 所以a 2
3＝a 1a 4，即(a 1＋2d )2
＝a 1(a 1＋3d )，
解得d ＝0或a 1＝－4d .
若d ＝0，则等比数列的公比q ＝1.
若a 1＝－4d ，则等比数列的公比q ＝a 3a 1＝－2d －4d ＝1
2
.
答案：1
2
或1
13．在各项均为负数的数列{a n }中，已知2a n ＝3a n ＋1，且a 2·a 5＝8
27.
(1)求证：{a n }是等比数列，并求出其通项；
(2)试问－16
81是这个等比数列中的项吗？如果是，指明是第几项；如果不是，请说明理由．
解析：(1)证明：∵2a n ＝3a n ＋1， ∴
a n ＋1a n ＝2
3
. 又∵数列{a n }的各项均为负数， ∴a 1≠0，
∴数列{a n }是以2
3为公比的等比数列，
∴a n ＝a 1·q
n －1
＝a 1·⎝ ⎛⎭
⎪⎫23n －1
.
∴a 2＝a 1·⎝ ⎛⎭
⎪⎫232－1＝2
3a 1，
a 5＝a 1·⎝ ⎛⎭
⎪⎫23
5－1＝1681
a 1，
又∵a 2·a 5＝23a 1·1681a 1＝8
27，
∴a 2
1＝94
.
又∵a 1<0，∴a 1＝－3
2
.
∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －1＝－⎝ ⎛⎭
⎪⎫23n －2(n ∈N *
)．
(2)令a n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫23n －2
＝－1681，
则n －2＝4，n ＝6∈N *
，
∴－16
81
是这个等比数列中的项，且是第6项．
14．设数列{a n }是公比小于1的正项等比数列，已知a 1＝8，且a 1＋13,4a 2，a 3＋9成等差
数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若b n ＝a n (n ＋2－λ)，且数列{b n }是单调递减数列，求实数λ的取值范围． 解析：(1)设数列{a n }的公比为q ， 由题意，可得a n ＝8q
n －1
，且0<q <1.
由a 1＋13,4a 2，a 3＋9成等差数列，知8a 2＝30＋a 3，即64q ＝30＋8q 2
，解得q ＝12或152
(舍
去)，所以a n ＝8×⎝ ⎛⎭
⎪⎫12n －1＝24－n
.
(2)由(1)知b n ＝a n (n ＋2－λ)＝(n ＋2－λ)·24－n
，
由b n >b n ＋1，得(n ＋2－λ)·2
4－n
>(n ＋3－λ)·2
3－n
，即λ<n ＋1，所以λ<(n ＋1)min ＝2，
故实数λ的取值范围为(－∞，2)．。