西电丁玉美版数字信号处理课件(完整版) (5)

2
b
1
(
1 N
1
N )
2
1
1 2
1
选左半平面诸极点，得归一化的传输函数：
Ha
(
p)
2 N 1
1
N
(
p
pk
)
k 1
去归一化以后的传输函数为
Ha
(s)
2 N 1
N p
N
(s
p k
p
)
k 1
╳ s1
╳
s2
4. 数字滤波器设计方法概述
IIR滤波器设计方法有两类，常用的是借助模拟滤波器的设计方法，先设
计模拟滤波器得到传输函数 H a (s) ，然后将传输函数按照某种方法转换
成数字滤波器的系统函数H(z)。
模拟滤波器设计方法已经很成熟，不仅有完整的设计公式，还有完善 的图表供查阅，还有一些典型的滤波器类型供使用。
传输函数 H a (s)
Butterworth AF 的特点：
（1） 0时，无衰减
（2）N越大，通带内衰减越慢，阻带内衰减越快，最平的幅频相应滤波器
（3）3dB不变特性
3 Chebyshev滤波器
可以解决Butterworth滤波器的通、阻带内衰减不均匀的现象，进而降低N
Chebyshev Ⅰ型（通带等波纹）
Ha (s)
3c
j 2
j 2
(s c )(s ce 3 )(s ce 3 )
ce 3
S3
j1 π
S4＝ Ωcce 3
S5
j1 π
采用对3dB截止频率 c 归一化
Ha (s)
cN
N 1
Ha (s)
N 1
(
1 s
sk
)
k0 c c
式中 s / c j / c
(s sk )
k 0
令λ＝Ω/Ωc——归一化频率
s p
s和 p 的富裕量
c
p (100.1 p
1
1) 2N
ksp
10α p /10 1 10αs /10 1
c
s (100.1s
1
1) 2N
低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下：
（1）根据技术指标 p、 p、s、s 求出滤波器的阶数N
N lg ksp
lg sp
sp
s p
ksp
10α p /10 1 10αs /10 1
另一类是直接在频域或者时域进行设计的，由于要解联立方程，需要 计算机做辅助设计。
FIR滤波器不能采用由模拟滤波器的设计进行转换的方法，经常用的是 窗函数法和频率采样法。
§6.2 模拟滤波器的设计
模拟滤波器设计技术成熟，有相当简便的公式和图表，有几种典型的 模拟滤波器，如Butterworth滤波器、Chebyshev滤波器、椭圆滤波器、 Bessel滤波器等可以依照不同要求和指标进行选择。
N 2
Ha ( j) 1
11 12
（N奇数）
Ha ( j) 11 12
（N偶数）
1
0
p s
2
0
p s
由
1
2C
2 N
(
s )0 jc
得极点： sk k jk
k k
ca sin[ cb c os
(2k 1)] [2N (2k 1)] 2N
k 1,2,....,N
a
1
(
1 N
1
N )
其中
H a ( j) 2 H a (s)H a (s) |s j
如果能由 p、 p、s、s 求出 H a ( j) 2
就很容易得到所需要的 H a (s)
注意：H a (s)必须是稳定的，因此极点必须落在s平面的左半平面，相应
的 Ha (s) 的极点落在右半平面
2. 巴特沃斯低通滤波器的设计方法
巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数
p 10 lg
H a ( j0) 2
2
H a ( j p )
s
10 lg
H a ( j0) 2 H a ( js ) 2
如果 0 处幅度已归一化到1，即 Ha ( j0) 1
p 10 lg Ha ( j p ) 2
s 10 lg H a ( js ) 2
0
pc s
低通滤波器的幅度特性
（2）求出归一化极点
p k
，得到归一化传输函数 H a ( p)
j (1 2k 1)
pk e 2 2N
H a ( p) N 1 1 ( p pk )
k 0
k=0, 1, 2, … , N-1
（3）将 Ha ( p) 去归一化。将 p s / c 代入 H a ( p) ，得到实际的滤波器
归一化巴特沃斯的传输函数为
H a ( p) N 1 1
令0
p s / c
j (1 2k 1)
pk 为归一化极点 pk e 2 2N
k=0, 1, 2, … , N-1
N 由参量 p 、s、αp 、αs 确定
N lg ksp
lg sp
sp
p 为通带截止频率
s为阻带截止频率 c为3dB截止频率
Ha ( jc ) 1/ 2 20lg Ha ( jc ) 3dB
给定模拟低通滤波器的技术指标 p、 p、s、s
需要设计一个低通滤波器，其传输函数 H a (s) 的幅度平方函数满足
给定的指标 p 和 s
一般滤波器的冲激响应为实数，因此有
Ha(
j) 2
1 (
1
)2N
c
将幅度平方函数 H a ( j) 2写成 s 的函数
Ha (s)Ha (s) 1 (
1 s
)2N
jc
幅度平方函数有2N个极点
1
j (1 2k 1)
sk (1) 2N ( jc ) ce 2 2N
k=0, 1, 2, … , (2N-1)
取s平面左半平面的N个极点构成 H a (s)
A2 ()
H a ( j) 2
1
1
2C
2 N
(
p
)
0 1，表示通带内的纹波程度
/ p 对 p的归一化频率
CN
(x)
cos(N
cos1
x)
cosh(N cosh1 x)
x 1 x 1
或
C0 ( x) 1 C1( x) x
CN ( x) 2xCN 1( x) CN 2 ( x)
Ha (s)
cN
N 1
(s sk )
k 0
Ha ( j)
1
1 2
0
c
巴特沃斯幅度特性和N的关系
jΩ
s0
s5
s1
0
s4 σ
s2
s3
N=3巴特沃斯低通滤波器极点分布
Ha (s)
cN
N 1
(s sk )
k 0
设N=3 , 6个极点
ce 3
S0
j2 π
S1＝ －cΩe c 3
S2
j2 π
取左半平面3个极点组成 H a (s)
Ha ( j)
低通
Ha ( j)
高通
Ha ( j)
带通
Ha ( j)
带阻
各种理想滤波器的幅频特性
1. 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法
模拟低通滤波器的设计指标有 p、 p、s、s
通带内允许的最大衰减用 p 表示 阻带内允许的最小衰减用 s 表示
Ha ( j)
1
0.707
对于单调下降的幅度特性，可表示成：