高三数学一轮复习课件第四章三角函数解三角形
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高考数学一轮总复习教学课件第四章 三角函数、解三角形第3节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
D.tan(α+β)=-1
解析:(2)由题意得
sin αcos β+sin βcos α+cos α cos β-sin αsin β
= 2 × (cos α-sin α)·sin β,整理,
得sin αcos β-sin β cos α+cos αcos β+sin αsin β=
0,即sin(α-β)+cos(α-β)=0,所以tan(α-β)=-1.故选C.
即 sin(α+β)= .故选 C.
(1)三角函数求值中变角的原则
①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”
的和或差的形式.
②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”
的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(2)常用的拆角、配角技巧
2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,β=
=cos(α+ )cos -sin(α+ )sin
= × - × =- .故选 C.
( 2 )(2024 ·山东日照模拟 ) 已知α∈ (
,
) , β∈( π,
cos(α- )=- ,sin(β- )= ,则 sin(α+β)的值为(
.
又因为β∈[π, ],所以β-α∈[ , ],故 cos(β-α)=
第4章第四章三角函数、解三角形第4节二倍角公式及应用课件(共35张PPT) 高考数学一轮复习
内容索引
＝12－co2s2α＋12＋14cos2α－ 43sin2α＋ 43sin2α－12sin2α＝1－14cos2α－12 sin2α
＝1－14(1－2sin2α)－12sin2α＝34.
内容索引
思考1►►► 如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注 意什么？
内容索引
要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍 角公式化简？有切有弦要弦切互化．
sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故 D 不正确．
【答案】 C
内容索引
2. 已知角α的顶点为坐标原点 ，始边与x轴的非负半轴重合 ，且
P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α等于( )
A. －79
B. －89
7
8
C. 9
D. 9
【分析】 根据三角函数定义和同角三角函数关系求出sinα，再由二
＝cos2αcsoinsαα2cosα2＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边， 所以原式成立．
内容索引
某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同 一个常数：
①sin212°＋cos242°＋sin12°cos42°； ②sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°； ③sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°； ④sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°. (1) 试从上述式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明 你的结论．
倍角公式可求cos2α.
内容索引
【解析】 由三角函数定义可知 tanα＝3c8osα＝csoinsαα，则 3cos2α＝8sinα ＝3－3sin2α，解得 sinα＝13或 sinα＝－3(舍去)，则 cos2α＝1－2sin2α＝79.
＝12－co2s2α＋12＋14cos2α－ 43sin2α＋ 43sin2α－12sin2α＝1－14cos2α－12 sin2α
＝1－14(1－2sin2α)－12sin2α＝34.
内容索引
思考1►►► 如何利用二倍角公式进行三角函数式的化简及恒等式的证明？要注 意什么？
内容索引
要充分观察角与角之间的联系，看角是否有倍数关系？能否用二倍 角公式化简？有切有弦要弦切互化．
sin15°cos15°＝12sin30°＝14，故 D 不正确．
【答案】 C
内容索引
2. 已知角α的顶点为坐标原点 ，始边与x轴的非负半轴重合 ，且
P(8,3cosα)为α终边上一点，则cos2α等于( )
A. －79
B. －89
7
8
C. 9
D. 9
【分析】 根据三角函数定义和同角三角函数关系求出sinα，再由二
＝cos2αcsoinsαα2cosα2＝cosαsinα2cosα2＝12sinαcosα＝14sin2α＝右边， 所以原式成立．
内容索引
某同学在一次研究性学习中发现，以下四个式子的值都等于同 一个常数：
①sin212°＋cos242°＋sin12°cos42°； ②sin215°＋cos245°＋sin15°cos45°； ③sin220°＋cos250°＋sin20°cos50°； ④sin230°＋cos260°＋sin30°cos60°. (1) 试从上述式子中选择一个，求出这个常数； (2) 根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明 你的结论．
倍角公式可求cos2α.
内容索引
【解析】 由三角函数定义可知 tanα＝3c8osα＝csoinsαα，则 3cos2α＝8sinα ＝3－3sin2α，解得 sinα＝13或 sinα＝－3(舍去)，则 cos2α＝1－2sin2α＝79.
高考数学全程一轮复习第四章三角函数与解三角形第三节两角和与差的正弦余弦正切公式及二倍角公式课件
＝ .故选C.
2
2
cos α
2
题型二 公式的逆用与变形应用
例 2 (1)[2024·吉林延边模拟]下列化简不正确的是(
1
A．cos 82°sin 52°＋sin 82°cos 128°＝－
1
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
8
3
2
2
C．cos 15°－sin 15°＝
2
tan48°+tan 72°
3．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余
弦、正切公式，并会简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】 如图，你能推导出两角差的余弦公式吗？
【问题2】 请你根据二倍角公式写出：
(1)降幂公式：sin αcos
1+cos 2α
________．
2
1
1−cos 2α
sin
2α
α＝________
(2)公式C(α＋β)：cos (α＋β)＝_________________；
(3)公式S(α－β)：sin (α－β)＝_________________；
sin αcos β－cos αsin β
(4)公式S(α＋β)：sin (α＋β)＝_________________；
sin αcos β＋cos αsin β
2sin αcos α
2cos2α－1
(2)公式C2α：cos 2α＝________＝________＝__________；
cos2α－sin2α
1－2sin2α
2 tan α
2α＝________．
1−tan2 α
(3)公式T2α：tan
2
2
cos α
2
题型二 公式的逆用与变形应用
例 2 (1)[2024·吉林延边模拟]下列化简不正确的是(
1
A．cos 82°sin 52°＋sin 82°cos 128°＝－
1
B．sin 15°sin 30°sin 75°＝
8
3
2
2
C．cos 15°－sin 15°＝
2
tan48°+tan 72°
3．掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式以及二倍角的正弦、余
弦、正切公式，并会简单应用．
问题思考·夯实技能
【问题1】 如图，你能推导出两角差的余弦公式吗？
【问题2】 请你根据二倍角公式写出：
(1)降幂公式：sin αcos
1+cos 2α
________．
2
1
1−cos 2α
sin
2α
α＝________
(2)公式C(α＋β)：cos (α＋β)＝_________________；
(3)公式S(α－β)：sin (α－β)＝_________________；
sin αcos β－cos αsin β
(4)公式S(α＋β)：sin (α＋β)＝_________________；
sin αcos β＋cos αsin β
2sin αcos α
2cos2α－1
(2)公式C2α：cos 2α＝________＝________＝__________；
cos2α－sin2α
1－2sin2α
2 tan α
2α＝________．
1−tan2 α
(3)公式T2α：tan
2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第2讲同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件
组数 一
二
三
四
五
六
2kπ＋α 角
(k∈Z)
π＋α
－α
π－α
π2－α
π2＋α
正弦 余弦 正切
sin α cos α tan α
__－__si_n_α___ __－__s_in__α__ ___s_in__α___ __c_o_s__α___ ___c_o_s_α___ _－__c_o_s__α__ ___c_o_s_α___ __－__c_o_s_α__ ___si_n_α____ __－__s_i_n_α__ __t_a_n_α____ __－__t_a_n_α__ __－__t_an__α__
归纳拓展 1．同角三角函数基本关系式的常见变形 sin2α＝1－cos2α＝(1＋cos α)(1－cos α)； cos2α＝1－sin2α＝(1＋sin α)(1－sin α)； (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α. (sin α＋cos α)2＋(sin α－cos α)2＝2； (sin α＋cos α)2－(sin α－cos α)2＝4sin αcos α；
1－sin 1＋sin
αα＋sin
α
π<α<32π得( A ) A．sin α＋cos α－2 C．sin α－cos α
B．2－sin α－cos α D．cos α－sin α
1－cos α 1＋cos α
[解析] 原式＝cos α
1－cossi2nαα2＋sin α
1－cos sin2α
α2，
α＋bcos α＋dcos
αα＝acttaann
αα＋＋db；
sin
αcos
α＝sin
αcos 1
2025版高考数学一轮总复习第4章三角函数解三角形第4讲三角函数的图象与性质课件
(2)y＝3tanπ6－4x＝－3tan4x－π6， 由 kπ－π2<4x－π6<kπ＋π2， 解得 4kπ－43π<x<4kπ＋83π(k∈Z)． ∴函数的单调递减区间为 4kπ－34π，4kπ＋83π(k∈Z)．无增区间．
(3)画图知单调递减区间为kπ－π4，kπ＋π4(k∈Z)．
2．(2023·洛阳模拟)若 f(x)＝2sin ωx(ω>0)在区间－π2，23π上是增函数， 则 ω 的取值范围是_____0_，__34_ ___.
[解析] 依题意可知 f(x)＝cos2 x－sin2x＝cos 2x，对于 A 选项，因为 x ∈－π2，－6π，所以 2x∈－π，－π3，函数 f(x)＝cos 2x 在－π2，－6π上单 调递增,所以 A 选项不正确；对于 B 选项，因为 x∈－π4，1π2，所以 2x∈ －π2，π6,函数 f(x)＝cos 2x 在－π4，1π2上不单调,所以 B 选项不正确；对于 C 选项,因为 x∈0，π3，所以 2x∈0，23π,函数 f(x)＝cos 2x 在0，π3上单 调递减，所以 C 选项正确；对于 D 选项，因为 x∈π4，71π2，所以 2x∈π2，76π， 函数 f(x)＝cos 2x 在π4，71π2上不单调,所以 D 选项不正确,故选 C．
y＝tan x ___R___
单调性
在____－__π2_＋__2_k_π_，__2π_＋__2_k_π_ _， 在_[_(_2_k－__1_)_π_，__2_k_π_]_，
k∈Z 上递增；
k∈Z 上递增；
在____π2_＋__2_k_π_，__32_π_＋__2_k_π_ __，
在_[_2_k_π_，__(2_k_＋__1_)_π_]_， k∈Z 上递减
第一方案高三数学一轮复习第四章三角函数解三角形第二节两角和与差的正弦余弦和正切公式课件
•关 注 热 点
•1.利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进 展三角函数式的化简求值是高考常考的内容．
•2.公式逆用、变形用(尤其是余弦二倍角的变 形用)是高考热点．
•3.在选择题、填空题、解答题中都可以考察.
•1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式
•2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
•(1)sin2α＝ 2sinαcosα
(2009·陕西高考)若3sinα＋cosα＝0，则
cos2α＋1 sin2α的值为(
)
10
5
A. 3
B.3
2 C.3
D．－2
•【思路导引】 1的变用：1＝sin2α＋cos2α， 代入化简即可．
【解析】 由已知cosα＝－3sinα， ∴cos2α＋1 sin2α＝coss2iαn2＋α＋2scinoαs2cαosα＝9ssiinn22αα＋－96ssiinn22αα ＝130ssiinn22αα＝130.
2＋2cos8＋2 1－sin8的化简结果是( )
A．4cos4－2sin4
B．2sin4
C．2sin4－4cos4
D．－2sin4
•【思路导引】 因为8＝2×4，所以可利用二 倍角公式，升幂开方化简即可．
【解析】 2＋2cos8＋2 1－sin8 ＝ 21＋cos8＋2 1－2sin4cos4 ＝ 2×2cos24＋2 sin4－cos42 ＝－2cos4＋2(cos4－sin4) ＝－2sin4.
时，选正、余弦函数；若角范围是(0， π2 )，正、余弦函数均
可；若角范围是(0，π)时，一般选余弦函数；若是(－
π 2
，
π2)，则一般选正弦函数等．
3．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，以Ox轴为始
北师版高考总复习一轮理科数精品课件 第4章 三角函数、解三角形 第4节 三角函数的图像与性质
.
(2)函数 y=lg(sin 2x)+ 9- 2 的定义域为
.
对点训练 1(1)函数
π
4
π
2
答案:(1) ∣ ≠ + π, 且 ≠ + π, ∈
(2)
π
−3, − 2
∪
π
0, 2
解析:(1)要使函数有意义,则
π
4
π
2
≠ + π,∈Z,
tan-1 ≠ 0,
即
≠ + π,∈Z, ≠ + π,∈Z.
π 5π
为4 , 4 ,再结合正弦函数、余弦函数的周期
π
2π + 4
, 2π +
5π
4
(k∈Z).
突破技巧1.三角函数定义域的求法
将求复杂函数的定义域问题转化为求解简单的三角函数不等式.
2.简单三角不等式的解法
(1)利用三角函数线求解.
(2)利用三角函数的图像求解.
1
y=tan -1的定义域为
π
2
π
4
π
2
故函数的定义域为 ∣ ≠ + π, 且 ≠ + π, ∈ .
sin2 > 0,
(2)由题意可知
9- 2 ≥ 0,
得
π < < π +
π
,∈Z,
2
-3 ≤ ≤ 3,
π
解得-3≤x<- 或
2
π
0<x< .
2
故函数 y=lg(sin 2x)+
9- 2 的定义域为
3π
, −1
2
,(2π,0)
高三数学一轮课件 第四章 三角函数与解三角形 4.2 同角三角函数的基本关系及诱导公式
=
25.
5
关闭 关闭
解析 答案
知识梳理 双基自测
12345
-11-
自测点评
1.平方关系和商数关系式中的角都是同一个角,且商数关系式中
α≠
π 2
+kπ,k∈Z.
2.利用平方关系式解决问题时,要注意开方运算结果的符号,需要
根据角α的范围确定.
3.公式化简求值时,要利用公式化任意角的三角函数为锐角三角
函数,其步骤:去负—脱周—化锐,特别注意函数名称和符号的确定.
(2)若 α∈R,则 tan α=csoins������������恒成立. (
)
(3)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角. ( )
(4)若 cos(nπ-θ)=13(n∈Z),则 cos θ=13. ( )
(1)× (2)× (3)× (4)×
关闭
答案
-7-
知识梳理 双基自测
12345
什(1)么1 ? (2) 3
答案
考点1
考点2
考点3
-25-
解析: (1)原式=-sin 1 200°·cos 1 290°-cos 1 020°sin 1 050°
=-sin(3×360°+120°)cos(3×360°+210°)-
cos(2×360°+300°)sin(2×360°+330°)
=
-
4 5
,
cos������
=
3 5
,
于是 1
cos ������-sin ������
=
1 35- -45
= 57.
考点1
考点2
考点3
高三理数一轮复习 第四章 三角函数、解三角形4.1 任意角、弧度制及任意角的三角函数
-23-
(2)由题意,得 sin x≥√23,作直线 y=√23交单位圆于 A,B 两点,连 接 OA,OB,则 OA 与 OB 围成的区域(图中阴影部分)即为角 x 的终
Байду номын сангаас
边的范围,故满足条件的角 x 的集合为
������
2������π
+
π 3
≤
������
≤ 2������π +
2π 3
,������∈Z
考点1
考点2
考点3
-18-
(3)方法一(角的集合表示):
∵2kπ+π<α<2kπ+32π(k∈Z),
∴kπ+π2
<
������ 2
<kπ+34π
(k∈Z).
当
k=2n(n∈Z)时,2nπ+π2
<
������ 2
<2nπ+34π
,
������ 2
是第二象限角;
当 k=2n+1(n∈Z)时,2nπ+3π < ������<2nπ+7π , ������是第四象限角.
-12-
知识梳理 双基自测
12345
5.(教材例题改编P13例3)若角θ同时满足sin θ<0,且tan θ<0,则角θ
的终边一定落在第
象限.
关闭
由sin θ<0,可知θ的终边可能位于第三或第四象限,也可能与y轴的非正半 轴重合.由tan θ<0,可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限,故θ的终边
.
思考角的终边在一条直线上与在一条射线上有什么不同?已知角
高考数学复习第四章三角函数解三角形4.7解三角形文ppt市赛课公开课一等奖省名师优质课获奖PPT课件
B,c=2Rsin C能够实现边角互化.
2.已知两边和它们夹角、已知两边和一边对角或已知三边都能
直接利用余弦定了解三角形,在利用余弦定理时,要注意整体思想
利用.
3.已知两角和一边,该三角形是确定,其解是唯一;已知两边和一
边对角,该三角形含有不唯一性,通常依据三角函数值有界性和大
边对大角定理进行判断.
∴cos
2 +2 -2
A= 2
=
1
,∴A=60°.
2
(2)∵A+B+C=180°,
∴B+C=180°-60°=120°.
由 sin B+sin C=√3,得 sin B+sin(120°-B)=√3,
∴sin B+sin 120°cos B-cos 120°sin B=√3.
3
√3
∴2sin B+ 2 cos B=√3,即 sin(B+30°)=1.
的面积 S=√3,求 a,b 的值;
(2)若sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC形状.
21/32
-22考点1
考点2
考点3
考点4
解: (1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4,
1
2
又因为 S=√3,所以 absin C=√3,得 ab=4.
2 + 2 - = 4,
-14考点1
考点2
考点3
考点4
考点 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1在△ABC中,角A,B,C对边分别是
1
a,b,c,已知 cos
2A=,c=√3,sin A=√6sin
中,c=
2.已知两边和它们夹角、已知两边和一边对角或已知三边都能
直接利用余弦定了解三角形,在利用余弦定理时,要注意整体思想
利用.
3.已知两角和一边,该三角形是确定,其解是唯一;已知两边和一
边对角,该三角形含有不唯一性,通常依据三角函数值有界性和大
边对大角定理进行判断.
∴cos
2 +2 -2
A= 2
=
1
,∴A=60°.
2
(2)∵A+B+C=180°,
∴B+C=180°-60°=120°.
由 sin B+sin C=√3,得 sin B+sin(120°-B)=√3,
∴sin B+sin 120°cos B-cos 120°sin B=√3.
3
√3
∴2sin B+ 2 cos B=√3,即 sin(B+30°)=1.
的面积 S=√3,求 a,b 的值;
(2)若sin C+sin(B-A)=sin 2A,试判断△ABC形状.
21/32
-22考点1
考点2
考点3
考点4
解: (1)由余弦定理及已知条件,得a2+b2-ab=4,
1
2
又因为 S=√3,所以 absin C=√3,得 ab=4.
2 + 2 - = 4,
-14考点1
考点2
考点3
考点4
考点 1 利用正弦定理、余弦定理解三角形
例1在△ABC中,角A,B,C对边分别是
1
a,b,c,已知 cos
2A=,c=√3,sin A=√6sin
中,c=
高考数学一轮总复习教学课件第四章 三角函数、解三角形第一课时 余弦定理和正弦定理
,
= =c=csin C,
判断三角形形状的两种途径
[针对训练] (2020·全国Ⅱ卷)△ABC的内角A,B,C的对边分别为
2
a,b,c,已知 cos (+A)+cos A=.
(1)求A;
2
(1)解:由已知得 sin A+cos A=,
2
即 cos A-cos A+=0,
sin B=2× = ,
2
由余弦定理 a =b +c -2bccos A,
2
2
得 2= +c -2× c· ,即 2c -2c-3=0,解得 c=
+
综上,b= ,c=
+
.
或 c=
-
(舍去).
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下
所以 sin B=
×
=
=
.
- = ,
(3)求sin(2A-B)的值.
解:(3)因为 cos A=- ,所以 <A<π,故 0<B< ,又 sin A=
2sin Acos A=2×
(-
,所以 c;
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
项目
A为锐角
A为钝角或直角
图形
第四章第22讲解三角形(正弦定理与余弦定理)课件高三数学一轮复习
对于D，因为a cos B＋b cos A＝a，所以sin A cos B＋sin B cos A＝sin A，即sin (A＋B) ＝sin A，则sin C＝sin A，又因为A，C∈(0，π)，所以A＝C或A＋C＝π(舍去)，所以 △ABC为等腰三角形，故D正确．
【答案】BD
变式 在△ABC 中，a，b，c 分别是内角 A，B，C 所对的边，且满足coas C＝cocs A，
余弦定理 a2＝____b_2＋__c_2_－__2_b_c_c_o_s_A____； b2＝____a_2＋__c_2_－__2_a_c_c_o_s_B____； c2＝___a_2_＋__b_2_－__2_a_b_c_o_s_C____
定理
正弦定理
余弦定理
①a＝__2_R_s_i_n_A__，b＝__2_R__s_in__B__，c＝__2_R__s_in__C__；
变式 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别是 a，b，c.已知 a＝ 39，b＝2，A＝
120°. (1) 求 sin B 的值；
【解答】
正弦定理 a ＝ b ，得 sin A sin B sin
39 ＝ 2 ，解得 120° sin B
sin
B＝
1133.
(2) 求c的值；
【解答】 由余弦定理 a2＝b2＋c2－2bc cos A，得 39＝4＋c2－2×2×c×－12，解得 c＝5
cos A
(2)
若a a
cos cos
B－b B＋b
cos cos
AA－bc＝1，求△ABC
的面积.
【解析】由
正
弦
定
理
可
得
a a
cos cos
人教版高中总复习一轮数学精品课件 第4章 三角函数与解三角形 4.3 三角函数的图象与性质
f(x)=√3sin ωx+cos
由函数 y=f(x)的图象与直线 y=2 的相邻两个交点的距离为 π,
知函数 y=f(x)的最小正周期 T=π,
又
令
得
2π
ω>0,所以 T= =π,解得 ω=2,即 f(x)=2sin
π
π
π
2kπ- ≤2x+ ≤2kπ+ (k∈Z),
2
6
2
π
π
kπ-3 ≤x≤kπ+6(k∈Z).
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
【知识巩固】
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)y=cos x是减函数.( × )
(2)若y=ksin x+1(k∈R),则y的最大值是k+1.( × )
(3)若非零实数T是函数f(x)的周期,则kT(k是非零整数)也是函数f(x)的周
3 7
的取值范围是 [2 , 4]
.
函数 y=cos x 的单调递增区间为[-π+2kπ,2kπ](k∈Z),
π π
+
≥
-π
+
2π,
5
1
2
4
则
(k∈Z),解得 4k-2 ≤ ≤2k-4(k∈Z),
π
π + ≤ 2π
又由
所以
4
5
1
4k-2-(2k-4)≤0(k∈Z),且
3 7
ω∈[2 , 4].
③当A>0(A<0)时,所列不等式的方向与y=sin x,y=cos x的单调区间对应的
不等式方向相同(反).
π
(2)对于函数 y=Atan(ωx+φ)(A,ω,φ 为常数),其周期 T=||,利用
第4章第四章三角函数、解三角形第2节同角三角函数的基本关系式与诱导公式课件 高考数学一轮复习
－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二． 3. 注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，
cos2α＝1－sin2α. 4. 同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对
于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组， 通过解方程组达到解决问题的目的．
第四章 三角函数、解三角形
第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
内容索引
学习目标 核心体系 活动方案 备用题
内容索引
学习目标 1. 能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、 余弦、正切的诱导公式.2. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋ cos2α＝1，csoinsαα＝tanα.3. 能利用同角三角函数的基本关系式及三角函 数的诱导公式进行求值、化简、证明．
内容索引
诱导公式第一类π2的偶数倍：－α、π±α 第二类π2的奇数倍：π2±α、32π±α 平方关系：sin2α＋cos2α＝1
同角关系商数关系：csoinsαα＝tanα
内容索引
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活动一 基础训练
1. (2023贵溪实验中学高三校考)设sin23°＝m，则tan67°等于( )
A. －
【解析】 因为 θ∈0，π2，所以 sinθ>0，cosθ>0.因为 tanθ＝csoinsθθ＝12， 所以 cosθ＝2sinθ，所以 cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得 sinθ
＝
55或
sinθ＝－
55(舍去)，所以
sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－
【答案】 D
cos2α＝1－sin2α. 4. 同角三角函数的基本关系本身是恒等式，也可以看作是方程，对
于一些题，可利用已知条件，结合同角三角函数的基本关系列方程组， 通过解方程组达到解决问题的目的．
第四章 三角函数、解三角形
第二节 同角三角函数的基本关系式与诱导公式
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学习目标 核心体系 活动方案 备用题
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学习目标 1. 能利用单位圆中的三角函数线推导出π2±α，π±α 的正弦、 余弦、正切的诱导公式.2. 理解同角三角函数的基本关系式：sin2α＋ cos2α＝1，csoinsαα＝tanα.3. 能利用同角三角函数的基本关系式及三角函 数的诱导公式进行求值、化简、证明．
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诱导公式第一类π2的偶数倍：－α、π±α 第二类π2的奇数倍：π2±α、32π±α 平方关系：sin2α＋cos2α＝1
同角关系商数关系：csoinsαα＝tanα
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活动一 基础训练
1. (2023贵溪实验中学高三校考)设sin23°＝m，则tan67°等于( )
A. －
【解析】 因为 θ∈0，π2，所以 sinθ>0，cosθ>0.因为 tanθ＝csoinsθθ＝12， 所以 cosθ＝2sinθ，所以 cos2θ＋sin2θ＝4sin2θ＋sin2θ＝5sin2θ＝1，解得 sinθ
＝
55或
sinθ＝－
55(舍去)，所以
sinθ－cosθ＝sinθ－2sinθ＝－sinθ＝－
【答案】 D
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∠BAC= 2 .
3
【答案】A
1.解斜三角形的常规思维方法是:
(1)已知两角和一边(如A、B、c),由A+B+C=π求C,由正弦定理求a
、b ;
(2)已知两边和夹角(如a、b、C),应用余弦定理求c边;再应用正弦定
理先求较短边所对的角,然后利用A+B+C=π,求另一角; (3)已知两边和其中一边的对角(如a、b、A),应用正弦定理求B,由A+ B+C=π求C,再由正弦定理或余弦定理求c边,要注意解可能有多种情况;
(3)余弦定理:三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这 两边与它们夹角的余弦的积的两倍
a2=b2+c2-2bccos A;b2=c2+a2-2cacos B;c2=a2+b2-2abcos C. (4)正余弦定理的结合:将a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C代入余弦定 理可得sin2A+sin2B-sin2C=2sin Asin Bcos C.
(4)已知三边a、b、c,应用余弦定理求A、B,再由A+B+C=π,求角C.
2.三角形内切圆的半径:r= 2S ,特别地,直角三角形中,r=a b c (其
abc
2
中c为斜边).
3.三角形中的射影定理:在△ABC中,b=a·cos C+c·cos A,…
4.两内角与其正弦值的大小比较:在△ABC中,A<B⇔sin A<sin B,…
5.解三角形问题可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合 “三角形中大边对大角”定理及几何作图来帮助理解.
正弦定理、余弦定理在三角形的边角转化、三角形形状的判断、 三角形内三角函数的求值以及三角恒等式的证明问题中都起着十 分重要的作用,立体几何的空间角以及解析几何的有关角等问题,也 会以正弦定理、余弦定理为知识框架,以三角形为主要依托,预测20 13年高考题型一般为客观题或中等难度的解答题.
1.斜三角形中各元素间的关系:
3.三角形的面积公式:
(1)S△= 12aha= 12bhb= 12chc(ha、hb、hc
C= 1bcsin
2
A= ac1sin
2
B;
(3)S△=2R2sin Asin Bsin C(R为外接圆半径);
(4)S△= a4bRc;
(5)S△=r·s.(r为内切圆的半径,s为半周长)
2013届高三数学一轮复习课件第四章三角函数 解 三 角形
考点
考纲解读
1 正弦定理、余弦定理、 通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正
内角和定理
弦定理、余弦定理的证明,并能解决一些简单的三
角形度量问题;了解正弦定理、余弦定理与三角形
外接圆半径的关系.
2 解三角形
能运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些 与测量和几何计算有关的实际问题.
在△ABC中,A、B、C为其内角,a、b、c分别表示A、B、C的对边,
(1)三角形内角和:A+B=π-C, A 2
B
=
2
-
C 2
.
(2)正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等
a= b = c a b= c =2R(R为外接圆半径).
sin A sin B sin C sin A sin B sin C
1.在△ABC中,AB=5,AC=3,BC=7,则∠BAC的大小为 ( )
(A) 2 .
3
(B) 5 . 6
(C) 3 .
4
(D) . 3
【解析】由余弦定理得:cos ∠BAC= AB2 AC2 BC2 = 25 9 49 =- 1 ,∴
2AB AC
253 2