8-1 动态规划 数学建模
数学建模-(动态规划)
1．某公司打算向它的三个营业区增设6个销售店，每个营业区至少增设1个。
各营业区每年增加的利润与增设的销售店个数有关，具体关系如表1所示。
试规划各营业区应增设销售店的个数，以使公司总利润增加额最大。
：个销售店，C 区增设1个销售店.最大利润为490万元。
贝尔曼（Bellman ）最优化原理：在最优策略的任意一阶段上，无论过去的状态和决策如何，对过去决策所形成的当前状态而言，余下的诸决策必须构成最优子策略。
2.某公司拟将500万元的资本投入所属的甲、乙、丙三个工厂进行技术改造，各工厂获得投资后年利润将有相应的增长，增长额如表所示。
试确定500万元资解：将问题按工厂分为三个阶段3,2,1=k ，设状态变量k （3,2,1=k ）代表从第k 个工厂到第3个工厂的投资额，决策变量k x 代表第k 个工厂的投资额。
于是有状态转移率k k k x S S -=+1、允许决策集合}0|{)(k k k k k S x x S D ≤≤=和递推关系式：)}()({max )(10k k k k k S x k k x S f x g S f k k -+=+≤≤ )1,2,3(=k0)(44=S f当3=k 时：)}({max }0)({max )(330330333333x g x g S f S x S x ≤≤≤≤=+=于是有表2-1，表中*3x 表示第三个阶段的最优决策。
当2=k 时：)}()({max )(2232202222x S f x g S f S x -+=≤≤于是有表7-3。
当1=k 时：)}()({max )(1121101111x S f x g S f S x -+=≤≤于是有表2-3。
然后按计算表格的顺序反推算，可知最优分配方案有两个：（1）甲工厂投资200万元，乙工厂投资200万元，丙工厂投资100万元；（2）甲工厂没有投资，乙工厂投资200万元，丙工厂投资300万元。
按最优分配方案分配投资（资源），年利润将增长210万元。
数学建模之动态规划(一)
一段和未来各段分开，又把当前效益和未来效益结合起来 考虑的一种最优化方法。
（３）在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是已 知的，而每段的决策都是该段状态的函数，故最优策略所 经过的各段状态便可逐次变换得到，从而确定了最优路线。
表6-1
单位：万元
盈利 企业
甲
乙
丙
设备台数
0
0
0
0
1
3
5
4
2
7
10
6
3
9
11
11
4
12
11
12
5
13
11
12
？ 这五台设备如何分配给各企业，才能使国家得到的盈
利最大。
2020/8/23
18
解 将问题按企业分为三个阶段，甲、乙、丙三个企
业分别编号为1、2、3。设:
sk表示为分配给第k个企业至第ｎ个企业的设备台数。
设状态变量表示分配用于生产第种产品至第ｎ种产品
的原料数量。
2020/8/23
16
决 策 变 量 uk 表 示 分 配 给 生 产 第 k 种 产 品 的 原 料 数 ， 即 uk=xk。
状态转移方程： s 1 s u s x
允许决策集合： D (s ) {u 0 u x s }
令最优值函数fk(sk)表示以数量为sk的原料分配给第种产
∧,n。如例1就可以看成是一个6个阶段决策问题。状态选
每阶段的初始节点Sk，决策则是每阶段的终止节点Uk，状 态转移方程可以 Sk+1=Uk(Sk) 用来表示。
2020/8/23
数学建模之动态规划
第四章动态规划§1 引言1.1 动态规划的发展及研究内容动态规划（dynamic programming）是运筹学的一个分支，是求解决策过程（decision process）最优化的数学方法。
20世纪50年代初R. E. Bellman等人在研究多阶段决策过程(multistep decision process)的优化问题时，提出了著名的最优性原理（principle of optimality），把多阶段过程转化为一系列单阶段问题，逐个求解，创立了解决这类过程优化问题的新方法—动态规划。
1957年出版了他的名著《Dynamic Programming》，这是该领域的第一本著作。
动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。
例如最短路线、库存管理、资源分配、设备更新、排序、装载等问题，用动态规划方法比用其它方法求解更为方便。
虽然动态规划主要用于求解以时间划分阶段的动态过程的优化问题，但是一些与时间无关的静态规划（如线性规划、非线性规划），只要人为地引进时间因素，把它视为多阶段决策过程，也可以用动态规划方法方便地求解。
应指出，动态规划是求解某类问题的一种方法，是考察问题的一种途径，而不是一种特殊算法（如线性规划是一种算法）。
因而，它不象线性规划那样有一个标准的数学表达式和明确定义的一组规则，而必须对具体问题进行具体分析处理。
因此，在学习时，除了要对基本概念和方法正确理解外，应以丰富的想象力去建立模型，用创造性的技巧去求解。
例1 最短路线问题下面是一个线路网，连线上的数字表示两点之间的距离（或费用）。
试寻求一条由A 到G距离最短（或费用最省）的路线。
例2 生产计划问题工厂生产某种产品，每单位（千件）的成本为1（千元），每次开工的固定成本为3（千元），工厂每季度的最大生产能力为6（千件）。
经调查，市场对该产品的需求量第一、二、三、四季度分别为2，3，2，4（千件）。
数学建模中的动态规划问题
数学建模中的动态规划问题动态规划是一种常见且重要的数学建模技术，它在解决许多实际问题中发挥着关键作用。
本文将介绍动态规划问题的基本概念和解题方法，并通过几个实例来说明其在数学建模中的应用。
一、动态规划的基本概念动态规划是解决多阶段决策问题的一种方法。
一般来说，动态规划问题可以分为以下几个步骤：1. 确定阶段：将问题划分为若干个阶段，每个阶段对应一个决策。
2. 确定状态：将每个阶段的可能状态列出，并定义对应的决策集合。
3. 确定状态转移方程：根据当前阶段的状态和上一个阶段的决策，确定状态的转移关系。
4. 确定初始条件：确定问题的初始状态。
5. 确定决策的评价标准：根据问题的具体要求，确定决策的评价标准。
6. 使用递推或递归公式求解：根据状态转移方程，使用递推或递归公式求解问题。
二、动态规划问题的解题方法在解决动态规划问题时，一般可以使用自顶向下和自底向上两种方法。
自顶向下的方法，也称为记忆化搜索，是指从问题的最优解出发，逐步向下求解子问题的最优解。
该方法通常使用递归来实现，并通过记忆化技术来避免重复计算。
自底向上的方法，也称为动态规划的迭代求解法，是指从问题的初始状态出发，逐步向上求解各个阶段的最优解。
该方法通常使用迭代循环来实现，并通过存储中间结果来避免重复计算。
三、动态规划在数学建模中的应用1. 01背包问题：给定一组物品和一个背包，每个物品有对应的价值和重量，要求选择一些物品放入背包中，使得背包中物品的总价值最大，而且总重量不超过背包的容量。
这是一个经典的动态规划问题，在数学建模中经常遇到。
2. 最短路径问题：在给定的有向图中，求解从一个顶点到另一个顶点的最短路径。
该问题可以使用动态规划的思想对其进行求解，其中每个阶段表示到达某个顶点的最短路径。
3. 最长公共子序列问题：给定两个序列，求解它们最长的公共子序列的长度。
该问题可以使用动态规划的方法解决，其中每个阶段表示两个序列的某个子序列。
四、实例分析以01背包问题为例进行具体分析。
数学建模工作规划
一、背景与目的随着我国经济社会的快速发展，数学建模作为一种重要的研究方法，在各行各业中得到广泛应用。
为了提高数学建模能力，培养创新型人才，特制定本工作规划。
二、工作目标1. 提高数学建模理论水平，掌握常用数学建模方法。
2. 培养团队协作精神，提高数学建模实践能力。
3. 发表高质量数学建模论文，提升团队在国内外的影响力。
三、工作内容1. 学习与培训（1）深入学习数学建模理论，包括线性规划、非线性规划、整数规划、动态规划、图论等。
（2）参加国内外数学建模竞赛，了解竞赛规则和评分标准。
（3）邀请专家学者进行讲座，拓宽知识面，提高研究能力。
2. 实践与项目（1）结合实际需求，开展数学建模项目研究，如城市规划、环境保护、交通运输等。
（2）针对具体问题，运用数学建模方法进行求解，提高解决实际问题的能力。
（3）总结经验，撰写数学建模论文，争取在国内外期刊发表。
3. 团队建设（1）选拔和培养团队成员，提高团队整体实力。
（2）加强团队内部沟通与协作，形成良好的团队氛围。
（3）定期组织团队活动，增进成员间的感情。
四、实施步骤1. 制定详细的学习计划，明确学习目标和进度。
2. 每月至少开展一次数学建模实践活动，提高团队实战能力。
3. 每季度组织一次团队交流活动，分享经验，共同进步。
4. 每年至少参加一次国内外数学建模竞赛，提升团队知名度。
5. 定期总结工作，对工作规划进行调整和优化。
五、保障措施1. 加强组织领导，明确责任分工。
2. 提供必要的经费和资源支持，为数学建模工作提供保障。
3. 定期对团队成员进行考核，激发团队活力。
4. 建立激励机制，鼓励团队成员积极参与数学建模工作。
通过本工作规划的制定与实施，我们相信能够提高团队的整体数学建模能力，为我国经济社会发展贡献一份力量。
数学建模-数学规划模型
将决策变量、目标函数和约束条件用数学方程表示出来，形成线性规划模型。
线性规划的求解方法
单纯形法
单纯形法是线性规划最常用的求解方法，它通过不断迭代和调整决策 变量的值，逐步逼近最优解。
对偶法
对偶法是利用线性规划的对偶性质，通过求解对偶问题来得到原问题 的最优解。
分解法
分解法是将一个复杂的线性规划问题分解为若干个子问题，分别求解 子问题，最终得到原问题的最优解。
混合法
将优先级法和权重法结合起来，既考虑目标的优先级又考虑目标的 权重，以获得更全面的优化解。
多目标规划的求解方法
约束法
通过引入约束条件，将多目标问题转化为单目标问题求解。常用的约束法包括线性约束 、非线性约束等。
分解法
将多目标问题分解为若干个单目标问题，分别求解各个单目标问题，然后综合各个单目 标问题的解得到多目标问题的最优解。
特点
多目标规划问题通常具有多个冲突的目标， 需要权衡和折衷不同目标之间的矛盾，因此 求解难度较大。多目标规划广泛应用于经济 、管理、工程等领域。
多目标规划的建模方法
优先级法
根据各个目标的重要程度，给定不同的优先级，然后结合优先级 对目标进行优化。
权重法
给定各个目标的权重，将多目标问题转化为加权单目标问题，通过 求解加权单目标问题得到多目标问题的最优解。
数学建模-数学规划 模型
目录
• 数学规划模型概述 • 线性规划模型 • 非线性规划模型 • 整数规划模型 • 多目标规划模型
01
CATALOGUE
数学规划模型概述
定义与分类
定义
数学规划是数学建模的一种方法，通 过建立数学模型描述和解决优化问题 。
分类
数学建模比赛学习计划
数学建模比赛学习计划一、前言数学建模比赛是一个能够锻炼学生综合能力的重要平台。
通过参与数学建模比赛，学生不仅能够提升数学建模、计算机编程等技能，还能够培养团队合作、问题解决能力等。
因此，作为一名学生，我们应该认真对待数学建模比赛，制定合理的学习计划，全力以赴取得好成绩。
二、学习目标1. 提高数学建模能力，熟练掌握建模方法和技巧；2. 加强计算机编程技能，能够运用计算机辅助进行建模和分析；3. 培养团队合作能力，提高沟通和协商能力；4. 培养问题解决能力，能够独立思考，并有条理地解决问题；5. 增加对实际问题的分析和解决能力。
三、学习计划1. 提高数学建模能力（1）学习建模方法和技巧，包括但不限于数学建模基础知识、优化建模、动态规划等。
每周安排2-3小时时间进行系统性学习，通过读书、参加讲座等途径进行学习。
（2）参加数学建模相关的竞赛、活动，如数学建模夏令营、建模比赛培训班等。
通过实践，不断提高自己的建模能力。
并在学习过程中记录总结常见的建模方法和技巧，加强对数学建模的掌握。
2. 加强计算机编程技能（1）系统学习计算机编程相关知识。
包括但不限于Python、Matlab等编程语言的学习。
每周至少安排2-3小时时间进行学习，并通过编程实践提高自己的编程能力。
（2）参与一些与数学建模相关的编程项目，如使用Python进行数据分析、模型拟合等。
通过实践，不断提高自己的计算机编程能力。
3. 培养团队合作能力（1）组建数学建模学习小组，每周安排固定的时间进行团队学习。
通过与他人的学习交流，加深对数学建模的理解，同时培养团队合作能力。
（2）参加团队合作训练，如小组合作完成数学建模练习题等。
通过实践，不断提高自己的团队合作能力。
4. 培养问题解决能力（1）参加数学建模比赛的模拟测试，模拟真实的比赛环境。
通过不断练习，提高解决实际问题的能力。
（2）阅读一些数学建模经典案例，如国际数学建模大赛获奖作品等。
通过学习他人的经验，拓宽自己的问题解决思路。
数学建模常用方法介绍
数学建模常用方法介绍数学建模是指利用数学方法对实际问题进行数学描述和分析的过程。
它是数学与实际问题相结合的一种科学研究方法。
在数学建模中，常用的方法有线性规划、非线性规划、动态规划、数值模拟、统计分析等。
下面将介绍这些常用的数学建模方法。
1.线性规划线性规划是一种优化问题的数学描述方法，可以用于求解最优化问题，例如最大化利润或最小化成本。
线性规划的基本思想是在一定的约束条件下，通过线性目标函数和线性约束条件，寻找最优解。
线性规划常用的算法有单纯形法、内点法等。
2.非线性规划非线性规划是一种在约束条件下求解非线性最优化问题的方法。
与线性规划不同，非线性规划中目标函数和/或约束条件是非线性的。
非线性规划的求解方法包括梯度下降法、牛顿法等。
3.动态规划动态规划是一种常用的求解最优化问题的方法，它可以用于求解具有重叠子问题结构的问题。
动态规划将原问题分解为一系列子问题，并通过保存子问题的解来避免重复计算，从而降低计算复杂度。
动态规划常用于求解最短路径问题、背包问题等。
4.数值模拟数值模拟是通过数值方法对实际问题进行计算机模拟和仿真的方法。
数值模拟在现代科学和工程中得到广泛应用。
数值模拟方法包括有限差分法、有限元法、蒙特卡洛方法等。
5.统计分析统计分析是通过数理统计方法对数据进行分析和推断的方法。
统计分析可以帮助我们了解数据的分布、关系和趋势，并做出科学的推断和预测。
统计分析方法包括假设检验、方差分析、回归分析等。
除了以上常用方法，还有一些其他常用的数学建模方法，例如图论、随机过程、优化算法等。
不同的问题需要选用不同的数学建模方法。
为了解决实际问题，数学建模需要结合实际背景和需求，在数学建模的过程中运用合适的数学方法，建立准确的模型，并通过数学分析和计算机辅助求解，得到符合实际情况的解答和结论。
数学建模的过程不仅仅是将数学工具应用于实际问题，更要注重问题的形式化、合理性和可行性。
在实际建模过程中，需要对问题进行适当的简化和假设，并考虑到模型的稳定性和可靠性。
建立动态规划数学模型的步骤
建立动态规划数学模型的步骤动态规划是一种解决多阶段决策问题的优化方法，它将问题分为若干阶段，每个阶段采取一个最优决策，通过递推的方式得到问题的最优解。
建立动态规划数学模型的步骤主要包括以下几个方面。
第一步，明确问题：首先要明确要解决的问题是什么，分析问题的特点和要求，明确决策的目标和约束条件。
例如，我们可以考虑求解一个最优化问题，使一些目标函数取得最大（或最小）值。
第二步，定义状态：将问题的解表示为一个或多个状态变量。
状态是问题的一个关键特征，它描述了问题在每个阶段的情况，通常用一个或多个变量表示。
状态可以是离散的，也可以是连续的。
例如，假设我们要解决一个装箱问题，可以将状态定义为装箱剩余空间的大小。
第三步，确定决策变量：决策变量是问题中可以通过决策调整的变量，其取值将影响问题的解。
决策变量通常与状态有关，帮助我们在每个阶段做出最优决策。
继续以装箱问题为例，决策变量可以是选择放入的物品或物品的数量。
第四步，建立状态转移方程：通过分析问题的特点和约束条件，建立各个阶段之间的状态转移方程。
状态转移方程描述了问题中不同状态之间的关系，即通过做出一些决策后，当前状态如何转移到下一个状态。
状态转移方程通常由决策变量和前一阶段的状态变量表示。
在装箱问题中，状态转移方程可以描述为剩余空间等于前一阶段的剩余空间减去当前决策变量所占空间。
第五步，确定边界条件：边界条件是求解动态规划问题的关键，它们表示问题的起始状态和结束状态。
通常，起始状态是已知的，而结束状态需要根据问题的要求进行分析确定。
例如，装箱问题的起始状态可以是剩余空间等于货柜的总容量，结束状态可以是没有物品剩余可以放入货柜。
第六步，确定目标函数：目标函数是求解最优化问题时需要优化的目标。
在动态规划中，目标函数通常与状态有关，它表示在每个阶段的状态下所要最大（或最小）化的目标量。
例如，在装箱问题中，目标函数可以是放入货柜的物品总价值。
第七步，建立递推关系：根据状态转移方程和边界条件，可以利用递推的方法从起始状态逐步计算到结束状态。
动态规划数学模型
• fk(sk)=opt{Vk,n }
3
MOR：SM
SHUFE
第一节 动态规划数学模型
例：有供应商要运输一批货物去公司,试求一条运输路径最短。
2 S1 4
4
供
应 商
阶段1
S12 7 4
3
4
S2 2
3
4
5
1 S32 5
出
口 港
阶段2
S13 1 4
6 S23
2. 动态规划模型分类
过程 变量
离散
连续
确定 离散确定型 连续确定型
随机 离散随机型 连续随机型
7
MOR：SM
• 是状态变量和相应决策变量的函数，即vk = vk(sk , xk ) 过程指标函数Vk,n
• 从第k阶段的状态sk出发到最后阶段结束的综合绩效度量 • 取决于阶段k到阶段n所采取的策略，即Vk,n (sk,xk,xk+1 ,…,sn) • 指标函数Vk,n可以是各阶段指标的和或积
最优指标函数值fk(sk)
状态表示过程发展中某阶段的起始状况 描述各阶段状态演进的变量，称为状态变量，用Sk表示
• 第 k 阶段可能有若干状态，用Sk 表示阶段k的状态集合
• sk(i)表示第k阶段的第 i 个状态
选取的状态变量必须满足无后效性
1
MOR：SM
SHUFE
第一节 动态规划数学模型
一、动态规划的基本概念
• 决策变量
变量xk(sk)表示阶段k状态sk的决策，称为决策变量，简记xk 决策变量取值被限制在某一范围内，称允许决策集合Xk(sk) 决策变量组成的序列，称为策略
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结
数学建模模型常用的四大模型及对应算法原理总结四大模型对应算法原理及案例使用教程：一、优化模型线性规划线性回归是利用数理统计中回归分析，来确定两种或两种以上变量间相互依赖的定量关系的一种统计分析方法，在线性回归分析中，只包括一个自变量和一个因变量，且二者的关系可用一条直线近似表示，这种回归分析称为一元线性回归分析。
如果回归分析中包括两个或两个以上的自变量，且因变量和自变量之间是线性关系，则称为多元线性回归分析。
案例实操非线性规划如果目标函数或者约束条件中至少有一个是非线性函数时的最优化问题叫非线性规划问题，是求解目标函数或约束条件中有一个或几个非线性函数的最优化问题的方法。
建立非线性规划模型首先要选定适当的目标变量和决策变量，并建立起目标变量与决策变量之间的函数关系，即目标函数。
然后将各种限制条件加以抽象，得出决策变量应满足的一些等式或不等式，即约束条件。
整数规划整数规划分为两类：一类为纯整数规划，记为PIP，它要求问题中的全部变量都取整数；另一类是混合整数规划，记之为MIP，它的某些变量只能取整数，而其他变量则为连续变量。
整数规划的特殊情况是0-1规划，其变量只取0或者1。
多目标规划求解多目标规划的方法大体上有以下几种：一种是化多为少的方法，即把多目标化为比较容易求解的单目标，如主要目标法、线性加权法、理想点法等；另一种叫分层序列法，即把目标按其重要性给出一个序列，每次都在前一目标最优解集内求下一个目标最优解，直到求出共同的最优解。
目标规划目标规划是一种用来进行含有单目标和多目标的决策分析的数学规划方法，是线性规划的特殊类型。
目标规划的一般模型如下：设xj是目标规划的决策变量，共有m个约束条件是刚性约束，可能是等式约束，也可能是不等式约束。
设有l个柔性目标约束条件，其目标规划约束的偏差为d+, d-。
设有q个优先级别，分别为P1, P2, …, Pq。
在同一个优先级Pk中，有不同的权重，分别记为[插图], [插图]（j=1,2, …, l）。
数学建模竞赛中的数学模型求解方法
数学建模竞赛中的数学模型求解方法数学建模竞赛是一项旨在培养学生数学建模能力的竞赛活动。
在竞赛中，参赛者需要利用数学知识和技巧，解决实际问题，并提出相应的数学模型。
然而，数学模型的求解方法却是一个非常关键的环节。
本文将介绍一些常见的数学模型求解方法，帮助参赛者在竞赛中取得好成绩。
一、线性规划线性规划是数学建模中常见的一种模型求解方法。
它的基本思想是将问题转化为一个线性函数的最优化问题。
在线性规划中，参赛者需要确定决策变量、目标函数和约束条件，并利用线性规划模型求解最优解。
常见的线性规划求解方法有单纯形法、内点法等。
这些方法基于数学原理，通过迭代计算，逐步接近最优解。
二、整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量取整数值。
整数规划在实际问题中具有广泛的应用，例如货物运输、资源分配等。
在整数规划中，参赛者需要将问题转化为一个整数规划模型，并利用整数规划求解方法求解最优解。
常见的整数规划求解方法有分支定界法、割平面法等。
这些方法通过分解问题、添加约束条件等方式，逐步缩小搜索空间，找到最优解。
三、非线性规划非线性规划是一类目标函数或约束条件中包含非线性项的最优化问题。
在实际问题中，很多情况下目标函数和约束条件都是非线性的。
在非线性规划中，参赛者需要选择适当的数学模型，并利用非线性规划求解方法求解最优解。
常见的非线性规划求解方法有牛顿法、拟牛顿法等。
这些方法通过迭代计算，逐步逼近最优解。
四、动态规划动态规划是一种解决多阶段决策问题的数学方法。
在动态规划中，参赛者需要确定状态、决策和状态转移方程，并利用动态规划求解方法求解最优解。
常见的动态规划求解方法有最优子结构、重叠子问题等。
这些方法通过存储中间结果、利用递推关系等方式，逐步求解最优解。
五、模拟与优化模拟与优化是一种常见的数学模型求解方法。
在模拟与优化中，参赛者需要建立数学模型，并利用计算机模拟和优化算法求解最优解。
常见的模拟与优化方法有蒙特卡洛模拟、遗传算法等。
数学建模常用算法模型
数学建模常用算法模型在数学建模中，常用的算法模型包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论算法以及遗传算法等。
下面将对这些算法模型进行详细介绍。
1.线性规划：线性规划是一种用于求解最优化问题的数学模型和解法。
它的目标是找到一组线性约束条件下使目标函数取得最大（小）值的变量取值。
线性规划的常用求解方法有单纯形法、内点法和对偶理论等。
2.整数规划：整数规划是一种求解含有整数变量的优化问题的方法。
在实际问题中，有时变量只能取整数值，例如物流路径问题中的仓库位置、设备配置问题中的设备数量等。
整数规划常用的求解方法有分支界定法和割平面法等。
3.非线性规划：非线性规划是一种求解非线性函数优化问题的方法，它在实际问题中非常常见。
与线性规划不同，非线性规划的目标函数和约束函数可以是非线性的。
非线性规划的求解方法包括牛顿法、拟牛顿法和全局优化方法等。
4.动态规划：动态规划是一种用于解决决策过程的优化方法。
它的特点是将问题划分为一系列阶段，然后依次求解每个阶段的最优决策。
动态规划常用于具有重叠子问题和最优子结构性质的问题，例如背包问题和旅行商问题等。
5.图论算法：图论算法是一类用于解决图相关问题的算法。
图论算法包括最短路径算法、最小生成树算法、网络流算法等。
最短路径算法主要用于求解两点之间的最短路径，常用的算法有Dijkstra算法和Floyd-Warshall算法。
最小生成树算法用于求解一张图中连接所有节点的最小代价树，常用的算法有Prim算法和Kruskal算法。
网络流算法主要用于流量分配和问题匹配，例如最大流算法和最小费用最大流算法。
6.遗传算法：遗传算法是一种借鉴生物进化原理的优化算法。
它通过模拟生物的遗传、变异和选择过程，不断优化问题的解空间。
遗传算法适用于对问题解空间有一定了解但难以确定最优解的情况，常用于求解复杂的组合优化问题。
总结起来，数学建模中常用的算法模型包括线性规划、整数规划、非线性规划、动态规划、图论算法以及遗传算法等。
数学建模四大模型归纳
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
●旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n个城市，城市i与j之间的距离为d，找一条经过n个城ij市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
●车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP问题是VRP问题的特例。
●车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j个工作和m台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
数学建模动态规划问题
个阶段的决策过程有 个状态变量， 表示 演变的结果。在例1中 取 ，或定义为 ，即 。
根据过程演变的具体情况，状态变量可以是离散的或连续的。为了计算的方便有时将连续变量离散化；为了分析的方便有时又将离散变量视为连续的。
状态变量简称为状态。
2.1.3决策
当一个阶段的状态确定后，可以作出各种选择从而演变到下一阶段的某个状态，这种选择手段称为决策（decision），在最优控制问题中也称为控制（control）。
.
决策 Байду номын сангаас允许集合为
.
状态转移方程和阶段指标应对 的每个取值 和 的每个取值 计算，即 ， 。最优值函数应对 的每个取值 计算。基本方程可以表为
（4）
按照（3），（4）逆向计算出 ，为全过程的最优值。记状态 的最优决策为 ，由 和 按照状态转移方程计算出最优状态，记作 。并得到相应的最优决策，记作 。于是最优策略为 。
描述决策的变量称决策变量（decision variable），变量允许取值的范围称允许决策集合（set of admissible decisions）。用 表示第 阶段处于状态 时的决策变量，它是 的函数，用 表示 的允许决策集合。在例1中 可取 或 ，可记作 ，而 。
决策变量简称决策。
2.1.4策略
（ ）写出基本方程即最优值函数满足的递归方程，以及端点条件。
第3章 数学建模中的动态规划问
最长公共子序列问题
问题描述
给定两个字符串X和Y，找出它们的最长公共子序列。
解决方案
使用动态规划求解，定义状态dp[i][ j]表示X的前i个字符和Y的前j个字符的最长公共子序列长度。通过状态转移方 程dp[i][ j] = dp[i-1][ j-1] + 1（当X[i] == Y[ j]时），或者dp[i][ j] = max(dp[i-1][ j], dp[i][ j-1])（当X[i] != Y[ j] 时）进行求解。
改进方向及未来发展趋势
通过改进动态规划算法或采用其 他优化技术（如分支定界、启发 式搜索等），提高求解效率，降 低时间复杂度。
探索动态规划在更多领域的应用 ，如机器学习、深度学习、强化 学习等，推动动态规划理论与实 际应用的发展。
空间优化 时间优化 并行计算
拓展应用领域
针对动态规划空间复杂度高的问 题，可以采用滚动数组、状态压 缩等技巧进行优化，降低空间复 杂度。
最优性原理与无后效性
最优性原理
作为整个过程的最优策略具有这样的性质：即无论过去的状态和决策如何，对 前面的决策所形成的状态而言，余下的诸决策必须构成最优策略。
无后效性
我们要求状态具有下面的性质：如果给定某一阶段的状态，则在这一阶段以后 过程的发展不受这阶段以前各段状态的影响。
03
动态规划的基本方法
05
动态规划在数学建模中的应用
Chapter
资源分配问题
背包问题
给定一组物品，每个物品有一定 的重量和价值，如何选择物品放 入背包，使得背包的总价值最大
且不超过背包的承重限制。
分配问题
如何将有限资源分配给多个任务或 项目，以最大化整体效益或最小化 成本。
建立动态规划数学模型的步骤
例2（带回收的资源分配问题）某厂新购某种机床125台。据估计，这种设备5年后将被其它设备所代替。此机床如在高负荷状态下工作，年损坏率为1/2，年利润为10万元；如在低负荷状态下工作，年损坏率为1/5，年利润为6万元。问应如何安排这些机床的生产负荷，才能使5年内获得的利润最大？
解：以年为阶段，k=1，2，3，4，5 取k年初完好的机床数为状态变量xk 以k年初投入高负荷运行的机床数为决策变量uk，则低负荷运行机床数是xk-uk，于是状态转移方程为： xk+1=1/2uk+4/5（xk-uk）=0.8xk-0.3uk 以利润为目标函数，则k年利润为： 10uk+6（xk-uk）=4uk+6xk 记fk（xk）为k年至5年末最大总利润，则动态规划基本方程为： fk（xk）= max｛ 4uk+6xk+fk+1（0.8xk-0.3uk）｝ 0≤uk≤xk f6（x6）=0 k=5,4,3,2,1
动态规划基本方程为： fk（xk）= max｛ 4uk+6xk+fk+1（0.8xk-0.3uk）｝
当k=2时 f2（x2）= max｛ 4u2+6x2+f3（0.8x2-0.3u2）｝ 0≤u2≤x2 = max｛ 4u2+6x2+18（0.8x2-0.3u2）｝ 0≤u2≤x2 = max｛-1.4u2+20.4x2｝=20.4x2 u2=0 0≤u2≤x2 当k=1时 f1（x1）= max｛ 4u1+6x1+f2（0.8x1-0.3u1）｝ 0≤u1≤x1 = max｛ 4u1+6x1+20.4（0.8x1-0.3u1）｝ 0≤u1≤x1 = max｛ -2.12u1+22.32x1｝=22.32x1 u1=0 0≤u1≤x1 =22.32×125=2790（万元）
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
、确定状态转移方程 4 4、确定状态转移方程
k 阶段状态变量和决策变量，写出 k+1 阶段状态 根据 根据k 阶段状态变量和决策变量，写出k+1 k+1阶段状态 变量，状态转移方程应当具有递推关系。
动态规划问题的一些例子
1 最短路径问题
例一、从A 地到D 地要铺设一条煤气管道 ,其中需经过 两级中间站，两点之间的连线上的数字表示距离，如 图所示。问应该选择什么路线，使总距离最短？
当1＜k≤n 时，其递推关系如下： 设：y 为分给第 k 个工厂的资金（其中 0≤y ≤ x ），此 时还剩 x － y（万元）的资金需要分配给前 k-1 个工厂, 如果采取最优策略，则得到的最大利润为 fk－1(x－y) ,因 此总的利润为：
gk(y) ＋ fk－1(x－y)
20
例题：
所以，根据动态规划的最优化原理，有下式：
{g k ( y ) +
f k −1 ( x − y ) }
解：依据题意，是要求 f4(60) 。
21 22
按顺序解法计算。 第一阶段：求 f1(x)。显然有 f1(x) ＝ g1(x)，得到下表
投资 利润
0 0 0
10 20 10
20 50 20
30 65 30
40 80 40
50 85 50
60 85 60
决策 状态 1 决策 决策 状态 … 状态 n 2
2 动态规划的基本思想
1 、动态规划方法的关键在于正确地写出基本 的递推关系式和恰当的边界条件（简称基本方 程）。要做到这一点，就必须将问题的过程分 成几个相互联系的阶段，恰当的选取状态变量 和决策变量及定义最优值函数，从而把一个大 问题转化成一组同类型的子问题，然后逐个求 解。即从边界条件开始，逐段递推寻优，在每 一个子问题的求解中，均利用了它前面的子问 题的最优化结果，依次进行，最后一个子问题 所得的最优解，就是整个问题的最优解。
i=1
令：fk(x) = 以数量为x 的资金分配给前 k 个工厂，所得 到的最大利润值。 用动态规划求解，就是求 fn(a) 的问题。 当 k=1 时， f1(x) = g1(x) （因为只给一个工厂）
⎧ n ⎪∑ xi ≤ a ⎨ i=1 ⎪ x ≥ 0 i = 1 .2 . ⋯ .n ⎩ i
19
12
2
练习1： 求从A到G的最短路径
3 2 A 4 B2 B1 1 2 3 1 C3 3 C2 4 3 C1 C1 1 B1 D A 3 B2 5 8 7 6 8 C3 6 1 3 C2 3 5 3 3 4 D3 3 D2 3 E3 1 2 6 8 D1 2 2 E2 5 2 6 6 F2 3 E1 3 5 F1
f k ( x ) = max {g k ( y ) + f k −1 ( x − y )}
0≤ y≤ x
设国家拨给 60万元投资，供四个工厂扩建使用，每 个工厂扩建后的利润与投资额的大小有关，投资后的 利润函数如下表所示。
投资 利润
其中 k = 2 . 3 .⋯ .n
如果a 是以万元为资金分配单位，则式中的 y 只取 非负整数0，1，2，…，x。上式可变为：
4 G
最短路线为
A→B1→C1 →D
C4
路长为 6
13 14
C1 6 2 E1 3 1 8 D1 k=6, F1 G f6(F1)=4 B1 3 5 F1 4 5 2 C2 3 6 A 5 5 D2 1 E2 G F2 G ,f6(F2)=3 3 2 2 B2 87 C3 3 6 F2 3 3 D3 3 E3 6 6 C4 8 3 k=5，出发点E1、E2、E3 4
最优化原理：作为整个过程的最优策略具有这样 的性质：无论过去的状态和决策如何，相对于前面 的决策所形成的状态而言，余下的决策序列必然构 成最优子策略。 ”也就是说，一个最优策略的子策 略也是最优的。
、确定决策变量及允许决策集合 3 3、确定决策变量及允许决策集合
通常选择所求解问题的关键变量作为决策变量，同时 要给出决策变量的取值范围，即确定允许决策集合。
10
3 2 A 4 B2 B1 1 2 3 1 3
C1 C2 4 C3 3
3 1 2 D A 4 B2 B1 1 2 3 1 3
C1 C2 4 C3 3
1 D
第三阶段（ A → B ）： A 到B 有二条路线。 d( B2,C1 ) + f1 (C1 ) 2+1 f 2 ( B2 ) = min d( B2,C2 ) + f1 (C2 ) = min 3+3 1+4 d( B2,C3 ) + f1 (C3 ) 3 = min 6 = 3 (最短路线为 B2→C1 →D) 5
最优策略
A
练习1： 求从A到G的最短路径
C1 1 B1 5 8 3 B2 7 6 G 8 C4 C3 6 3 C2 3 5 3 3 4 D3 3 D2 3 E3 1 2 6 8 D1 2 2 E2 5 2 6 6 F2 3 E1 3 5 F1
u5(E1)=F1 u5(E2)=F2
u5(E3)=F2
E3 F2 G
状态
3
4
2、在多阶段决策过程中，动态规划方法是既把当前一段 和未来一段分开，又把当前效益和未来效益结合起来考虑的 一种最优化方法。因此，每段决策的选取是从全局来考虑 的，与该段的最优选择答案一般是不同的. 3、在求整个问题的最优策略时，由于初始状态是已知 的，而每段的决策都是该段状态的函数，故最优策略所经过 的各段状态便可逐段变换得到，从而确定了最优路线。
3+4 ⎧d5 (E ⎫ 1, F 1) + f6(F 1) }=7 f 5( E1) =min ⎨d5 (E,F ) + f (F ) ⎬=min{ 5+3 1 2 6 2 ⎩ ⎭
u5(E1)=F1
E1 F1 G
f2(B2)=16 u2(B2)=C3
k=1,
⎧d5(E2, F 1) + f6( F 1) f5(E2) = min ⎨ ( ) ( d E , F + f F ⎩的特点： 系统所处的状态和时刻是进行决策的重要因 素； 即在系统发展的不同时刻（或阶段）根据 系统所处的状态，不断地做出决策； 找到不同时刻的最优决策以及整个过程的 最优策略。
2
多阶段决策问题： 是动态决策问题的一种特殊形式； ,系统的动态过程可以按 在多阶段决策过程中 在多阶段决策过程中, 状态 相互 联系 而又相互 区别 的 照时间进程分为 照时间进程分为状态 状态相互 相互联系 联系而又相互 而又相互区别 区别的 阶段 ； 各个 各个阶段 阶段； 决策 ,目的是使整个过程的 每个阶段都要进行 每个阶段都要进行决策 决策, 决策达到最优效果。
0 0 0 0 0
10 20 20 25 25
20 50 40 60 40
30 65 50 85 50
40 80 55 100 60
50 85 60 110 65
60 85 65 115 70
g1(x) g2(x) g3(x) g4(x)
fk ( x) =
y = 0 ,1 , 2 ,⋯ , x
max
3
2 投资分配问题
现有数量为a（万元）的资金，计划分配给 n 个工厂, 用于扩大再生产。 假设：xi 为分配给第 i 个工厂的资金数量（万 元） ；gi(xi)为第i 个工厂得到资金后提供的利润值 （万元）。 问题是如何确定各工厂的资金数，使得总的利润为 n 最大。 据此，有下式： max Z = ∑ g i ( x i )
11
f3(A)1 = d( A, B1 )＋ f2 ( B1 ) ＝2＋4＝6 f3 (A)2 = d(A, B2 )＋ f2 ( B2 ) ＝4＋3＝7
∴ f3 (A) = min d(A, B1 )＋ f2 ( B1 ) = min ｛6,7｝=6 d(A, B2 )＋ f2 ( B2 ) (最短路线为 A→B1→C1 →D)
9
第二阶段（B →C）： B 到C 有六条路线。 3+1 d( B1,C1 ) + f1 (C1 ) f 2 ( B1 ) = min d( B1,C2 ) + f1 (C2 ) = min 3+3 1+4 d( B1,C3 ) + f1 (C3 ) 4 = min 6 = 4 (最短路线为 B1→C1 →D) 5
动态规划问题
1 多阶段决策问题
动态规划是用来解决多阶段决策过程最优化 的一种数量方法。其特点在于，它可以把一个 n 维决策问题变换为几个一维最优化问题，从而一 个一个地去解决。 需指出：动态规划是求解某类问题的一种方 法，是考察问题的一种途径，而不是一种算法。 必须对具体问题进行具体分析，运用动态规划的 原理和方法，建立相应的模型，然后再用动态规 划方法去求解。
d1(A,B1)+ f2(B1) d1(A,B2)+ f2(B2)
5+13
= min
u5(E3)=F2
E3 F2 G
15
3+16
=18
u2(B1)=C2
u3(C2)=D1
u4(D1)=E2
16
u1(A)=B1
E1 F1 G
u2(B1)=C2
E2 F2 G
u3(C2)=D1
u4(D1)=E2 u5(E2)=F2 u6(F2)=G
3 C1 C2 1 C3 4
8
、确定阶段指标函数和最优指标函数，建立动 5 5、确定阶段指标函数和最优指标函数，建立动 态规划基本方程
k 阶段的收益，最优指标函数是 阶段指标函数是指第 阶段指标函数是指第k k 阶段状态出发到第 n 阶段末所获得收益的最优 指从第 指从第k 阶段状态出发到第n 值，最后写出动态规划基本方程。 以上五步是建立动态规划数学模型的一般步骤。由于动 态规划模型与线性规划模型不同，动态规划模型没有统一的 模式，建模时必须根据具体问题具体分析，只有通过不断实 践总结，才能较好掌握建模方法与技巧。