三角形的三线及面积(等分点转移面积)(北师版)
三角形的三线及面积(平行转移面积)(北师版)
学生做题前请先回答以下问题问题1：处理面积问题的思路：①______________________；②______________________；③______________________．问题2：如图，已知m∥n，则S△ABP=S△ABC．理由是什么？你是怎么思考的？问题3：如图，已知△ABC，在平面内找一点P，使S△ABP=S△ABC，请找出所有满足条件的点P．你是怎么思考的？三角形的三线及面积（平行转移面积）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图，已知直线m∥n，A，B为直线n上的两点，C，P为直线m上的两点，那么图中与△ABC 面积相等的三角形是( )A.△ACPB.△COPC.△ABPD.△CPB2.如图，直线m∥n，A，B为直线n上两点，C，D为直线m上两点，BC与AD交于点O，则图中面积相等的三角形有( )A.4对B.3对C.2对D.1对3.如图，在正方形ABCD中，BC=3，∠ABE是正方形ABCD的外角，P是∠ABE的平分线BF上任意一点，则下列说法错误的是( )A.BF∥ACB.C. D.4.如图，正方形ABCD与正方形CEFG并排放在一起，B，C，E在一条直线上，若BC=3，CE=6，则△AEG的面积为( )A.18B.9C.15D.215.四边形ABCD与AEFG均为正方形，G，A，B在一条直线上，连接BF交AD于点H，若△DFH 的面积为8cm2，则△ABH的面积为( )A.4cm2B.6cm2C.8cm2D.10cm26.如图，已知正方形ABCD和正方形BEFG的边长分别为3和5，则△ACF的面积为( )A. B.8C. D.7.如图，△ABC和△DCE都是等边三角形，若△ABC的面积为4，则△ABE的面积为( )A.6B.8C.2D.48.如图，是一个3×3的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C在小正方形的顶点上，可知△ABC的面积为1，请在小方格的顶点上确定一点P（点P不与点C重合），使得△ABP的面积与△ABC的面积相等，则满足条件的点P的个数为( )A.3个B.4个C.6个D.8个9.如图，是一个5×5的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，点A和点B在小正方形的顶点上，请在小方格的顶点上确定一点C，使得△ABC的面积为2个平方单位，则满足条件的点C的个数有( )A.3个B.4个C.5个D.6个10.如图，是一个5×5的正方形网格，网格中每个小正方形的面积是1平方厘米，点A和点B在小正方形的顶点上，请在小方格的顶点上确定一点C，使得△ABC的面积为2平方厘米，则满足条件的点C的个数有( )A.6个B.5个C.4个D.3个。
4.1.5.三角形的三线整理
一课时
执教人:李先贵
1
重要 线段
概念 三角形中,连结 一个顶点和它 对边中的线段 一个内角的平分 线与它的对边相 交,这个角顶点与 交点之间的线段
从三角形一个顶点 向它的对边所在的 直线作垂线,顶点和 垂足之间的线段
条数
位置
3条 均在 内部
交点
交于一点 交点在在内部 交点叫重心
5
例2.如图,已知△ABC中,AB=AC,周长为16,BD为中线, BD将△ABC分 A 成差为2两个三角形.求△ABC的各边长.
解：设腰为x，底为y，由题意得：
2 x y 16 x y 2
2 x y 16 或 y x 2
x
x D
x 6 解1得： y 4
连接AD
∵ DE⊥AB, DF⊥AC, AM⊥BC ∴ SΔ ABD= SΔ ABC= ∵ SΔ ABD +SΔ ACD = SΔ ABC
AB DE 2 BC AM 2
SΔ ACD=AC Fra bibliotek DF 2∴ AB DE + AC DF = BC AM 2 2 2 AB DE AC DF BC AM ∵AB=BC=AC ∴DE+DF=AM
14 x 3 解2得： 20 y 3
∵ 4 + 6＞ 6 ∴ 三边分别为:4，6，6; B
y
C
∵ 14/3 + 14/3 ＞ 20/3
∴ 三边分别为:14/3，14/3，20/3; A D B C
6
∴ 三角形三边分别为:4，6，6或14/3, 14/3, 20/3. 练习.在Δ ABC中,CD是中线,已知BC-AC=5cm, Δ DBC的周长为 25cm,求Δ ADC的周长.
北师大版初中数学各册章节知识点总结
北师大版初中数学各册章节知识点总结第一册：《初二上册》1.直角三角形：直角三角形的定义、直角三角形的性质、勾股定理。
2.平面图形的表示：点、线、线段、射线、角度、平行线、垂直线、相交线等基本概念。
3.二次根式：二次根式的定义、运算法则。
4.初中平面几何基本定理：垂线定理、等腰三角形的性质、三角形中位线定理、角平分线定理等。
5.多边形：多边形的定义、正多边形、变位积分、多边形的内角和、多边形的外角和。
6.梅涅劳斯定理：梅涅劳斯定理的概念、定理的应用。
第二册：《初二下册》1.线性方程：线性方程的定义、解线性方程的常用方法。
2.三角函数的定义和初步认识：三角函数的定义、正弦函数、余弦函数、正切函数等。
3.平行线与相交线：平行线的性质、平行线之间的角对、相交线之间的角对等。
4.二次函数：二次函数的基本性质、二次函数图像的性质与应用。
5.海伦公式：海伦公式的概念、海伦公式的应用。
第三册：《初三上册》1.集合：集合的概念、集合的运算、集合的表示等。
2.图形的相似：图形相似的概念、相似比、相似三角形的性质等。
3.三角形的性质：三角形的角与边的关系、角边关系等。
4.空间几何基本概念：欧几里得空间几何学的基本概念、空间图形与平面图形的关系等。
5.高中数学预修知识：比例与相似、复数等。
第四册：《初三下册》1.数系的扩充：有理数和无理数的概念、实数的分类等。
2.几何体的计算：几何体的表面积、几何体的体积等。
3.空间几何基本定理：角的平分线、角的辅助线等。
4.三角恒等式：三角函数的反函数、三角函数的周期等。
第五册：《九年级上册》1.一次函数：一次函数的定义、一次函数图像的性质、线性规律等。
2.向量几何：向量的定义、向量的运算、向量的平行和垂直等。
3.数的四则运算：整数、有理数、无理数的四则运算等。
4.二次方程与不等式：二次方程的定义、解二次方程的方法等。
5.三角形的面积：三角形的名字、面积的计算公式等。
第六册：《九年级下册》1.指数与对数：指数、对数和底数的概念、指数与对数的性质等。
三角形的三线及面积(二)2024
三角形的三线及面积（二）引言:三角形是高中数学中的基本概念之一，它具有许多特性和性质。
在前一篇文档中，我们已经介绍了三角形的基本知识和一些重要概念。
在本文中，我们将继续探讨三角形的三线及其与面积的关系。
正文:一、三角形的三线1. 欧拉线：欧拉线是连接三角形的重心、外心和垂心的线段。
它具有许多重要的性质，如重心将欧拉线分成两等分部分，垂心到三角形三条边的距离之和等于三角形的周长等。
2. 高线：高线是从三角形的顶点到相对边上的垂线。
每个三角形都有三条高线，它们的交点称为三角形的垂心。
高线具有许多特性，如垂线互相垂直，垂心到三角形三个顶点的距离相等等。
3. 中线：中线是连接三角形两个顶点和中点的线段。
每个三角形都有三条中线，它们的交点称为三角形的重心。
中线具有许多特性，如重心将中线分成两等分部分，重心到三角形三个顶点的距离之和等于三角形三个顶点到重心距离的三倍等。
4. 垂径：垂径是从三角形的顶点到相对边上的垂线的长度。
一般情况下，三角形的三个顶点到相对边上的垂径长度是不相等的。
5. 辅助线：辅助线是在三角形内部或外部引入的额外线段，用于研究三角形的性质。
常见的辅助线有角平分线、中垂线等。
二、三角形面积与三线的关系1. 欧拉线与面积关系：三角形的面积等于欧拉线长度乘以外接圆半径的两倍。
2. 高线与面积关系：三角形的面积等于高线长度乘以对应底边的长度的一半。
3. 中线与面积关系：三角形的面积等于中线长度乘以对应底边的长度的四分之一。
4. 垂径与面积关系：三角形的面积等于垂径长度乘以对应底边的长度的一半。
5. 辅助线与面积关系：通过引入合适的辅助线，可以简化计算三角形面积的过程。
常见的方法包括利用角平分线将三角形分成两个形状相同的小三角形，或者利用中垂线将三角形分成两个底边相等的梯形。
总结:在本文中，我们介绍了三角形的三线及其与三角形面积的关系。
这些性质和关系对于解决与三角形相关的问题非常有用。
通过深入理解三角形的性质，我们可以更好地应用它们来解决实际问题，从而提高数学问题解决的能力。
北师大版数学五年级上册《三角形的面积》课件
计算三角形面积
1பைடு நூலகம்
底边和高的概念
底边是三角形的一条边，高是从顶点到底边
底边和高的计算公式
2
的垂直线段。
三角形面积 = 底边 × 高 ÷ 2。
3
一般步骤
1. 确定底边和高；2. 带入公式计算面积。
勾股定理与三角形面积
勾股定理
直角三角形中，直角边的平方等于 另外两条边的平方和。
计算面积
直角三角形的面积 = 直角边 × 直角 边 ÷ 2。
判断与运用
通过勾股定理可以判断是否存在直 角三角形，进而计算其面积。
正弦定理与三角形面积
1
公式应用
2
通过已知边长和对应角度的正弦值，可以
计算三角形的面积。
3
正弦定理
在任意三角形中，三条边与对应的正弦值 成比例。
实例
举例说明如何利用正弦定理计算三角形的 面积。
余弦定理与三角形面积
余弦定理
在任意三角形中，三条边与对应的余弦值成比例。
公式应用
通过已知边长和对应角度的余弦值，可以计算三角形的面积。
实例
举例说明如何利用余弦定理计算三角形的面积。
总结与应用
三角形的面积计算步骤
1. 确定底边和高； 2. 套用公式计算面积。
不同方法的适用场景
• 底边和高适用于任意三角形； • 勾股定理适用于判断和计算直角三角形； • 正弦定理和余弦定理适用于任意三角形。
北师大版数学五年级上册 《三角形的面积》课件
本课件旨在介绍数学五年级上册《三角形的面积》的内容，包括三角形的定 义、性质，以及计算三角形面积的方法和公式，勾股定理和余弦定理的应用 等。
三角形的定义与性质
定义
七年级数学三角形的三线(中线、角平分线、高线)(北师版)(基础)(含答案)
三角形的三线（中线、角平分线、高线）（北师版）（基础）一、单选题(共10道，每道10分)1.如图所示，D，E分别是△ABC的边AC，BC的中点，则下列说法不正确的是( )A.DE是△BCD的中线B.BD是△ABC的中线C.AD=DC，BE=ECD.DE是△ABC的中线答案：D解题思路：在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线．D选项中，DE不是连接△ABC的顶点与它对边中点的线段，因此D选项错误．故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形的中线2.如图，△ABC的两条中线AM，BN相交于点O，已知△ABO的面积为4，△BOM的面积为2，则四边形MCNO的面积为( )A.4B.3C.4.5D.3.5答案：A解题思路：如图，∵△ABO和△BOM的面积分别为4和2∴S△ABM =6∵AM，BN是△ABC的两条中线∴S△ABM=S△BCN=S△ABC∴S△BCN=6∴S四边形MCNO=S△BCN-S△BOM =4故选A．试题难度：三颗星知识点：等分点转移面积3.已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠BDC=75°，则∠A的度数为( )A.25°B.30°C.40°D.20°答案：C解题思路：如图，题中有角平分线，因此可以考虑设元，设∠ABD=α，则∠C=∠ABC=2α．在△BCD中，由三角形内角和定理可知α+2α+75°=180°，解得α=35°，因此∠C=∠ABC=70°，所以∠A=180°-70°-70°=40°．故选C．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理4.如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，设∠DCB=α，∠DBC=β，若∠A=40°，则下列说法错误的是( )A. B.C. D.答案：D解题思路：如图，在△BCD中，∠DCB=α，∠DBC=β，则∠D=180°-α-β，因此A选项正确；因为BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，则∠ABC=2β，∠ACB=2α，则∠A=180°-2α-2β，因此B选项正确；由∠D=180°-α-β可得α+β=180°-∠D，由∠A=180°-2α-2β，可得α+β=90°-∠A，因此180°-∠D=90°-∠A，整理得∠D=90°+∠A，因此C选项正确；把∠A=40°代入∠D=90°+∠A，得∠D=110°，因此D选项错误．故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理5.如图，∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E，∠ADC=40°，∠AEC=35°，则∠ABC 的度数为( )A.30°B.35°C.37.5°D.40°答案：A解题思路：如图，由AD与CE交于点M，得∠ADC+α=∠AEC+β，变形得2∠ADC+2α=2∠AEC+2β，由AD与BC交于点G，得∠ADC+2α=∠ABC+2β，将上述两式消去α和β，可得∠ABC=2∠AEC-∠ADC因为∠ADC=40°，∠AEC=35°，则∠ABC=30°．故选A．试题难度：三颗星知识点：三角形内角和定理6.下列说法正确的是( )A.三角形的三条角平分线有可能在三角形内，也可能在三角形外B.三角形三条高都在三角形内C.三角形的三条高交于一点D.三角形三条中线相交于一点答案：D解题思路：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，A选项错误；锐角三角形的三条高都在三角形的内部，直角三角形两条高在直角边上，钝角三角形有两条高在三角形的外部，B选项错误；三角形的三条高所在的直线交于一点，C选项错误；D选项正确，故选D．试题难度：三颗星知识点：三角形的中线7.如图，在△ABC中，AD⊥BC交BC的延长线于D，BE⊥AC交AC的延长线于E，过点C作CF⊥BC交AB于F，下列说法错误的是( )A.FC是△ABC中BC边上的高B.FC是△BCF中BC边上的高C.BE是△ABC中AC边上的高D.BE是△ABE中AE边上的高答案：A解题思路：从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线．在△ABC中，过点A向它的对边BC所在直线作垂线，得到高为AD，A选项错误；在△BCF中，过点F向它的对边BC所在直线作垂线，得到高为CF，B选项正确；在△ABC中，过点B向它的对边AC所在直线作垂线，得到高为BE，C选项正确；在△ABE中，过点B向它的对边AE所在直线作垂线，得到高为BE，D选项正确．故选A．试题难度：三颗星知识点：三角形的高8.如图，AB⊥BD于B，AC⊥CD于C，AC与BD交于点E，若AE=5，DE=3，CD=，则AB=( )A.6B.C.3D.答案：C解题思路：如图，因为AB⊥BD，AC⊥CD，所以AB是△ADE的边DE上的高，CD是△ADE的边AE上的高，，把AE=5，DE=3，CD=代入，得到AB=3．故选C．试题难度：三颗星知识点：等积公式9.如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点D在BC边上，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC 于F，若DE=5cm，△ABC的面积为122cm2，则DF的长为( )A.9cmB.10cmC.11cmD.12cm答案：D解题思路：如图，连接AD，则△ABC被分成△ABD和△ACD两部分，cm故选D．试题难度：三颗星知识点：等积公式10.如图，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，若AB=6，BC=10，则AC：AD=( )A.5：4B.4：5C.5：3D.3：5答案：C解题思路：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，所以AB可以看作是AC边上的高，因为AD⊥BC，所以AD可以看作是BC边上的高，所以，把AB=6，BC=10代入，得到AC:AD=5:3．故选C．试题难度：三颗星知识点：等积公式。
2024版北师大版数学《三角形的面积》课件
通过探究三角形面积的计算方法， 培养学生的数学思维和解决问题的 能力，同时让学生感受到数学在生 活中的广泛应用。
5
教材版本与特点
教材版本
本课程采用北师大版数学教材，该教材注重数学知识的系统性和逻辑性，强调数学与生活的联系。
教材特点
本教材在编排上采用了“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展”的模式，引导学生从实际问题出发， 通过观察、比较、分析、归纳等方法，逐步建立数学模型，理解数学概念和方法。同时，教材中还配备了 大量的例题和练习题，帮助学生巩固所学知识，提高解题能力。
2024/1/25
16
在实际问题中的应用
土地测量
在土地测量中，经常需要计算不 规则地块的面积，可以通过划分 成多个三角形并计算其面积之和
来得到。
工程设计
在工程设计中，计算三角形的面 积可以用于确定结构的尺寸和形 状，如建筑设计中的屋顶、桥梁
的支撑结构等。
物理问题
在物理问题中，三角形的面积可 以用来计算物体的重心、质心等
讨论内容
探讨三角形面积的不同计 算方法，如底乘高的一半、 海伦公式等。
记录与整理
各小组记录讨论过程及结 果，并选派一名代表进行 汇报。
20
学生展示：分享自己的解题思路
2024/1/25
展示内容
学生分享自己在计算三角形面积时 的解题思路和方法。
互动交流
其他同学可就展示内容进行提问或 发表看法，促进课堂交流。
14
04
三角形面积的应用举例
2024/1/25
15
在几何图形中的应用
计算三角形面积
求解三角形中的未知量
通过已知三角形的底和高，可以直接 应用三角形面积公式进行计算。
北师大三角形知识点
北师大三角形知识点三角形是数学中的基础几何概念之一，具有广泛的应用和重要的几何性质。
在北师大学习的过程中，我们不可避免地会接触到各种与三角形相关的知识点。
本文将介绍北师大所学的三角形知识点，包括三角形的定义、性质、分类等内容。
1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的图形，每两条线段之间都有一个内角。
根据三角形的边长可以进一步进行分类，常见的有等边三角形、等腰三角形和一般三角形。
2. 三角形的性质三角形具有一些重要的几何性质，如下所示：(1) 任意两边之和大于第三边。
即对于任意三角形的三边a、b、c，满足a + b > c, a + c > b, b + c > a。
(2) 三角形内角和为180度。
即三角形的三个内角A、B、C满足A + B + C = 180度。
(3) 等腰三角形的底边角相等。
即等腰三角形的两个底边角相等。
(4) 等边三角形的三个内角均为60度。
3. 三角形的分类根据三角形的边长和角度大小，我们可以将三角形进一步分类。
以下是常见的三角形分类：(1) 等边三角形：三边相等的三角形，每个内角均为60度。
(2) 等腰三角形：两边相等的三角形，两个底边角相等。
(3) 直角三角形：其中一个内角为90度的三角形。
其中，直角所在的边称为斜边，其余两边称为直角边。
(4) 钝角三角形：其中一个内角大于90度的三角形。
(5) 锐角三角形：三个内角均小于90度的三角形。
4. 三角形的面积计算对于任意三角形，我们可以使用不同的方法计算其面积。
根据边长和高度的关系，我们可以采用以下方式计算三角形的面积：(1) 海伦公式：当已知三角形的三边a、b、c时，可以利用海伦公式计算面积，公式如下：s = (a + b + c) / 2面积S = √(s * (s - a) * (s - b) * (s - c))(2) 底边高公式：当已知三角形的一边和与该边垂直的高时，可以利用底边高公式计算面积，公式如下：面积S = 1 / 2 * 底边 * 高5. 三角形的应用三角形是几何学中最基本的图形之一，也是其他几何概念的基础。
北师大版五年级数学上册三角形的面积课件ppt
两个完全一样的直角 三角
形，能拼成长方形。
你有什么发现？ 两个完全一样的等腰直角 三角形，能拼成正方形。
聪明题 经营者提供商品或者服务有欺诈行为的，应当按照消费者的要求增加赔偿其受到的损失，增加赔偿的金额为消费者购买商品的价款或接受服务的费用
下图中哪个三角形的面积与红
色的三角形的面积相等？为什么？
方法提示：
三角形 转化
会计算
三角形面积
面积的
计算公式 推导 图形
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
指出下面三角形的底和相应的高。（单 位：厘米）
4
8 3
12 2
6
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
每个三角形的面积等于与它等底等 高的平行四边形面积的一半
平行四边形的底和高就是三角形的 底和高
平行四边形的面积 = 底 X 高
三角形的面积=底X高2
S=ah2
经营者提供商品或者服务有欺诈行为 的，应 当按照 消费者 的要求 增加赔 偿其受 到的损 失，增 加赔偿 的金额 为消费 者购买 商品的 价款或 接受服 务的费 用
4.谁说得对？
两个直角三角形一定
X 能拼成一个长方形。
（
）
三角形的面积一
定比平行四边形面
X 积小。
（
）
两个形状一样、
两个面积相等的三角
大小相等的三角形， 一定能拼成一个平
X V 形一定能拼成一个平行四
三角形七年级知识点北师版
三角形七年级知识点北师版本文介绍了七年级数学中关于三角形的知识点，基于北师版教材内容。
主要包括三角形的定义、分类、性质以及常见的勾股定理。
在阅读本文前，建议读者已经掌握了初中数学中的基本几何概念，如线段、角度等。
一、三角形的定义与分类三角形是由三条线段所围成的平面图形。
在三条线段中，任意两条之和必须大于第三条，否则无法形成三角形。
根据三角形的角度和边长特征，可以将三角形分为以下三类：1.等腰三角形：两条边的长度相等，另一条边称为底边。
等腰三角形的两个底角（即等于底边两侧的角）也相等。
2.等边三角形：三条边的长度均相等，每个角度为60度。
3.直角三角形：其中一个角度为90度，被称为直角。
直角三角形的另外两个角度称为锐角和钝角，分别小于90度和大于90度。
二、三角形的性质三角形有许多有趣的性质。
1.三角形的三条角度之和为180度。
因此，如果三个角度已知，则可以确定剩余角度的大小。
2.等腰三角形的顶角（即等于两腰之间夹角）及其对边（即底边两侧的角）相等。
3.等边三角形的每个角度均为60度。
4.直角三角形中，勾股定理成立，即直角边平方之和等于斜边平方。
例如，若直角三角形的直角边长度分别为a和b，斜边长度为c，则有a^2+b^2=c^2。
5.三角形的面积可以通过海伦公式（只需要知道三边长度）或通过半周长公式（需要知道三边半周长）计算。
三、常见勾股定理勾股定理是指，在直角三角形中，直角边平方之和等于斜边平方。
而且，斜边一定是直角边中最长的那一条。
常见的勾股定理包括以下几种：1.勾股定理一：3、4、5三角形。
在一个3、4、5的直角三角形中，斜边的长度是5，直角两边的长度分别是3和4。
2.勾股定理二：5、12、13三角形。
在一个5、12、13的直角三角形中，斜边的长度是13，直角两边的长度分别是5和12。
3.勾股定理三：7、24、25三角形。
在一个7、24、25的直角三角形中，斜边的长度是25，直角两边的长度分别是7和24。
三角形的三线及面积(一)2024
三角形的三线及面积（一）引言概述：三角形是平面几何中的基本图形之一，具有丰富的性质和特点。
其中三角形的三线以及与之相关的面积是三角形研究的重要内容之一。
本文将详细介绍三角形的三线和面积的相关知识，帮助读者更好地理解三角形的性质和特点。
正文：1. 三角形的三线1.1. 外心连线：介绍三角形外心连线的定义和性质；1.2. 重心连线：探讨三角形重心连线的定义和性质；1.3. 垂心连线：解释三角形垂心连线的定义和性质；1.4. 内心连线：介绍三角形内心连线的定义和性质；1.5. 顶点连线：探讨三角形顶点连线的定义和性质。
2. 三线的关系与性质2.1. 三线的交点：讨论三线的交点的性质和重要性；2.2. 三线的长度关系：详细介绍三线的长度关系及其证明；2.3. 三线与三个顶点的关系：探究三线与三个顶点的关系及其特点；2.4. 三线与三个边上点的关系：研究三线与三个边上点之间的关系；2.5. 三线与三角形内部点的关系：分析三线与三角形内部点之间的性质。
3. 三角形的面积3.1. 面积的定义：介绍三角形面积的定义和计算方法；3.2. 海伦公式：详细介绍海伦公式的原理和应用；3.3. 海伦公式的推广：探究海伦公式在其他图形中的推广；3.4. 面积与三线的关系：分析三线与三角形面积之间的关系；3.5. 面积的性质与应用：总结面积的性质和应用场景。
4. 三角形的边长与三线的关系4.1. 边长与外心连线的关系：研究边长与外心连线之间的性质；4.2. 边长与重心连线的关系：探究边长与重心连线之间的关系；4.3. 边长与垂心连线的关系：分析边长与垂心连线之间的性质；4.4. 边长与内心连线的关系：讨论边长与内心连线之间的关系；4.5. 边长与顶点连线的关系：详细介绍边长与顶点连线之间的性质。
5. 三线和面积的推广5.1. 三线的推广：探究将三线的概念推广到其他图形的可能性；5.2. 面积的推广：研究将面积的概念推广到其他图形的方法；5.3. 三线和面积的应用：讨论三线和面积在几何问题中的应用场景；5.4. 三线和面积的发展历程：回顾三线和面积在数学历史中的重要发展；5.5. 三线和面积的未来：展望三线和面积在未来数学研究中的潜在发展方向。
北师大版数学七年级下第3章《三角形》知识点
三角形几何A级概念：（要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）DA几何B 级概念：（要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一 基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义。
二 常识：1．三角形中，第三边长的判断： 另两边之差＜第三边＜另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外. 注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD ⊥AB ，BE ⊥CA ，则CD ·AB=BE ·CA. 4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和. 6．分别含30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即： （1） AC ·CB=CD ·AB ； （2）∠1=∠B ，∠2=∠A .8．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.10．等边三角形是特殊的等腰三角形.11．几何习题中，“文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明. 12．符合“AAA ”“SSA ”条件的三角形不能判定全等.13．几何习题经常用四种方法进行分析：（1）分析综合法；（2）方程分析法；（3）代入分析法；（4）图形观察法.14．几何基本作图分为：（1）作线段等于已知线段；（2）作角等于已知角；（3）作已知角的A BCED平分线；（4）过已知点作已知直线的垂线；（5）作线段的中垂线；（6）过已知点作已知直线的平行线.15．会用尺规完成“SAS”、“ASA”、“AAS”、“SSS”、“HL”、“等腰三角形”、“等边三角形”、“等腰直角三角形”的作图.16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17．几何画图的类型：（1）估画图；（2）工具画图；（3）尺规画图.※18．几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则：①构造特殊图形，使可用的定理增加；②一举多得；③聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；④作辅助线必须符合几何基本作图.（2）已知角平分线.（若BD是角平分线）（3）已知三角形中线（若AD是BC的中线）(4) 已知等腰三角形ABC中，AB=AC（5）其它。
北师大版五年级数学上册三角形的面积课件
图①的面积是平行四边形面积的一半，图
③的面积与平行四边形面积相等。
三角形的面积
4.量一条红领巾的底和所对应的高，制作100条同
样大小的红领巾，大约需要多大面积的布料?
提示:先量出一条红领巾的底和对应的高，求
出制作一条红领巾所需布料的面积，再用求
得的面积乘100即可。
三角形的面积
5.如图，淘气标出三角形底边
成①②两部分,已知①的面积比②
E
B
A
多80平方米。你能计算出AE的长
②
10米
①
吗?
C
D
20米
三角形的面积
A
E
①
C
方法
一：
20米
B
②
10米
D
先求长方形的面积:20×10=200(平方米)
再求三角形BDE的面积:(200-80)÷2=60(平方米)
最后求出AE的长:20-60×2÷10=8(米)
三角形的面积
高是38cm，彩旗高对应的底是多
570×2÷38=30(cm)
少厘米？
答：彩旗高对应的底是30厘米。
三角形的面积
2.在方格纸上再画两个不同的
三角形，使每个都与给出的三
角形面积相等。
三角形的面积
3.图中哪个三角形的面积是左边平行四边形面积
的一半，哪个三角形的面积与左边平行四边形的
相等?想一想，并与同伴交流。
花圃的面积？想一想并
与同伴交流。
以三角形某条边为底,分别测量底及对应的
高的长度,根据底×高÷2求出三角形的面积。
三角形的面积
⑵已知这个花圃的高为6m，
对应的底为12m，求出它的面
积。
北师大版五年级上册数学课件第5课时 三角形的面积(一)
1.下面是一个三角形的花圃。
（1）如何求出这个三角形花圃的面积？ 想一想并与同伴交流。
（2）已知这个花圃的高为6m，对应的 底为12m，求出它的面积。
2. 一个三角形果园的底是80m，高比底短20m。如果平 均每棵果树占地12m²，这个果园一共有多少棵果树？
1.下面是一个三角形的花圃。
（1）如何求出这个三角形花圃的面积？ 想一想并与同伴交流。
底
三角形的面积=底×高÷2
S=ah÷2
请你把三角形转化成学过的图形。
转化方法2：割补法。
高 底
长方形的长=三角形的底 长方形的宽=三角形的高 长方形的面积=长×宽 三角形的面积×2=底×高 三角形的面积=底×高÷2
S=ah÷2
25cm
你能求出这面流动红旗的面积吗？
流 动 红 旗
28cm
28×25÷2=350(平方厘米) 答：这面流动红旗的面积是350平方厘米。
果树棵数：2400÷12=200（棵） 答：这个果园一共有200棵果树。
三角形的面积
方法一：拼一拼。
高
高
底
底
平行四边形的底=三角形的底
平行四边形的高=三角形的高
平行四边形的面积=底×高 三角形的面积×2=底×高
三角形的面积=底×高÷2
三角形的面积
方法二：割补法。
高
高
底
底
长方形的长=三角形的底 长方形的宽=三角形的高
2.有一块长9m、宽2.7m的长方形布料，用它制作 医用三角巾（如图），最多可以做多少条三角巾？
（2）已知这个花圃的高为6m，对应的 底为12m，求出它的面积。 12×6÷2=36(平方米) 答：这个花圃的面积是36平方米。
2. 一个三角形果园的底是80m，高比底短20m。如果平 均每棵果树占地12m²，这个果园一共有多少棵果树？
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学生做题前请先回答以下问题
问题1：如图，已知△ABC，点D是BC边上的一点，且BD:DC=1:3，则S△ABD:S△ADC=_______．你是怎么思考的？
问题2：根据三角形面积公式可以推出：
两个三角形的底相等时，面积比等于________之比；
高相等时，面积比等于________之比．
问题3：如图，已知m∥n，则S△ABP=S△ABC．理由是什么？你是怎么思考的？
问题4：如图，已知△ABC，在平面内找一点P，使S△ABP=S△ABC，请找出所有满足条件的点P．你是怎么思考的？
三角形的三线及面积（等分点转移面积）（北师
版）
一、单选题(共8道，每道12分)
1.如图，在△ABC中，点D，E，F分别为BC，AD，AC的中点，且，则△DEF的面积为( )
A.1
B.2
C.4
D.8
2.如图，AD是△ABC的边BC上的中线，点E在AD上，AE=2DE，若△ABE的面积是4，则△ABC 的面积是( )
A.8
B.10
C.12
D.15
3.如图，在△ABC中，点D是BC上的一点，点E是AD上的一点，若BD：CD=2：3，DE：AE=1：4，△ABC的面积是8，则△DEC的面积为( )
A. B.1
C. D.
4.如图，点D在BC上，点E在AD上，且BD=CD，，若△ABE的面积是6，则△ABC的面积为( )
A.6
B.12
C.18
D.24
5.如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若S△AOD=5，S△COD=4，S△COB=16，则四边形ABCD的面积为( )
A.20
B.35
C.41
D.45
6.如图，在△ABC中，已知D，E分别是边BC，AD上一点，点F是CE的中点，且，
，若，则阴影部分的面积为( )
A.1
B.2
C. D.
7.如图，在△ABC中，E是BC边上的一点，D是AC的中点，AE与BD交于点F，且
，若，则下列说法错误的是( )
A.CE：BE=4:1
B.
C. D.
8.如图，设E，F分别是△ABC的边AC，AB上的点，线段BE，CF交于点D．若△BDF，△BCD，△CDE的面积分别是6，14，14，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.。