无理数与实数的概念
第三讲-无理数与实数
代数（二）根式计算（二）——无理数与实数【知识要点】 1．无理数：定义：无限不循环小数叫做无理数，如π=…，21.414213=， －…，都是无理数。
注意：①既是无限小数，又是不循环小数，这两点必须同时满足；②无限不循环小数与有限小数、无限循环小数的本质区别是：前者不能化成分数，而后两者都可以化成分数；③凡是整数的开不尽的方根都是无理数，如2、3等。
2．实数：有理数和无理数统称为实数。
⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 3．实数的几个有关概念：①相反数：a与－a互为相反数，0的相反数是0。
a+b=0⇔a、b互为相反数。
②倒数：若0a≠，则1a称为a的倒数，0没有倒数。
1ab a=⇔、b互为倒数。
③绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
即()()()00a aa aa a>⎧⎪==⎨⎪-<⎩【典型例题】例1 在实数，25，3.3333，3，0.412⋅⋅，…，π，256-中，哪些是有理数，哪些是无理数例2 （1）下列说法中，正确的是（）A．带根号的数是无理数 B．无理数都是开不尽方的数C．无限小数都是无理数 D．无限不循环小数是无理数（2）下列说法正确的是（）A．若a为实数，则a大于－a B．实数m的倒数一定是1mC ．若实数x 、y ，有x y =，则x =yD ．任何负数的倒数都小于它的相反数例的相反数之和的倒数的平方为 。
例4 设a 、b 互为相反数，但不为0，c 、d 互为倒数，m 的倒数等于它本身，化简111c m m m d a b ⎛⎫÷++- ⎪⎝⎭的结果是 。
例5 试比较下列各组数的大小；①和②，1π-，310-例6 （1）实数a 、b 、c 在数轴上的位置如下图，化简a b b c c a -+---（2）当01x <<时，2x 、x 、1x的大小顺序是（ ）A ．21x x x <<B ．21x x x <<C ．21x x x <<D ．21x x x<<例7 （1）已知a 、b 为实数，且224250a b a b +--+=（2）若210x -=，求20012002x y +的值。
实数的概念的定义
实数的概念的定义实数是数学中的一种数，它可以用来表示物理世界中的量。
实数包括整数、有理数和无理数，它们是实数的三个主要子集。
整数是自然数（包括0）和负整数的集合，即{..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}。
整数可以用来表示没有小数部分的量，例如计数、排名等。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，即可以写为分数的数。
有理数包括整数、正分数和负分数。
例如，1/2，-3/4，7/8等都是有理数。
有理数可以用来表示所有带有有限小数部分或者循环小数部分的量。
无理数是不能表示为两个整数的比值的数，即无法写成一个分数的数。
无理数是无限不循环小数，它们的小数部分是无法确定的。
无理数包括开平方、立方根、圆周率π等。
例如，√2，π，e（自然对数的底数）都是无理数。
无理数可以用来表示无法用有限小数表示的量，例如勾股定理中的斜边长。
实数的定义可以用不同的方式来描述。
一种常见的定义是基于柯西序列（Cauchy sequence）的构造。
柯西序列是一个数列，其中的元素趋向于零。
对于给定的精度，只要数列中的元素与零的距离足够小，它们就被认为是相等的。
另一种定义是基于戴德金分割（Dedekind cut）的构造。
戴德金分割将实数划分为两个集合，其中一个集合包含所有比给定实数小的数，另一个集合包含所有比给定实数大的数。
通过这种方式，实数可以用一个左集合和一个右集合的形式来表示。
实数满足各种基本运算法则，包括加法、减法、乘法和除法。
实数的加法法则是交换律、结合律和分配律。
减法可以看作是加法的逆运算。
实数的乘法法则也是交换律、结合律和分配律。
除法可以看作是乘法的逆运算，但要注意除数不能为零。
实数还满足阿基米德性质和连续性。
阿基米德性质指的是对于任意两个实数a 和b，总存在一个自然数n，使得na大于b。
连续性指的是实数轴上没有空隙，对于任意两个实数a和b（其中a小于b），总存在一个实数c，使得a小于c 小于b。
实数的概念简答
实数的概念简答实数是数学中一个非常重要的概念，它是数的集合中最广泛使用的一个集合，包括了整数、有理数以及无理数。
实数可以用来描述现实世界中的许多事物，它们具有很多特性和性质。
首先，实数是有序的。
这意味着实数可以按照大小顺序排列。
对于任意两个实数a和b，必然存在以下三种关系之一：a<b、a=b或者a>b。
这种有序性质可以大大拓展实数的应用范围，使得我们能够对实数进行比较和排序。
其次，实数是连续的。
实数可以沿着数轴上的任意两个点之间有无穷多个其他的实数。
这意味着在任意两个实数之间，总是存在着无穷多个其他的实数。
这个性质使得实数可以用来度量和描述连续的现实世界中的量，比如时间、距离等。
实数集合包括了有理数和无理数。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括正整数、负整数、零以及分数。
有理数的性质是可以用有限个整数和分数的和、差、积与商来表示。
无理数是不能表示成两个整数的比值的数，它们的十进制表示是无限不循环小数。
著名的无理数包括π、e和根号2等。
无理数的性质是不能用有限个有理数的和、差、积与商来表示。
实数集合具有良序性和完备性。
良序性是指实数集合中的任意非空子集都有最小值。
也就是说，对于实数集合中任意的非空子集合，必然存在一个最小的实数。
完备性是指实数集合中的任意上有界的子集都有上确界。
也就是说，对于实数集合中的任意上有界子集合，必然存在一个实数作为上确界。
实数集合上有四则运算，即加减乘除。
实数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。
实数的四则运算可以推广到无穷级数中，这给了我们处理许多数学问题的工具。
实数集合上还有大小比较运算符号，包括小于号、大于号、小于等于号、大于等于号以及不等号。
这些运算符号可以用来比较实数的大小关系。
实数还具有可数性和不可数性。
有理数是可数的，可以用自然数来进行一一对应。
而无理数是不可数的，不能用自然数进行一一对应。
在实数集合中，还有一些特殊的数，比如无穷大和无穷小。
实数的概念
实数的概念
实数是数学中的一个重要概念，它包括有理数和无理数两种数的集合。
实数可以用来表示数量、度量、顺序和比较。
在实数集合中，包含了所有可能的数，无论是整数、分数还是无限不循环小数。
实数的定义相对简单，但却蕴含着丰富的数学道理。
根据Cauchy序列或Dedekind划分的定义，一个实数可以被表示为所有比它小的数的集合。
这个定义确保了实数的连续性和完备性。
实数的集合可以表示为R，其中R是实数的拉丁字母缩写。
R包含了有理数和无理数，有理数是可以表示为两个整数的比值，而无理数则是不能表示为有理数的比值。
无理数包括了诸如根号2、π和自然常数e等数。
实数集合的特性很多，其中最重要的是实数的稠密性、有序性和连续性。
实数的稠密性意味着在任意两个实数之间都存在一个实数，这保证了实数的无限性和密集性。
实数的有序性则意味着任意两个实数之间都可以比较大小。
实数的连续性则意味着在实数集合中没有任何间断。
实数在数学中具有广泛的应用领域，如代数、几何、分析学和概率论等。
实数的加法、减法、乘法和除法运算规则成为数学的基础。
实数的顺序关系使我们能够进行比较和排序。
实数的连续性帮助我们解决方程和证明定理。
总之，实数是数学中一个非常重要的概念。
它包含了所有的有理数和无理数，具有稠密性、有序性和连续性等特性。
实数的定义使用Cauchy序列或Dedekind划分，它在数学的各个领域中具有广泛的应用。
对于理解数学和解决实际问题，实数是一个必不可少的概念。
什么是自然数.整数，有理数，无理数，实数，虚数
什么是⾃然数.整数，有理数，⽆理数，实数，虚数1、⾃然数⽤以计量事物的件数或表⽰事物次序的数。
即⽤数码0，1，2，3，4，……所表⽰的数。
表⽰物体个数的数叫⾃然数，⾃然数由0开始，⼀个接⼀个，组成⼀个⽆穷的集体。
2、整数（integer）就是像-3,-2,-1,0,1,2,3,10等这样的数。
整数的全体构成整数集，整数集是⼀个数环。
3、有理数在数学上是⼀个整数a和⼀个正整数b的⽐，例如3/8，通则为a/b。
0也是有理数。
4、不是有理数的实数称为⽆理数，即⽆理数的⼩数部分是⽆限不循环的数，不能写作两整数之⽐。
若将它写成⼩数形式，⼩数点之后的数字有⽆限多个，并且不会循环。
常见的⽆理数有⾮完全平⽅数的平⽅根、π和e等。
5、数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。
实数可以直观地看作有限⼩数与⽆限⼩数，实数和数轴上的点⼀⼀对应。
但仅仅以列举的⽅式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
6、在数学中，虚数就是形如a+b*i的数，其中a,b是实数，且b≠0,i² = - 1。
可以将虚数bi添加到实数a以形成形式a + bi的复数，其中实数a和b分别被称为复数的实部和虚部。
使⽤术语纯虚数来表⽰所谓的虚数，虚数表⽰具有⾮零虚部的任何复数。
扩展资料：⾃然数、整数、有理数、⽆理数、实数、虚数的相互关系：1、在整数系中，零和正整数统称为⾃然数。
-1、-2、-3、…、-n、…（n为⾮零⾃然数）为负整数。
则正整数、零与负整数构成整数系。
整数不包括⼩数、分数。
2、有理数是整数和分数的集合，整数也可看做是分母为⼀的分数。
有理数的⼩数部分是有限或为⽆限循环的数。
3、⽆理数的另⼀特征是⽆限的连分数表达式。
4、实数，是有理数和⽆理数的总称。
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实数的相关概念
实数的相关概念实数，是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
性质封闭性实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。
有序性实数集是有序的，即任意两个实数a、b必定满足下列三个关系之一：ab,a=b,ab。
传递性实数大小具有传递性，即若ab,bc,则有ac。
阿基米德性实数具有阿基米德（Archimedes）性，即对任何a，b∈R，若ba0,则存在正整数n，使得nab。
稠密性实数集R具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。
实数的相关概念 2实数的相关概念 2：实数是有理数和无理数的总称。
实数包括有理数和无理数，实数集通常用字母R表示。
实数集与数轴上的点有着一一对应的关系，任一实数都对应着数轴上的唯一一个点。
实数是什么1871年，德国数学家康托尔第一次提出了实数的严格定义。
整数和小数的集合也是实数，实数是有理数和无理数的集合。
而整数和分数统称有理数，所以整数和小数的集合也是实数。
小数分为有限小数、无限循环小数、无限不循环小数(即无理数)，其中有限小数和无限循环小数均能化为分数，所以小数即为分数和无理数的集合，加上整数，即实数。
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数(即正数和0)还可以进行开方运算。
实数加、减、乘、除(除数不为零)、平方后结果还是实数。
什么是实数？实数是有理数和无理数的总称。
数学上，实数定义为与数轴上的点相对应的数。
实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。
但仅仅以列举的方式不能描述实数的整体。
实数和虚数共同构成复数。
实数可以分为有理数和无理数两类，或代数数和超越数两类。
实数集通常用黑正体字母R表示。
实数的概念及运算法则
实数的概念及运算法则实数的概念实数是指包括有理数和无理数在内的数的集合。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，而无理数则不能被表示为两个整数的比值。
实数包括了所有的整数、分数和无限不循环小数。
实数的运算法则1. 加法法则：实数的加法满足交换律和结合律。
即对于任意实数a、b和c，有：- 交换律：a + b = b + a- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)2. 减法法则：实数的减法可以视为加法的逆运算。
即对于任意实数a、b和c，有：- 减法定义：a - b = a + (-b)3. 乘法法则：实数的乘法满足交换律和结合律。
即对于任意实数a、b和c，有：- 交换律：a * b = b * a- 结合律：(a * b) * c = a * (b * c)4. 除法法则：实数的除法可以视为乘法的逆运算。
即对于任意实数a、b和c，有：- 除法定义：a / b = a * (1 / b)5. 分配律：实数的乘法对加法具有分配律。
即对于任意实数a、b和c，有：- 左分配律：a * (b + c) = (a * b) + (a * c)- 右分配律：(a + b) * c = (a * c) + (b * c)6. 幂的法则：实数的幂运算满足以下法则：- a^0 = 1，其中a是非零实数- a^n * a^m = a^(n + m)，其中a是非零实数，n和m是整数这些实数的运算法则可以帮助我们在数学计算中正确地进行加减乘除等运算。
通过熟练掌握这些法则，我们可以更好地理解和应用实数的运算概念。
第二讲 无理数与实数
第二讲 无理数与实数【基础知识精讲】一、实数有关概念1．有理数：整数和分数统称有理数。
有理数都可以化为有限小数或无限循环小数；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。
2．无理数：无限不循环小数叫做无理数（eg:π）。
无理数必须满足三个条件：①小数；②是无限小数；③不循环，三者缺一不可。
3．有理数和无理数统称为实数. 4．实数的分类 ：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎭⎬⎫⎩⎨⎧无限不循环小数负无理数正无理数无理数小数数有限小数或无限循环小正分数、负分数分数正整数、零、负整数整数有理数实数)()()( 例1：将下列各数填在相应括号内：35，3.14，⋅⋅12.0，38-，32-，3333+-，π有理数集合{ }； 整数集合 { }； 正数集合 { }； 分数集合 { }； 实数集合 { }。
变式：下列各数中，哪些是正数？负数？有理数？无理数？.343555,3.1416,,27,0.64,0.4,,0.38,16,0.12112111211112,.47π----正数集合：{ } 负数集合：{ } 有理数集合：{ } 无理数集合：{ } 例2：判断正误（1）有理数包括整数、分数和零 （ ） （2）无理数都是开方开不尽的数 （ ） （3）不带根号的数都是有理数 （ ） （4）带根号的数都是无理数 （ ） （5）无理数都是无限小数 （ ） （6）无限小数都是无理数（ ）变式：在数0.222；－∙∙24.1；2.525252…；π-3；－43；1.1351335…；3.1416；32；(－1)2；－1.424224222…其中无理数的个数为（ ）. A ．1个 B.2个C.3个D.4个二、与实数有关的概念5．实数和数轴上点的对应关系:每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
即实数和数轴上的点是一一对应的关系. 6．实数的几个概念. （1）相反数；（2）倒数；（3）绝对值都和有理数范围内的概念相同.例3：32-的相反数是________________；绝对值是_________________。
自然数,整数,有理数,无理数和实数的包含关系
自然数,整数,有理数,无理数和实数的包含关系
自然数、整数、有理数、无理数和实数是数学中的基本概念。
它们之间有一定的包含关系，下面我们来详细介绍一下。
首先，自然数是指从1开始的整数，即1、2、3、4……无限
延伸下去。
自然数是最基本的数字，也是最早被人们使用的数字，可以用来计数、排序等。
自然数是整数的一种特殊情况。
整数是包括自然数和它们的相反数（负整数）以及0的集合，即……-3、-2、-1、0、1、2、3……。
整数可以表示有向距离，例如一个物体从原点向左走3个单位，可以表示为-3。
有理数是指可以表示为两个整数之比的数，即分数形式的数。
例如1/2、-3/4、2/5等都是有理数。
有理数具有可逆性，即一
个有理数的倒数也是有理数，例如2的倒数为1/2。
无理数是指不能表示为两个整数之比的数，例如根号2、圆周
率π等。
无理数具有无限不循环小数的特点，例如π。
实数是指包括有理数和无理数的集合。
实数具有可比性和连续性，即任意两个实数之间都存在一个实数。
实数可以用来表示物理量、几何图形等。
因此，自然数是整数的一种特殊情况，整数是有理数的一种特殊情况，有理数是实数的一种特殊情况，而实数则包括了所有的数字。
这些数字之间存在着一定的包含关系，也相互联系着，构成了我们熟知的数字世界。
实数的概念及性质
实数实数无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数．注意：（1）所有开方开不尽的方根都是无理数，不是所有带根号的数都是无理数．（2）圆周率及一些含的数是无理数．（3）不循环的无限小数是无理数．（4）有理数可化为分数，而无理数则不能化为分数．无理数的性质：设a 为有理数，b 为无理数，则a+b ，a-b 是无理数；实数的概念：有理数和无理数统称为实数．实数的分类：0正整数整数负整数有理数有限小数或无限循环小数正分数实数分数负分数正无理数无理数无限不循环小数负无理数实数的性质：（1）任何实数a ，都有一个相反数-a ．（2）任何非0实数a ，都有倒数1a．（3）正实数的绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0．（4）正实数大于0，负实数小于0；两个正实数，绝对值大的数大，两个负实数，绝对值大的反而小．实数与数轴上的点一一对应：即数轴上的每一个点都可以用一个实数来表示，反过来，每个实数都可以在数轴上找到表示它的点．无理数大小的比较方法：（1）比较两个数的平方的大小：a ＞0，b ＞0，若2()a ＞2()b ，则a b ；若2()a＜2()b，则a b；若2()a＝2()b＞，则a b．（2）比较被开方数的大小：a＞0，b＞0，若a＞b，则a b；若a＜b，则a b；若a＝b，则a b．（3）作差法：若a-b＞0，则a＞b；若a-b＝0，则a＝b；若a-b＜0，则a＜b．（4）作商法：a＞0，b＞0，若ab＞1，则a＞b；若ab＝1，则a＝b；若ab＜1，则a＜b．注意：（1）没有最小的实数，0是绝对值最小的实数；（2）带根号的数不一定是无理数（3）一个实数的立方根只有一个；负数没有平方根．考点一对实数定义的考查【例1】.判断正误．（1）实数是由正实数和负实数组成．（）（2）0属于正实数．（）（3）数轴上的点和实数是一一对应的．（）（4）如果一个数的立方等于它本身，那么这个数是1．（）（5）若2x则2x．（）【巩固1】下列说法错误的是（）A．实数都可以表示在数轴上B．数轴上的点不全是有理数C．坐标系中的点的坐标都是实数对D．2是近似值，无法在数轴上表示准确【巩固2】下列说法正确的是（）A．无理数都是无限不循环小数B．无限小数都是无理数C．有理数都是有限小数D．带根号的数都是无理数【巩固3】下列实数317，，3.14159，8，327，21，0.101101110……中无理数有（）．A．个B．个C．个D．个2345【例2】.有下列说法：（1）无理数就是开方开不尽的数；（2）无理数是无限不循环小数；（3）无理数包括正无理数、零、负无理数；（4）无理数都可以用数轴上的点来表示．其中正确的说法的个数是（）A ． 1B ．2C ． 3D ．4考点二对实数性质的考查【例1】.3的相反数是________；15的倒数是________；35的绝对值是________．【例2】.3.141＝______；|2332|______．【例3】.若3||3x ，则x ＝______；若||31x ，则x ＝______．【例4】.若直径为2个单位长度的圆上的点A 从表示5的点沿数轴向右滚动两周，圆上这一点到达另一点B ，则B 点表示的实数是（）A ．52B ．45C ．52D ．54【例5】.如图，数轴上A 、B 两点对应的实数分别为a ，b ，则下列结论不正确．．．．的是（）A ．0ab B ．0abC ．0a bD ．||||0a b 【巩固1】如图，数轴上A ，B 两点表示的数分别为1和3，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为( ) A ．23B ．13C ．23D ．13【巩固1】325的相反数是．【巩固2】23的倒数是．【巩固3】52的绝对值是．【巩固4】256的相反数是；倒数是；绝对值是．1 1 2B A CA OB考点三实数的分类【例1】.把下列各数填入相应的集合：－1、4、5、π、 3.14、12、32、12、7.0、0、38．（1）有理数集合｛｝；（2）无理数集合｛｝；（3）整数集合｛｝；（4）正实数集合｛｝；（5）负实数集合｛｝．【例2】.把下列各数按照由大到小的顺序，用不等号连接起来．4，4，153，1．414，，0.6，3，34，【巩固1】下列各数：23，722，327，414.1，3，12122.3，9，9641.3中，无理数有个，有理数有个，负数有个，整数有个.【巩固2】下列实数1907，3，0，49，21，31，1.1010010001…（每两个1之间的0的个数逐次加1）中，设有m 个有理数，n 个无理数，则nm =考点四比较大小【例3】.估计77的大小应在（）A ．7～8之间B ．8.0～8.5之间C ．8.5～9.0之间D ．9～10之间【巩固1】估计29的值在（）A ．在4.5和5.0之间B ．在5.0和5.5之间C ．在5.5和6.0之间D ．在6.0和6.5之间【巩固2】实数2.6，7和22的大小关系是（）A ．2.6227B ．2.6722C ．72.622D ．7222.6【例4】.一个正方体水晶砖，体积为1002cm ，它的棱长大约在（）A ．4～5cm 之间B ．5～6cm 之间C ．6～7cm 之间D ．7～8cm 之间【例5】.（1）若实数a<b<0，则|a| |b|；大于17小于35的整数是；（2）比较大小：633411253【例6】.若01x ，则1x 、x 、2x 的大小关系是【例7】.如果a 是15的整数部分，b 是15的小数部分，a b =__________．【例8】.已知a b ，为两个连续整数，且10ab ，则ab_______．【例9】.414、226、15三个数的大小关系是（）A. 41415226B. 22615414C.41422615D.22641415考点五对计算的考查【例1】.计算题（1）32716949（2）233)32(1000216【例2】.化简：（1）2551（2）103104（3）12233420112012【巩固3】已知等腰三角形一边长为a ，一边长b ，且22(2)90ab b．求它的周长．考点六综合运用【例3】.写出符合条件的数．（1）小于25的所有正整数；（2）绝对值小于22的所有整数．【例4】.一个底为正方形的水池的容积是3150m 3，池深14m ，求这个水底的底边长．【例5】.已知a 是11的整数部分，b 是它的小数部分，求32()(3)a b的值．【例6】.若31.8158481.22，则31815848_____.【例7】.已知2a 的平方根是2，27ab的立方根是3，求22a b 的算数平方根．【巩固4】已知3m nAnm 是3nm的算术平方根，237m n Bm n 是7m n 的立方根，求B+A 的平方根．【巩固5】已知3xa ，2y b (0y )，且2(4)8a b (4b a )，33()18a b ，求xy 的值.【巩固6】若1211ab ac ，求23abc 的值．【巩固7】设a 、b 是有理数，并且a 、b 满足等式2522b b a ，求a+b 的平方根习题133的相反数是，|33|= 57的相反数是，21的绝对值=习题2设3对应数轴上的点A ，5对应数轴上的点B ，则A 、B 间的距离为习题3下列说法中,正确的是()A.实数包括有理数,0和无理数B.无限小数是无理数C.有理数是有限小数D.数轴上的点表示实数.习题4下列命题中，错误的命题个数是（）（1）2a 没有平方根；（2）100的算术平方根是10，记作10100（3）数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；（4）2是最小的无理数．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个．课后巩固习题5设a 是实数，则|a|-a 的值（）A ．可以是负数B ．不可能是负数C ．必是正数D ．可以是整数也可以是负数习题6数轴上，有一个半径为1个单位长度的圆上的一点A 与原点重合，该圆从原点向正方向滚动一周，这时点A 与数轴上一点重合，这点表示的实数是．习题7设m 是13的整数部分，n 是13的小数部分，求m-n 的值.习题8如图，数轴上两点表示的数分别为和，点B 关于点A 的对称点为C ，则点C 所表示的数为（）A ．B ．C ．D ．习题9已知实数a 在数轴上的位置如图所示，则化简2|1|a a 的结果为（）A ．1B ．1C ．12aD ．21a 习题10实数a b ，在数轴上对应点的位置如图所示，则必有（）A ．0a bB ．0a bC ．0ab D ．a b习题11若a 为217的整数部分，1b 是9的平方根，且a bb a||，求b a的算术平方根．A B ，132313231311aCA OB（第8题图）a110b （第10题图）。
1实数的概念(教师)
实数的概念课时目标1. 理解无理数以及实数的概念，并会按要求对实数进行分类；2. 理解平方根与算术平方根的概念和性质，会表示任意非负数的平方根；3. 理解开平方运算的概念，以及开平方运算与平方运算的关系.知识精要1. 无理数的定义无限不循环小数叫做无理数.无理数可分为正无理数和负无理数. 2. 实数的定义：有理数和无理数统称为实数. 3. 实数的分类⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 4. 平方根的定义如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根（或二次方根），即2x a =，那么x 就叫做a 的平方根.5. 平方根的性质与表示（1）一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，就是0本身；负数没有平方根.（2）正数a 的两个平方根可以用“a ±”表示，其中a 表示a 的正平方根，叫做a 的正平方根，也叫做a 的算术平方根；a -表示a 的负平方根.6. 开平方的定义：求一个数a 的平方根的运算，叫做开平方.7. 平方与开平方的关系：平方与开平方互为逆运算关系.8. 常见的无理数有三种类型： 第一类：π型：如π，π+2，…； 第二类：根号型：如3,12,24,…； 第三类：小数型：如0．1010010001…． 9. 立方根的定义如果一个数的立方等于a ，那么这个数叫做a 的立方根，也叫做三次方根，记做3a ，读作“三次根号a ”，其中a 叫做被开方数，3叫做根指数. 10. 开立方的定义：求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 11. 立方根的性质：任何实数都有唯一确定的立方根. （1）正数的立方根是一个正数； （2）负数的立方根是一个负数； （3）0的立方根是0．12. 开立方与立方的关系：开立方与立方互为逆运算关系. 13. n 次方根的定义如果一个数的n 次方（n 是大于1的整数）等于a ，那么这个数叫做a 的n 次方根，当n 为奇数时，这个数为a 的奇次方根；当n 为偶数时，这个数为a 的偶次方根.其中a 叫做被开方数，n 叫做根指数.14. 开n 次方的定义：求一个数a 的n 次方根的运算，叫做开n 次方. 15. 开n 次方与n 次方的关系：开n 次方与n 次方互为逆运算关系. 16. n 次方根的性质（1）实数a 的奇次方根有且只有一个，用“n a ”表示；（2）正数a 的偶次方根有两个，它们互为相反数，正n 次方根用“n a ”表示； 负n 次方根用“－n a ”表示（a >0，n 是正偶数）； （3）负数的偶次方根不存在；（4）0的n 次方根等于0，表示为“00 n ”.热身练习1. 将下列各数填在相应括号内：π， 32， 3.14， ⋅⋅12.0， 327-， 21-， 3333+-， 有理数集合{ 3.14， ⋅⋅12.0， 327-， 3333+-， …}； 整数集合 { 327-， 3333+-， …}；正数集合 { π， 32， 3.14， ⋅⋅12.0， …}；分数集合 { 3.14， ⋅⋅12.0， …}；实数集合 { π， 32， 3.14， ⋅⋅12.0， 327-， 21-， 3333+-，}.2. 判断 （1）无限小数都是无理数 （ × ） （2）无理数都是开方开不尽的数 （ × ） （3）不带根号的数都是有理数 （ × ） （4）带根号的数都是无理数（ × ）3.（1）35，介于哪两个整数之间？ 解：3介于1和2之间，5介于2和3之间.（2）写出一个比－1大的负有理数是 －0.5 ，比－1大的负无理数是22-. 4. 在实数范围内，下列方根是否存在？如果存在，用符号表示这些方根，并求出它的值.（1）－16的四次方根 （2）16的四次方根 （3）－32的五次方根 （4）28-的六次方根 （5）－0.00243的五次方根 （6）2(27)-的六次方根 解：（1）－16没有四次方根 （2）16的四次方根为 ±2 （3）－32的五次方根为2- （4）28-无六次方根 （5）－0.00243的五次方根为－0.3 （6）2(27)-的六次方根为3±5. 求下列各数的平方根 （1）121 （2）649（3）0.0009 （4）361 解：(1)11± (2) 83± (3) 0.03± （4）±196．求下列各数的算术平方根 （1）81 （2）1625（3）289 （4）0.0001 解： (1)9 (2)45(3)17 (4) 0.017．求下列各数的值. （1）21425（2）22135±- （3）2(5) 解： (1)115(2)12± (3)58. 求下列各式的值（1）2(15) （2）2()(0)a a > （3）2()(0)a a -> （4）2(15)- （5）2()(0)a a -> （6）2()a a 是实数解： (1)15 (2)a (3)a (4)15 (5)a (6)a9. 一个正数的两个平方根为2a +1,5－a 求这个数. 解：2a +1+5－a =0解得：a =－6 这个数是121.10. 已知a 的两个平方根,x y 为322x y +=的一组解，求a 的平方根.解：0322x y x y +=⎧⎨+=⎩得22x y =⎧⎨=-⎩故a 的平方根是 2或－2.11. 求下列各数的立方根.（1）－64 （2）343 （3）1918- （4）0.729解：（1）－4 （2）7 （3）92- （4）0.912. 求下列各式的值（1）318-- （2）3911125+ （3）32445200⨯⨯解：（1）12 （2）65（3）6013. 解简单的高次方程（1）16842=-x （2）81)3(42=-x解：6±=x 解：23215-=或x（3）3918x += （4）3(1)27x +=- 解：21=x 解：4-=x（5）60444=-x （6）7645=x解：2±=x 解：519=x精解名题例1 如图，四个同样大小的正方形排列在一起面积和是80，求小正方形的边长. 解：设小正方形的边长为x .8042=x解得52±=xx 是正数52=∴x答：小正方形的边长为52. 例2 用移位法求平方根被开方数的小数点向右（或左）移动两位，它的平方根的小数点相应地向右（向左）移动一位.若5 2.236≈，507.071≈，求下列各式的值.（1） 500 ≈ 22.36 （2）5000-≈－70.71 （3）0.05 ≈ 0.2236 （4）0.5≈ 0.7071注意: 被开方数平方根移动的位数与方向. 第一: 小数点是同向移动；第二: 被开方数移动的位数是平方根移动的位数的2倍.例3 用移位法求立方根被开方数的小数点向右（或左）移动 三 位，它的立方根的小数点相应地向右（向左）移动 一 位.若3333330029.0290002906619.029.0072.329426.19.2，，，求，，-≈≈≈的值. 解：；619.62903≈ 72.30290003-≈-；1426.00029.03≈..巩固练习一、填空1.把下列各数分别填到相应的数集里边-52，3π，2，116-，3.14，0，21-，52，41- 整数集合 { 0 ，41- …}； 无理数集合{3π，2，21-，52， …}； 有理数集合{ -52，116-，3.14，0，41- …}； 2．如果9=x ，那么x ＝ ±9 ；如果92=x ，那么=x ±3 ． 3．若一个实数的算术平方根等于它的立方根，则这个数是 1,0 ． 4．算术平方根等于它本身的数有 0，1 ，立方根等于本身的数有 ±1,0 ． 5. 若3,x x x ==则 0,1 ，若2,x x x =-=则 非正数 . 6．81的平方根是 ±3 ， 210-的算术平方根是 0.1 ． 7．若一个正数的平方根是12-a 和2+-a ，则a =－1，这个正数是 9 ． 8．21++a 的最小值是 2 ，此时a 的取值是 －1 ． 二、选择题1. 下列说法正确的个数是（ A ）（1）无理数都是实数 （2）实数都是无理数 （3）无限小数都是有理数 （4）带根号的数都是无理数（5）除了π之外不带根号的数都是有理数.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个2. 若2x a =，则（ D ）A.0x >B. 0x ≥C. 0a >D. 0a ≥3．2)3(-的值是（ B ）A ．3-B ．3C ．9-D ．94．设x 、y 为实数，且554-+-+=x x y ，则y x -的值是（ A ） A ．1 B ．9 C ．4 D ．5 5．如果53-x 有意义，则x 可以取的最小整数为（ C ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 6. 若5x -能开偶次方，则x 的取值范围是（ C ）A ．0x ≥ B.5x > C. 5x ≥ D. 5x ≤ 7. 若n 为正整数,则211n +-等于（ A ）A ．－1 B.1 C.±1 D.21n + 8. 若正数a 的算术平方根比它本身大，则（ A ）A.01a <<B.0a >C. 1a <D. 1a >自我测试一、填空1. 把下列各数分别填到相应的数集里边327，2，2π，－3.1415926927，103，34-，72-，0.2010010001-， 1.732，7-有理数{327 ，－3.1415926927， 103， 72-， 1.73 2…} 无理数{2，2π，34-，0.2010010001-，7- …} 非负实数{327， 2，2π ，103，1.732 …}2.()332-= －2 ，()337-= －7 .3.641-的立方根是14.4.－0.001的立方根是 －0.1 ；－1的9次方根是 －1 .5.()=-553 －3 ；363）（-= 9 .二、选择题 1.81的算术平方根是 （ C ）A. 9B. ±3C. 3D. －3 2. 下列计算正确的是（ D ） A.8282+=+ B.42-=- C.93=± D.2(2)2-=3. 下列各数中，没有平方根的是 （ A ） A ．－2 B. 0 C. 13D.24．下列实数317，π-，3.14159 ，8，327-，21中无理数有（ A ） A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个5．下列各式中，无论x 取何实数，都没有意义的是（ B ） A ．2006x -B ．220061x --C ．22006x -D ．320063x --6．下列各组数中互为相反数的一组是（ C ） A ．2--与38- B ．4-与2(4)-- C ．32-与32- D ．2-与12三、计算 1、求值（1）49144的平方根； （2）2500- 解：原式= 712± 解：原式=－50 （3） 1600 （4） 719±解：原式=40 解：原式= 43± （5） 0.0036的平方根 （6）2(5)--解：原式= 0.06± 解：原式= －5（7）33(2)-- （8）641-的立方根解：原式= 2 解：原式=14（9）()次方根的531277⎪⎭⎫⎝⎛-； （10） ()次方根；的421.12-解：原式 =－5181解：原式= 1.1±2、解方程（1）;272=x （2）;0183=-x 解：27±=x 解：21=x（3） ()2512=-x ； （4）()016223=++x .解：64或-=x 解：4x =-。
实数包括有理数和无理数
什么是实数?
疑惑：什么是实数?
解析：实数这个概念是相对虚数而言的，如果一个数的平方是负数我们就说这个数是虚数。
虚数这个名词是17世纪著名数学家笛卡尔创制，当时的观念认为这是不存在的数，所以称为虚数。
实数包括有理数和无理数。
其中无理数就是无限不循环小数，除了无理数就是有理数。
实数直观地定义为和数轴上的点一一对应的数。
可以把实数理解为“实实在在存在的数”，而虚数是不存在的数。
结论：实数是相对虚数而言，实数包括有理数和无理数。
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2无理数与实数
第二讲 无理数与实数【知识要点】1．无理数(1)无理数的概念无限不循环小数叫做无理数．学习无理数应把握住无理数的三个特征：①无理数是小数；②无理数是无限小数；③无理数是不循环小数．判断一个数是否是无理数对照这三个特征一个也不能少．(2)有理数与无理数的区别事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数来表示；反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数．如3可看做3.0这样的有限小数，也可以化为31这样的分数形式；无限循环小数都可以化为分数，如：3.14可化为3750.有理数与无理数的主要区别：①无理数是无限不循环小数，有理数是有限小数或无限循环小数；②任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数不能．【例1】 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？3．141 592 6，－43，2.5·8·，6.751 755 175 551 7…(相邻7,1之间5的个数逐次加1),0，227，－5.23·，－π2. 分析：有理数指有限小数或无限循环小数，整数和分数都是有理数，无理数指无限不循环小数．解：有理数有：3.141 592 6，－43，2.5·8·，0，227，－5.23·；无理数有：6.751 755 175 551 7…(相邻7,1之间5的个数逐次加1)，－π2.2．无理数近似值的估算方法 要估算无理数的近似值，第一步应确定被估算无理数的整数取值范围；第二步以较小整数逐步开始加0.1(或以较大整数逐步开始减0.1)，并求其平方，确定被估算数的十分位；…；如此继续下去，可以求出无理数的近似值．【例2】 面积为7的正方形的边长为x ，请你回答下列问题． (1)x 的整数部分是多少？(2)把x 的值精确到十分位是多少？精确到百分位呢？ (3)x 是有理数吗？请简要说明理由．解：令正方形的面积为S ，则S ＝x 2＝7，当2＜x ＜3时，4＜x 2＜9，当2.6＜x ＜2.7时，6.76＜x 2＜7.29；当2.64＜x ＜2.65时，6.969 6＜x 2＜7.022 5；当2.645＜x ＜2.646时，6.996 025＜x 2＜7.001 316； … 则有：(1)x 的整数部分为2.(2)精确到十分位时，x ≈2.6，精确到百分位时，x ≈2.65. (3)x 不是有理数．因为没有一个整数的平方等于7，也没有一个分数的平方等于7，另由计算可知，x 是无限不循环小数． 释疑点 如何四舍五入利用四舍五入法取近似值时要比精确到的位数多考查一位．3．无理数的常见类型 判断一个数是不是无理数，关键就是看它能不能写成无限不循环的小数，无理数常见的形式主要有三种：(1)一般的无限不循环小数，如1.414 213 56…是无理数．看似循环而实质不循环的小数，如0.101 001 000 1…(相邻两个1之间0的个数逐次增加1)是无理数．(2)圆周率π以及含π的数，如π，2π，π＋5，都是无理数． (3)开方开不尽的数(下一节学到)．【例3】 下列各数，哪些是有理数？哪些是无理数？0，π2，－4,0.12··，－117，1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)，3.141592 7.分析：1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)为无限不循环小数，π2为含π的数，两者都为无理数.0，－4为整数，是有理数；0.12··，－34，3.141 592 7为分数或可化为分数，是有理数．解：有理数为0，－4,0.12··，－117，3.141 592 7；无理数为π2，1.112 111 211…(相邻两个2之间1的个数逐次加1)．辨误区 π与3.141 592 7的区别3．141 592 7属于有限小数，不是π，要注意区分． 4．实数的概念及分类(1)有理数和无理数统称实数． (2)实数的分类：我们所学习的实数范围大、类别多，按照不同的标准就有不同的分类方法，总体来说有两种情况：①按定义来分类②按正、负数来分类实数⎩⎪⎨⎪⎧正实数⎩⎪⎨⎪⎧ 正有理数正无理数0负实数⎩⎪⎨⎪⎧负有理数负无理数分类是一个重要的数学思想，对实数分类时要做到按同一标准，既不重复，又不遗漏． 对啊! 还要注意：0既不是正数，也不是负数，它是一个中性数，它在实数里扮演着重要角色. 我们通常把正实数和0合称为非负数，把负实数和0合称为非正数.【例4】 把下列各数填入相应的集合内：0，2，15，0.3·，－π，－3－27，1.234 56…，－49. (1)有理数集合：{ …}；(2)无理数集合：{ …}； (3)正实数集合：{ …}； (4)负实数集合：{…}．分析：实数按照不同的分类标准有两种分类方法，将实数分类时，属于有理数集合的一定不属于无理数集合，属于正实数集合的一定不属于负实数集合，但是属于有理数集合的数有可能属于正实数集合．解：(1)有理数集合：⎩⎨⎧0，15，0.3·，－3－27，－49，… }.(2)无理数集合：{2，－π，1.234 56…，…}．(3)正实数集合：⎩⎨⎧2，15，0.3·，－3－27，1.234 56…，… }.(4)负实数集合：{－π，－49，…}． 点技巧 实数的有关性质解答本题时要注意以下几点：(1)对于－3－27，虽然有负号，但是最终化为正数，虽然含有根号，但是可以开得尽方，所以它既是正数又是有理数；(2)0既不是正数又不是负数；(3)一切分数都是有理数．5.实数的性质在实数范围内，相反数、倒数、绝对值的意义和有理数范围内的相反数、倒数、绝对值的意义完全一样．(1)相反数：实数a 的相反数是－a,0的相反数是0，具体地，若a 与b 互为相反数，则a ＋b ＝0；反之，若a ＋b ＝0，则a 与b 互为相反数．如：π与－π，3与－3均互为相反数．(2)绝对值：一个正实数的绝对值是它本身，一个负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.实数a 的绝对值可表示为|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥0，－a ，a <0.就是说实数a 的绝对值一定是一个非负数，即|a |≥0，并且若|x |＝a (a ≥0)，则x ＝±a .例如：|－3|＝3，|－π|＝π，|3|＝3，|2－3|＝－(2－3)＝3－2，….(3)倒数：乘积为1的两个实数互为倒数，即若a 与b 互为倒数，则ab ＝1；反之，若ab ＝1，则a 与b 互为倒数．这里应特别注意的是0没有倒数．(4)实数大小的比较：有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立，所以我们可以得到比较实数大小的法则：①正实数都大于0，负实数都小于0，正数大于一切负数；两个负实数，绝对值大的反而小；②数轴上右边的点表示的实数比左边的点表示的实数大．在进行实数比较大小时，我们会经常用到估算法、乘方法、作商法、求差法等等，由于方法多种多样，所以要根据实际采用适当的方法，亦可分别尝试应用．【例5－1】 解答下列问题：(1)求3－216的绝对值；(2)若某数的绝对值是13，求这个数； (3)已知|x |＝26，求实数x ；(4)设a 与b 互为相反数，c 与d 互为倒数，m 的倒数是其本身，化简cdm＋(a ＋b )m －|m |.分析：(1)3－216＝－6，－6的绝对值是6；(2)(3)在解决时要考虑到正负两种情形；(4)由a 与b 互为相反数可得a ＋b ＝0，由c 与d 互为倒数可得cd ＝1，由m 的倒数是其本身可得m ＝±1，然后化简可解．解：(1)|3－216|＝|－6|＝6.(2)∵|13|＝13，|－13|＝13，∴绝对值是13的数是±13.(3)∵|x|＝26，∴x＝±26.(4)由题意，得a＋b＝0，cd＝1，m＝±1.当m＝1时，原式＝1＋0×1－1＝0；当m＝－1时，原式＝－1＋0×(－1)－|－1|＝－1－1＝－2.注：(2)(3)两题实质是一样的，只是表达形式不同，解题时要防止丢掉负实数．【例5－2】比较下列各组数的大小：(1)－3.141 5和－π；(2)211和3 5.分析：解：(1)∵|－3.141 5|＝3.141 5，|－π|＝π＝3.141 592…，3．141 5＜π，∴－3.141 5＞－π.(2)∵(211)2＝4×11＝44，(35)2＝9×5＝45,44＜55，∴211＜3 5.点技巧比较负无理数的大小(1)比较两个负实数大小时，应先比较其绝对值的大小，绝对值大的反而小；(2)因为211和35都是无理数，整数部分很难确定，所以可以利用乘方法，乘方大的这个数就大．6．实数与数轴上点的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．即实数和数轴上的点是一一对应的．因此，数轴正好可以被实数填满．【例6】大家知道，数轴上的点有些表示有理数，有些表示无理数，请你在数轴上画出表示13的点．分析：考虑到(13)2＝9＋4＝32＋22，可以利用勾股定理在数轴上作出长为13的线段，从而找到表示13的点．解：作法如下：(1)在数轴上找到一点A，使OA＝3；(2)过A作AT垂直于数轴，垂足为A，在AT上截取AB＝2；(3)连接OB；(4)以O为圆心，OB为半径作弧，弧与数轴的交点C即为表示13的点．点评：在数轴上作无理数一般是借助勾股定理．7.a与a的算术平方根之区别a与a的算术平方根是代数中两个十分重要的概念，两者有非常密切的联系，但也有所区别，主要表现在以下几方面：(1)a是一种代数式，而a的算术平方根是一种运算.a(a≥0)是一种代数式，一种含有二次根号“”的代数式．而算术平方根是指一种运算，一种与平方互为逆关系的运算．(2)a比a的算术平方根内涵更丰富.a虽然建立在a的算术平方根上，但它比a的算术平方根的含义更丰富．对于a来说，它表示的意义仍然是非负数a的算术平方根．用a的形式表示一个非负数的算术平方根具有形式简洁、含义深刻等优点，通过二次根式探索、表达算术平方根的性质更是如鱼得水、简便之极．(3)算术平方根不一定带根号．如3是9的算术平方根．【例7】 对于题目“化简并求值：1a ＋1a ＋a 2－2，其中a ＝15”，甲、乙二人的解答不同．甲的解答是：1a ＋1a 2＋a 2－2＝1a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a 2＝1a ＋1a －a ＝2a －a ＝495； 乙的解答是：1a ＋1a2＋a 2－2＝1a＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝1a＋a －1a ＝a ＝15.谁的解答是错误的？为什么？ 分析：甲、乙二人的解答区别在于1a2＋a 2－2的化简，1a2＋a 2－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －a 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ，其值是非负数．由于a ＝15，所以结果应是1a－a .解：乙的解答是错误的．理由：∵a ＝15，则a －1a ＜0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a －1a 2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a －1a ＝1a －a . 注意：|a |与a 2在化简时一定要考虑其值的非负性．8．实数在生活中的应用实数是日常生活、生产中必不可少的数，它们与我们的生活息息相关，因此，与实数相关的问题自然成为中考命题的热点．数学知识生活化是近几年来中考热点之一，实数也不例外，将生活中的实数搬进中考已成为中考的一个亮点．【例8】 教生物的老师想设计一个长方形的实验基地，便于同学们进行实地观察，为了考查一下同学们的计算能力，他把长方形的基地设计成长为8020 m ，宽为345 m ，让学生算出这块实验基地的面积解：实验基地的面积为8020×345＝80×3×20×45＝240900＝240×30＝7 200(m 2)．答：这块实验基地的面积为7 200 m 2.【素质能力测试】 A 组1． 小数，叫做无理数。
数学无理数与实数
数学无理数与实数数学是一门严谨而深奥的学科，其中包含了许多有趣的概念和理论。
无理数与实数是数学中一对重要的概念，在数学的发展中起到了重要的作用。
本文将着重介绍无理数与实数的定义、性质和应用。
一、无理数与实数的定义1. 无理数的定义无理数是指不能表示为两个整数的比例的实数。
无理数可以用无限不循环小数表示，例如π（pi）、e（自然对数的底数）等。
2. 实数的定义实数包括有理数和无理数，是一切数的集合。
实数可以用有限小数、无限循环小数和无限不循环小数来表示，例如整数、分数和无理数等。
二、无理数与实数的性质1. 无理数的性质（1）无理数的十进制表示是无限不循环小数。
（2）无理数与有理数相加、相乘、相减仍是无理数。
（3）无理数存在无穷多个，且无理数的集合与有理数的集合的交集为空。
2. 实数的性质（1）实数具有稠密性，即对于任意两个实数a和b，存在一个实数c使得a<c<b。
（2）实数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律等基本性质。
（3）实数域是一个有序域，可以进行大小比较。
三、无理数与实数的应用1. 几何学中的应用无理数在几何学中起到了重要的作用，例如π（pi）常用来表示圆周率，e（自然对数的底数）在指数增长和减少的模型中得到了广泛应用。
2. 物理学中的应用无理数与实数在物理学中也有重要应用，例如黄金分割比例、分形理论等。
3. 金融学中的应用实数的无穷性和稠密性在金融学中具有重要意义，例如套利交易、期权定价等。
四、总结无理数与实数是数学领域中重要的概念和理论，对于数学的发展和各个学科的应用都起到了关键作用。
通过研究无理数与实数，我们能够更好地理解数学的本质和规律，并将其应用于实际问题的解决中。
无论是几何学、物理学还是金融学，无理数与实数都扮演着不可忽视的角色。
因此，深入研究和探索无理数与实数的性质和应用，对于我们的数学学习和应用有着重要的意义。
这篇文章介绍了数学中的无理数与实数的定义、性质和应用。
初一实数知识点总结
初一数学概念实数：—有理数与无理数统称为实数。
有理数：整数和分数统称为有理数。
无理数：无理数是指无限不循环小数。
自然数：表示物体的个数0、1、2、3、4～（0包括在内）都称为自然数。
数轴：规定了圆点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。
相反数：符号不同的两个数互为相反数。
倒数：乘积是1的两个数互为倒数。
绝对值：数轴上表示数a的点与圆点的距离称为a的绝对值。
一个正数的绝对值是本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。
数学定理公式有理数的运算法则⑴加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，互为相反数的两个数相加得0。
⑵减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。
⑶乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。
⑷除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0除以任何一个不等于0的数，都得0。
1、整数包括哪些数？自然数是什么？什么叫有理数？答：整数包括正整数、零、负整数。
正整数又叫自然数。
正整数、零、负整数、正分数、负分数统称为有理数。
2、什么叫数轴？在数轴上如何表示数？答：数轴是一条带有方向、原点和规定长度单位的直线。
一个有理数在数轴上总可以找出一点和它对应。
表示方向的箭头在直线的右端。
数轴上方或右方是正数、原点的左方或下方是负数、原点是零。
3、什么叫相反数？什么是绝对值？如何判定有理数的大小？答：到原点距离相等的两个数叫互为相反的数。
零的相反数是零。
数轴上表示的数a到原点的距离叫数a的绝对值。
一个正数的绝对值是它本身、一个负数的绝对值是它相反数、零的绝对值是它本身。
正数大于零，零大于负数，正数大于负数、两个负数绝对值大的反而小。
4、有理数加法法则是什么？答：符号相同的两数相加，和的符号与加数的符号相同，并把它们的绝对值相加；绝对值不等符号相异的两数相加，和的符号取绝对值较大的那个加数的符号，并把较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的数相加，和为零；任何数与零相加，和就是这个数。
无理数与实数(基础)知识讲解
无理数与实数（基础）责编：杜少波【学习目标】1. 了解无理数和实数的意义；2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 .【要点梳理】要点一、有理数与无理数有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.要点诠释：（1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式.（2）常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：…….要点二、实数有理数和无理数统称为实数.有理数和无理数组成了一个新的数集——实数集，实数集通常用字母R 表示.1.实数的分类按定义分：实数⎧⎧⎫⎪⎪⎪⎨⎬⎪⎪⎪⎪⎨⎩⎭⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数 按与0的大小关系分：实数0⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数2.实数与数轴上的点一 一对应.数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应.要点三、实数大小的比较对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小.要点四、实数的运算有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用.【典型例题】类型一、实数概念 1、指出下列各数中的有理数和无理数： 332222,,,9,8,9,0,,12,55,0.1010010001 (73)π--- 【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数.【答案与解析】有理数有3222,9,8,0,,73-- 无理数有32,,9,12,55,0.1010010001π-……【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数叫无理数.常见的无理数有三种形式：①含π类.②看似循环而实质不循环的数，如：…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如55，39，2，12-.举一反三：【高清课堂： 389318 实数复习 ，巩固练习3】【变式】下列说法错误的是（ ）①无限小数一定是无理数； ②无理数一定是无限小数；③带根号的数一定是无理数；④不带根号的数一定是有理数.A ．①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④【答案】C ；类型二、实数大小的比较2、（2014秋•新华区校级期中）比较和1的大小． 【答案与解析】解：∵＜＜，即2＜＜3，∴1＜﹣1＜2，∴＜1．【总结升华】此题主要考查了实数比较大小，得出﹣1的取值范围是解题关键． 举一反三：【变式】比较大小___ 3.14π--754__2333232 90－ 3___10- |43___(7)---【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜.3、如图，数轴上点P 表示的数可能是（ ）A. 3.2-B.7- C. 7 D. 10- 【答案】B ；【解析】－3＜7-＜－2.【总结升华】关键是估计出7-的大小. 类型三、实数的运算4、化简：(1)|2 1.4|－ (2)|7|74||－－ (3)|12|+|23|+|32|－－－【答案与解析】解：|2 1.4|－2 1.4=-|7|74||－－ =|74+7|－ =274-|12|+|23|+|32|－－－2132231=-+-+-=.【总结升华】有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用.举一反三：【变式】（2015•乌鲁木齐）计算：（﹣2）2+|﹣1|﹣．【答案】解：原式=4+﹣1﹣3=．5、若2|2|3(4)0a b c ---=，则a b c -+=________． 【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中a ，b ，c 的值.【答案】3；【解析】解：由非负数性质可知：203040a b c -=⎧⎪-=⎨⎪-=⎩，即234a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴ 2343a b c -+=-+=．【总结升华】初中阶段所学的非负数有|a |，2,a a ，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 .举一反三：【变式】已知2(16)|3|0x y +++=【答案】解：由已知得1603030x y z +=⎧⎪+=⎨⎪-=⎩，解得1633x y z =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩．12=.。
实数,整数,自然数,有理数的概念
实数,整数,自然数,有理数的概念
实数是指包括有理数和无理数在内的所有数字的集合。
有理数指可以表示成两个整数的比值的数字，而无理数则是不能表示成有限小数或分数的数字。
例如，π和根号2就是无理数。
整数是指不带小数点的数字，包括正整数、负整数和0。
自然数是指从1开始的整数，即1、2、3、4......。
有理数包括所有整数、分数和小数。
在数学中，实数、整数、自然数、有理数都有重要的应用，例如在代数、几何、微积分等学科中都有广泛的应用。
对于数学学习者来说，理解和掌握这些概念是非常重要的基础知识。
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实数集知识点总结
实数集知识点总结一、实数集的概念实数集是由有理数和无理数组成的集合。
有理数是可以表示为两个整数的比值的数，即可以写成分数形式的数，包括整数、分数和小数。
而无理数则是不能写成分数形式的数，它的小数部分是无限不循环的，比如π和e等。
实数集包括了所有的有理数和无理数，用符号R表示。
二、实数集的性质1. 实数集是一个无限集合，它包括了无穷多的数。
2. 实数集是一个完备的集合，即实数集中的每一个数都有一个确切的位置，不存在“间隙”。
3. 实数集满足传递性，即如果a < b，b < c，则a < c。
4. 实数集中的任意两个数之间都存在无数个有理数和无理数。
5. 实数集是一个有序集合，即实数集中的任意两个数都可以相互比较大小。
6. 实数集满足运算的封闭性，即两个实数进行加、减、乘、除的运算所得的结果仍然是实数。
三、实数集的运算规则1. 加法：实数集中的任意两个数进行加法运算，得到的结果仍然是实数。
2. 减法：实数集中的任意两个数进行减法运算，得到的结果仍然是实数。
3. 乘法：实数集中的任意两个数进行乘法运算，得到的结果仍然是实数。
4. 除法：实数集中的任意两个数进行除法运算，得到的结果仍然是实数，但需要排除除数为0的情况。
四、实数集的子集1. 自然数集：自然数是指1、2、3、4、5……这样的数，是最早出现的数，用符号N或者N+表示。
2. 整数集：整数是指包括了0在内的正整数和负整数的集合，用符号Z表示。
3. 有理数集：有理数是可以表示为两个整数的比值的数，包括整数、分数和小数，用符号Q表示。
4. 无理数集：无理数是不能写成分数形式的数，它的小数部分是无限不循环的，包括π和e等，用符号I表示。
5. 正数集：正数是大于0的数的集合，用符号R+表示。
6. 负数集：负数是小于0的数的集合，用符号R-表示。
五、实数集的数轴实数集中的每一个数都可以在数轴上找到一个对应的点。
数轴是一个无限延伸的直线，在数轴上每一个点都对应着实数集中的一个数，并且数轴上的每一个点都有一个确定的位置。
什么叫实数有理数无理数
实数可以分为有理数和无理数，或代数数和超越数，或正实数、负实数和零。
有理数
可以分成整数和分数，而整数可以分为正整数、零和负整数。
无理数可以分为正无理数和负无理数。
基本运算
实数可实现的基本运算有加、减、乘、除、乘方等，对非负数（即正数和0）
还可以进行开方运算。
实数加、减、乘、除（除数不为零）、平方后结果还是实数。
任何实数都可以开奇次方，结果仍是实数，只有非负实数，才能开偶次方其结果还是实数。
四则运算封闭性
实数集R对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个
实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。
实数唯一性
如果在一条直线（通常为水平直线）上确定O作为原点，指定一个方向为正方
向（通常把指向右的方向规定为正方向），并规定一个单位长度，则称此直线为数轴。
任一实数都对应与数轴上的唯一一个点；反之，数轴上的每一个点也都唯一的表示一个实数。
于是，实数集R与数轴上的点有着一一对应的关系。
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《无理数与实数的概念》教学设计
一、教学目标
1.了解无理数和实数的意义，掌握实数的分类，能够判断一个数是有理数还是无理数；
2.了解实数绝对值的意义,了解实数与数轴上的点一一对应的关系;
3.通过实数的分类,是学生进一步领会分类的思想;
4.通过实数与数轴上的点一一对应关系,使学生了解数形结合思想,提高思维能力;
5.数形结合体现了数学的统一性的美.
二、教学重点和难点
教学重点：使学生了解无理数和实数的意义及性质，实数的运算律和运算性质.
教学难点：无理数意义的理解．
三、教学方法
讲练结合
四、教学手段
多媒体
五、教学过程
(一)复习提问
什么叫有理数?有理数如何分类?由学生回答，教师帮助纠正：
1．整数和分数统称为有理数．
2．有理数的分类有两种方法：
第一种：按定义分类：第二种：按大小分类：
(二)引入新课
同学们，有理数由整数和分数组成，下面我们用小数的观点来看，整数可以看做是小数点后面是0的小数，如3可写做3.0、3.00；而分数，我们可以将分数化为有限小数或无限循环小数，由此我们可以看到有理数总是可以用有限小数或无限循环小数表示。
如3=3.0，，，但是是不是所有的数都可以写成有限小数或无限循环小数形式呢?
答案是否定的，我们来看这样一组数：
我们会发现这些数的小数位数是无限的，而且是不循环的，这样的小数叫做无限不循环小数，显然它不属于有理数的范围．这就是我们今天要学习的一个新的概念：无理数．
1．定义：无限不循环小数叫做无理数．
请同学们判断以下说法是否正确?
(1)无限小数都是无理数．
(2)无理数都是无限小数．
(3)带根号的数都是无理数．
答：(1)错，无限不循环小数都是无理数．
(2)错，无理数是无限不循环小数．
现在我们不仅学过了有理数，而且又定义了无理数，显然我们所学的数的范围又扩大了，我们把有理数和无理数统称为实数，这是我们今天学习的又一新的概念．
2．实数的定义：有理数和无理数统称为实数．
3．实数的分类：
对于实数，我们可按定义分类如下：
由上述分类，我们发现有理数和无理数都有正负之分，所以对实数我们还可以按大小分类如下：
对于这两种分类的方法，同学们应牢固地掌握．
4．实数的相反数：如果a表示一个正实数，那么-a就表示一个负实数，a与-a 互为相反数，0的相反数依然是0．
由上述定义，我们看到实数的相反数概念与有理数相同．其实不仅如此，绝对值的定义也是如此．
5．实数的绝对值：一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．用数字表示仍可表示为：
例1 判断题：
(1)任何实数的偶次幂是正实数． ( )
(2)在实数范围内，若｜x｜=｜y｜，则x=y． ( )
(3)0是最小的实数． ( )
(4)0是绝对值最小的实数． ( )
解：(1)错，0的偶次幕是0，它不是正实数．
(2)错，若x=3，y=-3，则满足｜x｜=｜y｜，但x≠y．
(3)错，负实数都小于0．
(4)对，因为任何实数的绝对值都为非负实数，0自然是绝对值最小的实数．
六、总结
今天我们学习了实数这一新的内容，请同学们首先要清楚，实数我们是如何定义的，它
与有理数是怎样的关系，再有就是对实数两种不同的分类要清楚．并应对照有理数中有关相反数、绝对值的定义以及运算律和运算性质，来理解在实数中的定义和运用．
七、作业
教材p．155练习3、4、5、6；p．156习题的10．7A组3．
八、板书设计
10.5实数
1．无理数定义 5.绝对值例1. 例2.
2.实数定义 6.运算
3.分类
4.相反数。