第10讲平面直角坐标系与函数

第十讲 平面直角坐标系与函数【中考目标】1、会画平面直角坐标系，并能根据点的坐标描出点的位置，由点的位置写出点的坐标，掌握坐标平面内点的坐标特征；2、探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义；3、了解函数的有关概念和函数的表示方法，并能结合图象对实际问题中的函数关系进行分析， 结合对函数关系的分析，能对变量的变化情况进行初步讨论；4、能确定函数自变量的取值范围，并会求函数值，能用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。

【命题趋势】图形与坐标是将图形放入平面直角坐标系里，以通过量化的方式来研究图形和坐标之间的关系，体现了形与数的统一。

1、点与坐标(有序数对)具有一一对应的关系，根据点的坐标描点或由点的位置写出它的坐标，来体现图形与坐标之间的对应关系；2、函数作为基础知识，常常考查函数的基本概念、函数自变量的取值范围、函数之间的变化规律及其图象；3、主要体现的思想方法：数形结合思想、转化的思想。

【真题感知】1、（2016·荆门）在平面直角坐标系中，若点A （a ，b ）在第一象限内，则点B （a ，b ）所在的象限是( )A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2、（2016·台湾）如图为A ，B ，C 三点在坐标平面上的位置图。

若点A ，B ，C 的x 坐标的数字总和为a ，y 坐标的数字总和为b ，则a －b 之值为何？( )A 5B 3C －3D －53、（2015·台州）如图，这是台州市地图的一部分，分别以正东、正北方向为x 轴、y 轴的正方向建立直角坐标系，规定一个单位长度表示1km ，甲、乙两人对着地图如下描述路桥区A 处的位置，则椒江区B 处的坐标是 。

4、（2015·广东）甲和乙进行赛跑训练，他们选择了一个土坡，按同一路线同时出发，从坡脚跑到坡顶，再原路返回坡脚．他们俩上坡的平均速度不同，下坡的平均速度则是各自上坡平均速度的1.5倍。

设两人出发x min 后距出发点的距离为y m 。

下图中折线表示甲在整个训练中y 与x 的函数关系，其中点A 在x 轴上，点M 坐标为（2，0）。

（1）点A 所表示的实际意义是 ，MA OM ＝ ；（2）如果乙上坡平均速度是甲上坡平均速度的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？第2题 第3题第4题【分类解析】考点一，坐标特征（一）要点精析1、平面直角坐标系内四个象限的符号特点分别是：第一象限（＋，＋）；第二象限（－，＋）；第三象限（－，－）；第四象限（＋，－）。

2、对称点的坐标特征：点P （x ，y ）关于x 轴的对称点1P 的坐标为（x ，－y ）；关于y 轴的对称点2P 的坐标为（－x ，＋y ）；关于原点的对称点P3的坐标为（－x ，－y ）。

（二）对应练习1、（2017·预测）已知点M （1－2m ，m －1）在第四象限，则m 的取值范围在数轴上表示正确的是()2、若点P （2k －1，1－k ）在第四象限，则k 的取值范围为( )A k ＞1B k ＜21C k ＞21D 21＜k ＜1 3、（原创题）已知点P （0，m ）在y 轴的负半轴上，则点M （－m ，－m ＋1）在( )A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限4、若点A （m ＋2，3）与点B （－4，n ＋5）关于y 轴对称，则m ＋n ＝ 。

（三）方法总结明确各象限内点的坐标特征，结合规律列出方程(组)或不等式(组)，并求解。

考点二，坐标的变换（一）要点精析1、轴对称变换：在直角坐标系中，点（a ，b ）关于x 轴的对称点的坐标为（a ，－b ），关于y 轴的对称点的坐标为（－a ，b ）；2、平移变换：点（a ，b ）向右平移h 个单位后为（a ＋h ，b ），点（a ，b ）向左平移h 个单位后为（a －h ，b ），点（a ，b ）向上平移h 个单位后为（a ， b ＋h ），点（a ，b ）向下平移h 个单位后为（a ，b －h ）。

（二）对应练习1、（原创题）如图，正五边形ABCDE 放入某平面直角坐标系后，若顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（0，a ），（－3，2），（b ，m ），（c ，m ），则点E 的坐标是( )A （2，－3）B （2，3）C （3，2）D （3，－2）2、（2017·预测）已知点A （a，1）与点A ′（5，b ）关于坐标原点对称，则实数a ，b 的值是( )A a ＝5，b ＝1B a ＝－5，b ＝1C a ＝5，b ＝－1D a ＝－5，b ＝－13、如图，弹性小球从点P （0，3）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到矩形OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第1次碰到矩形的边时的点为1P ，第2次碰到矩形的边时的点为2P ……第n 次碰到矩形的边时的点为n P ， 第1题 第3题则点3P 的坐标是 ；点2016P 的坐标是 。

（三）方法总结采用列表、绘图、对比等方法来感知图形变换与坐标之间的关系，平移问题就可利用坐标平面内图形左、右或上、下平移后对应点的坐标关系来解决。

考点三，函数的概念（一）要点精析1、函数的概念：一般地，在某一变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值， y 都有唯一确定的值与它对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量；2、常量和变量：在某一变化过程中，保持一定数值不变的量叫做常量；可以取不同数值的量叫做变量；3、函数主要的表示方法有三种：（1）解析法；（2）列表法；（3）图像法。

（二）对应练习1、根据右图所示程序计算函数值，若输入的x 值为25，则输出的函数值y 为( )A23 B 52 C 254 D 4252、函数y ＝21-x 的自变量x 的取值范围为( )A x ＞2B x ＜2C x ≤2D x ≠23、（2017·预测）在函数y ＝xx 4+中，自变量x 的取值范围是( ) A x ＞0 B x ≥－4 C x ≥－4且x ≠0 D x ＞0且x ≠－4（三）方法总结函数自变量的范围一般有三种类型：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数。

考点四，函数的图像（一）要点精析对于一个函数，把自变量x 和函数y 的每对对应值分别作为点的横坐标与纵坐标在平面内描出相应的点，符合条件的所有的点组成的图形叫做这个函数的图象。

（二）对应练习1、图1中的摩天轮可抽象成一个圆，圆上一点离地面的高度y （m ）与旋转时间x （min ）之间的关系如图2所示：（1）根据图2填表：（2）变量是x 的函数吗？为什么？（3）根据图中的信息，请写出摩天轮的直径。

2、一列火车匀速通过一座桥（桥长大于火车长）时，火车在桥上的长度y （m ）与火车进入桥的时间x （s ）之间的关系用图象描述大致是( )（三）方法总结利用函数关系和图象分析解决实际问题，理解横坐标和纵坐标所表示的变量含义，探求变量和函数之间的变化趋势，分析变化过程，结合图象解决实际问题。

【同步练习】1、在平面直角坐标系中，点（1，5）所在的象限是( )A 第一象限B 第二象限C 第三象限D 第四象限2、函数y ＝63+x 中自变量x 的取值范围在数轴上表示正确的是( )3、函数y ＝x 1＋x 的图象在( ) A 第一象限 B 第一、三象限 C 第二象限 D 第二、四象限4、点P （a ，a －3）在第四象限，则a 的取值范围是( )A 0＜a ＜3B a ＜3C a ＞0D －3＜a ＜05、小王开车从家出发前去体育中心看比赛，预计1个小时能到达，可当天路上较为拥堵，行驶了半个小时，刚好行驶了一半路程，道路被“堵死”，堵了几分钟将车停在轻轨站的车库，然后坐轻轨前往，结果按预计时间到达。

下面能反映小王距离体育中心的距离y (千米)与时间x （小时）的函数关系的大致图象是( )6、若点M （x ，y ）满足2）（y x +＝2x ＋2y －2，则点M 所在象限是( )A 第一象限或第三象限B 第二象限或第四象限C 第一象限或第二象限D 不能确定7、若点A （x ，2）在第二象限，则x 的取值范围是 。

8、函数y ＝21-x 中，自变量x 的取值范围是 。

9、设甲、乙两车在同一直线公路上匀速行驶，开始甲车在乙车的前面，当乙车追上甲车后，两车停下来，把乙车的货物转给甲车，然后甲车继续前行，乙车向原地返回。

设x 秒后两车间的距离为y 千米，y 关于x 的函数关系如图所示，则甲车的速度是 米/秒。

10、在平面直角坐标系内，以点P （1，1）为圆心、5为半径作圆，则该圆与y 轴的交点第9题 第11题坐标是 。

11、在平面直角坐标系x O y 中，⊙C 的半径为r ，点P 是与圆C 不重合的点，给出如下定义：若点P′为射线CP 上一点，满足CP·CP′＝2r ，则称点P′为点P 关于⊙C 的反演点。

如图为点P 及其关于⊙C 的反演点P′的示意图。

写出点M （21，0）关于以原点O 为圆心，1为半径的⊙O 的反演点M′的坐标 。

12、在平面直角坐标系中，△ABO 的位置如图所示，已知∠AOB ＝90°，AO ＝OB ，点A 的坐标为（－3，1）。

（1）求出点B 的坐标；（2）作△ABO 关于x 轴的对称图形，并写出各对应顶点的坐标。

13、将长为38cm ，宽为5cm 的长方形白纸，按如图所示方法粘合在一起，粘合部分白纸为2cm 。

（1）设x 张白纸粘合后的总长为y cm ，写出y 与x 的函数关系式；（2）求200张白纸粘合后的长度？14、在一网格中建立如图的直角坐标系，有如图所示的格点△ABC （即三角形的顶点都在格点上）。

（1）写出点A ，B ，C 的坐标；（2）△ABC 关于y 轴对称图形为△1A 1B 1C 。

（要求：A与1A ，B 与1B ，C 与1C 相对应）①写出1A ，1B ，1C 的坐标，并画出图形；②连结B 1B ，C 1C ，求四边形B 1B 1C C 的面积。

15、甲、乙两专卖店某段时间内销售收入y （元）与天数x （天）的函数图象如图所示。

在这期间乙专卖店停业装修一段时间，重新开业后，乙专卖店的日均销售收入是原来的2倍。

请解决下列问题：（1）直接写出甲专卖店销售收入y （元）与天数x （天） 之间的函数关系式 ；（2）求图中a 的值；（3）多少天后甲、乙两店的销售总收入刚好达到3万元？第12题第13题第14题第15题【参考答案】真题感知1、D ；【解析】∵点A （a ，b -）在第一象限内，∴a ＞0，b -＞0，∴b ＜0， ∴点B （a ，b ）所在的象限是第四象限。