2.3.2简单的轴对称图形+-角
山东省沂源县鲁村中学鲁教版（五四学制）七年级数学上册教学课件：23简单的轴对称图形（1）(共23张PPT)
教学目标
1．本节通过实践操作与思考的有机结合，帮 助我们认识简单的轴对称图形.经历探索简单 图形轴对称性的过程，进一步体验轴对称的特 征，发展空间观念.
2．探索并了解线段垂直平分线的有关性质.
3．应用线段垂直平分线的性质解决一些实际 问题.
温故知新
轴对称的性质：
(1).对应点连线段被对称轴垂直平分 (2).对应线段相等，对应角相等。
A
D
【解析】
BE C
（1）△ACD的周长＝AD ＋CD＋AC＝18cm；
（2）△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝28cm； （3）由DE是BC的垂直平分线得：BD＝CD；
所以AD＋CD＝AD＋BD＝AB. （4）由（2）－（1）得BC＝10cm.
3.如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平
在线段AB的垂直平分线上，任取 一点C，问AC与BC相等吗？
D
AC=BC
C
A
O
B
若再取一点D?再取一点E呢？ E 你发现了什么？
中垂线的性质：
线段垂直平分线上的点到这条线 段两个端点的距离相等；
注意： 线段垂直平分线上有无数个点， 所有点到线段两个端点的距离都 相等，无一例外；
数学符号语言：
∵OD是线段AB的垂直平分线，
2. 有A，B，C三个村庄，现准备要建一所学校，要 求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位 置.
【提示】学校在连接任意
A
两点的两条线段的垂直平
分线的交点处.
C B
课堂小结
1. 垂直于一条线段并且平分它的直线叫这条线段的 垂直平分线.
2. 线段是轴对称图形，它的垂直平分线是它的一 条对称轴 ;它本身所在的直线是它的另一条对称 轴；
轴对称图形知识点总结
轴对称图形知识点总结轴对称图形是指图形中存在一条线（称为轴），使得图形的一侧与另一侧对称。
轴对称图形在数学和美术中都有广泛的应用，了解轴对称图形的知识点对于解题和艺术创作有很大的帮助。
本文将介绍轴对称图形的定义、性质以及常见的轴对称图形种类。
1. 定义轴对称图形是指存在一个轴线，使得图形的一侧与另一侧完全对称。
轴对称图形可以通过将图形沿着轴线进行折叠，并使折叠前后的图形完全重合来验证。
2. 性质2.1 对称轴轴对称图形的对称轴是指沿着其中一个折叠线对图形进行对称的直线。
图形沿着对称轴对称，这意味着对称轴上的任何一点关于对称轴上的另一点有对应点。
2.2 对称图形图形的两侧通过对称轴对称，称为对称图形。
对称图形的两个部分相互对应，可以通过旋转180度绕过对称轴将一侧移至另一侧，两侧完全重合。
2.3 特点轴对称图形具有以下特点：•对称轴的任意一点到对称轴上的对称点的距离相等。
•对称图形的两侧完全相同，每一点都可以对应到对称图形的另一侧。
•对称图形可以通过旋转180度绕过对称轴将一侧移到另一侧，两侧完全重合。
3. 常见的轴对称图形种类3.1 线段轴对称图形的最简单形式是线段，线段可以是任意长度。
线段的轴对称轴是线段的中垂线，该中垂线通过线段的中点，并且线段的两侧完全对称。
3.2 正方形正方形是一种具有四条边长度相等且角度为90度的图形。
正方形具有四条对称轴，分别是其两条对角线和两条中垂线。
正方形沿着对称轴对称，任意一点都可以通过对称轴找到对称点。
3.3 镜像轴对称图形还包括镜像，镜像是指通过轴对称轴将图形从一侧镜像到另一侧。
镜像可以使用直线、点或者平面作为对称轴。
3.4 多边形多边形可以是任意边数的图形，例如三角形、四边形、五边形等。
多边形的轴对称轴可以位于多边形内部或者通过多边形的某条边。
3.5 圆圆是一个具有无限多个对称轴的轴对称图形。
圆的中心和任意一点可以确定一条对称轴，圆沿着对称轴对称。
4. 总结轴对称图形是图形中存在一条线使得图形的一侧与另一侧完全对称的图形。
八年级数学上册第2章轴对称图形2.3设计轴对称图案教案(新版)苏科版
1．能按要求完成某些轴对称图案．
2．会设计简单轴对称标志．
3．轴对称具有美感，轴对称在生活中无处不在．
谈谈本节课的收获．
试对所学知识进行反思、归纳和总结．
六、课后作业
1．课本P49练习1和P50习题2.3习题1、2．
2．拓展：请用2块大小一样的三角尺（两锐角分别是60°和30°）拼出不同的轴对称图形，看看你能拼出几种．
试一试：
1．如图，阴影部分是由5个小正方形组成的一个直角图形，请用二种方法分别在右图方格内填涂黑二个小正方形，使它们成为轴对称图形．
2．完成课本上练习2、3．
通过试一试进一步让学生感受轴对称的魅力．
三、数学实验
（一）制作4张如图2-14的正方形纸片，将纸片拼合．
1．图2-15中的3个图案各有几条对称轴？
你来试试看呢？
画出图案的对称轴，并说出它的变换方式．
展示学生拼合的图案，交流所拼图案的对称轴及图形变换方式．
讨论、交流剪纸的要点，动手操作，展示作品．
通过活动让学生发现并感受平移、翻折、旋转三种变换在设计图案中的作用，为学生设计图案提供思路和方法，同时能让学生在活动中获得成功的体验和创新的喜悦，激发学生学习的内驱力．
二、探索活动
1．对称的美术图案，除图形对称外，有时颜色也“对称”．如果不包括色彩因素在内，下列图形有几条对称轴？请你画出图中（1）和（2）的对称轴．
动手实践、探究、交流，分别画出下列图形的对称轴．
要点：画全．
从简单的图形入手，帮助学生理解形成对称的美术图案的两个条件：1．图形对称；2．颜色对称．
2．如果不考虑颜色的“对称”，图2-13中（1）和（2）中各有几条对称轴？考虑颜色的“对称”呢？
3．如果将图2-13（1）中左上方和右下方的小方格也涂上色，那么它有几条对称轴？
2.3.2抛物线的简单几何性质(课件)高二数学(北师大版2019选择性)
法四:纯几何计算,这也是一种较好的思维.
解法1 F1(1 , 0),
l的方程为：y x 1
x1
3
2
2
或
x2
y x 1
3y22 24x
x2
y1 2 2 2
y2 2 2 2
AB = (x1 - x2 )2 +(y1 - y2 )2 = 8
解法2 F1(1 , 0),
(5)若 直 线AB的 倾 斜 角 为， 则|
AB
|
2p
sin2
归纳总结
1、范围：抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它也可 以无限延伸，但没有渐近线；
2、对称性： 抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3、顶点：抛物线只有一个顶点，一个焦点，一条准线； 4、离心率：抛物线的离心率是确定的，等于１； 5、通径： 抛物线的通径为2P, 2p越大，抛物线的张口
课堂练习
1，已知点A（-2，3）与抛物线 y2 2 px( p 0)
的焦点的距离是5，则P = 4
。
2，抛物线 y2 4x 的弦AB垂直x轴，若|AB|= 4 3 ，
则焦点到AB的距离为 2
。
3.已知直线x-y=2与抛物线 y2 4x 交于A、B
两点，那么线段AB的中点坐标是 (4, 2) 。
为y²=2px，则| PF |=?
|PF|=x0+p/2
OF
x
②若抛物线方程为
x²=2py，则| PF |=?
补、焦点弦：
通过焦点的直线，与抛物 线相交于两点，连接这两点的 线段叫做抛物线的焦点弦。
y
A ( x1, y1 )
F
O
(部编版)2020学年高中数学第二章2.3.2双曲线的简单几何性质学案含解析新人教A版选修201
2．3.2 双曲线的简单几何性质[提出问题]已知双曲线C 1的方程：x 29－y 216＝1.问题1：双曲线C 1中的三个参数a ，b ，c 的值分别为多少？ 提示：3,4,5.问题2：试画出双曲线C 1的草图？ 提示：如图所示：问题3：观察双曲线C 1的图象，曲线与x 轴、y 轴哪一条轴有交点？有无对称性？ 提示：与x 轴有交点，有对称性． [导入新知]1．双曲线的几何性质2．等轴双曲线实轴和虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线，它的渐近线是y ＝±x ，离心率为e ＝ 2. [化解疑难]对双曲线的简单几何性质的几点认识(1)双曲线的焦点决定双曲线的位置．(2)双曲线的范围决定了双曲线的开放性和无限延展性，由双曲线的方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)，得x 2a 2＝1＋y 2b2≥1，∴x 2≥a 2，∴|x |≥a ，即x ≤－a 或x ≥a .(3)双曲线的离心率和渐近线刻画了双曲线的开口大小，离心率越大，双曲线的开口越大，反之亦然．(4)对称性：由双曲线的方程x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，若P (x ，y )是双曲线上任意一点，则P 1(－x ，y )，P 2(x ，－y )均在双曲线上，因P 与P 1，P 2分别关于y 轴、x 轴对称，因此双曲线分别关于y 轴、x 轴对称．只不过双曲线的顶点只有两个，而椭圆有四个．[例1] 求双曲线9y 2－4x 2[解] 双曲线的方程化为标准形式是x 29－y 24＝1，∴a 2＝9，b 2＝4， ∴a ＝3，b ＝2，c ＝13. 又双曲线的焦点在x 轴上， ∴顶点坐标为(－3,0)，(3,0)， 焦点坐标为(－13，0)，(13，0)， 实轴长2a ＝6，虚轴长2b ＝4， 离心率e ＝c a ＝133， 渐近线方程为y ＝±23x .[类题通法]已知双曲线方程求其几何性质时，若不是标准方程的先化成标准方程，确定方程中a ，b 的对应值，利用c 2＝a 2＋b 2得到c ，然后确定双曲线的焦点位置，从而写出双曲线的几何性质．[活学活用]求双曲线9x 2－16y 2＋144＝0的实半轴长、虚半轴上长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出这个双曲线的草图．解：把方程9x 2－16y 2＋144＝0化为标准方程为y 29－x 216＝1.由此可知，实半轴长a ＝3； 虚半轴长b ＝4；c ＝a 2＋b 2＝9＋16＝5，焦点坐标为(0，－5)，(0,5)；离心率e ＝c a ＝53；渐近线方程为y ＝±a b x ＝±34x .双曲线的草图如图．[例2] (1)虚轴长为12，离心率为54；(2)顶点间距离为6，渐近线方程为y ＝±32x .[解] (1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)． 由题意知2b ＝12，c a ＝54且c 2＝a 2＋b 2，∴b ＝6，c ＝10，a ＝8，∴双曲线的标准方程为x 264－y 236＝1或y 264－x 236＝1.(2)设以y ＝±32x 为渐近线的双曲线方程为x 24－y 29＝λ(λ≠0)， 当λ＞0时，a 2＝4λ，∴2a ＝24λ＝6⇒λ＝94.当λ＜0时，a 2＝－9λ， ∴2a ＝2－9λ＝6⇒λ＝－1.∴双曲线的标准方程为x 29－4y 281＝1或y 29－x 24＝1.[类题通法](1)一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a ，b 的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合c 2＝a 2＋b 2及e ＝ca列关于a ，b 的方程(组)，解方程(组)可得标准方程．(2)如果已知双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ，那么此双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b2＝λ(λ≠0)．[活学活用]分别求中心在原点，对称轴为坐标轴，且满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)双曲线C 的右焦点为(2,0)，右顶点为(3，0)； (2)双曲线过点(3,92)，离心率e ＝103. (3)与双曲线x 2－2y 2＝2有公共渐近线，且过点M (2，－2)．解：(1)设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由已知得a ＝3，c ＝2，再由a 2＋b 2＝c 2， 得b 2＝1.故双曲线C 的标准方程为x 23－y 2＝1.(2)由e 2＝109，得c 2a 2＝109，设a 2＝9k (k ＞0)， 则c 2＝10k ，b 2＝c 2－a 2＝k .于是，设所求双曲线方程为x 29k －y 2k ＝1，①或y 29k －x 2k＝1，② 把(3,92)代入①，得k ＝－161与k ＞0矛盾； 把(3,92)代入②，得k ＝9， 故所求双曲线的标准方程为y 281－x 29＝1.(3)设与双曲线x22－y 2＝1有公共渐近线的双曲线方程为x22－y 2＝k (k ≠0)，将点(2，－2)代入，得k ＝222－(－2)2＝－2，∴双曲线的标准方程为y 22－x 24＝1.[例3] 已知双曲线的渐近线方程为y ＝±4x ，求此双曲线的离心率．[解] 当焦点在x 轴上时， 其渐近线方程为y ＝±b ax ，依题意，得b a ＝34，b ＝34a ，c ＝a 2＋b 2＝54a ，∴e ＝c a ＝54；当焦点在y 轴上时，其渐近线方程为y ＝±a bx ，依题意，得a b ＝34，b ＝43a ，c ＝a 2＋b 2＝53a ，∴e ＝c a ＝53.∴此双曲线的离心率为54或53.[类题通法]求双曲线离心率的常用方法(1)依据条件求出a ，c ，计算e ＝c a.(2)依据条件建立a ，b ，c 的关系式，一种方法是消去b 转化成离心率e 的方程求解；另一种方法是消去c 转化成含b a 的方程，求出ba后利用e ＝1＋b 2a2求解． [活学活用]已知F 1，F 2是双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，PQ 是经过F 1且垂直于x 轴的双曲线的弦，如果∠PF 2Q＝90°，求双曲线的离心率．解：设F 1(c,0)，将x ＝c 代入双曲线的方程得c 2a 2－y 2b2＝1，则y ＝±b 2a.由|PF 2|＝|QF 2|，∠PF 2Q ＝90°， 知|PF 1|＝|F 1F 2|，∴b 2a＝2c ，∴b 2＝2ac . ∴c 2－2ac －a 2＝0， ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2－2×c a－1＝0. 即e 2－2e －1＝0.∴e ＝1＋2或e ＝1－2(舍去)． 所以所求双曲线的离心率为1＋ 2.3.直线与双曲线的相交[典例] (12分)已知斜率为2的直线被双曲线x 23－y 22＝1所截得的弦长为4，求直线l 的方程．[解题流程][活学活用]已知双曲线C ：x 2－y 2＝1及直线l ：y ＝kx －1.(1)若直线l 与双曲线C 有两个不同的交点，求实数k 的取值范围．(2)若直线l 与双曲线C 两支交于A ，B 两点，O 是坐标原点，且△AOB 的面积为2，求实数k 的值．解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝1，y ＝kx －1，消去y 整理，得(1－k 2)x 2＋2kx －2＝0.由题意知⎩⎪⎨⎪⎧1－k 2≠0，Δ＝4k 2＋－k2＞0，解得－2＜k ＜2且k ≠±1.所以实数k 的取值范围为(－2，－1)∪(－1,1)∪(1，2)． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由(1)得x 1＋x 2＝－2k 1－k 2，x 1x 2＝－21－k2. 又直线l 恒过点D (0，－1)，且x 1x 2＜0， 则S △OAB ＝S △OAD ＋S △OBD＝12|x 1|＋12|x 2|＝12|x 1－x 2|＝ 2. 所以(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝(22)2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫－2k 1－k 22＋81－k 2＝8. 解得k ＝0或k ＝±62， 由(1)知上述k 的值符合题意， 所以k ＝0或k ＝±62.[随堂即时演练]1．已知双曲线的离心率为2，焦点是(－4,0)，(4,0)，则双曲线的方程为( ) A.x 24－y 212＝1 B.x 212－y 24＝1 C.x 210－y 26＝1 D.x 26－y 210＝1 解析：选A 由题意知c ＝4，焦点在x 轴上， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＋1＝e 2＝4，所以b a＝3，又由a 2＋b 2＝4a 2＝c 2＝16，得a 2＝4，b 2＝12.所以双曲线的方程为x 24－y 212＝1.2．(全国甲卷)已知F 1，F 2是双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1的左，右焦点，点M 在E 上，MF 1与x 轴垂直，sin ∠MF 2F 1＝13，则E 的离心率为( )A. 2B.32C. 3D ．2解析：选A 因为MF 1与x 轴垂直，所以|MF 1|＝b 2a .又sin ∠MF 2F 1＝13，所以|MF 1||MF 2|＝13，即|MF 2|＝3|MF 1|.由双曲线的定义得 2a ＝|MF 2|－|MF 1|＝2|MF 1|＝2b2a，所以b 2＝a 2，所以c 2＝b 2＋a 2＝2a 2， 所以离心率e ＝c a＝ 2.3．已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标是(3,0)且焦距与虚轴长之比为5∶4，则双曲线的标准方程为________．解析：由题意得双曲线的焦点在x 轴上，且a ＝3，焦距与虚轴长之比为5∶4， 即c ∶b ＝5∶4，解得c ＝5，b ＝4， ∴双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1.答案：x 29－y 216＝14．过双曲线x 2－y 23＝1的左焦点F 1，作倾斜角为π6的直线AB ，其中A ，B 分别为直线与双曲线的交点，则|AB |的长为________．解析：双曲线的左焦点为F 1(－2,0)，得8x 2－4x －13＝0，显然Δ＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝12，x 1x 2＝－138，∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋13× ⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－138＝3. 答案：35．求适合下列条件的双曲线的标准方程： (1)过点(3，－2)，离心率e ＝52； (2)中心在原点，焦点F 1，F 2在坐标轴上，实轴长和虚轴长相等，且过点P (4，－10)． 解：(1)若双曲线的焦点在x 轴上，设其标准方程为x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为双曲线过点(3，－2)， 则9a 2－2b2＝1.①又e ＝c a ＝a 2＋b 2a 2＝52，故a 2＝4b 2.② 由①②得a 2＝1，b 2＝14，故所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1.若双曲线的焦点在y 轴上，设其标准方程为y 2a 2－x 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理可得b 2＝－172，不符合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为x 2－y 214＝1.(2)由2a ＝2b 得a ＝b ， ∴e ＝1＋b 2a2＝2，所以可设双曲线方程为x 2－y 2＝λ(λ≠0)． ∵双曲线过点P (4，－10)， ∴16－10＝λ，即λ＝6. ∴双曲线方程为x 2－y 2＝6. ∴双曲线的标准方程为x 26－y 26＝1.[课时达标检测]一、选择题1．下列双曲线中离心率为62的是( ) A.x 22－y 24＝1 B.x 24－y 22＝1 C.x 24－y 26＝1 D.x 24－y 210＝1 解析：选B 由e ＝62得e 2＝32， ∴c 2a 2＝32， 则a 2＋b 2a 2＝32，∴b 2a 2＝12，即a 2＝2b 2.因此可知B 正确．2．中心在原点，实轴在x 轴上，一个焦点在直线3x －4y ＋12＝0上的等轴双曲线方程是( ) A ．x 2－y 2＝8 B ．x 2－y 2＝4 C ．y 2－x 2＝8D ．y 2－x 2＝4解析：选A 令y ＝0得，x ＝－4， ∴等轴双曲线的一个焦点坐标为(－4,0)， ∴c ＝4，a 2＝12c 2＝12×16＝8，故选A.3．(全国乙卷)已知方程x 2m 2＋n －y 23m 2－n＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是( )A ．(－1,3)B ．(－1，3)C ．(0,3)D ．(0，3)解析：选A 由题意得(m 2＋n )(3m 2－n )>0，解得－m 2<n <3m 2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m 2＋n ＋3m 2－n ＝4，即m 2＝1，所以－1<n <3.4．双曲线x 24＋y 2k＝1的离心率e ∈(1,2)，则k 的取值范围是( )A ．(－10,0)B ．(－12,0)C ．(－3,0)D ．(－60，－12) 解析：选B 由题意知k ＜0，∴a 2＝4，b 2＝－k .∴e 2＝a 2＋b 2a 2＝4－k 4＝1－k 4. 又∵e ∈(1,2)，∴1＜1－k 4＜4， ∴－12＜k ＜0. 5．(天津高考)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的焦距为25，且双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，则双曲线的方程为( )A.x 24－y 2＝1 B ．x 2－y 24＝1 C.3x 220－3y 25＝1 D.3x 25－3y 220＝1 解析：选A 由焦距为25，得c ＝ 5.因为双曲线的一条渐近线与直线2x ＋y ＝0垂直，所以b a ＝12.又c 2＝a 2＋b 2，解得a ＝2，b ＝1，所以双曲线的方程为x 24－y 2＝1. 二、填空题 6．若双曲线x 24－y 2m ＝1的渐近线方程为y ＝±32x ，则双曲线的焦点坐标是________． 解析：由渐近线方程为y ＝±m 2x ＝±32x ，得m ＝3，所以c ＝7.又因为焦点在x 轴上，所以焦点坐标为(±7，0)．答案：(±7，0) 7．过双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M ，N 两点，以MN 为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的离心率为________．解析：由题意知，a ＋c ＝b 2a， 即a 2＋ac ＝c 2－a 2，∴c 2－ac －2a 2＝0，∴e 2－e －2＝0，解得e ＝2或e ＝－1(舍去)．答案：28．双曲线x 29－y 216＝1的右顶点为A ，右焦点为F ，过点F 平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B ，则△AFB 的面积为________．解析：双曲线x 29－y 216＝1的右顶点A (3,0)，右焦点F (5,0)，渐近线方程为y ＝±43x .不妨设直线FB 的方程为y ＝43(x －5)，代入双曲线方程整理，得x 2－(x －5)2＝9，解得x ＝175，y ＝－3215，所以B ⎝ ⎛⎭⎪⎫175，－3215. 所以S △AFB ＝12|AF ||y B |＝12(c －a )|y B | ＝12×(5－3)×3215＝3215. 答案：3215三、解答题9．已知椭圆方程是x 210＋y 25＝1，双曲线E 的渐近线方程是3x ＋4y ＝0，若双曲线E 以椭圆的焦点为其顶点，求双曲线的方程． 解：由已知，得椭圆的焦点坐标为(±5，0)，顶点坐标为(±10，0)和(0，±5)． 因双曲线以椭圆的焦点为顶点，即双曲线过点(±5，0)时，可设所求的双曲线方程为9x 2－16y 2＝k (k ≠0)，将点的坐标代入得k ＝45，故所求方程是x 25－16y 245＝1.10．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的离心率为3，且a 2c ＝33. (1)求双曲线C 的方程；(2)已知直线x －y ＋m ＝0与双曲线C 交于不同的两点A ，B ，且线段AB 的中点在圆x 2＋y 2＝5上，求m 的值． 解：(1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ a 2c ＝33，c a ＝3，解得⎩⎨⎧ a ＝1，c ＝ 3.所以b 2＝c 2－a 2＝2. 所以双曲线C 的方程为x 2－y 22＝1. (2)设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，线段AB 的中点为M (x 0，y 0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＋m ＝0，x 2－y 22＝1， 得x 2－2mx －m 2－2＝0(判别式Δ＞0)．所以x 0＝x 1＋x 22＝m ，y 0＝x 0＋m ＝2m .因为点M (x 0，y 0)在圆x 2＋y 2＝5上，所以m2＋(2m)2＝5. 故m＝±1.。
小学数学教学案例：轴对称图形的应用与拓展
小学数学教学案例：轴对称图形的应用与拓展：随着时代的发展，数学在我们日常生活中所占的比重越来越大。
在小学阶段，数学作为一门基础课程，对于孩子们未来数学素养的发展起着至关重要的作用。
本文将以小学数学教学案例为引，探讨轴对称图形在数学中的应用与拓展。
一、轴对称图形的概念和性质在进一步了解轴对称图形的应用之前，我们首先需要了解轴对称图形的概念和性质。
什么是轴对称图形？轴对称图形是指可以沿着某一条直线（称之为“轴线”）对称，使得图形的两侧完全对称的图形。
我们需要了解轴对称图形的性质。
轴对称图形的对称轴是唯一的，即这条轴线也被称为对称中心或对称轴。
轴对称图形可以分为“单轴对称图形”和“双轴对称图形”两种。
单轴对称图形指只有一条对称轴的轴对称图形，而双轴对称图形指有两条对称轴的轴对称图形。
轴对称图形的每一点在对称之后都可以找到一个点与之对应。
二、轴对称图形在数学中的应用2.1. 计算轴对称图形面积由于轴对称图形的特殊性质，可以将轴对称图形分为两部分，从而计算轴对称图形的面积。
以如下图形为例，我们可以将整个图形分为两部分：通过计算两部分面积的和，即可得到轴对称图形的面积。
对于像这样的正方形，我们可以得到该图形的面积为：S1 = a^2因此，轴对称图形的面积计算不仅简单，而且方便快捷。
2.2. 课堂教学中的轴对称图形在小学数学课堂中，轴对称图形是一个非常重要的概念。
在教学中，我们可以通过激发学生的想象力，让他们通过折纸的方式制作各种轴对称图形。
比如，通过折纸的方式，我们可以制作出一个如下图所示的轴对称图形：在制作过程中，学生不仅可以直观地感受到轴对称图形的特征，而且可以从制作过程中体会到数学的乐趣。
2.3. 物理和工程应用中的轴对称图形不仅在数学教学中，轴对称图形在物理和工程应用中也有着非常广泛的应用。
比如，在制造工艺中，轴对称图形的应用非常普遍。
在生产过程中，轴对称图形不仅可以提高加工精度和效率，而且能够降低加工成本。
七年级下册数学第二单元知识点汇总(浙教版)
七年级下册数学第二单元知识点汇总（浙教版）2.1 轴对称图形1、轴对称图形就是把一个图形沿着某一条只限对折，对折后直线两侧的部分完全重合，这样的图形就是轴对称图形。
折痕所在的直线是图形的对称轴。
2、轴对称图形的特征：对折后，对称轴两侧能够完全重合。
gt;gt;gt;gt;初一年级数学要点：轴对称图形2.2 轴对称变换由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换.成轴对称的两个图形中的任何一个可以看作由另一个图形经过轴对称变换后得到.一个轴对称图形可以看作以它的一部分为基础，经轴对称变换扩展而成的.gt;gt;gt;gt;初一年级数学要点之轴对称变换2.3 平移变换(1)图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;(2)图形平移后，对应点连成的线段平行且相等(或在同一直线上)(3)多次平移相当于一次平移。
gt;gt;gt;gt;初一数学下册资料之平移变换2.4 旋转变换gt;gt;gt;gt;七年级数学知识点：旋转变换知识点2.5 相似变换※1、如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成 .※2、四条线段a、b、c、d中,如果a与b的比等于c与d的比,即 ,那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段,简称比例线段.gt;gt;gt;gt;初一数学下册知识点（相似变换）2.6 图形变换的简单应用1、定义把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移变换，简称平移。
gt;gt;gt;gt;初一下册数学知识点：图形变换的简单应用知识点七年级下册数学第二单元知识点整理的很及时吧，提高学习成绩离不开知识点和练习的结合，因此大家想要取得更好的成绩一定要注重从平时中发现问题查缺补漏~。
鲁教版七年级上册2.3简单的轴对称图形(1)——线段教学反思
简单的轴对称图形（1）——线段教学反思济宁十三中初二数学宋伟和着新教育实验的节拍，乘着“新课程实施推进周”活动的一叶扁舟，我惴惴地执教了鲁教版七年级上册2.3简单的轴对称图形（1）——线段一课。
这是今年刚刚改过的教材，由于对教材、对课标的理解与领悟受限，我在第一次独立备课中纠结万分，我最大的感受，一是教材对于线段垂直平分线的尺规作图的问题涉及较多，如果在课上，放手给孩子们去操作，会耗掉很多时间，这也与课程标准的要求有一些距离；二是对于在较复杂图形中，运用垂直平分线性质定理解决问题这个既是重点又是难点的地方，却只字未提，只在课后习题中出现了一题，我得如何设计“阶梯”，以便于学生能乘“梯”而上，理顺出明确的思路，类化问题的解决方法，能见一题，会一类；同时，得以什么样的方式来呈现该问题才能既利于发展学生的思维，又能规范学生解题格式。
在经历了多次个人备课，与组内老师集体研讨，又与共同执教者王东老师反复商议后，基本确定了五环节的问题设计（见导学案定稿），又结合我班的学生实际和各环节要达到的目标，大致确定出每环节的学生活动方式：是独学，还是二人对学，是三人小组检测还是六人组内或组间交流合作亦或展开竞争。
在温故互查之后，我设计了一个小游戏，其目的，一方面是温顾——已知一点和对称轴，找该点的对称点；另一方面是知新——已知两点，确定两点（或两点所在线段）的对称轴，来引入线段的垂直平分线。
在问题导学环节，在探究出线段的垂直平分线性质定理，写出数学符号语言后，师追问“结合前面所学的知识，你能解释其中的道理吗？”，引导学生三人组内交流见解，组长负责汇报交流结果（用SAS证三角形全等或用轴对称的性质解释问题）。
此处这样处理的意图是夯实垂直平分线性质定理，以便于今后“遇垂直平分，直接得线段相等”！下面是尺规作图，作已知线段的垂直平分线，采用的是先独学课本，仿照课本尺规画图，如遇问难，可以向大小组长求助，接先来老师引领，再演示一遍，目的一方面，回顾作图步骤；另一方面，演示所取半径不超过给定线段一半时的做法，追问此时不能成功作图的原因，强化对“半径大于给定线段长度一半”的理解，并强调画图勿忘结论。
2.3.2《双曲线的简单几何性质》(人教版选修2-1)
（2）如图，线段 A1A2 叫做双曲线 的实轴，它的长为2a,a叫做
实半轴长；线段 B1B2 叫做双
曲线的虚轴，它的长为2b,b
y
叫做双曲线的虚半轴长.
（见教材P.56)
b B2
（3）实轴与虚轴等长的双曲线 叫等轴双曲线
x2 y 2 m(m 0)
A1 -a o a A2
x
-b B1
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2.3.2 双曲线简单的几何性质 (一)
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定义 图象
| |MF1|-|MF2| | =2a（０ < 2a<|F1F2|）
y
M
y
M F2
F1 o F2 x
x
F1
方程
焦点
a.b.c 的关系
x2 a2
y2 b2
1
y2 x2 a2 b2 1
F ( ±c, 0)
F(0, ± c)
c2 a2 b2
(x,-y)
x以轴-x、代yx轴方是程不双变曲，线故的图对像称关轴于，原轴y点对是称对；称中心，
又 以-叫y代做y方双程曲不线变的，中故心图像。关于 轴对x 称；。
以-x代x且以-y代y方程不变，故图像关于 原点对称
第5页，共69页。
3、顶点
（1）双曲线与对称轴的交点，叫做双曲线的顶点
顶点是A1(a,0)、A2 (a,0)
P( 1,－3 ) 且离心率为 的2双曲线标准方程.
y2 x2 1 88
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学习小结:
渐近线方程为 y b x 的双曲线的方程可写 a
成
x2 a2
y2 b2
y b x a
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鲁教版(五四制)七年级数学上2.3简单的轴对称图形课件
You made my day!
我们，还在路上……
练一练
如图，在△ABC中，∠C等于900，AB的中
垂线DE交BC于D，交AB于E，连接AD，若
AD平分∠BAC，找出图中相等的线段，并说
说你的理由.
A
你能找到图中相等的角吗?
E
B
D
C
你能找到图中特殊的三角形吗?
➢1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月4日星期五2022/3/42022/3/42022/3/4 ➢2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于 独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月2022/3/42022/3/42022/3/43/4/2022 ➢3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/3/42022/3/4March 4, 2022 ➢4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/3/42022/3/42022/3/42022/3/4
B
PB=PC
P
C N N’
PA=PB=PC
下一页
例题解析
解：因为点P在线段AB的垂直平分线上 （已知）， 所以PA=PB（线段垂直平分线上的点到这 条线段两 个端点的距离相等). 同理 PB=PC.
B
所以PA=PB=PC.
A
P C
下一页
用尺规做线段的垂直平分线
➢ 已知线段AB，画出它的垂直平分线.
说出你的 作图思路
议一议；能否说出这 种画法的依据，小组
讨论交流一下。
作法：
➢ （1）任取一点M，使点M和点C在的两侧； ➢ （2）以C点为圆心，以CM长为半径画弧，
2.3.2抛物线的简单几何性质课件新课标人教a版选修1-1(3)
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称
顶点
焦半径
焦点弦 的长度
（0,0）
p 2
x0
p x1 x2
（0,0）
p 2
x0
p (x1 x2 )
（0,0）
p 2
y0
p y1 y2
（0,0）
p 2
y0
p ( y1 y2 )
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无 限延伸,但它没有渐近线; 2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
于两点，连接这两点的线段叫做抛物的通径。
通径的长度：2P
方程 图
y2 = 2px
（p＞0） y
l
y2 = -2px （p＞0）
yl
x2 = 2py （p＞0）
y
F
x2 = -2py （p＞0）
y
l
形 范围
OF x F O x
O
x l
O F
x
x≥0 y∈R x≤0 y∈R x∈R y≥0 x∈R y≤0
y
图形
F
o
x
. .
y F ox
焦点 准线
F( p 0) 2
x p 2
F ( p ,0) 2
x p 2
y
F
x o
F(0, p) 2
y p 2
y
o
x
F
F (0, p) 2
y p 2
抛物线有许多重要性质，我们根据抛物线的标
准方程: y2 2 px p 0
y
研究它的一些简单几何性质
1.范围： x≥0,y∈R
的距离的最小值是（ A）
A. 4 3
【数学】2.3.2 抛物线的简单几何性质 课件1(人教A版选修1-1)
解法3
F1(1 , 0), l的方程为：y x 1
y x 1 2 x 6x 1 0 2 y 4x
⇒x1 +x2 = 6, x1x2 =1
|AB |= |AF|+ |BF |
= |AA1 |+ |BB1 |
y
6
A1
5
4
A
3
2
1
=(x1+1)+(x2+1)
=x1+x2+2=8
x
x2 = 2py （p＞0） y
F
x2 = -2py （p＞0） y
x
l
（p＞0） y
l O F
l x
F
O
x
O
O
F
x≥0 y∈R
x≤0 y∈R
x∈R y≥0
x∈R y≤0
关于y轴对称
对称性 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称
顶点
离心率
（0,0） e=1
（标准方程中2p的几何意义） 补充（1）通径：
y x 1 2 x 6x 1 0 2 y 4x
x1 3 2 2 x2 3 2 2 或 y1 2 2 2 y2 2 2 2
2 2 AB = (x1 -x2 ) +(y1 -y2 ) = 8
解法2
x y
0 0.25 1 2.25 4 0 1 2 3 4
6.25 … 5 …
o
描点及连线：
思考:顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且经过点 M(2， 2 2 )的抛物线有几条?求出它们的标准方程. 解：因为抛物线关于对称轴对称，它的顶点在原点，
2022秋七年级数学上册 第二章 轴对称2.3简单的轴对称图形1线段的垂直平分线及其性质课件 鲁教版
A．25° B．30°
C．35° D．40°
【点拨】因为DE垂直平分AC， 所以AD＝CD，AE＝EC，又因为DE＝DE， 所以△ADE≌△CDE.所以∠A＝∠ACD. 又因为CD平分∠ACB， 所以∠ACB＝2∠ACD＝100°. 所以∠B＝180°－∠A－∠ACB＝180°－50°－ 100°＝30°.故选B.
作图痕迹是( D )
5 如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠C＝48°，AB和AC 的垂直平分线分别交BC于点D，E，且点D在点E的左侧， BC＝6 cm，则△ADE的周长是( D ) A．3 cm B．12 cm C．9 cm D．6 cm
【点拨】因为AB，AC的垂直平分线分别交BC于点 D，E，所以BD＝AD，AE＝EC.所以△ADE的周长 为AD＋DE＋AE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6 cm.
解：因为AG垂直平分BC，点D在AG上， 所以DB＝DC.
13 如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点， 连接AE并延长交BC的延长线于点F.
(1)试说明：CF＝AD.
解：因为 AD∥BC，所以∠ECF＝∠ADE. 因为 E 为 CD 的中点，所以 CE＝DE.
∠FEC＝∠AED， 在△FEC 和△AED 中，CE＝DE，
2 【中考·枣庄】如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交 AB于点D，交BC于点E，连接AE.若BC＝6，AC＝5， 则△ACE的周长为( B ) A．8 B．11 C．16 D．17
【点拨】因为DE垂直平分AB， 所以AE＝BE. 所以△ACE的周长为AC＋CE＋AE＝AC＋CE＋BE ＝AC＋BC＝5＋6＝11. 故选B.
6 【中考·十堰】如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分 线．若AE＝3，△ABD的周长为13，则△ABC的周长为 ____1_9___．
鲁教版数学七年级上册2.3《简单的轴对称图形》教学设计
鲁教版数学七年级上册2.3《简单的轴对称图形》教学设计一. 教材分析《简单的轴对称图形》是鲁教版数学七年级上册2.3节的内容，主要介绍轴对称图形的概念，性质以及应用。
通过本节课的学习，学生能够理解轴对称图形的定义，识别生活中的轴对称图形，并运用轴对称性质解决实际问题。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的空间想象能力和抽象思维能力，他们对平面几何有一定的了解。
但是，对于轴对称图形的概念和性质，学生可能还比较陌生。
因此，在教学过程中，需要引导学生从实际生活中的例子出发，逐步抽象出轴对称图形的概念，并理解其性质。
三. 教学目标1.知识与技能：学生能够理解轴对称图形的定义，识别生活中的轴对称图形，运用轴对称性质解决实际问题。
2.过程与方法：学生通过观察、操作、思考、交流等过程，培养空间想象能力和抽象思维能力。
3.情感态度与价值观：学生感受数学与生活的紧密联系，增强学习数学的兴趣和信心。
四. 教学重难点1.重点：轴对称图形的概念和性质。
2.难点：轴对称图形的性质的应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活中的实例，引导学生从实际出发，理解轴对称图形的概念。
2.启发式教学法：引导学生观察、思考、交流，自主探索轴对称图形的性质。
3.实践操作法：让学生动手操作，加深对轴对称图形性质的理解。
六. 教学准备1.教具：准备一些生活中常见的轴对称图形，如剪纸、图片等。
2.学具：学生每人准备一张白纸，一把剪刀。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过展示一些生活中的轴对称图形，如剪纸、图片等，引导学生观察并提问：“这些图形有什么共同的特点？”学生回答后，教师总结出轴对称图形的定义。
2.呈现（10分钟）教师通过PPT或黑板，呈现一些轴对称图形的性质，如对称轴、对称点等，并引导学生思考这些性质的含义和应用。
3.操练（10分钟）学生分组进行实践活动，每组选择一个轴对称图形，用剪刀将图形剪下来，观察并讨论其对称轴、对称点等性质。
轴对称实践教案：如何将图形对称折叠
轴对称实践教案：如何将图形对称折叠如何将图形对称折叠轴对称是几何中一种非常基础的概念，它是指图形在某个轴线上对称，被轴线分割成两部分时，两部分完全重合。
在日常生活中，轴对称也经常被使用，比如制作对称的网格纸、折叠纸艺术等等。
教师可以通过简单的实践，让学生来了解轴对称的概念，从而提高他们的几何直觉和空间想象力。
1.教学目标本单元旨在帮助学生：-了解轴对称的概念；-掌握轴对称的操作方法；-应用轴对称的方法来设计图形。
2. 教学内容2.1 轴对称的概念轴对称是指图形在某个轴线上对称，被轴线分割成两部分时，两部分完全重合。
轴对称可以分为横轴对称、纵轴对称、斜轴对称等。
2.2 轴对称的操作方法轴对称的操作方法是将图形对称折叠在轴线上。
例如，对于一个矩形，在纵轴上对称折叠，是将矩形沿着中心线对称折叠，使得矩形的两侧完全重合。
2.3 应用轴对称的方法来设计图形轴对称的方法不仅可以用于制作网格纸和折纸艺术，也可以用于设计图形。
轴对称图形的优点在于其对称性，可以增加图形的美观读取性。
3. 教学过程3.1 引入通过一个简单的问题来引入轴对称的概念：如果你只有一张矩形的纸，你可以在不剪裁纸张的情况下，在这张纸上画出一个正方形吗？引导学生思考，正方形和矩形之间有何联系和区别？3.2 展示和解释轴对称的概念展示轴对称的概念，将图形对称折叠在轴线上使得两边完全重合，从而得到对称图形。
3.3 演示轴对称的操作方法通过演示轴对称的操作方法，让学生实时领会轴对称的过程，折叠纸片、折叠网格纸，让学生亲手尝试用几何工具来进行图形轴对称折叠的操作。
3.4 讨论轴对称对图形美学的影响讨论轴对称对于美学的影响，以正方形和矩形设计的图案作为例子，通过比较轴对称图案和非轴对称图案，让学生分析出轴对称图案的优点。
3.5 轴对称图形的设计作业让学生动手实践，通过轴对称的方法设计出美观、经典的图形，例如五角星、菱形、心形等等。
4. 教学评估4.1 学生作业的评估评估学生的轴对称图形设计作业，根据作业的完成时间、图案的美学效果等方面逐一评估，提供指导和反馈。
北师大版选择性必修第一册2.3.2抛物线的简单几何性质课件(34张)
式．
√ × ×
√
2．顶点在原点，对称轴为y轴，顶点到准线的距离为4的抛物线方程
是( )
A．x2＝16y
B．x2＝8y
C．x2＝±8y
D．x2＝±16y
答案：D
解析：顶 点在原点 ，对称轴 为y轴的抛 物线方程 有两个： x2＝－2py，x2＝ 2py(p>0)．由顶点到准线的距离为4知p＝8，故所求抛物线方程为x2＝16y，x2＝－ 16y.故选D.
________ ________ ________ ________
x_≥__0_，_y_∈__R x_≤__0_，_y_∈__R y_≥_0_，__x_∈__R y_≤__0_，__x∈__R
__x_轴_____
___y_轴____
__(_0，__0_)__
e＝____1____
状元随笔 (1)通过上述表格可知，四种形式的抛物线的顶点相同， 均为O(0，0)，离心率均为1，它们都是轴对称图形，关于焦点所在的 坐标轴对称．
抛物线的简单几何性质
新知初探·课前预习
题型探究·课堂解透
新知初探·课前预习[教材要点] 要ຫໍສະໝຸດ 抛物线的简单几何性质标准方程
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px (p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py (p>0)
图形
焦点
性 准线 质 范围
对称轴 顶点
离心率
________ ________ ________ ________
答案：6
方法归纳
求抛物线实际应用的五个步骤 (1)建立适当的坐标系． (2)设出合适的抛物线标准方程． (3)通过计算求出抛物线的标准方程． (4)求出需要求出的量． (5)还原到实际问题中，从而解决实际问题．
2.3.2抛物线的简单几何性质课件人教新课标1
例 2 斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的
焦点，且与抛物线相交于A，B两点，求线
段AB的长.
解法一:
y
由已知得抛物线的焦点为(1，0)
A
所以直线AB的方程为y=x -1 o F x
联立方程组得 y2 4x ①
B
y x 1
②
y
②代入①得 (x-1)2=4x
A
整理得 x2-6x+1=0
可知 |AF|=dA=x1+1， |BF|=dB=x2+1，
于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2 y
由已知得抛物线的焦点为(1，0)
A’
dA A
所以直线AB的方程为
y=x -1 ①
oF x
B’ dB B
将①代入方程y2=4x，得 (x-1)2=4x
y
A’
A
整理得 x2-6x+1=0 解得: x1 3 2
直线l的方程为
P
y=kx+2k+1
o
x
y=kx+(2k+1)
由方程组 y2=4x
(І)
可得 ky2-4y+4(2k+1)=0 (П) (1)当k=0时，由方程(П)，得 y=1
把x1 y=1代入y2=4x ， 得
y
4
这时，直线l与抛物线只有 一个公共点 (1/4 ， 1 )
P
(2)当k≠0时，方程(П)的
oF x
解得: ， x1 3 2 2
B
x2 3 2 2
将x1 ， x2代入y=x-1得AB坐标为
A(3 2 2,2 2 2) B(3 2 2,2 2 2)
2.3简单的轴对称图形(1)学案(五四制)数学七年级上册
2.3简单的轴对称图形（1）【自主探究】知识点一：线段的轴对称性线段是轴对称图形，线段有条对称轴，分别是：知识点二：线段垂直平分线的性质1.什么叫做线段的垂直平分线？2.线段垂直平分线有何性质？文字语言：符号语言（画图说明）：针对训练二如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于E，如果BC=10cm，求△BCE的周长.知识点三：尺规作图用尺规作线段AB的垂直平分线.写出步骤.【基础巩固】1.如图所示，C是线段AB的垂直平分线上的一点，垂足为D，则下列结论中正确的有（）①AD=BD；②AC=BC；③∠A=∠B；④∠ACD=∠BCD；⑤∠ADC=∠BDC=90°.2.如图，△ABC中，DE垂直平分BC，AD＝3 cm，CD＝7 cm，则AB＝（） .第1题图第2题图3.△ABC两边的中垂线相交于点P，则PA,PB,PC的大小关系为 . 【素养提优】1.1.如图直线MN是草原上的一条小河.将军从草原的A地出发到河边饮马，然后再到B地军营观察.那么走什么样的路线行程最短呢？2.如图，在△ABC中，AC=6cm.将△ABC折叠，使点C与点A重合，得折痕DE.若△ABE的周长9cm，试求△ABC的周长.3.如图，在△ABC中，AB=AC,AB的垂直平分线交AC于点P，交AB于点D.若BP+PC=12,求AB的长.【中考链接】（2020枣庄）如图，在△ABC中，AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，连接AE．若BC＝6，AC＝5，则△ACE的周长为（）A．8 B．11 C．16 D．1【方法提炼】线段垂直平分线的性质可用于说明线段相等.【达标测评】(共10分)（教师寄语：自信源于实力！）总得分:__________1.线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离__________.（1分）2.到三角形的三个顶点距离相等的点是（）（2分）3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC＞BC，AB的垂直平分线与AC相交于E点，连结BE，若∠CBE∶∠EBA=1∶4，则∠A=______度，∠ABC=_________度．（2分）4.如图，AB是△ABC的一条边，,DE是AB的垂直平分线，垂足为E，并交BC 于点D，已知AB=8cm,BD=6cm,那么EA=________, DA=____（2分）.5.如图，在△ABC中，AB=AC=16cm，AB的垂直平分线交AC于E，如果BC=10cm，求△BCE的周长. （3分）（4题）（5题）。
2.3.2抛物线的简单几何性质(第一课时
2.3.2抛物线的简单几何性质（第一课时）(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第三章)一、教学目标1.掌握抛物线的简单几何性质：范围、对称性、顶点、离心率；2.能根据抛物线的几何性质对抛物线方程进行讨论；3.对通径、焦半径公式进行初步探索；4.进一步理解数形结合的思想方法在解析几何中的应用。
二、教学重难点1.教学重点：抛物线的简单几何性质、利用抛物线的几何性质求方程、对通径与焦半径公式的初步探究。
2.教学难点：利用数形结合法对通径、焦半径公式的探究。
三、教学过程1.利用数形结合的思想探究抛物线的简单几何性质1.1 知识回顾，温故知新【学生活动】学生完成学案内容，对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习。
【设计意图】之前学过椭圆、双曲线的几何性质，都是通过图形和方程两方面进行研究的，因此引导学生对抛物线的四种方程、图形、焦点坐标、准线方程进行复习，有利于对抛物线性质的进一步探索。
1.2 数形结合，类比探究问题1：类比用标准方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，请思考：我们要研究抛物线的哪些几何性质？如何研究这些性质？【预设答案】前面我们学习了椭圆、双曲线的范围、对称性、顶点、离心率，在双曲线中还学习了渐近线。
我们是通过“数”和“形”两方面对椭圆、双曲线的几何性质进行探究的。
【设计意图】类比椭圆、双曲线几何性质的研究思路，为接下来用数形结合法研究抛物线的几何性质进行铺垫。
问题2：观察图形，你能发现抛物线横、纵坐标的取值范围吗？【预设答案】通过观察图形，学生很容易得到开口向右的抛物线中横、纵坐标的取值范围，即为0,0>≥y x问题3：从数的角度，也就是从抛物线方程的角度，怎样得到抛物线中横纵坐标的取值范围呢？【预设答案】在方程0,22>=p px y 中，y 并无限制，因此R y ∈。
而因为022≥=y px ，且0>p ，所以0≥x 。
【设计意图】让学生从“数”和“形”两个角度探索抛物线的范围。
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用一用
如图,直线a,b,c表示三条相交叉的公路,A、B, 表示公路b 与 c 、a与 c的交叉点.若在三条公路 围成的区域内修建一处加油站,使加油站到三条 公路a,b,c的距离相等,则加油站应建在何处？ Ｆ a
C Ｐ
Ｄ
Page 14
Ｅ
b
B
A
c
小结
拓展
回味无穷
◆这节课我们学习了哪些知识？
1、“作已知角的平分线”的尺规作图法； 2、角的平分线的性质： 角的平分线上的点到角的两边的距离相 等。 几何语言: A ∵ OC是∠AOB的平分线, O 又 PD⊥OA,PE⊥OB ∴ PD=PE(角的平分线上的点 到角的两边距离相等).
活动一：
动手操作，完成课本48页做一做.
Page 5
想一想
角平分线的性质
B
（1）在上述的操作过程中， 你发现了哪些线段相等？ 说说你的理由. 改变点C的位置， 再试一试. O
E
C C B B A B A A A
D
CE=CD
角平分线上的点到这个角的两边 的距离相等.
Page 6
角的平分线上的点到角的两边 推理的理由有三个， 的距离相等。
思考
A
D
C
做完本题后，你对角平分线 又增加了什么认识?
Page 12
角平分线的性质， 为我们证明两线段相等 又提供了新的方法与B的平分线,点P在 OC上,PO⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、 E,PD=4cm,则PE=__________cm. 4 (2) 如图,在△ABC中,,∠C=90°,AD 平分∠BAC交BC于D,点D到AB的距离为 5 5cm,则CD=_____cm.
《数学》( 北师大.七年级 下册 )
复习
问题: 什么是轴对称图形?
Page 2
A
O
B
思考：1.角是轴对称图形吗？ 2.如果是，你能找出它的一 条对称轴吗？ 3.你能用折纸的方法折出 角的对称轴吗？
Page 3
想一想
角是轴对称图形， 且它的对称轴是它的角平分线所在 的直线。
Page 4
Page 15
D
C P E B
（×）
A
B D C
Page 8
（2）∵ 如图， DC⊥AC，DB⊥AB
∴ BD = CD ，(
（已知）
)
在角的平分线上的点到这个角 的两边的距离相等。
A B C
（×）
D
Page 9
（3）∵ AD平分∠BAC, DC⊥AC，DB⊥AB （已知） DB = DC ，（ 在角的平分线上的点到这个角的 ） ∴ 两边的距离相等。
用符号语言表示为： ∵ ∠1= ∠2
D 必须写完全，不能 少了任何一个。 A
角平分线的性质：
PD ⊥OA ，PE ⊥OB
∴PD=PE
O
P
1 2
E
(角的平分线上的点到角 的两边的距离相等)
Page 7
B
（1）∵ 如图，AD平分∠BAC（已知）
∴ BD = CD ，(在角的平分线上的点到这 ) 个角的两边的距离相等。
√
A
B
不必再证全等 C 角平分线的性质， 为我们证明两线段相等 又提供了新 的方法与途径.
Page 10
D
活动二：
利用尺规做∠AOB的平分线.
Page 11
随
练习
接拓展练习
随堂练习
1、如图，在Rt△ABC 中，∠C=90， BD是∠ABC 的平分线 DE⊥AB，垂足为E， E ， DE与DC 相等吗？ 为什么？ 答： DE=BC。 ∵ ∠C=90，即DC⊥BC B DE⊥BA， BD是∠ABC的平分线 ∴ DE=DC(角平分线的点到角的两边距离相等)