高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定理自我小测
课件2：三 圆的切线的性质及判定定理
能力提升
例 如图所示，已知OC平分∠AOB，D是OC上一点， ⊙D与OA相切于点E，求证OB与⊙D的公共点，连接DF， 则DE＝DF. ∵OA与⊙D相切于点E， ∴DE⊥OA. 又∵OD平分∠AOB. ∴DF⊥OB，∴OB与⊙D相切． 分析：因为要证的是OB是⊙D的切线，所以不知道OB与 ⊙D是否有公共点，不能连接，只能过D作OB的垂线．
证明：如图，连接OD，过点O作OE⊥AC，垂足为点E.
∵⊙O与AB相切于点D， ∴OD⊥AB，且OD等于圆的半径． ∵△ABC为等腰三角形，点O是底边BC的中点， ∴∠B＝∠C，OB＝OC. 又∵∠ODB＝∠OEC＝90°， ∴△ODB≌△OEC， ∴OE＝OD， 即OE是⊙O的半径， 即圆心O到直线AC的距离等于半径． ∴AC与⊙O相切．
【正解】连接DE，过D作DF⊥OB于F， ∵OA切⊙D于E，∴DE⊥OA， ∵OD平分∠AOB，DF⊥OB， ∴DE＝DF，∴OB与⊙D相切． 【疑难点辨析】圆的切线是指与圆只有一个公共点的直线.根 据切线的定义,一定要明确切线的位置,再去证明.证明直线是 圆的切线时,无论直线是否经过圆上一点,都连接圆心与直线 上一点,这是不对的．
图形语言
作用
证明直线与圆相切
题型一 性质定理的应用
例1 如图，已知AB是⊙O的直径，ED切⊙O于D， EM⊥AB于M，交AD于C，交⊙O于F.求证：EC＝ED.
解析：方法一 连接BD(如图)，∵AB是⊙O的直径， ∴∠B＝90°－∠A，∵EM⊥AB， ∴∠ECD＝∠ACM＝90°－∠A. ∴∠ECD＝∠B. 又∵ED切⊙O于D，∴∠EDC＝∠B(证明略)． ∴∠EDC＝∠ECD.∴EC＝ED. 方法二 ∵ED切⊙O于D，连接OD. ∴OD⊥ED，∠EDA＝90°－∠ODA. ∵EM⊥AB，∴∠ECD＝∠ACM＝90°－∠A. ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠A. ∴∠EDC＝∠ECD.∴EC＝ED.
直线与圆的位置关系 切线的证明 切线长定理 知识点+例题+练习(非常好 分类全面)
教学内容正多边形与圆教学目标掌握正多边形与圆的相关知识点重点正多边形与圆难点正多边形与圆教学过程§ 2.5 直线与圆的位置关系一、温故知新1.点到直线的距离：从直线外一点向这条直线画垂线，这______________________的长度，叫做点到直线的距离.2.点与圆的位置关系：若点于圆的距离为d,圆的半径为r。
（1）_______________⇔__________；（2）_______________⇔__________；（3）_______________⇔__________.二、概念知识点1 直线与圆的位置关系的性质和判定（重点）如果O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么（1）直线l与O相交⇔d r<；（2）直线l与O相切⇔d r=；（3）直线l与O相离⇔d r>.(1) (2) (3)例 1 直线l为半径r的O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是_____________.知识点2 切线的判定（难点）★经过半径的外端并且______________________直线是圆的切线.★判定直线是圆的切线有如下三种方法：（1）定义：_______________________________________________；（2）数量关系：___________________________________________；例2 如图，已知∆ADC内接于O，AB是O的直径，且∠CAE=∠ADC.求证：AE是O的切线.例3 如图，点C是O的直径AB的延长线上一点，点D是O上一点，且AD=CD，∠C=30º，试说明DC是O的切线.知识点4 切线的性质（重点）★圆的切线垂直于经过切点的半径.★直线与圆相切的相关性质：（1）定义：________________________________________________;（2）数量关系：____________________________________________;（3）性质定理：____________________________________________.例4 如图，点P为O外一点，PA为O的切线，切点为点A，OP交O于点B，点C为优弧AMB上一点.若∠P=28º，求∠ACB的度数.知识点5 三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆.内切圆的圆心叫做三角形________,这个三角形叫做圆的外切三角形.例5 如图，有一块三角形铁片，工人师傅想利用这块三角形铁片剪一个面积最大的圆，你能帮他设计剪裁方法吗？说出你的做法.知识点6 切线长定理（难点）★在经过圆外一点圆的切线上，这点与切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长.★切线长定理：_______________________________________.★基本图形包含的性质：如图，PA,PB是O的切线，切点分别为A,B，直线OP交O于点D，E,交AB于点C，这是一个常见的基本图形，它有许多性质.如：（1）它是__________图形，直线OP是它的对称轴；（2）___________是等腰三角形，PC AB,AC=BC,弧AD=弧BD，体现了“等腰三角形的顶角平分线、底边中线，底边上的高互相重合”的性质，体现垂径定理；（3）图中的直角三角形有_______________________________________________。
2020学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系知识归纳与达标验收创新应用教学案新人教A版选修4_1
第二讲 直线与圆的位置关系[对应学生用书P35]近两年高考中，主要考查圆的切线定理，切割线定理，相交弦定理，圆周角定理以及圆内接四边形的判定与性质等．题目难度不大，以容易题为主．对于与圆有关的比例线段问题通常要考虑利用相交弦定理、割线定理、切割线定理、相似三角形的判定和性质等；弦切角是沟通圆内已知和未知的桥梁，它在解决圆内有关等角问题中可以大显身手；证明四点共圆也是常见的考查题型，常见的证明方法有：①到某定点的距离都相等；②如果某两点在一条线段的同侧时，可证明这两点对该线段的张角相等；③证明凸四边形的内对角互补(或外角等于它的内对角)等．1．(湖南高考)如图，已知AB ，BC 是⊙O 的两条弦，AO ⊥BC ，AB ＝3，BC ＝22，则⊙O 的半径等于________．解析：设AO ，BC 的交点为D ，由已知可得D 为BC 的中点，则在直角三角形ABD 中，AD ＝AB 2－BD 2＝1，设圆的半径为r ，延长AO 交圆O 于点E ，由圆的相交弦定理可知BD ·CD ＝AD ·DE ，即(2)2＝2r－1，解得r ＝32. 答案：322.(新课标全国卷Ⅱ)如图，P 是⊙O 外一点，PA 是切线，A 为切点，割线PBC 与⊙O 相交于点B ，C ，PC ＝2PA ，D 为PC 的中点，AD的延长线交⊙O 于点E .证明：(1)BE ＝EC ；(2)AD ·DE ＝2PB 2.证明：(1)连接AB ，AC .由题设知PA ＝PD ，故∠PAD ＝∠PDA .因为∠PDA ＝∠DAC ＋∠DCA ，∠PAD ＝∠BAD ＋∠PAB ，∠DCA ＝∠PAB ，所以∠DAC ＝∠BAD ，从而BE ＝EC .因此BE ＝EC .(2)由切割线定理得PA 2＝PB ·PC .因为PA ＝PD ＝DC ，所以DC ＝2PB ，BD ＝PB .由相交弦定理得AD ·DE ＝BD ·DC ，所以AD ·DE ＝2PB 2.3．(新课标全国卷Ⅱ)如图，CD 为△ABC 外接圆的切线，AB 的延长线交直线CD 于点D ，E ，F 分别为弦AB 与弦AC 上的点，且BC ·AE ＝DC ·AF ，B ，E ，F ，C 四点共圆．(1)证明：CA 是△ABC 外接圆的直径；(2)若DB ＝BE ＝EA ，求过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值. 解：(1)证明：因为CD 为△ABC 外接圆的切线，所以∠DCB ＝∠A ，由题设知BC FA ＝DC EA， 故△CDB ∽△AEF ，所以∠DBC ＝∠EFA .因为B ，E ，F ，C 四点共圆，所以∠CFE ＝∠DBC ，故∠EFA ＝∠CFE ＝90°.所以∠CBA ＝ 90°，因此CA 是△ABC 外接圆的直径．(2)连接CE ，因为∠CBE ＝90°，所以过B ，E ，F ，C 四点的圆的直径为CE .由BD ＝BE ，有CE ＝DC .又BC 2＝DB ·BA ＝2DB 2，所以CA 2＝4DB 2＋BC 2＝6DB 2.而DC 2＝DB ·DA ＝3DB 2，故过B ，E ，F ，C 四点的圆的面积与△ABC 外接圆面积的比值为12. [对应学生用书P35]圆内接四边形的判定与性质 接四边形的判定和性质．[例1] 已知四边形ABCD 为平行四边形，过点A 和点B 的圆与AD 、BC 分别交于E 、F .求证：C 、D 、E 、F 四点共圆．[证明] 连接EF ，因为四边形ABCD 为平行四边形，所以∠B ＋∠C ＝180°.因为四边形ABFE 内接于圆，所以∠B ＋∠AEF ＝180°.所以∠AEF ＝∠C .所以C 、D 、E 、F 四点共圆．[例2] 如图，ABCD 是⊙O 的内接四边形，延长BC 到E ，已知∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，那么∠BOD 等于( )A ．120°B ．136°C ．144°D ．150°[解析] 由圆内接四边形性质知∠A ＝∠DCE ，而∠BCD ∶∠ECD ＝3∶2，且∠BCD ＋∠ECD ＝180°，∠ECD ＝72°.又由圆周角定理知∠BOD ＝2∠A ＝144°.[答案] C 直线与圆相切要，结合此知识点所设计的有关切线的判定与性质、弦切角的性质等问题是高考选做题热点之一，解题时要特别注意．[例3] 如图，⊙O 是Rt △ABC 的外接圆，∠ABC ＝90°，点P 是圆外一点，PA 切⊙O 于点A ，且PA ＝PB .(1)求证：PB 是⊙O 的切线；(2)已知PA ＝3，BC ＝1，求⊙O 的半径．[解] (1)证明：如图，连接OB .∵OA ＝OB ，∴∠OAB ＝∠OBA .∵PA ＝PB ，∴∠PAB ＝∠PBA .∴∠OAB ＋∠PAB ＝∠OBA ＋∠PBA ，即∠PAO ＝∠PBO .又∵PA 是⊙O 的切线，∴∠PAO ＝90°.∴∠PBO ＝90°.∴OB ⊥PB .又OB 是⊙O 半径，∴PB 是⊙O 的切线．(2)连接OP ，交AB 于点D .如图．∵PA ＝PB ，∴点P 在线段AB 的垂直平分线上． ∵OA ＝OB ，∴点O 在线段AB 的垂直平分线上．∴OP 垂直平分线段AB . ∴∠PAO ＝∠PDA ＝90°.又∵∠APO ＝∠OPA ，∴△APO ∽△DPA .∴AP DP ＝PO PA .∴AP 2＝PO ·DP .又∵OD ＝12BC ＝12，∴PO (PO －OD )＝AP 2.即PO 2－12PO ＝(3)2，解得PO ＝2.在Rt △APO 中，OA ＝PO 2－PA 2＝1，即⊙O 的半径为1.与圆有关的比例线段圆的切线、到一些比例式、乘积式，在解题中，多联系这些知识，能够计算或证明角、线段的有关结论．[例4] 如图，A，B是两圆的交点，AC是小圆的直径，D和E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，已知AC＝4，BE＝10，且BC＝AD，求DE的长．[解] 设CB＝AD＝x，则由割线定理得：CA·CD＝CB·CE，即4(4＋x)＝x(x＋10)，化简得x2＋6x－16＝0，解得x＝2或x＝－8(舍去)，即CD＝6，CE＝12.连接AB，因为CA为小圆的直径，所以∠CBA＝90°，即∠ABE＝90°，则由圆的内接四边形对角互补，得∠D＝90°，则CD2＋DE2＝CE2，所以62＋DE2＝122，所以DE＝6 3.[例5] △ABC中，AB＝AC，以AB为直径作圆，交BC于D，O是圆心，DM是⊙O的切线交AC于M(如图)．求证：DC2＝AC·CM.[证明] 连接AD、OD.∵AB是直径，∴AD⊥BC.∵OA＝OD，∴∠BAD＝∠ODA.又AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD.则∠CAD＝∠ODA，OD∥AC.∵DM是⊙O切线，∴OD⊥DM.则DM⊥AC，DC2＝AC·CM.[对应学生用书P43](时间：90分钟，满分：120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．圆内接四边形的4个角中，如果没有直角，那么一定有( )A ．2个锐角和2个钝角B ．1个锐角和3个钝角C ．1个钝角和3个锐角D ．都是锐角或都是钝角解析：由于圆内接四边形的对角互补，圆内接四边形的4个角中若没有直角，则必有2个锐角和2个钝角．答案：A2.如图，在⊙O 中，弦AB 长等于半径，E 为BA 延长线上一点，∠DAE＝80°，则∠ACD 的度数是( )A ．60°B ．50°C ．45°D ．30° 解析：∠BCD ＝∠DAE ＝80°，在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，AB ＝12AC ， ∴∠ACB ＝30°.∴∠ACD ＝80°－30°＝50°.答案：B3．如图所示，在半径为2 cm 的⊙O 内有长为2 3 cm 的弦AB .则此弦所对的圆心角∠AOB 为( )A ．60°B ．90°C ．120°D ．150° 解析：作OC ⊥AB 于C ，则BC ＝3，在Rt △BOC 中cos ∠B ＝BO OB ＝32. ∴∠B ＝30°.∴∠BOC ＝60°.∴∠AOB ＝120°.答案：C4.如图，已知⊙O 的半径为5，两弦AB 、CD 相交于AB 的中点E ，且AB ＝8，CE ∶ED ＝4∶9，则圆心到弦CD 的距离为( ) A.2143B.289C.273D.809 解析：过O 作OH ⊥CD ，连接OD ，则DH ＝12CD ， 由相交弦定理知，AE ·BE ＝CE ·DE .设CE ＝4x ，则DE ＝9x ，∴4×4＝4x ×9x ，解得x ＝23， ∴OH ＝OD 2－DH 2＝52－1332＝2143. 答案：A5.如图，PA 切⊙O 于A ，PBC 是⊙O 的割线，且PB ＝BC ，PA ＝32，那么BC 的长为( ) A. 3B ．2 3C ．3D ．3 3解析：根据切割线定理PA 2＝PB ·PC ， 所以(32)2＝2PB 2.所以PB ＝3＝BC .答案：C6．两个同心圆的半径分别为3 cm 和6 cm ，作大圆的弦MN ＝6 3 cm ，则MN 与小圆的位置关系是( )A ．相切B ．相交C ．相离D ．不确定 解析：作OA ⊥MN 于A .连接OM .则MA ＝12MN ＝3 3. 在Rt △OMA 中， OA ＝OM 2－AM 2＝3(cm)．∴MN 与小圆相切．答案：A7.如图，PAB ，PDC 是⊙O 的割线，连接AD ，BC ，若PD ∶PB ＝1∶4，AD ＝2，则BC 的长是( )A ．4B ．5C ．6D ．8解析：由四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形可得∠PAD ＝∠C ，∠PDA ＝∠B .∴△PAD ∽△PCB .∴PD PB ＝AD CB ＝14. 又AD ＝2，∴BC ＝8.答案：D8．已知⊙O 的两条弦AB ，CD 交于点P ，若PA ＝8 cm ，PB ＝18 cm ，则CD 的长的最小值为( )A ．25 cmB ．24 cmC ．20 cmD ．12 cm解析：设CD ＝a cm ，CD 被P 分成的两段中一段长x cm ，另一段长为(a －x ) cm.则x (a －x )＝8×18，即8×18≤(x ＋a －x 2)2＝14a 2. 所以a 2≥576＝242，即a ≥24.当且仅当x ＝a －x ，即x ＝12a ＝12时等号成立． 所以CD 的长的最小值为24 cm.答案：B9．如图，点C 在以AB 为直径的半圆上，连接AC 、BC ，AB ＝10，tan∠BAC ＝34，则阴影部分的面积为( ) A.252π B.252π－24 C ．24D.252π＋24 解析：∵AB 为直径，∴∠ACB ＝90°，∵tan ∠BAC ＝34， ∴sin ∠BAC ＝35. 又∵sin ∠BAC ＝BC AB，AB ＝10，∴BC ＝35×10＝6. AC ＝43×BC ＝43×6＝8，∴S 阴影＝S 半圆－S △ABC ＝12×π×52－12×8×6 ＝252π－24. 答案：B10．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，以A 为圆心、AC 为半径的圆交AB 于F ，交BA 的延长线于E ，CD ⊥AB 于D ，给出四个等式：①BC 2＝BF ·BA ；②CD 2＝AD ·AB ；③CD 2＝DF ·DE ；④BF ·BE ＝BD ·BA .其中能够成立的有( )A ．0个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：①②不正确，由相交弦定理知③正确，又由BC 2＝BE ·BF ，BC 2＝BD ·BA ，得BE ·BF ＝BD ·BA ，故④正确．答案：B二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，满分20分．把正确答案填写在题中的横线上)11．四边形ABCD 内接于⊙O ，若∠BOD ＝120°，OB ＝1，则∠BAD ＝________，∠BCD ＝________，BCD 的长＝________.解析：∠BAD ＝∠12BOD ＝60°， ∠BCD ＝180°－∠BAD ＝120°，由圆的半径OB ＝1，∠BOD ＝2π3， ∴BCD 的长为2π3. 答案：60° 120° 2π3 12．(陕西高考)如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF ⊥DB ，垂足为F ，若AB ＝6，AE ＝1，则DF ·DB ＝________.解析：由相交弦定理可知ED 2＝AE ·EB ＝1×5＝5，又易知△EBD 与△FED 相似，得DF ·DB ＝ED 2＝5.答案：513.如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，AC ，BC ，AB 分别与⊙O 切于点D ，E ，F ，∠C ＝90°，AD ＝3，⊙O 的半径为2，则BC ＝________.解析：如图所示，分别连接OD ，OE ，OF .∵OE ＝OD ，CD ＝CE ，OE ⊥BC ，OD ⊥AC ，∴四边形OECD 是正方形．设BF ＝x ，则BE ＝x .∵AD ＝AF ＝3，CD ＝CE ＝2，∴(2＋x )2＋25＝(x ＋3)2，解得x ＝10，∴BC＝12.答案：1214．如图，AB为⊙O的直径，CB切⊙O于B，CD切⊙O于D，交AB的延长线于E，若EA＝1，ED＝2，则BC＝________.解析：∵CE为⊙O的切线，D为切点，∴ED2＝EA·EB.又∵EA＝1，ED＝2，得EB＝4，又∵CB、CD均为⊙O的切线，∴CD＝CB.在Rt△EBC中，设BC＝x，则EC＝x＋2.由勾股定理得EB2＋BC2＝EC2.∴42＋x2＝(x＋2)2，得x＝3，∴BC＝3.答案：3三、解答题(本大题共4个小题，满分50分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)15．(本小题满分12分)如图，设AB为⊙O的任一条不与直线l垂直的直径，P是⊙O与l的公共点，AC⊥l，BD⊥l，垂足分别为C，D，且PC＝PD，求证：(1)l是⊙O的切线；(2)PB平分∠ABD.证明：(1)连接OP，因为AC⊥l，BD⊥l，所以AC∥BD.又OA＝OB，PC＝PD，所以OP∥BD，从而OP⊥l.因为P在⊙O上，所以l是⊙O的切线．(2)连接AP，因为l是⊙O的切线，所以∠BPD＝∠BAP.又∠BPD＋∠PBD＝90°，∠BAP＋∠PBA＝90°，所以∠PBA＝∠PBD，即PB平分∠ABD.16．(本小题满分12分)(2012·辽宁高考)如图，⊙O和⊙O′相交于A，B两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C，D两点，连结DB并延长交⊙O于点E.证明：(1)AC·BD＝AD·AB；(2)AC＝AE.证明：(1)由AC 与⊙O ′相切于A ，得∠CAB ＝∠ADB ，同理∠ACB ＝∠DAB ，所以△ACB ∽△DAB .从而AC AD ＝AB BD ，即AC ·BD ＝AD ·AB .(2)由AD 与⊙O 相切于A ，得∠AED ＝∠BAD ，又∠ADE ＝∠BDA ，得△EAD ∽△ABD .从而AE AB ＝AD BD，即AE ·BD ＝AD ·AB .结合(1)的结论，AC ＝AE .17.(本小题满分12分)如图，AB 为圆O 的直径，CD 为垂直于AB 的一条弦，垂足为E ，弦BM 与CD 交于点F .(1)证明：A ，E ，F ，M 四点共圆；(2)证明：AC 2＋BF ·BM ＝AB 2.证明：(1)连接AM ，则∠AMB ＝90°.∵AB ⊥CD ，∴∠AEF ＝90°.∴∠AMB ＋∠AEF ＝180°，即A ，E ，F ，M 四点共圆．(2)连接CB ，由A ，E ，F ，M 四点共圆，得BF ·BM ＝BE ·BA .在Rt △ACB 中，BC 2＝BE ·BA ，AC 2＋CB 2＝AB 2，∴AC 2＋BF ·BM ＝AB 2.18．(辽宁高考)(本小题满分14分)如图，EP 交圆于E ，C 两点，PD切圆于D ，G 为CE 上一点且PG ＝PD ，连接DG 并延长交圆于点A ，作弦AB垂直EP ，垂足为F .(1)求证：AB 为圆的直径；(2)若AC ＝BD ，求证：AB ＝ED .证明：(1)因为PD ＝PG ，所以∠PDG ＝∠PGD .由于PD 为切线，故∠PDA ＝∠DBA ，又由于∠PGD ＝∠EGA ，故∠DBA ＝∠EGA ，所以∠DBA ＋∠BAD ＝∠EGA ＋∠BAD ，从而∠BDA ＝∠PFA .由于AF ⊥EP ，所以∠PFA ＝90°，于是∠BDA ＝90°.故AB 是直径．文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。
4—1-第二讲直线和圆的位置关系-三圆的切线的性质及判定定理“十市联赛”一等奖
怎样辅导学习“切线的判定和性质”定理切线的判定和性质是《圆》一章中的重点内容．我在家庭辅导时，首先让学生弄清切线的判定和性质的区别，掌握切线的3种主要判定方法和5条主要性质．然后通过几个精选的例子来运用上面的知识．最后出示一组练习以检查学生是否真正掌握了主要知识．1．弄清主要内容切线的判定是用来判定一条直线是圆的切线，主要方法有：(1)和圆有唯一公共点的直线是圆的切线；(2)和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线；(3)经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．切线的性质主要有5个：(1)切线和圆有唯一公共点；(2)切线和圆心的距离等于圆的半径；(3)切线垂直于过切点的半径；(4)经过圆心垂直于切线的直线必过切点；(5)经过切点垂直于切线的直线必过圆心．在运用切线的判定和性质时，关键是让学生分清它们的题设和结论，知道什么情况下用判定，什么情况下用性质．如果已经知道直线过圆上某一点，辅助线是作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点不确定，辅助线是过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．当已知一直线是圆的切线时，作出过切线的半径，则半径垂直切线．2．例题精讲【例1】如图1，CO⊥AO且交⊙O于B，又E为⊙O上一点，AE交CO 于D，且CE＝CD．求证：CE是⊙O的切线．分析由于直线CE和⊙O有公共点E,为此连结OE，证OE⊥CE；在△ECD中，CE＝CD，∴∠CED＝∠CDE；在△AOE中,OE=OA，∴∠OEA= ∠A，∴∠OEA＋∠CED=∠A＋∠CDE=∠A+ ∠ODA=90°，于是OE⊥CE，CE 是⊙O的切线．[证明](略)【例2】如图2，已知梯形ABCD中，AB∥CD，∠A= 90°，BC是⊙O 的直径，BC＝CD＋AB．求证：AD是⊙O的切线．从而促使我们联想到作辅助线OE⊥AD于E．[证明](略)【例3】已知ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AD切⊙O于E．求证：BC和⊙O相切．分析过O作OF⊥BC,垂足为F,连结OE；则有∠AEO=∠CFO=90°，又∠1=∠2，OA=OC，所以Rt△AOE≌Rt△COF，则可得OF＝OE，于是⊙O与BC相切．[证明](略)3．巩固练习1．如图4，AB为⊙O的直径，AE⊥CE于E，BC的延长线交AE的延长线于F，若CE是切线，且AF＝BF，求∠A的度数．2．如图5，P为⊙O外一点，PO交⊙O于C，AB⊥OP于D，若∠PAC=∠CAD，求证：PA为⊙O的切线．3．如图6，AB是⊙O的直径，且AB=6，DE切⊙O于D，DE⊥BC，垂足为E，如果∠ABC＝120°，求四边形ABED的面积．。
高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定理自我小测
三圆的切线的性质及判定定理自我小测1．直线l与⊙O相切于点P,在经过点P的所有直线中，经过点O的直线有（)A．1条 B．2条 C．3条 D．无数条2．如图，PA为⊙O的切线,A为切点，PO交⊙O于点B，PA＝4，OA＝3，则cos∠APO的值为（)A．错误! B．错误! C．错误! D．错误!3．如图所示，AB与⊙O切于点B,AO＝6 cm，AB＝4 cm,则⊙O的半径r等于( ）A．4 5 cm B．2错误! cm C．2错误! cm D.错误! cm4．如图所示，AC与⊙O相切于点D，AO的延长线交⊙O于B，且BC与⊙O相切于B,AD＝DC，则错误!等于（）A．2 B．1 C．错误! D．错误!5．如图,PB与⊙O相切于点B，OP交⊙O于A，BC⊥OP于C，OA＝3,OP＝4，则AC等于( ）A．错误! B．错误!C．错误! D．不确定6．如图，⊙I是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E,F，若∠DEF＝50°，则∠A＝__________.7．如图,AB，AC是⊙O的两条切线，切点分别为B，C，D是⊙O上一点，已知∠BAC＝80°，那么∠BDC＝________。
8．在Rt△ABC中，AC⊥CB，AB＝12，AC＝6，以C为圆心，作与AB相切的圆C，求⊙C的半径r。
9．如图,已知两个同心圆O，大圆的直径AB交小圆于C，D，大圆的弦EF切小圆于C，ED交小圆于G.若小圆的半径为2，EF＝4错误!,试求EG的长．10．如图,⊙O内切于△ABC的边于点D,E,F,AB＝AC,连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G.（1)求证：圆心O在AD上；(2）求证：CD＝CG;（3)若AH∶AF＝3∶4，CG＝10,求HF的长．参考答案1．解析：过P且垂直于l的直线仅有1条,此时点O在该垂线上，故选A。
答案:A2．解析：∵PA为⊙O的切线，∴OA⊥PA。
∴OP＝OA2＋AP2＝32＋42＝5.在Rt△OAP中，cos∠APO＝错误!＝错误!。
4—1-第二讲直线和圆的位置关系-三圆的切线的性质及判定定理(市一等奖)
切线的判定和性质(二)一、教学目的1．使学生理解并记熟切线的性质定理及两个推论．2．使学生比较熟练地掌握切线的几个主要性质，并能正确地选用．3．通过切线性质定理的证明进一步巩固反证法．二、教学重点、难点重点：切线性质定理及其推论．难点：用反证法证明性质定理；定理的灵活运用．三、教学过程复习提问1．判断下列命题是否正确：(1)垂直于半径的直线是圆的切线．(2)经过半径外端的直线是圆的切线．2．判定直线和圆相切，常用的方法有哪些？引入新课我们已经掌握了切线的判定方法，现在再来研究一条直线与圆相切时它所具有的性质．新课让学生观察图7－40，如果直线AT是⊙O的切线，A为切点，那么OA 与AT有什么关系呢？学生容易得出AT⊥OA的结论，引导学生把这个事实准确地表述出来即得：切线的性质定理圆的切线垂直于过切点的半径．分析：要直接证明AT⊥OA比较困难，因此可用反证法来证明．这就要假设AT与OA不相垂直，则可作OM⊥AT如图7－41，经过推理推出AT 与⊙O相交而与AT是⊙O的切线相矛盾．推论1经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．推论2经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．分析：如图7－42，由于研究切线的性质，故圆心O、切线l、切点A 均为已知，由切线性质定理可知，OA⊥l，因为圆心O，切点A都是唯一的，所以必有：(1)过圆心必过切点；(2)过切点必过圆心．要使学生明确，切线性质有一个定理、两个推论，其中定理应用较多，应使学生切实掌握．实际上，(1)垂直于切线；(2)过切点；(3)过圆心，这三个性质中，任知其两个就可推出第三个．例2如图7－43，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，AD和过C点的切线互相垂直，垂足为D，求证：AC平分∠DAB．分析：欲证∠2=∠3，需找另一个角作媒介，使∠2，∠3都等于这个角．连结OC得∠1便得这个“媒介”角．小结1．切线的定义、判定和性质，是本单元的重点，也是圆这一章的重点之一，必须牢固掌握．2．记住已知切线时常添的辅助线：过切点的半径．练习：略作业：略四、教学注意问题1．切线的判定定理和性质定理容易混淆，要使学生分清判定定理和性质定理的题设和结论．注意在什么情况下用判定定理、在什么情况下用性质定理．2．已知一条直线是某圆的切线时，切点的位置一般是确定的，因此在写已知条件时，应写清楚直线与圆相切于哪一点，即注明切点．常用的辅助线是连结圆心和切点，得到过切点的半径．。
4—1-第二讲直线和圆的位置关系-三圆的切线的性质及判定定理全市一等奖
切线的判定和性质(一)一、教学目的1．使学生理解并记熟切线的判定定理．2．使学生掌握切线的三种判定方法：定义法、d=r法、利用判定定理．二、教学重点、难点重点：对切线判定定理的理解和证明．难点：切线判定定理的应用．三、教学过程复习提问1．直线和圆的位置关系有哪几种？什么叫做直线和圆相切？2．如何利用d，r的关系表示直线与圆的位置关系？反过来如何由直线和圆的位置关系，推出d，r的数量关系？引入新课系都能判定直线与圆相切．那么除此之外还有没有别的方法判定直线和圆相切呢？现在我们就着手寻求新的判定的方法．新课定理的引入．教师边叙述边画图7－37，在⊙O中，经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，那么直线l是否与⊙O相切呢？启发学生得出结论．由于圆心O到直线l的距离等于半径即d=r，所以直线l一定与圆相切．从而便可得到切线的判定定理——又一种判定切线的方法．1．切线的判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．对于这个定理应作如下认识：(1)定理中的条件：“经过半径外端”和“垂直于这条半径”这两个条件缺一不可，否则将不成为切线，让学生用反例来说明．(2)判定定理实际上是用上一节所讲d=r时直线和圆相切直接得出来的，只是为了便于应用才把它改写成上述定理的形式，因此定理不必另作证明．(3)掌握应用切线判定定理证明直线与圆相切时的两种思路：①先考虑垂直；②先考虑半径．2．切线判定定理的应用本定理主要用于判定直线与圆的相切．例1已知：直线经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB(图7－38)．求证：AB是⊙O的切线．分析：由于直线AB过⊙O上的点C，故连结OC．只要证出OC⊥AB即可．补充例题已知：梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，BC是⊙O的直径，BC=CD+AB(图7－39)．求证：⊙O与AD相切．小结1．判定直线与圆相切有三种方法：(1)根据切线定义来判定，名为“定义法”．这是判定直线与圆相切的基本方法，也是证明其它切线判定定理的依据，但有时不好判定直线与圆有公共点．(2)根据圆心到直线的距离来判定，名为“d=r法”．当已知条件中没有明确给出直线和圆有公共点时，常用此法．所用到的辅助线是过圆心作这直线的垂线．(3)利用切线的判定定理来判定．当已知条件中，直线和圆已有一个公共点时常用此法．常用的辅助线是连结圆心和这个公共点，即半径．然后证明这条半径和直线垂直．可根据问题特点，因题制宜，灵活选用其中之一．练习：略作业：略思考题：略四、教学注意问题1．切线判定定理中的两个条件不得缺任何一个．2．证明直线与圆相切时，要注意纠正没有证明即先说某点是切点的错误．。
高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定理课堂探究新人教A版选修4-1
三圆的切线的性质及判定定理课堂探究探究一圆的切线的性质的应用利用圆的切线的性质来证明或进行有关的计算时，连接圆心和切点的半径是常用辅助线．【典型例题1】如图所示，AB为⊙O的直径，BC，CD为⊙O的切线，B，D为切点，(1)求证：AD∥OC；(2)若⊙O的半径为1，求AD·O C的值．思路分析：(1)要证AD∥OC，由于AB是⊙O的直径，所以BD⊥AD.故可转化为证明BD ⊥OC；(2)由AD·OC可以联想到△ABD∽△OCB，利用等积式转化线段间的关系．(1)证明：如图，连接OD，BD.∵BC，CD是⊙O的切线，∴OB⊥BC，OD⊥CD.∴∠OBC＝∠ODC＝90°.又∵OB＝OD，OC＝OC，∴Rt△OBC≌Rt△ODC.∴BC＝CD.又∵OB＝OD，∴OC⊥BD.∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD.∴AD∥OC.(2)解：∵AD∥OC，∴∠A＝∠BOC.又∠ADB＝∠OBC＝90°，∴△ABD∽△OCB.∴ABOC＝ADOB.∴AD·OC＝AB·OB＝2×1＝2.点评若题目中有圆的切线，则首先想到的是连接圆心和切点构造垂直关系．探究二圆的切线的判定在不知道圆与直线是否有公共点的情况下，通常过圆心作直线的垂线段，然后证垂线段的长等于半径，即“作垂直，证半径”，这是证直线与圆相切的常用方法之一．【典型例题2】如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF交⊙O于点E，过E作直线与AF 垂直，交AF的延长线于点D，且交AB的延长线于点C.求证：CD是⊙O的切线．分析：连接OE，只需证明OE⊥CD即可．证明：如图，连接OE.∵OA＝OE，∴∠1＝∠2.又∵AE平分∠BAF，∴∠2＝∠3.∴∠1＝∠3.∴OE∥AD.∵AD⊥CD，∴OE⊥CD.∴CD与⊙O相切于点E.规律小结定理法判定圆的切线是平面几何中最常用的方法．这种方法的步骤是：①连接圆心和公共点；②转化为证明直线过公共点且垂直于所连线段．由此看出，证明圆的切线可转化为证明直线垂直．。
高中数学 第二章 直线与圆的位置关系 三 圆的切线的性质及判定定理素材 新人教A版选修41
三圆的切线的性质及判定定理
一览众山小
学习目标
1.理解切线的性质定理与判定定理，并能应用它们证明有关问题.
2.掌握切线的判定的三种方法，并能灵活应用这三种方法判定直线与圆相切.
3.在利用性质与判定定理解题的过程中，体会数学中的转化思想.
学法指导
对于直线和圆的三种位置关系的判定，一种是根据公共点的个数来判定，另一种是根据d与r的关系来判定.对直线和圆三种位置关系定义的理解，特别是“相切”的定义，要分清直线与圆有唯一公共点是指有一个并且只有一个公共点，与有一个公共点含义不同.着重理解为什么要以圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系来区分、理解三种位置关系.熟练掌握圆的切线的判定定理和性质定理及两个推论，并能应用它们进行证明、计算.正确区分切线的判定定理和性质定理的条件和结论.
诱学导入
材料：在⊙O中，如果经过半径OA的外端点A作直线l⊥OA，那么圆心O与直线l的距离等于半径r，也就是直线l一定是⊙O的切线.
问题：一条直线在满足什么条件时才是圆的切线呢?
导入：（1）经过半径外端；（2）垂直于这条半径.
1。
2021学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系三圆的切线的性质及判定定理课件新人教A版选修4_1
(1)证明 如图，连接 OA， ∵OC＝BC，AC＝12OB，∴OC＝BC＝CA＝OA， ∴△ACO 为正三角形，∴∠O＝60°，∴∠B＝30°， ∴∠OAB＝90°，∴AB 为⊙O 的切线. (2)解 ∵∠ACD＝45°，∴Rt△ACE 中，AE＝EC， 又∵△ACO 为正三角形，∴AE＝EC＝ 22AC＝ 2， 又∵CD＝12∠AOC＝30°，在 Rt△AED 中， DE＝ 3AE＝ 6，∴CD＝CE＋DE＝ 2＋ 6.
要点三 圆的切线的判定与性质定理的综合应用 例 3 如图所示，正方形 ABCD 是⊙O 的内接正方形，延
长 BA 到 E，使 AE＝AB，连接 ED. (1)求证：直线 ED 是⊙O 的切线. (2)连接 EO 交 AD 于点 F，求证：EF＝2FO.
证明 (1)如图所示，连接 OD.∵四边形 ABCD 为正方形， AE＝AB，∴AE＝AB＝AD，∠EAD＝∠DAB＝90°. ∴∠EDA＝45°，又∠ODA＝45°.∴∠ODE＝∠ADE＋ ∠ODA＝90°.∴直线 ED 是⊙O 的切线. (2)如图所示，作 OM⊥AB 于 M.∵O 为正方形 ABCD 的中心， ∴M 为 AB 的中点.∴AE＝AB＝2AM，又 AF∥OM， ∴FEOF＝AAME ＝2，∴EF＝2FO.
解析 由图①②③可知，根据选项A，B，C中的条件都不 能判定AB⊥CD；因为圆的切线垂直于经过切点的半径，所 以选项D正确(如图④).
答案 D
3.如下图，DB，DC是⊙O的两条切线，A是圆上 一点，∠D＝46°，那么∠A＝________.
解析 如图②所示，连接 OB，OC，则 OB⊥BD， OC⊥CD，故∠DBO＋∠DCO＝90°＋90°＝ 180°，则四边形 OBDC 内接于一个圆.则有 ∠BOC＝180°－∠D＝180°－46°＝134°， 所以∠A＝12∠BOC＝12×134°＝67°.
高中数学第二讲直线与圆的位置关系2.3圆的切线的性质及判定定理a41a高二41数学
(1)求∠P的度数;(2)求DE的长.
12/13/2021
探究一
探究二
探究三
解(1)
如图,连接 OC,∵点 C 为切点,∴OC⊥PC,∴△POC 为直角三角
形.
∵OC=OA=1,PO=PA+AO=2,∴sin P=
1
2
= ,故∠P=30°.
1
2
3
4
5
3.如图所示,直线AB与☉O相切于点P,CD是☉O的直径,C,D与AB的
距离分别为4 cm,2 cm,则☉O的半径为
.
解析利用圆的切线及梯形中位线的知识可知☉O 的半径为
1
OP= (AC+BD)=3
2
答案 3 cm
12/13/2021
cm.
1
2
3
4
5
4.如图所示,DB,DC是☉O的两条切线,A是圆上一点,已知∠D=46°,
积式转化线段间的关系.
12/13/2021
探究一
探究二
探究三
(1)证明
如图,连接OD,BD.
∵BC,CD是☉O的切线,∴OB⊥BC,OD⊥CD.
∴∠OBC=∠ODC=90°.
又∵OB=OD,OC=OC,
∴Rt△OBC≌Rt△ODC.
∴BC=CD.又∵OB=OD,∴OC⊥BD.
∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°,
为☉O的直径.求证:☉O与CD相切.
证明 过O作OE⊥CD,垂足为E.
因为AD∥BC,∠C=90°,所以AD∥OE∥BC.
因为O为AB的中点,所以E为CD的中点.
1
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三 圆的切线的性质及判定定理
自我小测
1．直线l 与⊙O 相切于点P ，在经过点P 的所有直线中，经过点O 的直线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条 D ．无数条
2．如图，PA 为⊙O 的切线，A 为切点，PO 交⊙O 于点B ，PA ＝4，OA ＝3，则cos ∠APO 的值为( )
A ．34
B ．35
C ．45
D ．43
3．如图所示，AB 与⊙O 切于点B ，AO ＝6 cm ，AB ＝4 cm ，则⊙O 的半径r 等于( )
A ．4 5 cm
B ．2 5 cm
C ．213 cm D.13 cm
4．如图所示，AC 与⊙O 相切于点D ，AO 的延长线交⊙O 于B ，且BC 与⊙O 相切于B ，AD ＝DC ，则AO OB
等于( )
A ．2
B ．1
C ．12
D ．4
3
5．如图，PB 与⊙O 相切于点B ，OP 交⊙O 于A ，BC ⊥OP 于C ，OA ＝3，OP ＝4，则AC 等于( )
A ．34
B ．43
C ．3
5
D ．不确定 6．如图，⊙I 是△ABC 的内切圆，与AB ，BC ，CA 分别相切于点D ，
E ，
F ，若∠DEF ＝50°，则∠A ＝__________.
7．如图，AB ，AC 是⊙O 的两条切线，切点分别为B ，C ，D 是⊙O 上一点，已知∠BAC ＝80°，那么∠BDC ＝________.
8．在Rt △ABC 中，AC ⊥CB ，AB ＝12，AC ＝6，以C 为圆心，作与AB 相切的圆C ，求⊙C 的半径r .
9．如图，已知两个同心圆O ，大圆的直径AB 交小圆于C ，D ，大圆的弦EF 切小圆于C ，
ED 交小圆于G .若小圆的半径为2，EF ＝43，试求EG 的长．
10．如图，⊙O 内切于△ABC 的边于点D ，E ，F ，AB ＝AC ，连接AD 交⊙O 于点H ，直线
HF 交BC 的延长线于点G .
(1)求证：圆心O在AD上；
(2)求证：CD＝CG；
(3)若AH∶AF＝3∶4，CG＝10，求HF的长．
参考答案
1．解析：过P 且垂直于l 的直线仅有1条，此时点O 在该垂线上，故选A. 答案：A
2．解析：∵PA 为⊙O 的切线， ∴OA ⊥PA .
∴OP ＝OA 2
＋AP 2
＝32
＋42
＝5. 在Rt △OAP 中，cos ∠APO ＝PA OP ＝45
. 答案：C
3．解析：如图，连接OB ，则OB ＝r 且OB ⊥AB ，
故OB ＝r ＝OA 2
－AB 2
＝36－16＝25(cm)． 答案：B
4．解析：如图所示，连接OD ，OC .
∵AC ，BC 是切线， ∴OD ⊥AC ，OB ⊥BC . 又AD ＝DC ，
∴△OAC 是等腰三角形． ∴OA ＝OC .∴∠A ＝∠OCD .
又OC ＝OC ，OD ＝OB ，∴△OBC ≌△ODC . ∴∠OCD ＝∠OCB .∴∠BCA ＝2∠A . ∴∠A ＋∠BCA ＝3∠A ＝90°. ∴∠A ＝30°.∴AO OB ＝AO OD ＝1
sin 30°
＝2.
答案：A
5．解析：如图，连接OB ，则OB ⊥PB ，OB ＝OA ＝3.又BC ⊥OP ，
∴在Rt △OBP 中，有OB 2
＝OC ·OP .
∴OC ＝OB 2OP ＝OA 2OP ＝94
.
∴AC ＝OA －OC ＝3－94＝3
4.
答案：A
6．解析：连接DI ，FI .∵∠DEF ＝50°，
∴∠DIF ＝100°.
又∵AD ，AF 为⊙I 的切线， ∴DI ⊥AD ，FI ⊥AF . ∴∠ADI ＝∠AFI ＝90°. ∴在四边形ADIF 中，
∠A ＝360°－∠ADI －∠AFI －∠DIF ＝360°－90°－90°－100°＝80°. 答案：80°
7．解析：∵AB ，AC 是⊙O 的切线， ∴OB ⊥AB ，OC ⊥AC . ∴∠ABO ＋∠ACO ＝180°. ∴∠BAC ＋∠BOC ＝180°. 又∠BAC ＝80°，∴∠BOC ＝100°. ∴∠BDC ＝1
2∠BOC ＝50°.
答案：50°
8．解：如图，设切点为D ，连接CD ，
则CD ⊥AB ，CD ＝r . ∵AC ⊥CB ，∴CD 2
＝AD ·BD . 又AB ＝12，AC ＝6，AC 2
＝AD ·AB ，
∴AD ＝AC 2AB ＝62
12
＝3.
∴BD ＝AB －AD ＝12－3＝9. ∴CD 2
＝3×9＝27，∴CD ＝3 3. 9．解：如图，连接GC .
∵CD 为小圆的直径，∴GC ⊥ED . ∵EF 切小圆于C ，∴EF ⊥OC . 在大圆中，EC ＝12EF ＝1
2×43＝2 3.
在Rt △DEC 中，ED ＝EC 2
＋CD 2
＝ 23 2
＋42
＝27. ∵EF ⊥DC ，GC ⊥ED ，
∴由直角三角形的射影定理可知，EC 2
＝EG ·ED .
∴EG ＝EC 2ED ＝ 23 227
＝67
7.
10．(1)证明：由题意知AE ＝AF ，CF ＝CD ，BD ＝BE ， 而AB ＝AC ， ∴CD ＝CF ＝BE ＝BD . ∴D 为BC 中点， ∴AD 是∠BAC 的平分线，
∴圆心O 在AD 上．
(2)证明：连接DF .∵O 在AD 上，
∴DH 为直径，∴∠DFH ＝90°. ∵CF ＝CD ，∠CFD ＝∠FDC ，
∴∠G ＝90°－∠FDC ＝90°－∠CFD ＝∠CFG ， ∴CG ＝CF ，∴CG ＝CD .
(3)解：∵∠AFH ＝90°－∠CFD ＝90°－∠FDC ＝∠FDA ， 又∠FAD 为公共角，则△AHF ∽△AFD .
∴FH FD ＝AH AF ＝34
. ∴在Rt △HFD 中，FH ∶FD ∶DH ＝3∶4∶5. ∵△HDF ∽△DGF ， ∴DF ∶GF ∶DG ＝3∶4∶5. 又∵CG ＝10，∴GD ＝20. ∴DF ＝3×20×1
5＝12，
∴FH ＝3
4
FD ＝9.。