(完整word版)衡水中学度第一学期期末考试高一数学试题

河北省衡水中学2008-2009学年度第一学期期末考试高一数学试题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共150分。

考试时间120分钟。

第I 卷 （选择题 共60分）
一、 选择题：（本大题共12小题，在每个小题所给出的四个选项中，有且只有一个是正确的，
请将正确的选项选出，将其代码填涂到答题卡上.每小题5分，共60分）
1. 设集合A 、B 是全集U 的两个子集，则A B 是U B A C U =Y )(的 A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件C 、充要条件 D 、既不充分也不必要条件
2. 设0ab ≠，化简式子(
)()()
6
153
122
2
133
ab b
a
b
a ••--的结果是
A 、1ab -
B 、()1
ab - C 、a D 、1a -
3. 设1a <-，则关于x 的不等式()10a x a x a ⎛⎫
--
< ⎪⎝
⎭
的解集为 A 、1,x x a x a ⎧⎫<>⎨⎬⎩⎭或 B 、1x x a a ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭
C 、1,x x a x a ⎧⎫><⎨⎬⎩⎭或
D 、1x a x a ⎧⎫
<<⎨⎬⎩
⎭
4. 定义在R 上的函数()y f x =在()0,2上单调递减，其图象关于直线2x =对称，则下列式子
可以成立的是
A 、()15322f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
B 、()51322f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
C 、()15322f f f ⎛⎫⎛⎫
<<
⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
D 、()51322f f f ⎛⎫⎛⎫
<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
5. 如果函数()1
2x f x a
-=+的反函数的图象经过定点P ，那么P 点的坐标为
A 、()2,5
B 、()1,3
C 、()5,2
D 、()3,1
6. 若一个等差数列前三项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列
有
A 、13项
B 、12项
C 、11项
D 、10项 7. 函数22
12x x y -++⎛⎫=
⎪⎝⎭
的单调增区间是
⊂
≠
A 、1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦ B 、1,2⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭ C 、[)2,+∞ D 、(],1-∞-
8. 若方程2
50x x m -+=与2
100x x n -+=的四个根适当排列后，恰好组成一个首项为1的等
比数列，则
m
n
的值为 A 、4 B 、2 C 、12 D 、1
4
9. 函数()221y x x x =-≤的反函数为
A
、()11y x =≥- B
、()11y x =≥- C
、)11y x =≥- D
、)11y x =-≥-
10. 对任意实数x ，若不等式21x x k --+<恒成立，则实数k 的取值范围是
A 、3k ≥
B 、3k >
C 、3k ≤-
D 、3k <-
11. 已知()()()()
3141log 1a a x a x f x x x -+<⎧⎪=⎨
≥⎪⎩是R 上的减函数，那么a 的取值范围是
A 、()0,1
B 、10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭
C 、11,73⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D 、1,17⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
12. 若数列{}n a 满足
32
1n n n n
a a k a a +++⋅=⋅(k 是常数，*n N ∈)，则称{}n a 为邻积等比数列。

如果甲：
数列{}n a 是邻积等比数列；乙：数列{}n a 是等比数列，那么
A 、甲是乙的充分条件但不是必要条件
B 、甲是乙的必要条件但不是充分条件
C 、甲是乙的充要条件
D 、甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
第II 卷 （非选择题 共90分）
二、
填空题：（本题共4个小题，请将正确答案填在横线上。

每小题5分，共20分）
13. 函数()
22log 65y x x =-+的值域为__________ 14. 已知110lg lg lg lg 1032
=++++x x x
x Λ，则()()()=++++10
3
2
lg lg lg lg x x x x Λ
15. 已知()f x
是指数函数，且(
(119f f +⋅=
，则(
(22f f +⋅的值为
________
16. 定义在*
N 上的函数()x f ，满足()11=f ，且()()()1
,21, f x x f x f x x ⎧⎪+=⎨⎪⎩
为偶数为奇数，则
()=22f _______
三、解答题：（本题共6个小题，共70分） 17. （本小题满分10分）计算：
（1）
2lg 2lg3
111lg 0.36lg823
+++
（2
）1
1
203
217(0.027)
()(2)1)79
----+-
18. （本小题满分12分）
已知命题1
:()p f
x -是()13f x x =-的反函数，且()12f a -<，命题:q 集合
(){}2|210,,A x x a x x R =+++=∈{}Φ=>=B A x x B I 且,0|,求实数a 的取值范
围，使命题,p q 中有且只有一个是真命题.
19. (本题满分12分)
已知函数)11lg(21)(x
x x f +-+=
（1）求此函数的定义域；
（2）判断该函数的单调性并用定义证明； （3）解关于x 的不等式2
1
)]21([<-x x f .
20. （本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列{}n a 中，11=a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*
N n ∈，有
)(222
R p p pa pa S n n n ∈-+=
（1）求常数p 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）记433
n
n n S b n =
⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
21. （本小题满分12分）
为了治理沙尘暴，西部某地区政府经过多年努力，到 底，当地沙漠绿化了40%，从 开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积超过
50%？（可参考数据lg 20.3=，最后结果精确到整数.）
22. （本小题满分12分）
设二次函数()2f x ax bx c =++满足条件：
①当x ∈R 时，)2()4(x f x f -=-；②当x ∈()2,0时，21
()2
x f x +≤，且()f x x ≥；
③()x f 在R 上的最小值为0． （1）求()f x 的解析式；
（2）是否存在实数m ，使函数()()(1)g x f x m x =--4
1
≥在区间[],2m m +恒成立？若存在，求m 的取值范围，若不存在，请说明理由．
河北衡水中学2008-2009学年度第一学期期末考试
高一数学答案
1-5 ACADD 6-10 ABDCB 11-12 CB
13. 答：R 14. 答：1122- 15. 答：81 16. 答：10
11
21024
= 17（本小题满分10分）计算：
（1）
2lg 2lg3
111lg 0.36lg823
+++ =1……………………………….5分
（2
）1
1
203
217(0.027)
()(2)1)79----+- = －45 …………………….10分
18（本小题满分12分）
已知命题1
:()p f
x -是()13f x x =-的反函数，且()12f a -<，命题:q 集合
(){}2|210,,A x x a x x R =+++=∈{}Φ=>=B A x x B I 且,0|,求实数a 的取值范
围，使命题,p q 中有且只有一个是真命题. 解：若1
()f
x -是()13f x x =-的反函数，则11()3
x
f x --=
由()12f a -<得
123
a
-<即57a -<<-------------3分 若(){}
2|210,,A x x a x x R =+++=∈{}Φ=>=B A x x B I 且,0| 则A 中的方程无解或两根都是非正根
即2
(2)40a ∆=+-<或2(2)40(2)010a a ⎧∆=+-≥⎪-+≤⎨⎪≥⎩
解得4a >---------------6分
因为p ，q 中有且只有一个是真命题，即“p 真q 假”或“q 真p 假” ，
所以5757
,44a a a a a -<<≤-≥⎧⎧⎨
⎨≤->-⎩⎩
或或-----------10分 即547a a -<≤-≥或 -----------12分
19(本题满分12分)
已知函数)11lg(21)(x
x x f +-+=
（1）求此函数的定义域；
（2）判断该函数的单调性并用定义证明； （3）解关于x 的不等式2
1)]21([<-x x f . 解：(1)由
011>+-x
x
，得11<<-x ， ∴函数()x f 的定义域为(－1，1)；…………………….2分 (2)证法一：设1211x x -<<<，则
()()()()()()()()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+-+=-++-=⎥
⎦⎤
⎢⎣
⎡+-+-⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-+=-211
221212*********lg 1111lg 11lg 2111lg 21x x x x x x x x x x x x x f x f ………………………….4分 ∵1211x x -<<<，
∴01,01,02112>->+>-x x x x ， ∴()()
1111211
2>-+-+
x x x x ，
∴()()0111lg 211
2>⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+-+
x x x x ，
∴()()21x f x f >，………………………………………….6分 ∴()x f 在（－1,1）上是减函数………………………………………7分 证法二：设1211x x -<<<，则
()()()()()()121212121212211111lg lg 21211111lg lg 1111x x f x f x x x x x x x x x x x ⎡⎤⎡⎤
---=+-+⎢⎥⎢⎥
++⎣⎦⎣⎦
-+⎛⎫-+==⋅ ⎪
+--+⎝⎭
∵1211x x -<<<，∴2111x x -<-<-<， ∴12210112,0112x x x x <+<+<<-<-<
∴
1221111,111x x x x -+>>-+，即12
21
11111x x x x -+⋅>-+， ∴122111lg 011x x x x ⎛⎫
-+⋅>
⎪-+⎝⎭
，即()()12f x f x >，
∴()f x 在（－1,1）上是减函数。

（3）∵()2
10101lg 210=+-+=
f ，…………………………………..8分 ∴原不等式可化为()021f x x f <⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛
-
， 又()x f 在（－1,1）上是减函数，
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>⎪⎭⎫ ⎝
⎛-<⎪⎭⎫ ⎝⎛-<-0
211211x x x x ，……………………………………………….10分
由此解得
04171<<-x 或4
17
121+<<x ， ∴不等式的解集为⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧+<<<<-41712104171|
x x x 或……………………12分 20（本小题满分12分）
已知各项均为正数的数列{}n a 中，11=a ，n S 是数列{}n a 的前n 项和，对任意*
N n ∈，有
)(222
R p p pa pa S n n n ∈-+=
（1）求常数p 的值；
（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）记433
n
n n S b n =
⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 解：（1）由p pa pa S a n n n -+==2
1221及，得
1,22=∴-+=p p p p …………………………………2分
（2）由,1222
-+=n n n a a S ① 得)2(,12212
11≥-+=---n a a S n n n ②
① - ②得12
12)(22---+-=n n n n n a a a a a
0)122)((11=--+∴--n n n n a a a a ………………………4分
由于数列{}n a 各项均为正数，2
1
,012211=
-=--∴--n n n n a a a a 即)2(≥n ∴数列{}n a 是首项为1，公差为
21
的等差数列…………………………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为2
1
+=n a n ……………………………7分
（3）由(2)得(3)
4
n n n S +=
4333
n
n n n S b n n ∴=⋅=⋅+ ………………………………………………8分
213233n n T n ∴=⨯+⨯++⨯L 231313233n n T n +∴=⨯+⨯++⨯L
113
2()3,22
n n T n +∴-=---……………………………………10分
1(21)3344
n n n T +-=+即…………………………………………12分
21（本小题满分12分）
为了治理沙尘暴，西部某地区政府经过多年努力，到 底，当地沙漠绿化了40%，从 开始，每年将出现这种现象：原有沙漠面积的12%被绿化，即改造为绿洲（被绿化的叫绿洲），同时原有绿洲面积的8%又被侵蚀为沙漠，问至少经过几年的绿化，才能使该地区的绿洲面积
超过50%？（可参考数据lg 20.3=，最后结果精确到整数.） 解：设从 开始每年改造后该地区的绿洲面积构成数列{}n a
则 底该地区的绿洲面积为111
(140%)12%(18%)40%25a =-+-=………2分 经过n 年后绿洲面积为11(1)12%(18%)n n n a a a --=-+-即143
(2)525
n n a a n -=+≥
整理得1343
()(2)555
n n a a n --=-≥…………………………………4分
所以344
5255
n a ⎧⎫--⎨⎬⎩⎭
是一个以首项，为公比的等比数列 所以134414
)()525555n n n a --
=--=-（ 即143
()555
n n a =-+…………………………………………………6分
由11431,()25552n n a >
-+>即得41
()52
n <………………………………8分 41
lg()lg 52
n <即lg 213lg 2n >
-…………………………………10分 0.3
3130.3
n >
=-⨯………………………………………11分
所以至少经过4年才能使该地区的绿洲面积超过50%…………………………12分 22（本小题满分12分）
设二次函数()2f x ax bx c =++满足条件：
①当x ∈R 时，)2()4(x f x f -=-；②当x ∈()2,0时，21
()2
x f x +≤，且()f x x ≥；
③()x f 在R 上的最小值为0． （1）求()f x 的解析式；
（2）是否存在实数m ，使函数()()(1)g x f x m x =--4
1
≥在区间[],2m m +恒成立？若存在，求m 的取值范围，若不存在，请说明理由． 解：(1) ∵f (x -4)=f (2-x )，∴函数的图象关于x = -1对称，∴12-=-
a
b
即b =2a ………1分 由③知当x = -1时, y =0，即a -b +c =0； …………………………….2分 由②得 f (1)≤1. f (1)≥1∴f (1)=1，即a +b +c =1，…………………………….3分
∴a =
41 b =21 c =41
， ∴f (x )=4
1
21412++x x …………………………….6分
（2）设2113
()()()442
h x g x x m x =-=+-，其图象的对称轴23x m =-
则原题转化为()0h x ≥在[],2m m +恒成立…………………………8分 ①当23m m -<，即3m <时，由()0h m ≥解得02m ≤≤……………9分
②当232m m ->+，即5m >时，由(2)0h m +≥解得8
23
m -≤≤（舍）………….10分 ③当232m m m ≤-≤+，即35m ≤≤时，由(23)0h m -≥解得3
2
m =（舍）…………11分
综上：m 的取值范围为02m ≤≤…………………………….12分。