常见离散型分布

n
n
1
k e k!
例2.4.6 例2.4.7 例2.4.8
五、超几何分布 X ~ h(n, N, M )
无放回抽样 X表示不合格产品数
分布列
P( X
k)
CMk
C
nk N M
C
n N
k 0,1,...,r min(n, M )
正则性
r
CMk
C
nk N M
1
k 0
C
n N
M
期望
EX n N
§2.4 常见离散型分布
刘妍丽主讲
一、单点分布（退化分布）
分布列 P（X=a）=1 期望 EX=a 方差 VarX=0
一次实验中事件A发生的次数X ~ b(1, p)
二、两点分布（0-1分布）EX p VarX pq
分布列 X P
0
1
1-p
p
P( X k) C1k p k (1 p)1k k 0,1
X ~ h(n, N, M ) X ~ b(n, p)
p M n N N
EX 2
r
k2
C
k M
C
nk N M
r
(k(k
1)
k)
C
k M
C nk N M
r
(k(k
1))
M k
(M 1) (k 1)
C C k 2 (n2)(k 2) M 2 (N 2)(M 2)
nM
k 0
C
n N
k 1
EX
r
k
C
k M
C nk N M
k 0
C
n N
r
M k 1 (n1)(k 1) k k C C M 1 ( N 1)(M 1)
k 1
N n
C n1 N 1
nM N
~ h(n 1, N 1, M 1)
VarX n M N M N n N N N 1
EX 2 VarX (EX )2
•超几何分布的近似分布
X表示n次试验中，事件A发生的次数 X取值0,1,2,..., n n
2、正则性
Cnk p k (1 p)nk 1
k 0
{X n}独立同分布 ， 第i次试验事件 A发生的次数 X i ~ b(1, p), 则X X1 X 2 ... X n
3、期望 EX nEX i np
4、方差 VarX nVarX i npq
k)
C r1 k 1
p
r 1
(1
p) k r
p
C r1 k 1
p
r
(1
p) k r
k r, r 1,...
•正则性
C
r 1 k 1
p
r
(1
p)kr
1
k r
X X1 X 2 ... X r {X r }独立同分布同为 Ge( p), X i表示Ai首次发生的试验次数
•期望
r EX rEX i p
… A1 … A2 … … Ar
•方差
VarX
rVarX i
rq p2
X1
X2
Xr
END
X
例2.4.8
设备故障相互独立，故障率p=0.01 （1）X表示20台设备中的故障台数，则 X~b(20,0.01)~P(0.2) P(X>1)=1-P(X≤1)=1-0.982=0.018 （2）Y表示90台设备中的故障台数，则 Y~b(90,0,01)~P(0.9) P(Y>3)=1-P(Y ≤3)=1-0.987=0.013
5、二项分布的近似分布 图2.4.1
X ~ P() np
n充分大，p很小 泊松定理
X ~ N (, 2 ) np 2 npq np 5 nq 5 极限定理
例2.4.1 例2.4.2 例2.4.3
四、泊松分布 X ~ P() EX VarX
分布列 正则性
P(X k) k e
正则性
1
1
P( X k) C1k p k (1 p)1k 1
k 0
k 0
期望
EX p
方差
VarX EX 2 (EX )2 p p 2 pq
三、二项分布 X ~ b(n, p) EX np VarX npq
1、分布列
P( X
k
)
C
k n
p
k
(1
p)nk
k 0,1,2,..., n
n
n(n 1)...( n k 1) p k (1 p)nk k!
lim
n(n 1)...( n k 1) ( )k (1 )nk (np )
n
k!
n
n
n1
k 1
lim n
n
(1
n
)...(1
) 1 n
lim(1 1)x e
x
x
lim
k
n
n 1
...
n
k
1
(1
)
nk ()
n k! n n
k2 (k 2)!
k1 (k 1)!
VarX EX 2 (EX )2
图2.4.2 例2.4.4 例2.4.5
泊松定理（二项分布近似于泊松分布）
lim n
C
k n
p
k
(1
p)nk
k e
k!
(np )
X ~ P()
X ~ b(n, p)
lim lim 证明：
n
Hale Waihona Puke Baidu
C
k n
pk
(1
p) nk
1 p
2q p2
1 p
几何分布的无记忆性
P(X m n | X m) P(X n)
P( X
mn|
X
m)
P(X m n) P(X m)
(1 p)mn (1 p)m
(1
p)n
P(X
n)
七、负二项分布 X ~ Nb(r, p)
•第r次A发生时的总试验次数X
•分布列
P( X
C
n N
k 2
N (N 1) n(n 1)
C
n2 N 2
N
n(n 1)M (M 1) n M
N (N 1)
N
六、几何分布 X ~ Ge( p)
首次击中的试验次数X
分布列 P( X k) (1 p)k1 p k 1,2,...
正则性 (1 p) k 1 p 1 k 1
期望 EX 1
p
EX
k(1
k 1
p)k1 p
k 0
(q
k
)p
1
1
q
p
p (1 q)2
1 p
方差
q VarX
p2
EX 2 VarX (EX )2
EX
2
k 2 (1
k 1
p) k 1
p
(k(k
k 1
1) k)(1
p) k 1
p
k 0
pq(q k )
1 p
pq
1
1
q
1 p
2 pq (1 q)3
k
e
k!
1
k0 k!
k 0,1,2,..
期望 EX
EX
k k
e
k0 k!
k 1
e
k1 (k 1)!
方差 VarX
Y ~ P()
EX 2 k 2 k e k
k
e ((k 1) 1)
k
e
k
e
k e 2
k0 k!
k1 (k 1)!
k 1
(k 1)!
（3）Z表示500台设备中的故障台数，则 Z~b(500,0.01)~P(5) P(Z>10)=1-P(Z≤10)=1-0.986=0.014
例2.4.7
n=10000,每人交纳200元，死亡获100000元， 生死率p=0.001