8 二维随机变量的联合分布与边缘分布
二维离散型随机变量及其分布
j 1
P{ ( X xi , Y y j )} P{ X xi , Y y j } pij
j 1 j 1 j 1
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
所以,关于X的边缘分布律为：
X
pi.
x1
x2 …
xi …
pi. …
p1. p2. …
关于Y的边缘分布律为：
Y p.j y1 p.1 y2 … yj …
p.2 … p.j …
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
[例2]见例1，试求（X,Y）关于X和关于Y的边缘 分布律。
1 2/5
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
联合分布律 边缘分布律
Two-dimension Discrete Random Variable and Distribution
1、统计学中有两种抽样：不放回抽样和有放 回抽样。将例1中“不放回地取两次球”改为 “有放回地取两次球”，试求（X,Y）的联合分 布律、（X,Y）分别关于X,Y的边缘分布律及判断 X,Y是否相互独立？ 2、上述我们解决了：已知二维离散型随机变 量（X,Y）的联合分布律，如何求（X,Y）关于X 或关于Y的边缘分布律的问题。那么，已知X,Y的 边缘分布律，能否求（X,Y）的联合分布律呢？
0, Y 1,
表示第二次取红球 表示第二次取白球
第二节 边缘分布
y
dy
0 0
cxe
y
x
dx
c 2
0
y e
2
y
dy
c 2
xe y f x， y 0
0 x y 其它
2 c
所以，
⑵．当 x 0 时，
f X x
c 1
f x ， y dy
x>0,y>0 其它
求边缘分布函数 解： FX(x)= F(x, +∞)
1 e x 0,
x>0, 其它
FY(y)＝
1 e y F(+∞,y) 0,
y>0 其它
2、边缘概率密度
对连续型 r.v ( X,Y )， X和Y的联合概率密度为 f ( x, y ) 则( X,Y )关于X的边缘概率密度为
3 2 2y y
2
0
x
24 5
0 y 1
),
2
注意取值范围
即
12 2 x ( 2 x ), f X (x) 5 0,
0 y ), fY ( y ) 5 2 2 0,
0 y 1 其它
X
y1 p 11
p 21
p i1
y2 p 12
p 22
pi2
„ „ „
yj p1 j
p2 j
„
x)
i
x1
x2
xi
„ p „ p
1j
2 j
„
p ij
„p
ij
《概率学》3.2_3.3二维随机变量的边缘分布及独立性
连续型
f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x) = F（x,＋∞） F Y(y) = F（＋∞, y）
pi .=P{X= xi}= pij i=1, 2, ..., j 1
p.j=P{Y= yj}= pij j=1, 2, ..., i 1
连续型 f (x, y)
第三章 多维随机变量及其分布
（X，Y）边缘分布
FX(x)=（
）
F Y(y) =（
）
pi .=P{X= xi}（=
）
p.j=P{Y= yj}=（
）
f X ( x) （
）
fY ( y) （
）
作答
1
8
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
第2节 二维随机变量的边缘分布
第三章 多维随机变量及其分布
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y)
f (x, y)dx
1
7
山东农业大学公共数学系概率统计课程组 版权所有
主第观2节题二维随2机分变量的填边缘空分布 填空
( X, Y )联合分布 一般 F(x,y)= P{X ≤ x,Y≤y}
离散型 P{X=xi ,Y=y j}= pi j
i, j=1, 2, ...,
1
2
fX (x)
f (x, y)dy
1
exp{ 1 (u2 2u v2)}dv
21 1 2
2(1 2)
1
u2
e2
1
exp{ (v u)2 }dv
2 1
2 1 2
2(1 2)
联合分布与边缘分布的关系
目录
• 联合分布与边缘分布的定义 • 联合分布与边缘分布的应用场景 • 联合分布与边缘分布的实例分析 • 总结与展望
01
联合分布与边缘分布的定义
联合分布的定义
1
联合分布描述了随机变量之间的共同概率分布， 表示多个随机变量同时发生的概率。
2
联合分布函数通常用大写字母表示，例如F(x,y)， 表示随机变量X和Y的联合分布函数。
感谢您的观看
THANKS
的影响。
联合分布与边缘分布的关系
• 联合分布和边缘分布在描述随机变量之间的关系时具有互补性。联合分布描述 了多个随机变量的共同概率特性，而边缘分布描述了单个随机变量的概率特性。
• 当一个随机变量是其他随机变量的函数时，该随机变量的边缘分布可以通过对 联合分布进行积分得到。例如，如果X和Y是两个随机变量，且Y=g(X)，那么X 的边缘分布可以通过对X和Y的联合分布积分得到。
联合分布和边缘分布在二维正态分布中具有以下关系：联合分布的概率 密度函数是边缘分布概率密度函数的乘积，即f(x, y)=f(x)f(y)。
多维正态分布的联合分布与边缘分布
01
多维正态分布的联合分布表示多个随机变量的概率分布情况，其概率密度函数 由均值向量和协方差矩阵决定。
02
对于多维正态分布，其边缘分布是低维正态分布。对于每个随机变量，其边缘 分布的概率密度函数由该变量的均值和标准差决定，与其他变量的取值无关。
联合分布与边缘分布在金融领域的应用
风险评估
联合分布和边缘分布在金融领域 中用于评估投资组合的风险，例 如计算投资组合的预期收益和风 险。
资产定价
联合分布和边缘分布在资产定价 中用于确定资产的合理价格，例 如通 结构中用于分析市场交易行为和 市场价格形成机制。
维随机变量的联合分布与边缘分布
针对连续型和离散型随机变量，分别提出了边缘分布的求解方法，包 括积分法、求和法等，并通过实例验证了方法的有效性。
联合分布与边缘分布在统计推断中的应用
将联合分布与边缘分布的理论应用于统计推断中，如参数估计、假设 检验等问题，提高了统计推断的准确性和效率。
对未来研究的展望
• 高维随机变量的联合分布与边缘分布：随着数据维度的增加，高维随机变量的 联合分布与边缘分布研究将成为未来的重要方向，需要探索新的理论和方法来 解决高维数据的挑战。
PART 07
总结与展望
REPORTING
WENKU DESIGN
研究成果总结
联合分布与边缘分布的理论体系
本文构建了多维随机变量联合分布与边缘分布的理论框架，明确了两 者之间的关系和转化方法。
联合分布的性质
深入探讨了联合分布的性质，如联合分布的对称性、可加性、连续性 等，为实际应用提供了理论支持。
维随机变量的联合分 布与边缘分布
https://
REPORTING
• 引言 • 二维随机变量及其联合分布 • 边缘分布及其性质 • 条件分布及其性质 • 二维随机变量的独立性 • 二维随机变量函数的分布 • 总结与展望
目录
PART 01
引言
REPORTING
WENKU DESIGN
二维随机变量函数的分布求法
01
分布函数法
首先求出(X,Y)的联合分布函数F(x,y)，然后通过Z=g(X,Y)的关系式求出
Z的分布函数G(z)。
02
概率密度函数法
若(X,Y)的联合概率密度函数为f(x,y)ห้องสมุดไป่ตู้则可以通过Z=g(X,Y)的关系式求
出Z的概率密度函数h(z)。
二维连续随机变量及其概率分布
定理2 二维随机变量(X,Y)的两个分量独立的充 分必要条件是: 对任意实数x, y有
P{X x,Y y} P{X x}P{Y y}
定理3 若(X , Y ) 是离散型随机变量，则X与Y相 互独立的充分必要条件是
lim F ( x, y) 0
x
lim F ( x, y) 0
y
lim F ( x, y) 1
x, y
性质3 对于x 和y，F(x, y)都是右连续的，即对任意 的实数x0和y0，均有
Lim xx0 F(x, y)=F(x0 , y), Lim yy0 F( x, y )=F(x, y0 )
(3) f (x, y)与 fX (x), fY (y)之间的关系
f X (x)
f (x, y)dy
fY ( y) f (x, y)dx.
例3 设随机变量X 和Y 具有联合分布
f
(
x,
y)
6, 0,
求X 和Y 边缘密度
x2 y x 其他
解：
f X (x)
f (x, y)dy
x
6dy x2
0
x 0, y 0 其它
求 (X, Y )的边缘分布函数。
解： X的边缘分布函数为
FX
(x)
F
( x,)
lim
y
F ( x,
y)
1 ex x 0
0 x0
1 ex ey exyxy x 0, y 0
(X ,Y) ~ F(x, y)
0
其它
Y的边缘分布函数为
FY
(
y)
F
(,
边缘分布
P{X xi , Y y j } P{X xi }P{Y y j }
即
pij pi. p. j .
返回 下页 结束
《概率统计》
例1．设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机变量 （X，Y）的分布表及关于X和Y的边缘分布表中的部分数据， 请补充下表：
Y X
y1
y2
1/8
解: (1) 由于
1 e , x0 FX ( x) F ( x,) 0, 其它
0.5 x
(2) P{X 0.1, Y 0.1}
P{0.1 X ,0.1 Y }
1 e 0.5 y , y 0 FY ( y ) F (, y ) 0, 其它
j 1
p j P{Y y j } pi j
i 1
(i =1,2, …)
(j = 1,2, …)
即
X
X,Y 的边缘分布函数分别为：
x1 · · ·xi · · · … pi. x p2 . 1 p2. · · ·pi. · · ·
Y
FX(x) = F(x,+∞) = FY(y) = F(+∞, y) =
即
P{X x, Y y} P{X x}P{Y y}
则称随机变量X与Y是相互独立的. 补充例1．一电子产品由两个部件构成，以X和Y分别表示两个 部件的寿命（单位：小时），已知X和Y的联合分布函数
1 e 0.5 x e 0.5 y e 0.5( x y ) , x 0, y 0, F ( x, y) 0, 其他 (1)问X和Y是否相互独立？(2)求两部件寿命都超过0.1小时的概率.
F , F ,0.1
二维随机变量及其分布
§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数 性质 ③ F(x,y)关于x、关于y 右连续
F(x0
0,
y)
lim
xx00
F(x,
y)
F(x0
,
y)
F(x,
y0
0) lim yy00
F(x,
y)
F(x,
y0
)
整理课件
§5.1 二维随机变量及分布函数
二、联合分布函数 性质 ④ F(, ) lim F(x,y)0
2
1
x 1, y 1
整理课件
§5.3 二维连续型随机变量
一、二维连续型随机变量及联合密度函数
1.定义：设(X,Y)的分布函数为F(x,y),若存在一非负函 数f(x,y),使得对于任意的实数x,y有
yx
F(x,y) f(x,y)dydx
则称(X,Y)是连续型二维随机变量,函数 f(x,y)称为二 维随机变量(X,Y)的(联合)概率密度函数. 2．概率密度f(x,y)的性质
第五章 二维随机变量及其分布
➢ 二维随机变量及分布函数 ➢ 二维离散型随机变量 ➢ 二维连续型随机变量 ➢ 边缘分布 ➢ 随机变量的独立性 ➢ 条件分布
整理课件
§1.1 二维随机变量及分布函数
一、 二维随机变量 一般地，如果两个变量所组成的有序数组即二 维变量（X，Y），它的取值是随着实验结果而 确定的，那么称这个二维变量（X，Y）为二维 随机变量，相应地，称（X，Y）的取值规律为 二维分布
1
2
9P(X=2,Y=1)=2/9 1 1/9
2/9
P(X=2,Y=2)=4/ 2 2/9
4/9
9
整理课件
§5.2 二维离散型随机变量
概率论与数理统计 --- 第三章{多维随机变量及其分布} 第二节：边缘分布
FX x P X x P X x ,Y F x , FY y P Y y P X ,Y y F , y
二、离散型随机变量的边缘分布律
概率论
பைடு நூலகம்
一般地, 对离散型 r.v. (X,Y ), X 和 Y 的联合分布律为: P ( X xi ,Y y j ) pij , i , j 1,2,
(X, Y) 关于Y 的边缘概率密度为:
fY ( y )
f ( x , y )dx y
例2 设(X, Y)的概率密度是
概率论
cy( 2 x ), 0 x 1,0 y x f ( x, y ) 0 , 其它 求 (1) c的值； (2) 两个边缘密度。 y
3 k 0 3
P{Y=3}= P X k ,Y 3=1/8+1/8=2/8.
k 0
概率论
X
0 1 2 3
Y
1 3 0 18 38 0 38 0
0 18
P X xi
18 38 38 18
P Y yj
68 28
我们常将边缘分布律写在联合分布律表格的边缘上， 由此得出边缘分布这个名词.
则 (X, Y) 关于X 的边缘分布律为:
P X xi P X xi ,Y y j pij
X xi X xi ,Y y j j 1
(X,Y) 关于Y 的边缘分布律为:
j 1
i 1, 2 ,
概率论
f X ( x ) f ( x, y )dy x
二维随机变量及联合分布
00
c e3xdx e4 y dy
c
12
0
0
所以，c 12．
y
x 0, y 0
(2) F x， y PX x， Y y
x
当 x 0或 y 0时，F x， y 0 ；
返回主目录
§1 二 维 随 机 变 量
例 5（续）
当 x 0 且 y 0 时，
Fx， y PX x， Y y
Y 的可能取值为1，3 ．
返回主目录
§1 二 维 随 机 变 量
例 2（续）
PX 0， Y 1 0； PX 0， Y 3 1；
8
PX 1， Y 1 3； PX 1， Y 3 0；
8
PX 2， Y 1 3； PX 2， Y 3 0；
8
PX 3， Y 1 0； PX 3， Y 3 1．
返回主目录
§1 二 维 随 机 变 量 一个重要的公式
设：x1 x2 ，y1 y2 ，则
Px1 X x2 ， y1 X y2
F x2 ， y2 F x2 ， y1
F x1，
y2
F x1，
y1
y y2
y1
(x1 , y2) (X, Y )
(x1 , y1)
(x2 , y2) (x2 , y1)
是 x， y的函数．我们称此函数为二维随机 变量 X， Y 的分布函数.
•..... . 返回主目录
§1 二 维 随 机 变 量
二元分布函数的几何意义
二元分布函数的几何
意义是：F x， y
表示平面上的随机
点X， Y 落在以 x， y 为右上顶
点的无穷矩形中的 概率．
y
(X, Y ) o
概率论与数理统计(二维随机变量的边缘分布)
(2) n维随机变量的概率密度函数
若存在非负函数 f ( x1, x2 ,, xn ), 使对于任意 实数 x1, x2 ,, xn 有
F ( x1, x2,, xn )
xn
xn1
x1
f ( x1, x2,, xn ) d x1 d x2 d xn,
f ( x, y)dx 为(X，Y)关于Y的边缘
概率密度．
3.2.3 二维连续型随机变量的边缘概率密度
【例3.10】设二维随机变量(X，Y)的联合概率密度
为
f
(
x,
y)
1, 0,
0 x 1,| y | x 其它
求边缘概率密如图:
x
6 d y,
x2
0d
y,
0 x1 其他
y (1,1)
y x
6( x x2 ), 0 x 1
0,
其他
O
y x2
x
由于
6( x x2 ),
fX (x)
0,
x
FX ( x) fX ( x)dx
x
0dx,
2 1
所以
fX (x)
f ( x, y)dy
1
e
(
x 1
2
2 1
)2
exp{
1
( y 2 x 1 )2}dy
2 1 2 1 2
2(1 2 ) 2
1
令t 1 ( y 2 x 1 )，则有
概率论与数理统计第3章
i
31
二维离散型随机变量的边缘分布
关于X的边缘分布列
X
x1
x2
x3
…
概率 P1.
P2.
P3.
…
pi P{X xi} pij
关于Y的边缘分布列
j
Y
y1
y2
y3
…
概率 P.1
P.2
P.3
…
p j P{Y y j} pij
32
i
16
2019-9-16
例1 设二维离散型随机变量（X,Y）的联合分布律为
30
15
2019-9-16
二维离散型随机变量的边缘分布
Y
X
y1
y2
y3
…
Pi.
x1
p11
p12
p13
…
P1.
x2
p21
p22
p23
…
P2.
x3
p31
p32
p33
…
P3.
…………… …
p.j p.1 p.2 p.3 …
关于X的边缘分布律 关于Y的边缘分布律
pi P{X xi} pij
j
p j P{Y y j} pij
22
11
2019-9-16
第4节 常见多维随机变量
23
1. 多项分布
在独立重复试验中，设每次实验必有A1, A2 , , Ar 之一发生，且事件Ai在每次实验中发生的概率为pi， 记Xi为Ai出现的次数，则 X1, X 2 , , X r 的分布律为
P{X1 n1, X 2 n2 , , X r nr}
20
10
2019-9-16
(4) P{X Y} f (x, y)dxdy y x 0, y 0
3.4二维随机变量的分布函数、边缘分布
y0
解
(1) f ( x, y )dxdy 1
y
2 2
f ( x, y)dxdy 1
2 0
D
2 0
A sin( x y )dxdy
0 0
1
x
c [ x ( 2 x ) / 2]dx =5c/24=1,
2 0
1
0
1
c =24/5
解: (2)
24 y(2 x ), 0 x 1, 0 y x f ( x, y) 5 0 , 其它
f X ( x)
y
y=x
(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)
P ( X 0, Y 0) C / C 3 / 15,
2 3 2 6
同理有
P ( X 0, Y 1) C C / C 6 / 15,
1 2 1 3 2 6
P ( X 0, Y 2) C / C 1 / 15 ; P ( X 1, Y 0) C C / C 3 / 15,
x
A 2 [ cos( x y )]02 dx
0
A [ cos( x ) cos x]dx 2
2 0
1 A 2
P{( X , Y ) G} 2 1 sin( x y )dxdy 4 2 G y 1 4 dy 2 sin( x y )dx 0 0 y 2 y 1 4 2 [ cos( x y )] y dy 2 0 1 1 [sin 2 y ]04 4 4
3.1 二维随机变量及其联合分布函数
Dx
y
故
P{a X b,c Y d}
b a
d c
f
( x,
y)dy
dx
注：1在几何上，z f (x, y)表示空间一个曲面，
介于它和xoy平面的空间区域的体积为1
2 P((X ,Y ) D)等于以D为底，以曲面z f (x, y)
为顶面的柱体体积。
9 25
例3.1.1 一箱中有10件产品，其中6件一级品，4件二级品， 现随机抽取2次，每次任取一件，定义两个随机变量X和Y：
1 第一次抽到一级品， X 0 第一次抽到二级品.
1 Y 0
第二次抽到一级品， 第二次抽到二级品.
(2)第一次抽取后不放回， 求(X,Y)的联合分布律.
4 7
e6
3 7
e14
本例是一个典型题.大家应掌握分析与 计算的方法。特别是会根据不同形状的概 率密度非零区域与所求概率的事件区域G来 处理这类问题。
例 已知二维随机变量(X,Y)的联合概率密度为
f
(
x,
y)
1 8
(6
x
y),
0 x 2, 2 y 4
0,
解 (1)
f (x, y)dxdy
Ae(3x4 y)dxdy 00
A e3xdx e4 ydy
0
0
A[
1 3
e3x ]0[
1 4
e4 y ]0
A 1 1 12
所以 A 12
12e(3 x4 y) , x 0, y 0
A （x，y）
3.1.2 联合分布函数及其性质 定义3.1.3 设(X,Y)是二维随机变量, 对任意 实数 x, y，二元函数
联合分布与边缘分布的关系
例2 一射手进行射击, 每次击中目旳旳概率为p(0<p<1), 射击到击中目旳两次为止. 设以X 体现首次击中目旳所进 行旳射击次数, 以Y 体现总共进行旳射击次数. 试求 X 和 Y 旳联合分布律及条件分布律.
二、连续型随机变量旳条件分布
【引言】在条件分布中,作为条件旳随机变量旳取值
是拟定旳数.但是当Y 是连续型r.v.时, 条件分布不能
3.2 边沿分布
联合分布函数与边沿分布函数旳关系
FX ( x) F ( x, ) ; FY ( y) F (, y).
由联合分布律求边沿分布函数
FX ( x) F ( x, )
pij , FY ( y) F (, y)
pij .
xi x j1
y j y i1
由联合概率密度求连续型r.v.旳边沿分布函数
Y X x1 xi
p• j
y1
p11 pi1
p•1
yj
p1 j pij
p•
j
pi•
p1• pi
1
•
三、连续型随机变量旳边沿概率密度
定义 对于连续型随机变量 ( X ,Y ), 设它的概率
密度为 f ( x, y), 由于
x
FX ( x) F ( x,)
[ f ( x, y)d y]d x,
P{Y y j } pij P{X xi ,Y y j }
i 1
i 1
P{Y y j X xi } P{X xi }, i 1
P{X xi } 0, j 1, 2,
类似逆概公式(求条件分布律)
P{X
xi
Y
yj}
P{Y
yj
X
xi } P{X
二维连续型随机变量的边缘分布函数与边缘概率密度
ｙ→＋∞
数学学习与研究 ２０２１ ２０
ＪＩＥＴＩ ＪＩＱＩＡＯ ＹＵ ＦＡＮＧＦＡ
解题技巧与方法
１５９
－ ∞ ＜ｘ＜＋∞ ，
Ｆ Ｙ（ ｙ）＝ ｌｉｍ Ｆ（ ｘ，ｙ）
ｘ→＋∞
( π１ ａｒｃｔａｎ ｘ＋ ２１ ) ( π１ ａｒｃｔａｎ ３ｙ ＋ ２１ )
０，其他．
－∞
４ ５
＋∞
ｙ ２ ，０≤ｙ≤１，
ｆ Ｙ（ ｙ）＝
ｆ（ ｘ，ｙ） ｄｘ ＝ ３
－∞
０， 其他．
２．２ 已知联合分布函数求边缘概率密度
主要有两种方法：方法一：利用联合分布函数和边缘分
布函数之间的关系求出边缘分布函数，由于边缘分布函数
在其定义域内是可导的，则对边缘分布函数求导即可得到
边缘概率密度，即：
＋∞
＋∞
３
ｆ Ｘ（ ｘ）＝
ｆ（ ｘ，ｙ） ｄｙ ＝
ｄｙ
２
２
２
－∞
－ ∞ π （１＋ｘ ） （９＋ｙ ）
１
＝
，
π（１＋ｘ２ ）
－ ∞ ＜ｘ＜＋∞ ，
＋∞
＋∞
３
ｆ Ｙ（ ｙ）＝
ｆ（ ｘ，ｙ） ｄｘ ＝
ｄｘ
２
２
２
－∞
－ ∞ π （１＋ｘ ） （９＋ｙ ）
３
＝
，
π（９＋ｙ２ ）
－ ∞ ＜ｙ＜＋∞ ．
一般地，当联合分布函数或者联合概率密度已知求边
【 摘要】 二维连续型随机变量（ Ｘ，Ｙ） 的边缘分布函数与
边缘概率密度，能够全面地描述二维连续型随机变量（ Ｘ，
Ｙ） 的分布规律，是概率论与数理统计的重要组成部分．若不
理解相关概念和性质就盲目求解边缘概率密度与边缘分布
联合分布和边缘分布的区别
联合分布和边缘分布的区别
联合分布和边缘分布是概率论中两个重要的概念。
联合分布指的是多个随机变量同时发生时的概率分布。
它描述了这些随机变量之间的关联性，即联合概率。
联合分布可以通过概率密度函数或概率质量函数来表示。
边缘分布指的是在联合分布中某些随机变量被固定后，其他随机变量的概率分布。
换句话说，边缘分布是联合分布在某个随机变量的取值上的概率分布。
边缘分布可以通过对联合分布积分或求和来获得。
简单来说，联合分布关注的是多个随机变量之间的关系，而边缘分布关注的是单个随机变量的概率分布。
可以通过联合分布来计算边缘分布，但边缘分布不能反推出联合概率。
二维随机变量的边缘分布与联合分布关系探讨
二维随机变量的边缘分布与联合分布关系探讨摘要本文首先理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本表达形式：离散型二维随机变量联合概率分布和连续型二维随机变量联合概率密度。
掌握已知两个随机变量的联合分布时分别求它们的边缘分布的方法。
在文献研究的基础上，运用随机事元和随机事元集合，建立了二维随机变量分布和边缘分布的形式化可拓模型。
利用可拓变换和传导变换，结合形式化的可拓推理知识，对二维随机变量在可拓变换下的传导分布模型进行了研究。
将随机事元、随机事元集合、可拓变换、可拓推理知识等引入到二维随机变量分布的研究中，使分析更加形式化，逻辑性更强。
运用随机事元和随机事元集合建立了二维随机变量分布的可拓模型。
本文对这种特例作了深入研究，分析了具有这种性质的二维密度f(x，y)的结构特点与本质，有助于我们更好地了解正态分布的特殊性质。
关键词：二维随机变量；边缘分布；联合分布AbstractIn this paper，we first understand the concept and properties of the joint distribution of two-dimensional random variables and their two basic expressions: joint probability distribution of discrete two-dimensional random variables and joint probability density of continuous two-dimensional random variables. The method of finding the edge distribution of the joint distribution of two known random variables is mastered. On the basis of literature research， a formal extension model of two-dimensional random variable distribution and edge distribution is established by using random event element and random element set. By using extension transformation and conduction transformation combined with formalized knowledge of extension reasoning，the conduction and distribution models of two-dimensional random variables under extension transformation are studied. The random event element，random event set，extension transformation and extension reasoning knowledge are introduced into the study of two-dimensional random variable distribution，making the analysis more formalized and logical. The extension model of the distribution of two dimensional random variables is established by using the random event element and the set of random element. This special case is studied in depth. The structure and nature of the two-dimensional density f (x，y) with this property is analyzed，which helps us to better understand the special properties of normal distribution.Key words:two-dimensional random variables; edge distribution; joint distribution目录摘要 (I)Abstract (II)1 随机变量独立性及其判定 (1)1.1 随机变量独立性定义 (1)1.1.1随机变量及随机变量独立性的定义 (1)1.1.2随机变量独立性的两个简单定理 (2)1.2 离散型随机变量独立性的判定 (4)1.2.1离散型随机变量判别法一 (4)1.2.2离散型随机变量判别法二 (8)1.3 连续型随机变量独立性的判定 (12)1.3.1连续型随机变量判别法一 (12)1.3.2连续型随机变量判别法二 (13)2 边缘分布与联合分布关系探讨 (16)2.1 二维随机变量的分布函数 (16)2.2 二维离散型随机变量 (17)2.3 二维连续型随机变量 (18)2.4 随机变量的独立性 (18)2.5条件分布 (19)2.6 二维随机变量函数的分布 (20)结论 (21)致谢 (21)参考文献 (22)0 引言概率论是研究随机现象数量规律的数学分支，而随机现象是相对于决定性现象而言的。
概率论与数理统计习题答案1-19章
1 随机事件及其概率·样本空间·事件的关系及运算一、任意抛掷一颗骰子，观察出现的点数。
设事件A 表示“出现偶数点”，事件B 表示“出现的点数能被3整除”．（1）写出试验的样本点及样本空间；（2）把事件A 及B 分别表示为样本点的集合；（3）事件B A AB B A B A ,,,,分别表示什么事件？并把它们表示为样本点的集合．解：设i ω表示“出现i 点”)6,,2,1( i ，则（1）样本点为654321,,,,,ωωωωωω；样本空间为}.,,,,,{654321 （2）},,{642ωωωA ； }.,{63ωωB （3）},,{531ωωωA ，表示“出现奇数点”；},,,{5421ωωωωB ，表示“出现的点数不能被3整除”；},,,{6432ωωωωB A ，表示“出现的点数能被2或3整除”；}{6ωAB ，表示“出现的点数能被2整除且能被3整除”；},{B A 51ωω ，表示“出现的点数既不能被2整除也不能被3整除”二、写出下列随机试验的样本空间及各个事件中的样本点：（1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和．A —“点数之和大于10”，B —“点数之和小于15”．（2）一盒中有5只外形相同的电子元件，分别标有号码1，2，3，4，5．从中任取3只，A —“最小号码为1”．解：(1) 设i ω表示“点数之和等于i ”)18,,4,3( i ，则},,,{1843ωωω Ω；},,,{181211ωωωA ；}.,,,{1443ωωωB (2) 设ijk ω表示“出现号码为k j i ,,”);5,,2,1,,(k j i k j i ，则},,,,,,,,,{345245235234145135134125124123ωωωωωωωωωω Ω }.,,,,,{145135134125124123ωωωωωωA三、设C B A ,,为三个事件，用事件之间的运算表示下列事件： (1) A 发生, B 与C 都不发生； (2) C B A ,,都发生；(3) C B A ,,中至少有两个发生； (4) C B A ,,中至多有两个发生． 解：(1) C B A ；(2) ABC ；(3) ABC C AB C B A BC A 或CA BC AB(4) BC A C B A C AB C B A C B A C B A C B A 或C B A 或.ABC四、一个工人生产了n 个零件，以i A 表示他生产的第 i 个零件是合格品（n i 1）．用i A 表示下列事件：（1）没有一个零件是不合格品； （2）至少有一个零件是不合格品； （3）仅有一个零件是不合格品；（4）至少有一个零件不是不合格品． 解：(1) n A A A 21；(2) n A A A 21或n A A A 21； (3) n n n A A A A A A A A A 212121 (4) n A A A 21或.21n A A A2 概率的古典定义·概率加法定理一、电话号码由七个数字组成，每个数字可以是0，1，2，…，9中的任一个数（但第一个数字不能为0），求电话号码是由完全不同的数字组成的概率．解：基本事件总数为611011011011011011019109 C C C C C C C 有利事件总数为456789214151617181919C C C C C C C 设A 表示“电话号码是由完全不同的数字组成”，则0605.0109456789)(62 A P 二、把十本书任意地放在书架上，求其中指定的三本书放在一起的概率．解：基本事件总数为!101010A 指定的三本书按某确定顺序排在书架上的所有可能为!777A 种；这三本书按确定的顺序放在书架上的所以可能的位置共818C 种；这三本书的排列顺序数为!333 A ；故有利事件总数为!3!8!38!7 (亦可理解为)3388P P设A 表示“指定的三本书放在一起”，则067.0151!10!3!8)( A P三、为了减少比赛场次，把二十个队任意分成两组（每组十队）进行比赛，求最强的两个队被分在不同组内的概率．解：20个队任意分成两组（每组10队）的所以排法，构成基本事件总数1020C ；两个最强的队不被分在一组的所有排法，构成有利事件总数91812C C 设A 表示“最强的两队被分在不同组”，则526.01910)(102091812 C C C A P四、某工厂生产的产品共有100个，其中有5个次品．从这批产品中任取一半来检查，求发现次品不多于1个的概率．解：设i A 表示“出现的次品为i 件”)5,4,3,2,1,0( i ，A 表示“取出的产品中次品不多于 1个”，则 .10A A A 因为V A A 10，所以).()()(10A P A P A P 而0281.0979942347)(5010050950 C C A P 1529.09799447255)(501004995151 C C C A P 故 181.01529.00281.0)( A P五、一批产品共有200件, 其中有6件废品．求 (1) 任取3件产品恰有1件是废品的概率; (2) 任取3件产品没有废品的概率; (3) 任取3件产品中废品不少于2件的概率．解：设A 表示“取出的3件产品中恰有1件废品”；B 表示“取出的3件产品中没有废品”；C 表示“取出的3件产品中废品不少于2件”，则 (1) 0855.019819920019319418)(3200219416 C C C A P (2) 912.0198199200192193194)(32003194 C C B P(3) 00223.019819920012019490)(3200019436119426 C C C C C C P六、设41)( ,0 ,31)()()(BC P P(AC)P(AB)C P B P A P ．求A , B , C 至少有一事件发生的 概率．解：因为0 P(AC)P(AB)，所以V AC V AB ,，从而V C AB )(可推出0)( ABC P设D 表示“A , B , C 至少有一事件发生”，则C B A D ，于是有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P 75.043413131313 条件概率与概率乘法定理·全概率公式与贝叶斯公式一、设,6.0)|(,4.0)(,5.0)( B A P B P A P 求)|(,)(B A A P AB P ． 解：因为B A AB B B A A )(，所以)()()(B A P AB P A P ，即14.06.0)4.01(5.0)()()()()()( B A P B P A P B A P A P AB P68.074.05.036.0)4.01(5.05.0)()()()()()]([)|(B A P B P A P A P B A P B A A P B A A P二、某人忘记了电话号码的最后一个数字，因而他随意地拨号，求他拨号不超过两次而接通所需电话的概率．若已知最后一个数字是奇数，那么此概率是多少？ 解：设A 表示“第一次拨通”，B 表示“第二次拨通”，C 表示“拨号不超过两次而拨通”（1）2.0101101)()()(19111101911011 C C C C C C A B P A P C P（2）4.05151)()()(2511141511 A A A A A A B P A P C P三、两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率是0.03，第二台出现废品的概率是0.02．加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多 一倍．（1）求任意取出的零件是合格品的概率；（2）如果任意取出的零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床加工的零件”)2,1( i ；B 表示“出现废品”；C 表示“出现合格品”973.0)02.01(31)03.01(32（2）25.002.03103.03202.031)()()()()()()()()(22112222A B P A P A B P A P A B P A P B P B A P B A P四、猎人在距离100米处射击一动物，击中的概率为0.6；如果第一次未击中，则进行第二次射击，但由于动物逃跑而使距离变为150米；如果第二次又未击中，则进行第三次射击，这时距离变为200米．假定击中的概率与距离成反比，求猎人三次之内击中动物的概率．解：设i A 表示“第i 次击中”)3,2,1( i ，则由题设，有1006.0)(1kA P ，得60 k ，从而有4.015060150)(2 k A P ，.3.020060200)(3 k A P设A 表示“三次之内击中”，则321211A A A A A A A ，故有)()()()()()()(321211A P A P A P A P A P A P A P832.03.0)4.01()6.01(4.0)6.01(6.0 （另解）设B 表示“猎人三次均未击中”，则168.0)3.01)(4.01)(6.01()( B P故所求为 832.0)(1)( B P B P五、盒中放有12个乒乓球，其中有9个是新的．第一次比赛时从其中任取3个来用，比赛后仍放回盒中．第二次比赛时再从盒中任取3个，求第二次取出的都是新球的概率． 解：设i A 表示“第一次取得i 个新球”)3,2,1,0( i ，则2201)(312330 C C A P 22027)(31219231 C C C A P 220108)(31229132 C C C A P 22084)(31239033 C C C A P 设B 表示“第二次取出的都是新球”，则31236312373123831239322084220108220272201)()()(C C C C C C C C A B P A P B P i i i146.05324007761611122084447220108551422027552122014 随机事件的独立性·独立试验序列一、一个工人看管三台车床，在一小时内车床不需要工人照管的概率：第一台等于0.9，第二台等于0.8，第三台等于0.7．求在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管的概率． 解：设i A 表示“第i 台机床不需要照管”)3,2,1( i ，则9.0)(1 A P 8.0)(2 A P 7.0)(3 A P再设B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则321321321321A A A A A A A A A A A A B于是有)()()()()()()()()()()()()(321321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P A P B P )7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01(7.08.09.0902.0 ．（另解）设i B 表示“有i 台机床需要照管”)1,0( i ，B 表示“在一小时内三台车床中最多有一台需要工人照管”，则10B B B 且0B 、1B 互斥，另外有 504.07.08.09.0)(0 B P398.0)7.01(8.09.07.0)8.01(9.07.08.0)9.01()(1 B P 故902.0398.0504.0)()()()(1010 B P B P B B P B P ．二、电路由电池a 与两个并联的电池b 及c 串联而成．设电池c b a ,,损坏的概率分别是0.3、0.2、0.2，求电路发生间断的概率． 解：设1A 表示“a 损坏”；2A 表示“b 损坏”；3A 表示“c 损坏”；则3.0)(1 A P 2.0)()(32 A P A P 又设B 表示“电路发生间断”，则321A A A B 于是有)()()()()(321321321A A A P A A P A P A A A P B P)()()()()()(321321A P A P A P A P A P A P 328.02.02.03.02.02.03.0 ．三、三个人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为51、31、41，求能将此密码译出的概率．解：设A 表示“甲能译出”；B 表示“乙能译出”；C 表示“丙能译出”，则51)( A P 31)( B P 41)( C P设D 表示“此密码能被译出”，则C B A D ，从而有)()()()()()()()()(ABC P CA P BC P AB P C P B P A P C B A P D P)()()()()()()()()()()()(C P B P A P A P C P C P B P B P A P C P B P A P 6.0413151415141513151413151 ． （另解）52)411)(311)(511()()()()()( C P B P A P C B A P D P ，从而有6.053521)(1)( D P D P四、甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人的命中概率分别为7.0,5.0,4.0．飞机被一人击中而被击落的概率为2.0，被两人击中而被击落的概率为6.0，若三人都击中，则 飞机必被击落．求飞机被击落的概率． 解：设1A 表示“甲命中”；2A 表示“乙命中”；3A 表示“丙命中”；则4.0)(1 A P5.0)(2 A P 7.0)(3 A P设i B 表示“i 人击中飞机” )3,2,1,0( i ，则09.0)7.01)(5.01)(4.01()())(()()(3213210 A P A P A P A A A P B P3213213211 )()()(321321321A A A P A A A P A A A P)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P36.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.0)()(3213213212A A A A A A A A A P B P )()()(321321321A A A P A A A P A A A P)()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P41.07.0)5.01)(4.01()7.01(5.0)4.01()7.01)(5.01(4.014.07.05.04.0)()()()()(3213213 A P A P A P A A A P B P 设A 表示“飞机被击落”，则由题设有0)(0 B A P 2.0)(1 B A P 6.0)(2 B A P 1)(3 B A P故有458.0114.06.041.02.036.0009.0)()()(30 i i i B A P B P A P ．五、某机构有一个9人组成的顾问小组，若每个顾问贡献正确意见的概率都是0.7，现在该机构内就某事可行与否个别征求每个顾问的意见，并按多数人意见作出决策，求作 出正确决策的概率．解：设i A 表示“第i 人贡献正确意见”，则7.0)( i A P )9,,2,1( i ．又设m 为作出正确意见的人数，A 表示“作出正确决策”，则 )9()8()7()6()5()5()(99999P P P P P m P A P277936694559)3.0()7.0()3.0()7.0()3.0()7.0(C C C 9991889)7.0()3.0()7.0( C C273645)3.0()7.0(36)3.0()7.0(84)3.0()7.0(126918)7.0()3.0()7.0(90403.01556.02668.02668.01715.0 901.0 ．六、每次试验中事件A 发生的概率为p ，为了使事件A 在独立试验序列中至少发生一次的概率不小于p ，问至少需要进行多少次试验？ 解：设做n 次试验，则n p A P A P )1(1}{1}{ 一次都不发生至少发生一次要p p n )1(1，即要p p n 1)1(，从而有.1)1(log )1( p n p 答：至少需要进行一次试验．5 离散随机变量的概率分布·超几何分布·二项分布·泊松分布一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的概率分布． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即亦即二、自动生产线在调整以后出现废品的概率为p ．生产过程中出现废品时立即进行调整．求在两次调整之间生产的合格品数的概率分布．解：设X 表示“在两次调整之间生产的合格品数”，且设p q 1，则ξ的概率分布为三、已知一批产品共20个，其中有４个次品．（１）不放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布； （２）放回抽样．抽取６个产品，求样品中次品数的概率分布． 解：（1）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)4,3,2,0()(6206164 x C C C x X P xx从而X 的概率分布为即（2）设X 表示“取出的样本中的次品数”，则X 服从超几何分布，即X 的概率函数为)6,5,4,3,2,0()2.01()2.0()(66 x C x X P xx x从而X即四、电话总机为300个电话用户服务．在一小时内每一电话用户使用电话的概率等于0.01，求在一小时内有4个用户使用电话的概率（先用二项分布计算，再用泊松分布近似计算，并求相对误差）． 解：（1）用二项分布计算)01.0( p168877.0)01.01()01.0()1()4(2964430029644300 C p p C ξP（2）用泊松分布计算)301.0300( np λ168031355.0!43)4(34 e ξP相对误差为.5168877.0168031355.0168877.0000δ五、设事件A 在每一次试验中发生的概率为0.3，当A 发生次数不少于3次时，指示灯发出信号．现进行了5次独立试验，求指示灯发出信号的概率． 解：设X 表示“事件A 发生的次数”，则3.0)( p A P ，5 n ，).3.0,5(~B X 于是有)5()4()3()3( X P X P X P X P5554452335)1()1(p C p p C p p C16308.000243.002835.01323.0（另解） )2()1()0(1)3(1)3( X P X P X P X P X P322541155005)1()1()1(11p p C p p C p p C 16308.0六、设随机变量X 的概率分布为2, 1, ,0 , !)( k k ak X P k；其中λ>0为常数，试确定常数a ．解：因为1)(k k X P ，即01!k kk λa ，亦即1 λae ，所以.λe a6 随机变量的分布函数·连续随机变量的概率密度一、函数211x 可否是连续随机变量X 的分布函数？为什么？如果X 的可能值充满区间： （1）（ ,）；（2）（0, ）．解：（1）设211)(xx F，则1)(0 x F 因为0)(limx F x ，0)(limx F x ，所以)(x F 不能是X 的分布函数．（2）设211)(x x F，则1)(0 x F 且0)(lim x F x ，1)(lim 0 x F x 因为)0( 0)1(2)('22x x xx F ，所以)(x F 在（0, ）上单增． 综上述，故)(x F 可作为X 的分布函数．二、函数x x f sin )( 可否是连续随机变量X 的概率密度？为什么？如果X 的可能值充满区间：（1）2,0 ； （2） ,0； （3） 23,0 ．解：（1）因为 2,0πx ，所以0sin )( x x f ；又因为1cos )(2020x dx x f ，所以当2,0πx 时，函数x x f sin )( 可作为某随机变量X 的概率密度．（2）因为 πx ,0 ，所以0sin )( x x f ；但12cos )(0x dx x f ，所以当 πx ,0时，函数x x f sin )( 不可能是某随机变量X 的概率密度．（3）因为23,0πx ，所以x x f sin )( 不是非负函数，从而它不可能是随机变量X 的概率密度．二、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取1个．如果每次取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的分布函数，并作出分布函数的图形． 解：设X 表示“取出的废品数”，则X 的分布律为于是， 3,1x四、（柯西分布）设连续随机变量X 的分布函数为x x B A x F ,arctan )(．求：（1）系数A 及B ；（2）随机变量X 落在区间)1 ,1( 内的概率；(3) X 的概率密度．解：(1) 由0)2()(lim πB A x F x ，12)(lim πB A x F x ，解得.1,21πB A即)( ,arctan 121)( x x πx F ．(2) .21)]1arctan(121[]1arctan 121[)1()1()11( F F X P(3) X 的概率密度为)1(1)()(2x x F x f ． 五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为x Ae x f x,)(．求：（1）系数A ；（2）随机变量X 落在区间)1,0(内的概率；（3）随机变量X 的分布函数．解：(1) 由1)( dx x f ，得1220 A dx e A dx Ae xx ，解得21 A ，即有 ).( ,21)( x e x f x(2) ).11(21)(2121)()10(101010ee dx e dx xf X P x x(3) 随机变量X 的分布函数为21102121)()(x e x e dx e dx x f x F x xx xx ．7 均匀分布·指数分布·随机变量函数的概率分布一、公共汽车站每隔5分钟有一辆汽车通过．乘客到达汽车站的任一时刻是等可能的．求乘客候车时间不超过3分钟的概率．解：设随机变量X 表示“乘客的候车时间”，则X 服从]5,0[上的均匀分布，其密度函数为]5,0[,0]5,0[,51)(x x x f 于是有.6.053)()30(3dx x f X P二、已知某种电子元件的使用寿命X (单位:h)服从指数分布，概率密度为.0,0;0,8001)(800x x e x f x任取３个这种电子元件，求至少有１个能使用1000h 以上的概率． 解：设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”；321A 、A 、A 分别表示“元件甲、乙、丙能使用1000h 以上”．则287.08001)1000()()()(4510008001000800321e e dx e X P A P A P A P xx)()()()()()()()()(321313221321321A A A P A A P A A P A A P A P A P A P A A A P A P638.0287.0287.03287.0332（另解）设A 表示“至少有１个电子元件能使用1000h 以上”．则287.08001)1000(4510008001000800ee dx e X P xx从而有713.01)1000(1)1000(45eX P X P ，进一步有638.0713.01)]1000([1)(33 X P A P三、(1) 设随机变量X 服从指数分布)( e ．证明：对于任意非负实数s 及t ，有).()(t X P s X t s X P这个性质叫做指数分布的无记忆性．(2) 设电视机的使用年数X 服从指数分布)10(．e ．某人买了一台旧电视机，求还能使用５年以上的概率． 解：（１）因为)(~ e X ，所以R x ，有xex F 1)(，其中)(x F 为X 的分布函数．设t s X A ，t X B ．因为s 及t 都是非负实数，所以B A ，从而A AB ．根据条件概率公式，我们有)(1)(1)()()()()()()()(s X P t s X P s X P t s X P B P A P B P AB P B A P s X t s X Pt st s e e e ]1[1]1[1)(． 另一方面，我们有t t e e t F t X P t X P t X P )1(1)(1)(1)(1)(．综上所述，故有)()(t X P s X t s X P ．（２）由题设，知X 的概率密度为．，；，0001.0)(1.0x x e x f x 设某人购买的这台旧电视机已经使用了s 年，则根据上述证明的（１）的结论，该电视机还能使用5年以上的概率为6065.01.0)()5()5(5.051.051.05e e dx e dx xf X P s X s X P xx ．答：该电视机还能使用5年以上的概率约为6065.0．四、设随机变量X 服从二项分布)4.0 ,3(B ，求下列随机变量函数的概率分布： （1）X Y 211 ；（2）2)3(2X X Y． 解：X 的分布律为（1）X Y 211 的分布律为（2）2)3(2X XY 的分布律为即五、设随机变量X 的概率密度为.0,0;0,)1(2)(2x x x x f求随机变量函数X Y ln 的概率密度．解：因为)()()(ln )()(yX y Y e F e X P y X P y Y P y F 所以随机变量函数X Y ln 的概率密度为)( )1(2)()()()(2'' y e e e e f e e F y F y f y yyyyyXYY ，即)( )1(2)(2 y e e y f yyY ．８ 二维随机变量的联合分布与边缘分布一、把一颗均匀的骰子随机地掷两次．设随机变量X 表示第一次出现的点数，随机变量Y 表示两次出现点数的最大值，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率分布． 解：二维随机变量),(Y X 的联合概率分布为Y 的边缘概率分布为二、设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数)3arctan )(2arctan (),(yC x B A y x F ．求：（1）系数A 、B 及C ；（2）（X ，Y ）的联合概率密度：（3）边缘分布函数及边缘概率密度． 解：（1）由0)0,(,0),0(,1),( F F F ，得0)2(0)2)(0(1)2)(2(πB AC πC B A πC πB A 解得2πC B ，.12πA （2）因为)3arctan 2)(2arctan 2(1),(2yx y x F ，所以（X ，Y ）的联合概率密度为.)9)(4(6),(),(222"y x y x F y x f xy （3）X 及Y 的边缘分布函数分别为xx x X x dx x dy y x f dx x F 2arctan 1)4(2),()(2 2arctan 121xyx y Y y dy y dx y x f dy x F 3arctan 1)9(3),()(2 3arctan 121yX 及Y 的边缘概率密度分别为0222222)9(1)4(112)9)(4(6),()(dy y x dy y x dy y x f x f X)4(2)3arctan 31()4(1122022x y x 022222241)9(12)9)(4(6),()(dx xy dx y x dx y x f y f Y )9(3)2arctan 21()9(122022y x y三、设),(Y X 的联合概率密度为., 00;0,,Ae ),(3y)(2x 其它y x y x f 求：（1）系数A ；（2）),(Y X 的联合分布函数；（3）X 及Y 的边缘概率密度；（4）),(Y X落在区域R ：632 ,0 ,0 y x y x 内的概率． 解：（1）由1),(dy dx y x f ，有16132A dy e dx eA y x，解得.6 A （2）),(Y X 的联合分布函数为其它0,06),(),(0032y x dy e dx e dy y x f dx y x F x y y x xy其它0,0)1)(1(32y x e e y x （3）X 及Y 的边缘概率密度分别为00020006),()(2032x x ex x dy e e dy y x f x f x y x X00030006),()(3032y y ex x dx e e dx y x f y f y y x Y（4）x y xRdy e dx edxdy y x f R Y X P 32203326),(}),{(6306271)(2 e dx e e x四、设二维随机变量),(Y X 在抛物线2x y 与直线2 x y 所围成的区域R 上服从均匀分布．求：(1) ),(Y X 的联合概率密度；(2) 概率)2( Y X P ． 解：(1) 设),(Y X 的联合概率密度为.),(, 0;),(,),(R y x R y x C y x f 则由129)322()2(21322122212 C x x x C dx x x C dy dx C Cdxdy x x R解得92C ．故有.),(, 0;),(,92),(R y x R y x y x f(2) x x x x y x dy dx dy dx dxdy y x f Y X P 2212210229292),()2(21210)2(92292dx x x xdx 481.02713)322(92922132102x x x x ． ９ 随机变量的独立性·二维随机变量函数的分布一、设X 与Y 是两个相互独立的随机变量，X 在]1,0[上服从均匀分布，Y 的概率密度为.0,0;0,21)(2y y e y f yY求 (1) ),(Y X 的联合概率密度; (2) 概率)(X Y P ．解: (1)X 的概率密度为)1,0(,0)1,0(,1)(x x x f X ，),(Y X 的联合概率密度为（注意Y X ,相互独立）其它,00,10,21)()(),(2y x e y f x f y x f yY X（2）dx edx edy e dx dxdy y x f X Y P x xyxyxy12102212)(21),()(7869.0)1(2221122e ex二、设随机变量X 与Y 独立，并且都服从二项分布：.,,2 ,1 ,0 ,)(; ,,2 ,1 ,0 ,)(212211n j qp C j p n i q p C i p jn jjn Y in i i n X证明它们的和Y X Z 也服从二项分布． 证明: 设j i k , 则ik n i k i k n ki i n i i n ki Y X Z q p C q p C i k P i P k Z P k P 22110)()()()( ki k n n k i n in q p C C2121)( 由knm ki ik nk m C C C, 有k n n ki in i n C C C21210. 于是有 ),,2,1,0( )(212121n n k q p C k P kn n k i n n Z 由此知Y X Z 也服从二项分布.三、设随机变量X 与Y 独立，并且X 在区间[0，1]内服从均匀分布，Y 在区间[0，2]内服从辛普森分布：.20,;21,2;1,)(yyyyyyyfY或求随机变量YXZ的概率密度．解: X的概率密度为]1,0[,0]1,0[,1)(xxyf . 于是),(YX的联合概率密度为.0,21,1,210,1,),(其它当当yxyyxyyxfYXZ的联合分布函数为}),{(}{}{)(DyxPzYXPzZPzFZ，其中D是zyx与),(yxf的定义域的公共部分.故有322932121233123,0)(222zzzzzzzzzzzFZ从而随机变量YXZ的概率密度为323213213,0)(zzzzzzzzzfZ三、电子仪器由六个相互独立的部件ijL（3,2,1;2,1ji）组成，联接方式如右图所示．设各个部件的使用寿命ijX服从相同的指数分布)(e，求仪器使用寿命的概率密度．解: 由题设，知ijX的分布函数为,0,1xxeFxX ij先求各个并联组的使用寿命)3,2,1(iYi的分布函数.因为当并联的两个部件都损坏时,第i 个并联组才停止工作,所以有)3,2,1(),m ax(21iYiii从而有)3,2,1(iYi的分布函数为,0,)1()(221yyeFFyFyXXY iii设Z"仪器使用寿命".因为当三个并联组中任一个损坏时,仪器停止工作.所以有),,min(321YYYZ .从而有Z的分布函数为0,00,])1(1[10,00)],(1)][(1)][(1[1)(32321z z e z z z F z F z F z F z Y Y Y Z 故Z 的概率密度为0,00,)2)(1(6)(23z z e e e z f z z z Z10 随机变量的数学期望与方差一、一批零件中有9个合格品与3个废品．安装机器时从这批零件中任取一个．如果取出的废品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的废品数的数学期望、方差与标准差． 解：设X 表示“在取得合格品以前已取出的废品数”，则X 的概率分布为即1103322013220924491430EX 即3.0004.03041.02205.0175.00 EX2X 的分布为即于是有229220192209444914302EX 即4091.0004.09041.04205.0175.002 EX从而有3191.013310042471)11033(229)(222EX EX DX 565.03191.0 DX X二、对某一目标进行射击，直至击中为止．如果每次射击命中率为p ，求射击次数的数学期望及方差． 解：设X 表示“第i 次击中”),2,1( i ，则X 的分布为p q p q q p q p iqp ipqEX i i i i i i 1)1()1()(2111112Xpp p p q q p q p q q p pqi EX i i i ii i 122)1()1()(])([223111122进一步有pp p p p EX EX DX 11)1(12)(22222三、设离散型随机变量X 的概率函数为,,2,1,21]2)1([ k k X P k k k问X 的数学期望是否存在？若存在，请计算)(X E ；若不存在，请解释为什么．解：因为1111)1(212)1(]2)1([2)1()(k k k k k k k k k k ki i i k k k X P k x X P x 不绝对收敛，所以 没有数学期望．四、设随机变量X 的概率密度为.1, 0;1,11)(2x x x x f 求数学期望)(X E 及方差)(X D ．解：011)()(112dx xx dx x xf X Edx x x dx x x dx x f x X D 1022112221211)()(21]arcsin 2112[2102 x x x π五、（拉普拉斯分布）设随机变量X 的概率密度为 )( ,21)( x e x f x．求数学期望)(X E 及方差)(X D ． 解：021)(dx xe dx x xf EX x2!2)3(21)(0222dx e x dx e x dx x f x DX x x（分部积分亦可）11 随机变量函数的数学期望·关于数学期望与方差的定理一、设随机变量X 服从二项分布)4.0,3(B ，求2)3(X X Y 的数学期望及方差． 解：X 的概率分布为Y 的概率分布为2Y 的分布为72.072.0128.00 EY 72.072.0128.002 EY2016.0)72.0(72.0)(222 EY EY DY二、过半径为R 的圆周上一点任意作这圆的弦，求所有这些弦的平均长度．解：在圆周上任取一点O ，并通过该点作圆得直径OA ．建立平面直角坐标系，以O 为原点，且让OA 在x 轴的正半轴上．通过O 任作圆的一条弦OB ，使OB 与x 轴的夹角为 ，则 服从]2,2[ 上的均匀分布，其概率密度为]2,2[,0]2,2[,1)(f ． 弦OB 的长为 ]2,2[cos 2)(R L ，故所有弦的平均长度为22cos 21)()()]([d R d L f L ERR d R4sin 4cos 42020．三、一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从指数分布，概率密度为. 0,0 ;0 ,41)(4x x e x f x工厂规定，出售的设备若在售出一年之内损坏可予以调换．若工厂售出一台设备赢利100元，调换一台设备厂方需花费300元．试求厂方出售一台设备的平均净赢利． 解：由题设，有104110441141)()1(e e dx e dx x f X P x x 进而有 41)1(1)1( eX P X P设Y 表示“厂方出售一台设备获得的净赢利”，则Y 的概率分布为从而有64.33200300100)1(200414141ee e EY答：厂方出售一台设备获得的平均净赢利约为64.33元．四、设随机变量n X X X ,,21相互独立，并且服从同一分布，数学期望为 ，方差为2．求这些随机变量的算术平均值 ni i X n X 11的数学期望与方差．解：因为 )(i X E ，2)( i X D ，且随机变量n X X X ,,21相互独立．所以有ni n i i ni i n i i n X E n X E n X n E X E 11111)(1)(1)1()(，nn X D n X D n X n D X D ni ni in i i n i i 2122121211)(1)(1)1()(．五、一民航送客车载有20位旅客自机场开出，沿途有10个车站可以下车，到达一个车站时如没有旅客下车就不停车．假设每位旅客在各车站下车是等可能的，且各旅客是否下车相互独立．求该车停车次数的数学期望．解: 设i X 表示"第i 站的停车次数" (10,,2,1 i ). 则i X 服从"10 "分布. 其中站有人下车若在第站无人下车若在第i i X i ,1,0于是i X 的概率分布为设ni iXX 1, 则X 表示沿途停车次数, 故有]})10110(1[1)10110(0{10)(2020101101 i i i i EX X E EX748.8)9.01(1020即停车次数的数学期望为748.8.12 二维随机变量的数字特征·切比雪夫不等式与大数定律一、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为. 1,222y xAy x f求：（1）系数A ；（2）数学期望)(X E 及)(Y E ，方差)(X D 及)(Y D ，协方差),cov(Y X ．解: (1) 由1),(dxdy y x f . 有1112022222A dr rrd A dxdy y xA解得,1A .(2)011),()(222dx y xxdy dxdy y x xf X E .由对称性, 知 0)( Y E .dxdy y x f x EX EX X E X D ),(])[()(222dx y xx dy 222211022022220223]11)1ln([1)1(211r r dr r rr r dr rr d同理, 有 )(Y D .)()])([(),cov(XY E EY Y Ex X E Y Xdxdy y x xyf ),(011),(222dx y xxydy dxdy y x xyf .二、设二维随机变量),(Y X 的联合概率密度为其它．,0;10,,1),(x x y y x f 求(1) ),cov(Y X ；(2) X 与Y 是否独立，是否相关，为什么？解: (1) 因为 10210322),(dx x dy xdx dxdy y x xf EX x x0),(10xx ydy dx dxdy y x yf EY0),()(1xxydy xdx dxdy y x xyf XY E所以有])32[()])([(),cov(Y X E EY Y EX X E Y X dxdy y x xyf ),(010xxydy xdx ．(2) 当)1,0( x 时,有x dy dy y x f x f xxX 2),()(; 当)1,0( x 时, 有0)( x f X .即)1,0(0)1,0(2)(X x x x x f 同理有)1,0(1)1,0(1)1,0()1,0()(11Y x y x y x dx x dx y f yy因为 ),()()(y x f y f x f Y X , 所以X 与Y 不是独立的．又因为0),cov( Y X , 所以X 与Y 是不相关的．三、利用切比雪夫不等式估计随机变量X 与其数学期望)(X E 的差的绝对值大于三倍标准差)(X 的概率．解：91)3()3(2D D DE P ．四、为了确定事件A 的概率，进行10000次重复独立试验．利用切比雪夫不等式估计：用事件A在10000次试验中发生的频率作为事件A 的概率的近似值时，误差小于0.01的概率． 解：设ξ表示“在10000次试验中事件A 的次数”，则)5.0,10000(~B 且有50005.010000 np E 2500)5.01(5.010000 npq D于是有npqp npq p np m P p n m P 22)01.0(1)01.0(1)01.0()01.0(75.025.011 pq五、样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为这批产品不能接受．应该检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9？ 解：设ξ表示“发现的次品件数”，则)1.0,(~n B ξ，现要求.nn ξE 1.0 n ξD 09.0要使得9.0)10( ξP ，即9.0)10( n ξP ，因为9.0)10( n ξP ，所以 )3.01.03.01.03.01.010()10(nn n n n ξn n P ξD ξE n ξD ξE ξξD ξE P)3.01.010()3()33.01.03.01.010(1,01,0nn n n n n ξn n P ΦΦ1)3.0101.0()3(1,01,0 nn n ΦΦ （德莫威尔—Laplace 定理）因为10 n ，所以53 n ，从而有1)3(1,0 n Φ，故9.0)3.0101.0(1,0 nn Φ． 查表有8997.0)28.1(1,0 Φ，故有28.13.0101.0 nn ，解得.146 n 答：应该检查约146个产品，方可使次品率为10%的一批产品不被接受的概率达到0.9．13 正态分布的概率密度、分布函数、数学期望与方差一、设随机变量X 服从正态分布)2,1(2N ，求（1）)8.56.1( X P ；（2）)56.4( X P ．解：(1) )4.2213.1()8.416.2()8.56.1(X P X P X P 8950.09032.019918.0)]3.1(1[)4.2()3.1()4.2(1,01,01,01,0 ΦΦΦΦ(2) )78.12178.2(1)56.4(1)56.4(X P X P X P )]78.2(1)78.1(1)]78.2()78.1([11,01,01,01,0ΦΦΦΦ.0402.09973.09625.02二、已知某种机械零件的直径X （mm ）服从正态分布)6.0,100(2N ．规定直径在2.1100 （mm ）之间为合格品，求这种机械零件的不合格品率． 解：设p 表示这种机械零件的不合格品率，则)2.1100(1)2.1100( X P X P p ．而)26.01002()6.02.16.01006.02.1()2.1100( X P X P X P 1)2(2)]2(1[)2()2()2( 9544.019772.02故0456.09544.01 p ．三、测量到某一目标的距离时发生的误差X (m)具有概率密度3200)20(22401)(x ex f求在三次测量中至少有一次误差的绝对值不超过30m 的概率．解：三次测量中每次误差绝对值都超过30米可表为}30{}30{}30{ ξξξD 第三次第二次第一次因为)40,20(~2N ξ，所以由事件的相互独立性，有31,01,033)]25.0(1)25.1([})3030{(})30{()(ΦΦ ξξP ξP D P13025.05069.0)8944.05987.02(33于是有86975.013025.01)(1}30{ D P P 米至少有一次绝对值三次测量中 ．四、设随机变量),(~2 N X ，求随机变量函数Xe Y 的概率密度（所得的概率分布称为对数正态分布）．解：由题设，知X 的概率密度为)(21)(222)(x ex f x X从而可得随机变量Y 的分布函数为)()()(y e P y Y P y F X Y ．当0 y 时，有0)( y F Y ；此时亦有0)( y F Y ． 当0 y 时，有dx ey X P y F yx Yln 2)(2221)ln ()(．此时亦有222)(ln 21)(y Y eyy F ．从而可得随机变量Y 的概率密度为.0,21;0,0)(222)(ln y e yy y f y Y五、设随机变量X 与Y 独立，),(~211 N X ，),(~222 N Y ，求： (1) 随机变量函数bY aX Z 1的数学期望与方差，其中a 及b 为常数； (2) 随机变量函数XY Z2的数学期望与方差．解：由题设，有211)(,)( X D X E ；222)(,)( Y D Y E ．从而有(1)211)()()()()()( b a Y bE X aE bY E aX E bY aX E Z E ； 222212221)()()()()()( b a Y D b X D a bY D aX D bY aX D Z D ． (2)212)()()()( Y E X E XY E Z E ；)()()()()()()()(22222222Y E X E Y E X E XY E Y X E XY D Z D )()()]()()][()([2222Y E X E Y E Y D X E X D )()()()()()(22X E Y D Y E X D Y D X D212222212221 ．1４ 二维正态分布·正态随机变量线性函数的分布·中心极限定理四、 设二维随机变量),(Y X 服从二维正态分布，已知0)()( Y E X E ，16)( X D ，25)( Y D ，并且12),cov( Y X ，求),(Y X 的联合概率密度．解：已知0 y x ，416 x ，525 y ，53),cov(),(y x Y X Y X r ．从而 2516)53(1122r ，5412 r ． 进一步按公式])())((2)([)1(21222222121),(yy y x y x x x y y x r x r y x ery x f，可得),(Y X 的联合概率密度为)2550316((322522321),(y xy x e y x f．二、设随机变量X 与Y 独立，并且)1,0(~N X ，)2,1(~2N Y ．求随机变量32 Y X Z 的概率密度． 解：由题设，有0)( X E ，1)( X D ，1)( Y E ，4)( Y D ．又根据关于数学期望的定理和方差的定理以及独立正态随机变量线性组合的分布，我们有2)3()()(2)32()( E Y E X E Y X E Z E ． 8)3()()(4)32()( D Y D X D Y X D Z D ．且)8,2())(,)((~N Z D Z E N Z ，故随机变量32 Y X Z 的概率密度为16)2(82)2(2241821)(z z Z eez f)( z ．三、 台机床分别加工生产轴与轴衬．设随机变量X (mm)表示轴的直径，随机变量Y (mm)表示轴衬的内径，已知)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ，显然X 与Y 是独立的．如果轴衬的内径与轴的直径之差在3~1(mm)之间，则轴与轴衬可以配套使用．求任取一轴与一轴衬可以配套使用的概率．解：由题设，知随机变量X 与Y 是独立的，且)3.0,50(~2N X ，)4.0,52(~2N Y ．设XY Z 根据独立正态随机变量线性组合的分布，我们有)5.0,2()3.0)1(4.0,50)1(52(~2222N N Z ．根据题目假设，我们知道当31 X Y Z 时，轴与轴衬可以配套使用．于是所求概率为1)2(2)2()2()25.022()5.0235.025.021()31( Z P Z P Z P9544.019772.02 ．四、100台车床彼此独立地工作着，每台车床的实际工作时间占全部工作时间的80%，求： （1） 任一时刻有70至86台车床在工作的概率；（2） 任一时刻有不少于80台车床在工作的概率． 解：设ξ表示“任一时刻正在工作的车床数”，则)8.0,100(~B ．808.0100 E ． 16)8.01(8.0100 D ．（1）)5.2()5.1()168070()168086()8670(1,01,01,01,0 P 927.019938.09332.0)]5.2(1[)5.1(1,01,0 （2）)16800()168080([1)800(1)80(1,01,0 P P )20()0(2)20()0(11,01,01,01,0 5.015.02 ．五、在一家保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费．在一年内一个人死亡的概率为0.006，死亡时其家属可向保险公司领得1000元．问： （1） 保险公司亏本的可能性是多大？（2） 保险公司一年的利润不少于50000元的概率是多少？ 解：设X 表示“一年内死亡的人数”，则)006.0,10000(~B X ．60006.010000 EX ． 84.59)006.01(006.010000 DX ．（1）)84.596012084.596084.59600(1)1200(1)12100001000( P X P X P 0)7.7(22)]7.7()7.7([11,01,01,0 ΦΦΦ． 即保险公司不可能亏本．（2）)84.591084.596084.5960()700()5000010001210000(X P X P X P9032.01)756.7()293.1()756.7()293.1( ． 即保险公司一年利润不少于50000元的概率为9032.0．15 总体与样本·统计量·几个常用分布一、已知样本观测值为15.8 24.2 14.5 17.4 13.2 20.817.9 19.1 21.0 18.5 16.4 22.6，计算样本均值、样本方差与样本二阶中心矩．解：样本均值为 17.920.813.217.414.524.2 15.8(121x 44.18)22.616.418.521.019.1样本方差为22222)44.184.17()44.185.14()44.182.24()44.188.15[(111s 2222)44.181.19()44.189.17()44.188.20()44.182.13(])44.186.22()44.184.16()44.185.18()44.180.21(22224356.02916.05696.50816.14576.275236.151776.339696.6(1117756.10115312.118 .样本二阶中心矩22222)44.184.17()44.185.14()44.182.24()44.188.15[(121u 2222)44.181.19()44.189.17()44.188.20()44.182.13(])44.186.22()44.184.16()44.185.18()44.180.21(22228776.9125312.118 .解：样本均值为14.3)76215204253212 151(1001x 样本方差为 2222)14.33(25)14.32(21)14.31(51[11001s1216.2])14.36(7)14.35(1222样本二阶中心矩为2222)14.33(25)14.32(21)14.31(51[1001~s 1004.2])14.36(7)14.35(1222三、设总体X 的均值与方差分别为 与2 ，n X X X ,,,21 是来自该总体的简单随机样本，X 与2S 分别是样本均值与样本方差，求)(,)(,)(2S E X D X E ．解： ni n i i n i i n x E n x n E x E 1111)(1)1()(n n x D n x n D x D n i n i i n i i 21221211)(1)1()(ni i n i i x nE x E n x n x n E s E 1222122)]()([11)](11[)(ni i i x E x D n Ex x D n 122])()([])()([{110}][][{1112222ni nn n n 四、设总体X 与Y 相互独立且均服从正态分布23 ,0N ，921,,,X X X 和921,,,Y Y Y 分别为来自X 与Y 的样本，则统计量292221921YY Y X X X U服从什么分布？解：因为)3 0(~2，N X ，)3 0(~2，N Y , 所以)9 , 2 , 1( )3 0(~ )3 0(~22，，，i N Y N X i i . 于是有 9) 2 1( 93 0 0222，，， i S DX S EY EX Y X i i推得292221921Y Y Y X X X U99191919191291291291YY i i i ii i S XE X S X Y X Y X。
二维随机变量的边缘分布
概率论与数理统计
❖ 3.边缘概率密度 1.概念
➢由连续型随机变量的定义知，X是一个连续型随机变
量，且其概率密度为
fX ( x)
f ( x, y)dy
同样，Y也是一个连续型随机变量，其概率密度为
fY ( y) f ( x, y)dx
➢分别称
fX ( x) f ( x, y)dy 和 fY ( y) f ( x, y)dx
➢ 例3.4.1 设(X，Y)的分布函数为
1
F ( x,
y)
2
(arctan x
)(arctany 2
), 2x,y求关于X和Y的边缘分布函数FX(x)、FY(y)．
➢ 解：由定义知
1
FX (x)
lim F( x,
y
y)
lim [
y
2
(arctan x
)(arctany 2
)] 2
1
(arctanx )
❖ 2.边缘分布律 1.概念
➢ 例3.4.2 袋中有2只白球3只黑球，现从中摸两次，每次摸一球，分
别采用有无放回两种摸球方式，令
1, 第一次摸出白球,
1, 第二次摸出白球,
X 0, 第一次摸出黑球, Y 0, 第二次摸出黑球.
求 X 和 Y 的联合分布律与边缘分布律.
➢ 解 利用古典概型的方法求其分布律.
概率密度为 f(x, y)，因为X的分布函数为
x
FX ( x) F ( x, )
(
f ( x, y)dy)dx
➢由连续型随机变量的定义知, X 是一个连续型随机变量，
且其概率密度为
fX ( x)
f ( x, y)dy
同样, Y 也是一个连续型随机变量，其概率密度为
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[8] 二维随机变量的联合分布与边缘分布
一、从装有4个球（2个黑球2个白球）的袋中任取两个球，设随机变量X 表示这两个球中黑球的个数，
Y 表示这两个球中白球的个数，求二维随机变量),(Y X 的联合概率分布及Y 的边缘概率发布．
二、设二维随机变量),(Y X 的联合分布函数
)3
arctan )(2arctan (),(y C x B A y x F ++=． （1）求系数C B A ,,．（2）求),(Y X 的联合概率密度．（3）求Y X ,的边缘分布函数及边缘概率密度．
三、设),(Y X 的联合概率密度为
⎩
⎨⎧>>=+-. , 00;0, ,e ),()32(其它y x A y x f y x （1）求系数A ．（2）求Y X ,的边缘概率密度．
四、设二维随机变量),(Y X 在平面区域G 上服从均匀分布，G 是由x 轴，y 轴以及直线1=+y x 围成的区域．（1）求),(Y X 的联合概率密度；（2）求)(X Y P >.。