数学---江苏省省溧中、扬中、镇中、江中、句中2017-2018学年高一下学期期初五校联考试题

江苏省省溧中、扬中、镇江一中、江都中学、句容中学2017-2018学年高一下学期期初五校联考数学试题一、填空题1．已知集合A ={1，2，6}，B ={2，3，6}，则A ∪B = ． 2．函数π3cos 26y x ⎫⎛=+ ⎪⎝⎭的最小正周期为 ．3．()sin 1740-︒= ． 4．函数()()1lg 1f x x x=++的定义域是 ． 5．某扇形的圆心角为2弧度，周长为4cm ，则该扇形面积为 cm 2． 6．已知()()πsin ,0232,02x x f x f x x ⎧≤⎪⎪=⎨⎪-+>⎪⎩，则53f ⎫⎛ ⎪⎝⎭的值为 ． 7．将函数πsin 23y x ⎫⎛=+ ⎪⎝⎭的图象上的所有点向右平移π6个单位，再将图象上所有点的横坐标变为原来的12倍（纵坐标不变），则所得的图象的函数解析式为 ． 8．已知1335a -⎫⎛= ⎪⎝⎭，1243b -⎫⎛= ⎪⎝⎭，3ln 5c =，则这三个数从大到小的顺序是 ．9．若cos2sin 4απα=⎫⎛- ⎪⎝⎭sin 2α= ． 10．已知函数()ln f x x =，若0a b <<，且()()f a f b =，则2a b +的取值范围是．11．如图，在ABC V 中，已知12AN AC =uuu r uuu r ，P 是BN 上一点，若14AP mAB AC =+u u u r u u u r u u u r，则实数m 的值是 ．12．若奇函数()f x 在其定义域R 上是单调减函数，且对任意的x ∈R ，不等式 ()()cos2sin sin 0f x x f x a ++-≤恒成立，则a 的最大值是 ．BC13．如图，将矩形纸片的右下角折起，使得该角的顶点落在矩形的左边上，若1sin 4θ=，则 折痕l 的长度= cm ．14．已知定义在R 上的函数()f x 存在零点，且对任意m ∈R ，n ∈R 都满足()()()222m f f m f n f m n ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦，则函数()()34log 1g x f f x x =-+-⎡⎤⎣⎦有 个零点． 二、解答题15． 已知全集U ∈R ，集合{}|27A x x =≤<，{}3|0log 2B x x =<<，{}|1C x a x a =<<+．（1）求A B U ，()C U A B I ；（2）如果A C =∅I ，求实数a 的取值范围．16． 已知π,π2α⎫⎛∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=-．（1）求πsin 4α⎫⎛+ ⎪⎝⎭的值；（2）求2πcos 23α⎫⎛- ⎪⎝⎭的值．17．已知函数()()log 1a f x x =+，()()log 1a g x x =-，其中0a >且1a ≠，设()()()h x f x g x =-．（1）求函数()h x 的定义域；（2）判断()h x 的奇偶性，并说明理由；（3）若()32f =，求使()0h x <成立的x 的集合．18．某工厂生产甲、乙两种产品所得利润分别为P 和Q （万元），它们与投入资金m （万元）的关系有经验公式1653P m =+，76Q =+150万元资金投入生产甲、乙两种产品，并要求对甲、乙两种产品的投资金额不低于25万元．（1）设对乙产品投入资金x 万元，求总利润y （万元）关于x 的函数关系式及其定义域； （2）如何分配使用资金，才能使所得总利润最大？最大利润为多少？19．函数()y x ωϕ=+（0ω>，π02ϕ≤≤）的图象与y 轴交于点(，周期是π．（1）求函数解析式，并写出函数图象的对称轴方程和对称中心；（2）已知点π,02A ⎫⎛ ⎪⎝⎭，点P 是该函数图象上一点，点()00,Q x y 是PA 的中点，当0y =，0π,π2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，求0x 的值．20．设函数()22f x ax x b =-+（a ，b R ∈）． （1）当2a =-，152b =-时，解方程()20x f =； （2）当0b =时，若不等式()2f x x ≤在[]0,2x ∈上恒成立，求实数a 的取值范围； （3）若a 为常数，且函数()f x 在区间[]0,2上存在零点，求实数b 的取值范围．【参考答案】一、填空题二、解答题15．解：（1）由0＜log 3x ＜2，得1＜x ＜9∴B =（1，9）， ∵A ={x |2≤x ＜7}=[2，7），∴A ∪B =（1，9） C U A =（﹣∞，2）∪[7，+∞），∴（C U A ）∩B =（1，2）∪[7，9） （2）C ={x |a ＜x ＜a +1}=（a ，a +1）∵A ∩C =∅，∴a +1≤2或a ≥7， 解得：a ≤1或a ≥716．解：（1）由π,π2α⎫⎛∈ ⎪⎝⎭，tan 2α=-得：sin αcos α=．πππsin sin cos cos sin 444ααα⎫⎛+=+= ⎪⎝⎭（2）sin2α=2sin αcos α=45-，223cos2cos sin 5ααα=-=-，2π2π2πcos 2cos cos2sin sin 2333ααα⎫⎛-=+= ⎪⎝⎭17．解：（1）要使函数有意义，则1010x x +>⎧⎨->⎩，计算得出11x -<<，故h (x )的定义域为()1,1-；（2）()()()()()()log 1log 1log 1log 1a a a a h x x x x x h x -=-+-+=-+--=-⎡⎤⎣⎦ ，故h (x )为奇函数． （3）若f (3)=2， ()log 13log 42a a ∴+==，得a =2，此时()()()22log 1log 1h x x x =+--，若()0h x <，则()()22log 1log 1x x +<-，011x x ∴<+<-，得10x -<<，所以不等式的解集为()1,0-．18．解：（1）根据题意，对乙种商品投资x （万元），对甲种商品投资（150﹣x ）（万元）（25≤x ≤125）．所以()11150657619133y x x =-+++=-+ 其定义域为[25，125]（2）令t =x ∈[25，125]，所以t ∈[5，5 5 ]， 有()2162033y t =--+当[]5,6t ∈时函数单调递增，当t ⎡∈⎣时函数单调递减，所以当t =6时，即x =36时，y max =203答：当甲商品投入114万元，乙商品投入36万元时，总利润最大为203万元． 19．解：（1）由题意，周期是π，即2π2πω==．由图象与y 轴交于点（0， 6 )ϕ，可得cos ϕ=， ∵0≤φ≤π2，π4ϕ∴=，得函数解析式()π24f x x ⎫⎛=+ ⎪⎝⎭．由π2π4x k +=，可得对称轴方程为ππ28k x =-，（k ∈Z ） 由ππ2π+42x k +=，可得对称中心坐标为（ππ28k +，0），（k ∈Z ）（2）Q 点Q ()00,x y 是P A 的中点， A π,02⎫⎛ ⎪⎝⎭，∴P 的坐标为00π2,22x y ⎫⎛- ⎪⎝⎭，由0y =，可得P 的坐标为0π22x ⎛- ⎝，又∵点P 是该函数图象上一点，0ππ2224x ⎫⎛⎫⎛⨯-+ ⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭，整理可得：03πcos 44x ⎫⎛-= ⎪⎝⎭，∵x 0∈π,π2⎡⎤⎢⎥⎣⎦，∴03π5π13π4,444x ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦，故03π7π444x -=或03π9π444x -=， 解得05π8x =或03π4x =． 20．解：（1）当152,2a b =-=-时，2()|2|15f x x x =+-，所以方程即为：|2(22)|150x x +-= 解得：23x =或25x =-（舍），所以2log 3x =； （2）当0b =时，若不等式||2x a x x -≤在[0,2]x ∈上恒成立； 当0x =时，不等式恒成立，则a ∈R ；当02x <≤时，||2a x -≤在(0,2]上恒成立，即22x a -≤-≤在(0,2]上恒成立， 因为y x a =-在(0,2]上单调增，max 2y a =-，min y a >-，则222a a -≤⎧⎨-≥-⎩，得02a ≤≤；则实数a 的取值范围为[0,2]；（3）函数()f x 在[0,2]上存在零点，即方程||2x a x b -=-在[0,2]上有解； 设22()()()x ax x a h x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩当0a ≤时，则2(),[0,2]h x x ax x =-∈，且()h x 在[0,2]上单调增， 所以min ()(0)0h x h ==，max ()(2)42h x h a ==-， 则当0242b a ≤-≤-时，原方程有解，则20a b -≤≤； 当0a >时，22()()()x ax x a h x x ax x a ⎧-≥=⎨-+<⎩，()h x 在[0,]2a 上单调增，在[,]2aa 上单调减，在[,)a +∞上单调增；当22a≥，即4a ≥时，max min ()(2)24,()(0)0h x h a h x h ==-==， 则当0224b a ≤-≤-时，原方程有解，则20a b -≤≤；当22aa <≤，即24a ≤<时，2max min ()(),()(0)024a a h x h h x h ====，则当2024a b ≤-≤时，原方程有解，则208a b -≤≤；当02a <<时，2maxmin ()max{(),(2)}max{,42},()(0)024a a h x h h a h x h ==-==，当2424a a ≥-，即则42a -+≤<时，2max ()4a h x =， 则当2024ab ≤-≤时，原方程有解，则208a b -≤≤；当2424a a <-，即则04a <<-+max ()42h x a =-， 则当0242b a ≤-≤-时，原方程有解，则20a b -≤≤；综上，当4a <-+的取值范围为；当时，实数的取值范围为；当时，实数的取值范围为．b [2,0]a-44a -+<b 2[,0]8a -4a ≥b [2,0]a -。