第47课时-直线系与对称问题

课题：直线系与对称问题
教学目标：1.掌握过两直线交点的直线系方程；2.会求一个点关于一条直线的对称点的坐标的求法；3.会求一条直线关于一个点、一条直线的对称直线的求法.
教学重点：对称问题的基本解法
（一） 主要知识及方法：
1.点(),P a b 关于x 轴的对称点的坐标为(),a b -；关于y 轴的对称点的坐标为(),a b -；
关于y x =的对称点的坐标为(),b a ；关于y x =-的对称点的坐标为(),b a --. 2.点(),P a b 关于直线0ax by c ++=的对称点的坐标的求法：
()1设所求的对称点'P 的坐标为()00,x y ，则'PP 的中点00,2
2a x b y ++⎛⎫ ⎪⎝⎭一定在直线0ax by c ++=上. ()2直线'PP 与直线0ax by c ++=的斜率互为负倒数，即0
01y b
a
x a b -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭ 结论：点()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为()002,2x AD y BD --， 其中0022
Ax By C D A B ++=+；曲线C ：(,)0f x y =关于直线l ：0Ax By C ++=的对称曲线方程为()2,20f x AD y BD --=特别地，当22A B =，即l 的斜率为1±时，点
()00,P x y 关于直线l ：0Ax By C ++=对称点为00,By C Ax C A B ++⎛⎫-- ⎪⎝
⎭，即()00,P x y 关于直线0x y c ±+=对称的点为：()(),y c x c -+m m ，曲线(,)0f x y =关于0x y c ±+=的对称曲线为()(),0f y c x c -+=m m
3.直线1110a x b y c ++=关于直线0ax by c ++=的对称直线方程的求法：
①到角相等；②在已知直线上去两点（其中一点可以是交点，若相交）求这两点关于对称轴的对称点，再求过这两点的直线方程；③轨迹法(相关点法)；④待定系数法，利用对称轴所在直线上任一点到两对称直线的距离相等，…
4.点(),x y 关于定点(),a b 的对称点为()2,2a x b y --，曲线C ：(),0f x y =关于定
点(),a b 的对称曲线方程为()2,20f a x b y --=. 5.直线系方程：
()1直线y kx b =+（k 为常数，b 参数；k 为参数，b 位常数）.
()2过定点()00,M x y 的直线系方程为()00y y k x x -=-及0x x =
()3与直线0Ax By C ++=平行的直线系方程为10Ax By C ++=（1C C ≠） ()4与直线0Ax By C ++=垂直的直线系方程为0Bx Ay m -+=
()5过直线11110l a x b y c ++=：和22220l a x b y c ++=：的交点的直线系的方程为：
()()1112220a x b y c a x b y c λ+++++=（不含2
l ） （二）典例分析：
问题1．（06湖北联考）一条光线经过点()2,3P ，射在直线l ：10x y ++=上， 反射后穿过点()1,1Q .()1求入射光线的方程；()2求这条光线从点P 到点Q 的长度.
问题2．求直线1l ：23y x =+关于直线l ：1y x =+对称的直线2l 的方程.
问题3．根据下列条件，求直线的直线方程
()1求通过两条直线3100x y +-=和30x y -=的交点，且到原点距离为1； ()2经过点()3,2A ，且与直线420x y +-=平行；
()3经过点()3,0B ，且与直线250x y +-=垂直.
问题4．()1已知方程1x kx =+有一正根而没有负根，求实数k 的范围
()2若直线1l ：2y kx k =++与2l ：24y x =-+的交点在第一象限，求k 的取值范围.
()3 已知定点()2,1P --和直线l ：()()()1312250x y λλλ+++-+=()R λ∈
求证：不论λ取何值，点P 到直线l
（三）课后作业：
1.方程()()()14232140k x k y k +--+-=表示的直线必经过点
.A ()2,2 .B ()2,2- .C ()6,2- .D 3422,55⎛⎫ ⎪⎝⎭
2.直线2360x y +-=关于点()1,1-对称的直线方程是
.A 3220x y -+=.B 2370x y ++=.C 32120x y --=.D 2380x y ++=
3.曲线24y x =关于直线20x y -+=对称的曲线方程是
4.(){}.A x y y a x =
=，(){},B x y y x a ==+，A B I 仅有两个元素，则实数a 的范围是
5.求经过直线3260x y ++=和2570x y +-=的交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程
6.已知ABC △的顶点为()1,4A --，,B C ∠∠的平分线所在直线的方程分别是1l ： 10y +=与2l ：10x y ++=，求BC 边所在直线的方程.
7.已知直线130kx y k -+-=，当k 变化时所得的直线都经过的定点为
8.求证：不论m 取何实数，直线()()1215m x m y m -+-=-总通过一定点
9.求点P ()1,1关于直线l ：20x y ++=的对称点Q 的坐标
10.已知：(),P a b 与()1,1Q b a -+，()1a b ≠-是对称的两点，求对称轴的方程
11.光线沿直线1l ：250x y -+=射入，遇到直线2l ：3270x y -+=反射，求反射光
线所在的直线3l 的方程
12.已知点()3,5A -，()2,15B ，
试在直线l ：3440x y -+=上找一点P ，使PA PB + 最小，并求出最小值.
（四）走向高考：
13.（02北京）若直线l ：y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，
则直线l 的倾斜角的取值范围是 .A ,63ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭.B ,62ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.C ,32ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭.D ,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
14.（03全国文）直线2y x =关于x 轴对称的直线方程为
.A 12y x =- .B 12
y x = .C 2y x =- .D 2y x =
15.(04安徽春)已知直线l ：10x y --=，1l ：220x y --=.若直线2l 与1l 关于l 对 称，则2l 的方程为.A 210x y -+=.B 210x y --=.C 10x y +-=.D 210x y +-=
16.（05上海）直线12
y x =
关于直线1x =对称的直线方程是 17.（07上海文）圆01222=--+x y x 关于直线032=+-y x 对称的圆的方程是 .A 21)2()3(22=
-++y x .B 21)2()3(22=++-y x .C 2)2()3(22=-++y x .D 2)2()3(22=++-y x。