四川省绵阳市2012届高三第三次诊断性考试数学(理)试题
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}1==x x M ，{}x x x N ==2，则=⋃N M () A.{}1B.{}1,1- C.{}1,0 D.{}1,0,1- 【答案】D2.复数25-i 的共轭复数是() A.i +-2 B.i +2 C.i --2 D.i -2 【答案】A3.执行如右图所示的程序框图，如输入2=x ，则输出的值为()A.9B.9log 8C.5D.5log 8 【答案】B4.已知向量)1,3(-=a ，)2,1(-=b ，)1,2(=c .若),(R y x yc xb a ∈+=，则=+y x () A.2B.1C.0D.21 【答案】C 【解析】5.已知命题a x R x p ＞sin ,:∈∃，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围为() A.1＜a B.1≤a C.1=a D.1≥a6.已知]2,2[-∈a ，则函数12)(2++=ax x x f 有零点的概率为() A.21B.31C.41D.51【答案】A 【解析】7.若抛物线x y C 4:21=的焦点F 恰好是双曲线)0,0(1:2222＞＞b a b y a x C =-的右焦点，且1C 与2C 交点的连线过点F ，则双曲线2C 的离心率为() A.12+ B.122- C.223+ D.226+【答案】A 【解析】考点：抛物线、双曲线的几何性质.8.已知函数)0(sin )(＞w wx x f =的一段图像如图所示，△ABC 的顶点A 与坐标原点O 重合，B 是)(x f 的图像上一个最低点，C 在x 轴上，若内角C B A ,,所对边长为c b a ,,，且△ABC 的面积S 满足22212a c b S -+=，将)(x f 右移一个单位得到)(x g ，则)(x g 的表达式为()A.)2cos()(x x g π=B.)2cos()(x x g π-=C.)212sin()(+=x x g D.)212sin()(-=x x g【答案】B 【解析】试题分析：自点B 向x 轴作垂线，D 为垂足.9.为了了解小学生的作业负担，三名调研员对某校三年级1至5名进行学情调查，已知这5个班在同一层楼并按班号排列。
四川省绵阳市高考数学第三次诊断性考试 理
绵阳市高中2012级第三次诊断性考试数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页，第II 卷3至4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5亳米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置.2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3. 考试结束后，将答题卡收回. 参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式 ()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k kn k n n P k C P P -=-第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足z •(1－i)=2i(其中i 为虚数单位)，则z 的值为 (A) –1－i (B) -1+i( C) 1-i (D) 1+i2. 已知集合，，则= (A)(B)(C)(D)3. 若函数/(X)=在R 上连续，则实数a 的值为 (A) -1 (B)O(C)(D) 14. l1,l2是空间中两条不同的直线，a,β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(A)(B)(C)(D)5. 已知两非零向量a,b,则是“a与b共线”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件 (D)既不充分也不必要条件6. 设f(X)是定义在R上周期为4的奇函数，当时，，则f(5)的值为(A) 4 (B) -4 (C) 2 (D) -27. 已知正项等差数列{an}的前n项和为Sn，且S15=45,M为a5, a11的等比中项，则M的最大值为(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 368. 已知点是圆内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程为，那么(A)且m与圆C相切（B)且/W与圆C相切(C)且m与圆C相离（D)且w与圆C相离9. 某运输公司有7辆载重量为8吨的J型卡车与4辆载重量为10吨的5型卡车，有9名驾驶员.在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360吨沥青的任务.己知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车6次.每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元，B型车180元.该公司每天合理派出A型车与B型车，使得每天所花的最低成本费为(A) 1200 元 (B) 1320 元(C) 1340 元（D) 1520 元10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示.则的图象可由函数y=cosx的图象（纵坐标不变）(A) 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位(B) 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位(C) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位(D) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位11. 已知双曲线C:(a>09 b>0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A,B 两点,若，则C的离心率为(A) (B) (C) 2 (D)12. 形如34021这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字、千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，现从由0, 1, 2, 3, 4, 5组成的数字不重复的五位数中任取一个，则该数是“波浪数”的概率为(A) (B) (C) (D)第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 抛物线的焦点坐标为.________14. 若展开式中常数项为60,则实数a=________15. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的体积是，则A、B两点的球面距离为________16. 对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间和常数c，使得对任意x1,都有，且对任意x2D,当时，恒成立，则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数为R上的“平顶型”函数；③函数f(x)=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当时，函数，是区间上的“平顶型”函数.其中正确的是________.(填上你认为正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本题满分12分）已知向量.(I )当m//n时，求的值；(II)已知在锐角ΔABC中，a, b, c分别为角A,B,C的对边，，函数，求的取值范围.18. (本题满分12分）某电视台有A、B两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B.已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为.(I )求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；(II) 记游戏A、B被闯关成功的总人数为，求的分布列和期望.19. (本题满分12分）如图，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB上一点(I) 当点E为AB的中点时,求证；BD1//平面A1DE(II )求点A1到平面BDD1的距离；(III) 当时，求二面角D1-EC-D的大小.20. (本题满分12分）已知函数的图象在点(1, f(1))处的切线方程为x-y-2=0(I )用a表示b, c；(II) 若函数g(x)=x-f(x)在上的最大值为2，求实数a的取值范围.21. (本题满分12分）在ΔABC中，顶点A,B, C所对三边分别是a,b,c已知B(-1, 0), C(1, 0),且b,a, c成等差数列.(I )求顶点A的轨迹方程；(II) 设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，如果存在过点P(0,-)的直线l,使得点M、N关于l对称，求实数m的取值范围.22. (本题满分14分）已知数列{an}各项均为正数，Sn为其前n项和，对于，总有成等差数列.(I )求数列{an}的通项an；(II )设数列的前n 项和为Tn,数列{Tn}的前n 项和为Rn,求证：时，；(III)对任意，试比较与的大小绵阳市高2012级第三次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． BCDBA CACAB AD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．(410-，)14．±215．arccos 3116．①④三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（I ）由m//n ，可得3sinx=-cosx ，于是tanx=31-．∴ 922)31(31312tan 31tan cos 2sin 3cos sin -=--⋅+-=-+=-+x x x x x x ． …………………………4分（II ）∵在△ABC 中，A+B=π-C ，于是C B A sin )sin(=+， 由正弦定理知：C A C sin sin 2sin 3⋅=， ∴23sin =A ，可解得3π=A ． ………………………………………………6分又△ABC 为锐角三角形，于是26ππ<<B ，∵ )(x f =(m+n)·n=(sinx+cosx ，2)·(sinx ，-1)=sin2x+sinxcosx-2=22sin 2122cos 1-+-x x =23)42sin(22--πx ， ∴232sin 2223]4)8(2sin[22)8(-=--+=+B B B f πππ．……………………10分由26ππ<<B 得ππ<<B 23，∴ 0<sin2B ≤1，得23-<232sin 22-B ≤2322-． 即]232223()8(--∈+，πB f ．………………………………………………12分18．解：（I ）设“i 个人游戏A 闯关成功”为事件Ai(i=0，1，2)，“j 个人游戏B 闯关成功”为事件Bj(j=0，1，2)，则“游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数”为A1B0+A2B1+A2B0． ∴ P(A1B0+A2B1+A2B0) =P(A1B0)+P(A2B1)+P(A2B0)=P(A1)·P(B0)+P(A2)·P(B1)+P(A2)·P(B0)=22222120222200212)31()21(3132)21()21()31()32(2121⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅C C C C C C 367=．即游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数的概率为367．……4分（II ）由题设可知：ξ=0，1，2，3，4．361)31()21()0(202202=⋅⋅==C C P ξ，61366)21(3132)31(2121)1(2021222212==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C C C P ξ，361331322121)21()32()31()21()2(1212222222222222=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==CCCCCCPξ，3136122121)32(3132)21()3(1222212222==⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==CCCCPξ，91364)32()21()4(22==⋅==ξP．∴ξ的分布列为：……………………………………………………………………10分∴ Eξ=37914313361326113610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯．………………………12分19．解法一：（I）证明：连结AD1交A1D于F，则F为中点，连结EF，如图．∵ E为中点，∴ EF//BD1．又EF⊂面A1DE，BD1⊄面A1DE，∴ BD1//面A1DE．……………………………………………………………3分（II）在Rt△ABD中，AB=2AD=2，可得BD=5，∴252111=⨯⨯=∆DDBDSBDD，212111111=⨯⨯=∆DDDASDDA，设A1到面BDD1的距离为d，则由1111DDABBDDAVV--=有1113131DDABDDSABSd∆∆⋅=⋅⋅，即212312531⋅⋅=⋅⋅d，解得552=d，即A1到面BDD1的距离为552．……………………………………………8分（III）连结EC．A1D1由AB AE 21=，有32=AE ，34=EB ， 过D 作DH ⊥EC 于H ，连结D1H ，由已知面AA1D1D ⊥面ABCD 且DD1⊥AD ， ∴DD1⊥面ABCD ．由三垂线定理知：D1H ⊥EC ，∴ ∠DHD1为D1-EC-D 的平面角．Rt △EBC 中，由34=EB ，BC=1，得35=EC ． 又DH ·EC=DC ·BC ，代入解得56=DH ，∴在Rt △DHD1中，65561tan 11===∠DH DD DHD ．∴65arctan1=∠DHD ，即二面角D1-EC-D 的大小为65arctan．…………12分 解法二：（I ）同解法一．………………3分 （II ）由面ABCD ⊥面ADD1A ，且四边形AA1D1D 为正方形，四边形ABCD 为矩形，可得D1D⊥AD ，D1D ⊥DC ，DC ⊥DA ．于是以D 为原点，DA ，DC ，DD1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 由AB=2AD=2知：D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，B(1，2，0)，∴ =(1，2，0)，1DD =(0，0，1)，B A 1=(0，2，-1)．设面BDD1的一个法向量为n1)1(11z x ，，=， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00111DD n n 即⎩⎨⎧==+，，00211z x ∴)012(1，，-=n ． ∴ 点A1到面BDD1的距离552||||111=⋅=n n A d ． …………………………8分（III ）由（II ）及题意知：E(1，32，0)，C(0，2，0)，)1321(1-=，，E D ，)0341(，，-=EC ．设面D1EC 的一个法向量为)1(222，，y x =n ， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00212D n n 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+，，03401322222y x y x 可得)12132(2，,n =．又易知面DEC 的一个法向量是=1DD (0，0，1)，设D1-EC-D 的大小为θ，则6161616611||||cos 1212=⨯=⋅=DD n θ，得61616arccos=θ．即D1-EC-D 的大小为61616arccos．………………………………………12分20．解：（I ）)0()(2>+-='a x bx a x f ，由题，1)1(='f ，得-a+b=1．∴ b=a+1．又切点(1，a+c)在直线x-y-2=0上，得1-(a+c)-2=0，解得c=-a-1． ………………………………………………………………4分（II ）g(x)cx b x ax ---=ln1ln )1(+++--=a x a x ax ，∴ 222))(1()1(11)(x a x x x a x a x x a x a x g --=++-=+-+='2，令0)(='x g ，得x=1，或x=a ．………………………………………………8分i)当a ≥1时，由0<x ≤1知，)(x g '≥0，∴ g(x)在(0，1]上递增．∴ g(x)max=g(1)=2．于是a ≥1符合条件． ………………………………………………………10分 ii)当0<a<1时，当0<x<a 时，0)(>'x g ；a<x<1时，g '(x)<0，∴ g(x)在(0，a)上递增，g(x)在(a ，1)上递减． 得g(x)max=g(a)>g(1)=2，与题意矛盾． ∴ 0<a<1不符合题意．综上知实数a 的取值范围为[)∞+，1．………………………………………12分 21．解：（I ）由题知⎩⎨⎧=+=，，a cb a 22得b+c=4，即|AC|+|AB|=4（定值）．由椭圆定义知，顶点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆（除去左右顶点）， 且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为3．∴ 顶点A 的轨迹方程为)0(13422≠=+y y x ．………………………………4分（II ）由⎩⎨⎧=-++=，，0124322y x m kx y消去y 整理得(3+4k2)x2+8kmx+4(m2-3)=0．∴ Δ=(8km)2-4(3+4k2)×4(m2-3)>0， 整理得：4k2>m2-3．①令M(x1，y1)，N(x2，y2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+，，222122143)3(4438k m x x k km x x设MN 的中点P(x0，y0)，则，2210434)(21k kmx x x +-=+=2021210433)(21)(21k mkx m m kx m kx y y y +=+=+++=+=，…………………7分 i)当k=0时，由题知，)30()03(，，⋃-∈m ．……………………………8分 ii)当k ≠0时，直线l 方程为x k y 121-=+，由P(x0，y0)在直线l 上，得2243421433k m k m +=++，得2m=3+4k2．②把②式代入①中可得2m-3>m2-3，解得0<m<2.又由②得2m-3=4k2>0，解得23>m ．∴ 223<<m ．验证：当(-2，0)在y=kx+m 上时，得m=2k 代入②得4k2-4k+3=0，k 无解． 即y=kx+m 不会过椭圆左顶点.同理可验证y=kx+m 不过右顶点．∴ m 的取值范围为(223，)．………………………………………………11分 综上，当k=0时，m 的取值范围为)30()03(，，⋃-；当k ≠0时，m 的取值范围为(223，)．……………………………12分22．解：（I ）由题意，得22n n n a a S +=（n ∈N*）．于是21112++++=n n n a a S ，两式相减，得221112n n n n n a a a a a -+-=+++，即an+1+an=(an+1+an)(an+1-an)，由题，an>0，an+1+an ≠0，得an+1-an=1，即{an}为公差为1的等差数列．又由21112a a S +=，得a1=1或a1=0（舍去）．∴ an=1+(n-1)·1=n (n ∈N*)．……………………………………………5分（II ）证法一：由（I ）知n a n 11=，于是n T n 131211+⋅⋅⋅+++=，于是当n ≥2时，13211--+⋅⋅⋅+++=n n T T T T R =)1131211()31211()211(1-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++++n=113322)1(-+⋅⋅⋅+-+-+-n n n n =11113121-+--+⋅⋅⋅+-+-+-n nn n nn n =n n n -+⋅⋅⋅+++)131211(=n(Tn-1). ………………………………………………………………10分法二：①当n=2时，R1=T1=11a =1，2(T2-1)=2()1211-+=1，∴ n=2时，等式成立．②假设n=k （k ≥2）时，等式成立，即)1(1-=-k k T k R ，当n=k+1时，k k k T R R +=-1=k k T T k +-)1(=k T k k -+)1( =ka T k k k --+++)1)(1(11 =k k T k k -+-++)11)(1(1=k T k k --++1)1(1=)1)(1(1-++k T k ．∴ 当n=k+1时，等式也成立．综合①②知，原等式对n ≥2，n ∈N*均成立． …………………………10分（III ）由（I ）知，∑∑==-=n i n i i i a 13131． 由分析法易知，112++->k k k ，当k ≥2时，11123-⋅<k k k k k k 2112⋅-⋅+=)11(112++-+⋅-<k k k k 1111+⋅---+=k k k k1111+--=k k ，∴ 333131211n +⋅⋅⋅+++ )121()4121()311(1n n --+⋅⋅⋅+-+-+<)1111(+--+n n111222+--+=n n ． 即22211113+<+++∑=-ni i a n n ． ………………………………………14分。
绵阳市高三三次诊断性考试理科综合能力测试参考答案及评分标准.doc
绵阳市高2012级第三次诊断性考试理科综合能力测试参考答案及评分标准第I卷（选择题，共126分）一、在每题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的。
共13题，每题6分。
1. D2. A3. C4. D5. B6. C7. D8. A9. B 10. D 11. B 12. C 13. C二、本题包括8小题。
每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项正确，有的有多个选项正确，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错或不答的得。
分。
14.D 15.D 16.C 17.B 18.A 19.C 20.AD 21.BC第II卷（选择题，共174分）22.（1） 6.223 （2 分,6.221—6.225 都给分）。
（2）CDF（3 分），CD（3 分）。
（3）① C （3 分）；②Ai （2 分），UJSL（2 分），3* _也（2 分）。
23.解：（1）设带电物块向右做匀减速直线运动过程中，加速度大小为％,时间为匕，通过的位移为X1，贝UEq+"mg = ma\ (1)分t\ —V Q/C I\ (1)X\ = O02/2<71 (1)分解得«i = 25 m/s2, A= 0.4 s, xi = 2 m/i=0.4 s之后，带电物块向左做匀加速直线运动，设加速度大小为％，时间为如通过的位移为和则Eq-^img = ma^ (1)分，2= t — t\ (1)分1 2x2=万即2 =1.2m (1)分解得- 15m/s2, Z2=0.4 S,》2=1.2m一、2=0.8m, 方向水平向右。
(2)分（2）设0.8s内电场力做功为匹1，贝IJ仍=_&驻=_3.2、10勺 (1)0.8s后，设带电物块受到竖直向上的电场力为F,且F=^=4.0xl0"2N>mg,所以，带电物块开始在水平方向做的匀速运动，竖直方向做初速为零的匀加速运动，设加速度为久，在竖直方向的位移为)，，电场力做功为匹2,则F - mg =秫。
2012届四川绵阳南山中学高三第三次诊断性考试(理数)
A．500 元
B．700 元
C．400 元
D．650 元
9. 有五名同学站成一排照毕业纪念照，其中甲不排在乙的左边，又不与乙相邻，则不同的站法共有 （ ）
A．66 种
10. 设点 P 是椭圆
B．60 种
C．36 种
D．24 种
x2 y2 1 （ a b 0 ）上一点，F1、F2 分别是椭圆的左、右焦点，I 为△PF1F2 a 2 b2
a1 a3 2a2 .
其中真命题的序号为__________.(所有正确命题的序号都写上) ． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共 6 小题，共 74 分） 17.（本题满分 12 分）已知函数 f ( x ) sin( x ( 1 ) 求函数 f(x)的单调递增区间； ( 2 ) 记 ABC 的三内角 A、B、C 所对的边长分别为 a 、 b 、 c ,若 f ( A)
的内心,若 S IPF1 S IPF2 2 S IF1F2 ，则该椭圆的离心率是（
）
A.
1 2
B.
2 2
C.
3 2
D.
1 4
）
11. 关于 x 的不等式 x 2 9 | x 2 3 x | kx 在 x [1,5] 上恒成立, 则实数 k 的取值范围为（
A． , 6
南山中学高 2012 级四月月考(理)数学试题参考答案及评分标准
命题:李庆普 一、选择题： CBADC BBDCA AD 胡小益 审题:贺松林 王正良
f x f ' x g x g ' x f x f x 12. 由 单调递减， 0, 2 g x g x g x
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学理试题
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学理试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足（是虚数单位），则 z =（）A. 1B. -1C.2D.2. 已知集合，，集合，则集合的子集个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 下表是某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据，用最小二乘法得到关于的线性回归方程，则（）A. 0.25B. 0.35C. 0.45D. 0.554. 已知实数满足，则的最小值是（）A. 4B. 5C. 6D. 75. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的取值范围是（）A. B. C. D.6. 甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是（）A. 吉利，奇瑞B. 吉利，传祺C. 奇瑞，吉利D. 奇瑞，传祺7. 如图1，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，是侧棱上靠近点的四等分点，.该四棱锥的俯视图如图2所示，则的大小是（）A. B. C. D.8. 在区间上随机取一个实数，则事件“”发生的概率是（）A. B. C. D.9. 双曲线的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（）A. B. C. 1 D. 210. 已知圆，圆交于不同的，两点，给出下列结论：①；②；③，.其中正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 311. 中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（）A. B. C. D.12. 对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中，的系数是__________．14. 奇函数的图象关于点对称，，则__________．15. 已知圆锥的高为3，侧面积为，若此圆锥内有一个体积为的球，则的最大值为__________．16. 如图，在中，，，的垂直平分线与分别交于两点，且，则__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和满足：.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，数列的前项和为，试问当为何值时，最小？并求出最小值.18. 十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量（单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立.（Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当时，经济损失为60万元.为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施.试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由.19. 如图，在五面体中，棱底面，.底面是菱形，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.20. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，轴，直线交轴于点，，为椭圆上的动点，的面积的最大值为1.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作两条直线与椭圆分别交于，且使轴，如图，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.21. 已知函数的两个极值点满足，且，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）求的取值范围.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴及轴正半轴交于点，在第一象限内曲线上任取一点，求四边形面积的最大值.23. 选修4-5：设函数.（Ⅰ）若的最小值是4，求的值；（Ⅱ）若对于任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围.四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学理试题（解析版）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若复数满足（是虚数单位），则 z =（）A. 1B. -1C.2D.【答案】A、详解：由题设有，选A.点睛：本题考查复数的加、减、乘、除等四则运算，属于基础题.2. 已知集合，，集合，则集合的子集个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】分析：为一元二次不等式的解集，可先计算出，求得为单元素集合，其子集的个数为2.详解：由题设有，故，所以的子集的个数为，选B.点睛：本题为集合与集合的交集运算，它们往往和一元二次不等式结合在一起考查，注意如果一个有限集中元素的个数为，那么其子集的个数为.3. 下表是某厂节能降耗技术改造后生产某产品过程中记录的产量（吨）与相应的生产能耗（吨标准煤）的几组对照数据，用最小二乘法得到关于的线性回归方程，则（）A. 0.25B. 0.35C. 0.45D. 0.55【答案】B【解析】分析：题设中给出了关于的线性回归方程中的一个参数，可利用计算.详解：由题设有，故，解得，选B.点睛：本题考查线性回归方程中系数的计算，注意线性回归方程表示的直线必过点.4. 已知实数满足，则的最小值是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】C【解析】分析：题设中给出的是二元一次不等式组，要求的是线性目标函数的最小值，可以先画出不等式组对应的可行域，再把目标函数看成一条动直线即可判断出目标函数的最小值.详解：不等式组对应的可行域如图所示：由当动直线过时，取最小值为6，选C.点睛：当题设条件给出的是关于的二元一次不等式组时，我们可考虑利用线性规划来求目标函数的最值.5. 执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：题设中的算法是结合的范围计算分段函数的函数值.详解：由题设有，当时，；当时，，从而当时，，选C.点睛：本题考察算法中的选择结构，属于基本题. 解题时注意判断的条件及其每个分支对应的函数形式.6. 甲、乙、丙三人各买了一辆不同品牌的新汽车，汽车的品牌为奇瑞、传祺、吉利.甲、乙、丙让丁猜他们三人各买的什么品牌的车，丁说：“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞，丙买的不是吉利.”若丁的猜测只对了一个，则甲、乙所买汽车的品牌分别是（）A. 吉利，奇瑞B. 吉利，传祺C. 奇瑞，吉利D. 奇瑞，传祺【答案】A【解析】分析：因为丁的猜测只对了一个，所以我们从“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个判断着手就可以方便地解决问题.详解：因为丁的猜测只对了一个，所以“甲买的是奇瑞，乙买的不是奇瑞”这两个都是错误的.否则“甲买的不是奇瑞，乙买的不是奇瑞”或“甲买的是奇瑞，乙买的是奇瑞”是正确的，这与三人各买了一辆不同的品牌矛盾，“丙买的不是吉利”是正确的，所以乙买的是奇瑞，甲买的是吉利，选A.点睛：本题为逻辑问题，此类问题在解决时注意结合题设条件寻找关键判断.7. 如图1，四棱锥中，底面，底面是直角梯形，是侧棱上靠近点的四等分点，.该四棱锥的俯视图如图2所示，则的大小是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析：根据俯视图，计算的长度，然后在直角三角形中，计算的大小即可.详解：在俯视图中，因为，所以，而四边形为直角梯形，故为直角三角形斜边上的高且大小为，又，所以在直角三角形中，，从而，，选C.点睛：本题中所要求解的角是直角三角形内角的补角，该直角三角形的一个直角边已知，所以只要求出的长度即可，但该长度隐含在俯视图中，利用勾股定理和等积法可以求出其大小.8. 在区间上随机取一个实数，则事件“”发生的概率是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据给出的三角不等式求出所在的区间，计算出该区间的长度再利用几何概率的计算方法计算概率.详解：，从而.而，所以，也就是，故所求概率为，选B.点睛：几何概型的概率计算关键是基本事件的测度的选取，通常是线段的长度、平面区域的面积或几何体的体积等.9. 双曲线的离心率是，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，若的面积是1，则双曲线的实轴长是（）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】分析：利用点到直线的距离计算出，从而得到，再根据面积为1得到，最后结合离心率求得.详解：因为，，所以，故即，由，所以即，故，双曲线的实轴长为.点睛：在双曲线中有一个基本事实：“焦点到渐近线的距离为虚半轴长”，利用这个结论可以解决焦点到渐进线的距离问题.10. 已知圆，圆交于不同的，两点，给出下列结论：①；②；③，.其中正确结论的个数是（）A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】D【解析】分析：根据两个圆的标准方程得到公共弦的方程为，两点均在该直线上，故其坐标满足①②.而的中点为直线与直线的交点，利用直线方程构成的方程组可以得到交点的坐标，从而得到③也是正确的.详解：公共弦的方程为，所以有，②正确；又，所以，①正确；的中点为直线与直线的交点，又，.由得，故有，③正确，综上，选D.点睛：当两圆相交时，公共弦的方程可由两个圆的方程相减得到，而且在解决圆的有关问题时，注意合理利用圆的几何性质简化计算.11. 中，，，，点是内（包括边界）的一动点，且，则的最大值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】分析：根据点在三角形内部（含边界）可以得到，再通过的解析式来求的最大值.详解：因为为三角形内（含边界）的动点，所以，从而.又，因为，所以的最大值为，故，选B.点睛：本题中向量的模长、数量积都是已知的，故以其为基底计算，其中的取值范围可以由的位置来确定.12. 对于任意的实数，总存在三个不同的实数，使得成立，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】分析：题设中给出的二元方程可以化简为，因为对每一个，总有三个不同的使得等式成立，因此我们需要研究的值域和的图像，两者均需以导数为工具来研究它们的单调性.详解：由题设有.令，.，当时，，在为单调增函数，所以的值域为.，当时，，当时，，当时，，所以当时，是减函数，当时，是增函数，当时，是减函数，所以的图像如图所示.因为关于的方程，对任意的总有三个不同的实数根，所以，也就是，选A.点睛：较为复杂函数的零点个数问题，均需以导数为工具研究函数的极值，从而刻画出函数的图像，最后数形结合考虑参数的取值范围.第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 的展开式中，的系数是__________．【答案】16【解析】分析：展开式中的系数取决于展开式中的和的系数，后者可以利用二项展开式的通项求得.详解：的展开式中，，故的系数分别为，从而的展开式中的系数为.点睛：本题考虑二项展开式中特定项的系数的计算，这类问题可利用多项式的乘法和二项展开式的通项来处理.14. 奇函数的图象关于点对称，，则__________．【答案】2【解析】分析：因为函数的图像具有两个对称中心，可通过解析式满足的条件推出函数为周期函数且周期为2，从而求出.详解：由题设有，从而有，为周期函数且周期为，所以 .点睛：一般地，定义在上的函数如果满足，（），那么的一个周期为.15. 已知圆锥的高为3，侧面积为，若此圆锥内有一个体积为的球，则的最大值为__________．【答案】详解：设圆锥的母线长，底面的半径为，则即，又，解得.当球的体积最大时，该球为圆锥的内切球，设内切球的半径为，则，故，所以.点睛：对于圆锥中的基本量的计算，可以利用轴截面来考虑，因为它集中了圆锥的高、底面的半径和圆锥的母线长.16. 如图，在中，，，的垂直平分线与分别交于两点，且，则__________．【答案】【解析】分析：连接，因为是中垂线，所以.在中，由正弦定理得到与角的关系.在直角三角形中，，两者结合可得的大小，从而在中利用正弦定理求得，最后在中利用余弦定理求得..详解：由题设，有，所以，故.又，所以，而，故，因此为等腰直角三角形，所以.在中，，所以，故，在中，.点睛：解三角形时，如果题设给出的几何量分散在不同的三角形中，我们就需要找出沟通这些不同三角形的几何量，如本题中的和，通过它们得到分散的几何量之间的关系.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知数列的前项和满足：.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若，数列的前项和为，试问当为何值时，最小？并求出最小值.【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）-10.【解析】分析：（Ⅰ）题设给出了与的关系，从该关系可以得到或以及，故可得的两种不同的通项；（Ⅱ）数列为等差数列，其前项和的最值与项的正负相关，故考虑项何时变号即可.详解：（Ⅰ）由已知，可得当时，，可解得，或，当时，由已知可得，两式相减得.若，则，此时数列的通项公式为.若，则，化简得，即此时数列是以2为首项，2为公比的等比数列，故.∴综上所述，数列的通项公式为或.（Ⅱ）因为，故.设，则，显然是等差数列，由解得，∴当或，最小，最小值为.点睛：（1）一般地，如果知道，那么我们可以利用将前者转化为关于或的递推关系；（2）数列前项和的最值往往和项的正负有关，解题时注意合理使用.18. 十九大提出，加快水污染防治，建设美丽中国.根据环保部门对某河流的每年污水排放量（单位：吨）的历史统计数据，得到如下频率分布表：将污水排放量落入各组的频率作为概率，并假设每年该河流的污水排放量相互独立.（Ⅰ）求在未来3年里，至多1年污水排放量的概率；（Ⅱ）该河流的污水排放对沿河的经济影响如下：当时，没有影响；当时，经济损失为10万元；当时，经济损失为60万元.为减少损失，现有三种应对方案：方案一：防治350吨的污水排放，每年需要防治费3.8万元；方案二：防治310吨的污水排放，每年需要防治费2万元；方案三：不采取措施.试比较上述三种文案，哪种方案好，并请说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）方案二.【解析】分析：（Ⅰ）根据给出的频率分布表可以得到每年排放量在吨到吨的概率为，而三年中之多有一年排放量满足题设要求的概率可由二项分布来计算.（Ⅱ）考虑不同方案导致的经济损失.方案一的经济损失为万元；方案二中，排列量在吨到吨的概率为，相应的经济损失为万，排放量不在此范围内的概率为，相应的经济损失为防治费万，故经济损失的数学期望为，同理可以计算出方案三的经济损失的数学期望为万，故方案二较好.详解：（Ⅰ）由题得，设在未来3年里，河流的污水排放量的年数为，则.设事件“在未来3年里，至多有一年污水排放量”为事件，则.∴在未来3年里，至多1年污水排放量的概率为.（Ⅱ）方案二好，理由如下：由题得，.用分别表示方案一、方案二、方案三的经济损失.则万元.的分布列为：.的分布列为：.∴三种方案中方案二的平均损失最小，所以采取方案二最好.点睛：本题为统计与离散型随机变量的综合题，往往需要从频率分布表中得到随机事件发生的概率，注意常见的离散型随机变量的概率分布（如二项分布、超几何分布等）.另外，这类问题还涉及到不同方案的选择，我们往往通过数学期望或方差来决定方案的优劣.19. 如图，在五面体中，棱底面，.底面是菱形，.（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的余弦值.【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）要证明，可证明，它可由证得.（Ⅱ）取的中点为，可证，，从而建立空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，计算两个法向量夹角的余弦值则可得二面角的相应的余弦值.详解：（Ⅰ）在菱形中，，∵，，∴.又，面，∴.（Ⅱ）作的中点，则由题意知，∵，∴.如图，以点为原点，建立空间直角坐标系，设，则，，，，∴，，.设平面的一个法向量为，则由，，得，令，则，，即，同理，设平面的一个法向量为，由，，得，令，则，，即，∴，即二面角的余弦值为.点睛：立体几何中二面角的余弦值的计算可以用空间向量来计算，注意对建立空间直角坐标系的合理性的证明（即要有两两垂直且交于一点的三条直线）.20. 如图，椭圆的左、右焦点分别为，轴，直线交轴于点，，为椭圆上的动点，的面积的最大值为1.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作两条直线与椭圆分别交于，且使轴，如图，问四边形的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）意味着通径的一半，最大面积为，所以，故椭圆的方程为.(Ⅱ)根据对称性，猜测定点必定在轴上，故可设，，则，，再设，根据三点共线可以得到，联立直线和椭圆的标准方程后消去，利用韦达定理可以得到，从而过定点，同理直线也过即两条直线交于定点.详解：（Ⅰ）设，由题意可得，即.∵是的中位线，且，∴，即，整理得.①又由题知，当在椭圆的上顶点时，的面积最大，∴，整理得，即，②联立①②可得，变形得，解得，进而.∴椭圆的方程式为.(Ⅱ)设，，则由对称性可知，.设直线与轴交于点，直线的方程为，联立，消去，得，∴，，由三点共线，即，将，代入整理得，即，从而，化简得，解得，于是直线的方程为， 故直线过定点.同理可得过定点，∴直线与的交点是定点，定点坐标为.点睛：（1）若椭圆的标准方程为，则通径长为；（2）圆锥曲线中的直线过定点问题，往往需要设出动直线方程，再把定点问题转为动点的横坐标或纵坐标应该满足的关系，然后联立方程用韦达定理把前述关系化简即可得到某些参数的关系或确定的值，也就是动直线过某定点. 21. 已知函数的两个极值点满足，且，其中为自然对数的底数.（Ⅰ）求实数的取值范围；（Ⅱ）求的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）由题设有，因为有两个极值点且，所以有两个不同解为，故，结合题设有，从而得到.（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，所以，又，从而，其中，利用导数可以求出该函数的值域.详解：（Ⅰ），由题意知即为方程的两个根.由韦达定理：，所以且.令，则由可得，解得.（Ⅱ），∵，∴，由（Ⅰ）知，代入得，令，于是可得，故∴在上单调递减，∴.点睛：（1）因为函数在上导数是存在的，所以函数的极值点即为导数的零点，也是对应的一元二次方程的根，利用根分布就可以求出参数的取值范围.（2）复杂的多元函数的最值问题可以先消元处理，再利用导数分析函数的单调性从而求出函数的值域.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. 选修4-4：坐标系与参数方程以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，且在两种坐标系中取相同的长度单位.曲线的极坐标方程是.（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）设曲线与轴正半轴及轴正半轴交于点，在第一象限内曲线上任取一点，求四边形面积的最大值.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）把整合成，再利用就可以得到曲线的直角坐标方程；（Ⅱ）因为在椭圆上且在第一象限，故可设，从而所求面积可用的三角函数来表示，求出该函数的最大值即可.详解：（Ⅰ）由题可变形为，∵，，∴，∴.（Ⅱ）由已知有，，设，.于是由，由得，于是，∴四边形最大值.点睛：直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生以便转化.另一方面，当动点在圆锥曲线运动变化时，我们可用一个参数来表示动点坐标，从而利用一元函数求与动点有关的最值问题.23. 选修4-5：设函数.（Ⅰ）若的最小值是4，求的值；（Ⅱ）若对于任意的实数，总存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】分析：（Ⅰ）由绝对值不等式知，当且仅当异号时等号成立，所以，故；（Ⅱ）原不等式等价于关于的不等式在有解，所以，由此解出的范围即可.详解：（Ⅰ），由已知，知，解得.（Ⅱ）由题知，又是存在的，∴.即，变形得，∴，∴.点睛：（1）利用和可对含绝对值的不等式进行放缩，从而求得最值（注意验证取等号的条件）；（2）含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离.。
四川省绵阳市2012届高考理综第三次诊断性考试
3.每一个人都有青春，每一个青春都有一个故事，每个故事都有一个遗憾，每个遗憾都有它的青春美。
4.方茴说："可能人总有点什么事，是想忘也忘不了的。
"5.方茴说："那时候我们不说爱，爱是多么遥远、多么沉重的字眼啊。
我们只说喜欢，就算喜欢也是偷偷摸摸的。
"6.方茴说："我觉得之所以说相见不如怀念，是因为相见只能让人在现实面前无奈地哀悼伤痛，而怀念却可以把已经注定的谎言变成童话。
"7.在村头有一截巨大的雷击木，直径十几米，此时主干上唯一的柳条已经在朝霞中掩去了莹光，变得普普通通了。
保密★启用前【考试时间：2012年4月22日9:00 —11:30】绵阳市高中2012级第三次诊断性考试理科综合本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。
第I卷1至4页，第II卷5至10页。
满分300分。
考试时间150分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5亳米的黑色签字笔填写在答题卡上。
并检查条型码粘贴是否正确。
2. 选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
以下数据可供解题时参考可能用到的相对原子质量:Hl C 12 N 14 O 16 S 32 Na 23 Fe 56第I卷（选择题共126分)一、选择题（本题共13小题。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 下列与生物膜结构和功能有关的说法正确的是A. 生物膜是生物体内所有膜结构的统称，其化学组成基本相同，结构大体相似B. 洋葱表皮细胞处于质壁分离状态时，细胞膜外液体浓度一定高于细胞液浓度C. 通常青春期人体性腺细胞膜上运输性激素的载体蛋白数量要比幼年和老年时期要多D. 胰岛B细胞的细胞膜上没有运输胰岛素的载体蛋白，有感受胰高血糖素的受体蛋白2. 氮是构成细胞和生物体的重要元素，下列与氮循环有关的生物及代谢过程叙述正确的是A. 具有固氮作用的根瘤菌能从根瘤中直接获得，难以用缺氮培养基从土壤中筛选B. 将大豆的固氮基因导人到小麦中使其具有固氮能力，将大大降低小麦的栽培成本C. 硝化细菌能将土壤中的氨氧化为硝酸盐，其属于生态系统的成分中的分解者D. 植物蛋白质比动物蛋白质含有更丰富的人体必需氨基酸，更有利于人体健康3. 右图为人体神经系统的部分示意图，据图分析下列说法正确的是A. 神经冲动在反射弧上的单向传递取决于轴突的结构和功能特点B. 脊髓缩手反射中枢受损时，刺激图中③处仍可产生正常的反射活动C. 如果①处受损则人体不能产生相应感觉，但是能够对图中刺激作出反应D. 被针刺后缩手和害怕被针刺而缩手都是需要大脑皮层参与的非条件反射1."噢，居然有土龙肉，给我一块！"2.老人们都笑了，自巨石上起身。
四川绵阳南山中学2012届高三第三次诊断性考试试题(理综)
14.下列说法正确的是（ ）A ．物体从单一热源吸收的热量可全部用于做功B ．两个分子间的距离如果大于平衡距离r 0时，相互作用力随着分子间距离的增大，一定先减小后增大C ．吸收了热量的物体，其内能一定增加D ．甲理想气体温度是乙理想气体温度的2倍，则甲气体内能一定是乙气体内能的2倍15．如图所示，一细光束通过玻璃三棱镜折射后分成a 、b 、c 三束单色光，被屏接收而形成彩色光带。
对于三束单色光下列说法正确的是（ ）A. 在真空中c 的波长最大B. a 是原子外层电子受激发而产生，c 是原子内层电子受激发而产生C.通过同一个双缝干涉器实验装置，a 光产生的干涉条纹间距最小D.若用b 光照射某金属板能发生光电效应，则c 光照射该金属板也一定会发生光电效应16.发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3，轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P 点，如图所示。
已知地球半径为R ，同步轨道3距地面的高度为6R ，地球自转周期为T ，卫星在近地圆轨道上运行周期为T 0 ，万有引力常数为G 。
则下列说法正确的是（ ）A.卫星在轨道2上经Q 点的速度比在轨道2上经P 点的速度大B. 卫星在轨道1上经过Q 点时的加速度大于它在轨道2上经过Q 点时的加速度C.卫星在轨道2上经P 点的速度比在轨道3上经P 点时的速度小D.由题给条件可知地球密度为201029GT π 17．如图，理想变压器原副线圈匝数之比为4∶1．原线圈接入一电压为u ＝U 0sin ωt 的交流电源，副线圈接一个R ＝27．5 Ω的负载电阻．若U 0＝，ω＝100π Hz ，则下述结论正确的是（ ）A ．副线圈中输出交流电的周期为1 s 100πB ．副线圈中电压表的读数为VC ．原线圈中的输入功率为110 WD ．原线圈中电流表的读数为8A18．将四块相同的坚固石块垒成圆弧形的石拱，其中第3、4块固定在地基上，第1、2块间的接触面是竖直的，每块石块的两个侧面间所夹的圆心角为30°。
四川省绵阳市高中2012届高三第三次诊断性考试 数学理 (2012绵阳三诊)扫描版(word版答案)
绵阳市高2012级第三次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．BCDBA CACAB AD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．(410-，) 14．±2 15．arccos 3116．①④三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（I ）由m //n ，可得3sin x =-cos x ，于是tan x =31-． ∴ 922)31(31312tan 31tan cos 2sin 3cos sin -=--⋅+-=-+=-+x x x x x x ． …………………………4分 （II ）∵在△ABC 中，A +B =π-C ，于是C B A sin )sin(=+，由正弦定理知：C A C sin sin 2sin 3⋅=， ∴23sin =A ，可解得3π=A ． ………………………………………………6分 又△ABC 为锐角三角形，于是26ππ<<B ，∵ )(x f =(m +n )·n=(sin x +cos x ，2)·(sin x ，-1) =sin 2x +sin x cos x -2 =22sin 2122cos 1-+-x x =23)42sin(22--πx ， ∴ 232sin 2223]4)8(2sin[22)8(-=--+=+B B B f πππ．……………………10分 由26ππ<<B 得ππ<<B 23，∴ 0<sin2B ≤1，得23-<232sin 22-B ≤2322-． 即]232223()8(--∈+，πB f ．………………………………………………12分 18．解：（I ）设“i 个人游戏A 闯关成功”为事件A i (i =0，1，2)，“j 个人游戏B 闯关成功”为事件B j (j =0，1，2)，则“游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数”为A 1B 0+A 2B 1+A 2B 0． ∴ P (A 1B 0+A 2B 1+A 2B 0) =P (A 1B 0)+P (A 2B 1)+P (A 2B 0)=P (A 1)·P (B 0)+P (A 2)·P (B 1)+P (A 2)·P (B 0)=202222120222200212)31()21(3132)21()21()31()32(2121⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅C C C C C C367=． 即游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数的概率为367．……4分 （II ）由题设可知：ξ=0，1，2，3，4．361)31()21()0(202202=⋅⋅==C C P ξ，61366)21(3132)31(2121)1(2021222212==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C C C P ξ，361331322121)21()32()31()21()2(1212222222222222=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C C C C C P ξ， 3136122121)32(3132)21()3(1222212222==⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==C C C C P ξ， 91364)32()21()4(22==⋅==ξP ．∴ ξ的分布列为：ξ0 1 2 3 4P36161 3613 31 91 ……………………………………………………………………10分 ∴ E ξ=37914313361326113610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯． ………………………12分 19．解法一：（I ）证明：连结AD 1交A 1D 于F ，则F 为中点，连结EF ，如图．∵ E 为中点， ∴ EF //BD 1．又EF ⊂面A 1DE ，BD 1⊄面A 1DE ，∴ BD 1//面A 1DE ．……………………………………………………………3分 （II ）在Rt △ABD 中，AB =2AD =2，可得BD =5， ∴ 252111=⨯⨯=∆DD BD S BDD ，212111111=⨯⨯=∆DD D A S DD A ， 设A 1到面BDD 1的距离为d ，则由1111DD A B BD D A V V --=有1113131D D A BDD S AB S d ∆∆⋅=⋅⋅， 即212312531⋅⋅=⋅⋅d ，解得 552=d ，即A 1到面BDD 1的距离为552．……………………………………………8分 （III ）连结EC ． 由AB AE 21=，有32=AE ，34=EB ， 过D 作DH ⊥EC 于H ，连结D 1H ，A 1D 1AEBCH由已知面AA 1D 1D ⊥面ABCD 且DD 1⊥AD ， ∴DD 1⊥面ABCD ．由三垂线定理知：D 1H ⊥EC ， ∴ ∠DHD 1为D 1-EC -D 的平面角． Rt △EBC 中，由34=EB ，BC =1，得35=EC ． 又DH ·EC =DC ·BC ，代入解得56=DH ， ∴在Rt △DHD 1中，65561tan 11===∠DH DD DHD ． ∴65arctan 1=∠DHD ，即二面角D 1-EC -D 的大小为65arctan ．…………12分解法二：（I ）同解法一．………………3分（II ）由面ABCD ⊥面ADD 1A ，且四边形AA 1D 1D 为正方形，四边形ABCD 为矩形，可得D 1D ⊥AD ，D 1D ⊥D C ，DC ⊥DA ．于是以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由AB =2AD =2知：D (0，0，0)，D 1(0，0，1)，A 1(1，0，1)，B (1，2，0)，∴ DB =(1，2，0)，1DD =(0，0，1)，B A 1=(0，2，-1)．设面BDD 1的一个法向量为n 1)1(11z x ，，=， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00111DD DB n n 即⎩⎨⎧==+，，00211z x ∴)012(1，，-=n ． ∴ 点A 1到面BDD 1的距离552||||111=⋅=n n B A d ． …………………………8分 （III ）由（II ）及题意知：E (1，32，0)，C (0，2，0)，)1321(1-=，，E D ，)0341(，，-=EC ． 设面D 1EC 的一个法向量为)1(222，，y x =n ， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00212EC E D n n 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+，，03401322222y x y x 可得)12132(2，,n =．又易知面DEC 的一个法向量是=1DD (0，0，1)， 设D 1-EC -D 的大小为θ，则6161616611||||cos 1212=⨯=⋅⋅=DD DD n n θ， 得61616arccos=θ． A 1D 1A EBCyxz即D 1-EC -D 的大小为61616arccos ．………………………………………12分 20．解：（I ）)0()(2>+-='a x bxa x f ， 由题，1)1(='f ，得-a +b =1． ∴ b =a +1．又切点(1，a+c )在直线x -y -2=0上，得1-(a +c )-2=0，解得c =-a -1． ………………………………………………………………4分 （II ）g (x )c x b xax ---=ln 1ln )1(+++--=a x a xax ， ∴ 222))(1()1(11)(x a x x x a x a x x a x a x g --=++-=+-+='2， 令0)(='x g ，得x =1，或x =a ．………………………………………………8分 i)当a ≥1时，由0<x ≤1知，)(x g '≥0， ∴ g (x )在(0，1]上递增． ∴ g (x )max =g (1)=2．于是a ≥1符合条件． ………………………………………………………10分 ii)当0<a <1时，当0<x <a 时，0)(>'x g ；a <x <1时，g '(x )<0， ∴ g (x )在(0，a )上递增，g (x )在(a ，1)上递减． 得g (x )max =g (a )>g (1)=2，与题意矛盾． ∴ 0<a <1不符合题意．综上知实数a 的取值范围为[)∞+，1．………………………………………12分 21．解：（I ）由题知⎩⎨⎧=+=，，a cb a 22得b +c =4，即|AC |+|AB |=4（定值）．由椭圆定义知，顶点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆（除去左右顶点）， 且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为3．∴ 顶点A 的轨迹方程为)0(13422≠=+y y x ．………………………………4分 （II ）由⎩⎨⎧=-++=，，0124322y x m kx y 消去y 整理得(3+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2-3)=0． ∴ Δ=(8km )2-4(3+4k 2)×4(m 2-3)>0， 整理得：4k 2>m 2-3．①令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+，，222122143)3(4438k m x x k km x x 设MN 的中点P (x 0，y 0)，则，2210434)(21kkmx x x +-=+=2021210433)(21)(21kmkx m m kx m kx y y y +=+=+++=+=，…………………7分 i)当k =0时，由题知，)30()03(，，⋃-∈m ．……………………………8分 ii)当k ≠0时，直线l 方程为x ky 121-=+， 由P (x 0，y 0)在直线l 上，得2243421433k m k m +=++，得2m =3+4k 2．② 把②式代入①中可得2m -3>m 2-3，解得0<m <2. 又由②得2m -3=4k 2>0，解得23>m ． ∴223<<m ． 验证：当(-2，0)在y =kx+m 上时，得m =2k 代入②得4k 2-4k +3=0，k 无解． 即y =kx+m 不会过椭圆左顶点. 同理可验证y =kx +m 不过右顶点．∴ m 的取值范围为(223，)．………………………………………………11分 综上，当k =0时，m 的取值范围为)30()03(，，⋃-；当k ≠0时，m 的取值范围为(223，)．……………………………12分22．解：（I ）由题意，得22n n n a a S +=（n ∈N *）．于是21112++++=n n n a a S ，两式相减，得221112n n n n n a a a a a -+-=+++，即a n +1+a n =(a n +1+a n )(a n +1-a n )， 由题，a n >0，a n +1+a n ≠0，得a n +1-a n =1，即{a n }为公差为1的等差数列．又由21112a a S +=，得a 1=1或a 1=0（舍去）．∴ a n =1+(n -1)·1=n (n ∈N *)．……………………………………………5分 （II ）证法一：由（I ）知n a n 11=，于是nT n 131211+⋅⋅⋅+++=， 于是当n ≥2时，13211--+⋅⋅⋅+++=n n T T T T R=)1131211()31211()211(1-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++++n=113322)1(-+⋅⋅⋅+-+-+-n n n n =11113121-+--+⋅⋅⋅+-+-+-nn n n n n n =n nn -+⋅⋅⋅+++)131211( =n (T n -1). ………………………………………………………………10分 法二：①当n =2时，R 1=T 1=11a =1，2(T 2-1)=2()1211-+=1， ∴ n =2时，等式成立．②假设n =k （k ≥2）时，等式成立，即)1(1-=-k k T k R ， 当n =k +1时，k k k T R R +=-1=k k T T k +-)1( =k T k k -+)1( =k a T k k k --+++)1)(1(11=k k T k k -+-++)11)(1(1 =k T k k --++1)1(1 =)1)(1(1-++k T k ． ∴ 当n =k +1时，等式也成立．综合①②知，原等式对n ≥2，n ∈N *均成立． …………………………10分 （III ）由（I ）知，∑∑==-=ni ni i ia 13131．由分析法易知，112++->k k k ， 当k ≥2时，11123-⋅<k k kkk k 2112⋅-⋅+=)11(112++-+⋅-<k k k k1111+⋅---+=k k k k1111+--=k k ， ∴ 333131211n+⋅⋅⋅+++)121()4121()311(1nn --+⋅⋅⋅+-+-+<)1111(+--+n n第 - 11 - 页 共 11 页 111222+--+=n n ． 即22211113+<+++∑=-n i i a n n ． ………………………………………14分。
四川省绵阳市高中高三第三次诊断(数学理)
四川省绵阳市高中高三第三次诊断（数学理）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题） 两部分．第I 卷1至2页，第Ⅱ卷3至10页．满分150分．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷注意事项：1．答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上．2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试卷上．3．本试卷共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P （A + B ）= P （A ）+ P （B ）； S=4πR2 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径P （A ·B ）= P （A ）·P （B ）； 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率为P ，那么 V=34πR3n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径k n k kn n P P C k P --⋅⋅=)1()(．一、选择题：（1）1352lim22--∞→n n n n =（A ）-35（B ）-5（C ）32（D ）0（2）设a 、b 是非零实数，那么“a>b ”是“lg(a -b)>0”的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件 （C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（3）已知m 、n 是两条直线，α、β、γ是三个平面，下列命题正确的是（A ）若 m ∥α，n ∥α，则m ∥n （B ）若m ⊥α，n ⊥α，则m ∥n （C ）若 m ∥α，m ∥β，则α∥β（D ）若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β（4）已知集合A={i ，i2，i3，i4}（i 为虚数单位），给出下面四个命题：①若x ∈A ，y ∈A ，则x+y ∈A ；②若x ∈A ，y ∈A ，则x -y ∈A ；③若x ∈A ，y ∈A ，则xy ∈A ； ④若x ∈A ，y ∈A ，则y x∈A ．其中正确命题的个数是（A ）1个 （B ）2个（C ）3个（D ）4个（5）已知数列{an}的通项an=n2(7-n)（n ∈N *），则an 的最大值是（A ）36（B ）40（C ）48（D ）50（6）函数f (x)=2sin(x -2π)+|cosx| 的最小正周期为（A ）2π（B ）π （C ）2π（D ）4π（7）已知向量a 、b 不共线，若向量a +λb 与b +λa 的方向相反，则λ= （A ）1（B ）0（C ）-1（D ）±1（8）已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=1，A1C1到底面ABCD 的距离为2，若该四棱柱的八个顶点同在一个球面上，则B 、B1两点的球面距离为（A ）6π（B ）4π（C ）3π（D ）2π（9）某地为上海“世博会”招募了愿者，他们的编号分别是1号、2号、…、19号、若要从中任意选取4人再按编号大小分成两组去做一些预备服务工作，其中两个编号较小的人在一组，两个编号较大的在另一组．那么确保5号与14号入选并被分配到同一组的选取种数是（A ）16（B ）21（C ）24（D ）90（10）把圆C ：2122=+y x 按向量a =(h ，-1)平移后得圆C1，若圆C1在不等式x+y+1≥0所确定的平面区域内，则h 的最小值为（A ）1 （B ）-1（C ）33（D ）33-（11）某同学在电脑上进行数学测试，共做十道选择题，答完第n （n=1，2，…，10）题电脑会自动显示前n 题的正确率f (n)，则下列关系中不可能成立的是 （A ）f (5) = 2f (10)（B ）f (1)=f (2)=…=f (8)>f (9)> f (10)（C ）f (1)<f (2)<f (3)<…<f (9)<f (10)（D ）f (8) < f (9)且f (9)= f (10)（12）已知函数)(x f (x ∈R ) 导函数)(x f '满足)()(x f x f <'，则当a>0时，)(a f 与)0(f e a之间的大小关系为（A ）)(a f <)0(f e a （B ）)(a f >)0(f e a（C ）)(a f =)0(f e a（D ）不能确定，与)(x f 或a 有关（13）设(3x5+2)(2x+1)10=a0+a1(x+2)+a2(x+2)2+…+a15(x+2)15，则a0+a1+a2+…+a15=______．（14）若函数f (x) =ax （a>0且a ≠1）的反函数为y=)(1x f -，且)21(1-f =2，则f (-2)= ． （15）已知抛物线221xy =的焦点为F ，准线为l ，M 在l 上，线段MF 与抛物线交于N 点，若|MN|=2|NF|，则|MF|=________．（16）若对任意x ∈R ，y ∈R 有唯一确定的f (x ，y)与之对应，则称f (x ，y)为关于x ，y 的二元函数． 定义：同时满足下列性质的二元函数f (x ，y)为关于实数x ，y 的广义“距离”：（Ⅰ）非负性：f (x ，y)≥0； （Ⅱ）对称性：f (x ，y)= f (y ，x)；（Ⅲ）三角形不等式：f (x ，y)≤f (x ，z)+ f (z ，y)对任意的实数z 均成立． 给出下列二元函数：①f (x ，y)=(x -y)2；②f (x ，y)=|x -y|；③f (x ，y)=yx -；④f (x ，y)=|sin(x -y)|．则其中能够成为关于x ，y 的广义“距离”的函数编号是________．（写出所有真命题的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A 、B 、C 成等差数列，b=1，记角A=x ，a+c=f (x)．（Ⅰ）当x ∈[6π，3π]时，求f (x)的取值范围；二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中横线上．（Ⅱ）若56)6(=-πx f ，求sin2x 的值．（18）（本小题满分12分）某商场准备在“五·一”期间举行促销活动．根据市场行情，该商场决定从3种服装商品、2种家电商品、4种日用商品中，选出3种商品进行促销活动．（Ⅰ）试求选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率；（Ⅱ）商场对选出的家电商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品成本价的基础上提高180元作为售价销售给顾客，同时允许顾客有3次抽奖的机会，若中奖一次，就可以获得一次奖金．假设顾客每次抽奖时获奖的概率都是21，且每次获奖时的奖金数额相同，请问：该商场应将每次中奖奖金数额至多定为多少元，此促销方案才能使自己不亏本？（19）（本小题满分12分）已知斜三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BB1C1C 与底面ABC 垂直，BB1=BC ，∠B1BC=60º，AB=AC ，M 是B1C1的中点．（Ⅰ）求证：AB1//平面A1CM ；（Ⅱ）若AB1与平面BB1C1C 所成的角为45º，求二面角B-AC-B1的大小．（本小题满分12分）AA 1B 11BCM已知非零向量列{a n}满足：a 1=（1，1）， 且a n =（xn ，yn ）=21（11---n n y x ，11--+n n y x ） （n>1，n ∈N ），令| a n |=bn ．（Ⅰ）证明：数列{bn}是等比数列，并求{bn}的通项公式；（Ⅱ）对n ∈N *，设cn=bnlog2bn ，试问是否存在正整数m ，使得cm<cm+1？若存在，请求出m 的最小值，若不存在，请说明理由．（21）（本小题满分12分）已知双曲线12222=-b x a y （a>0，b>0）的上、下顶点分别为A 、B ，一个焦点为F （0，c ）（c>0），两准线间的距离为1，|AF|、|AB|、|BF|成等差数列，过F 的直线交双曲线上支于M 、N 两点． （Ⅰ）求双曲线的方程；（Ⅱ）设λ=，问在y 轴上是否存在定点P ，使⊥)(PM λ-？若存在，求出所有这样的定点P 的坐标，若不存在，请说明理由．（22）（本小题满分14分）已知函数f (x)=ln(1+x)-ax 的图象在x=1处的切线与直线x +2y -1=0平行． （Ⅰ）求实数a 的值；（Ⅱ）若方程f (x)=)3(41x m -在[2，4]上有两个不相等的实数根，求实数m 的取值范围；（参考数据：e=2.71 828…）（Ⅲ）设常数p ≥1，数列{an}满足)ln(1n n n a p a a -+=+（n ∈N *），a1=lnp ，求证：1+n a ≥n a ．参考解答一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CBBBD CCDBA DA二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．-114．215．2 16．②④三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（I ）由已知 A 、B 、C 成等差数列，得2B=A+C ，∵ 在△ABC 中， A+B+C=π，于是解得3π=B ，32π=+C A ．∵ 在△ABC 中，C cB b A a sin sin sin ==，b=1，∴CA c a sin 3sin1sin 3sin1ππ+⋅=+)]32sin([sin 332A A -+=π]sin 32cos cos 32sin [sin 332A A A ππ-+=A A cos sin 3+=)6sin(2π+=A ，即)6sin(2)(π+=x x f ． …………………………………………………………6分由6π≤x ≤3π得3π≤x+6π≤2π，于是3≤)(x f ≤2，即f (x)的取值范围为[3，2] ． ………………………………………………8分（Ⅱ）∵56)66sin(2)6(=+-=-πππx x f ，即53sin =x ． ∴54sin 1cos 2±=-±=x x ． ……………………………………………………9分 若54cos -=x ，此时由2254-<-知x>43π，这与32π=+C A 矛盾．∴ x 为锐角，故54cos =x ． ……………………………………………………11分∴ 2524cos sin 22sin ==x x x ．……………………………………………………12分18．解：（I ）设选出的3种商品中至少有一种是日用商品为事件A ，则（法一）4237)(393415242514=++=C C C C C C A P ．（法二）42371)(3935=-=C C A P ．即选出的3种商品中至少有一种是日用商品的概率为4237．…………………4分 （II ）设顾客抽奖的中奖次数为ξ，则ξ=0，1，2，3，于是81)211()211()211()0(=-⨯-⨯-==ξP ， 8321)211()1(213=⨯-==C P ξ， 83)21()211()2(223=⨯-==C P ξ，81212121)3(=⨯⨯==ξP ， ∴ 顾客中奖的数学期望5.1813832831810=⨯+⨯+⨯+⨯=ξE ．………………10分设商场将每次中奖的奖金数额定为x 元，则1.5x ≤180，解得x ≤1即该商场应将每次中奖的奖金数额至多定为1才能使自己不亏本．………………………………………………………………………………12分 19．解：（I ）证明：如图，连结AC1，交A1C∵ M 是中点，N 是AC1的中点， ∴ MN//AB1． ∵ MN ⊂平面A1CM ，∴ AB1//平面A1CM ．………………4分 （II ）作BC 的中点O ，连接AO 、B1O ． 由 AB=AC ，得AO ⊥BC ．∵ 侧面BB1C1C 与底面ABC 垂直，∴ AO ⊥面BB1C1C ， …………………………………………………………6分 ∴ ∠AB1O 是AB1与平面BB1C1C 所成的角，即∠AB1O=45º，从而AO=B1O ． 又∵ BB1=BC ，∠B1BC=60º，∴ △B1BC 是正三角形，故B1O ⊥BC ．以O 为原点，分别以OB 、OB1、OA 为x 轴、y 轴、z 轴建立如图所示空间直角坐标系．设OA=a ，则A(0，0，a)，B1(0，a ，0)，C(a33-，0，0)，O(0，0，0)，1∴)033(a a --=，，，)00(a -=，，，)0(1a a AB -=，，．∵ OB1⊥平面ABC ，故1OB 是平面ABC 的一个法向量，设为n 1，则n 1=)00(1，，a OB =， 设平面AB1C 的法向量为n 2=(x2，y2，z2)，由⋅ n 2=0且⋅1AB n 2=0 得⎪⎩⎪⎨⎧=-=--，，00332222z y z x令y2=a ，得n 2=(3-a ，a ，a)．∴ cos<n 1，n 2>=55511||||2121=⨯=⋅⋅n n n n ，∴ <n 1，n 2>=55arccos．即二面角B-AC-B1的大小是55arccos． ……………………………………12分I ）证明：bn=|a n|=22nn y x +，bn+1=|a n+1|=)(21)2()2(22222121n n n n n n n n y x y x y x y x +=++-=+++，∴ 221=+n n b b （常数），∴ {bn}是等比数列，其中b1=|a 1|=2，公比22=q ，∴2212)22(2n n n b --=⋅=． ……………………………………………………5分（II ）∵22222222222log 2m m m m m c ---⋅-==，∴212)1(2122122)1(2m m m m m c -+-+⋅-=⋅+-=，于是22211222221m m m m m mc c --+⋅--⋅-=-)22221(22121⋅---=-m m m，…………………………………………8分∵)(02*21N ∈>-m m，∴ 要使cm+1>cm ，只须使2122221⋅->-m m ，即 )2(21m m ->-，解得414.42312122>+=-->m ．……………………………………………11分∵ m 是正整数， ∴ m ≥5，m ∈N *，∴ m 的最小值为5． …………………………………………………………12分 21．解：（I ）由已知|AF|=c -a ，AB=2a ，|BF|=c+a ，∴ 4a=(c -a)+(c+a)，即c=2a ．又∵ 122=c a ，于是可解得a=1，c=2，b2=c2-a2=3．∴ 双曲线方程为1322=-x y ．…………………………………………………3分（II ）设直线MN 的方程为y=kx+2，M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(0，m)． ①当k=0时，MN 的方程为y=2，于是由⎪⎩⎪⎨⎧=-=，，13222x y y 可解得M(-3，2)，N(3，2)，于是1=λ．∵ A(0，1)，B(，∴)20(-=，AB ．∵)23(m PM --=，，)23(m PN -=，， ∴)06(，-=-PM λ由-6×0+(-2)×0=0，知0)(=-⋅λ， 即对m ∈R ，)(λ-⊥恒成立，∴ 此时y 轴上所有的点都满足条件． …………………………………………6分②当k ≠0时，MN 的方程可整理为k y x 2-=． 于是由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=--=，，13222x y k y x 消去x ，并整理得(1-3k2)y2-4y+3k2+4=0．∵ Δ=(-4)2-4(1-3k2)(3k2+4)=9k4+9k2>0，0314221>-=+k y y ，031432221>-+=k k y y ，∴ 312<k ．………………………………………………………………………9分∵ MF =(-x1，2-y1)，=(-x2， y2-m)，=PM (x1，y1-m)，=(x2， y2-m)，∴ 21x x λ=-，)2(221-=-y y λ，∴2221--=y y λ． 又∵)20(-=，AB ，))((2121m y m y x x PN PM ----=-λλλ，，∴ 0)]()[2()(02121=----+-⋅m y m y x x λλ， 把2221--=y y λ代入得 0)(222211=-----m y y y m y ，整理得 04))(2(22121=+++-m y y m y y ，代入得 0431)2(431)43(2222=+-+--+m k m k k ，化简得6k2-12mk2=0，∵ k ≠0，∴21=m ．即P(0，21)． ∴ 当MN 与x 轴平行时，y 轴上所有的点都满足条件；当MN 不与x 轴平行时，满足条件的定点P 的坐标为 (0，21)．…………………………………12分22．解：（I ）∵ a x x f -+='11)(，∴ a f -='21)1(．由题知2121=-a ， 解得a=1．………………………………………………………………………3分 （II ）由（I ）有f(x)=ln(1+x)-x ，∴ 原方程可整理为4ln(1+x)-x=m ．令g(x)=4ln(1+x)-x ，得x x x x g +-=-+='13114)(，∴ 当3<x ≤4时0)(<'x g ，当2≤x<3时0)(>'x g ，0)3(='g ，即g(x)在[2，3]上是增函数，在[3，4]上是减函数，∴ 在x=3时g(x)有最大值4ln4-3．…………………………………………6分 ∵ g(2)=4ln3-2，g(4)=4ln5-4，∴ g(2)-g(4)=253ln 4+=2259ln 2)153ln 2(e =+． 由9e ≈24.46<25，于是0259ln 2<e ． ∴ g(2)<g(4)．∴ a 的取值范围为[)34ln 445ln 4--，．………………………………………9分 （III ）由f (x)=ln(1+x)-x （x>-1）有x x x x f +-=-+='1111)(，显然=')0(f 0，当x ∈(0，+∞)时，0)(<'x f ，当x ∈(-1，0)时，0)(>'x f ， ∴ f (x)在(-1，0)上是增函数，在[)∞+，0上是减函数．∴ f (x)在(-1，+∞)上有最大值f (0)，而f (0)=0，∴ 当x ∈(-1，+∞)时，f (x)≤0，因此ln(1+x)≤x ．(*)…………………11分 由已知有p>an ，即p -an>0，所以p -an -∵ an+1-an=ln(p -an)=ln(1+p -1-an)，∴ 由（*）中结论可得an+1-an ≤p -1-an ，即an+1≤p -1(n ∈N *)．∴ 当n ≥2时，1+n a -an=ln(p -an)≥ln[p -(p -1)]=0，即1+n a ≥an ．当n=1，a2=a1+ln(p -lnp)，∵ lnp=ln(1+p -1)≤p -1，∴ a2≥a1+ln[p -(p -1)]=a1，结论成立．∴对n∈N*，an+1≥an．………………………………………………………14分。
2012级绵阳三诊物理试题及答案(WORD版)
1绵阳市高中2012级第三次诊断性考试（物理试题）二、选择题（本题共8小题。
在每小题给出的四个选项中，有的只有一个选项是正确的，有的有多个选项是正确的，全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分） 14、一定质量的密闭气体，在温度升高的过程中，保持压强恒定，则在这个过程中A.气体对外做功，内能减少B.气体放出热量，内能增加C.气体对外做功，吸收热量，内能不变D.气体分子平均动能增加，分子间作用力减小15、到目前为止，火星是除了地球以外人类了解最多的行星，已经有超过30枚探测器到达过火星，并发回了大量数据。
如果已知万有引力常量为G ，根据下列测量数据，能够得出火星密度的是A.发射一颗绕火星做匀速圆周运动的卫星，测出卫星的轨道半径r 和卫星的周期TB.测出火星绕太阳做匀速圆周运动的周期T 和轨道半径rC.发射一颗贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的速度vD.发射一颗贴近火星表面绕火星做匀速圆周运动的飞船，测出飞船运行的角速度ω 16、一列简谐横波在同种介质中向某一方向传播，如图所示是该波在某一时刻的波形图，此 时刻只有M 、N 之间的质点在振动，质点P 速度为零，质点Q 速度方向向下，波的周 期为T ，从波源起振开始计时，质点P 已经振动的时间为t ，则A ．波源是M ，t=T/4B ．波源是M ，t=3T/4C ．波源是N ，t ＝T/4D ．波源是N ，t ＝3T/417.氢原子的能级如图所示，已知可见光的光子能量范围约为1.62～3.11eV ，则A ．大量处于n ＝4能级的氢原子向n ＝2能级跃迁时，发出的光具有荧光作用B.大量氢原子从高能级向n ＝3能级跃迁时，发出的光具有显著的热效应 C ．处于n ＝4能级的一个氢原子向低能级跃迁时，可能发出6种不同频率的光子D.大量处于n ＝4能级的氢原子向低能级跃迁时，可能发出3种不同频率的可见光18．两束单色光a 和b 沿如图所示方向射向半圆形玻璃砖的圆心O ，已知a 光在底边界面处发生了全反射，两束光沿相同方向射出，则A ．在玻璃砖中，a 光的速度比b 光的小B.如果用a 照射某金属能产生光电效应，则用b 照射该金属也能产生C.分别用a 和b 在相同条件下做单缝衍射实验，a 光的中央亮纹比b 光的宽 D ．分别用a 和b 在相同条件下做双缝干涉实验，a 光的条纹间距比b 光的大219.如图所示，一半圆形铝框始终全部处在水平向外的非匀强磁场中，场中各点的磁感应强 度随高度增加均匀减小，高度相同，磁感应强度相等。
四川省绵阳市高中2024届高三第三次诊断性考试理科数学试卷(含答案与解析)_7266
绵阳市高中2024届第三次诊断性考试数学（理科）本试卷共6页，满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将答题卡交回.一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数2i z =-，则2z =（ ）A.B. 4C. 5D. 252. 已知集合{}{}216,20A x x B x x ∈=<=-≤N∣∣，则A B = （ ） A. {}2,3B. {}0,1,2C. {}24xx ≤≤∣ D. {24}xx <<∣ 3. 下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 16B. 24C. 40D. 484. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1431,31a S S ==+，则3a =（ ） A.18B.14C. 9D. 275. 若函数()()cos πf x x ϕ=+的图象关于直线32x =对称，下列选项中，（ ）不是()f x 的零点A. 1-B. 12-C. 0D. 26. 已知函数()()3lg 1,0,0x x f x x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，存在0x 使得()00f x <，则实数a 的取值范围是（ ）A. (],1-∞-B. (),0∞-C. [)0,∞+D. ()0,∞+7. 将甲､乙､丙､丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则甲､乙二人分别去了不同岗位的概率是（ ） A.13B.12C.23D.568. 国家统计单位统计了2023年全国太阳能月度发电量当期值（单位：亿千瓦时），并与上一年同期相比较，得到同比增长率（注：同比增长率=今年月发电量-去年同期月发电量）÷去年同期月发电量100%⨯），如统计图，下列说法不正确的是（ ）A. 2023年第一季度的发电量平均值约为204B. 2023年至少有一个月的发电量低于上一年同期发电量C. 2022年11月发电量也高于该年12月发电量D. 2023年下半年发电量的中位数为245.29. 在半径为r 的O 中，弦AB 的长度为a ，则AB AO ⋅的值为（ ）A. 2arB. 22aC. arD. 与CAB ∠有关10. 在梯形ABCD 中, //,AB CD AB BD ⊥，且4,AB BD BC ===，沿对角线BD 将三角形ABD 折起，所得四面体A BCD -外接球的表面积为32π，则异面直线AB 与CD 所成角为（ ） A. 30B. 45C. 60D. 9011. 已知函数()31e e3xxf x a x bx -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭既有极大值，也有极小值，则下列关系式中一定成立的是（ ） A. 2b a > B. 2b a < C. 2b a =D. 224b a >12. 如图，过点()1,0M -的直线交抛物线2:2C y x =于,A B 两点，点A 在M B ､之间，点N 与点M 关于原点对称，延长BN 交抛物线C 于E ，记直线AN 的斜率为1k ，直线ME 的斜率为2k ，当123k k =时，ABN 的面积为（ ）A. 1B.C.D. 2二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.在(52的展开式中，2x 的系数为__________．14. 已知双曲线22:1(0,0)-=>>x y E m n m n，若2m n =，则该双曲线的离心率为__________.15. 底面半径为4圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为1，母线长为3的圆锥，则所得圆台的侧面积为__________.16. 在ABC 中，D 是BC 边上一点，4BD CD =，若2,2AC BC CD BAD DAC ∠∠=⋅=，且21AD =，则BD =______.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17. 某工厂工程师对生产某种产品的机器进行管理，选择其中一台机器进行参数调试.该机器在调试前后，的分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下列联表： 产品 合格品 淘汰品 调试前 24 16 调试后 4812（1）根据列联表分析，是否有95%的把握认为参数调试改变产品质量？（2）如果将合格品频率作为产品的合格概率.工程师从调试后生产的大量产品中，依次随机抽取6件产品进行检验，求抽出的6件产品中不超过1件淘汰品的概率p .（参考数据：560.80.32768,0.80.262144==）附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()20P K k ≥0.05000100.0010k3.841663510.82818. 已知首项为1等差数列{}n a 满足：123,,1a a a +成等比数列. （1）求数列{}n a 通项公式；（2）若数列{}n b 满足：121131nn n n a b a b a b -+++=- ，求数列{}n b 的前n 项和n T .19. 如图，已知三棱柱111ABCA B C -的体积为32，点C 在平面11ABB A 内的射影落在棱1BB 上，且1AB B C ⊥...的的（1）求证：AB ⊥平面11BCC B ；（2）若四边形11ABB A 的面积为13,AA 与1CC，1AC =1A BC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.20. 已知椭圆2222:1(10)x y C a b a b +=>>>，过点()1,0M 的直线l 交椭圆C 于点,A B ，且当l x ⊥轴时，AB =（1）求椭圆C 的方程；（2）记椭圆C 的左焦点为F ，若过,,F A B 三点的圆的圆心恰好在y 轴上，求直线AB 的方程.21. 设函数()()2211ln ln 24f x x ax x a x ax ⎛⎫=+--- ⎪⎝⎭. （1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()e,e f 处的切线方程； （2）证明：存在()00,x ∞∈+，使得当12a <<时，()()1052ln e 8a f x a -<-+. （二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.【选修44：坐标系与参数方程】22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为cos 2sin x y αααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)，（1）求曲线1C 与y 轴的交点坐标；（2）以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1πsin 2,3C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与2C 交于,A B 两点，求AOB ∠的大小.[选修4-5：不等式选讲]23. 已知0a b >>，且33a b a b+=+，函数()f x x a x b =-+-的最小值为2. （1）求,a b 的值；（2.参考答案一､选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数2i z =-，则2z =（ ）A.B. 4C. 5D. 25【答案】C 【解析】【分析】根据复数乘法运算及模的运算公式即可求解.【详解】因为复数2i z =-，则()222i 34i 5z =-=-==.故选：C2. 已知集合{}{}216,20A x x B x x ∈=<=-≤N∣∣，则A B = （ ） A. {}2,3 B. {}0,1,2C. {}24xx ≤≤∣ D. {24}xx <<∣ 【答案】B 【解析】【分析】先解一元二次不等式求出集合A ，再根据交集的定义计算即可求解.【详解】由2160x -<得44x -<<，则{}{}2160,1,2,3A x x =∈<=N∣， 又{}{}20|2B xx x x =-≤=≤∣，所以A B = {}0,1,2. 故选：B3. 下图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A. 16B. 24C. 40D. 48【答案】A 【解析】【分析】根据三视图可知该几何体是四棱锥，根据三视图中的数据直接求解.【详解】根据三视图可知该几何体是如图所示的一个四棱锥P ABCD -， 且PA ⊥面ABCD ，底面ABCD 为正方形， 所以1=443163P ABCD V -⨯⨯⨯=. 故选：A.4. 已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足1431,31a S S ==+，则3a =（ ） A.18B.14C. 9D. 27【答案】C 【解析】【分析】先根据已知条件并结合等比数列的求和公式求得公比q ，再利用等比数列通项公式求解即可. 【详解】由1431,31a S S ==+，得()2321311q q q q q +++=+++，即()()22131q q q q q ++=++，由210q q++≠得3q =，所以223139a a q =⨯==.故选：C5. 若函数()()cos πf x x ϕ=+的图象关于直线32x =对称，下列选项中，（ ）不是()f x 的零点A. 1-B. 12-C. 0D. 2【答案】B 【解析】【分析】先根据正弦函数的对称性()3ππ2k k ϕ=-+∈Z ，然后利用余弦函数的零点得()2,x m k m k =+-∈Z ，逐项检验即可求解.【详解】因为函数()()cos πf x x ϕ=+的图象关于直线32x =对称， 所以()3ππ2k k ϕ+=∈Z ，得()3ππ2k k ϕ=-+∈Z ， 所以()()3πcos ππ2f x x k k ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭Z ，令()0f x =得()3πππππ22x k m m -+=+∈Z ， 所以()2,x m k m k =+-∈Z ，对于A ，当12m k -=+-时，3m k -=-∈Z ，所以1-是()f x 的零点； 对于B ，当122m k -=+-时，52m k -=-∉Z ，所以12-不是()f x 的零点； 对于C ，当02m k =+-时，2m k -=-∈Z ，所以0是()f x 的零点； 对于D ，当22m k =+-时，0m k -=∈Z ，所以2是()f x 的零点. 故选：B6. 已知函数()()3lg 1,0,0x x f x x ax x ⎧-+≤=⎨->⎩，存在0x 使得()00f x <，则实数a 的取值范围是（ ）A. (],1-∞-B. (),0∞-C. [)0,∞+D. ()0,∞+【答案】D 【解析】【分析】分a ≤0和a ＞0两种情况讨论即可得到答案． 【详解】()32x ax x x a -=-， 当a ≤0时，当x ＞0时，()20x x a ->， f (x )如图：f (x )≥0恒成立，不满足题意；当a ＞0时，()((2x x a x x x -=+⋅⋅-， f (x )如图：当00x <<()00f x <．故选：D ．7. 将甲､乙､丙､丁4人分配到3个不同的工作岗位，每人只去一个岗位，每个岗位都要有人去，则甲､乙二人分别去了不同岗位的概率是（ ） A.13B.12C.23D.56【答案】D 【解析】【分析】先求出甲、乙、丙、丁四人分到三个不同的工作岗位，每个岗位至少分到一人共有的选择数，再求出甲、乙两人被分到同一个工作岗位的选择数，再利用古典概型求概率公式及对立事件求概率公式进行求解即可.【详解】甲、乙、丙、丁四人分到三个不同的工作岗位，每个岗位至少分到一人， 则必有2人分配到同一个工作岗位，先从4人中选出2人，有24C =6种选择， 再进行全排列，有33A =6种选择，故总的方法有2343C A 36=种，其中甲、乙两人被分到同一个工作岗位的情况：从3个岗位中选出一个分配给甲乙， 再将剩余的丙丁和剩余的两个岗位进行全排列，有1232C A 6=种选择，所以甲､乙二人分配到同一个工作岗位的概率为61366=， 故甲､乙二人分别去了不同工作岗位的概率为151=66-.故选：D8. 国家统计单位统计了2023年全国太阳能月度发电量当期值（单位：亿千瓦时），并与上一年同期相比较，得到同比增长率（注：同比增长率=今年月发电量-去年同期月发电量）÷去年同期月发电量100%⨯），如统计图，下列说法不正确的是（ ）A. 2023年第一季度的发电量平均值约为204B. 2023年至少有一个月的发电量低于上一年同期发电量C. 2022年11月发电量也高于该年12月发电量D. 2023年下半年发电量的中位数为245.2 【答案】C 【解析】【分析】选项A ：由平均数公式求解；选项B ：由条形图及同比增长率的含义判断；选项C ：由条形图及同比增长率的含义判断；选项D ：利用中位数的定义判断.【详解】选项A ：由图中数据可知，2023年第一季度的发电量平均值约为369.6242.9612.320433+=≈，正确；选项B ：由图中数据可知，2023年4月的同比增长率为负数， 故该月发电量低于上一年同期发电量，正确；选项C ：根据同比增长率公式可知，2022年11月发电量为234.6173.210.354≈+，2022年12月发电量为210.5187.910.172≈+，而187.9173.2>，则2022年11月发电量低于该年12月发电量，错误；选项D ：2023年下半年发电量按从小到大的顺序排列如下，210.5,234.6,244.3,246.1,258.9,269.2， 所以中位数为244.3246.1245.22+=，正确. 故选：C9. 在半径为r 的O 中，弦AB 的长度为a ，则AB AO ⋅的值为（ ） A. 2ar B. 22a C. ar D. 与CAB ∠有关【答案】B【解析】 【分析】取线段AB 的中点D ，得OD AB ⊥，利用向量数量积的运算，结合解直角三角形，求得AB AO ⋅ .【详解】取线段AB 的中点D ，得OD AB ⊥，所以1cos 2AO A AD AB == . 所以221|cos |22a AB AO AB AO A AB ⋅=⋅⋅=⋅= . 故选：B10. 在梯形ABCD 中, //,AB CD AB BD ⊥，且4,AB BD BC ===，沿对角线BD 将三角形ABD 折起，所得四面体A BCD -外接球的表面积为32π，则异面直线AB 与CD 所成角为（ ）A. 30B. 45C. 60D. 90【答案】C【解析】【分析】根据折叠前后的几何性质，将三棱锥A BCD -补成三棱柱，利用三棱柱的外接球即可求得答案.【详解】如下图，将梯形ABCD 补成长方形AECF ，折后得到直三棱柱ABE FDC -，因为4,AB BD BC ===，所以2BE DC ==，异面直线AB 与CD 所成角即为AB 与BE 所成角，即ABE ∠或其补角，又该三棱柱的外接球即为三棱锥A BCD -的外接球，设外接球半径为R ，则24π32πR =，所以28R =，设ABE 外接圆半径为r ，圆心为1O ，FDC △外接圆圆心为2O ，则三棱柱的外接球的球心为12O O 的中点O ，连接AO ，则1,AO R AO r ==，所以12r AO ==，又24sin AE r ABE ==∠，即4sin AE ABE =∠， 又ABE 中，2222cos AE AB BE AB BE ABE =+-⋅∠，即216sin 164242cos ABE ABE ∠=+-⨯⨯∠，化简得()22cos 10ABE ∠-=，即1cos 2ABE ∠=，所以60ABE ∠= ， 故选：C.11. 已知函数()31e e 3x x f x a x bx -⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭既有极大值，也有极小值，则下列关系式中一定成立的是（ ）A. 2b a >B. 2b a <C. 2b a =D. 224b a >【答案】D【解析】【分析】问题可化为()0f x '=有两个不同的根的问题，参变分离，数形结合法即可求解. 【详解】由题意得()()2e e x x f x a x b -=+'+-， ∵()f x 既有极大值，也有极小值，∴()0f x '=有两个不同的根，即()2e e 0x x a x b -++-=有两个不同的根，显然0ab ≠，故2e e x x b x a-++=有两个不同的根， 令()2e e x x g x x -=++，则()g x 与b y a =图象有两个交点， 因为()e e 2x x g x x -=-+'在R 上单调递增，且()00g '=，所以当0x <时，()()0,g x g x '<单调递减，当0x >时，()()0,g x g x '>单调递增，所以()min ()02g x g ==； 所以2b a >，即224b a>，即224b a >， 故选：D.12. 如图，过点()1,0M -的直线交抛物线2:2C y x =于,A B 两点，点A 在M B ､之间，点N 与点M 关于原点对称，延长BN 交抛物线C 于E ，记直线AN 的斜率为1k ，直线ME 的斜率为2k ，当123k k =时，ABN 的面积为（ ）A. 1B.C.D. 2【答案】A【解析】【分析】设出直线AB 、BE 的方程，联立曲线，借助韦达定理得到A y 与E y 的关系，从而表示出斜率，再结合条件与面积公式计算出面积.【详解】由题意可得直线AB 斜率不为零，设:1AB l x my =-，:1BE l x ny =+，()11,A x y 、()22,B x y 、()33,E x y ，联立221y x x my ⎧=⎨=-⎩，得2220y my -+=，2840m ∆=->，即22m ≥，122y y m +=，122y y =，联立221y x x ny ⎧=⎨=+⎩，得2220y ny --=，2480n ∆=+>，232y y n +=，232y y =-，则31y y =-，则31x x =，故1111y k x =-，3231111k y y x x -==++， 有1111311y y x x -=⨯-+，解得112x =，则21121y x ==，11132x m y +==±，故AB === 点N 到直线AB的距离d ==故11122ABN S d AB =⨯== . 故选：A. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于借助韦达定理，得到A y 与E y 的关系，从而得出斜率，结合条件计算出面积.二､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 在(52的展开式中，2x 的系数为__________． 【答案】10【解析】【分析】根据二项式定理写出通项公式，令4r =即可求2x 的系数.【详解】(52展开式的第1r +项为(515C 2r r r r T -+=⋅⋅， 令4r =，则42255C 210T x x =⨯=.故答案为：10 14. 已知双曲线22:1(0,0)-=>>x y E m n m n ，若2m n =，则该双曲线的离心率为__________.【解析】分析】利用双曲线离心率c e a ==.【详解】c e a =====. 15. 底面半径为4的圆锥被平行于底面的平面所截，截去一个底面半径为1，母线长为3的圆锥，则所得圆台的侧面积为__________.【答案】45π【解析】【分析】根据相似可得母线，进而利用圆锥的侧面积公式即可求解.【详解】如图，设原圆锥母线为l ，则134l=，则12l =， 所以圆台的侧面积为：()()π1412345π⨯+⨯-=.故答案为：45π16. 在ABC 中，D 是BC 边上一点，4BD CD =，若2,2AC BC CD BAD DAC ∠∠=⋅=，且21AD =，则BD =______.【答案】2【解析】【的【分析】设CD x =，DAC ∠θ=，根据题意及相似三角形性质得.B θ∠=，π4C θ∠=-，利用正弦定理求得sin sin 2AD BD θθ=及sin 4sin AD CD θθ=，利用长度关系得24sin sin 2sin 4θθθ=⋅，利用二倍角公式及同角三角函数关系化简得424cos 2cos 10θθ--=，求出2cos θ=，代入2cos BD AD θ=求解即可. 【详解】设CD x =，DAC ∠θ=，则4BD x =，2BAD θ∠=，因为2AC BC CD =⋅，所以AC BC CD AC=， 又ACD BCA ∠=∠，所以ACD ∽BCA V ，所以B CAD θ∠=∠=，则π4C θ∠=-，在ABD △中，由正弦定理得sin sin 2AD BD θθ=，则sin sin 2AD BD θθ=， 在ACD 中，由正弦定理得()sin π4sin AD CD θθ=-，则sin 4sin AD CD θθ=， 又4BD CD =，所以sin 4sin 4sin sin sin 2sin 2BD CD θθθθθθ=⋅=，所以24sin sin 2sin 4θθθ=⋅， 所以()()2221cos 2sin 22cos 221cos 2cos 2θθθθθ-=⋅=-，所以()222cos 2cos 11θθ⋅-=，即424cos 2cos 10θθ--=，则2cos θ==，所以sin 22cos sin AD BD AD θθθ==，所以)2224cos 414BD AD θ=⋅⋅=⨯-=， 所以2BD =.故答案为：2【点睛】关键点点睛：本题考查了正弦定理及三角恒等变换的应用，解题的关键是在两个三角形中利用正弦定理，结合4BD CD =找到角的关系，另外本题还要注意运算技巧.三､解答题：共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22､23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17. 某工厂工程师对生产某种产品的机器进行管理，选择其中一台机器进行参数调试.该机器在调试前后，分别在其产品中随机抽取样本数据进行统计，制作了如下列联表： 产品合格品 淘汰品 调试前24 16 调试后48 12（1）根据列联表分析，是否有95%的把握认为参数调试改变产品质量？（2）如果将合格品频率作为产品的合格概率.工程师从调试后生产的大量产品中，依次随机抽取6件产品进行检验，求抽出的6件产品中不超过1件淘汰品的概率p .（参考数据：560.80.32768,0.80.262144==）附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++ ()20P K k ≥ 0.050 0.010 0.0010k3.841 6.635 10.828【答案】（1）有95%的把握认为参数调试改变产品质量（2）0.65536【解析】 【分析】（1）先利用所给数据表完善22⨯列联表，再利用2K 公式求出2K ，利用临界值表进行判定； （2）先求出淘汰品概率0.2，再由二项分布概率公式结合互斥事件加法公式求解概率即可.【小问1详解】补全22⨯列联表如图所示：产品合格品淘汰品 总计 调试前 2416 40 为调试后4812 60总计 72 28 100 22100(24124816) 4.762 3.84140607228K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯， 故有95%的把握认为参数调试改变产品质量；【小问2详解】由题意，设备更新后的合格概率为0.8，淘汰品概率为0.2， 可以认为从生产线中抽出的6件产品是否合格是相互独立的， 设X 表示这件产品中淘汰品的件数，则()6,0.2X B ~，所以()060151661C 0.80.2C 0.80.2p P X =≤=⨯⨯+⨯⨯ ()50.80.8 1.20.65536=⨯+=.18. 已知首项为1的等差数列{}n a 满足：123,,1a a a +成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足：121131nn n n a b a b a b -+++=- ，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（1）n a n =（2）123n n T -=⋅【解析】 【分析】（1）由已知列式求得公差，代入等差数列的通项公式得答案； （2）令121131n n n n n D a b a b a b -+=++=- ，得111211131n n n n n D a b a b a b ++++++=+=- ，两式相减得123n n T +=⋅，又111122D a b b ==⇒=，即得123n n T -=⋅【小问1详解】设{}n a 公差为d ，又123,,1a a a +成等比数列，所以()()()22213111121a a a a d a a d =⋅+⇒+=++，又11a =，所以1d =或1d =-， 而1d =-时，不满足123,,1a a a +成等比数列，所以1d =所以()111n a n n =+-⨯=【小问2详解】令121131n n n n n D a b a b a b -+=++=- ， 所以111211131n n n n n D a b a b a b ++++++=+=- ，两式相减有：()1111123n n n n n n D D a b b b b ++--=+++=⋅ ，所以数列{}n b 的前1n +项和为23n ⋅，即123nn T +=⋅， 又111122D a b b ==⇒=，所以11223n n b b b -+++=⋅ ，所以123n n T -=⋅19. 如图，已知三棱柱111ABC A B C -的体积为32，点C 在平面11ABB A 内的射影落在棱1BB 上，且1AB B C ⊥.（1）求证：AB ⊥平面11BCC B ；（2）若四边形11ABB A 的面积为13,AA 与1CC ，1AC =1A BC 与平面11ABB A 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2 【解析】【分析】（1）作1CO BB ⊥交1BB 于O ,由线面垂直性质可得AB CO ⊥,再利用线面垂直判定定理即可证明; （2）作1OD AA ⊥于D ，连接CD ，证明1AA ⊥平面COD ,进而得1AA ⊥CD ，结合题目条件求出1,OC AA 的长度,并建立空间坐标系,由向量夹角公式求解即可.【小问1详解】因为点C 在平面11ABB A 内的射影落在棱1BB 上，作1CO BB ⊥交1BB 于O , 则CO ⊥平面11ABB A ,AB ⊂平面11ABB A ,则AB CO ⊥, 又111,,,AB B C B C CO C B C CO ⊥⋂=⊂平面11BCC B ,故AB ⊥平面11BCC B .【小问2详解】由（1）知AB ⊥平面11BCC B ，1BB ⊂平面11BCC B ，则1AB BB ⊥， 故四边形11ABB A 为矩形，作1OD AA ⊥于D ，则//OD AB , 连接CD ，由（1）易知1,,,CO AA CO OD O CO OD ⊥⋂=⊂平面COD ， 故1AA ⊥平面COD ，CD ⊂平面COD ，故1AA ⊥CD ，又1AA 与1CC ，则CD =，设1,AB a AA b ==，易知3ab =①，CO ==，2COD CO OD S ⋅==又三棱柱111ABC A B C -的体积为32，故132COD S AA b ⨯== ②， 由①②可得1,3a b ==，此时1CO =， 在平行四边形11AAC C 中，作11C F AA ⊥交1AA 的延长线于F , 因为1CD AA ⊥,所以1//,CD C F 故1CDFC 为矩形，11,CD C F CC DF ==,设AD m =，则13,AF m AC =+===，则2AD m ==，以O 为原点，,,OB OD OC 为 ,,x y z 轴建立空间直角坐标系，()()()10,0,1,2,0,0,1,1,0C B A -，()()12,0,1,1,1,1CB CA =-=--，设(),,m x y z = 为平面1A BC 的法向量，则10m CB m CA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即200x z x y z -=⎧⎨-+-=⎩，令1,x =则()1,3,2m =，易知平面11ABB A 的一个法向量为()0,0,1OC = ， 设平面1A BC 与平面11ABB A所成锐二面角为,cos cos ,m OC θθ===.20. 已知椭圆2222:1(10)x y C a b a b +=>>>，过点()1,0M 的直线l 交椭圆C 于点,A B ，且当l x ⊥轴时，AB =（1）求椭圆C 的方程；（2）记椭圆C 的左焦点为F ，若过,,F A B 三点的圆的圆心恰好在y 轴上，求直线AB 的方程.【答案】（1）2214x y +=（2）10x ±-= 【解析】【分析】（1）根据离心率和弦长列式求出,a b 即可得结果；（2）设过,,F A B 三点的圆的圆心为()0,Q n ，()()1122,,,A x y B x y ，根据22QA QF =可以得到：2113210y ny +-=，根据22QB QF =可以得到：2223210y ny +-=，构造方程得1213y y =-，设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立，由韦达定理列式计算即可. 【小问1详解】由题意得：2222221c b e a a ==-=，得2a b =， 又当1x =时，y =±，则2AB ===，所以2a =，即12b a =⎧⎨=⎩， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=.【小问2详解】设过,,F A B 三点的圆的圆心为()0,Q n ，()()1122,,,A x y B x y，又()F ， 则22QA QF =，即()()(()222211000x y n n -+-=+-，又()11,A x y 在椭圆2214x y +=上，故221114x y +=，代入上式化简得到：2113210y ny +-=，①同理，根据22QB QF =可以得到：2223210y ny +-=，② 由①②可得：12,y y 是方程23210y ny +-=的两个根，则1213y y =-，设直线AB ：1x ty =+，联立方程：22141x y x ty ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得：()224230t y ty ++-=，故1223143y y t -==-+，解得25t =，所以t =AB的方程为：10x -=.21 设函数()()2211ln ln 24f x x ax x a x ax ⎛⎫=+---⎪⎝⎭.（1）当1a =时，求曲线()f x 在点()()e,e f 处的切线方程；.（2）证明：存在()00,x ∞∈+，使得当12a <<时，()()1052ln e 8a f x a -<-+. 【答案】（1）()23e 1e e 04x y +---= （2）证明见解析 【解析】【分析】（1）求导得斜率，再利用点斜式求直线并化简即可；（2）利用导数求得()f x 的最小值()254f a a =-，从而把所证式子转化为证：212ln 20ea a a --->，12a <<，构造函数()()212ln 2,12ex x g x x x -=--<<，结合零点存在性定理并多次求导利用导数研究函数()g x 的单调性即可求解最值，即可证明. 【小问1详解】 当1a =时，()2211ln 24f x x x x x x ⎛⎫=+--⎪⎝⎭，所以()()1ln f x x x =+'，则()()21e e ,e e 14f f =='+， 则曲线()f x 在点()()e,e f 处的切线方程为()()21e e 1e 4y x -=+-，因此()23e 1e e 04x y +---=.【小问2详解】因为()()()ln ln f x x a x a '=+-，12a <<，由()0f x '>得到x a >，由()0f x '<得到0x a <<， 所以()f x 在()0,a 上单调递减，在(),a ∞+上单调递增，所以()f x 的最小值为()254f a a =-， 要证：()()1052ln e 8a f x a -<-+，即证：()21552ln e 48a a a --<-+， 只需证：212ln 20ea a a --->，12a <<.设()()212ln 2,12e x x g x x x -=--<<，则()22311142142e e e x x x x x x x g x x x ------=-='， 设()()231421,12e x x x h x x --=-<<，则()()()32112142108e e x x x x x x x x h x -----=='+，当12x <<时，()0h x '<，所以()h x 在()1,2上单调递减，而()110h =>，()210h =-<，故必存在唯一()01,2x ∈，使得()00h x =，所以当()001,x x ∈时，()0h x >，即()0g x '>；当()00,2x x ∈时，()0h x <，即()0g x '<. 所以()g x 在()01,x 上单调递增，在()0,2x 上单调递减，而()10g =，()82ln 220eg =-->， 所以()0g x >在()1,2上恒成立，即212ln 20ea a a --->成立，原命题得证.【点睛】方法点睛：对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：（1）通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； （2）利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．（3）根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．（二）选考题：共10分.请考生在第22､23题中任选一题做答.如果多做，则按所做的第一题记分.【选修44：坐标系与参数方程】22. 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C的参数方程为cos 2sin x y αααα⎧=⎪⎨=+⎪⎩(α为参数)，（1）求曲线1C 与y 轴的交点坐标；（2）以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为1πsin 2,3C ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭与2C 交于,A B 两点，求AOB ∠的大小.【答案】（1）()()0,4,0,0（2）π3【解析】【分析】（1）利用完全平方公式与同角基本关系式，消掉参数α，令0x =即可得解； （2）将2C 极坐标方程化为直角坐标方程，结合几何关系即可求解.【小问1详解】由1C 的参数方程得：2222(2)(cos )(sin )134,x y αααα+-=++=+=即曲线1C 的普通方程为：22(2)4x y +-=， 令0x =，得0y =或4，∴曲线1C 与y 轴的交点坐标为()()0,4,0,0.【小问2详解】将2C 的极坐标方程πsin 23ρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1sin cos 22ρθθ=，cos sin 4θρθ+=40y +-=，2C ∴是过点()0,4且倾斜角为2π3的直线， 不妨设()0,4B ，则6π∠=OBA ， 因为BO 为直径，所以π2BAO ∠=， πππ263AOB ∠∴=-=. [选修4-5：不等式选讲]23. 已知0a b >>，且33a b a b+=+，函数()f x x a x b =-+-的最小值为2. （1）求,a b 的值；（2. 【答案】（1）3,1a b ==（2）2 【解析】【分析】（1）利用绝对值三角不等式求解()f x 的最小值,并结合已知条件求出,a b 的值； （2）利用三角换元求解函数最大值. 【小问1详解】()f x x a x b a b =-+-≥-,当且仅当()()0x a x b --≤等号成立,故2a b -=,又0a b >>,故2a b -=,结合33a b a b+=+,解得3,1a b ==. 小问2详解】=+,πsin cos ,0,2θθθ⎛⎫⎡⎤==∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭，πcos 2sin 6θθθ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，因为ππ2π,663θ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，故[]π2sin 1,26θ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，的最大值为2.【。
四川省绵阳市高三数学第三次诊断性考试试题 理(扫描版
四川省绵阳市2017届高三数学第三次诊断性考试试题理（扫描版）绵阳市高2014级第三次诊断性考试 数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．CDABA ABDDC BB二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．214．415．120 16．9三、解答题：本大题共6小题，共70分．17．解 ：（Ⅰ）把(a +c )2=b 2+3ac 整理得，a 2+c 2-b 2=ac ，由余弦定理有cos B =2122222==-+ac ac ac b c a ，∴ B =3π． ………………………………………………………………………4分 (Ⅱ)△ABC 中，A +B +C =π，即B =π-(A +C )，故sin B =sin(A +C )， 由已知sin B +sin(C -A )=2sin2A 可得sin(A +C )+sin(C -A )=2sin2A ， ∴ sin A cos C +cos A sin C +sin C cos A -cos C sin A =4sin A cos A ，整理得cos A sin C =2sin A cos A ． ………………………………………………7分 若cos A =0，则A =2π， 于是由b =2，可得c =332tan 2=B ， 此时△ABC 的面积为S =bc 21=332． ………………………………………9分 若cos A ≠0，则sin C =2sin A ， 由正弦定理可知，c =2a ，代入a 2+c 2-b 2=ac 整理可得3a 2=4，解得a =332，进而c =334， 此时△ABC 的面积为S =B ac sin 21=332． ∴ 综上所述，△ABC 的面积为332． ……………………………………12分 18．解：(Ⅰ)补全的列联表如下：∴ 083.24016080120)206020100(20022≈⨯⨯⨯⨯-⨯⨯=K >2.072，即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关． ………………6分(Ⅱ) 由（Ⅰ）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为=⨯%1002002010%，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1， ∵ X ~B (3，0.1)，X =0，1，2，3， ∴729.0)1.01()0(3=-==X P ，243.0)1.01(1.0)1(213=-⨯⨯==C X P ，027.0)1.01(1.0)2(223=-⨯⨯==C X P ，001.01.0)3(3===X P ，∴ X 的分布列为∴ X 的数学期望)(X E 12分 19．解：(Ⅰ) 作FE 的中点P ，连接CP 交BE 于点M ，M 点即为所求的点．………………………………………………………2分证明：连接PN ，∵ N 是AD 的中点，P 是FE 的中点， ∴ PN //AF ，又PN ⊂平面MNC ，AF ⊄平面MNC ， ∴ 直线AF //平面MNC ．………………5分 ∵ PE //AD ，AD //BC ， ∴ PE //BC ， ∴2BM BCME PE==．………………………………………………………………6分 (Ⅱ)由（Ⅰ）知PN ⊥AD ，又面ADEF ⊥面ABCD ，面ADEF ∩面ABCD =AD ，PN ⊂面ADEF ，所以PN ⊥面ABCD ． …………………………………………………………8分 故PN ⊥ND ，PN ⊥NC ．………………………………………………………9分以N 为空间坐标原点，ND ，NC ，NP 分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系N -xyz ，∵ ∠ADC=3π，AD =DC =2， ∴ △ADC 为正三角形，NC =3，∴ N (0，0，0)，C (3，0，0)，D (0，1，0)，E (0，1，1)，∴ =(0，1，1)，=(3，0，0) ，=(0，0，1)，=(3，-1，0) ， 设平面NEC 的一个法向量n 1=(x ，y ，z )，则由n 1•=0，n 1•=0可得⎪⎩⎪⎨⎧==+，，030x z y 令y =1，则n 1=(0，1，-1) ． 设平面CDE 的一个法向量n 2=(x 1，y 1，z 1)，则由n 2•=0，n 2•DC =0可得⎪⎩⎪⎨⎧=-=，，030111y x z 令x 1=1，则n 2=(1，3，0) ． 则cos< n 1，n 2>=2121n n n n ⋅=46223=，设二面角N -CE -D 的平面角为θ，则sin θ=2)46(1-=410， ∴ 二面角N -CE -D 的正弦值为410．………………………………………12分 20．解：(Ⅰ)由题意知，|ME |+|MF |=|MP |+|MF |=r =6>|EF |=4，故由椭圆定义知，点M 的轨迹是以点E ，F 为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为a =3，短半轴长为b =52322=-，∴ 曲线C 的方程为：15922=+y x ． …………………………………………4分(Ⅱ)由题知F (2，0)，若直线AB 恰好过原点，则A (-3，0)，B (3，0)，N (0，0)， ∴ NA =(-3，0)，=(5，0)，则m =53-， =(3，0)，BF =(-1，0)，则n =-3，∴ m +n =518-． ………………………………………………………………2分 若直线AB 不过原点，设直线AB ：x =ty +2，t ≠0，A (ty 1+2，y 1)，B (ty 2+2，y 2)，N (0，-t2)．则=(ty 1+2，y 1+t2)，AF =(-ty 1，-y 1)， NB =(ty 2+2，y 2+t2)，=(-ty 2，-y 2)，由NA mAF =u u u r u u u r，得y 1+t 2=m (-y 1)，从而m =121ty --；由NB nBF =u u u r u u u r，得y 2+t2=n (-y 2)，从而n =221ty --；故m +n =121ty --+(221ty --)=21212122)11(22y y y y t y y t +⨯--=+--． ……8分联立方程组得：⎪⎩⎪⎨⎧=++=，，159222y x ty x 整理得(5t 2+9)y 2+20ty -25=0，∴ y 1+y 2=95202+-t t ，y 1y 2=95252+-t ， ∴ m +n =212122y y y y t +⨯--=252022t t ⨯--=-2-58=518-． 综上所述，m +n =518-．………………………………………………………12分 21．(Ⅰ)证明：由题知x x x x x f e e 4ln )(--+=，于是xx x x x x x x x f x xx )e e 1)(1(e )1(e 1e )1(e 11)(-+=+-+=+-+='， 令x x x e e 1)(-=μ，则0e )1(e )(<+-='x x x μ(x >0)， ∴ )(x μ在(0，+∞)上单调递减． 又)0(μ=1>0，)e1(μ=1e 1e -<0， 所以存在x 0∈(0，e1)，使得)(0x μ=0， 综上f (x )存在唯一零点x 0∈(0，e1)． ………………………………………3分 解：当x ∈(0，x 0)，0)(>x μ，于是0)(>'x f ，)(x f 在(0，x 0)单调递增； 当x ∈(x 0，+∞)，0)(<x μ，于是0)(<'x f ，)(x f 在(x 0，+∞)单调递减． 故00000max 4ln )()(x e ex x x x f x f --+==，又000()1e e 0xx x =-=μ，001e e x x =，0x =01ln e x =0ln 1x --，故max )(x f 4)ln 1(ln 00---+=x x -01e e x x ⋅=-5-1=-6．……………………6分 (Ⅱ) 解：()p x >()q x 等价于ln 4e xx x ax +->．ln 4ln 4ln 4e e e x xxx x x x x x ax a x x +-+-+->⇔<=，…………………………7分令ln 4()e x x x h x x +-=，则2(1)(ln 5)()e xx x x h x x ++-'=-，令5ln )(-+=x x x ϕ，则011)(>+='xx ϕ，即)(x ϕ在(0，+∞)上单调递增． 又023ln )3(<-=ϕ，04ln )4(>=ϕ，∴ 存在t ∈(3，4)，使得0)(=t ϕ．……………………………………………9分∴ 当x ∈(0，t )，0)(<x ϕ0()()h x h x '⇒>⇒在(0，t )单调递增； 当x ∈(t ，+∞)， 0)(>x ϕ0()()h x h x '⇒<⇒在(t ，+∞)单调递减． ∵ 3(1)0e h =-<，2ln 22(2)02e h -=<，3ln31(3)03e h -=>， 且当x >3时，0)(>x h ， 又3(1)e h =，22ln 2(2)2e h -=>3ln31(3)3e h -=，42ln 2(4)4e h =，故要使不等式()p x >()q x 解集中有且只有两个整数，a 的取值范围应为3ln313e -≤22ln 22e a -<．…………………………………………………………12分22．解：(Ⅰ) 将C 1的参数方程化为普通方程为(x -1)2+y 2=3，即x 2+y 2-2x -2=0∴ C 1的极坐标方程为22cos 20ρρθ--=. …………………………………2分将C 2的极坐标方程化为直角坐标方程为221x y +=. ……………………5分（Ⅱ）将3πθ=代入C 1：22cos 20ρρθ--=整理得220ρρ--=，解得：12ρ=，即|OA |=12ρ=.∵ 曲线C 2是圆心在原点，半径为1的圆， ∴ 射线θ=3π(ρ≥0)与C 2相交，则21ρ=，即|OB |=21ρ=. 故12AB ρρ=-=2-1=1． ……………………………………………………10分 23．解：(Ⅰ)当x ≤13时，f (x )=7-6x ，由f (x )≥8解得x ≤16-，综合得x ≤16-， 当13<x <2时，f (x )=5，显然f (x )≥8不成立， 当x ≥2时，f (x )=6x -7，由f (x )≥8解得x ≥52，综合得x ≥52， 所以f (x )≥8的解集是15(][)62，，-∞-+∞U ． ………………………………5分（Ⅱ）()336f x x a x =-+-≥(3)(36)6x a x a ---=-，()21g x x =-+≥1，∴ 根据题意|6-a |≥1，解得a ≥7，或a ≤5． ……………………………………………………10分。
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学理卷word版含答案
绵阳市高中第三次诊断性考试数学（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷1至2页，第II 卷 3至4页。
满分150分。
考试时间120分钟。
注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5毫米的黑色签字笔填写在答题卡上， 并将条形码粘贴在答题卡的指定位置。
2. 选择题使用25铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的 黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效j 在草稿纸、试题卷 上答题无效。
3. 考试结束后，将答题卡收回。
第I 卷（选择题，共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的.1. 已知全集U=R,集合A ＝{x||x|≤1}，B={x|x≤1},则B A C U )(等于 A. {x|x≤-1} B. {x|x<-1} C. {-1} D. {x|-1<x|≤1}2. 设命题p:存在两个相交平面垂直于同一条直线;命题q ：012,2≥+-∈∀x x R x .则下 列命题为真命题的是A q p ∧B )(q p ⌝∧C )()(q p ⌝∧⌝D q p ∧⌝)( 3. 已知曲线5. 函数f(x)=x-sinx 的大致图象可能是6.一个多面体的直观图和三视图如图所示，M 是AB 的 中点，一只蜜蜂在该几何体内自由飞舞，则它飞入几 何体F-AMCD 内的概率为则BP BC .=A. 2B. 4C. 8 D . 168. 已知E 为不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥+1422y y x y x ，表示区域内的一点，过点E 的直线l 与圆M:(x-1)2+y 2=9相交于A,C 两点，过点E 与l 垂直的直线交圆M 于B 、 D 两点，当AC 取最小值时，四边形ABCD 的面积为9. 如果正整数M 的各位数字均不为4,且各位数字之和为6,则称M 为“幸运数”，则四 位正整数中的“幸运数”共有A. 45个B. 41个C. 40个D. 38个A. 6B. 4C. 3D. 2第II卷（非选择题，共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11. 若复数z 满足z.i=1+2i(i 为虚数单位)，则复数z=________ 12. 执行如图所示的程序框图，则输出的S=______.已知直线y=k(x+1)(k>0)与抛物线C:y 2=4x 相交于A,B 两点，O 、F 分别为C 的顶点和焦点，若)(R FB OA ∈=λλ，则k=______15. 若数列{a n }满足：对任意的n ∈N *，只有有限个正整数m 使得a m <n 成立，记这样的m的个数为*)(n a ,若将这些数从小到大排列，则得到一个新数列{*)(n a }，我们把它叫做数列{a n }的“星数列”.已知对于任意的n ∈N *, a n =n 2给出下列结论:②(a 5)*=2;③数列*)(n a 的前n 2项和为2n 2-3n+1;④{a n }的“星数列”的“星数列”的通项公式为**))((n a ＝n 2以上结论正确的是_______.(请写出你认为正确的所有结论的序号）三、解答題：本大題共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小題满分12分）绵阳某汽车销售店以8万元A 辆的价格购进了某品牌的汽车.根据以往的销售分析得 出，当售价定为10万元/辆时，每年可销售100辆该品牌的汽车，当每辆的售价每提 高1千元时，年销售量就减少2辆.(I)若要获得最大年利润，售价应定为多少万元/辆？ (II)该销售店为了提高销售业绩，推出了分期付款的促销活动.已知销售一辆该品 牌的汽车，若一次性付款，其利润为2万元;若分2期或3期付款，其利润为2.5万 元；若分4期或5期付款，其利润为3万元.该销售店对最近分期付叙的10位购车 情况进行了统计，统计结果如下表.若X 表示其中任意两辆的利润之差的绝对值，求X 的分布列和数学期望.17. (本小题满分12分）如图，已知平面PAB 丄平面ABCD ，且四边形ABCD 是 矩形，AD : AB=3 : 2, ΔPAB 为等边三角形，F 是线段BC 上的点且满足CF=2BF.(I)证明：平面PAD 丄平面PAB(II)求直线DF 与平面PAD 的所成角的余弦值.y=f(x)19. (本小题满分12分）已知{a n }是公差为d 的等差数列，它的前n 项和为S n ，S 4=2S 2+8. (I)求公差d 的值;n ∈N *恒成立的最大正整数m 的值；20. (本小题满分13分）已知椭圆C: 原点为圆心，椭圆C 的短半轴长为半径的圆与直线且与x 轴垂直，如图.(I)求椭圆C 的方程；为坐标原点)，且满足MQ PM t MQ PM .||||=+，求实数t 的取值范围.21. (本小题满分14分）绵阳市高2013级第三次诊断性考试数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分．BDACA BCDBC二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．2-i 12．11 131415．②④三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16．解：（Ⅰ）设销售价格提高了0.1x万元/辆，年利润为y万元．则由题意得年销售量为100-2x，∴ y=(10+0.1x-8)(100-2x)=-0.2x2+6x+200=-0.2(x-15)2+245．故当x=15时，y取最大值．此时售价为10+0.1×15=11.5万元/辆．∴当售价为11.5万元/辆时，年利润最大．…………………………………4分1辆，2．5万元的有4辆，3万元的有5辆．∴P(X=0∴ X的分布列为：∴X的数学期望0．∴ X………………………………………………………12分17．解：（Ⅰ）取AB的中点为O，连接OP，∵△PAB为等边三角形，∴ PO⊥AB．①又平面PAB⊥平面ABCD，∴ PO⊥平面ABCD，∴ PO⊥AD．∵四边形ABCD是矩形，∴ AD⊥AB．②∵ AB与PO交于点O，由①②得：AD⊥平面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB．……………………………………………………6分（Ⅱ）以AB的中点O为原点，OB所在直线为x轴，过O平行于BC所在直线为y 轴，OP所在直线为z AB=2，AD=3，∴ F(1，1，0)，A(-1，0，0)，P(03)，D(-1，3，0)．∴DF=(2，-2，0)，AP=(1，0，AD=(0，3，0)，可求得平面ADP的法向量0，-1)，若直线DF与平面sinθ=|cos<n，DF>|=|||||DF nDF n⋅=⋅θ为锐角，∴…………………………12分18ω=2．∴………………………………6分（Ⅱ）∵ 2sin∴∵ cos(A+B)=-cosC，，，即cosC=2cos2C-1，整理得2cos2C-cosC-1=0，解得1（舍），∴于是由余弦定理得：∴ a2+b2=12-ab≥2ab，∴ ab≤4(当且仅当)．∴ S△ABC∴△ABC………………………………………12分19．解：（Ⅰ）设数列{a n}的公差为d，∵ S4=2S2+8，即4a1+6d=2(2a1+d)+8，化简得：4d=8，解得d=2．……………………………………………………………………3分∴∴n∈N*恒成立，∴化简得：m2-5m-6≤0，解得：-1≤m≤6．∴ m的最大正整数值为6．……………………………………………………8分（Ⅲ）由d=2，得a n=a1∵n∈N*，都有b n≤b4成立，∴，解得-6<a1<-4，即a1(-6，-4)．……………………………12分20．解：（Ⅰ）由题可得：C的短半轴长为半径的圆与直线相切，，解得b=1．再由a2=b2+c2∴分（Ⅱ）当直线的斜率为0时，OP OQ⋅=-4∉[，不成立；∵直线的斜率不为0，设P(x1，y1)(y1>0)，Q(x2，y2)(y2<0)，直线的方程可设为：x=my+1，2+2my-3=0∴而OP OQ ⋅5≤4m +111(1)1PM x y m y =-+=+⋅；(MQ x =||||||||PM MQ tPM MQ t PM MQ +=⋅=⋅∴11||||MQPM m +=∴ m 2≤1…………………………………13分21．解：（Ⅰ）∵ ()f x ' ∴ 当2x-1>0，即 f (x)∴ 当2x-1<0，即时，()f x '<0，于是 (x)∵ ，∴ m+2>2．①mf (x)在m+2)上单增，∴f (x)min ②当 f (x)在m+2]上单调递增，∴min ∴ 综上所述：当 f (x)min =2e ；当 f (x)…………………………………………………………………4分 （Ⅱ）构造F(x)=f (x)-g(x)(x>1)，()F x '，①当t ≤e 2时，e 2x -t ≥0成立，则x>1时，()F x '≥0，即F(x)在(1)+∞，上单增，∴ F(1)=e 2-2t≥0，即t②当t>e 2时，()F x '=0得．∴ F(x)在(1，+∞)上单增，∴ F(x)min ．∴不成立．∴ 综上所述：t 分x>0e ， ∴ ∴∴。
四川省绵阳市高三第三次诊断性考试数学(理)试题(解析版)
∴BC⊥AF．……………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）解：连结DG交AC于H，连结FH．
∵平面ACEF 平面ABCD，
由（Ⅰ）知BC 面ACEF，DH//BC，
∴DH 面ACEF．
即BC、DH分别是四棱锥B-ACEF、D-ACEF的高．
【解析】
试题分析：（Ⅰ）根据已知条件，取AB的中点G，连结CG．得到DC//AG．
又推知四边形ADCG是平行四边形，得AD=CG=a，
得到AC⊥BC．进一步BC⊥平面ACEF．
∴四边形ADCG是平行四边形，得AD=CG=a，
∴CG= AB
∴AC⊥BC．
又∵二面角E-AC-B是直二面角，即平面ACEF 平面ABCD，
ξ
0
1
………………………………………………………11分
．………………………………………………………………12分
考点：茎叶图，离散型随机变量的分布列与数学期望.
18.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点 在单位平面上，∠xOA=α，∠AOB= ，且α∈( ， ).
（Ⅰ）若cos(α+ ) ，求 的值；
，就称A为“复活集”，给出下列结论：
①集合 是“复活集”；
②若 ，且 是“复活集”，则 ；
③若 ，则 不可能是“复活集”；
④若 ，则“复合集”A有且只有一个，且n= .
其中正确的结论是_____________.（填上你认为所有正确的结论序号）
【答案】①③④
【解析】
试题分析：易判断①是正确的；
三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
（Ⅱ）过点A,B分别做x轴的垂线，垂足为C、D，记△AOC的面积为S1，△BOD的面积为S2.设f(α)=S1+S2,求函数f(α)的最大值.
绵阳市高2012级第三次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准
绵阳市高2012级第三次诊断性考试数学(理工类)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．DCBCD AABCB10．提示：当AB 垂直于x 轴时，显然不符合题意．设AB 中点为)2(t P ，，于是t y y y y y y x x y y k AB 2444212221212121=+=--=--=． ∴ 可设直线AB 的方程为)2(2-=-x tt y ， 联立方程： ⎪⎩⎪⎨⎧=-=-，，x y x t t y 4)2(22 消去x 得： 082222=-+-t ty y ，∴ y 1+y 2=2t ，y 1y 2=2t 2-8，∴ )432(44)3284)(41(22222t t t t t AB -+=+-+=由21tk k k MP MP AB -=⇒-=⋅，得)2(2--=-x t t y MP ：，令0=y 时，得)04(，M ， ∴ 2224)0()24(t t MP +=-+-=， 于是S △MAB 228)4(2121t t MP AB -+=⋅=． 令28t m -=，则m m m m S 621)12(2132+-=⋅-=， ，，，20200)2)(2(236232>⇒<'<<⇒>'-+-=+-='m S m S m m m S ∴ 当2=m 时， (S △MAB )m a x =8，此时42=t ． 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．412．3713．2.02 14．6 15．②③三、解答题：本大题共6小题，共75分．16．解：(Ⅰ) 随机变量ξ的可能取值分别是：0，m ，3m ，6m 元．∴ 278)32()0(3===ξP ；2712)32(31)(213===C m P ξ；27632)31()3(223===C m P ξ；271)31()6(3===m P ξ； ξ的分布列为：(Ⅱ)由(Ⅰ)得：342716276327122780mm m m E =⨯+⨯+⨯+⨯=ξ， …………9分 若要使促销方案对商场有利，则34m<100，解得m <75． 即要使促销方案对商场有利，商场最高能将奖金数额m 应低于75元．…12分 17．(Ⅰ) 证明：∵ PA ⊥底面ABCD ，AE ⊂底面ABCD ，∴ AE ⊥PA ． …………………………………1分 ∵ 四边形ABCD 是菱形，且∠ABC =60º， ∴ △ABC 为等边三角形， 又 E 是 BC 中点，则AE ⊥BC ，由BC //AD ，得AE ⊥AD ．……………………3分 又∵ PA ∩AE =A ， ∴ AE ⊥平面PAD ， 又PD ⊂平面PAD ，∴ AE ⊥PD ． …………………………………5分(Ⅱ)解：由(Ⅰ)可知AE ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，以AE ，AD ，AP 所在直线为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图． 设PA =AB =2，则A (0，0，0)，E (3，0，0)，C (3，1，0)，F (23，21，1)， ∴ AE =(3，0，0)，AC =(3，1，0) ，AF =(23，21，1)．…………7分 设平面EAF 的法向量为n 1=(x 1，y 1，z 1)，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，0011n n AF 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=，，02123031111z y x x 令z 1=1，可得n 1=(0，-2，1)．…9分 设平面ACF 的法向量为n 2=(x 2，y 2，z 2)，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，0022n n AF AC 即⎪⎩⎪⎨⎧=++=+，，021230322222z y x y x 令x 2=3，可得n 2=(3，-3，0)． ……………………………………………………………………11分 设二面角E -AF -C 的平面角为α，则5153256cos 2121=⋅=⋅⋅=n n n n α， 又由图可知α为锐角，所以二面角E -AF -C 的余弦值为515．…………12分 18．解：(Ⅰ) 由图象知，2126561=-=A ，故312161-=-=b ， 26322πππ=-=T ，即π=T ，于是由πωπ=2，解得2=ω． ∵6131)62sin(21=-+⨯ϕπ，且)22(ππϕ，-∈， 解得6πϕ=．∴ 31)62sin(21)(-+=πx x f ．…………………………………………………4分 由22ππ-k ≤62π+x ≤22ππ+k ，Z ∈k ，解得3ππ-k ≤x ≤6ππ+k ，Z ∈k ，即)(x f 在R 上的单调递增区间为Z ∈+-k k k ，，]63[ππππ．………………6分(Ⅱ)由条件得：031)62sin(21)(00=-+=πx x f ，即32)62sin(0=+πx ． ∵ 0)0()6(<⋅f f π且)(x f 在)60(π，上是增函数，61)6(=πf >0，3143)4(-=πf >0，)(x f 在)46(ππ，上是减函数， ∴ )60(0π，∈x ，∴ )26(620πππ，∈+x ，…………………………………………………………9分∴ 35)62(sin 1)62cos(020=+-=+ππx x ， …………………………………10分 ∴]6)62cos[(2cos 00ππ-+=x x 6sin )62sin(6cos )62cos(00ππππ+++=x x 6215+=． …………………………………………………………12分 19．解：(Ⅰ)设数列{a n }公差为d ，由题设得⎩⎨⎧⋅=⋅=，，2248224a a a a a a ……………………2分即⎪⎩⎪⎨⎧+=++⋅+=+，，2111121)()3()7()()3(d a d a d a d a d a 解得⎩⎨⎧==，，111d a ∴ 数列{a n }的通项公式为：n a n =(n ∈N *)． ………………………………4分(Ⅱ) 由(Ⅰ)知：⎪⎩⎪⎨⎧∈-=∈==．，，，，，**12222N N k k n n k k n b n n …………………………………5分 ①当n 为偶数，即*2N ∈=k k n ，时，奇数项和偶数项各2n项， ∴ )2222()]1(262[642n n n T ++++-+++=3432221])2(1[22)222(2222222-+=--+-+=+n n n n n； ………………………7分 ②当n 为奇数，即*12N ∈-=k k n ，时，1+n 为偶数．∴ 34322)1(23422)1(1213211-++=--++=-=+++++n n n n n n n n a T T ． 综上：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧∈=-++∈=-+=++．，，，，，*12*221234322)1(234322N -N k k n n k k n n T n n n ……………………………9分 (Ⅲ)122)12(2212212212-=-==---n n b b c n n n n n ， 令12-=n t ，由此12-n c >10转化为102>=tc tt ，∵ 1221211+=⋅+=++t t t t c c t t t ≥1(当且仅当t=1时“=”号成立)， ∴ 1211c c c c c t t t =>⋅⋅⋅>>>-+．∵ 105255<=c ，106266>=c ． ∴ 12-n ≥6，解得n ≥27， ∴ 当n ≥4，n ∈N *时，12-n c >10．…………………………………………12分 20．解：(Ⅰ)在△ABC 中，根据正弦定理得=+C B A sin sin sin ABCACB +， 即λ=+ABCACB (1>λ)， ∵ AB =2，∴ λ2=+CB CA (定值)，且22>λ，∴ 动点C 的轨迹τ为椭圆(除去与A 、B 共线的两个点)． ………………3分设其标准方程为12222=+by a x ，∴ a 2=2λ，b 2=2λ-1，∴ 所求曲线的轨迹方程为)(112222λλλ±≠=-+x y x ． …………………………5分 (Ⅱ)3=λ时，椭圆方程为)3(12322±≠=+x y x ． ①过定点B 的直线与x 轴重合时，△NPQ 面积无最大值．…………………6分 ②过定点B 的直线不与x 轴重合时，设l 方程为：1+=my x ，)()(2211y x Q y x P ，，，，若m =0，因为3±≠x ，故此时△NPQ 面积无最大值． ……………………7分 根据椭圆的几何性质，不妨设0>m ．联立方程：⎪⎩⎪⎨⎧=++=，，123122y x my x 消去x 整理得：044)32(22=-++my y m ，∴ 324221+-=+m my y ，324221+-=m y y ， 则32)1(3412212++=-+=m m y y m PQ ．………………………………………9分∵ 当直线与l 平行且与椭圆相切时，此时切点N 到直线l 的距离最大， 设切线)3(<+='n n my x l ：，联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=，，12322y x n my x 消去x 整理得：0624)32(222=-+++n mny y m ，由0)62)(32(4)4(222=-+-=∆n m mn ， 解得：)3(3222-<+=n m n ． 又点N 到直线l 的距离112+-=m n d ，∴ 32113232)1(3211212122222++-=++⨯+-⨯=⋅⋅=∆m m n m m m n PQ d S PMN， =∴2S 2222)32()1()1(12++-m m n ．…………………………………………………11分将3222+=m n 代入得： )11()11(6222n n S --=， 令)033(1，-∈=n t ，设函数)1()1(6)(22t t t f --=， 则)12()1(12)(2+--='t t t f ， ∵ 当t ∈)2133(--，时，)(t f '>0，当t ∈)021(，-时，)(t f '<0， ∴ )(t f 在)2133(--，上是增函数，在)021(，-上是减函数， ∴ 881)21()(min =-=f t f ． 故212=m 时，△NPQ 面积最大值是429．…………………………………13分21．解：(Ⅰ))()()(x g x f x h +==)00(ln ln >>-+b a a b x x x ，，∴ b x x h ln 1ln )(++='， 由0)(>'x h 解得bex 1>，由0)(<'x h 解得be x 10<<，∴ 函数)(x h 的单增区间是)1(∞+，be ，函数)(x h 的单减区间是)10(be，． ………………………………………………………3分(Ⅱ)由)(0x f ≤)(0x g 可变为a bx x +00ln ≤0． 令a b x x x p +=ln )(，]534[b a b a x ++∈，，则1ln )(+='bxx p ． 由0)(>'x p 可得e b x >，由0)(<'x p 可得eb x <<0， 所以)(x p 在)0(e b ，单调递减，在)(∞+，eb 单调递增．………………………6分 根据题设知：534b a b a +<+，可解得)70(，∈a b． …………………………7分①若53b a +≤e b ，即)753[，e ea b -∈时， ∵ )(x p 在]534[b a b a ++，单调递减， ∴ a bba b a b a p x p +++=+=53ln 53)53()(min ≤0， 即ab a b a b++⋅+3553ln ≤0对)753[，e e a b -∈恒成立． 令=t )753[，e e a b -∈，tt t t q +++=3553ln )(≤0， 则0)3(98)(2<++-='t t t t q ，即)(t q 在)753[，ee-上是减函数；则052)53()(max <-=-=ee e q t q ， 所以对任意)753[，e e a b -∈，aa ab +++3553ln≤0成立．……………………10分 ②当534b a e b b a +<<+，即)534(e ee e a b --∈，时，当且仅当a e e b e b p x p +==1ln )()(min ≤0，即ab ≥e ，此时)53[e e e a b -∈，． ……………………………………………………11分 ③当4b a +≥e b 时， 即)40(e ea b -∈，时，∵ )(x p 在]534[ba b a ++，上单调递减， ∴ a ba b a b a p x p +++=+=4ln 4)4()(min ≤0， 令=t )40(e e a b -∈，，即tt t t +++=1441ln )(ϕ≤0恒成立． 因为0)1(15)(2<++-='t t t t ϕ，所以)(t ϕ在)40(ee-，上是减函数， 故存在无数个)40(0eet -∈，，使得0)(0>t ϕ， 如取0221ln )1(10>+==ϕ，t 与)(t ϕ≤0恒成立矛盾，此时不成立． 综上所述，ab的取值范围是)7[，e ．………………………………………14分。
四川省绵阳市2012届高三第三次诊断性考试数学理(附答案)
保密★启用前【考试时间：2012年4月21日15:00—17:00】四川省绵阳市2012届高三第三次诊断性考试数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分.第I 卷1至2页，第II 卷3至4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、考号用0.5亳米的黑色签字笔填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置.2. 选择题使用2B 铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米的黑色签字笔书写在答题卡的对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效.3. 考试结束后，将答题卡收回.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球是表面积公式()()()P A B P A P B +=+ 24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 球的体积公式如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 343V R π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径()(1)k kn kn n P k C P P -=-第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数z 满足z •(1－i)=2i(其中i 为虚数单位)，则z 的值为 (A) –1－i (B) -1+i( C) 1-i(D) 1+i2. 已知集合，，则=(A)(B)(C)(D)3. 若函数/(X)=在R 上连续，则实数a 的值为(A) -1 (B)O(C)(D) 14. l1,l2是空间中两条不同的直线，a,β是两个不同的平面，则下列命题正确的是(A)(B)(C)(D)5. 已知两非零向量a,b,则是“a与b共线”的(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件6. 设f(X)是定义在R上周期为4的奇函数，当时，，则f(5)的值为(A) 4 (B) -4 (C) 2 (D) -27. 已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，且S15=45,M为a5, a11的等比中项，则M的最大值为(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 368. 已知点是圆内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m的方程为，那么(A)且m与圆C相切（B)且/W与圆C相切(C)且m与圆C相离（D)且w与圆C相离9. 某运输公司有7辆载重量为8吨的J型卡车与4辆载重量为10吨的5型卡车，有9名驾驶员.在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360吨沥青的任务.己知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车6次.每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元，B型车180元.该公司每天合理派出A型车与B型车，使得每天所花的最低成本费为(A) 1200 元(B) 1320 元(C) 1340 元（D) 1520 元10. 已知函数在一个周期内的图象如图所示.则的图象可由函数y=cosx的图象（纵坐标不变）(A) 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位(B) 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位(C) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位(D) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位11. 已知双曲线C:(a>09 b>0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A,B 两点,若，则C的离心率为(A)(B)(C) 2 (D)12. 形如34021这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字、千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，现从由0, 1, 2, 3, 4, 5组成的数字不重复的五位数中任取一个，则该数是“波浪数”的概率为(A)(B)(C)(D)第II卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.13. 抛物线的焦点坐标为.________14. 若展开式中常数项为60,则实数a=________15. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的体积是，则A、B两点的球面距离为________16. 对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间和常数c，使得对任意x 1,都有，且对任意x2D,当时，恒成立，则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列说法：①“平顶型”函数在定义域内有最大值；②函数为R上的“平顶型”函数；③函数f(x)=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数；④当时，函数，是区间上的“平顶型”函数.其中正确的是________.(填上你认为正确结论的序号）三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. (本题满分12分）已知向量.(I )当m//n时，求的值；(II)已知在锐角ΔABC中，a, b, c分别为角A,B,C的对边，，函数，求的取值范围.18. (本题满分12分）某电视台有A、B两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B.已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为.(I )求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；(II) 记游戏A、B被闯关成功的总人数为，求的分布列和期望.19. (本题满分12分）如图，正方形AA1D1D与矩形ABCD所在平面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB上一点(I) 当点E为AB的中点时,求证；BD1//平面A1DE(II )求点A1到平面BDD1的距离；(III) 当时，求二面角D1-EC-D的大小.20. (本题满分12分）已知函数的图象在点(1, f(1))处的切线方程为x-y-2=0(I )用a表示b, c；(II) 若函数g(x)=x-f(x)在上的最大值为2，求实数a的取值范围.21. (本题满分12分）在ΔABC中，顶点A,B, C所对三边分别是a,b,c已知B(-1, 0), C(1, 0),且b,a, c成等差数列.(I )求顶点A的轨迹方程；(II) 设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，如果存在过点P(0,-)的直线l,使得点M、N关于l对称，求实数m的取值范围.22. (本题满分14分）已知数列{a n }各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于，总有成等差数列.(I )求数列{a n }的通项a n ； (II )设数列的前n 项和为T n ,数列{T n }的前n 项和为R n ,求证：时，；(III)对任意，试比较与的大小绵阳市高2012级第三次诊断性考试 数学(理)参考解答及评分标准一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分． BCDBA CACAB AD二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分． 13．(410-，) 14．±2 15．arccos 3116．①④三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．解：（I ）由m //n ，可得3sin x =-cos x ，于是tan x =31-． ∴ 922)31(31312tan 31tan cos 2sin 3cos sin -=--⋅+-=-+=-+x x x x x x ． …………………………4分 （II ）∵在△ABC 中，A +B =π-C ，于是C B A sin )sin(=+，由正弦定理知：C A C sin sin 2sin 3⋅=， ∴23sin =A ，可解得3π=A ． ………………………………………………6分 又△ABC 为锐角三角形，于是26ππ<<B ，∵ )(x f =(m +n )·n =(sin x +cos x ，2)·(sin x ，-1) =sin 2x +sin x cos x -2 =22sin 2122cos 1-+-x x =23)42sin(22--πx ， ∴ 232sin 2223]4)8(2sin[22)8(-=--+=+B B B f πππ．……………………10分由26ππ<<B 得ππ<<B 23，∴ 0<sin2B ≤1，得23-<232sin 22-B ≤2322-． 即]232223()8(--∈+，πB f ．………………………………………………12分 18．解：（I ）设“i 个人游戏A 闯关成功”为事件A i (i =0，1，2)，“j 个人游戏B 闯关成功”为事件B j (j =0，1，2)，则“游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数”为A 1B 0+A 2B 1+A 2B 0． ∴ P (A 1B 0+A 2B 1+A 2B 0) =P (A 1B 0)+P (A 2B 1)+P (A 2B 0)=P (A 1)·P (B 0)+P (A 2)·P (B 1)+P (A 2)·P (B 0)=202222120222200212)31()21(3132)21()21()31()32(2121⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅C C C C C C367=． 即游戏A 被闯关成功的人数多于游戏B 被闯关的人数的概率为367．……4分 （II ）由题设可知：ξ=0，1，2，3，4．361)31()21()0(202202=⋅⋅==C C P ξ，61366)21(3132)31(2121)1(2021222212==⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C C C P ξ，361331322121)21()32()31()21()2(1212222222222222=⋅⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅==C C C C C C P ξ， 3136122121)32(3132)21()3(1222212222==⋅⋅⋅⋅+⋅⋅⋅⋅==C C C C P ξ， 91364)32()21()4(22==⋅==ξP ．∴ ξ的分布列为：10分 ∴ E ξ=37914313361326113610=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯． ………………………12分 19．解法一：（I ）证明：连结AD 1交A 1D 于F ，则F 为中点，连结EF ，如图． ∵ E 为中点， ∴ EF //BD 1．又EF ⊂面A 1DE ，BD 1⊄面A 1DE ，∴ BD 1//面A 1DE ．……………………………………………………………3分 （II ）在Rt △ABD 中，AB =2AD =2，可得BD =5， ∴ 252111=⨯⨯=∆DD BD S BDD ，212111111=⨯⨯=∆DD D A S DD A ， 设A 1到面BDD 1的距离为d ，则由1111D D A B BD D A V V --=有1113131D D A BDD S AB S d ∆∆⋅=⋅⋅， 即212312531⋅⋅=⋅⋅d ，解得 552=d ，即A 1到面BDD 1的距离为552．……………………………………………8分 （III ）连结EC ． 由AB AE 21=，有32=AE ，34=EB ， 过D 作DH ⊥EC 于H ，连结D 1H ， 由已知面AA 1D 1D ⊥面ABCD 且DD 1⊥AD ， ∴DD 1⊥面ABCD ．由三垂线定理知：D 1H ⊥EC ， ∴ ∠DHD 1为D 1-EC -D 的平面角． Rt △EBC 中，由34=EB ，BC =1，得35=EC ．又DH ·EC =DC ·BC ，代入解得56=DH ， ∴在Rt △DHD 1中，65561tan 11===∠DH DD DHD ． ∴65arctan 1=∠DHD ，即二面角D 1-EC -D 的大小为65arctan ．…………12分解法二：（I ）同解法一．………………3分 （II ）由面ABCD ⊥面ADD 1A ，且四边形AA 1D 1D 为正方形，四边形ABCD 为矩形，可得D 1D ⊥AD ，D 1D ⊥D C ，DC ⊥DA ． 于是以D 为原点，DA ，DC ，DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．由AB =2AD =2知：D (0，0，0)，D 1(0，0，1)，A 1(1，0，1)，B (1，2，0)， ∴ =(1，2，0)，1DD =(0，0，1)，B A 1=(0，2，-1)．设面BDD 1的一个法向量为n 1)1(11z x ，，=， A 1D 1AEBCH则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00111DD DB n n 即⎩⎨⎧==+，，00211z x ∴)012(1，，-=n ．∴ 点A 1到面BDD 1的距离552||||111=⋅=n n A d ． …………………………8分 （III ）由（II ）及题意知：E (1，32，0)，C (0，2，0)，)1321(1-=，，E D ，)0341(，，-=EC ．设面D 1EC 的一个法向量为)1(222，，y x =n ，则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅，，00212EC E D n n 即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=-+，，03401322222y x y x 可得)12132(2，,n =．又易知面DEC 的一个法向量是=1DD (0，0，1)， 设D 1-EC -D 的大小为θ，则6161616611||||cos 1212=⨯=⋅=DD n θ， 得61616arccos=θ． 即D 1-EC -D 的大小为61616arccos ．………………………………………12分 20．解：（I ）)0()(2>+-='a x bxa x f ， 由题，1)1(='f ，得-a +b =1． ∴ b =a +1．又切点(1，a+c )在直线x -y -2=0上，得1-(a +c )-2=0，解得c =-a -1． ………………………………………………………………4分 （II ）g (x )c x b xax ---=ln 1ln )1(+++--=a x a xax ， ∴ 2))(1()1(11)(x a x x x a x a x x a x a x g --=++-=+-+='， 令0)(='x g ，得x =1，或x =a ．………………………………………………8分 i)当a ≥1时，由0<x ≤1知，)(x g '≥0， ∴ g (x )在(0，1]上递增． ∴ g (x )max =g (1)=2．于是a ≥1符合条件． ………………………………………………………10分 ii)当0<a <1时，当0<x <a 时，0)(>'x g ；a <x <1时，g '(x )<0， ∴ g (x )在(0，a )上递增，g (x )在(a ，1)上递减． 得g (x )max =g (a )>g (1)=2，与题意矛盾． ∴ 0<a <1不符合题意．综上知实数a 的取值范围为[)∞+，1．………………………………………12分 21．解：（I ）由题知⎩⎨⎧=+=，，a cb a 22得b +c =4，即|AC |+|AB |=4（定值）．由椭圆定义知，顶点A 的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆（除去左右顶点）， 且其长半轴长为2，半焦距为1，于是短半轴长为3．∴ 顶点A 的轨迹方程为)0(13422≠=+y y x ．………………………………4分 （II ）由⎩⎨⎧=-++=，，0124322y x m kx y 消去y 整理得(3+4k 2)x 2+8kmx +4(m 2-3)=0． ∴ Δ=(8km )2-4(3+4k 2)×4(m 2-3)>0， 整理得：4k 2>m 2-3．①令M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+，，222122143)3(4438k m x x k km x x 设MN 的中点P (x 0，y 0)，则，2210434)(21k km x x x +-=+=2021210433)(21)(21kmkx m m kx m kx y y y +=+=+++=+=，…………………7分 i)当k =0时，由题知，)30()03(，，⋃-∈m ．……………………………8分 ii)当k ≠0时，直线l 方程为x ky 121-=+， 由P (x 0，y 0)在直线l 上，得2243421433k mkm +=++，得2m =3+4k 2．② 把②式代入①中可得2m -3>m 2-3，解得0<m <2. 又由②得2m -3=4k 2>0，解得23>m ． ∴223<<m ． 验证：当(-2，0)在y =kx+m 上时，得m =2k 代入②得4k 2-4k +3=0，k 无解． 即y =kx+m 不会过椭圆左顶点. 同理可验证y =kx +m 不过右顶点．∴ m 的取值范围为(223，)．………………………………………………11分 综上，当k =0时，m 的取值范围为)30()03(，，⋃-；当k ≠0时，m 的取值范围为(223，)．……………………………12分22．解：（I ）由题意，得22n n n a a S +=（n ∈N*）． 于是21112++++=n n n a a S ，两式相减，得221112n n n n n a a a a a -+-=+++，即a n +1+a n =(a n +1+a n )(a n +1-a n )， 由题，a n >0，a n +1+a n ≠0，得a n +1-a n =1，即{a n }为公差为1的等差数列．又由21112a a S +=，得a 1=1或a 1=0（舍去）．∴ a n =1+(n -1)·1=n (n ∈N *)．……………………………………………5分 （II ）证法一：由（I ）知n a n 11=，于是nT n 131211+⋅⋅⋅+++=， 于是当n ≥2时，13211--+⋅⋅⋅+++=n n T T T T R=)1131211()31211()211(1-+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++++++n =113322)1(-+⋅⋅⋅+-+-+-n n n n =11113121-+--+⋅⋅⋅+-+-+-nn n n n n n =n nn -+⋅⋅⋅+++)131211( =n (T n -1). ………………………………………………………………10分 法二：①当n =2时，R 1=T 1=11a =1，2(T 2-1)=2()1211-+=1， ∴ n =2时，等式成立．②假设n =k （k ≥2）时，等式成立，即)1(1-=-k k T k R ， 当n =k +1时，k k k T R R +=-1=k k T T k +-)1( =k T k k -+)1( =k a T k k k --+++)1)(1(11=k k T k k -+-++)11)(1(1=k T k k --++1)1(1=)1)(1(1-++k T k ．∴ 当n =k +1时，等式也成立．综合①②知，原等式对n ≥2，n ∈N*均成立． …………………………10分 （III ）由（I ）知，∑∑==-=n i n i i i a 13131． 由分析法易知，112++->k k k ，当k ≥2时，11123-⋅<k k k kk k 2112⋅-⋅+= )11(112++-+⋅-<k k k k1111+⋅---+=k k k k 1111+--=k k ， ∴ 333131211n +⋅⋅⋅+++)121()4121()311(1n n --+⋅⋅⋅+-+-+<)1111(+--+n n 111222+--+=n n ． 即22211113+<+++∑=-n i i a n n ． ………………………………………14分。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
绵阳市高中2012级第三次诊断性考试数学（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1. 已知复数z满足z•(1－i)=2i(其中i为虚数单位)，则z的值为
(A) –1－i (B) -1+i (C) 1-i (D) 1+i
2. 已知集合，，则=
(A)(B)(C)(D)
3. 若函数f(x)=在R上连续，则实数a的值为
(A) -1 (B)O(C)(D) 1
4. l1,l2是空间中两条不同的直线，a,β是两个不同的平面，则下列命题正确的是
(A)(B)
(C)(D)
5. 已知两非零向量a,b,则是“a与b共线”的
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充要条件(D)既不充分也不必要条件
6. 设f(X)是定义在R上周期为4的奇函数，当时，，则f(5)的值为
(A) 4 (B) -4 (C) 2 (D) -2
7. 已知正项等差数列{a n}的前n项和为S n，且S15=45,M为a5, a11的等比中项，则M的最大值为
(A) 3 (B) 6 (C) 9 (D) 36
8. 已知点是圆内一点，直线l是以M为中点的弦所在的直线，直线m 的方程为，那么
(A)且m与圆C相切（B)且m与圆C相切
(C)且m与圆C相离（D)且m与圆C相离
9. 某运输公司有7辆载重量为8吨的A型卡车与4辆载重量为10吨的B型卡车，有9名驾驶员.在建筑某段高速公路中，此公司承包了每天至少搬运360吨沥青的任务.己知每辆卡车每天往返的次数为A型卡车5次，B型卡车6次.每辆卡车每天往返的成本费为A型车160元，B型车180元.该公司每天合理派出A型车与B型车，使得每天所花的最低成本费为
(A) 1200元(B) 1320元(C) 1340元（D) 1520元
10. 已知函数在一个
周期内的图象如图所示.则的图象可由函数y=cosx的图象
（纵坐标不变）
(A) 先把各点的横坐标缩短到原来的倍,再向左平移个单位
(B) 先把各点的横坐标缩短到原来的倍，再向右平移个单位
(C) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位
(D) 先把各点的横坐标伸长到原来的2倍，再向右平移个单位
11. 已知双曲线C:(a>0,b>0)的右焦点为F，过F且斜率为的直线交C于A,B两点,若
，则C的离心率为
(A)(B)(C) 2 (D)
12. 形如34021这样的数称为“波浪数”，即十位上的数字、千位上的数字均比与它们各自相邻的数字大，现从由0, 1, 2, 3, 4, 5组成的数字不重复的五位数中任取一个，则该数是“波浪数”的概率为
(A)(B)(C)(D)
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
13. 抛物线的焦点坐标为.________
14. 若展开式中常数项为60,则实数a=________
15. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球的体积是，则A、B两点的球面距离为________
16. 对于定义在区间D上的函数f(X),若存在闭区间和常数c，使得对任意x1,都有
，且对任意x 2D,当时，恒成立，则称函数f(x)为区间D上的“平顶型”函数.给出下列说法：
①“平顶型”函数在定义域内有最大值；
②函数为R上的“平顶型”函数；
③函数f(x)=sinx-|sinx|为R上的“平顶型”函数；
④当时，函数，是区间上的“平顶型”函数.
其中正确的是.(填上你认为正确结论的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. (本题满分12分）已知向量.
(I )当m//n时，求的值；
(II)已知在锐角ΔABC中，a, b, c分别为角A,B,C的对边，，函数，求的取值范围.
18. (本题满分12分）某电视台有A、B两种智力闯关游戏，甲、乙、丙、丁四人参加，其中甲乙两人各自独立进行游戏A，丙丁两人各自独立进行游戏B.已知甲、乙两人各自闯关成功的概率均为，丙、丁两人各自闯关成功的概率均为.
(I )求游戏A被闯关成功的人数多于游戏B被闯关成功的人数的概率；
(II) 记游戏A、B被闯关成功的总人数为，求的分布列和期望.
19.(本题满分12分）如图，正方形AA 1D1D与矩形ABCD所在平
面互相垂直，AB=2AD=2，点E为AB上一点
(I) 当点E为AB的中点时,求证；BD1//平面A1DE
(II )求点A1到平面BDD1的距离；
(III) 当时，求二面角D1-EC-D的大小.
20. (本题满分12分）已知函数的图象在点(1, f(1))处的切线方程为x-y-2=0
(I )用a表示b, c；
(II) 若函数g(x)=x-f(x)在上的最大值为2，求实数a的取值范围.
21. (本题满分12分）在ΔABC中，顶点A,B, C所对三边分别是a,b,c已知B(-1, 0), C(1, 0),且b,a, c 成等差数列.
(I )求顶点A的轨迹方程；
(II) 设顶点A的轨迹与直线y=kx+m相交于不同的两点M、N，如果存在过点P(0,-)的直线l,使得点M、N关于l对称，求实数m的取值范围.
22. (本题满分14分）已知数列{a n}各项均为正数，S n为其前n项和，对于，总有
成等差数列.
(I )求数列{a n}的通项a n；
(II )设数列的前n项和为T n,数列{T n}的前n项和为R n,求证：时，；(III)对任意，试比较与的大小。