《极坐标》章末复习(四)
第四章平面问题的极坐标解答（讲）
第四章平面问题的极坐标解答§4-1 极坐标中的平衡微分方程对于由径向线和圆弧线围成的圆形、圆环形、楔形、扇形等的弹性体，宜用极坐标求解。
因为用极坐标表示其边界线非常方便，从而使边界条件的表示和方程的求解得到很大的简化。
在极坐标中，平面内任一点P的位置，用径向坐标ρ及环向坐标ϕ来表示，图4-1。
极坐标和直角坐标都是正交坐标系，但两者有如下区别：在直角坐标系中，x和y坐标线都是直线，有固定的方向，x和y坐标的量纲都是L。
在极坐标系中，ρ坐标线（ϕ=常数）和ϕ坐标线（ρ=常数）在不同的点有不同的方向；ρ坐标线是直线，而ϕ坐标线为圆ϕ坐标为量纲一的量。
这些区别将引弦曲线；ρ坐标的量纲是L，而起弹性力学基本方程的差异。
为了表明极坐标中的应力分量，从所考察的薄板或长柱形体中取出任一厚度等于1的微分体PACB，在xy平面上，这个微分体是由两条径向线（夹角为d ϕ）和两条环向线（距离为ρd ）所围成，如图所示，沿ρ方向的正应力称为径向正应力，用ρσ代表；沿ϕ方向的正 应力称为环向正应力或切向正应力，用ϕσ代表；切应力用ϕρρϕττ及代表（根据切应力的互等关系，ϕρρϕττ=）。
各应力分量的正负号规定和直角坐标中一样，只是ρ方向代替了x 方向，ϕ方向代替了y 方向。
即正面上的应力以沿正坐标方向为正，负面上的应力以沿负坐标方向为正，反之为负。
图中所示的应力分量都是正的。
径向及环向的体力分量分别用ϕρf f 及代表，以沿正坐标方向为正，反之为负。
与直角坐标中相似，由于应力随坐标ρ的变化，设PB 面上的径向正应力为ρσ，则AC 面上的将为ρρσσρρd ∂∂+；同样，这两个面上的切应力分别为ρϕρϕττ及+ρρσϕd ∂∂。
PA 及BC 两个面上的环向正应力分别为ϕσ及ϕσ+ϕρσϕd ∂∂；这两个面上的切应力分别为ϕϕτττϕρϕρϕρd ∂∂+及。
对于极坐标中所取的微分体，应注意它的两个ρ面PB 及AC 的面积不相同，分别等于()ϕϕρϕρd d d +及；两个ϕ面PA 及BC 的面积都等于d ρ，但此两面不平行。
极坐标与参数方程专题复习
OM的角度θ来刻画(如图所示).这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为
点M的极坐标.ρ称为点M的 极径 ，θ称为点M的极角
.
一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极
点)就与极坐标(ρ，θ)(ρ≠0)建立一一对应的关系.我们设定，极点的
例、将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原
来的2倍，得到曲线C.求曲线C的标准方程；
2.极坐标系
(1)极坐标与极坐标系的概念
在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长
度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了
一个极坐标系.点O称为极点，射线Ox称为极轴.
0，直线 l 的参数方程为
(t 为参数)，射线 OM 的极坐标方程
y＝t
3π
为 θ＝ 4 .求圆 C 和直线 l 的极坐标方程；
题型三、距离的最值： 用“参数法”
1.曲线上的点到直线距离的最值问题
2.点与点的最值问题
“参数法”：设点---套公式--三角辅助角
①设点： 设点的坐标，用该点在所在曲线的的参数 方程来设
直线
圆
普通方程
参数方程
y－y0＝tan α(x－x0)
x＝x0＋tcos α，
(t 为参数)
y＝y0＋tsin α
(x-a)2＋(y-b)2＝r2
2
椭圆
抛物线
2
x y
2＋ 2＝1(a>b>0)
a b
y2＝2px(p>0)
ቊ
= +
(为参数)
= +
极坐标知识点总结
极坐标知识点总结一、极坐标的基本概念1.1 极坐标的引入极坐标是一种描述平面上点的坐标系统，它由距离和角度两个参数来确定点的位置。
在直角坐标系中，一个点的位置可以用横坐标和纵坐标来表示，而在极坐标系中，则是用半径和角度来表示。
对于一个点P(x, y)，可以用极坐标(r, θ)表示，其中r是点P到原点O的距离，θ是OP与x轴正方向的夹角。
1.2 极坐标系的基本元素极坐标系包括极轴、极角、极径等基本要素。
极轴是平面上一条射线，通常取x轴的正半轴作为极轴，记作θ=0。
点P到极轴的距离r称为极径，点P与极轴的夹角θ称为极角。
1.3 极坐标系与直角坐标系的关系极坐标系与直角坐标系是可以相互转换的。
在直角坐标系中，点P(x, y)可以转换为极坐标(r, θ)的形式，其中r=√(x²+y²)，θ=tan^(-1)(y/x)。
反之，极坐标(r, θ)也可以转换为直角坐标(x, y)的形式，其中x=r*cosθ，y=r*sinθ。
二、极坐标的表示方法2.1 极坐标系的图示表示极坐标系通常用极轴和极角的方式进行图示表示，极轴通常取x轴的正半轴，极角从极轴正半轴开始逆时针旋转。
2.2 极坐标的参数表达对于一个点P(r, θ)，通常用参数方程的形式来表示，即x=r*cosθ，y=r*sinθ。
这种表示方法可以方便地描绘出曲线在极坐标系中的形状。
2.3 极坐标的极径范围在极坐标系中，极径r可以取任意实数，而极角θ通常取一个区间，通常是[0, 2π)，表示半平面θ的取值范围。
三、极坐标的转换方法3.1 极坐标到直角坐标的转换对于一个点P(r, θ)，可以通过r*cosθ和r*sinθ来转换为直角坐标系中的坐标(x, y)，即x=r*cosθ，y=r*sinθ。
这种转换方法可以帮助我们在直角坐标系中描绘出极坐标中的曲线。
3.2 直角坐标到极坐标的转换对于一个点P(x, y)，可以通过√(x²+y²)和tan^(-1)(y/x)来转换为极坐标系中的坐标(r, θ)，即r=√(x²+y²)，θ=tan^(-1)(y/x)。
高三极坐标方程知识点
高三极坐标方程知识点一、导言极坐标方程是数学中的一种坐标系表示方法，通过使用极径和极角来描述平面上点的位置。
在高三数学中，学习极坐标方程是必不可少的一部分。
本文将介绍极坐标方程的基本定义、图形表示以及相关的知识点。
二、基本概念1. 极坐标系：极坐标系是由极轴和极角组成的二维坐标系。
极轴是由原点O出发的射线，极角是用角度或弧度表示的射线与极轴的夹角。
2. 极坐标：一个点在极坐标系中的位置可以用极径r和极角θ来表示，记作(r,θ)。
其中，r表示点到原点O的距离，θ表示点所在射线与极轴的夹角。
三、极坐标方程的表示极坐标系下，一个点的坐标可以由极径r和极角θ来确定。
根据这个原理，可以得到极坐标方程的一般形式：r=f(θ)，其中f(θ)为一个函数。
极坐标方程描述了平面上所有满足该方程的点的集合。
四、极坐标方程的图形表示不同的方程对应不同的图形。
以下是一些常见的极坐标方程及其对应的图形表示：1. 极径为常数的方程：r=a，其中a为正实数。
该方程表示以极径为a的一个园。
2. 正弦曲线方程：r=a·sinθ，其中a为正实数。
该方程表示以极轴为对称轴的正弦曲线。
3. 余弦曲线方程：r=a·cosθ，其中a为正实数。
该方程表示以极轴为对称轴的余弦曲线。
4. 椭圆方程：r=a·(1-e·cosθ)，其中a和e为正实数。
该方程表示以极轴为对称轴的椭圆。
5. 双曲线方程：r=a·(1+e·cosθ)，其中a和e为正实数。
该方程表示以极轴为对称轴的双曲线。
六、其他相关知识点1. 极坐标方程与直角坐标方程互相转化：可以通过一定的数学运算将极坐标方程转化为直角坐标方程，或将直角坐标方程转化为极坐标方程。
2. 极坐标方程下的导数与曲线切线：使用导数的定义，可以求得极坐标方程下的导数及曲线的切线方程。
3. 高阶曲线的极坐标方程：对于一些高阶曲线，可以通过一定的数学方法求得其极坐标方程。
第四章平面问题的极坐标解答
r 2 r r r 2 2
式中 (r, ) ，为应力函数。
应力函数与应力分量之间的关系，可按下述方法导出。
我们注意到，当 0时，x、y 轴分别与r、 轴重
合，此时应力分量
x、
y、
分别与应力分量
xy
r、 、 r 对应
r
( x ) 0
2
dr 2 r dr dr 2 r dr
展开上式得：
r 4 d 4 2r 3 d 3 r 2 d 2 r d 0
dr4
dr3
dr2 dr
这是一个变系数欧拉方程，其通解为
Aln r Br 2 ln r Cr 2 D
式中，A、B、C、D是待定系数。将代入式 （4-8），得应力分量：
1 E
(
r ),
r
2(1
E
)
r
或者
r
E
1 2
( r
),
E
1 2
(
r ),
r
E
2(1
)
r
4. 边界条件
力的边界条件：
r l r m Tr
r l m T
力均对称于它的中心轴(z)，故其应力只与r有关，
与极角无关，由于对称性，只有正应力，而剪应 力为零，称此类问题为平面轴对称问题。对于象曲 杆纯弯曲这类问题，其应力也具有这种特点(与θ 无关)，但结构不具有对称性，称为应力轴对称问题。
由应力分布的上述特点，可假设应力函数形式为：
(r)
相容方程： ( d 2 1 d )( d 2 1 d ) 0
极坐标知识点
极坐标知识点摘要：本文旨在详细介绍极坐标系统，包括其定义、基本公式、图形表示以及在数学和物理问题中的应用。
极坐标系统是一个二维坐标系统，其中每个点的位置由一个角度和一个距离来表示，与直角坐标系统中的x 和y坐标不同。
1. 极坐标系统的定义：极坐标系统由一个固定点（极点）和一个固定射线（极轴）定义。
在这个系统中，点的位置由两个数值确定：距离极点的径向距离（r）和从极轴到点的线段与极轴之间的角度（θ）。
2. 极坐标与直角坐标的转换：极坐标（r, θ）可以通过以下公式转换为直角坐标（x, y）：\[ x = r \cos(\theta) \]\[ y = r \sin(\theta) \]反之，直角坐标（x, y）也可以转换为极坐标（r, θ）：\[ r = \sqrt{x^2 + y^2} \]\[ \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right) \]其中，θ的值根据x和y的符号在不同的象限内确定。
3. 极坐标的图形表示：在极坐标图中，所有的点都通过极点，并以极轴为参考轴。
图形的方程通常以r为函数，形式为r = f(θ)。
4. 极坐标的基本公式：极坐标系统中的一些基本公式包括：- 圆的方程：r = a (其中a为常数，表示圆的半径)- 直线的方程：θ = α（其中α为常数，表示与极轴的夹角）5. 极坐标的应用：极坐标在解决某些类型的数学和物理问题时非常有用，例如：- 描述圆、螺旋和其他对称图形- 解决波动和振动问题- 在天文学中描述星体的位置6. 极坐标的图形示例：以下是几个极坐标图形的例子：- 单位圆：r = 1- 螺旋线：r = a + bθ (其中a和b为常数)- 玫瑰线：r = a cos(kθ) 或 r = a sin(kθ) (其中k为常数)结论：极坐标系统是一个强大的工具，特别是在处理涉及角度和距离的问题时。
通过理解其基本公式和性质，我们可以有效地解决各种数学和物理问题。
(完整版)极坐标系知识点归纳总结
(完整版)极坐标系知识点归纳总结
极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系统，它由极径和极
角两个参数组成。
以下是极坐标系的一些重要知识点：
1. 极坐标转换公式：
- 点P的极坐标表示为：(r, θ)，其中r表示点P到极点的距离，θ表示点P与极轴的夹角。
- 点P的直角坐标表示为：(x, y)，则有以下公式：
- r = √(x^2 + y^2)
- θ = arctan(y / x)
2. 极坐标系与直角坐标系的关系：
- 极坐标系和直角坐标系可以相互转换。
- 极坐标转换为直角坐标的公式：
- x = r * cos(θ)
- y = r * sin(θ)
- 直角坐标转换为极坐标的公式：
- r = √(x^2 + y^2)
- θ = arctan(y / x)
3. 极径和极角的范围：
- 极径r可以是任意非负实数。
- 极角θ一般取值范围为[0, 2π)或(-π, π]，表示一个完整的圆周。
4. 极坐标系下的常见图形：
- 圆：r = a，其中a为正实数，表示以极点为圆心，以a为半径的圆。
- 直线：θ = k，其中k为常数，表示与极轴夹角为k的直线。
- 雅可比椭圆：r = a * (1 - e * cos(θ))，其中a和e为正实数，表示以极点为焦点，离心率为e的椭圆。
5. 极坐标系下的曲线方程：
- 极坐标系可以方便地描述一些复杂的曲线。
- 通过给定r和θ的函数关系，可以确定一条在极坐标系下的
曲线方程。
以上是对极坐标系知识点的简要归纳总结，希望对您有所帮助。
极坐标与参数方程综合复习
极坐标与参数方程综合复习一、极坐标的基本概念和转换关系极坐标是用极径和极角来表示平面上的点。
对于平面上的一个点P，若以原点O为极点，OP的长度为r，OP与极轴的夹角为θ，则点P的极坐标可以表示为(r,θ)。
其中，极径r是非负实数，极角θ是弧度制。
极坐标与直角坐标的转换关系为：x = r*cosθy = r*sinθr^2=x^2+y^2θ=atan(y/x)在极坐标系中，曲线的方程通常表示为r=f(θ)，其中f(θ)为极角θ的函数。
常见的极坐标曲线包括圆和阿基米德螺线。
二、参数方程的基本概念和转换关系参数方程是使用一个或多个参数来表示曲线上的点的坐标。
对于参数方程x=f(t)，y=g(t)，t为参数变量，曲线上的点的坐标可以表示为(x,y)=(f(t),g(t))。
参数方程与直角坐标的转换关系为：x=f(t)，y=g(t)t=x，x=f(t)，y=g(f(t))参数方程的优点是可以描述更加复杂的曲线，如椭圆、双曲线和螺旋线等。
三、极坐标与参数方程之间的转换关系对于极坐标转换为参数方程，可以将极坐标表示的一组点的极角参数化，然后代入到直角坐标系的坐标转换关系中。
例如，对于极坐标(r,θ)，可以将θ用参数t表示，得到x=r*cos(t)，y=r*sin(t)。
这样，极坐标就转换为了参数方程。
对于参数方程转换为极坐标，首先需要确定极径r和极角θ的范围，然后将参数t代入到直角坐标系的坐标转换关系中，得到x=f(t)，y=g(t)。
再利用极坐标的转换关系，求出相应的极径r和极角θ。
四、极坐标与参数方程的应用1.极坐标的应用：极坐标常用于描述圆和极坐标曲线，可以简化计算。
例如，在极坐标系下，计算圆的面积和弧长可以更加方便。
2.参数方程的应用：参数方程可以描述一条曲线的整个轨迹，因此在物理、工程、经济和生物等领域中有广泛的应用。
例如，在物理学中，参数方程可以描述物体的运动轨迹；在经济学中，参数方程可以描述供需曲线和价格变化曲线等。
04 平面问题的极坐标解答
弹性力学与有限元
第四章 平面问题的极坐标解答
§4-3 极坐标中的应力函数与相容方程
直角坐标下的相容方程为
4 4 4 4 4 2 2 2 4 0 x x y y
（平面应力）
应力的应力函数表示：
2 x 2 fx x y
Theory of Elasticity and Finite Element Method
弹性力学与有限元
第四章 平面问题的极坐标解答
2016年11月13日
弹性力学与有限元
第四章 平面问题的极坐标解答
主
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 §4-5 §4-6
要
内
容
极坐标中的平衡微分方程 极坐标中的几何方程及物理方程 极坐标中的应力函数与相容方程 应力分量的坐标变换式 轴对称应力和相应的位移 圆环或圆筒受均布压力
河南理工大学力学系
弹性力学与有限元 极坐标下的相容方程为：
第四章 平面问题的极坐标解答
2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 0 2 2 2
2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 x y
极坐标下的 Laplace 微分算子：
2 2 1 1 2 2 2 2
河南理工大学力学系
弹性力学与有限元
第四章 平面问题的极坐标解答
三、边界条件
极坐标下，弹性体的边界面通常均为坐标面，即：
C，或 C,
所以边界条件形式比较简单。
思考题
1、试考虑在导出几何方程时，考虑到哪一阶微量，略去了 哪些更高阶的微量？ 2、试比较极坐标中和直角坐标中的基本方程和边界条件， 有哪些相似之处和不同之处，为什么会有这些差别？
极坐标和参数方程知识点总结
极坐标和参数方程知识点总结在数学的广阔天地中，极坐标和参数方程是两个独具特色且非常有用的工具。
它们为我们解决各类几何和物理问题提供了新的视角和方法。
接下来，让我们一同深入探索极坐标和参数方程的奥秘。
一、极坐标极坐标是一种用距离和角度来表示平面上点的位置的坐标系统。
在极坐标系中，一个点由极径和极角来确定。
1、极坐标的定义极径：表示点到极点（通常是坐标原点）的距离，用符号ρ 表示。
极角：表示极径与极轴（通常是 x 轴正半轴）所成的角，用符号θ 表示。
2、极坐标与直角坐标的转换（1）直角坐标转极坐标极径ρ ＝√（x²＋ y²)极角θ ＝ arctan(y ／ x) （需要根据点所在的象限确定θ 的取值）（2）极坐标转直角坐标x ＝ρ cosθy ＝ρ sinθ3、常见的极坐标曲线（1）圆圆心在极点，半径为 a 的圆的极坐标方程：ρ ＝ a圆心在点（a, 0)，半径为 a 的圆的极坐标方程：ρ ＝2a cosθ（2）直线过极点且与极轴夹角为α 的直线的极坐标方程：θ ＝α过点（a, 0) 且垂直于极轴的直线的极坐标方程：ρ cosθ ＝ a4、极坐标的应用在物理学中，描述物体的平面运动轨迹，如圆周运动，极坐标常常能使问题简化。
二、参数方程参数方程是通过引入参数来表示曲线或曲面的方程。
1、参数方程的定义对于平面曲线，如果曲线上任意一点的坐标 x 和 y 都可以表示为某个变量 t 的函数，即 x ＝ f(t)，y ＝ g(t)，那么我们称这两个方程为该曲线的参数方程，t 称为参数。
2、参数方程的常见形式（1）直线的参数方程若直线过点（x₀, y₀)，倾斜角为α，则直线的参数方程为：x ＝ x₀＋ t cosαy ＝ y₀＋t sinα （t 为参数）（2）圆的参数方程圆心在点（a, b)，半径为 r 的圆的参数方程为：x ＝ a ＋r cosθy ＝ b ＋r sinθ （θ 为参数）（3）椭圆的参数方程焦点在 x 轴上的椭圆 x²／ a²＋ y²／ b²＝ 1 的参数方程为：x ＝a cosθy ＝b sinθ （θ 为参数）3、参数的几何意义在直线的参数方程中，参数 t 通常具有几何意义，如表示直线上动点到定点的距离。
极坐标复习
OP的反向延长线上取一点M使
|OM|=|ρ| ，M就是极坐标
θ
为(ρ,θ)的点。
|ρ| O
x
M
2、极坐标和直角坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半
轴作为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度
单位。
互化公式：
极坐标化为直角坐标
x cos
y
sin
直角坐标化为极坐标
y
M
2 x2 y2
Байду номын сангаас
tg
sin(-) sin(-)
oa
x = a—si—n——
sin(-)
M(ρ,θ)
0
o
x
=0 (0)
M(ρ,θ)
0
o
x
=0 (R)
•
• P(，) 直线的极坐标方程
•o a
x
• P(，)
a
a
•o •o
a
•o x
P(，) •
x
x • P(，)
cos =a cos= -a sin =a sin=-a
圆的极坐标方程
1
• 也可建立极坐标系解决。 • 点F为极点，x轴正半轴
o F2 B
x
• 为极轴，它的极坐标方程为
•
=
—1-c4—os— ，1=
1—-c4—os—/4—，2=
——4 —— 1-cos5/4
• |AB|= 1 + 2=…=16
•
P52 5•3 极坐标和直角坐标的互化
• 以直角坐标系xoy的
y
• 原点为极点，x轴的正方
例2.把点M的直角坐标(-3，-1)化为极坐标
y
• 极径取正值 =2
极坐标知识点和题型总结大全
以下是关于极坐标的基本知识点和一些常见的题型总结：
1. 极坐标定义：极坐标是一种在平面上表示点位置的坐标系，使用极径（r）和极角（θ）来确定点的位置。
2. 极坐标转换：可以通过以下公式将直角坐标系中的点的坐标转换为极坐标：
r = √(x² + y²)
θ = arctan(y/x)
3. 极坐标转化为直角坐标：可以通过以下公式将极坐标转换为直角坐标系中的点的坐标：
x = r * cos(θ)
y = r * sin(θ)
4. 极坐标系下的图形方程：在极坐标系下，常见的图形方程有：
a) 直线：θ = k，其中k 为常数。
b) 圆：r = a，其中a 为常数。
c) 线段：a ≤ r ≤ b，其中a, b 为常数。
5. 极坐标系下的曲线方程：极坐标下的曲线方程可以通过变化极角或极径的方式得到，常见的曲线方程有：
a) 线：r = k，其中k 为常数。
b) 弧线：θ = k*θ0，其中k 为常数，θ0为起始角度。
c) 雅可比螺线：r = a * θ，其中a 为常数。
d) 心形线：r = a * (1 + cos(θ))，其中a 为常数。
在解题时，根据题目给出的条件和要求，可以灵活运用极坐标的转换公式和图形方程，进行坐标转换、方程建立和问题求解等操作。
请注意理解题目中给出的具体要求，如求极值、图形方程、面积等，并将其转化为极坐标下的形式进行求解。
以上是一些极坐标的基本知识点和一些常见的题型总结，希望对您有帮助。
如果有更具体的题目需要解答，可以提供相关题目，我将尽力帮助您解答。
高考数学极坐标知识点
高考数学极坐标知识点数学一直被认为是高考的重点科目之一，而其中的极坐标系统更是高考数学中的一大难点。
本文将介绍高考数学中与极坐标有关的重要内容，包括极坐标的定义、转换公式、曲线方程、参数方程以及极坐标下的求导与积分等知识点。
一、极坐标的定义极坐标是一种用极径和极角来表示平面上点的坐标系统。
在极坐标系统中，一个点的坐标用(r, θ)表示，其中r表示点到原点的距离，θ表示点与正半轴之间的夹角。
在直角坐标系中，点的坐标为(x, y)，与极坐标可以相互转换。
二、极坐标与直角坐标的转换公式在高考数学中，经常会涉及到极坐标与直角坐标之间的相互转换。
转换公式如下：(1) 由直角坐标(x, y)转换为极坐标(r, θ)：r = √(x² + y²)θ = arctan(y/x)(2) 由极坐标(r, θ)转换为直角坐标(x, y)：x = r * cosθy = r * sinθ掌握转换公式可以在解决与极坐标有关的问题时起到很大的帮助。
三、曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程是指用极坐标来表示曲线上的点的方程。
常见的极坐标方程包括：(1) 极线方程：r = a当极径固定时，定义的曲线就是一条直线，称为极线。
(2) 极轨方程：r = f(θ)极坐标方程中的f(θ)表示一个函数关系，画出的曲线就是该函数的图形。
(3) 极坐标方程的性质：偶函数与奇函数若极坐标方程满足f(θ + π) = f(θ)，则称其为偶函数；若极坐标方程满足f(θ + π) = -f(θ)，则称其为奇函数。
四、参数方程与极坐标在高考数学中，参数方程是用参数t来表示点的坐标。
而在极坐标中，同样可以利用参数方程表示曲线方程。
例如：(1) 曲线的极坐标方程r = f(θ) 可以用参数方程表示为：x = f(θ) * cosθy = f(θ) * sinθ(2) 曲线的参数方程 x = g(t)，y = h(t) 可以转换为极坐标方程：r = √(g²(t) + h²(t))θ = arctan(h(t) / g(t))五、极坐标下的求导与积分在解决极坐标相关问题时，求导与积分是经常使用的技巧。
极坐标方程复习
极坐标方程复习一、极坐标与直角坐标的关系：1、极点与直角坐标系的原点重合;极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合;两种坐标系的单位长度相同.2、根据极坐标与直角坐标关系图，显然可以得到一些转化的方法及相关公式：（1）由极坐标()−−−→−⎩⎨⎧==θρθρθρsin cos y x ，直角坐标()y x ,（2）由直角坐标()−−−→−⎪⎩⎪⎨⎧=+=x y y x y x θρtan 222,极坐标()θρ,（3）可以发现：直接利用坐标系可以更快、更准的进行点坐标的互化。
【通常情况下：将点的直角坐标化为极坐标时，取ρ(＞0,0≤θ＜2π)】 【典型范例】 例题1.（1） 把点M 的极坐标分别换算成直角坐标 ρxy（2）点M 的直角坐标分别换算成极坐标：ρ(＞0,0≤θ＜2π)1、点M 的直角坐标是(1,-，则点M 的极坐标为（ ）A ．(2,)3πB ．(2,)3π-C ．2(2,)3πD ．不确定2、在极坐标系中,已知),6,2(),6,2(ππ-B A 求A,B 两点的距离例题2、分别把下列极坐标方程转化为直角坐标方程，并说出它们分别表示什么曲线？（1）1cos =θρ； （2）1=ρ；（3）224cos =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πθρ （4））（θθρsin cos 2+=(5) ()R ∈=ρπθ；3思考：（1）以极坐标系中的点(1,)6π为圆心，1为半径的圆的方程是 ．（2）在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ 的距离的最小值是 _____ ．（3）极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ与圆2=ρ的公共点个数是____（4）极坐标系中，曲线4sin ρθ=-和cos 1ρθ=相交于点,A B ，则A B ＝（5）在直角坐标系中圆C 的参数方程为⎩⎨⎧+==θθsin 22cos 2y x （θ为参数），则圆C的普通方程为__________ ，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则圆C 的圆心极坐标为______________。
第四章 极坐标解答
ερ =
几何方程
u ρ u 1 v ε = +
ερ =
ρ
ρ
γ ρ =
v u v + ρ ρ ρ
Northeastern university
§4－3 极坐标中的应力函数与相容方程 4
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§4－3 极坐标中的应力函数与相容方程 4
一、直角坐标的相容方程和应力分量 体力为常量或零的情况：设应力函数为 φ 相容方程
45轴对称问题和相应的位移northeasternuniversity45轴对称问题和相应的位移轴对称应力函数1假设应力分量的函数形式轴对称问题的应力函数2极坐标下的相容方程northeasternuniversity45轴对称问题和相应的位移引入轴对称问题的laplaceoperatorlnln4103求出应力函数的具体表达形式northeasternuniversity4945轴对称问题和相应的位移411即为轴对称问题的一般解答4由应力函数求得应力分量411northeasternuniversity45轴对称问题和相应的位移由物理方程求出应变将411代入物理方程43northeasternuniversity45轴对称问题和相应的位移处理方程组a
uρ
切应变： 切应变：
γ ρ 2
u ρ
ρ
u
γ ρ 2
γ ρ 2 = α + β =
ρ
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§4－2 极坐标中的几何方程及物理方程
所以，几何方程： 所以，几何方程：
ε ρ = ε ρ1 + ε ρ 2 = ε = ε1 + ε 2
u ρ u 1 v = +
极坐标系复习专题
极坐标系复习专题
什么是极坐标系？
极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系。
它与直角坐标系不同，直角坐标系使用x轴和y轴来表示点的位置，而极坐标系则使用极径和极角。
极坐标系的表示方法
在极坐标系中，一个点的位置由极径和极角共同决定。
极径表示点到坐标原点的距离，极角表示点与极坐标的初始方向之间的角度。
极径通常用r来表示，极角通常用θ来表示。
具体地，可以通过以下公式将直角坐标系中的点的坐标(x, y)转换为极坐标系中的坐标(r, θ)：
- 极径r = √(x^2 + y^2)
- 极角θ = arctan(y / x)
极坐标系中的点的图示方法
我们可以使用极坐标系图示法来展示极坐标系中的点。
在极坐标系图示法中，我们以坐标原点为中心，在极径方向上标记不同的极径值，然后绘制点与极径间的连线，最后按照极角的大小对点的位置进行标记。
极坐标系的优点和应用
极坐标系具有简洁直观的特点，它能够很好地描述圆形、周期性或对称性问题。
在物理、工程、数学等领域中，极坐标系被广泛应用于描述旋转、周期性运动、天体轨道等问题。
总结
极坐标系是一种描述平面上点位置的坐标系，它使用极径和极角来表示点的位置。
极坐标系具有简洁直观的特点，并在多个领域中得到广泛应用。
在研究和应用极坐标系时，我们需要掌握其表示方法和图示方法，以便能够准确地描述和分析问题。
以上是对极坐标系的简要复习和概述。
希望这份文档对您有所帮助。
如有任何问题，请随时提问。
《极坐标》章末复习
极坐标（理数）主备人：杨素玲 审核人：高三数学备课组 上课时间：2013年12月一、知识梳理：1、极坐标系：在平面内取一个定点O ，叫做极点；引一条射线OX ，叫做这样就建立了一个极坐标系． 2、极坐标与直角坐标互化：①直角坐标(x ，y ) →极坐标 (ρ，θ) ； ②极坐标 (ρ，θ) →直角坐标(x ，y )tan (0)y x x ρθ⎧⎪⎨=≠⎪⎩（θ取值看(x ，y )所在象限）； cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 当0x =时：若点在y 轴正半轴，则取2πθ=；若点在y 轴负半轴，则取32πθ=或2πθ=-.3．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和 θ＝π－θ0；(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M (b ，2π)且平行于极轴：ρsin θ＝b .4．几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；(2)当圆心位于M (a,0) ，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于M (a ，2π)，半径为a ：ρ＝2a sin θ.（4）当圆心位于0(,)M a θ，半径为a ：02cos()a ρθθ=- （前面3种情况都可以由此式推出） 课堂练习：1．点P 的直角坐标为(，那么它的极坐标可表示为___ ___ 2. 在极坐标系中，若点A ，B 的坐标分别为(3，3π)，(4，6π-),则||AB =___ ____， S △AOB ＝________(其中O 是极点)．Oθ）x3. 在极坐标系中，由三条曲线0,,cos sin 13πθθρθθ==+=所围成的图形面积是4． 已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是5. 在极坐标系中，过圆θθρsin 22cos 6-=的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为6． 在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的极坐标方程为7． 在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆C 的极坐标方程，则点)64(π，A 到圆心C 的距离是______8．（2010广东理）在极坐标系)(θρ，)20(πθ≤≤其中中，曲线θρsin 2=与1cos -=θρ的交点的极坐标为___ ___9．（2008广东）已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3,4cos (0,0)2πρθρθρθ==≥≤<，则曲线1C 2C 交点的极坐标为10．（2007广东）在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点π26⎛⎫ ⎪⎝⎭，到直线l 的距离 为11. (2011·华南师大模拟)在极坐标系中，点M ⎝⎛⎭⎫4，π3到曲线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2上的点的距离的最小值为________12.（2012安徽）在极坐标系中,圆4sin ρθ=的圆心到直线()6R πθρ=∈的距离是_____13.【2013广州一模】在极坐标系中，定点32,2A π⎛⎫⎪⎝⎭，点B 在直线cos sin 0ρθθ=上运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为 ．14. 极坐标系下，直线2)4cos(=-πθρ 与圆2=ρ的公共点个数是________．15．（2012陕西理）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为___________16. 在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π4，若曲线C 1与C 2交于A 、B 两点，则线段|AB|＝_______17. 在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点， 则|AB|＝________18． （2012湖南）在极坐标系中,曲线1C :sin )1ρθθ+=与曲线2C :a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上,则a =_______19.【2012肇庆一模】在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值为20. 极坐标方程为θρcos =与θρsin =的两个圆的圆心距为21． 圆θθρsin 34cos 4-=的圆心坐标是______ __22．在极坐标系中，点()20P ，与点Q 关于直线22)4cos(=-πθρ对称，PQ =。
极坐标系的知识点
极坐标系的知识点极坐标系是一种在数学和物理学中常用的坐标系，它与传统的直角坐标系有所不同。
极坐标系使用极径（r）和极角（θ）来表示一个点的位置，而不是直角坐标系中的x和y坐标。
使用极坐标系可以更方便地描述圆形和对称图形，它常用于极坐标曲线的绘制、极坐标方程的求解以及复数的表示等领域。
下面我们将逐步介绍极坐标系的相关知识点。
一、极坐标系的基本概念极坐标系由极径（r）和极角（θ）两个参数组成。
极径是一个非负实数，表示点到原点的距离；极角是一个实数，表示点与参考方向之间的夹角。
在极坐标系中，原点O通常被称为极点，参考方向通常被称为极轴。
极轴的正方向可以任意选择，但通常选择与x轴正向一致。
二、极坐标系与直角坐标系的转换极坐标系与直角坐标系之间可以进行简单的转换。
对于一个点P，它在直角坐标系中的位置可以用直角坐标(x, y)表示，而在极坐标系中可以用(r, θ)表示。
直角坐标系到极坐标系的转换公式如下：r = √(x² + y²) θ = arctan(y/x)极坐标系到直角坐标系的转换公式如下：x = r * cos(θ) y = r * sin(θ)通过这些转换公式，我们可以在不同坐标系之间进行相互转换，便于问题的求解和图形的绘制。
三、极坐标曲线的绘制在极坐标系中，我们可以通过给定的极坐标方程来绘制极坐标曲线。
极坐标方程通常具有以下形式：r = f(θ)，其中f(θ)是一个与极角θ有关的函数。
要绘制极坐标曲线，我们可以按照以下步骤进行： 1. 根据给定的极坐标方程，选取合适的θ值范围，通常是0到2π或者-π到π。
2. 对于每个θ值，计算出对应的r值。
3. 将得到的(r, θ)坐标转换为直角坐标(x, y)。
4. 使用直角坐标(x, y)绘制点，并连接它们，得到极坐标曲线。
通过这种方法，我们可以绘制出各种各样的极坐标曲线，如圆形、椭圆、双曲线、螺旋线等。
四、复数的表示在复数的表示中，极坐标系也起到了重要的作用。
极坐标知识点
极坐标知识点在数学中，我们常常使用直角坐标系来描述平面上的点的位置。
然而，有时候直角坐标系并不是最方便的选择，特别是当我们需要描述某个点与原点的距离和角度时。
这就是为什么引入了极坐标系统的原因。
极坐标系统是一种使用距离和角度来确定点的位置的坐标系统。
一. 极坐标系统的基本概念极坐标系统是由两个值组成的，分别是距离和角度。
距离表示点与坐标原点的距离，而角度则表示点与正半轴之间的夹角。
距离一般用非负实数表示，而角度则可以使用弧度或者度数来表示。
在极坐标系统中，通常用(r,θ)来表示一个点的位置，其中r表示距离，θ表示角度。
二. 转换公式在直角坐标系中，我们可以使用勾股定理来计算点的距离。
而在极坐标系中，点的坐标可以通过以下公式与直角坐标系转换：x = r * cos(θ)y = r * sin(θ)其中，x和y分别为点在直角坐标系中的坐标，r和θ为点在极坐标系中的坐标。
这种转换公式使得我们可以方便地在两个坐标系之间进行转换。
三. 极坐标系下的图形表示在直角坐标系中，我们使用x和y的坐标来绘制图形。
而在极坐标系中，我们使用r和θ的坐标来描绘图形。
这种表示方式使得我们可以更加直观地观察一些几何形状。
例如，圆的方程在极坐标系中可以表示为r = a，其中a为常数。
这个方程表示了所有与原点距离为a的点的集合，形成了一个圆形。
同样地，直线的方程也可以在极坐标系中表示为θ = b，其中b为常数。
这种表示方式使得我们可以更加方便地理解几何形状的特性。
四. 极坐标系的应用极坐标系统广泛应用于物理学，尤其是描述旋转运动的问题。
例如，在天体力学中，使用极坐标系可以更好地描述行星的轨道运动。
此外，极坐标系还被广泛应用于工程学和控制系统等领域。
例如，在雷达系统中，使用极坐标系可以方便地表示目标的距离和角度，便于进行识别和追踪。
总之，极坐标知识点是数学中一个非常重要的内容。
通过极坐标系统，我们可以更加方便地描述平面上点的位置，以及进行坐标系之间的转换。
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极坐标（理数）
主备人：杨素玲 审核人：高三数学备课组 上课时间：2013年12月
一、知识梳理：
1、极坐标系：
在平面内取一个定点O ，叫做极点；引一条射线OX ，叫做
这样就建立了一个极坐标系． 2、极坐标与直角坐标互化：
①直角坐标(x ，y ) →极坐标 (ρ，θ) ； ②极坐标 (ρ，θ) →直角坐标(x ，y )
tan (0)
y x x ρθ⎧⎪
⎨=≠⎪⎩
（θ取值看(x ，y )所在象限）； cos sin x y ρθρθ=⎧⎨=⎩ 当0x =时：若点在y 轴正半轴，则取2
π
θ=；若点在y 轴负半轴，则取32π
θ=
或2
πθ=-. 3．几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0和 θ＝π－θ0；
(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a ； (3)直线过M (b ，
2
π
)且平行于极轴：ρsin θ＝b . 4．几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r ；
(2)当圆心位于M (a,0) ，半径为a ：ρ＝2a cos θ； (3)当圆心位于M (a ，
2
π
)，半径为a ：ρ＝2a sin θ. （4）当圆心位于0(,)M a θ，半径为a ：02cos()a ρθθ=- （前面3种情况都可以由此式推出） 课堂练习：
1．点P 的直角坐标为(，那么它的极坐标可表示为___ ___ 2. 在极坐标系中，若点A ，B 的坐标分别为(3，3π)，(4，6
π
-),则||AB =___ ____， S △AOB ＝________(其中O 是极点)．
O
θ）
x
3. 在极坐标系中，由三条曲线0,,cos sin 13
π
θθρθθ==
+=所围成的图形面积
是
4． 已知点P 的极坐标为(1，π)，那么过点P 且垂直于极轴的直线的极坐标方程是
5. 在极坐标系中，过圆θθρsin 22cos 6-=的圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为
6． 在极坐标系中，圆心在(2，π)且过极点的圆的极坐标方程为
7． 在极坐标系中，ρ＝4sin θ是圆C 的极坐标方程，则点)6
4(π
，A 到圆心C 的距离是______
8．（2010广东理）在极坐标系)(θρ，)20(πθ≤≤其中中，曲线θρsin 2=与
1cos -=θρ的交点的极坐标为___ ___
9．（2008广东）已知曲线12,C C 的极坐标方程分别为cos 3,4cos (0,0)2
π
ρθρθρθ==≥≤<，则曲线1C 2C 交点的极坐标为
10．（2007广东）在极坐标系中，直线l 的方程为sin 3ρθ=，则点π26⎛⎫ ⎪⎝
⎭
，到直线l 的距离 为
11. (2011·华南师大模拟)在极坐标系中，点M ⎝⎛⎭⎫4，π3到曲线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π
3＝2上的点的距离的最小值为________
12.（2012安徽）在极坐标系中,圆4sin ρθ=的圆心到直线()6
R π
θ
ρ=
∈的距离是_____
13.【2013广州一模】在极坐标系中，定点32,2
A π⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，点B 在直线cos sin 0ρθθ=上
运动，当线段AB 最短时，点B 的极坐标为 ．
14. 极坐标系下，直线2)4
cos(=-π
θρ 与圆2=ρ的公共点个数是________．
15．（2012陕西理）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为___________
16. 在极坐标系中，曲线C 1：ρ＝2cos θ，曲线C 2：θ＝π
4
，若曲线C 1与C 2交于A 、B 两点，
则线段|AB|＝_______
17. 在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线θρcos 4=于A 、B 两点， 则|AB|＝________
18． （2012湖南）在极坐标系中,曲线
1
C :sin )1ρθθ+=与曲线
2
C :a ρ=(0)
a >的一个交点在极轴上,则a =_______
19.【2012肇庆一模】在极坐标系中，圆2ρ=上的点到直线()
6sin 3cos =+θθρ的距离的最小值为
20. 极坐标方程为θρcos =与θρsin =的两个圆的圆心距为
21． 圆θθρsin 34cos 4-=的圆心坐标是______ __
22．在极坐标系中，点()20P ，与点Q 关于直线22)4
cos(=-
π
θρ对称，PQ =。